BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2015 MATHÉMATIQUES. Série ES ENSEIGNEMENT SPECIFIQUE. Durée de l épreuve : 3 heures. Coefficient : 5

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1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Sessio 2015 MATHÉMATIQUES Série ES ENSEIGNEMENT SPECIFIQUE Durée de l épreuve : 3 heures Coeiciet : 5 Les calculatrices électroiques de poche sot autorisées, coormémet à la réglemetatio e vigueur Le sujet est composé de 4 exercices idépedats Le cadidat doit traiter tous les exercices Das chaque exercice, le cadidat peut admettre u résultat précédemmet doé das le texte pour aborder les questios suivates, à coditio de l idiquer clairemet sur la copie Le cadidat est ivité à aire igurer sur la copie toute trace de recherche, même icomplète ou o ructueuse, qu il aura développée Il est rappelé que la qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets etrerot pour ue part importate das l appréciatio des copies Avat de composer, le cadidat s assurera que le sujet comporte bie 6 pages umérotées de 1 à 5 1

2 EXERCICE 1 (5 poits Commu à tous les cadidats E vue de sa prochaie brochure d iormatio sur les dagers d iteret u lycée a ait remplir u questioaire à chacu des 2000 élèves, répartis das les sectios de secode, première et termiale O obtiet la répartitio suivate : u quart des élèves est e termiale ; 35% des élèves sot e première ; tous les autres sot e secode ; parmi les élèves de termiale, 70% utiliset régulièremet iteret ; 630 élèves sot des élèves de première qui utiliset régulièremet iteret 1740 élèves utiliset régulièremet iteret Cette equête permet de modéliser le choix d u élève du lycée O choisit au hasard u questioaire d élève e supposat que ce choix se ait e situatio d équiprobabilité O ote : S l évèemet «le questioaire est celui d u élève e classe de secode» P l évèemet «le questioaire est celui d u élève e classe de première» T l évèemet «le questioaire est celui d u élève e classe de termiale» I l évèemet «le questioaire est celui d u élève qui utilise régulièremet iteret» 1 Motrer que 350 élèves de termiale utiliset iteret régulièremet 2 Recopier et compléter le tableau d eectis doé ci-dessous : 3 Détermier la probabilité d obteir le questioaire d u élève de secode qui utilise régulièremet iteret 4 Calculer la probabilité de I sachat T, otée P T ( I, et iterpréter ce résultat à l aide d ue phrase 5 Calculer la probabilité que le questioaire choisi soit celui d u élève qui utilise pas iteret 6 Le questioaire est celui d u élève qui utilise régulièremet iteret 21 Motrer que la probabilité que ce soit le questioaire d u élève de première est égale à 58 7 O choisit au hasard, successivemet et avec remise, trois questioaires O ote X la variable aléatoire comptabilisat le ombre de questioaire correspodat à u élève utilisateur régulier d iteret sur ce groupe de 3 a Doer, e la justiiat, la loi suivie par X b Quelle est la probabilité que, parmi les trois questioaires, u exactemet soit celui d u élève utilisateur régulier d iteret? Arrodir au millième E X? Traduire ce résultat par ue phrase c Que vaut ( 2

3 EXERCICE 2 (5 poits Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité Lors des jourées «rouges» selo Biso Futé, l autoroute qui relie Paris à Marseille est surchargée Il est doc coseillé de predre u itiéraire de délestage etre Beaue et Valece (qui e passe pas par Lyo ai d éviter les évetuels «bouchos» autoroutiers Etre Valece et Marseille il est égalemet coseillé de predre la route départemetale représetée par des poitillés sur la carte Biso Futé a publié les résultats d ue étude portat sur les habitudes des automobilistes sur le trajet etre Paris et Marseille lors de ces jourées «rouges» 40% des automobilistes preet l itiéraire de délestage etre Beaue et Valece parmi les automobilistes ayat suivi l itiéraire de délestage etre Beaue et Valece, 30% preet la route départemetale de Valece à Marseille parmi les automobilistes ayat pas suivi l itiéraire de délestage etre Beaue et Valece, 60% preet la route départemetale de Valece à Marseille O ote : B l évèemet : «l automobiliste pred l itiéraire de délestage etre Beaue et Valece» et B l évèemet cotraire V l évèemet : «l automobiliste pred la route départemetale etre Valece et Marseille» et V l évèemet cotraire 1 Représeter la situatio à l aide d u arbre podéré 2 Motrer que la probabilité P ( B V = 0, 24 et iterpréter ce résultat 3 Calculer la probabilité que l automobiliste e choisisse pas la route départemetale etre Valece et Marseille 4 O doe les temps de parcours suivats : Paris Beaue (par autoroute : 4h; Beaue Valece (par autoroute, e passat par Lyo : 5h ; Beaue Valece (par itiéraire de délestage e passat pas par Lyo : 4h ; Valece Marseille (par autoroute : 5h ; Valece Marseille (par la route départemetale : 3h a Calculer les temps de parcours etre Paris et Marseille, selo l itiéraire choisi b Recopier et compléter le tableau ci-dessous doat la loi de probabilité de la durée du trajet pour se redre de Paris à Marseille selo l itiéraire choisi c Calculer l espérace de cette loi e heures et e doer ue iterprétatio (la coversio e heure miute secode est pas attedue 3

4 EXERCICE 3 (5 poits Commu à tous les cadidats Das ue ville, u ouveau lycée viet d ouvrir ses portes et accueille pour sa première retrée 500 élèves D ue aée sur l autre, le proviseur du lycée prévoit ue perte de 30% de l eecti et l arrivée de 300 ouveaux élèves O modélise cette situatio par ue suite umérique ( u où u représete le ombre d élèves iscrits au lycée pour l aée O a doc u 0 = , avec etier aturel 1 Calculer le ombre d élèves qui serot iscrits au lycée e Calculer Je ombre d élèves qui serot iscrits au lycée e Justiier que, pour tout etier aturel, o a : u = 0,7u O souhaite, pour u etier doé, aicher tous les termes de la suite ( u du rag 0 au rag Lequel des trois algorithmes suivats permet d obteir le résultat souhaité? Justiier 5 O cosidère la suite ( a Démotrer que la suite ( v déiie pour tout etier aturel par : v u 1000 = v est ue suite géométrique de raiso q = 0, 7 b E déduire que, pour tout etier aturel, o a : c Détermier la limite de la suite ( u Iterpréter ce résultat d Calculer la somme : v 0 + v1 + + v20 6 Résoudre à l aide de la calculatrice l iéquatio : u > 990 Iterpréter ce résultat u 7 = , 4

5 EXERCICE 4 (5 poits Commu à tous les cadidats Soit la octio déiie et dérivable sur l itervalle = [ 10 ; 2[ ] 2 ; 10] I par : b ( x = ax + où a et b sot des réels O ote : x + 2 C la courbe représetative de la octio doée ci-dessous T désige la tagete à C au poit A ( 0 ; 3, elle passe par le poit ( 6 ; 24 B 1 Détermier, e justiiat vos résultats, (0 et '(0 2 L airmatio ''(0 > 0 est elle exacte? Justiier 3 Détermier les valeurs de a et b 6 Das la suite de cet exercice o admet que pour tout x I o a : ( x = 5x + x x + 20x Motrer que la dérivée ' de est déiie sur I par : '( x = ( x E déduire les variatios puis dresser le tableau de variatios de sur I 6 Motrer que l équatio ( x = 5 admet ue uique solutio α sur [ 0 ; 1] 7 Détermier l équatio de la tagete à C au poit d abscisse 1 12x O admet que la dérivée secode '' de est déiie sur I par : ''( x = ( x a Détermier la covexité de sur I et préciser ses évetuels poits d ilexio b E déduire les positios relatives de C et de ses tagetes 5