Partie CCP - Devoir numéro 2

Transcription

1 Uiversié Claude Berard - Lyo Semesre de priemps Mah IV - Cursus préparaoire A Durée : heure e 0 miues Parie CCP - Devoir uméro Le cadida aachera la plus grade imporace à la claré, à la précisio e à la cocisio de la rédacio Si u cadida es ameé à repérer ce qui peu lui sembler êre ue erreur d éocé, il le sigalera sur sa copie e devra poursuivre sa composiio e expliqua les raisos des iiiaives qu il a éé ameé à predre Das oues les quesios, il sera eu le plus grad compe de la rigueur de la rédacio; oue répose isuffisamme jusifiée sera cosidérée comme ulle R désige l esemble des ombres réels e u eier aurel Parie A - Résulas prélimiaires : Das cee parie, o éabli quelques résulas prélimiaires qui pourro êre uilisés das les deux paries suivaes Pour, o pose : u k l k a Éudier la aure de la série u + u b E déduire que la suie u coverge O oe γ sa limie Pour x éléme de ]0,+ [, o cosidère l applicaio h x de ]0,+ [ vers R défiie par : a Déermier le ableau de variaio de h x b Jusifier les iégaliés :, + l h x l x d l e 4, c Prouver sas uiliser les séries de Berrad que la série l es covergee mais qu elle es pas absolume covergee d À l aide de la quesio b, déermier u équivale lorsque N ed vers + de la somme parielle de l rag N : S N O pose pour la suie : S l l l d Parie B : O oe F l applicaio de ],+ [ vers R défiie par Fx Pour, o cosidère l applicaio φ de ]0,+ [ vers R défiie par φ x x Das cee parie o éudie d abord le comporeme de Fx lorsque x ed vers par valeurs supérieures, esuie la série de focios φ, puis o déermie la valeur de S x

2 Pour, o cosidère les applicaios v e w de [,+ [ vers R défiies par v x x + x e w x + x x d a i Morer que pour ou, la focio v es borée par ii Jusifier succieme l exisece e exprimer v x pour ou x [;+ [ à l aide de la focio h x défiie das la parie A iii Morer que la série de focios v es ormaleme covergee sur [,+ [ b i Pour ou, doer ue expressio explicie de w x e faisa plus apparaîre d iégrale, pour x [;+ [ ii E déduire que pour, w es coiue sur [,+ [ iii Morer que x,, 0 w x v x iv O cosidère la focio W défiie par W w Démorer que W es défiie e coiue sur [,+ [ c i Morer que x >, Wx Fx+ x ii Calculer lim Fx+ x + x o exprimera le résula e focio de γ 4 a Morer que la série de focios φ coverge simpleme sur ]0,+ [ b Soi a u éléme de ]0,+ [ Démorer que la série de focios φ coverge uiforméme sur [a,+ [ c O cosidère la focio φ défiie par φ 0 φ i Morer que φ es défiie e de classe C sur ]0,+ [ ii Exprimer φ sous forme de somme d ue série 5 a Éablir que : x >, φx x Fx b Déermier u développeme limié de x à l ordre au voisiage de c Déermier u développeme limié de φx à l ordre au voisiage de O pourra uiliser le résula de la quesio cii d E déduire la valeur de S

3 Correcio du Devoir Surveillé - parie CCP Parie A - Résulas prélimiaires : a Pour ou, o a u + u + +l + + +l o Aisi, u + u + doc par comparaiso de séries à ermes posiifs, la série u + u coverge absolume b La série précédee es ue série éléscopique Soi N,, alors la somme parielle s écri par éléscopage u k+ u k u u k + k u k+ u k < + doc la suie u u coverge ce qui démore la covergece de la suie u a La focio h x es dérivable sur ]0;+ [ e pour ou > 0, o a h x ce qui doe le ableau de variaios x lx x x xl x+ 0 e /x + ex h x 0 b O a pour x : la foio h es décroissae sur [e;+ [, or pour ou, [;+] [e;+ [, doc o peu écrire [;+], h h d où + h d + h d ie + l d l De même, pour ou 4, [ ;] [e;+ [ e e iégra l iégalié h h sur le segme [ ; ], o obie l aure iégalié demadée c Posos pour ou, a l O a : Pour ou, a l 0 doc la suie a es alerée Par croissace comparée, a + 0 La suie a h es décroissae à parir du rag O e coclue que la série a coverge d après le crière des séries alerées De plus, pour ou, a l 0, e la série harmoique diverge doc par comparaiso de séries à ermes posiifs, la série a e coverge pas absolume

4 d E somma la première iégalié de la quesio b de à N où N es fixé, o obie par Chasles N+ l d e e somma la deuxième égalié de 4 à N où N 4 fixé, o rouve 4 l l N l d O addiioe alors les ermes maquas pour rerouver la somme parielle S N ce qui eraîe après calculs des iégrales : pour ou N 4, d où [ ] N+ l + l N [ ] N l S N l + l + l ln + l +l ln S N l +l+l ln ln Parie B : ce qui démore grâce au héorème des gedarmes que lim N + S N e aisi S ln N N + ln a i Soi N, pour ou x [;+ [, o a v x x + x x + + x puisque, + e la focio x es croissae puisque x es posiif Aisi, la focio v es borée par sur [;+ [ ii Puisque v : x [;+ [ e xl e xl+, la focio v es dérivable comme différece de focios dérivables De plus, pour ou x [;+ [, o a v x le xl +l+e xl+ l x + l+ + x h x+ h x iii O a déjà démoré à la quesio ai que pour ou N, la focio v es borée sur [;+ [ De plus, pour ou x [;+ [, o a v x h x + h x Soi x [;+ [ fixé D après la quesio a, la focio h x es décroissae sur [e /x ;+ [ Or x d où e /x e, doc pour ou, h x + h x ce qui démore que v x 0 Aisi, pour ou, la focio v es décroissae sur [;+ [, ce qui eraîe v,[;+ [ sup v x sup v x v x [;+ [ x [;+ [ + + Puisque la série + coverge car so erme gééral équivau à lorsque + e par comparaiso de séries à ermes posiifs, ou par calcul direc de la limie de ses sommes parielles puisque c es ue série éléscopique, la série v,[;+ [ coverge, e la série de focios v coverge ormaleme sur [;+ [ 4

5 b i Soie e x [;+ [ Pour x, o a e w x + x x d [ x x x w [l]+ ] + x + x + x x +l + ii Soi, la focio w es coiue sur l ouver ];+ [ comme somme de focios coiues Pour morer que w es coiue sur [;+ [, il ous suffi doc de morer que lim x +w x w +l Puisque l o a déjà + x e xl x + e l par coiuié de l expoeielle, o va se cocerer sur le deuxième erme apparaissa das w x Soi x >, o pose u x de sore que u 0 + si e seuleme si x + e o fai u développeme limié : x + x x e ul+ e ul u l+u +lu+ o u u u 0 + l + o + u 0 + l u ce qui démore que lim w x x + + l w e achève la démosraio de la + coiuié de w sur [;+ [ iii Soie x [;+ [ e N Puisque la focio es décroissae sur ]0;+ [ car x 0, x o obie : [;+], + x x x d où e iégra sur [;+], + + x x d x d où v x x + x w x x x 0 iv O a vu que : pour ou N, w es coiue sur [;+ [, pour ou, pour ou x [;+ [, 0 w x v x v,[;+ [, ce qui démore que la focio w es borée sur [;+ [ e sa orme sup vérifie 0 w,[;+ [ sup w x v,[;+ [ x [;+ [ Comme la série v,[;+ [ coverge la série de focios v coverge ormaleme sur [;+ [, par comparaiso de séries à ermes posiifs, la série w,[;+ [ es aussi covergee, ce qui eraîe la covergece ormale e doc uiforme de la série de focios w sur [;+ [ D après le héorème de coiuié des séries de focios, la focio W es coiue sur [; + [ 5

6 c i Soi x > Soi N N, alors w x x + x + x x x + x N + x d où e passa à la limie quad N + puisque les séries iervea coverge, Wx Fx+ x ii D après la quesio précédee, la limie demadée correspod à lim Wx Puisque W es coiue sur [;+ [, o a lim x + x +Wx W Or W + +l l+, o calcule doc pour N : w ce qui démore que lim Fx+ γ x + x + N l l+ N ln +ln +l ln + N ln l + N }{{}}{{} γ 0 + N + 4 a Soix ]0;+ [fixé/oaφ x φ x Deplus,lasuieumériqueφ x x es décroissae e coverge vers 0 car x > 0 D après le crière des séries alerées, la série φ x coverge, ce qui démore la covergece simple de la série de focios φ sur ]0;+ [ b Soi a ]0;+ [ Pour ou N, la focio φ es dérivable sur ]0;+ [, e pour ou x > 0, o a φ x l h x Soi x [a;+ [ D après l éude faie e a, o sai que la x focio h x es décroissae à valeurs posiives sur [e /x ;+ [ Puisque x [a;+ [, o a e /x e /a Posos N 0 e /a + de sore que si N N 0, o a e /a Alors, pour ou eier N 0, φ x 0, la suie φ x N0 h x N0 es décroissae, h x + 0 ce qui eraîe que la série φ x coverge par le crière des séries alerées De plus, pour N 0, R x k+ φ x φ +x l x l a h a doc R es borée sur [a;+ [ e puisque la bore supérieure es le plus pei des majoras R,[a;+ [ h a + 0 ce qui démore que la suie de focios R coverge uiforméme vers la focio ulle sur [a;+ [ Par suie, la série de focios φ coverge uiforméme sur [a;+ [ c i Soi a ]0; + [ Pour ou, la focio φ es de classe C sur [a;+ [ La série de focios φ coverge simpleme sur [a;+ [ d après 4a, 6

7 La série de focios φ coverge uiforméme sur [a;+ [ d après 4b D après le héorème de dérivaio des séries de focios, la focio somme φ es de classe C sur [a;+ [, ceci pour ou a > 0, doc φ es de classe C sur ]0;+ [ la dérivaio/coiuié es ue propriéé locale ii Toujours d après le héorème, o a pour ou x ]0;+ [, φ x pariculier φ φ l + l S φ x ce qui doe e 5 a Soi x >, o calcule la somme e sépara les ermes pairs e impairs possible car oues les séries iervea so covergees, pour ue meilleure rédacio, o passe par les sommes parielles jusqu à N + e o fai edre N vers + ce qui doe φx b Lorsque x, o a x 0 d où x p x p p p x + p+ x p0 + p p x + xfx x Fx + x p p x e xl +l x+ l x + o x x lx l x + o x x c O sai que pour ou x >, φx x Fx De plus, o a vu à la quesio cii que lim Fx+ γ ce qui eraîe x + x Fx γ x + o x + γ + x + o x + E regroupa ce développeme limié avec celui obeu à la quesio précédee, o rouve φx lx l x + o x x γ + x + o x + l+l γ l x + o x +x d Puisque la focio φ es de classe C sur ]0;+ [, o a d après la formule de Taylor-Youg φx φ+φ x + o x + x Par uicié de la parie pricipale du développeme limié, o obie doc φ l Puisque l o a vu que S φ, o rouve au fial S l γ l γ l 7