Introduction à l étude du mouvement des satellites artificiels. 1. Introduction et forces en présence. 1.1 Principes fondamentaux de la mécanique

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1 Intoducton à l étude du mouvement des satelltes atfcels Davd Sénéchal Dépatement de physque et Cente de echeche en physque du solde Unvesté de Shebooke, Shebooke (Québec) JK R (veson 7/6/98) Table des matèes. Intoducton et foces en pésence Pncpes fondamentaux de la mécanque Los de consevaton Le champ de gavtaton teeste L nfluence des autes astes L effet de tanée Le poblème de Keple Démonstaton des tos los de Keple Vtesse de l objet en obte Éléments d une obte ellptque Équaton de Keple Sommae des elatons mpotantes La théoe des petubatons La méthode de vaaton des constantes Exemple smple : l oscllateu anhamonque Les cochets de Lagange Les petubatons causées pa la fome aplate de la Tee Les petubatons causées pa la taînée atmosphéque Réféences Intoducton et foces en pésence. Pncpes fondamentaux de la mécanque La mécanque est l étude du mouvement des cops, de ses causes comme de sa fome pécse. Les pncpes fondamentaux de la mécanque ont été synthétsés pa Newton l y a tos sècles, mas pluseus théoes mathématques fomelles ont été ensute fomulées su ces pncpes, notamment pa Eule, Lagange, Hamlton et Jacob. Pa mécanque céleste, on entend plus patculèement l étude du mouvement des astes. L astodynamque est, quant à elle, l étude du mouvement des engns spataux. Ben sû, l astodynamque epose su la mécanque céleste, qu elle epose su la mécanque en généal. Les pncpes de base de la mécanque sont souvent énoncés sous la fome des tos los de Newton :. Tout objet su lequel n agt aucune foce se déplace à une vtesse constante en gandeu et en decton.. L accéléaton d un objet est popotonnelle à la foce applquée et dans la même decton que celle-c : F = ma, où m est la masse de l objet. 3. S un objet A exece une foce F AB su un objet B, alos l objet B exece la même foce, mas opposée, su l objet A : F BA = F AB. C est la lo d acton-éacton. Ces los sont en fat plus subtles que leu fomulaton couante peut lasse coe :. L état de mouvement d un objet est avant tout une queston de éféentel, c est-à-de du système d axes en mouvement utlsé pou déce le mouvement des objets. La pemèe lo de Newton est essentellement la défnton d un éféentel netel : un éféentel netel est tel qu un objet qu ne subt aucune foce (l déalsaton d un objet extêmement élogné des autes objets) se déplace à vtesse constante. S l obsevateu se place dans un éféentel non netel (ou accéléé), pa exemple un éféentel en otaton, alos les los du mouvement dovent ête modfées pou ncopoe ce qu on appelle des foces d nete, comme la foce centfuge, la foce de Cools, etc.. La deuxème lo de Newton (F = ma) n a de sens que s on défnt la foce F en foncton des dstances et vtesses elatves des dfféents objets en cause. Elle ne consttue pas une défnton de la foce, mas l énoncé de son effet. 3. L un des dffcultés mpotantes pou les étudants de la mécanque est la natue vectoelle des los du mouvement. Ce fut auss une des pncpales dffcultés encontées los de l élaboaton de ces los au XVIIe sècle. Pa exemple, un objet en mouvement cculae unfome de ayon possède une vtesse constante en gandeu, mas pas en decton; donc cet objet est accéléé et son accéléaton est a = (v /)ˆ, où ˆ est le vecteu untae dans la decton adale à pat de l ogne.

2 Les los du mouvement déctes plus haut ne sont fomulées que pou une patcule ponctuelle. Pou des objets plus complexes, composés d un gand nombe de patcules (comme une planète ou un satellte, pa exemple), on applque ces los à chaque patcule composant l objet. Cependant, les los de Newton estent applcables à l objet dans son ensemble s la poston de l objet sgnfe la poston de son cente de masse : cm = m (.) Un objet macoscopque peut auss ête affecté d un mouvement de otaton su lu-même, de vbaton, d écoulement, etc. En pncpe, les condtons de ces mouvements sont dctées pa les los de Newton. Détemnsme classque La deuxème lo de Newton F = ma consttue un ensemble de tos équatons dfféentelles couplées pou la poston d une patcule, où l on suppose que la foce F est une foncton de la poston et, à la gueu, de la vtesse de la patcule. La soluton de ce système d équatons dfféentelles est détemnée unquement pa 6 condtons ntales, sot les tos composantes de la poston ntale et les tos composantes de la vtesse ntale. Le teme ntal éfèe c à une époque donnée, un temps de éféence t 0. Dans le cas d un satellte, les sx condtons ntales consttuent les éléments de l obte. S l y a plus d une patcule en jeu (c est-à-de s le mouvement de la patcule affecte le mouvement des autes objets pésents), alos l faut applque F = ma à chacune des N patcules en jeu, ce qu mène à 3N équatons dfféentelles du deuxème ode couplées, nécésstant la donnée de 6N condtons ntales. Une fos ces condtons spécfées, l aven du système est complètement détemné : c est le détemnsme classque. Notons que ce n est qu un détemnsme de pncpe et non patque, ca beaucoup de systèmes mécanques ont un compotement chaotque, ce qu fat que d nfmes vaatons dans les condtons ntales peuvent avo de tès gandes conséquences à long teme.. Los de consevaton L analyse de poblèmes mécanques est beaucoup smplfée pa l exstence de los de consevaton, ésultant généalement de symétes : homogénété de l espace, du temps, sotope de l espace, etc. Consevaton de l énege La plus connue de ces los est la consevaton de l énege. En mécanque, ce pncpe de consevaton n est utle qu en l absence de pocessus dsspatfs (de type fottement) ca autement les fomes mcoscopques d énege (la chaleu) dovent ête consdéées. La consevaton de l énege demande que les foces en pésence pussent ête dévées d un potentel, c est-à-de Ou qu elles soent pependculaes à la vtesse, comme la foce magnétque su une patcule chagée électquement. m 3 4 qu elles soent les gadents d une foncton : F = U() ou F x = U x,f y = U y, F z = U z (.) C est le cas des foces fondamentales, dont la gavtaton. Sous l nfluence d une telle foce, la vtesse d une patcule change, mas l énege totale, défne comme E = mv + U(), (.3) este constante. Pou démonte ce fat, l sufft de véfe que la dévée pa appot au temps de E s annule losqu on applque la deuxème lo de Newton : de dt = d ( ) dt mv + U() = mv dv d (.4) + U() dt dt = v (ma F) = 0 Le peme teme ( mv ) est appelé énege cnétque et le second (U()) énege potentelle. Consevaton du moment cnétque Le moment cnétque d une patcule est défn comme J = m v (.5) où symbolse le podut vectoel. Le moment cnétque est consevé dans le temps s la foce qu agt su la patcule est centale, c est-à-de toujous dgée ves l ogne (le cente d attacton). En effet, en vetu de la ègle d enchaînement, dj dt = m d dv v + m = mv v + m a = 0 (.6) dt dt Le peme teme s annule dentquement et le deuxème s annule s la foce est centale, c est-à-de s a est paallèle à. La consevaton du moment cnétque est tès mpotante dams l étude du poblème à deux cops ca elle est à la base de la deuxème lo de Keple..3 Le champ de gavtaton teeste La foce de gavté La foce domnante dans le mouvement des astes et de tous les objets macoscopques suffsamment élognés les uns des autes est la foce de gavté, fomulée pa Newton : deux objets de masses m et m execent l un su l aute une foce d attacton dgée selon la dote qu les ele,

3 popotonnelle au podut de leus masses et `a l nvese du caé de la dstance qu les sépae : F = G m m ˆ = G m m ( 3 ) (.7) où F : foce execée su l objet pa l objet. m, m : masses des objets et. : dstance ente les objets et. ˆ : vecteu unté dgé de l objet ves l objet. G: constante de Cavendsh (6, 67 0 Nm /kg ). La caactéstque fondamentale de la foce gavtatonnelle est qu elle est popotonnelle à la masse de la patcule qu subt la foce, de sote que l accéléaton de cette patcule est la même quelle que sot sa masse. Ans, l accéléaton d une patcule de masse m stuée au pont et mse en pésence de masses ponctuelles m ( =,,...) dont les postons sont est g = G m 3 ( ) (.8) Cec end compte du fat que tous les objets tombent de la même manèe, quelle que sot leu masse, s seules les foces gavtatonnelles sont en cause. C est auss la base du pncpe d équvalence d Ensten, qu lu pemt d élaboe la théoe de la elatvté généale. L accéléaton g causée pa une dstbuton de masse est appelée le champ gavtatonnel de cette dstbuton. La foce gavtatonnelle est consevatve, c est-à-de qu elle déve d un potentel. En effet, on monte faclement que ( 3 )= 5 (.9) et donc l énege potentelle d une masse m en pésence d une dstbuton de masses m ( =,,...) est U() = Gm m (.0) On défnt un potentel gavtatonnel V qu ne compend pas le facteu m, de sote que le champ gavtatonnel est g = V : V () = U m = G m (.) 6 Le potentel gavtatonnel d une planète aplate La fomule (.7) ne vaut a po que pou des patcules ponctuelles. Mas Newton a auss démonté qu un objet dont la masse est épate avec syméte sphéque podut un champ gavtatonnel comme s toute sa masse état concentée en son cente. En pemèe appoxmaton, le champ gavtatonnel teeste g est donc g()= GM ˆ (.) où M est la masse de la Tee et est la dstance au géocente. Le potentel gavtatonnel coespondant est V () = G M (.3) Comme la Tee n est qu appoxmatvement sphéque, son champ gavtatonnel compote des coectons qu vaent en foncton de comme / 3, / 4, etc, accompagnées de dépendances angulaes. Ces coectons petubent consdéablement l obte ellptque des satelltes atfcels. En foncton de la densté ρ() de la Tee à une poston à l ntéeu de la Tee, le potentel gavtatonnel V () à l extéeu de la Tee s expme comme une ntégale : V () =G d 3 ρ( ) (.4) En substtuant le célèbe développement en hamonques sphéques = ( ) 4π l Ylm l + (θ,ϕ )Y lm (θ, ϕ) (.5) l,m on touve V () =G l,m 4π l + Y l+ lm (θ, ϕ) d 3 ρ( )( ) l Y lm (θ,ϕ ) (.6) où θ et ϕ sont espectvement les angles polae et azmutal (θ est mesué à pat du pôle). Supposons toutefos que la Tee a une syméte azmutale, c est-à-de qu elle possède une axe de syméte de otaton : son axe polae. En coodonnées polaes, cec sgnfe que sa densté ntene ρ(, θ) ne dépend que de la coodonnée adale et de l angle polae θ. Dans ce cas, seuls les temes avec m = 0 contbuent. Comme l + Y l0 (θ, ϕ) = 4π P l (cos θ) (.7) où P l (x) est le polynôme de Legende d ode l, on touve V () =G P l (cos θ) d 3 ρ(,θ )P l+ l (cos θ ) (.8) l=0

4 Sgnalons qu on peut auss utlse la déclnason δ (mesuée à pat de l équateu), telle que sn δ = cos θ. Rappelons auss la fome explcte des pemes polynômes de Legende ; P 0 (t) = P (t) =t P (t) = (3t ) P 3 (t) = (5t3 3t) 7 (.9) Remaques :. Le peme teme de cette sée (l = 0) epésente la contbuton d une Tee pafatement sphéque et est de lon le plus mpotant : V (l=0) = G d 3 ρ(,δ )= GM (.0). Le deuxème teme (l = ) est nul s on place l ogne des coodonnées au cente de masse de la Tee. 3. Le tosème teme (l = ) déct l aplatssement de la Tee : V (l=) = G(3 sn δ ) 3 d 3 ρ(,δ )(3 sn δ ) (.) on vot que s la Tee est aplate, cette contbuton est négatve (elle seat postve s la Tee état alongée). 4. Le quatème teme (l = 3) déct l asyméte de la Tee ente les hémsphèes nod et sud. Pou smplfe, on éca le potentel gavtatonnel de la Tee comme [ V = µ ( ) ( ) 3 R R J P (sn δ) J 3 P 3 (sn δ) ] (.) où les coeffcents J n sont sans dmenson (sans untés), R est le ayon moyen de la Tee et µ = GM. J est de l ode de 0 3, alos que J 3 est plutôt de l ode de L nfluence des autes astes À pemèe vue, l peut semble cueux de ten compte des effets de la fome aplate de la Tee (en patcule de J 3, qu est tès pett) su le mouvement d un satellte et de ne pas ten compte de l nfluence des autes astes, en patcule du Solel et de la Lune. En effet, le champ gavtatonnel du Solel à la poston de la Tee est envon g 0, où g 0 est le champ gavtatonnel de la Tee à sa suface (9,8 m/s ). Cet effet semble donc plus 8 mpotant que celu de J 3. Aute paadoxe: le cente de masse Tee-Lune est stué à l ntéeu de la Tee, mas à envon km de son cente (les /3 de son ayon). La Tee toune donc autou de ce pont en un mos. Pouquo alos accode une mpotance patculèe au géocente? D autant plus que ce même cente de masse Tee-Lune est en obte autou du Solel et se déplace donc à une vtesse consdéable... Ces soucs sont cependant njustfés, ca un satellte subt du Solel et de la Lune le même champ gavtatonnel que la Tee, à peu de choses pès. C est ce peu de choses qu l faut défn. La dfféence ente le champ gavtatonnel causé pa un aste au cente de la Tee et le même champ à la poston du satellte est appelée foce de maée. C est effectvement cette dfféence qu cause les maées et son effet su un satellte en obte est assez fable, quoque cossant apdement avec le ayon de son obte. En somme, plus le satellte est élogné de la Tee, mons les petubatons assocées à l aplatssement de la Tee sont mpotantes et plus celles causées pa les autes astes sont mpotantes. Tableau. Calcul de la foce de maée causée pa le Solel, la Lune et Jupte, su un objet stué à la suface de la Tee. aste dstance (m) masse (kg) g/g 0 foce de maée Solel, , 0 4, Lune 3, , 3 0 4, , 0 8 Jupte 7, 8 0, 9 0 7, 0 8, L effet de tanée L effet de tanée de la haute atmosphèe est le facteu pncpal qu fat pede au satellte son énege et qu le fat éventuellement s écase su la Tee ou se désntége dans l atmosphèe. Cet effet est dffcle à déce en détal ca l dépend de la fome pécse du satellte, de son oentaton et de la densté de l atmosphèe qu, elle, dépend de l alttude. Cependant, l est elatvement smple de démonte qu un objet se déplaçant dans un gaz elatvement aéfé au epos subt une foce de ésstance (povenant des collsons avec les molécules du gaz) popotonnelle à la densté du gaz, au caé de la vtesse de l objet et à la secton (ae tansvesale) du satellte. On déct cette foce pa l équaton suvante : F = C D Aρv (.3) où C D est un coeffcent sans dmenson, qu dépend sutout du lbe pacous moyen l des molécules de l atmosphèe (C D = quand l est gand en compaason de la talle du satellte et C D = dans le cas contae).

5 . Le poblème de Keple. Démonstaton des tos los de Keple Énoncé des los de Keple Dans l hstoe de la mécanque, le poblème de Keple, c est-à-de le calcul de l obte d une patcule sous l nfluence d une foce centale en nvese du caé de la dstance, occupe une place tès mpotante. L astonome allemand Johannes Keple énonça tos los qu potent son nom en 609 (los I et II) et 68 (lo III), su le mouvement des planètes du système solae :. Les planètes décvent des obtes ellptques dont le Solel occupe l un des foyes.. En des temps égaux, les ayons des planètes balaent des aes égales (lo des aes). 3. Le appot du caé de la péode au cube du dem gand axe de l ellpse (T /a 3 ) est le même pou toutes les planètes. Keple pavnt à énonce ces los à pat de l obsevaton seule : ce sont des los empques. C est Newton qu va démonte mathématquement, ves 686, que les tos los de Keple découlent des los généales du mouvement et de la foce de gavté en nvese du caé de la dstance (/ ). D F C Fgue.. Illustaton de la lo des aes pou une obte ellptque. Le foye F est à l ogne. Les aes des secteus AFB et CFD sont égales, s les temps pou alle de A à B et de C à D sont égaux. Nous allons nous ntéesse au mouvement d un objet ponctuel de masse m, se déplaçant dans le champ gavtatonnel d un aste de masse m podusant un champ gavtatonnel à syméte sphéque (on lasse tombe J, J 3, etc.). On supposea que m m, de sote que l aste est à toutes fns patques fxe. Nous allons démonte les tos los de Keple pou ce système, plus cetanes autes caactéstques du mouvement de l objet. Pemèement, plaçons le cente d attacton (.e. le géocente) à l ogne des coodonnées. Pusque la foce execée su l objet est centale, le moment cnétque J = m v de l objet est constant, ce qu sgnfe que l objet se B A 9 0 déplace toujous dans le plan pependculae à J (sa poston et sa vtesse sont constamment pependculaes à J). Ce plan est appelé plan obtal. Utlsons su ce plan les coodonnées polaes planes (, ϕ). La vtesse d un objet se décompose alos de la manèe suvante : v =ṙˆ + ϕ ˆϕ (.) où ˆ et ˆϕ sont les vecteus untaes dans les dectons adale et azmutale espectvement. Comme la poston de l objet est = ˆ, le moment cnétque s expme alos ans : J = mˆ (ṙˆ + ϕ ˆϕ) =m ϕẑ = mhẑ (h = ϕ) (.) D aute pat, en posant µ = Gm, l énege totale de l objet est E = mv µm = m(ṙˆ + ϕ ˆϕ) µm = mṙ + m ϕ µm = mṙ + m h µm (.3) où nous avons expmé le deuxème teme en foncton de la constante du mouvement h. Comme E et h sont des constantes (elles ne dépendent que des condtons ntales du mouvement), l est utle d sole ṙ, dans le but d obten une expesson ntégable pou : E ṙ = m + µ h (.4) Dans un peme temps, nous allons détemne la fome de l obte, sans se souce de détemne à quel nstant telle pate de l obte est pacouue. Autement dt, nous allons élmne le temps du poblème. À cette fn, nous expmons la dfféentelle d en foncton de dt et des constantes du mouvement E et h: d dt = E m + µ (.5) h emaquons ensute que On peut donc éce (.5) ans : h = ϕ = dt = dϕ (.6) h d dϕ = E 4 mh + µ3 h (.7)

6 Notons que la quantté h /µ a les untés d une longueu. Défnssons ensute la vaable u h /µ, telle que du = µu d/h. La elaton (.7) devent P du dϕ = h E +u u mµ (.8) aphéle F a c ϕ F péhéle Il est mantenant possble de compléte le caé fguant au dénomnateu : b on touve alos où on a défn h E mµ +u u = (u ) + + h E mµ (.9) du dϕ = (.0) e (u ) e + Eh µ m L ntégale se fat mantenant faclement : (.) ( ) u ϕ = accos + ω (.) e où ω est une constante d ntégaton. On peut alos éce u = + e cos(ϕ ω) = (ϕ) = h /µ +e cos(ϕ ω) (.3) Il s agt là de l équaton d une secton conque (ou smplement, d une conque) en coodonnées polaes, avec l ogne au foye. Rappelons qu une conque est la coube d ntesecton d un cône avec un plan. Le paamète e est appelé excentcté. S 0 e<, la conque est une ellpse (un cecle s e = 0); s e>, l s agt d une hypebole à deux banches; s e =, l s agt d une paabole. Fgue.. Descpton d une ellpse en coodonnées polaes (, ϕ), avec l un des foyes (F ) comme ogne. Le dem gand axe a, le dem pett axe b et c = ea sont ndqués. On a posé ω = 0. Coespondance avec les coodonnées catésennes Pou démonte que l éq. (.3) déct ben une ellpse, une paabole ou ou hypebole, nous devons compae cette équaton à l expesson plus connue de ces coubes en coodonnées catésennes. À cette fn, posons ω = 0 pou smplfe, écvons cette équaton comme = 0 e cos ϕ (ou 0 = h /µ) et substtuons les coodonnées catésennes x = cos ϕ et y = sn ϕ: ou encoe = 0 ex = = x + y = 0 + e x 0 ex (.4) x ( e ) + 0 ex + y = 0 (.5) Complétons le caé de l expesson en x : ( ( e ) x + e ) 0 e + y = 0 + e e 0 = 0 e (.6) Défnssons mantenant la coodonnées x obtenue de x pa une tanslaton de c = e 0 /( e ): x = x + c c = e 0 e (.7) L équaton de la coube se amène alos à x 0 ( e ) + y 0 ( e ) Consdéons manenant les tos cas possbles :. e<. Dans ce cas, on peut défn = (.8) La dfféence ente accos et acsn n est qu une constante (π/). Il est conventonnel d utlse accos c. a = h /µ e b = h /µ e c = ae = a b (.9)

7 3 4 et l équaton de la coube coespond ben à celle d une ellpse centée en x = 0, y = 0 : x a + y b = (.0) Le paamète a est alos le dem gand axe de l ellpse et b est le dem pett axe. En patcule, s e = 0, la coube est un cecle de ayon a = b.. e>. On défnt plutôt F ϕ F a = h /µ e b = h /µ e (.) et l équaton de la coube coespond ben à celle d une hypebole à deux banches centée en x = 0, y = 0 : x a y b = (.) L hypebole admet une asymptote à un angle ϕ = ±accos( /e) pa appot au foye. 3. e =. Il s agt du cas lmte ente une ellpse et une hypebole. On ne peut utlse l éq. (.8) dectement ca on y a dvsé pa e. Retounons plutôt à l expesson (.5). On touve alos x = y (.3) C est l équaton d une paabole, tounée d un angle dot pa appot à sa défnton habtuelle (x en foncton de y au leu du contae). L ogne x = y = 0 est le foye de la paabole. C est l énege de l objet qu détemne le type de tajectoe suv :. S l énege de l objet est négatve (E < 0), alos l excentcté e est plus pette que et la tajectoe de l objet est ellptque avec le cente d attacton à l un des foyes. C est pécsément la pemèe lo de Keple. Notons que l énege de l objet peut s expme en foncton de a seulement : E = mµ (.4) a. S l énege est postve (E >0), alos l excentcté est plus gande que et la tajectoe est hypebolque. La patcule ne pacout qu une seule banche de l hypebole, avec une asymptote à ϕ = ±accos( /e). Vo à cet effet la Fg S l énege est nulle (E = 0), la tajectoe est paabolque. Il est cla que ce cas est une sngulaté mathématque mas on dt qu une comète a une tajectoe paabolque s la mesue des paamètes de son obte mène à une excentcté compatble avec e =, à l ntéeu des mages d eeus. Fgue.3. Descpton d une tajectoe hypebolque en coodonnées polaes, avec un des foyes comme ogne. L aute moté de l hypebole (en pontllé) n est pas pacouue pa l objet. Deuxème lo de Keple La deuxème lo de Keple stpule que le ayon vecteu de l objet balae des aes égales en des temps égaux. Consdéons la poston de l objet à un temps t, ans que sa poston + d à un temps t + dt. En ason du caactèe nfntésmal de dt, l ae balayée pendant ce temps est l ae d un tangle fomé pa les vecteus, + d et d, où d = vdt. L ae de ce tangle est la moté de l ae du paallélogame défn pa et + vdt, qu est donnée pa la gandeu du podut vectoel ( + vdt) = vdt. O, la gandeu de ce vecteu est justement hdt. La vtesse aéolae, c est-à-de l ae balayée pa unté de temps, est donc égale à h/ et est constante. Cec consttue la deuxème lo de Keple, valable pou tout mouvement dans un champ de foce cental, pas nécessaement en /. Tosème lo de Keple La tosème lo de Keple stpule que le caé de la péode de l obte ellptque d une planète est popotonnelle au cube du dem gand-axe, la constante de popotonalté étant la même pou toutes les planètes. La péode de l obte est égale à T = π 0 dt dϕ dϕ = h π 0 (ϕ)dϕ (.5) Mas dϕ est égal à deux fos l ae balayée pa le ayon-vecteu ente l angle ϕ et l angle ϕ + dϕ. On peut donc éce T = ae de l ellpse (.6) h Comme l ae d une ellpse est égale à πab = πh 4 /µ ( e ) 3/, on touve fnalement T = π h 3 π = µ ( e a 3/ (.7) ) 3/ µ

8 S on défnt n = π/t (la vtesse angulae moyenne de l objet, auss appelée mouvement moyen), alos la tosème lo de Keple s éct ans : 5 n a 3 = µ (.8) Le pont mpotant c est que, pou une aste cental donné, le caé de la péode ne dépend que du dem gand axe a et en d aute. Autement dt, toutes les obtes ayant une valeu fxe de a ont la même péode, quelle que sot leu excentcté e.. Vtesse de l objet en obte Les paamètes de l ellpse (le dem gand axe a et l excentcté e) sont détemnés pa l énege totale E et pa h : e = + Eh µ m a = h /µ e (.9) 6 Il est auss utle de connaîte la decton de la vtesse de l objet, pa appot à la decton de son ayon-vecteu. Sot φ l angle ente la vtesse v et le vecteu poston de l objet. Comme la gandeu du podut vectoel est v = v sn φ et connassant la gandeu de v, on en dédut que sn φ = h v = a ( e ) (a ) (.34) Enfn, l angle f ente la poston de l objet et le ayon vecteu du pégée est appelé l anomale vae: f ϕ ω. En foncton de a, l équaton de l obte devent = a( e ) +e cos f.3 Éléments d une obte ellptque (.35) Invesement, nous pouvons expme E et h en foncton de a et e : E = µm a h = µa( e ) (.30) En foncton de ces paamètes, l équaton de l obte (.3) s éct ans : plan obtal obte e (ϕ) =a +ecos(ϕ ω) (.3) Selon cette équaton, le pégée de l obte le pont le plus appoché du cente d attacton se touve à ϕ = ω, sot à une dstance a = a( e) =a c. Pou cette ason, la constante ω est appelée agument du pégée. De même, l apogée le pont le plus élogné se touve à ϕ = ω + π, à une dstance p = a( + e) =a + c. À ces deux ponts le vecteu vtesse est pependculae au ayon vecteu et donc la gandeu du moment cnétque est smplement le podut mv = mh. On obtent donc, pou l apogée et le pégée, espectvement, v a = h a = µ( e) a( + e) v p = h p = µ( + e) a( e) (.3) Plus généalement, la vtesse de l objet se touve faclement en foncton de sa dstance, ca l énege totale est smplement E = mv µm ( et donc v = µ ) a (.33) pont venal Ω ω lgne des noeuds f pégée plan équatoal Fgue.4. Descpton d une obte ellptque dans l espace. Pou spécfe complètement une obte dans l espace, l faut donne non seulement les paamètes a et e, mas auss le plan de l obte et l oentaton de l ellpse dans ce plan. La Fg..4 lluste les paamètes couamment utlsés à cette fn. L nclnason de l obte est l angle ente le plan de l obte et le plan équatoal le plan de l obte teeste (l éclptque) dans le cas d une planète ou le plan de l équateu teeste dans le cas d un satellte atfcel de la Tee. La lgne des noeuds est l ntesecton de

9 ces deux plans. La longtude du noeud ascendant Ω est l angle ente une decton de éféence su le plan équatoal (le pont venal) et la lgne des noeuds, plus pécsément le pont où l obte tavese le plan équatoal ves le haut. L angle ω ente la lgne des noeuds et le pégée de l obte est l agument du pégée. Il faut auss spécfe le moment pécs τ où l objet est passé au pégée (dsons, la denèe fos avant l époque). L ensemble des sx quanttés, Ω, ω, a, e, τ (.36) sont ce qu on appelle les éléments de l obte ellptque et pemettent en pncpe de touve la poston pécse d un objet (planète, astéoïde, satellte, etc.) dans l espace, à tout nstant, du mons dans le cade du modèle à deux cops. Cependant, l faut gade à l espt que les éléments d un obte éelle ne sont pas constants, en ason des petubatons causées pa les autes planètes ou pa d autes objets. Ans, cetans éléments, en patcule ω et Ω, ont des vaatons lentes et pogessves dtes séculaes. On utlse souvent un ensemble dfféent d éléments, dans lequel ω et τ sont emplacés pa ϖ et ε, défns comme sut : ϖ = Ω + ω ε = ϖ nτ (.37) Plus généalement, on défnt la longtude moyenne L comme et la longtude vae l comme L = Ω + ω + n(t τ) =ϖ + M (.38) l = Ω + ω + f = ϖ + f (.39) Donc ε est la longtude moyenne à l époque (c est-à-de à t = 0) et ϖ est la longtude du pégée. Notons que cette longtude est défne de manèe nhabtuelle, en comptant l angle Ω le long de l équateu céleste et l angle ω dans le plan obtal..4 Équaton de Keple L équaton de l ellpse nous donne la dstance en foncton de l anomale vae f, mas pas le temps écoulé depus le passage au pégée. Le temps peut s obten à l ade de l équaton de Keple, que nous allons démonte dans cette secton. On commence pa défn l anomale excentque E, selon la fgue.6: Le cente d attacton étant au foye F et l objet au pont P, taçons un cecle de ayon a concentque à l ellpse et taçons une dote RQ paallèle au pett axe de l ellpse et passant pa le pont P. Cette dote cose le cecle au pont Q. L anomale excentque E est l angle RCQ. On dt auss ascenson dote au leu de longtude. 7 8 Démontons la elaton suvante ente l anomale excentque et l anomale vae : Démonstaton : mas FR = cos f et donc tan E = e +e tan f (.40) FR = CR CF = a cos E ae (.4) cos f = a(cos E e) (.4) D aute pat, en vetu d une popété smple de l ellpse et de son cecle concentque, PR QR = b a = e (.43) donc sn f a sn E = e = sn f = a e sn E (.44) En mettant au caé et en addtonnant le caé de (.4), on touve = a (cos E + e e cos E + [ e ] sn E) = = a( e cos E) Pa une elaton tgonométque standad, et en utlsant (.4) et (.45), sn (f/) = ( cos f) =a( e cos E) a(cos E e) De même, on touve = a( + e)( cos E) = a( + e) sn (E/) cos (f/) = ( + cos f) =a( e cos E)+a(cos E e) = a( e)( + cos E) = a( e) cos (E/) La acne caée du appot des deux denèes équatons donne ben tan f = +e e tan E (.45) (.46) (.47) (.48) Nous allons mantenant démonte l équaton de Keple popement dte. Pa la deuxème lo de Keple, ae(fpa) ae de l ellpse = t τ T (.49)

10 9 0 Comme ae(frp)= sn f cos f, on touve B Q ae(fpa) = sn f cos f + ab(e sn E cos E) a P = a e (cos E e) sn E + ab(e sn E cos E) = ab(e e sn E) (.55) C E F f R A = abm et donc M = E e sn E (.56) Fgue.5. Dagamme explcatf accompagnant l équaton de Keple. où τ est le temps de passage au pégée et T la péode de l obte. Expmé autement, ae(fpa) = πab(t τ) T = abm (.50) où M est l anomale moyenne, le temps écoulé depus le passage au pégée, expmé de manèe angulae, c est-à-de en facton de péode ( π). On éct auss L ae FPA peut se calcule ans : M = n(t τ) (.5) Il s agt de l équaton de Keple, qu nous pemet, en foncton de M (donc du temps t) de calcule E et ensute f (pa l éq. (.40)). Notons que, dans le cas d une obte cculae, les tos anomales (vae, excentque et moyenne) se confondent, mas elles sont toutes les tos dfféentes dans une obte ellptque (anomale est smplement un synonyme d angle dans ce contexte) f E M e = 0, M 3 D aute pat, ae(fpa) = ae(frp) + ae(arp) (.5) ae(arp) = b ae(arq) (.53) a Fgue.6. Soluton numéque de l équaton de Keple pou une excentcté e =0, 9, pésentée pou M [0,π] (la soluton pou M [ π, 0] s obtent pa éflexon : les foncton f(m) et E(M) sont mpaes). On emaque que f vae apdement pès du pégée (M = 0) et lentement pès de l apogée (M = π). ce qu se démonte en dvsant l ae en languettes vetcales nfntésmales. 3 Auss, ae(arq) = ae(acq) ae(rcq) = a E a sn E cos E (.54) 3 Cette technque fat de Keple l un des pécuseus du calcul ntégal. L équaton de Keple (.56) est tanscendante et ne peut ête ésolue que numéquement. Dans le cas de pettes excentctés, la méthode de écuence est la plus ndquée. On éct l équaton de Keple ans : E = M + e sn E (.57) On pocède ensute pa appoxmatons successves, en posant comme pemèe soluton appochée E 0 = M. Ensute, on substtue cette soluton

11 dans l équaton et on ecommence le pocessus. On obtent ans une sute de solutons appochées, qu convege ves la soluton exacte : E 0 = M E = M + e sn E 0 = M + e sn M E = M + e sn E = M + e sn(m + e sn M) etc. (.58) Cet algothme, pa sa natue téatve, est patculèement adapté à une soluton pa odnateu. Un gaphque llustant les valeus elatves de M, E et f est pésenté à la fgue.6. Une expesson de l anomale vae f en foncton de l anomale moyenne M exste auss sous la fome d une sée de Foue dont les coeffcents sont des fonctons de Bessel. On démonte que cos f = e + ( e ) e sn f = e k= k J k (ke) cos(km) k=.5 Sommae des elatons mpotantes d de J k (ke) sn(km) (.59) Résumons c les pncpales elatons dédutes dans ce qu pécède et qu nous pemettent de calcule la poston d un objet en obte ellptque en tout temps : = a( e ) +ecos f (.60) = a( e cos E) (.6) tan E e = +e tan f (.6) M = E e sn E (.63) M = n(t τ) (.64) h = µa( e (.65) ( v = µ ) (.66) a n a 3 = µ (.67) sn φ = a ( e ) (a ) (.68) Les équatons c-dessus nous pemettent de détemne la poston et la vtesse de l objet en obte, connassant les sx éléments (a, e, τ,, ω, Ω). On peut suve les étapes suvantes :. Calcule n en applquant la tosème lo de Keple (.67).. Calcule l anomale moyenne M pa l éq. (.64). 3. Calcule E en ésolvant l équaton de Keple (.63). 4. Calcule en utlsant l éq. (.6). 5. Calcule la poston angulae ω + f de l objet en calculant f pa l éq. (.6). 6. Calcule la vtesse v en utlsant (.66). 7. Calcule la decton de la vtesse en utlsant (.68). 8. Connassant les coodonnées de l objet dans le plan obtal, convet ces données en déclnason et ascenton dote en se sevant de et Ω. 3. La théoe des petubatons Le nombe de systèmes mécanques qu admettent une soluton analytque complète comme le poblème de Keple est tès pett. En généal, l faut avo ecous à des méthodes appoxmatves de soluton. Supposons donc que la foce pa unté de masse agssant su un objet est la somme de deux temes : f = f 0 + f (3.) On suppose que le poblème ég pa la foce f 0 admet une soluton analytque connue, alos que le poblème complet est nsoluble. S la foce f est pette en compaason de f 0 (supposons qu elle est popotonnelle à un pett paamète γ), alos on peut tente d obten une soluton aux équatons du mouvement sous fome d une sée de pussances de γ, dont seuls les pemes temes seont calculés. On appelle théoe des petubatons une méthode qu epose su un tel développement en sée. 3. La méthode de vaaton des constantes Supposons que la soluton exacte du poblème non petubé (foce f 0 ) sot une foncton (t, α ), où les 6 paamètes α sont les éléments de l obte, détemnés pa les condtons ntales (dans ce qu sut, nous consdéons un poblème généal, pas nécessaement du type obtal). La vtesse de l objet s obtent pa dfféentaton et est auss une foncton des paamètes α et du temps : v(t, α ). Les paamètes α sont des constantes s seule la foce f 0 est en acton. Mantenant, s la petubaton f est en acton, la tajectoe peut encoe ête décte pa la foncton (t, α ), à condton de suppose que les paamètes α sont des fonctons du temps. S la petubaton est pette, les α vaent lentement dans le temps. Cette façon de consdée la tajectoe petubée est appelée la méthode de vaaton des constantes ou de vaaton des paamètes (un tte un peu paadoxal). Plus pécsément, l équaton du mouvement pend la fome = f 0 ()+f () (3.)

12 Consdéons la foncton (t, α ) comme un changement de vaables, qu nous fat passe d un système de 3 équatons dfféentelles du deuxème ode pou (t) à un système de 6 équatons dfféentelles du peme ode pou les 6 paamètes α. Dans cette optque, les dévées totales pa appot au temps de et v compotent une pate explcte et une pate mplcte : d dt = t + dv dt = v t + α α v α α 3 (3.3) L une des condtons de ce changement de vaables est que la vtesse ṙ(t) ans calculée coïncde avec la foncton v(t, α ). Cec sgnfe que les paamètes α, à un nstant donné, epodusent fdèlement la vtesse de l objet. Autement dt, s on tent compte de l évoluton tempoelle des α et que la petubaton dspaaît subtement au temps t 0, alos la tajectoe de la patcule aux temps ultéeus sea exactement décte pa la foncton (t, α (t 0 )). On dt alos que les paamètes α décvent en tout temps une obte osculatce à l obte vétable. Mathématquement, cette condton se ésume à ṙ = / t, ou α α = 0 (3.4) obtes osculatces 4 D aute pat, l équaton du mouvement pend la fome dv dt = v t + v α α = f 0 ()+f () (3.5) O, le mouvement non petubé (avec des α constants) est justement une soluton de l équaton v t = f 0 (3.6) Il este donc l équaton v α α = f () (3.7) Les équatons (3.4) et (3.7) foment un ensemble de 6 équatons lnéaes pou les dévées α,équatons qu l est possble de solutonne pa les méthodes matcelles standads afn d sole les α en foncton des α et des paamètes de la petubaton f. Les équatons ésultantes sont exactes, c est-à-de qu aucune appoxmaton n a été fate. On peut les éce sous la fome suvante : α = γf (α j,t) (3.8) où γ est le pett paamète qu caactése la petubaton f. La soluton appoxmatve s obtent en supposant un développement en pussances de γ pou les paamètes α : B A α (t) =α (0) (t)+γα () (t)+γ α () (t)+γ 3 α (3) (t)+ (3.9) On substtue cette sée dans les équatons (3.8), en développant les fonctons f en sée de pussance de γ. On dentfe ensute les pussances semblables de γ de pat et d aute de l équaton et on ntège les elatons qu en ésultent. Cette appoche équvaut à pocéde pa des appoxmatons successves :. On suppose pemèement que les α fguant dans le membe de dote de (3.8) sont constants et on ntège ces équatons pou touve une dépendance tempoelle appochée pou les α.. On substtue cette dépendance tempoelle dans le membe de dote des équatons (3.8) et on ecommence le pocessus. En généal, cette pocédue devent apdement tès loude au-delà du peme ode d appoxmaton et nous allons nous lmte à ce peme ode. 3. Exemple smple : l oscllateu anhamonque Fgue 3.. Illustaton du concept d obte osculatce. L obte vétable pat du pont A et déct une ellpse en pécesson dans le plan de l obte. Les obtes osculatces au ponts A et B sont ndquées en pontllé. Le fat essentel est que ces obtes osculatces sont tangentes à l obte vétable. Pou lluste la méthode de vaaton des constantes, l est péféable de consdée pemèement un poblème plus smple avant de s attaque au poblème d un satellte en obte. Consdéons à cet effet un oscllateu hamonque de féquence ω, petubé pa une foce cubque. Spécfquement, on consdèe un objet se déplaçant en une dmenson, subssant une foce

13 popotonnelle à son déplacement x pa appot à sa poston d équlbe et une petubaton popotonnelle à x 3. L équaton du mouvement pend la fome ẍ + ω x = γx 3 (3.0) La soluton du poblème non petubé (γ = 0) est 5 x(t) =A cos(ωt + φ) (3.) où les deux constantes A et φ sont détemnées pa les condtons ntales (on pose α = A et α = φ). Le mouvement non petubé est qualfé d hamonque pace que l évoluton dans le temps compote une foncton snusoïdale pue (une seule féquence est en jeu). Un exemple patque d un tel système est un pendule smple. L équaton dfféentelle du pendule est ẍ + g sn x = 0 (3.) l où g est l accéléaton gavtatonnelle, l la longueu du pendule et x est l angle ente le pendule et la vetcale. S x est pett, on peut fae l appoxmaton sn x x et le pendule est hamonque, avec un féquence ω = g/l. S on dése une melleue appoxmaton, on conseve un teme de plus dans la sée : sn x x 6 x3 et on touve ce qu est ben de la fome (3.0). ẍ + ω x = 6 ω x 3 (3.3) La méthode de vaaton des constantes consste à confée une dépendance tempoelle aux paamètes A et φ. Les équatons (3.4) et (3.7) ont c la fome suvante : ω Ȧ cos(ωt + φ) φa sn(ωt + φ) = 0 Ȧ sn(ωt + φ) ω φa cos(ωt + φ) =γa 3 cos 3 (ωt + φ) En solant A et φ, on touve Ȧ = γ ω A cos 3 (ωt + φ) sn(ωt + φ) φ = γ ω A cos 4 (ωt + φ) (3.4) (3.5) En pemèe appoxmaton, on emplace A et φ dans le membe de dote de (3.5) pa leus valeus constantes A 0 et φ 0. Ensute, on éct ces équatons en pocédant aux smplfcatons évdentes : Ȧ = γ d 4ω A 0 dt cos4 (ωt + φ 0 ) φ = γ { 3 ω A cos[(ωt + φ 0 )] + } (3.6) 8 cos[4(ωt + φ 0 )] 6 La soluton à ces équatons est A(t) =A 0 γa [ 0 cos 4 4ω (ωt + φ 0 ) ] φ(t) = γa 0 ω { 3 8 ωt + 4 sn[(ωt + φ 0 )] + 3 sn[4(ωt + φ 0 )] + const. (3.7) Les constantes sont choses de sote que A(0) = A 0 et φ(0) = φ 0. On constate que la soluton compote des temes oscllants elatvement apdement : ce sont des vaatons à cout teme. La soluton pou A compote auss une valeu moyenne dfféente de la valeu non petubée : ( A = A γ A ) 0 ω } (3.8) Le plus ntéessant dans cette soluton est que φ(t) compote un teme qu augmente lnéaement avec le temps et qu se supepose à des oscllatons péodques. Cette vaaton monotone de φ est qualfée de séculae. La féquence effectve de l oscllateu sea alos ( ω = ω 3 ) 8 γ A 0 ω (3.9) Avant de qutte cet exemple, evenons au cas du pendule. La pemèe coecton anhamonque dans ce cas est γ = 6 ω. La féquence cogée est donc ( ω = ω A 0 6 et la péode cogée T =π/ω est, au deuxème ode en A 0, T = T ) ( ) + A 0 6 La péode augmente donc avec l ampltude. (3.0) (3.) Cette dénomnaton povent des longues péodes de temps nécessaes à la mse en évdence de ces vaatons en astonome. La péode d un pendule smple dépend donc de l ampltude de l oscllaton, sauf dans la lmte des pettes ampltudes (on dt que le pendule smple n est pas sochone). En pncpe, le calcul que nous venons d effectue démonte qu une hologe gand-pèe devat pende de l avance losque son mouvement s épuse. En effet, dans ce cas, son ampltude dmnue pogessvement et sa péode également (la péode augmente avec l ampltude).

14 3.3 Les cochets de Lagange Tès souvent, la foce de petubaton f peut ête dévée d un potentel petubateu F : f = F. Les équatons (3.4,3.7) pennent alos la fome α α =0 Défnssons mantenant les cochets de Lagange : v α α = F {α,α j } = v v (, v) = {α α α j α j α j,α } = (α,α j ) Comme, pa la ègle d enchaînement, on a v α = F α α j α j et 7 (3.) (3.3) v α =0, (3.4) α j α on peut éce les équatons (3.4,3.7) sous une fome plus smple : Cette équaton peut ête ésolue pou les dévées α. {α j,α } α = F α j (3.5) L utlté de cette pocédue est que les cochets de Lagange peuvent ête calculés elatvement faclement (l y a des tucs!). Pemèement, on démonte faclement qu ls ne dépendent pas du temps. En effet, pou deux éléments p et q, on calcule que t {p, q} = t p v q + p v t q t q v p q v t p = v p v q + F p q v q v p q F q = F p q F q p =0 (3.6) Cette popété nous pemet de calcule les cochets de Lagange à l nstant le plus favoable au calcul (au passage au pégée, pa exemple). D aute pat, les cochets de Lagange ont des popétés smples losqu on pocède à des otatons d axes, ce qu pemet faclement de passe d un système où les axes de l ellpse sont (x, y) au système conventonnel. Ans, une otaton d angle Ω pa appot à l axe z affecte le cochet de Lagange ans : {p, q} = {p, q} + (Ω,h) (3.7) (p, q) 8 où le cochet pmé fat éféence aux coodonnées (x,y,z ) elées aux coodonnées (x, y, z) pa une otaton : x = x cos Ω y sn Ω y = x sn Ω + y cos Ω z = z (3.8) S on pocède ensute à une aute otaton, d angle, ves des coodonnées (x,y,z ) telles que le plan (x,y ) coïncde avec le plan obtal, on touve {p, q} = {p, q} (3.9) Enfn, on pocède à une otaton d angle ω, ves des coodonnées (x,y,z ) telles que le pégée est le long de l axe x. On touve {p, q} = {p, q} + (ϖ Ω,G) (p, q) G = µa( e ) (3.30) Mantenant, un calcul explcte effectué au pégée dans le plan (x,y ) monte que {p, q} (ε ϖ, K) = K = µa (3.3) (p, q) Donc où {p, q} = (ε ϖ, ) (p, q) + (ϖ Ω, ) (p, q) + (Ω,h) (p, q) (3.3) K = µa G = K e h = G cos (3.33) Le calcul des cochets de Lagange petnents est ensute elatvement smple : {ε, a} = na [ {ϖ, a} = na ] e {Ω,a} = na e ( cos ) {ϖ, e} = na e e {Ω,e} = na e ( cos ) e {Ω,} = na e sn L équaton (3.5) peut ensute ête écte et tempoelles des éléments : 3 da dt = F na ε 3 Vo Ref. [3], p. 84. (3.34) ésolue pou les dévées (3.35a)

15 de e dt = [ na ] F e e e ε F na e ϖ d dt = tan(/) ( F na e ε + F ) ϖ na e sn dε dt = F [ e na a + e ] F na e e + dϖ e dt = F na e e + tan(/) F na e dω dt = F na e sn F Ω 9 (3.35b) (3.35c) tan(/) na e F (3.35d) (3.35e) (3.35f) S on utlse comme vaables les éléments ω et χ = nτ au leu de ϖ et ε et qu on expme χ en foncton de l anomale moyenne M, on obtent plutôt l ensemble d équatons suvant : 4 da dt = F na M de dt = e F e na e M F na e ω d dt = cos F na e sn ω F na e sn Ω dω dt = F na e sn dω dt = cos na e sn dm = n e F dt na e e na F + F a e na e 3.4 Les petubatons causées pa la fome aplate de la Tee F e (3.36a) (3.36b) (3.36c) (3.36d) (3.36e) (3.36f) Consdéons mantenant le mouvement d un satellte atfcel autou de la Tee, petubé pa l aplatssement de la Tee. Le potentel gavtatonnel de la Tee, en tenant compte des coeffcents J et J 3, est expmé comme V 0 F, où V 0 = µ [ F = µ J ( R La foce pa unté de masse est alos 4 Vo Ref. [], p.. ) ( ) 3 R P (sn δ)+j 3 P 3 (sn δ)] (3.37) f = f 0 + f f 0 = V 0 f = F (3.38) 30 On peut dès los s engage dans la méthode de vaaton des constantes, c est-à-de la soluton des équatons (3.4) et (3.7), où les sx paamètes α sont les sx éléments (.36). Il est cependant coutume d utlse comme éléments l ensemble, Ω, ϖ, a, e, ε (3.39) Pou pouvo utlse les équatons (3.5), l faut expme le potentel F en foncton des sx éléments et du temps t, ou du mons ête en mesue de calcule ses dévées pa appot aux éléments. Le potentel petubateu F peut ensute ête expmé en foncton des coodonnées et f pa l ntemédae de la elaton sn δ = sn sn(f + ω) (3.40) Ensute, on peut élmne la coodonnée en utlsant l équaton de l ellpse a +ecos f = (3.4) e On peut auss utlse l anomale vae f au leu du temps t comme vaable ndépendante, en vetu de la elaton dt = dt dt dm dm = dm dm df df = ( ) df (3.4) n a e On touve { 3 J F = µ R ( a ) [ 3 a 3 sn + sn cos (f + ω)] J ( 3 R3 a a 4 ) [( sn 3 ) sn(f + ω) 5 ] } 8 sn sn 3(f + ω) sn (3.43) Remaquons que F ne dépend que du temps (à taves f) et des éléments a, e, et ω. Il ne dépend pas explctement de χ (ou de M) ca la petubaton est ndépendante du temps. F ne dépend pas non plus de Ω, ca on a supposé que la Tee avat une syméte de évoluton autou de son axe. Vaatons séculaes On dstngue tos types de vaatons dans les éléments causées pa les petubatons :. Les vaatons séculaes, qu sont lentes et pogessves. Elles povennent de la moyenne dans le temps des équatons (3.36). Les vaatons à cout teme, qu povennent des temes de (3.36) qu dépendent de l anomale vae f, c est-à-de la pate puement oscllante de F. 3. Les vaatons à long teme, qu povennent des pates de (3.36) qu, sans osclle à cout teme (su une péode) dépendent d un élément qu subt une vaaton séculae, comme ω.

16 3 3 Pou obten les vaatons séculaes, l faut calcule la moyenne de F dans le temps, ce qu event à calcule On démonte faclement que ( a F = π π ) 3 = ( e ) 3/ 0 F dm (3.44) pas de vaatons séculaes. En quelque sote, son effet s annule d une moté à l aute de l obte. Cependant, ce teme podut des vaatons péodques lentes de l nclnason et de l excentcté : = J 3 J e = J 3 J ( ) R e cos sn ω a e ( ) R sn sn ω a (3.53) ( a ) 3 ( a ) 3 sn f = cos f =0 ( a ) 4 cos f = e( e ) 5/ ( a ) 4 ( a ) 4 ( a ) 4 sn f = cos 3f = cos 3f =0 (3.45) Les vaatons péodques à cout teme ne seont pas epodutes c, étant donnée la complexté des expessons mplquées. Elles sont epodutes dans l ouvage de Roy [], p. -3 et p Les petubatons causées pa la taînée atmosphéque En substtuant F à F dans (3.36), on obtent alos les changements séculaes suvants pou les valeus moyennes des éléments, en foncton des valeus à l époque : ā = a 0 (3.46) ē = e 0 (3.47) ī = 0 (3.48) ω = ω J R n(5 cos )t 4 p (p a( e )) (3.49) Ω = Ω 0 3 J R ( n cos )t p (3.50) M = M 0 + nt où (3.5) n = n 0 [+ 3 J R ] 4 p (3 cos ) e (3.5) Remaques :. a, e et n ont pas de changement séculae. L aplatssement de la Tee ne peut pas pogessvement change le dem-gand axe de l ellpse, son excentcté ou son nclnason.. L agument du pégée ω pécesse en foncton du temps. Le sens de cette pécesson est dect s <63, 4 et étogade s >63, La longtude de la lgne des noeuds pécesse auss dans le temps, le sens de cette pécesson dépend du sens de pacous de l obte : dect ( <90 ) ou étogade ( >90 ). Pou une obte polae ( = π/), l n y a pas de pécesson, ce qu est évdent étant donnée la fgue symétque que pésente la Tee face au satellte dans ce cas. 4. La péode de l obte est modfée ( n n 0 ). 5. Le paamète J 3, qu caactése l asyméte nod-sud du globe teeste, n appaaît pas dans le potentel petubateu moyen F et ne podut donc Nous avons mentonné plus haut (Eq. (.3)) que la foce de taînée (pa unté de masse) su un satellte en obte peut ête appoxmatvement expmée comme f = C DAρvv (3.54) où v est la gandeu de la vtesse du satellte. Cette foce s exece dans la decton opposée à la vtesse. Dans ce cas, nous ne pouvons applque dectement les équatons (3.36), ca la foce de taînée ne déve pas d un potentel F. Cependant, la méthode des petubatons s applque quand même. S l accéléaton petubatce est dgée dans la decton opposée à la vtesse et que sa gandeu est T (donc T = f ), alos on monte que les éléments de l obte ont les vaatons suvantes au peme ode en T : da dt = T n +e +ecos f e de dt = T e cos f + e na +e +ecos f d dt = 0 dω dt = 0 dϖ dt = T e sn f nae +e +ecos f { dε dt = T na e( e ) sn f +e +ecos f e + e +ecos f } (3.55a) (3.55b) (3.55c) (3.55d) (3.55e) (3.55f) Notons que dans ce cas, l nclnason et la longtude de la lgne des noeuds Ω ne sont pas affectées pa la petubaton.

17 Il est péféable d expme la vaaton non pas en foncton du temps, mas en foncton de l anomale vae f. Encoe une fos, la conveson ente les deux s effectue gâce à la elaton dt df = h = ( e ) 3/ n( + e cos f) Dans le cas de la foce de taînée, T = C D Aρv et l faut expme v en foncton des éléments : ( v = µ ) = n a a e ( + e +ecos f) (3.56) On ave enfn aux elatons suvantes : ( ) da A df = C m D ρa ( + e +ecos f) 3/ (3.57a) ( + e cos f) ( ) de A df = C m D ρa( e ) ( + e +ecos f) / (cos f + e) (3.57b) ( + e cos f) ( ) dϖ A df = C m D ρ a( e ) ( + e +ecos f) / sn f (3.57c) e ( + e cos f) ( ) dε A df = C m D ρae( e ) ( + e +ecos f) / ( + e cos f) { e + e +e cos f } sn f 33 (3.57d) Remaques :. La densté ρ dépend de la dstance. On peut asonnablement suppose qu elle dmnue exponentellement avec l alttude R. De toute manèe, l sufft de emplace ρ pa une foncton appopée ρ(), où = a( e )/( + e cos f).. Les dévées de ϖ et ε sont des fonctons mpaes de f, en ason du facteu sn f. Donc l ntégale des vaatons de ε et ϖ est nulle su un cycle complet : l n y a pas de vaaton séculae. On peut donc néglge ces vaatons, ca elles sont de toute manèes pettes. En patcule, l agument du pégée ω n est pas affecté pa la foce de taînée (l ellpse osculatce ne pécesse pas). Cec est dû essentellement au fat que cette foce est tangentelle à l obte. 3. Pa conte, les vaatons de a et de e sont en moyenne négatves, c est-à-de que a et e dmnuent égulèement. Cec mplque que l oentaton de l ellpse dans l espace et dans le plan obtal este sensblement la même au cous du temps, mas que les pégée et apogée dmnuent dans le temps, ce dene plus apdement que le peme Dans l appoxmaton de tès pettes excentctés (obte pesque cculae), on touve ( ) da A df C m D ρa ce qu nous pemet d affme que le changement de ayon au cous d une évoluton est appoxmatvement a = πac D ρ/m. Sommae Nous avons pésenté des ésultats sépaés pou l effet de la taînée et de l aplatssement de la Tee. En généal, l effet combné de ces deux facteus n est pas la somme des effets obtenus sépaément, c est-à-de qu l faut tate smultanément les deux petubatons. Cec dt, en pemèe appoxmaton (c est-à-de au peme ode en ρ comme au peme ode en J ), on peut smplement ajoute les deux effets. À cet ode, les vaatons séculaes se épatssent comme sut :. a dmnue en ason de la taînée seulement.. e dmnue en ason de la taînée seulement. 3. este constant. 4. ω pécesse en ason de J seulement (éq. (3.49)). 5. Ω pécesse en ason de J seulement (éq. (3.50)). 6. Le mouvement moyen subt une vaaton en ason de J (éq. (3.5)). 4. Réféences [] D. Sénéchal, Mécanque (PHQ-0) : Notes de cous, Faculté des Scences, Unvesté de Shebooke. [] A.E. Roy, The foundatons of Astodynamcs, New Yok, Macmllan, 965. [3] D. Bouwe et G.M. Clemence, Methods of Celestal Mechancs, Academc Pess, New Yok, Cec est d alleus claement vsble dans les smulatons numéques pésentées su le Web (