Hachurer légèrement la zone délimitée par les quatre droites, (Ox), et (AB).

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1 Vdouine Terminle S Cpitre 4 Intégrtion Définition Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle I contennt et deu nomres tels que. L représenttion grpique est trcée dns un repère ortogonl O;; i j. On ppelle intégrle de f entre et l ire de l surfce délimitée pr l coure, l e des scisses, l droite verticle d éqution et l droite verticle d éqution. Le rectngle curé représente une unité d ire. Les nomres et sont ppelés les ornes de l intégrle. L intégrle représente le nomre d unités d ires comprises dns l zone insi délimitée. Cette intégrle est notée f d Rppel L ire d un trpèze est B A où B est l grnde se, l petite se et l uteur.* Appliction Aire sous une droite ffine On trville dns un repère ortonormé. Le crré curé représente une unité d ire. L droite (AB) est l représenttion grpique d une fonction ffine f. Déterminer les coefficients et qui crctérisent cette fonction. Trcer les droites et d équtions respectives et 6 Hcurer légèrement l zone délimitée pr les qutre droites, (O), et (AB). 6 Clculer f d. Activités Pge

2 Vdouine Terminle S Cpitre 4 Intégrtion Appliction Aire sous une droite ffine On trville dns un repère orogonl. Le rectngle june représente une unité d ire. L droite (AB) est l représenttion grpique d une fonction ffine f. Déterminer les coefficients et qui crctérisent cette fonction. Trcer les droites et d équtions et 5. Hcurer légèrement l zone délimitée pr les qutre droites, (O), et (AB). Déterminer le nomre d unités d ire contenues dns cette zone. Etension de l définition Si l fonction est continue et négtive sur l intervlle I lors l intégrle de l fonction f entre et (vec ) est l opposée de l ire définie entre l e des scisses, l coure et les deu droites verticles et. Une ire étnt positive, et l opposé d un positif étnt négtif, nous pouvons ffirmer que l intégrle d une fonction négtive est négtive. Si l fonction f cnge de signe sur l intervlle I, on découpe l intervlle en intervlles sur lesquels elle grde un signe constnt puis on pplique les définitions. Appliction directe On considère l fonction ffine définie pr f. Clculer les cinq intégrles : 4 f d f d 4 f d 3 f d 4 f d Activités Pge

3 Vdouine Terminle S Cpitre 4 Intégrtion L reltion de Csles c c f d f d f d f d f d f d Une évidence L reltion de Csles Une conséquence Linérité de l intégrle k f d k f d f g d f d g d Multipliction pr une constnte Addition de deu fonctions Inéglités Si f g lors f d g d Une évidence Si m f M lors m f d M Inéglités de l moyenne Clcul pprocé d une intégrle Métode des rectngles Ce procédé, pr encdrement pr deu fonctions en escliers, permet de clculer une vleur pprocée de l intégrle. L réitértion du procédé vec un découpge plus fin de l intervlle permet de réduire l mplitude de l encdrement otenu et insi ggner en précision qunt à l vleur de l intégrle cercée. Activités Pge 3

4 Vdouine Terminle S Cpitre 4 Intégrtion Fonction crrée On trcé ci-contre l représenttion grpique de l prole d éqution f. Le ut du prolème est d encdrer pr deu réels l intégrle Sur l intervlle ;,5, déterminer un encdrement de f. En déduire un encdrement de,5 d. Sur l intervlle,5;, déterminer un encdrement de f. En déduire un encdrement de d,5. Sur l intervlle ;,5, déterminer un encdrement de f. En déduire un encdrement de,5 d. d I. Sur l intervlle,5;, déterminer un encdrement de f. En déduire un encdrement de d,5. En déduire un encdrement de I. Quelle est l mplitude de l encdrement?.5.5 Fonction eponentielle On trcé ci-contre l représenttion grpique de f e. Le ut du prolème est d encdrer l intégrle J e d. Pour cel on s intéresse u deu sommes proposées ci-dessous : s n n k f n k n S n n k f n k n Activités Pge 4

5 Vdouine Terminle S Cpitre 4 Intégrtion Clculer s et S. Proposer un encdrement de J, dont vous préciserez l mplitude. Clculer s 5 et S 5. Proposer un encdrement de J, dont vous préciserez l mplitude. Clculer s et S. Proposer un encdrement de J, dont vous préciserez l mplitude. Clcul pprocé d une intégrle Métode des trpèzes On trcé ci-contre l représenttion grpique de f ln. Le ut du prolème est d étlir une vleur pprocée de l intégrle K ln d. On considère l somme définie pr n k k Tn f f n k n n. Clculer T. Clculer T 5. Clculer T. Interpréter. Activités Pge 5

6 Vdouine Terminle S Cpitre 4 Intégrtion Définition On ppelle primitive de l fonction f sur l intervlle I toute fonction F dérivle sur l intervlle I et dont l dérivée F est l fonction f. Propriétés f pour primitive pour dérivée F Si f dmet une primitive F, k étnt une constnte réelle quelconque, lors toute fonction G telle que G F k est ussi une primitive de f. Réciproquement, si F et G sont deu primitives de l fonction f, lors G F k. Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur cet intervlle. Prmi toutes les primitives une seule s nnule en un point de l intervlle I. Appliction Compléter le tleu ci-dessous présentnt les primitives de certines fonctions usuelles : Constnte Identité Fonction f Primitives F Domine de vlidité f IR f IR Crré f IR 3 Cue f IR n Puissnce n f IR Inverse f ; ; Eponentielle f e IR Cosinus f cos Sinus f sin IR IR Inverse du crré f ; ; Inverse de l rcine Appliction f ; 3 5 f 5 8 g 5e cos sin Activités Pge 6

7 Vdouine Terminle S Cpitre 4 Intégrtion Rppel sur l dérivée Une eponentielle composée Eponentielle composée u e Dérivée u e u Utilistion dns un clcul de primitives 3 5 g e f e 4 5 e k e Rppel sur l dérivée Un logritme composé Logritme composé ln u Dérivée u u Utilistion dns un clcul de primitives f g k 5 e e Rppel sur l dérivée Un cosinus composé Cosinus composé cosu Dérivée u sin u Utilistion dns un clcul de primitives f 6sin 4 6 6sin 3 g Rppel sur l dérivée Un sinus composé Sinus composé sin u Dérivée u cos u Utilistion dns un clcul de primitives 6cos cos k Activités Pge 7

8 Vdouine Terminle S Cpitre 4 Intégrtion Une fonction construite à l ide d une intégrle Soit f une fonction continue sur l intervlle. ; On suppose ici que l fonction est croissnte et positive sur. ; On considère l fonction F définie pour tout de l intervlle Le ut du trvil proposé est de montrer que F est dérivle sur Soit c ; un réel quelconque de l intervlle ; ; pr F f t dt. ; et que F f.. On considère l configurtion suivnte : f(c+) fonction f f(c) c c+ c. Montrer que F c F c f t dt. Que représente cette quntité? c. En déduire l encdrement f c F c F c f c. Epliquer. 3. Clculer lim Fc F c. Le risonnement ser clirement détillé. 4. L fonction F est-elle dérivle en c 5. Clculer F.?? Quel est le nomre dérivé F c Le risonnement présenté ici pour une fonction positive et croissnte pourrit être mené de mnière nlogue pour une fonction de signe ou de vritions différentes. Le résultt otenu serit identique. Une condition ne peut ps être occultée : l continuité de l fonction f. Activités Pge 8

9 Vdouine Terminle S Cpitre 4 Intégrtion Téorème fondmentl f est une fonction continue sur un intervlle I. Pour tout nomre réel I, l fonction F définie pr : f(c+) f(c) fonction f F f t dt est l unique primitive de f s nnulnt en c c+ Conséquence Si G est une primitive quelconque de f sur l intervlle I, si et sont deu réels de l intervlle I, lors : Démonstrtion f t dt G G F est l primitive qui s nnule en. G est une primitive quelconque. On peut donc écrire G F k. Clculer l quntité G G et montrer qu elle est égle à f t dt. Nottion s écrit ussi sous l forme f t dt G f t dt G G. Cette nottion se lit «une primitive de f prise entre les ornes et». Clculs d intégrles Ainsi le clcul d une intégrle se réduit u clcul d une primitive dont on clculer l vleur en deu endroits pour enfin les soustrire. Effectuer le clcul des intégrles suivntes : A d B e d C d D ln d Indiction pour le clcul de D : on pourr dériver l fonction définie pr ln Intégrles et systèmes g. On pose I ln6 e 3 d et e 4 J ln6 d. e 4 Clculer I 3J. Clculer I J. En déduire les vleurs ectes des intégrles I et J. Activités Pge 9

10 Vdouine Terminle S Cpitre 4 Intégrtion L fonction f est définie sur ; pr f t t e. t Déterminer les limites de l fonction f u ornes de son ensemle de définition. Après clcul de l dérivée et étude de son signe, déterminer les vritions de f sur ; On pourr pour l suite du prolème risonner en s ppuynt sur le grpique fourni ci-contre. Pour tout réel de l intervlle ;, on note A l ire du domine délimité pr l coure représentnt f dns un repère ortogonl l e des scisses et les droites verticles d équtions et.. Que vut A?. Soit un réel strictement positif. Justifier l encdrement suivnt : A A f f. 3. En déduire l dérivilité de l fonction A en insi que le nomre dérivé de l fonction A en. Quel lien -t-on étli entre les fonctions A et f sur l intervlle ;. Soyez précis dns votre réponse. Surfce délimitée pr deu coures On considère deu fonctions continues f et g telles que f g sur l intervlle ; L intégrle. A g f d représente l ire, mesurée en unités d ires de l surfce comprise entre : L coure représenttive de f, L coure représenttive de g, Les deu droites et. Eemple : on représenté ci-dessus les fonctions f et g définies pr f ² et g ² 6. Déterminer l ire comprise entre les deu coures sur l intervlle ;. Activités Pge

11 Vdouine Terminle S Cpitre 4 Intégrtion Domine délimité pr deu coures On considère l fonction définie sur ln ; pr : f. Déterminer les limites de f u ornes de son ensemle de définition.. Etudier les vritions de l fonction f sur ;. Clculer 3. Montrer que l fonction F définie pr F ln ln f. est une primitive de l fonction f. Montrer que l fonction F est strictement croissnte sur l intervlle ;. F 4. Montrer que l éqution e dmet une unique solution dns l intervlle ; dont vous proposerez un encdrement d mplitude. Soit g et les fonctions définies sur ; pr : g et ln. Sur le grpique ci-contre on représenté dns un repère les coures C et C. g. Déterminer les coordonnées du point A, intersection de l coure C vec l e des scisses.. Justifier que les coordonnées du point P, intersection de C g et de 3. On note S l ire du domine délimité pr les coures C g, respectives C sont ;. C et les droites d équtions e et (domine grisé sur le grpique). Eprimer l ire S à l ide de l fonction f étudiée dns l prtie A. Montrer que S e. 4. Soit t un nomre réel de l intervlle ;. On note R t l ire du domine délimitée pr les coures C g, C et les droites d équtions respective t s et t (domine curé sur le grpique). On souite déterminer une vleur de t pour lquelle Montrer que R t ln t ln t t. Conclure. S R. t Activités Pge

12 Vdouine Terminle S Cpitre 4 Intégrtion Une propriété dmise Soit S z l ire de l section d un solide pr un pln prllèle u pln. On dmettr dns cette ctivité y, de côte z telle que z que le volume du solide est donné pr le clcul suivnt : V S z dz Volume d une spère Le ut du trvil ci-dessous est de retrouver le volume de l spère de centre O et de ryon R. Pour tout z tel que R z R on pose z ON et on considère le disque, section de l spère pr un pln orizontl de uteur z. N M. Eprimer l longueur MN ryon du disque en fonction de R et z. O. En déduire l ire Sz de l surfce du disque. 3. Ecrire le volume de l spère sous l forme d une intégrle dont vous clculerez l vleur. Volume d un cône de révolution Le ut du trvil ci-dessous est de retrouver le volume du cône de révolution de uteur et de se un disque de ryon R. Pour tout z tel que z on pose z ON et on considère le disque, section du cône pr un pln orizontl de uteur z. H. Justifier l églité HN MN. HO OA. Eprimer lors l longueur MN en fonction de R, et z. 3. En déduire l ire Sz de l surfce du disque. N M 4. Ecrire le volume du cône sous l forme d une intégrle dont vous clculerez l vleur. B O A Activités Pge

13 Vdouine Terminle S Cpitre 4 Intégrtion Activités Pge 3

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