Exercices sur multiples et diviseurs

Transcription

1 TS spé Exercices sur multiples et diviseurs Vérifier que pr tt etier relatif o a : 6 Détermier les etiers relatifs tels que soit u etier. 1 1 ) Le ombre 11 est-il u multiple de 117? ) Sas calcul, i calculatrice, expliquer prquoi est pas divisible par 1 1. E remarquat que tt etier aturel pair peut s écrire p avec p etier aturel, démotrer que si est u etier aturel pair, alors le ombre 0 est divisible par 8. Détermier ts les cples x, y d etiers relatifs tels que xy 5. 4 xyz désige le ombre etier formé des chiffres x, y et z. x est le chiffre des cetaies, y celui des dizaies, z celui des uités. O a doc xyz x10 y 10 z. Exemple : (décompositio e base 10 de 4). 1 ) Soit a u etier aturel compris etre 0 et 9 (au ses large). Écrire la décompositio e base 10 du ombre 1a5a e foctio de a et réduire le résultat. ) Les ombres de la forme a0a où a est u etier compris etre 1 et 9 au ses large sot ts divisibles par u etier aturel autre que 1 qui e déped pas de a. Lequel? Les exercices 16 et 17 serot traités après le crs sur la récurrece. 16 Démotrer par récurrece que pr tt etier aturel, est u multiple de. 17 Démotrer par récurrece que pr tt etier aturel, 4 est u multiple de Das tt l exercice, désige u etier relatif quelcoque. Das chaque cas, démotrer e utilisat ue combiaiso liéaire que les etiers a et b sot premiers etre eux. 1 ) a et b 1 ; ) a 1 et b 6 4 ; ) a et b 5. 5 Jacques tape trois fois le même chiffre à l écra de sa calculatrice. 1 ) Démotrer que le ombre obteu est u multiple de 111. ) Est-ce u multiple de 7? 6 Détermier les etiers relatifs qui diviset 1. 7 Détermier les etiers relatifs tels que 4 divise 6. 8 Détermier les etiers relatifs tels que 7 divise Détermier les cples x, y d etiers relatifs tels que x y Pr quelles valeurs de l etier aturel le ombre 14 8 est-il divisible par 5? 11 Pr quelles valeurs de l etier aturel le ombre 1 Détermier les etiers relatifs tels que 4 divise 4. 1 Détermier l esemble des cples x, y d etiers aturels tels que 1 est-il divisible par 1? x y 7. Idicatio : O prra observer que si x et y sot deux etiers aturels tels que x 14 Nombres parfaits y 7, alors x y. U ombre etier aturel est dit parfait s il est égal à la somme de ses diviseurs positifs autres que lui-même. Vérifier que 6 et 8 sot des ombres parfaits. Ce sot les seuls ombres parfaits iférieurs à 100. Note : Les ombres parfaits sot rares. Il e existe que trois iférieurs à 1000 : 6, 8 et 496.

2 Corrigé Das les exercices, o doe les esembles de diviseurs sas explicatio. 1 1 ) Détermios si le ombre Avec calculatrice : 11 est u multiple de doc O e déduit que Sas calculatrice : 11 est u multiple de 117. O cherche à factoriser (et o à développer!) l expressio du ombre (o factorise D après cette derière égalité, 11 est u multiple de 117. O peut dire égalemet que 117 et 15 sot des «diviseurs associés» de Autre méthode : et propriété du crs a b est divisible par a b. Autre méthode due à Théo Spriet (élève de TS1) le : O peut écrire ) 11. d après la relatio fodametale de l algèbre. Cepedat, cette derière égalité e permet pas de coclure directemet doc Solutio de Diae Scheider TS1 le mercredi : 11 est u multiple de 117 doc 117 ) Expliquos prquoi est pas divisible par O effectue u raisoemet par l absurde (d où l emploi du coditioel). 1 1 Si 1 1 divisait 75 47, alors par trasitivité, diviserait ce qui est faux. Doc est pas divisible par 1 1. Autre raisoemet : 1 1 est u ombre pair doc si u ombre est divisible par 1 1, alors ce ombre est pair. Or est impair doc est pas divisible par 1 1. Autre formulatio de ce raisoemet due à Théo Spriet (élève de TS1) le : est pas divisible par 1 1 car 1 1 est pair et pas Versio proposée le jeudi 14 septembre mais O coclut grâce à la propriété de trasitivité de la relatio de divisibilité («si a b et b c, alors a c»). Versio Joséphie Brami (le ) : 1 ) ) divise 11. Doc si était u multiple de 11 alors diviserait Or ce est pas le cas. Solutio d Elisa Idych (TS) le ludi ) Doc 11 est divisible par 117. Doc 11 est u multiple de 117. ) et Doc est divisible i par,, 5 9 tt comme 11. Les ombres ot pas de diviseurs commus. Démotros que si est u etier aturel pair, alors le ombre 0 Soit u etier aturel pair. peut s écrire p avec p etier aturel. est divisible par 8.

3 Il est idispesable de défiir p avat d effectuer le calcul qui suit. Das u calcul, o e peut pas utiliser ue lettre qui a pas été présetée auparavat. Détermios ts les cples x ; y d etiers relatifs tels que xy 5 (1). Il faut rédiger u miimum avat de doer les cples p p p p Autre formulatio de ce raisoemet due à Théo Spriet (élève de TS1) le : p p p p p p Je sors le 8 0 est divisible par 8. Doc Or p doc Aisi 8 0. p 5p. L égalité (1) exprime que x et y sot des diviseurs associés* de 5. Les diviseurs de 5 sot : 1 ; 5 ; 1 ; 5. Les cples cherchés sot doc (5 ; 1), (1 ; 5), ( 1 ; 5), ( 5 ; 1). *Les diviseurs associés sot des diviseurs qui «marchet» esemble. Solutio d élèves de TS le ludi Elisa Idych (TS) xy 5 les diviseurs de 5 sot 1, 5, 1 et 5. Aisi xy 5 sigifie que x et y sot des diviseurs associés de 5. Les cples attedus sot doc (5 ; 1) ; ( 5 ; 1) ; (1 ; 5) et ( 1 ; 5). Solutio d élèves de TS le ludi Il est importat de préciser que p 5p est u etier aturel. E effet, d après la défiitio du crs, a b sigifie que b a q avec q. Émilie Spriet xy 5, 5 a pr diviseurs 1, 5, 1 et 5. L égalité xy 5 exprime que x et y sot des diviseurs associés de 5. Les cples cherchés sot : (1 ; 5) ; ( 1 ; 5) ; (5 ; 1) ; ( 5 ; 1). 4 Versio Joséphie Brami (le ) : p 40 p 0 8 p 5p 0 p p 0 p p Doc 0 est divisible par 8. Solutio d élèves de TS le ludi Elisa Idych (TS) p sigifie que est u etier aturel pair. Or le carré d u etier aturel pair doe u etier aturel pair. 0 est divisible par 8 car 0 est pair aussi. Doc o peut dire que O prrait oter 4 e système décimal mais o e le fait pas d ordiaire. La barre e veut pas dire «cotraire». L écriture xyz désige le ombre formé des chiffres x, y, z (x : chiffres des cetaies, y : chiffres des dizaies, z : chiffre des uités). La barre sert à e pas cofodre avec le produit xyz. 1 ) Écrivos le ombre 1a5a e foctio de a. O utilise la décompositio e base 10 du ombre : 1a5a 110 a a 1a5a a Aciee versio : 1a5a a 510 a a

4 Versio Joséphie Brami (le ) : 1a5a 1000 a a 1a5a a ) Démotros que ts les ombres de la forme a0a sot divisibles par u etier aturel autre que 1. a0a a a. a0a 101 a Comme a, cette derière égalité prve que le ombre a0a est divisible par 101. Versio de Joséphie Brami ( ) : Soit a le chiffre tapé. 1 ) aaa 100a 10a a aaa 111a ) et 111 aaa doc 7 aaa. Aciee versio : O a : a0a a 010 a a. Comme a, cette derière égalité prve que le ombre a0a est divisible par 101. Versio de Joséphie Brami ( ) : a0a 101a Doc 101 a0a 101a 5 Soit x le chiffre tapé ( x et 0 x 9 ). Le ombre obteu e tapat trois fois le chiffre x sur la calculatrice est N xxx. O peut dire aussi que c est le résultat obteu e tapat trois fois le chiffre x sur la calculatrice. 1 ) Démotros que 111 est u diviseur de N. O a : N 100x 10x x 111x. x doc 111 N. ) Démotros que 7 est u diviseur de N. O a : doc Or 111 N doc par trasitivité de la divisibilité, 7 N. Doc 7 est u diviseur de Détermios les etiers relatifs qui diviset 1. Il faut bie compredre la questio. O cherche à détermier ts les etiers relatifs tels que 1 et o à savoir si 1. Il y a méthodes pr résdre cet exercice. Il est demadé d étudier et de oter ces méthodes. Méthode 1 : Utilisatio de la propriété des combiaisos liéaires à coefficiets etiers 1 ère partie : Avec cette méthode, la résolutio de cet exercice s effectue e deux parties. 1 ère partie : raisoemet déductif (o cherche les valeurs possibles de ) e partie : vérificatio (o examie si chacue des valeurs coviet) Il faut vraimet bie compredre la «logique» de cette démarche, e particulier, la écessité d ue vérificatio. Soit u etier relatif tel que 1. et 1 doc divise tte combiaiso liéaire de et de 1 à coefficiets etiers relatifs. E particulier, divise la différece de ces deux ombres. 1 doc 1. Les diviseurs de 1 sot 1 et 1.

5 D. Si l o préfère, au lieu de faire ue phrase, o peut écrire l égalité d esembles : 1 1; 1 Méthode 4 : D après le crs, pr tt etier relatif, et 1 sot premiers etre eux. U raisoemet simple permet d e déduire que les seules valeurs de pr lesquelles 1 sot 1 et 1. D où 1 1. e partie : vérificatio obligatoire Réciproquemet, o vérifie que ces deux valeurs covieet. Si 1, alors 1. O a bie : 1. Si 1, alors 1 0. O a bie : 1 0. Les etiers aturels cherchés sot 1 et 1. Si o dit que divise la somme c est-à-dire 1, cela e coduirait à rie. Le but c est que les s aulet. Méthode : Utilisatio du lemme a bc d Soit a, b, c, d quatre etiers relatifs tels que a bc d. b divise a b divise d. Versio fausse (Joséphie Brami le ) Détermios les etiers relatifs tels que 4 6. Il y a ue seule méthode pr résdre cet exercice. O procède e deux parties. 1 ère partie : Soit u etier relatif tel que Doc 4 divise tte combiaiso liéaire de 4 et 6 à coefficiets etiers. O applique la propriété du crs : (5) Propriété fodametale Avec cette méthode, la résolutio de cet exercice s effectue par équivaleces. Il y a pas de vérificatio à effectuer d où l efficacité de cette méthode. Si a b et a c, alors a divise tte combiaiso liéaire de b et c à coefficiets etiers. Autremet dit, a b c où et sot des etiers quelcoques. O a : Cette égalité e fait iterveir que des etiers relatifs Les etiers aturels cherchés sot 1 et 1. Méthode : Utilisatio de la défiitio de a divise b Si 1, alors k tel que 1 k Par suite, 1 1. O vérifie que ces deux valeurs covieet. doc 1 k 1 d où divise 1. Ici, o applique la propriété avec a 4, b 6, 1,. Le choix de et a été fait pr auler les puisque Il y a pas de méthode pr trver et. O doit réfléchir u tt petit peu. E gééral, o les trve assez facilemet. O prrait aussi choisir 0 et 0. O obtiedrait u résultat ul pr cette combiaiso liéaire mais cela aurait aucu itérêt. Les etiers aturels cherchés sot 1 et 1.

6 7 Le combiaiso liéaire ulle pas itéressate E particulier, c est-à-dire Les diviseurs de 14 sot 1,, 7, 14, 1,, 7, 14 (o doe ces diviseurs sas explicatio). Doc D où (1) () () 10 (4) 5 (5) 6 (6) 11 (7) 18 (8) (1) doe 1 () doe 1 (6) doe (8) doe 6 Les équatios (), (4), (5), (7) ot pas de solutios das. Les valeurs de trvées sot 1, 1, et 6. e partie : vérificatio obligatoire (doc à écrire ) Réciproquemet, o vérifie aisémet que ces valeurs covieet. O regarde pr les différetes valeurs de trvées si 4 divise 6. Pr 1, 4 1 et 6 5. O a : 1 5. Doc cette valeur coviet. Pr 1, 4 7 et 6 7. O a : 7 7. Doc cette valeur coviet. Pr, 4 et 6 4. O a : 4. Doc cette valeur coviet. Pr 6, 4 14 et 6 0. O a : Doc cette valeur coviet. Coclusio : Les etiers cherchés sot 1, 1, et 6. O peut préseter les résultats das u tableau comme ci-desss (calcul iutile) V V 4 V 6 14 (calcul iutile) 0 V O e peut pas utiliser le lemme a bc d pr résdre cet exercice par équivaleces. Versio Joséphie Brami (le ) u tt petit peu arragée car Joséphie avait pas doé de uméros aux différetes équatios : 4 1 (1) 4 () 4 7 () 4 14 (4) 4 1 (5) 4 (6) 4 7 (7) 4 14 (8) (1) 1 () () 1 (4) (5) 10 5 (6) (7) 11 O a raisoé d abord par implicatio das u ses. O doit faire ue vérificatio. (8)

7 8 Détermios les etiers relatifs tels que Les diviseurs de 15 sot 1,, 5, 15, 1,, 5, Détermios les cples Les diviseurs de 10 sot 1,, 5, 10, 1,, 5, 10. x ; y d etiers relatifs tels que x y Doc Il y a 8 cples de diviseurs associés de 10 : ; 5, 5 ;. 1 x et y 1 sot des diviseurs associés de ;10, 10 ;1, ; 5, 5 ;, 1; 10, 10 ; 1, x 1 x 1 x x x 10 x 10 y 1 10 y 1 10 y 1 5 y 1 5 y 1 1 y 1 1 x 5 x 5 y 1 y 1 x x 1 x 4 x 0 x 1 x 8 x 7 x y 9 y 11 y 4 y 6 y 0 y y 1 y O a 8 systèmes car il y a 8 cples de diviseurs associés de Les cples cherchés sot doc ( ; 9) ; (1 ; 11) ; (4 ; 4) ; (0 ; 6) ; (1 ; 0) ; ( 8 ; ) ; (7 ; 1) ; ( ; ). 10 Détermios les etiers aturels tels que La résolutio de cet exercice se fait e deux parties. O effectue u raisoemet déductif das u premier temps avec réciproque das u deuxième temps. Il y a que cette méthode das cet exercice. O est doc obligé de faire aisi. 1 ère partie : Soit u etier aturel tel que O a : Coclusio : Les etiers cherchés sot : 6, 4,, 8, 8, 10, 1,. Remarque : Il y a pas besoi de faire de vérificatio car o a raisoé par équivaleces. 5 5 ; Doc 5 divise tte combiaiso liéaire de 5 et 14 8 à coefficiets etiers. E particulier, c est-à-dire 5 46.

8 O peut idifféremmet faire la combiaiso liéaire Les diviseurs positifs de 46 sot les mêmes que ceux de 46. Les diviseurs positifs de 46 sot 1,,, 46. O écrit uiquemet les diviseurs positifs de 46 car doc 5. Doc D où 4 (1) () 18 () 41 (4). Les équatios (1), (), (4) ot pas de solutios das. La seule valeur possible de est Doc 1 divise tte combiaiso liéaire de E particulier, O applique la propriété du crs : a 1 ; b O choisit : 1 c est-à-dire et de 1 à coefficiets etiers. Si a b et a c, alors a b c où et sot des etiers quelcoques. 1 ; c 1 et 4 (pr trver ces valeurs, o doit chercher u peu ). O veut auler les quad o fait la combiaiso liéaire. Les diviseurs de 5 sot 1, 5, 1, 5. e partie : vérificatio obligatoire Réciproquemet, o vérifie que cette valeur coviet : 6 5 ; ; o a 9. Coclusio : L etier cherché est O écrit les diviseurs de 5 positifs et égatifs car doc 1 (à cause du!). Ce était pas le cas das l exercice précédet. O peut même être plus précis e disat que doc 0 d où 1 1 ce qui permet d élimier d emblée 5. Détermios les etiers aturels tels que le ombre 1 soit divisible par 1. O a ue égalité à trver. Méthode 1 : Utilisatio de la propriété des combiaisos liéaires à coefficiets etiers 1 ère partie : Soit u etier aturel tel que 1 O a : (égalité à trver soi-même). Ce type d égalité e porte pas de om. C est ue trasformatio d écriture. Doc soit O sait que doc e peut valoir 4. Il reste doc, 6, 0 comme valeurs possibles de. e partie : vérificatio Pr, o a : 1 11 et 1 1. Or 11 est divisible par 1 doc coviet. Le mercredi Remarque d u élève de TS1 spécialité mathématiques Pr trver que 1 doit être multiplié par 4, ce est pas forcémet évidet ; le corrigé e doe pas de méthodes. Pr 6, o a : et Or 55 est divisible par 5 doc 6 coviet. Pr 0, o a : et 1 1. Or 1 est divisible par 1 doc 0 coviet.

9 O peut préseter les résultats das u tableau comme ci-desss (calcul iutile) V V (calcul iutile) V 1 Les diviseurs de 6 sot 1,,, 4, 6, 9, 1, 18, 6, 1,,, 4, 6, 9, 1, 18, 6. 4 est doc égal à l u de ces ombres ce qui doe les valeurs suivates de : 5, 6, 7, 8, 10, 1, 16,, 40,,, 1, 0,, 5, 8, 14,. e partie : O vérifie que chacue de ces valeurs coviet. La vérificatio est assez logue car il y a beaucp de valeurs de. Il faut doc au mois écrire la phrase : «O vérifie que les valeurs trvées covieet». Les valeurs possibles de sot : 0 ; ; 6. Méthode : Utilisatio du lemme a bc d O a : Cette égalité e fait iterveir que des etiers relatifs (impossible car est u etier aturel) Méthode : Utilisatio du lemme a bc d Détermios les etiers relatifs tels que Pr tt etier relatif, o a : Cette égalité e fait iterveir que des etiers relatifs. Les diviseurs de 6 sot 1,,, 4, 6, 9, 1, 18, 6, 1,,, 4, 6, 9, 1, 18, 6. Les etiers cherchés sot 0, et 6. 1 Détermios les etiers relatifs tels que 4 4. Méthode 1 : Utilisatio de la propriété des combiaisos liéaires à coefficiets etiers 1 ère partie : Soit u etier relatif tel que Doc 4 divise tte combiaiso liéaire de 4 et de 4 à coefficiets etiers. E particulier, c est-à-dire 4 6. O applique la propriété du crs : a 4 ; b 4 ; c 4 O choisit : 1 et. Si a b et a c, alors a b c où et sot des etiers quelcoques.

10 Résolutio d ue équatio diophatiee L adjectif «diophatie» viet de Diophate, mathématicie grec de l atiquité (II e siècle) après Jésus Christ). Détermios les cples x ; y d etiers aturels tels que x E x yx y 7 E x y et x y sot des diviseurs associés de 7 x y 1 x y 7 E x y 7 x y 1 u etier aturel doc positif] x 4 x 4 E y y y 7 E. [les diviseurs positifs de 7 sot 1 et 7 (7 est u ombre premier) ; x y est (résolutio immédiate par additio et sstractio membre à membre) Comme x et y sot des etiers aturels, la seule solutio est le cple 4 ;. Remarque : O peut observer que si x ; y est solutio de E, alors x y 0 doc x positifs uls. Vérificatio facultative : O calcule x y pr x ; y 4 ;. x y Nombres parfaits Les diviseurs positifs de 6 sot : 1,,, 6. D 6 1 ; ; ; 6. O peut écrire l égalité d esembles O a : 6 1 doc 6 est ombre parfait. Les diviseurs positifs de 8 sot : 1,, 4, 7, 14, 8. D 8 1 ; ; 4 ; 7 ; 14 ; 8. O peut écrire l égalité d esembles O a : doc 8 est u ombre parfait. Cotre-exemple : 0 est pas u ombre parfait. Les diviseurs positifs de 0 sot : 1,,, 5, 6, 10, 15, 0. La somme des diviseurs stricts est égale à 4, ce qui est différet de 0. y d où x y car x et y sot Pr 496, o utilise u logiciel de calcul formel u programme sur la calculatrice. D 496 1; ; 4 ; 8 ;16 ; 1; 6 ;14 ; 48 ; 496

11 Pr iformatio : Les ciq premiers ombres parfaits sot : 6 ; 8 ; 496 ; 8 18 et Aujrd hui o e sait tjrs pas s il e existe des impairs Jadis les ombres parfaits étaiet cosidérés comme au-dessus de ts les autres. O leur prêtait ue dimesio mystique, comme sait Augusti das la Cité de Dieu (40 après Jésus-Christ) : «Six est u ombre parfait e lui-même, o parce que Dieu a créé tte chose e six jrs, mais Dieu a créé tte chose e six jrs parce que ce ombre est parfait». 15 Pr e savoir plus sur les ombres parfaits, faire ue recherche sur Wikipedia. Vérifios que pr tt etier relatif o a : Détermios les etiers tels que soit u etier. Méthode 1 : Utilisatio de la propriété des combiaisos liéaires \ 6 Or est u etier sigifie que doc 6 Les diviseurs de 15 sot 1,, 5, 15, 1,, 5, 15. Il y a doc 8 cas : 1 soit soit 0 5 soit 15 soit 1 1 soit 4 soit 6 5 soit 8 15 soit 18 Autre maière de rédiger : soit 7 15 divise la combiaiso liéaire soit Pr ttes ces valeurs de, 15 et 7 15 c est-à-dire 6. 7 Aisi, les valeurs possibles de sot :, 0,, 1, 4, 6, 8, 18. Méthode : Utilisatio du lemme a bc d O a Cette égalité e fait iterveir que des etiers relatifs doc divise la combiaiso liéaire Les etiers cherchés sot ; 4 ; 0 ; 6 ; ; 8 ; 1 ; Démotros par récurrece que pr tt etier aturel, Pr, o défiit la phrase Iitialisatio : Vérifios que P 0 est vraie. P : «0 0 0 Or 0 est divisible par. Doc o e déduit que P est vraie. 0 est divisible par». est divisible par.

12 Hérédité : Cosidéros u etier aturel k tel que P k est vraie c est-à-dire Démotros qu alors P k 1 est vraie c est-à-dire k 1 k 1 k 1 k 1 k k k 1 k 1 1 k 1 k k k k Comme P k est vraie, il existe u etier aturel q tel que O peut doc écrire : k 1 k 1 q k k k k 1 k 1 q k k k 1 k 1 q k k Comme q k k k k est divisible par. est divisible par. est u etier aturel, o e déduit que k 1 k 1 Doc P k 1 est vraie. Coclusio : O a démotré que si D après le théorème de récurrece 17 P 0 est vraie et que si k k q d où k k q. est divisible par. P k est vraie pr u etier aturel k alors 1 P est vraie pr tt etier aturel. Démotros par récurrece que pr tt etier aturel, 4 est u multiple de 5. Pr, o défiit la phrase P : «5 4». Vérifios que P 0 est vraie. doc 0 P est vraie Démotros qu alors P k 1 est vraie c'est-à-dire 5 k Cosidéros u etier aturel k tel la phrase P k est vraie c est-à-dire 5 4 k. k 1 k 1. 4 k k Comme P k est vraie, il existe u etier relatif q tel que 9 4 5q. O peut même dire que q est u etier aturel. q q q k 1 k 1 k k 1 k k k k k O pose q ' 4 9q. Comme q, Doc P k 1 est vraie q '. O a doc 5 k 1 k P k est vraie. O a démotré que si D après le théorème de récurrece P 0 est vraie et que si Pk est vraie pr u etier aturel k alors 1 P est vraie pr tt etier aturel. Autre faço : sas récurrece (doc e répodat pas à la questio) O utilise la formule fodametale de l algèbre k avec k Doc 4 est u multiple de O utilise le lemme de la combiaiso liéaire à coefficiets etiers relatifs égale à 1 à 1. 1 ) a b 1 Démotros que a et b sot premiers etre eux. Il s agit de trver ue combiaiso liéaire de a et b à coefficiets etiers égale à 1. b a 1 b a 1 La combiaiso liéaire est choisie telle que les s aulet. La derière égalité prve que a et b sot premiers etre eux (lemme). ) a 1 b 6 4 Démotros que a et b sot premiers etre eux. b a b a 1 Doc a et b sot premiers etre eux. ) a b 5 Démotros que a et b sot premiers etre eux. b a b a 1 Doc a et b sot premiers etre eux. Das chaque cas, o peut vérifier e doat à des valeurs (ce sot des cas particuliers). P k est vraie.