CALCUL ALGEBRIQUE - EXERCICES CORRIGES

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1 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR CALCUL ALGEBRIQUE - EXERCICES CORRIGES C documt totalmt gratuit (dispoibl parmi bi d'autrs sur la pag JGCUAZ.FR rubriqu mathématiqus) a été coçu pour aidr tous cu qui désirt travaillr sur l calcul algébriqu. Il cotit 45 rcics corrigés itégralmt, classés par thèms t/ou par ivau. La pag JGCUAZ.FR état costat évolutio (ajout d ouvau rcics, amélioratios), il st cosillé d régulièrmt la visitr pour y téléchargr la ouvll vrsio d c fichir. Pour tout rmarqu, mrci d vous rdr sur la pag JGCUAZ.FR où vous trouvrz mo adrss élctroiqu (qui st [email protected] à la dat du 4/0/08) Egalmt dispoibl u pag facbook Motpllir, l 4/0/08 Ja-Guillaum CUAZ, profssur d mathématiqus, Lycé Clmcau, Motpllir dpuis 0 Lycé Militair d Sait-Cyr, d 000 à 0 Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag /9 vrsio du 4/0/08

2 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Dévloppmts Ercic (corrctio) CALCUL ALGEBRIQUE - EXERCICES CORRIGES Dévloppr ls prssios : A 5( + ) B 5( 7) C ( 5+ ) D ( + 5)( + ) E ( + )( ) F (+ )( + 4) G ( + )( 7) Idtités rmarquabls Ercic (corrctio) Dévloppr à l'aid du modèl idiqué Carré d'u somm a + b a + ab + b A C ( t+ ) B ( + 0) ( + 0,5) D ( 8 + y) Carré d'u différc a b a ab + b E G ( 4) F ( y 6) ( t ) H ( 7 y) Ercic (corrctio) Rcoaîtr u différc d du carrés das chaqu prssio, puis factorisr a) 8 b) c) 9 4 Ercic 4 (corrctio) Dévloppr t réduir chaqu prssio à l'aid d'u idtité rmarquabl A ( + ) B ( + 8) C ( + ) Ercic 5 (corrctio) Mêm rcic qu l précédt D ( 5) E ( ) F ( 9) Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag /9 vrsio du 4/0/08

3 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Ercic 6 (corrctio) Mêm rcic qu l précédt ( + 7)( 7) H ( 6)( + 6) G Ercic 7 (corrctio) Factorisr chaqu prssio avc u idtité rmarquabl a) + + b) 0+ 5 c) Ercic 8 (corrctio) désig u ombr supériur ou égal à. ABCD st u carré t ABEF st u rctagl. ) Eprimr foctio d : a) la loguur AD ; b) L'air A du carré ABCD c) L'air A du rctagl ABEF d) L'air A du rctagl ECDF ) a) Eprimr ls airs A t A t lur somm sous form dévloppé t réduit b) Vérifir qu ctt somm st égal à A. Ercic 9 (corrctio) Dévloppr, réduir t ordor ls prssios suivats : A ( + ) B ( 5) C ( 6 ) ( + ) E ( a 7b) F ( 6+ y) D y G (5+ )(5 ) H ( 4)( 4) + I ( 7)( + 7) Ercic 0 (corrctio) ) Calculr écrivat l résultat sous la form a+ b où a t b sot ds tirs. ) Calculr écrivat l résultat sous la form a+ b où a t b sot ds tirs. Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag /9 vrsio du 4/0/08

4 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR ) Calculr 4 5 écrivat l résultat sous la form a+ b 5 où a t b sot ds tirs. 4) Calculr 4 5 doat l résultat sous la form a+ b 5 où a t b sot ds tirs. Dévloppmts Ercic (corrctio) Dévloppr, réduir t ordor ls prssios suivats : ( ) ( 5 )( ) A B ( + )( ) ( + ) Ordor sigifi "ragr das l'ordr" : ls trms avc ls trms "sas "., puis ls trms avc puis Ercic (corrctio) Dévloppr t simplifir au maimum : ( 5 + ) ( 7 ) ( 7) ( 6)( + 6) ( 4+ )( 5 ) ( + )( ) ( + ) ( 7)( 8 ) Ercic - VRAI ou FAUX? (corrctio) Affirmatio VRAI FAUX Qul qu soit, ls quatités 5 t 5 sot opposés Qul qu soit, ls quatités 5 t + 5 sot opposés Qul qu soit, ls quatités 5 t 5 sot opposés Qul qu soit, ls quatités 5 t + 5 sot opposés Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 4/9 vrsio du 4/0/08

5 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Factorisatios Ercic 4 (corrctio) Factorisr ls prssios suivats utilisat ls idtités rmarquabls : A 4 F I B 9 G a a + C 5 9 H D 4a 49b ( + ) 4( + ) K ( ) ( 7 ) J Ercic 5 (corrctio) Factorisr écrivat sous la form la plus simpl possibl ( + 7)( + 5) + ( + 7)( + ) ( + )( + 8) + ( 5)( + ) ( )( + ) ( 5+ 7)( ) + + ( + )( 8 5) + ( + )( 5 ) 5 + ( 5)( + ) ( + ) 4 8+ ( 4) Calcul algébriqu t équatios Ercic 6 (corrctio) Factorisr l mmbr d gauch puis résoudr l'équatio a) 4 0 b) Ercic 7 (corrctio) Soit f la foctio défii pour tout rél par : f ) a) Démotrr qu, pour tout ombr : f + 9. b) E déduir u form factorisé d f ) E utilisat la form qui vous paraît la plus adapté, calculr la valur act d chacu ds ombrs suivats : f ( ) ; f ( 5) ; f ; 5 t ) a) Détrmir l ou ls atécédts d 0 par f. f ( + ) f ( ) f ( ) 5 f ( ) b) Résoudr l'équatio c) Résoudr l'équatio Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 5/9 vrsio du 4/0/08

6 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Ercic 8 (corrctio) O défiit la foctio f, pour tout ombr, par : f 6+ 8 (Form F) ) Motrr qu pour tout ombr, f (Form F) ) Déduisz- u prssio factorisé d f (Form F) ) E utilisat la form qui vous paraît la miu adapté : a) Calculr l'imag d par f b) Calculr f (0) Résoudr ls équaitos : c) f( ) 0 d) f( ) 8 ) f( ) Ercic 9 (corrctio) E sachat qu g put s primr d trois maièrs différts : Eprssio A : g 5 0 Eprssio B : Eprssio C : ) E choisissat parmi ls trois prssios d g cll qui covit l miu, calculr : g ( 0) ; ; 5 ; g 7 ; ) E choisissat parmi ls trois prssios d g cll qui covit l miu, résoudr g( ) 0. ) E choisissat parmi ls trois prssios d g cll qui covit l miu, résoudr g( ) 5. g ( ) ( )( + ) ( 5)( 7) g g 7 g g + 5 Ercic 0 (corrctio) O cosidèr l'prssio ( )( ) ( ) A + ) Dévloppr, simplifir t ordor A. ) Factorisr A. ) Das chaqu cas, choisir la millur écritur pour calculr A : a) Lorsqu b) Lorsqu 4) Résoudr l'équatio A 0 5) Résoudr l'équatio A Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 6/9 vrsio du 4/0/08

7 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Ercic (corrctio) Soit ( 7)( 5) ( 7) A ) Dévloppr, réduir t ordor A ) Rprdr l prssio iitial t factorisr A ) a) Calculr A pour 0 b) Calculr A pour 7 c) Calculr A pour (écrir l résultat sous la form a+ b où a t b sot ds tirs) 4) Résoudr l équatio A 0 Ercic (corrctio) U jardiir a décidé d partagr so trrai d form rctagulair partis égalmt rctagulairs R, R t R comm sur l schéma ci-dssous ( l schéma st pas à l échll) : O do AB 5 m t BC,5 m. O ot AM. Parti A : O do AN,5 m ) a) A qul itrvall appartit? b) Soit P ( ) l périmètr d la parti R. Motrr qu P + c) Soit P l périmètr d la parti R. Motrr qu P + 5. d) Dor l prssio d P, l périmètr d la parti R, foctio d. ) L jardiir souhait qu ls périmètrs d la parti R t d la parti R soit égau. a) Détrmir la valur d qui satisfait au souhait du jardiir. Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 7/9 vrsio du 4/0/08

8 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR b) Dor alors ls valurs ds périmètrs ds partis. ) L jardiir souhait qu l périmètr d la parti R soit strictmt supériur à clui d la parti R. a) A qul l itrvall appartit pour satisfair au souhait du jardiir? b) Classr alors par ordr croissat ls périmètrs ds partis pour appartat à l itrvall trouvé das la qustio précédt. Parti B : O suppos maitat qu AN AM. ) a) Qull st alors la form d la parti R? b) A qul itrvall appartit? c) Soit A l air d la parti R. Motrr qu A d) Soit A l périmètr d la parti R. Motrr qu A,5, 5 ) Dor l prssio d A, l air d la parti R, foctio d. ) L jardiir souhait qu l air d la parti R soit 6 fois plus grad qu l air d la parti R. a) Motrr qu la valur d, qui satisfait au souhait du jardiir, st u solutio d l équatio : 6 +,5,5 0 b) Motrr qu : 6 +,5,5 ( + 5)(,5) c) E déduir la valur d, qui satisfait au souhait du jardiir. d) Comparr das c cas l air d la parti R avc l air d la parti R. Justifir votr répos. Calcul algébriqu t trigoométri Ercic (corrctio) π π ) Calculr + t déduir la valur act d 4 7π cos π π π ) E rmarquat qu, calculr la valur act d si Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 8/9 vrsio du 4/0/08

9 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Ercic 4 (corrctio) Eprimr ls réls suivats foctio d si t cos : π π ) A cos + cos π π ) B cos + si π π ) C cos + si 6 Ercic 5 (corrctio) désigat u ombr rél, simplifir ls prssios : ) A cos( ) si + si ( ) cos ) B cos si cos si ) C ( + ) Factorisatios pour forms idétrmiés Ercic 6 (corrctio) f + + Soit f la foctio défii sur par ) Détrmir lim f + ) a) Vérifir qu pour tout rél o ul, o a b) E déduir lim f f + + Ercic 7 (corrctio) Détrmiz ls limits suivats : ) lim ) + ) lim 4 5 lim ) + lim ) lim 9 9 Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 9/9 vrsio du 4/0/08

10 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Ercic 8 (corrctio) O cosidèr la foctio défii sur [ 0;+ [ par f f ) Motrr qu pour tout [ 0; [ ) Détrmir lim f + Ercic 9 (corrctio) O vut trouvr la limit + d f : + ) Motrr qu pour 0 >, < + < ( + ) ) E déduir pour > 0 u cadrmt d f( ). ) E déduir la limit d f +. Ercic 0 (corrctio) Détrmir la limit ds suits ( u ) : u + 4 u u u u + u Ercic (corrctio) (Cocours EMIA 07) Simplifir ls prssios suivats : f g Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 0/9 vrsio du 4/0/08

11 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Calcul algébriqu avc foctio potill Ercic (corrctio) a désig u ombr rél. Das chaqu cas, écrir l'prssio avc l'potill d'u sul a a ombr ) ) a+ ) a a a + Ercic (corrctio) Simplifir au maimum chacu ds prssios 4 + ) ( ) ( ) ) ) + 4) 5 5) + 6) + Ercic 4 (corrctio) Démotrr qu pour tout ombr rél, + + Ercic 5 (corrctio) Démotrr qu pour tout ombr rél, ) + + ) ) ( )( 4) 4) ( ) + 4 5) ( ) Ercic 6 (corrctio) La foctio f st défii sur par : f Démotrr qu pour tout ombr rél, f + f + f Ercic 7 (corrctio) Démotrr qu pour tout ombr rél : + 0 Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag /9 vrsio du 4/0/08

12 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Ercic 8 (corrctio) O cosidèr la suit u défii sur par u ) Motrr qu pour tout, u u + ( ) ) E déduir l ss d variatio d u. Ercic 9 (corrctio) Etudir, das chaqu cas, la limit d la foctio f + t : ) f ) f 4) f 5) ( + ) + ) f ( + ) f Ercic 40 (corrctio) f st la foctio défii sur par : f ) Détrmir la limit d f ) a) Motrr qu pour tout rél, o a f b) E déduir la limit d f ) Motrr qu, das u rpèr, la courb rpréstativ d f st toujours situé au dssus d la droit d'équatio y t dssous d l'a ds abscisss. Calcul algébriqu t foctios logarithms Ercic 4 (corrctio) Eprimr foctio d l5 ls ombrs réls suivats : l 5 l 65 l l 55 l l 5 5 4l5 l 8 5 Ercic 4 (corrctio) ) O pos a l t b l. Eprimr foctio d a t b chacu ds ombrs suivats : Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag /9 vrsio du 4/0/08

13 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR l 6 l 9 l l 7 7 ) a) Simplifir l prssio A l ( + 5) + l ( 5) b) Pour >, o pos B l ( ) l ( ). Ecrir B sous la form du logarithm d u quotit. l 7 l Ercic 4 (corrctio) Simplifir l'écritur ds ombrs suivats : l l ( ) l ( ) + l l Ercic 44 (corrctio) Calculr S l + l l + l Ercic 45 (corrctio) ) Résoudr chacu ds équatios suivats : a) l ( + 8) l b) l + l ( + 8) l c) ( ) ( ) ) Résoudr chacu ds iéquatios suivats : a) l ( ) + l ( + 4) l ( + ) b) l ( + ) l ( + ) l l Il faut chrchr ls coditios d'istc d'u prssio d la form l ( u ) l ( v ) + AVANT d la trasformr Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag /9 vrsio du 4/0/08

14 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR CALCUL ALGEBRIQUE - EXERCICES CORRIGES Corrctio d l'rcic (rtour à l'éocé) A 5( + ) B 5( 7) C ( 5+ ) D ( 5) E ( + )( ) F ( )( 4) G ( + )( 7) Corrctio d l'rcic (éocé) A t+ t + t + t + 6t+ 9 B C + 0,5 + 0,5 + 0, , D + y + y+ y + y+ y E F y 6 y y y y+ 6 G t t t + t t+ H 7 y 7 7 y+ y y 4y+ 49 Corrctio d l'rcic (éocé) a) 8 9 ( 9)( + 9) b) ( )( + ) c) 9 4 ( ) ( )( + ) Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 4/9 vrsio du 4/0/08

15 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Corrctio d l'rcic 4 (éocé) A B C Corrctio d l'rcic 5 (éocé) D E + F Corrctio d l'rcic 6 (éocé) G H Corrctio d l'rcic 7 (éocé) a) ( + ) b) ( 5) c) ( + 6) Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 5/9 vrsio du 4/0/08

16 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Corrctio d l'rcic 8 (éocé) ) a) AD AF + FD A AD AD AD b) c) A AF AB d) A CD FD ) a) A + +, A t 7 b) O a bi A + A A A A Corrctio d l'rcic 9 (rtour à l'éocé) A B C D + y + y + y 4 + y + 9y E a b a ab + b F (5+ )(5 ) G + ( 4)( 4) ( ) H Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 6/9 vrsio du 4/0/08

17 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Corrctio d l'rcic 0 (rtour à l'éocé) ) ) ) 4) ( 4 5) ( 5) ( 5) ( 4 5) 4 5+ ( 4 5) ( 5) Corrctio d l'rcic (rtour à l'éocé) ( ) ( 5 )( ) A B ( + )( ) ( + ) Corrctio d l'rcic (rtour à l'éocé) ( + )( ) ( + ) ( ) + + ( ) ( + + ) ( )( ) + ( ) + ( ) + ( ) ( ) Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 7/9 vrsio du 4/0/08

18 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Corrctio d l'rcic (rtour à l'éocé) Affirmatio VRAI FAUX Qul qu soit, ls quatités 5 t 5 sot opposés VRAI Qul qu soit, ls quatités 5 t + 5 sot opposés FAUX Qul qu soit, ls quatités 5 t 5 sot opposés VRAI Qul qu soit, ls quatités 5 t + 5 sot opposés VRAI Corrctio d l'rcic 4 (rtour à l'éocé) A 4 + B + 9 C D 4a 49b a 7b a 7b a+ 7b F G a a a a a + + H I ( + ( + ) ) + + ( + ) ( 4 5) ( 4 5) ( ) ( ) 4 ( ) J ( ) K ( 7 )( 7 ) 5( 9 ) + + Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 8/9 vrsio du 4/0/08

19 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Corrctio d l'rcic 5 (rtour à l'éocé) ( ) ( )( 4) ( + )( ) ( + ) + ( + )( ) ( + ) + ( ) ( )( 8 4) 4( )( ) ( + )( ) ( + ) ( + )( ) ( + ) ( ) ( ) ( 5 ) ( ) ( 5 ) ( 5)( + ) 5 + ( 5)( + ) ( 5)( + 5) + ( 5)( + ) ( 5) ( 5) ( ) ( + ) 4 8+ ( 4) ( + ) 4( + ) + ( + )( ) ( + ) (( + ) 4+ ( ) ) ( + )( 4) ( + )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) + + Corrctio d l'rcic 6 (éocé) a) O écrit succssivmt ( )( ) + 0 ( )( ) + 0 si t sulmt si 0 ou + 0 c'st-à-dir ou Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 9/9 vrsio du 4/0/08

20 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR b) O écrit succssivmt ( ) 0 L'équatio ( ) 0 s réécrit ( )( ) ( )( ) 0 0 si t sulmt si 0 ou 0 c'st-à-dir ou. La sul solutio d l'équatio st doc Corrctio d l'rcic 7 (rtour à l'éocé) ) a) Pour tout rél, L égalité f + 9 st doc bi motré pour tout rél. b) O utilis la qustio précédt : Pour tout rél, U form factorisé d st doc : ( + ) f ( + ) 9 ( + ) ( + )( + + ) ( )( + 5) f f ( ) f ( )( + 5) ) Pour calculr f, o put utilisr la form iitial : f Pour calculr f, o put utilisr la formul d la qustio a : f f ( ) Pour calculr 5, o put utilisr la form factorisé : Pour calculr f + 5, o put utilisr la form iitial : 5 ( 5) f Pour calculr f, o put utilisr la form iitial : f Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 0/9 vrsio du 4/0/08

21 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR f ( ) ( ) ) Détrmir l ou ls atécédts par f d 0 rvit à résoudr l équatio f. O utilis la form factorisé : f ou ou 5 Ls atécédts par f d 0 sot doc 5 t. Détrmir l ou ls atécédts par f d -5 rvit à résoudr l équatio form iitial : Ls atécédts par f d -5 sot doc -4 t 0. Détrmir l ou ls atécédts par f d - rvit à résoudr l équatio f. O utilis la formul d la qustio a : f O utilis la Or pour tout rél, 0, doc l équatio + admt pas d solutio, t il s suit qu admt pas d atécédt par f. f 0 ( ) 5 f ou 4 ( + ) Corrctio d l'rcic 8 (rtour à l'éocé) ) Pour tout ombr, f ) Puisqu f, o aura : f + 4 (Form F) ) a) Grâc à F, f( ) 0 0 b) Grâc à F, c) Grâc à F, 0 s réécrit La règl du produit ul impliqu 4 0 ou 0 doc 4 ou d) Grâc à F, f( ) 8 s réécrit doc O factoris : 6 0. La règl du produit ul impliqu ou 6 0 doc 0 ou 6 ) Grâc à F, s réécrit doc Cla traî f (0) f ( 4)( ) 0 ( ) doc 6 0 ( ) f ( ) ( ) 0 0 Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag /9 vrsio du 4/0/08

22 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Corrctio d l'rcic 9 (rtour à l'éocé) ) Pour l calcul d 0, o utilis l prssio B : Pour l calcul d g, o utilis l prssio A : Pour l calcul d 5, o utilis l prssio C : Pour l calcul d g 7, o utilis l prssio B : 7 Pour l calcul d g, o utilis l prssio C : ) Pour résoudr l équatio g, o utilis l prssio A : si t sulmt si si t sulmt si ou g ( ) L smbl ds solutios d l'équatio g st S { 7;5} ) Pour résoudr l équatio g, o utilis l prssio B : si t sulmt si si t sulmt si 0 ( ) 0 Or 0 si t sulmt si 0 ou 0 L smbl ds solutios d l équatio g g g g ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) g g( ) 0 g( ) g g st S { ;0} Corrctio d l'rcic 0 (rtour à l'éocé) ) ( )( ) ( ) A Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag /9 vrsio du 4/0/08

23 Calcul algébriqu - rcics corrigés ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) A ) a) Lorsqu, b) Lorsqu, 4) L'équatio A 0 s réécrit succssivmt d maièr équivalt : ( ) ou 0 (règl du produit ul) ou 5) L'équatio A s réécrit succssivmt d maièr équivalt : ( ) D'après la règl du produit ul o a 4 0 ou 0 Ls solutios sot 0 t documt dispoibl sur JGCUAZ.FR A A Corrctio d l'rcic (rtour à l'éocé) ) ) ( 7)( 5) ( 7) A ( 7)( 5) ( 7) ( 7) ( 5) ( 7) ( 7)[ 5 7] ( 7)( ) A + + ) a) O utilis l prssio dévloppé (qustio ), pour calculr : A b) O utilis l prssio factorisé (qustio ), pour calculr : Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag /9 vrsio du 4/0/08

24 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR A c) O utilis l prssio dévloppé (qustio ), pour calculr : A ) O utilis l prssio factorisé (qustio ), pour résoudr l équatio : 7 A 0 si t sulmt si 7 0 ou + 0, c st-à-dir si t sulmt si ou Corrctio d l'rcic (rtour à l'éocé) Parti A : ) a) Puisqu l poit M appartit au sgmt [AB], o a [ 0;5] b) Puisqu ls dimsios du rctagl R sot AM t AN,5, so périmètr sra égal à P AM +,5 +,5 + c) Puisqu ls dimsios du rctagl R sot MB 5 t BC,5, so périmètr sra égal à P BM +,5 5 +,5 7,5 5 d) Puisqu ls dimsios du rctagl R sot ND,5-,5 t DR AM, so périmètr P DR sra égal à ) a) La valur d qui satisfait au souhait du jardiir st la solutio d l'équatio P P équatio qui s réécrit succssivmt : , b) Lorsqu, ls périmètrs ds trois partis sot rspctivmt égal à P ( ) + 9, P ( ) 5 9 t P ( ) + 8 ) a) La valur d qui satisfait au souhait du jardiir st solutio d l'iéquatio P > P, iéquatio qui s réécrit succssivmt : + > 5 + > 5 4 > >, 5 Pour satisfair au souhait du jardiir, l ombr doit appartir à l'itrvall ],5;5]. b) Si ], 5;5] o a, par défiitio P P >. Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 4/9 vrsio du 4/0/08

25 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Puisqu ls du rctagls R t R ot mêm loguur, lur périmètr st foctio d lur duièm dimsio, lur largur. Puisqu AN > ND, o aura P P >. L classmt ds périmètrs ds partis par ordr croissat st : P < P < P Parti B : ) a) Si AN AM alors la parti R aura la form d'u carré. b) Puisqu M appartit au sgmt [AB], o doit avoir [ 0;5] Puisqu N appartit au sgmt [AD], o doit avoir [ 0;,5] Au fial, o doit avoir [ 0;,5] A AM AN c) Puisqu la parti R a la form d'u carré, o a d) Puisqu ls dimsios du rctagl R sot MB 5 t BC,5, so air sra égal à A BC MB,5 5,5 5,5,5,5 ) Puisqu ls dimsios du rctagl R sot ND AD AN,5 t DR AM, so air A DR ND,5,5 sra égal à ) a) La valur d qui satisfait au souhait du jardiir st u solutio d l équatio 6 A A, équatio qui s réécrit succssivmt :,5, ,5,5 0 b) O dévlopp : ( + )( ) ( + ) 5, 5, 5 5 5, 5, 5 6, 5, 5 6, ,5,5 + c) E utilisat la qustio précédt, o trasform l'écritur d l'équatio : 6 +,5, , 5 0 D'après la règl du produit ul, o a : 5 ( + 5)(,5) ou,5 0 ou,5 Puisqu msur la loguur AM, o doit avoir 0. La solutio La sul valur d qui satisfait au souhait du jardiir st doc, 5. 5 put doc covir. Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 5/9 vrsio du 4/0/08

26 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR d) Puisqu ls du rctagls R t R ot mêm loguur, lur air st foctio d lur duièm dimsio, lur largur. Puisqu lorsqu, 5, o a AN,5 t ND,5-AN,5 doc ANND, o coclut qu pour, 5, o aura A A. Corrctio d l'rcic (éocé) ) π π 4π π 7π + + doc : cos π cos π π cos π cos π si π si π π π ) Puisqu, o a : 4 8 cos π cos π si π Aisi, si π cos π π π Comm 0 < < π, o a si > t o déduit qu π si 8 4 Corrctio d l'rcic 4 (éocé) ) O a : π π π π A cos cos + si si + cos cos si si cos + si + cos si cos + si ) O a : π π B cos + si π π π π cos cos + si si + si cos + si cos cos + si + si + cos cos + si Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 6/9 vrsio du 4/0/08

27 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR ) O a : π π C cos + si 6 π π π π cos cos si si si cos si cos cos si si cos cos si Corrctio d l'rcic 5 (éocé) ) O a : A cos si + si cos si + si appliqué avc a t b ) (formul si ( a b) si ( a) cos( b) si ( b) cos( a) ) O a : B cos si cos π cos si π si cos π + C cos si cos si cos π cos si π si cos π ) O a : Corrctio d l'rcic 6 (éocé) ) lim + + t lim + ) a) Pour tout rél 0, b) E déduir lim f + + doc par somm lim f d'où l'égalité lim + t lim + + doc par produit lim f + Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 7/9 vrsio du 4/0/08

28 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Corrctio d l'rcic 7 (éocé) ) Pour tout rél 0, Puisqu lim t lim + +, o coclut par produit qu + + lim 0 + ) Pour tout rél 0, Puisqu lim 4 + t 5 lim +, o coclut par produit qu 4 lim ) Pour tout rél 0, Puisqu lim + + t lim + + +, o coclut par produit t quotit qu + 4 lim ) Pour tout rél 0, Puisqu lim, lim 8 t lim 4 +, o coclut par produit t quotit qu 8 + lim ) Pour tout rél 9, ( ) ( )( + ) Puisqu lim + 6 o coclut par quotit qu lim Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 8/9 vrsio du 4/0/08

29 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Corrctio d l'rcic 8 (éocé) + f ) Motrr qu pour tout [ 0; [ +, f ( ) Pour tout [ 0; [ Puisqu pour tout [ 0; [ Pour tout [ 0; [ +, 0, o déduit qu : +, f 0 f ) Détrmir lim f + Puisqu pour tout [ 0; [ théorèm d mioratio, qu lim f +, f t puisqu lim , o coclut, grâc au Corrctio d l'rcic 9 (éocé) ) Motrr qu pour 0 Si > 0 o a clairmt >, < + < ( + ) < + car 0< t si 0 D plus, D'où l'cadrmt ( ) > o aura alors + > + < + < + valabl pour tout > 0 ) La foctio raci état strictmt croissat sur ] 0;+ [, l'cadrmt < + < ( + ) traî < + < + c'st-à-dir < + < +. Mais puisqu > 0, c drir cadrmt s réécrit > 0 : f + < <, cadrmt qui s réécrit f ) Puisqu pour tout 0 >, o a f < + < +, puis par divisio par < < + < < + t puisqu lim d'cadrmt dit "ds gdarms" prmt d coclur qu f + lim +, l théorèm + Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 9/9 vrsio du 4/0/08

30 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Corrctio d l'rcic 0 (rtour à l'éocé) Pour tout *, Or + u lim t 4 4 lim O coclut par produit qu lim u + + Pour tout *, u lim Or lim + t lim 4 + +, + O coclut par produit t quotit qu lim u Pour tout *, Or lim u lim + t lim + +, + O coclut par produit t quotit qu lim u 0 Pour tout *, u lim Or lim + +., O coclut par produit t quotit qu lim u 4 Pour tout Puisqu *, u lim + t lim +, o coclut par quotit qu lim u + + Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 0/9 vrsio du 4/0/08

31 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Pour tout *, u. Puisqu lim + +, o coclut par quotit qu lim u 0 + Corrctio d l'rcic (rtour à l'éocé) f g ( + + ) Corrctio d l'rcic (rtour à l'éocé) Pour tout ombr rél a : ) a a a a a a a a a a a+ a+ ( a) a ) a a a + a + ( + ) ) a+ a+ a+ a a a Corrctio d l'rcic (rtour à l'éocé) Pour tout ombr rél : ( ) ) ) Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag /9 vrsio du 4/0/08

32 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR ) ) ) 6) Corrctio d l'rcic 4 (rtour à l'éocé) Pour tout ombr rél : ( ) ( ) Corrctio d l'rcic 5 (rtour à l'éocé) Pour tout ombr rél : ) ) ) ) ( + ) ( ) ( ) + + ( ) ( ) + ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ) + Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag /9 vrsio du 4/0/08

33 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Corrctio d l'rcic 6 (rtour à l'éocé) Pour tout ombr rél : O a d'u part l'égalité f t d'autr part ( ) ( ) ( + ) ( )( + ) ( ) + + ( ) ( ) d'où l'égalité Corrctio d l'rcic 7 (rtour à l'éocé) Pour tout ombr rél : ( ) + ( ) + + Or pour tout, 0 t > 0 d'où par quotit, + 0 Corrctio d l'rcic 8 (rtour à l'éocé) ) Pour tout, ( ) + u u + ) Puisqu pour tout, > 0, l sig d u + u sra doé par clui d O a > 0 > > > 0 > < O déduit 0 < 0 u+ u < 0 u+ < u. La suit u st doc strictmt décroissat. Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag /9 vrsio du 4/0/08

34 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Corrctio d l'rcic 9 (rtour à l'éocé) X ) Puisqu lim t puisqu lim 0 + X X Puisqu lim + t puisqu lim + + X + ) Puisqu lim + t lim 0 Puisqu lim 0 t lim ) Puisqu lim Puisqu lim + + t lim + t lim 4) Puisqu lim 0 t lim Pour tout 0 >, f lim 0, o déduit par compositio qu f + +, o déduit par compositio qu lim f, o déduit par somm qu lim f + +, o déduit par somm qu lim f + +, o déduit par produit qu lim f + + +, o déduit par produit qu lim f + + +, o déduit par somm qu lim f +. Puisqu lim +, o déduit qu lim + + 5) ( + ) f Puisqu lim + Pour tout 0 + t lim + f +. <, Puisqu lim 0 t lim 0 + doc par produit qu lim f + +, o déduit par produit qu lim f +, o déduit par somm qu f lim Corrctio d l'rcic 40 (rtour à l'éocé) ) Puisqu lim 0, o déduit qu lim 0 t lim +, doc par quotit, qu lim f 0 ) a) Pour tout rél, f X b) Puisqu lim lim 0 ( posat X ), o déduit qu lim +, doc par + quotit qu f X lim + + ) Puisqu pour tout, < +, o aura + < doc + > c'st-à-dir f ( ) >. Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 4/9 vrsio du 4/0/08

35 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR La courb rpréstativ d f st doc toujours situé au dssus d la droit d'équatio y D plus, puisqu pour tout, > 0 t + > 0, o aura 0 + > doc + < 0 c'st-àdir f ( ) < 0. La courb rpréstativ d f st doc toujours situé dssous d l'a ds abscisss. Corrctio d l'rcic 4 (rtour à l'éocé) ( 4 ) l 5 l 5 l 5 l 65 l 5 4l 5 l l l 5 l l 55 l l l 5 5 l 5 5 l 5 + l 5 l ( 5 ) + l 5 l 5 + l 5 l 5 4 4l5 l8 4l 5 l 4 l + l 5 4l 4l + 4l 5 4l 4l 5 Corrctio d l'rcic 4 (rtour à l'éocé) ) l 6 l ( ) l + l a+ b l 9 l l b l l l a b l l l ( l ( 4 ) ) ( l 4 + l ) l ( ) l l l a b l 7 l 8 9 l8 + l 9 l + l l + l a+ b l l l l l l l l a b ) a) A l ( + 5) + l ( 5) l ( + 5) ( 5 ) l ( + 5) ( 5) 7l 5 7l 9 5 7l 4l b) Pour tout >, + l l l l + l B Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 5/9 vrsio du 4/0/08

36 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Corrctio d l'rcic 4 (rtour à l'éocé) ( ) l l + l + l + ( ) ( ) l + l + 0 l l ( l l ) ( ) 0 Corrctio d l'rcic 44 (rtour à l'éocé) 05 S l l l Corrctio d l'rcic 45 (rtour à l'éocé) ) a) L'équatio st défii pour tout rél tl qu ( + 8) > 0 L tablau d sigs d A ( 8) + st : L'équatio st doc défii pour tout ] 8[ ] 0; + [ Pour tout ] 8[ ] 0; + [ : ( ) ( ) l 8 l l 8 l d la form qui st u équatio avc a, b 8 t c 9. a b c O calcul so discrimiat : Puisqu > 0, l'équatio admt du solutios disticts : b 8 00 b t. a a Puisqu ] 8[ ] 0; + [ t ] 8[ ] 0; [ l ( ( + 8) ) l st S { 9;} +, l'smbl ds solutios d l'équatio Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 6/9 vrsio du 4/0/08

37 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR b) L'équatio st défii pour touts ls valurs d tlls qu'o ait simultaémt > 0 ] 0; + [ t + 8 > 0 ] 8; + [, doc sur ] 0; [ ] 8; [ ] 0; [ Pour tout ] 0; + [, l + l + 8 l l + 8 l, équatio qui a été résolu das la qustio ) : b 8 00 b O a trouvé 9 t. a a Mais puisqu ] 0; + [, l'smbl ds solutios d l'équatio l + l ( + 8) l st S { } c) L'équatio st défii pour touts ls valurs d tlls qu'o ait simultaémt > 0 ] ; + [ t > 0 ] ; + [, doc sur ] ; [ ] ; [ ] ; [ Pour tout ] ; + [, l l l l ( ) ( ) ( ) Puisqu ] ; + [, ds solutios d l'équatio ( ) ( ) l l st S ) a) L'iéquatio st défii pour touts ls valurs d tlls qu'o ait simultaémt > 0 ] ; + [, 4 0 ] 4; [ + > + t + > 0 ; +, doc sur ] ; + [ ] 4; + [ ; + ] ; + [ Pour tout ] ; + [,. Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 7/9 vrsio du 4/0/08

38 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR ( ) + ( + ) ( + ) l ( )( 4) l l l 4 l ( ) ( ) ( ) ( ) + + l l + l + 8 l Notos P qui st u triôm d la form 0 c 0. O calcul so discrimiat : ( ) 4 ( 0) 4. P a + b + c avc a, b t Puisqu > 0, l triôm P admt du racis disticts : b 4 4 a b t. a Puisqu a > 0, o coclut qu l sig d P st doé par l tablau suivat : Aisi, 0 0 P 0 si t sulmt si ] ; ] [ ; + [ L'smbl ds solutios d l'iéquatio l ( ) l ( 4) l ( ) st + 4 S (] ; ] [ ; + [ ) ] ; + [ ; + car + 4 > b) L'iéquatio st défii pour touts ls valurs d tlls qu'o ait simultaémt + > 0 ] ; + [ t + > 0 ] ; + [, doc sur ] ; [ ] ; [ ] ; [ Pour tout ] ; + [, ( + ) ( + ) l ( ) l ( ) ( ) l l Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 8/9 vrsio du 4/0/08

39 Calcul algébriqu - rcics corrigés documt dispoibl sur JGCUAZ.FR Notos + qui st u triôm d la form P c. O calcul so discrimiat : 4 ( ) 5. P a + b + c avc a, b t b 5 5 Puisqu > 0, l triôm P admt du racis disticts : a t b Puisqu a > 0, o coclut qu l sig d P st doé par l tablau a suivat : Aisi, + 0 P 0 si t sulmt si ] ; ] [ ; + [ L'smbl ds solutios d l'iéquatio l ( ) l ( ) + + st + 5 S (] ; ] [ ; + [ ) ] ; + [ ; + car 5 < + 5 > Calcul algébriqu - rcics corrigés Pag 9/9 vrsio du 4/0/08