PRODUIT SCALAIRE - EXERCICES CORRIGES

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1 PRODUIT SCLIRE - EXERCICES CORRIGES Ce documen oalemen graui (disponible parmi bien d'aures sur la page JGCUZ.FR rubrique mahémaiques) a éé conçu pour aider ous ceu qui désiren ravailler sur le produi scalaire. Il conien 5 eercices corrigés inégralemen, classés par hèmes e/ou par niveau. La page JGCUZ.FR éan en consane évoluion (ajou de nouveau eercices, amélioraions), il es conseillé de régulièremen la visier pour élécharger la nouvelle version de ce fichier. Pour oue remarque, merci de vous rendre sur la page JGCUZ.FR où vous rouverez mon adresse élecronique (qui es JGCUZ@HOTMIL.COM à la dae du 4//8) Egalemen disponible une page facebook hps:// Monpellier, le 4//8 Jean-Guillaume CUZ, professeur de mahémaiques, Lcée Clemenceau, Monpellier depuis Lcée Miliaire de Sain-Cr, de à Produi scalaire - eercices corrigés Page /47 version du 4//8

2 PRODUIT SCLIRE - EXERCICES CORRIGES Produi scalaire e normes Eercice n (correcion) CD es un parallélogramme el que 5, C 9 e D 6. Calculer D, CD, C,, C CD Eercice n (correcion) CD es un losange el que, C 6 ) Calculer la longueur de la diagonale [D]. ) Calculer les produis scalaires D, C, CD D, CD, C D Produi scalaire - epression à l'aide de coordonnées Eercice n (correcion) On considère les poins (-;-), (4;) e C(;-6). Calculer C, C, C, C C Eercice n 4 (correcion) On considère les poins (-;), (6;-), C(;4) e D(;-). Monrer que les droies () e (CD) son perpendiculaires. Eercice n 5 (correcion) Soi les poins (5;) e (-;). Déerminer les coordonnées du poin C de elle sore que C apparienne à l'ae des abscisses e que le riangle C soi recangle en. Eercice n 6 (correcion) On considère les poins (-;), (6;) e C(4;5). ) Monrer que le riangle C es recangle en C. ) Déerminer le cenre e le raon de son cercle circonscri Produi scalaire - eercices corrigés Page /47 version du 4//8

3 Eercice n 7 (correcion) On considère les poins E(;), F(;-5) e G(7;8). ) Déerminer la naure du riangle FEG. ) Calculer les coordonnées du poin H el que EFHG es un recangle Propriéés du produi scalaire Eercice n 8 (correcion) Sachan que C, calculer : C, C, C, C e 4C Eercice n 9 (correcion) u e v son deu veceurs els que u 6, v 4 Calculer ( u v), ( u v) e ( u v) ( uv). e u v 5. Eercice n (correcion) CD es un parallélogramme el que 6, D 7 e D ) Calculer D DC e en déduire D ) En remarquan que C CD D calculer C e en déduire la longueur de la diagonale [C]. Eercice n (correcion) Soi deu veceurs u e v. ) Monrer que u v ( u v u v ) ) pplicaion : C es un riangle el que, C 7 e C 6. Calculer C, C e C C. Produi scalaire e projecion orhogonale Eercice n (correcion) C es un riangle équilaéral de côé 5. Calculer : C, C, C, C e C C Produi scalaire - eercices corrigés Page /47 version du 4//8

4 Eercice n (correcion) EFG es un riangle dans lequel on noe H le pied de la haueur issue de F. On suppose que EF 4, EH e HG 5. Calculer EF EH, EF EG, GE GH, HF HE e GE FG Eercice n 4 (correcion) CD es un losange el que C 8 e D. On noe O le cenre de ce losange. Calculer les produis scalaires suivans : C D, C D, C, D e C Eercice n 5 (correcion) Soi C un riangle isocèle en. Démonrer que : ( C) C Eercice n 6 (correcion) CD es un recangle el que 6 e D 4. On noe ' e C' les projeés orhogonau de e C sur [D]. ) Monrer que C D C D ) Monrer que D C D ) Déduire des quesions précédenes la longueur 'C' Epression rigonomérique du produi scalaire Eercice n 7 (correcion) Soi C un riangle el que 5, C 7 e C π. Calculer C 4 Eercice n 8 (correcion) Soi C un riangle. Calculer sachan que C, C 4 e π C Eercice n 9 (correcion). On considère deu veceurs u e v e on noe θ une mesure en radians de l'angle ( uv ; ) Dans chacun des cas suivans, calculer u v. Produi scalaire - eercices corrigés Page 4/47 version du 4//8

5 ) u 5 ) u 4, v 6,, v 9, Eercice n (correcion) 5π θ ) u 5 6 5π θ 4) u 6 Un heagone régulier CDEF es inscri dans un cercle de cenre O e de raon 4. Calculer les produis scalaires suivans : O O ; O OC ; DE ; F FC ; OC D, v,, v, π θ 4 7π θ Eercice n (correcion) Déerminer une valeur approchée à près de l'angle C sachan que : ) C 8, C 4 e C C. ) C 5, C 8 e C C 6. Eercice n (correcion) CD es un rapèze recangle en e D el que 5, D e DC 7. ) Calculer DC, D C, DC C, C e D DC ) Calculer C D ) Calculer C C. En déduire une valeur approchée en degrés de la mesure de l'angle C Eercice n (correcion) On considère un riangle C el que 7, C 4 e C 5. ) Calculer C, C e C C ) En déduire les produis scalaires C e C ) Déerminer des valeurs approchées en degrés, à, près, des angles du riangle C. Produi scalaire - eercices corrigés Page 5/47 version du 4//8

6 Eercice n 4 (correcion) Le plan éan rapporé à un repère orhonormé, on considère les poins (;4), (6;) e C(-5;-) ) Calculer C puis les longueurs e C. ) Déerminer une valeur approchée en degrés, à, près, de l'angle C Eercice n 5 (correcion) Le plan éan rapporé à un repère orhonormé, on considère les poins (;), (-;) e C(6;-4) ) Calculer C e C. ) En déduire une valeur approchée des mesures des angles du riangle C. Calculs de longueurs e d'angles Eercice n 6 (correcion) Un riangle C es el que 9, C 4 e 6. Calculer C. Eercice n 7 (correcion) Un riangle C es el que 5, C 6 e C 8. Déerminer une valeur arrondie au degré près de l'angle Eercice n 8 (correcion) On donne les poins suivans : (;), (;5) e C(-;-). ) Calculer les normes des veceurs, C e C ) Calculer les produis scalaires : C, C e C C ) Calculer une mesure des angles C e C à un degré près 4) H es le projeé orhogonal de sur (C). Calculer H e CH au diième près. Produi scalaire - eercices corrigés Page 6/47 version du 4//8

7 Eercice n 9 (correcion) Un propriéaire souhaie mesurer la disance enre deu erémiés opposées de son errain (C sur la figure), malheureusemen, sa maison l'empêche d'effecuer cee mesure. l'aide des mesures porées sur la figure, calculer la longueur C. Produi scalaire, veceur normal e équaion de droie Eercice n (correcion) Soi ( d ) e ( ) d deu droies d'équaions respecives e ) Pour chacune d'enre elles, déerminer les coordonnées d'un veceur normal. ) Les droies ( d ) e ( ) d son elles perpendiculaires? parallèles? Eercice n (correcion) Parmi les droies suivanes, indiquer en jusifian celles qui son parallèles e celles qui son perpendiculaires. D : D : D : D 4 : 6 Eercice n (correcion) Déerminer une équaion de la droie (d) admean n ( ;5 ) pour veceur normal e passan par le poin (;). Eercice n (correcion) Soi (;), (;-) e C(-;5). ) Déerminer une équaion de la haueur issue de dans le riangle C ) Déerminer une équaion de la médiarice de [C]. Produi scalaire - eercices corrigés Page 7/47 version du 4//8

8 Eercice n 4 - VRI ou FUX? (correcion) ) Deu veceurs normau à une même droie son deu veceurs égau ) Deu droies aan le même veceur normal son parallèles. Equaion de cercle Eercice n 5 (correcion) ) Déerminer l'ensemble E des poins M( ; ) vérifian l'équaion ) Déerminer l'ensemble E des poins M( ; ) vérifian l'équaion Eercice n 6 (correcion) Déerminer une équaion du cercle de diamère [] avec (4;5) e (-;7). Eercice n 7 (correcion) Déerminer une équaion du cercle de cenre I(-;) e passan par le poin M(;). Ce cercle passe--il par le poin O? Eercice n 8 (correcion) Soi E l'ensemble des poins M( ; ) vérifian l'équaion 4 ) Démonrer que E es un cercle don on déerminera le cenre e le raon ) Démonrer que ce cercle passe par l'origine du repère ) Déerminer une équaion de la angene à E en O. Eercice n 9 (correcion) ) Déerminer une équaion du cercle C de cenre Ω( 8;6) e de raon r. ) Déerminer les coordonnées des poins d'inersecion du cercle C avec les aes de coordonnées Eercice n 4 (correcion) Eudier l'inersecion du cercle de cenre C(;) e de raon 4 e de la droie d'équaion Produi scalaire - eercices corrigés Page 8/47 version du 4//8

9 Produi scalaire dans l'espace Eercice n 4 (correcion) Le plan P a pour équaion : z 7 ) Donner un veceur normal à P ) a) Donner les coordonnées d'un poin M de P. b) Le poin L(;-;) apparien-il au plan P? c) Déerminer le réel z pour que le poin N(;5;z) apparienne au plan P. Eercice n 4 (correcion) Le plan P a pour équaion : z 6 ) Donner un veceur normal à P ) a) Déerminer les coordonnées du poin, inersecion du plan P avec l'ae des abscisses (O). b) Déerminer les coordonnées des poins e C, inersecions respecives du plan P avec les aes (O) e (Oz). ) Dans un repère de l'espace, placer les poins, e C. Tracer les droies (), (C) e (C), races du plan P sur les plans de coordonnées Eercice n 4 (correcion) Déerminer un veceur normal n pour chacun des plans suivans : P : z P : P : P : z 4 Eercice n 44 (correcion) Déerminer une équaion du plan P passan par le poin e de veceur normal n ) (;-;5) e n ( ; ;) ) (4;-;) e n ( 5;; ) ) (;;) e ( ;;) n Eercice n 45 (correcion) On considère le plan P d'équaion : 6z 8 ) Donner un veceur normal n au plan P ) Déerminer une équaion du plan P' parallèle au plan P passan par le poin (6;-4;-4). Produi scalaire - eercices corrigés Page 9/47 version du 4//8

10 Eercice n 46 (correcion) Dans chacun des cas suivans, préciser si les plans P e P' son parallèles : a) P d'équaion z 5 e P' d'équaion z 7 b) P d'équaion 5z 4 e P' d'équaion 9 5z 6 c) P d'équaion z 8 e P' d'équaion 4 8z Eercice n 47 (correcion) On considère les poins (;; ), (5; ;) e C (;;). Déerminer une équaion carésienne du plan P passan par C e orhogonal à la droie ( ).. Déerminer les coordonnées du poin H, projeé orhogonal du poin sur le plan P.. Déerminer de deu manières la disance du poin au plan P. 4. a. Epliquer pourquoi les droies ( ) e ( CH ) son perpendiculaires. b. Déerminer la disance du poin C à la droie ( ). 5. Soi M un poin quelconque de la droie ( ). On pose M. a. Eprimer les coordonnées de M en foncion de. b. On pose f () CM. Monrer que f( ) c. Eudier les variaions de f e en déduire les coordonnées du poin M de la droie ( ) pour lequel la longueur CM es minimale. Pouvai-on prévoir ce résula? Eercice n 48 (correcion) Une seule réponse juse par quesion. onne réponse poin Mauvaise réponse -,5 poin bsence de réponse poin ucune jusificaion n'es demandée. D e D' son les droies de représenaions paramériques respecives P e z e ' '. z 4 ' P ' son les plans d'équaions carésiennes respecives z e z.. Les droies D e D ' son : a. sécanes b. orhogonales c. non coplanaires Produi scalaire - eercices corrigés Page /47 version du 4//8

11 . Les plans P e P ' son : a. parallèles b. orhogonau c. sécans. La droie D e le plan P son : a. sécans b. orhogonau c. parallèles 4. La droie D e le plan P ' son : a. sécans b. orhogonau c. parallèles 5. Un veceur direceur de la droie inersecion de P e P ' es : a. 5 u b. 5 u c. 5 u Eercice n 49 (correcion) - accalauréa TS Pondicher 6 Candidas n aan pas suivi l enseignemen de spécialié CDEFGH désigne un cube de côé. Le poin I es le milieu du segmen [F]. Le poin J es le milieu du segmen [C]. Le poin K es le milieu du segmen [CD]. Parie Dans cee parie, on ne demande aucune jusificaion On adme que les droies (IJ) e (CG) son sécanes en un poin L. Consruire en laissan apparens les rais de consrucion : - le poin L ; - l inersecion D des plans (IJK) e (CDH) ; - la secion du cube par le plan (IJK). Parie. L espace es rapporé au repère ( ; ; D; E) Produi scalaire - eercices corrigés Page /47 version du 4//8

12 . Donner les coordonnées de, G, I, J e K dans ce repère.. a. Monrer que le veceur G es normal au plan (IJK). b. En déduire une équaion carésienne du plan (IJK).. On désigne par M un poin du segmen [G] e le réel de l inervalle [;] el que M G a. Démonrer que MI 5 4 b. Démonrer que la disance MI es minimale pour le poin N ; ; 4. Démonrer que pour ce poin N ; ; a. N apparien au plan (IJK). b. La droie (IN) es perpendiculaire au droies (G) e (F). Eercice n 5 (correcion) - Concours FESIC/Puissance 6 VRI ou FUX? (Sans calcularice) Oi jk Dans l espace muni d un repère orhonormé ( ; ; ; ) carésiennes respecives (P) : z e (Q) : - z 4., on donne les plans (P) e (Q) d équaions (D) es la droie don une représenaion paramérique es a. Le plan (Q) es orhogonal à l ae des abscisses. b. Les plans (P) e (Q) son sécans suivan une droie. c. Une équaion carésienne de es 5z 5. d. D es parallèle à. 5 z pour ou réel. Produi scalaire - eercices corrigés Page /47 version du 4//8

13 Correcion de l'eercice n (énoncé) PRODUIT SCLIRE - CORRECTION ( ) ( ) D D D C D ( C D ) ( ) CD ( CD CD ) ( CD ) ( CD ) ( 5 5 ) 5 C ( C C ) ( C C ) ( C CD ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( 5 5 ) 5 C CD C CD C CD C C CD ( C C CD ) ( ) ( ) ( ) Produi scalaire - eercices corrigés Page /47 version du 4//8

14 Correcion de l'eercice n (énoncé) ) Les diagonales d'un losange se coupan perpendiculairemen en leur milieu, on applique le héorème de Phagore dans le riangle I recangle en I. On a I I donc I 6 donc D. ) On a ( ) ( ) D D D C D ( C D ) ( 6 ) 8 C ( C C ) ( D C ) ( D C ) ( ) 8 CD D ( CD D CD D ) ( D CD D ) ( D CD D ) ( D CD D ) ( ) 8 ( ) ( ) CD CD CD CD ( D ) ( ) C D C D C D C C D ( 4 C C D ) ( 4 ) ( ) ( ) Produi scalaire - eercices corrigés Page 4/47 version du 4//8

15 Correcion de l'eercice n (énoncé) Les coordonnées de 4 5; 4 Les coordonnées de C son ( ) ( ) ( ) son C ( ) ( ) ( C ; C 6 ) On a donc C 5 4 ( ) Les coordonnées de C son C ( 4 ; 6 7) On a donc C ( ) ( ) Les coordonnées de son ( 5; 4) C C. Les coordonnées de C son C( ;) On a donc C ( 5) ( ) ( 4) Les coordonnées de C son C( ;7). On a donc C C ( ) 7 5 Correcion de l'eercice n 4 (énoncé) Les coordonnées de son ( 6 ( ) 9; ) Les coordonnées de CD son CD( D C ; D C 4 6) On a donc CD 9 ( ) ( ) ( 6) Puisque CD, les veceurs e CD son orhogonau, donc les droies () e (CD) son perpendiculaires. Correcion de l'eercice n 5 (énoncé) C C C. Puisque C apparien à l'ae des abscisses, on a C. Puisque le riangle C es recangle en, on doi avoir C Les coordonnées de son ( 5 8; ) Les coordonnées de C son C ( C C 5; C ) L'égalié C 8 5 qui se résou : Noons ( ; ) se radui alors par l'équaion ( ) ( ) ( ) C 46 8( C 5) ( ) ( ) 8C 4 6 C. On a donc 8 4 C ; 4 Produi scalaire - eercices corrigés Page 5/47 version du 4//8

16 Correcion de l'eercice n 6 (énoncé) ) Les coordonnées de C son C ( C 4 6; C 5 4) Les coordonnées de C son C ( C 6 4 ; C 5 ) On a donc C C 6 ( 4) ( ) Puisque C C, les veceurs C e C son orhogonau, donc les droies (C) e (C) son perpendiculaires donc le riangle C es recangle en C. ) Puisque le riangle C es recangle en C, son cercle circonscri aura pour cenre le milieu de l'hpoénuse [], à savoir le poin de coordonnées ;,5 e pour raon. Puisque ( ) ( ) ( ) 6 65, le raon du cercle vaudra 65. Correcion de l'eercice n 7 (énoncé) ) Les coordonnées de EF son EF ( F E 8; F E 5 5) Les coordonnées de EG son EG ( G E 7 5; G E 8 8) Les coordonnées de FG son FG ( G F 7 7; G F 8 ( 5) ) On a donc EF EG 8 5 ( 5) 8 Puisque EF EG, les veceurs EF e EG son orhogonau, donc les droies (EF) e (EG) son perpendiculaires donc le riangle EFG es recangle en E. ) Noons ( ; ) H H H. Puisque le riangle EFG es déjà recangle en E, le quadrilaère EFHG sera un recangle si e seulemen si EF GH. Les coordonnées de EF son EF ( F E 8; F E 5 5) Les coordonnées de GH GH 7; 8 son ( ) H G H H G H L'égalié EF GH se radui alors par le ssème H H. H 8 5 H On a donc H(5;). Produi scalaire - eercices corrigés Page 6/47 version du 4//8

17 Correcion de l'eercice n 8 (énoncé) C C C On a : ( ) C C C ( ) C C C C ( ) ( ) ( ) ( ) C C C ( ) ( ) 4C 4 C Correcion de l'eercice n 9 (énoncé) u v u u v v ( ) ( ) ( u v) u u v v ( ) u v u v u v 6 4 ( ) ( ) Correcion de l'eercice n (énoncé) D DC D DC D DC D D DC ) ( ) ( ) 5 ( D D DC ) ( 7 6 ) Puisque CD es un parallélogramme, on a DC donc : 5 D DC D D DC D DC ) Puisque C CD D, on aura : C CD D CD CD D D ( ) CD D D CD D CD D DC Puisque ( ) 5, on en conclu : 5 C CD CD D D La diagonale [C] a pour longueur 7 Produi scalaire - eercices corrigés Page 7/47 version du 4//8

18 Correcion de l'eercice n (énoncé) ( ) ( ) u v u v u v u u v v u v u v d'où ) On calcule ( ) ( ) le résula. ) On a : ( ) ( ) ( C C ) ( C C ) ( ) ( ) ( ) ( C C ) ( C C ) ( ) ( ) ( ) ( C C ) ( C C ) ( ) C C C C C 6 7 C C C C C 7 6 C C C C C C C C C C Correcion de l'eercice n (énoncé) Noons I projeé orhogonal de C sur []. Puisque C es équilaéral, la haueur [CI] es aussi médiarice de []. I es donc le milieu de []. Produi scalaire - eercices corrigés Page 8/47 version du 4//8

19 5 5 insi, C I I 5 5 5, C C I 5, C C C 5 e C C De même, si on noe J le projeé orhogonal de sur [C], on aura : C C C ( C) C C CJ C CJ C 5 Correcion de l'eercice n (énoncé) EF EH EH EH EH 4, EF EG EH EG EH EG 7 4 e GE GH GE GH HF HE car H éan le pied de la haueur issue de F, les droies (HF) e (HE) seron orhogonales. GE FG GE GF GE GH GE GH Produi scalaire - eercices corrigés Page 9/47 version du 4//8

20 Correcion de l'eercice n 4 (énoncé) Puisque CD es un losange, les diagonales [C] e [D] son orhogonales donc C D. Le poin O es donc le projeé orhogonal de C sur [D] de sore que C D O D O D 5 5 Le poin O es le projeé orhogonal de sur [C] de sore que : C O C O C 4 8 Le poin O es le projeé orhogonal de e de D sur [C] de sore que : D O O O 6 Le poin O es le projeé orhogonal de e de C sur [D] de sore que : C O O O 5 Correcion de l'eercice n 5 (énoncé) Si on noe D le quarième somme du parallélogramme DC, on aura ( ) C C D C Puisque le riangle C es isocèle en, ce parallélogramme DC es en fai un losange. C C Or dans un losange les diagonales son orhogonales. Voila pourquoi ( ) Produi scalaire - eercices corrigés Page /47 version du 4//8

21 Correcion de l'eercice n 6 (énoncé) ) On uilise la relaion de Chasles e on développe : C D ( C C C) D D C D C C D Or ' e C' son les projeés orhogonau de e C sur [D], donc D Voila pourquoi C D C D ) Monrer que D C D D D D D On écri ( ) ( ) e C C D. Or D C e D D D, d'où le résula. ) Déduire des quesions précédenes la longueur 'C' Puisque les veceurs C e D son colinéaires de sens conraires, on a C D C D. Dans le riangle D recangle en, le héorème de Phagore fourni D 4 6 5, donc C D C D C D'aure par d'après la quesion ), C D D 4 6 En égalan les deu epressions, on obien C d'où on conclu que C Correcion de l'eercice n 7 (énoncé) On a ( π 5 C C cos C) 5 7 cos 4 Correcion de l'eercice n 8 (énoncé) On écri ( C C cos C) 4 cos π 4 Puisque C on en dédui 5 Produi scalaire - eercices corrigés Page /47 version du 4//8

22 Correcion de l'eercice n 9 (énoncé) 5π ) u v u v cosθ 5 6 cos 5 6 π ) u v u v cosθ 5 cos 5 4 5π ) u v u v cosθ 4 9 cos π 4) u v u v cosθ cos 6 Correcion de l'eercice n (énoncé) L'heagone es consiué de si riangles équilaérau. π O O O O cos ( O; O) 4 4 cos 6 8 π O OC O OC cos ( O; OC) 4 4 cos 6 8 Les veceurs e DE éan colinéaires de sens, conraire on a DE DE 6 π F FC F FC cos ( F; FC) 4 8 cos 6 Le quadrilaère OCD éan un losange, ses diagonales son orhogonales. insi, OC D Correcion de l'eercice n (énoncé) ) C 8, C 4 e C C. On a C C C C cos ( C) 8 4 cos ( C) cos( C ). Puisque C C, on en dédui que ( cos C ). Grâce à la calcularice, on en dédui que C 68 à près. 8 ) On a C C C C cos ( C) 5 8 cos ( C) 4cos( C ). Puisque C C 6, on en dédui que ( 6 cos C). Grâce à la calcularice, on en dédui que C 99 à 4 près. Produi scalaire - eercices corrigés Page /47 version du 4//8

23 Correcion de l'eercice n (énoncé) ) DC DC Le segmen [C] se projee orhogonalemen sur [D]. insi, D C D D D 9 Noons H le projeé orhogonal de sur [DC]. On aura DC C CD C CD CH CD CH 7 4 Noons I le projeé orhogonal de C sur []. On aura C C I I 5 Enfin, D DC DH DC DH DC Produi scalaire - eercices corrigés Page /47 version du 4//8

24 ) D'après la relaion de Chasles, C D ( D DC) D D D DC D éan le projeé orhogonal de sur [D], on a D D D D D D D 9 De plus, on a déjà calculé DC D D DC 5. On en conclu que C D ) D'après la relaion de Chasles, C C ( CD D) C CD C D C Le segmen [C] se projean orhogonalemen sur [D], on a D C D D D 9 De plus, on a déjà calculé CD C DC C 4. On en conclu que C C 9 4 Dans le riangle CD recangle en D, le héorème de Phagore nous perme de calculer C 7 58 Dans le riangle IC recangle en I, le héorème de Phagore nous perme de calculer C Puisque C C C C cos ( C ) 58 cos ( C ) 44 cos( C) C C, on en dédui ( cos C ). On en dédui C 45 à près. 44 e puisque Correcion de l'eercice n (énoncé) ) ( ) ( ) C C C C C ( C C ) ( ) 9 C C C C C ( C C ) ( ) C C C C C C C C ( C C ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) Produi scalaire - eercices corrigés Page 4/47 version du 4//8

25 ) On calcule : C ( C) C ( ) 49 9 e C C ) Puisque C C cos C 7 5 cos C 5cos( C) ( ) ( ) C 9, on en dédui ( 9 cos C ). On en dédui C 4 à, près. 5 e puisque Puisque C C cos( C) 7 4 cos( C) 8cos( C) e C, on en dédui ( 5 cos C ). On en dédui C 44,4 à, près. 8 7 puisque La somme des mesures en degré des rois angles d'un riangle éan égale à 8, on en dédui que C 8 ( 44, 4 4 ),6 Correcion de l'eercice n 4 (énoncé) ) Les coordonnées de son ( 6 6; 4 ) Les coordonnées de C son C ( C 5 5; C 4 6) On a donc C 6 ( 5) ( ) ( 6) 4 De plus, 6 ( ) 7 e C C ( 5) ( 6) 6 ) Puisque C C cos C 7 6 cos C 57 cos( C) puisque C 4, on en dédui cos ( ) ( ) 4 ( C ). On en dédui C, 57 e à près. Correcion de l'eercice n 5 (énoncé) ) Les coordonnées de 4; Les coordonnées de C C 6 5; 4 7 son ( ) son ( ) C C Produi scalaire - eercices corrigés Page 5/47 version du 4//8

26 On a donc C 4 5 ( ) ( 7) Les coordonnées de C son C ( C 6 ( ) 9; C 4 6) Les coordonnées de son ( 4;). On a donc C 9 4 ( 6) 4 7, C C 5 ( 7) 74 e ) On calcule ( ) ( ) C C 9 ( 6) 7 Puisque C C cos C 7 74 cos C 58 cos( C) C, on en dédui cos ( ) ( ) 7 ( C ). On en dédui C 8,6 58 à, près. e puisque Puisque C C cos ( C ) 7 7 cos ( C ) 989 cos( C) e puisque C C, on en dédui ( cos C ). On en dédui C 47,7 à, près. 989 La somme des mesures en degré des rois angles d'un riangle éan égale à 8, on en dédui que C 8 ( 8,6 47,7 ),7 Correcion de l'eercice n 6 (énoncé) On applique la formule d'l-kashi au riangle C : C ( ) C Ccos cos( 6 ) On en conclu que C 9 Correcion de l'eercice n 7 (énoncé) On applique la formule d'l-kashi au riangle C : C C C cos( ) Puisque 5, C 6 e C 8, cee formule se réécri : cos( ). insi, ( cos ). 8 8 Grâce à la calcularice, on en dédui que 49 à près. Produi scalaire - eercices corrigés Page 6/47 version du 4//8

27 Correcion de l'eercice n 8 (énoncé) ) Les coordonnées de ( ) 8 Les coordonnées de C C C C C ( 5) ( ) 4 Les coordonnées de C C C ; C 5 6 C C 6 4 ( ) ( ) son ( ; 5 ) son C ( 5; ) son ( ) ) parir des coordonnées des différens veceurs, calculées dans la quesion précédene, on calcule : C ( ) ( 5) ( ) 6, C C ( ( ) ( ) ( 6) ) C C C C ( 5) ( ) ( ) ( 6) 8 ) On applique la formule d'l-kashi au riangle C : C C C cos C Cee formule se réécri ( C C cos C) C Grâce à la calcularice, on en dédui que C 76 à près. donc ( ) donc donc On applique la formule d'l-kashi au riangle C : C C C C cos( C) Cee formule se réécri ( C C cos C) C C Grâce à la calcularice, on en dédui que C 4 à près. 4) Puisque H es le projeé orhogonal de sur (C), on a C H C H C C 6 4 On a donc H e on en dédui que : C CH C H Produi scalaire - eercices corrigés Page 7/47 version du 4//8

28 Correcion de l'eercice n 9 (énoncé) On applique la formule d'l-kashi au riangle E : E E E E cos( E) Cee formule se réécri ( E E 47, 4 499, 4 5 cos E) E E 47, 4 499, 4 Grâce à la calcularice, on en dédui une valeur approchée de E On applique la formule d'l-kashi au riangle CE : C E EC E EC cos( EC ) Cee formule se réécri ( E EC C 499, 4 445,8 5, cos EC) E EC 499, 4 445,8 Grâce à la calcularice, on en dédui une valeur approchée de EC Par addiion, on connaî une valeur approchée de l'angle EC : On applique la formule d'l-kashi au riangle EC : C E EC E EC cos ( EC) ( ) 47, 4 445,8 47, 4 445,8cos 7, 87 5,879 On en dédui que C 5, m Produi scalaire - eercices corrigés Page 8/47 version du 4//8

29 Correcion de l'eercice n (énoncé) d es de la forme avec a 5 e b 4. à savoir ( ) ) L'équaion de ( ) a b c Un veceur normal à ( d ) es le veceur n ( ab ; ) L'équaion de ( d ) se réécri Un veceur normal à ( d ) es le veceur n ( ab ; ) ) Les droies ( d ) e ( ) orhogonau. Or n n ( ) ( ) es de la forme a b c avec a e b. à savoir n ( ; ) d seron perpendiculaires si e seulemen si leurs veceurs normau son Puisque n n, les veceurs n e n ne son pas orhogonau, donc les droies ( d ) e ( ) Les droies ( d ) e ( ) d ne son pas perpendiculaires. d seron parallèles si e seulemen si leurs veceurs normau son colinéaires 4 8. Or les produis en croi enre leurs coordonnées valen 5 ( ) 5 e ( ) Comme ils son différens, les veceurs n e ( d ) ne son pas parallèles n ne son pas colinéaires, donc les droies ( ) d e Correcion de l'eercice n (énoncé) Les veceurs normau respecifs de ces quare droies son n ( ; ), n ( ; ), n ( ; ) Comme n 4 n, on en conclu que les droies D e D 4 son parallèles. Comme n n ( ) on en conclu que les droies D e D son perpendiculaires Des deu propriéés précédenes, on dédui que D e D 4 son perpendiculaires e n 4 ( ;6 ). Correcion de l'eercice n (énoncé) Une équaion de (d) es de la forme a b c avec n( ab ; ) pour veceur normal. Une équaion de (d) es donc de la forme 5 c. Puisque (;) es un poin de (d), on a donc 5 c c 8. Une équaion de (d) es donc 5 8. Produi scalaire - eercices corrigés Page 9/47 version du 4//8

30 Correcion de l'eercice n (énoncé) ) La haueur issue de dans le riangle C es perpendiculaire à [C], donc adme le veceur C ; 5 7 pour veceur normal. ( C C ( ) ) Une de ses équaions es de la forme 7 c. Puisqu'elle passe par, on a donc 7 c 7 c c La haueur issue de dans le riangle C adme pour équaion 7 ) La médiarice de [C] es perpendiculaire à [C], donc adme le veceur C ; 5 7 pour veceur normal. ( C C ( ) ) Une de ses équaions es de la forme 7 c. Comme elle passe par le milieu I de [C], don les coordonnées son C C I I ; I, on a : I 7I c 7 c c 5 La médiarice de [C] adme pour équaion 7 5 Correcion de l'eercice n 4 - VRI ou FUX? (énoncé) ) FUX. Ils peuven êre colinéaires enre eu ) VRI car leur veceurs direceurs respecifs son orhogonau à leur normal, donc ces veceurs direceurs son colinéaires. Correcion de l'eercice n 5 (énoncé) ) L'équaion 8 6 se réécri successivemen : 8 6 ( ) ( 4) 6 6 ( ) ( 4) On reconnaî l'équaion d'un cercle de cenre Ω ( ; 4 ) e de raon r ) L'équaion 8 9 se réécri successivemen : 8 9 ( ) ( ) ( ) ( ) Puisque pour ou couple ( ; ) de réels, on a ( ) ( ) vide. 4, l'ensemble E es l'ensemble Produi scalaire - eercices corrigés Page /47 version du 4//8

31 Correcion de l'eercice n 6 (énoncé) Les coordonnées de M son M ( M 4 ; M 5 ) Les coordonnées de M M M ; M 7 L'égalié M M se réécri successivemen : ( )( ) ( )( ) son ( ) Correcion de l'eercice n 7 (énoncé) Le cercle de cenre I(-;) e passan par le poin M(;) a pour raon IM IM 8. ( ( )) ( ) Il es consiué de l'ensemble des poins N( ; ) els que IN IN Puisque ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), l'égalié IN IN 8. IN 8 se réécri successivemen : Puisque 6, c'es-à-dire que les coordonnées de O ne vérifien pas l'équaion du cercle, on en dédui que le poin O n'apparien pas au cercle (Méhode : on vérifie que I ) Correcion de l'eercice n 8 (énoncé) ) L'équaion 4 se réécri successivemen : 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 5 Produi scalaire - eercices corrigés Page /47 version du 4//8

32 On reconnaî l'équaion d'un cercle de cenre Ω ( ; ) e de raon r 5 ) Puisque 4, les coordonnées du poin O vérifien l'équaion du cercle, donc le poin O apparien au cercle. ) La angene au cercle E en O es une droie passan par O e admean le veceur ΩO O Ω ( ) ; O Ω ( ) pour veceur normal, donc une équaion de la ( ) forme c. Puisque O apparien à cee angene, on a c c c La angene au cercle E en O adme donc pour équaion O O Correcion de l'eercice n 9 (énoncé) ) Le cercle C de cenre Ω( 8;6) e de raon r es consiué de l'ensemble des poins M( ; ) els que Ω M Ω M. Ω M Ω M Puisque ( ) ( ) ( ) 8 6 ( 8 ) ( 6) , l'égalié Ω se réécri successivemen : ) Le poin O apparien déjà au cercle C car ses coordonnées vérifien l'équaion de C. Noons ( ; ) l'inersecion de C e de l'ae des abscisses. On a déjà. De plus, puisque apparien au cercle C, on a soluions son e 6 M 6, équaion qui se réécri ( 6) e don les. Les deu poins d'inersecion de C avec l'ae des abscisses son donc le poin de coordonnées (-6;) e le poin de coordonnées (;) (le poin O!) Noons ( ; ) l'inersecion de C e de l'ae des ordonnées. On a déjà. De plus, puisque apparien au cercle C, on a, équaion qui se réécri ( ) e don les soluions son e. Les deu poins d'inersecion de C avec l'ae des ordonnées son donc le poin de coordonnées (;) e le poin de coordonnées (;) (le poin O!) Produi scalaire - eercices corrigés Page /47 version du 4//8

33 Correcion de l'eercice n 4 (énoncé) Le cercle C de cenre C(;) e de raon 4 r es consiué de l'ensemble des poins M( ; ) els que CM 4 CM 4. CM CM Puisque ( ) ( ), l'égalié CM 4 se réécri successivemen : ( ) L'(évenuelle) inersecion de ce cercle es de la droie d'équaion es consiuée de l'ensemble des poins M( ; ) don les coordonnées son soluions du ssème que l'on résou par subsiuion : ( ) ( ) L'équaion ses deu racines se résou en calculan son discriminan ( ) 4 ( 5) 64 e ( ) 64 8 e ( ) Si alors. Si 5 alors L'inersecion du cercle e de la droie d'équaion es consiuée des deu poins de coordonnées (-;-) e (5;6). Correcion de l'eercice n 5 (énoncé) ) L'équaion 8 6 se réécri successivemen : 8 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 Produi scalaire - eercices corrigés Page /47 version du 4//8

34 On reconnaî l'équaion d'un cercle de cenre Ω ( ; 4 ) e de raon r ) L'équaion 8 9 se réécri successivemen : 8 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 Puisque pour ou couple ( ; ) de réels, on a ( ) ( ) vide. 4, l'ensemble E es l'ensemble Correcion de l'eercice n 6 (énoncé) Les coordonnées de M son M ( M 4 ; M 5 ) Les coordonnées de M M M ; M 7 L'égalié M M se réécri successivemen : ( )( ) ( )( ) son ( ) Correcion de l'eercice n 7 (énoncé) Le cercle de cenre I(-;) e passan par le poin M(;) a pour raon IM IM 8. ( ( )) ( ) Il es consiué de l'ensemble des poins ( ; ) N els que IN IN 8. IN IN, l'égalié IN 8 se réécri successivemen : Puisque ( ) ( ) ( ) Puisque ( ) ( ) 6, c'es-à-dire que les coordonnées de O ne vérifien pas l'équaion du cercle, on en dédui que le poin O n'apparien pas au cercle (Méhode : on vérifie que I ) Produi scalaire - eercices corrigés Page 4/47 version du 4//8

35 Correcion de l'eercice n 8 (énoncé) ) L'équaion 4 se réécri successivemen : 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 5 On reconnaî l'équaion d'un cercle de cenre Ω ( ; ) e de raon r 5 ) Puisque 4, les coordonnées du poin O vérifien l'équaion du cercle, donc le poin O apparien au cercle. ) La angene au cercle E en O es une droie passan par O e admean le veceur ΩO O Ω ( ) ; O Ω ( ) pour veceur normal, donc une équaion de la ( ) forme c. Puisque O apparien à cee angene, on a c c c La angene au cercle E en O adme donc pour équaion O O Correcion de l'eercice n 9 (énoncé) ) Le cercle C de cenre Ω( 8;6) e de raon r es consiué de l'ensemble des poins M( ; ) els que Ω M Ω M. Ω M Ω M Puisque ( ) ( ) ( ) 8 6 ( 8 ) ( 6) , l'égalié Ω M se réécri successivemen : ) Le poin O apparien déjà au cercle C car ses coordonnées vérifien l'équaion de C. l'inersecion de C e de l'ae des abscisses. On a déjà. De plus, puisque Noons ( ; ) apparien au cercle C, on a soluions son e 6 6, équaion qui se réécri ( 6) e don les. Les deu poins d'inersecion de C avec l'ae des abscisses son donc le poin de coordonnées (-6;) e le poin de coordonnées (;) (le poin O!) Produi scalaire - eercices corrigés Page 5/47 version du 4//8

36 Noons ( ; ) l'inersecion de C e de l'ae des ordonnées. On a déjà. De plus, puisque apparien au cercle C, on a, équaion qui se réécri ( ) e don les soluions son e. Les deu poins d'inersecion de C avec l'ae des ordonnées son donc le poin de coordonnées (;) e le poin de coordonnées (;) (le poin O!) Correcion de l'eercice n 4 (énoncé) Le cercle C de cenre C(;) e de raon 4 r es consiué de l'ensemble des poins M( ; ) els que CM 4 CM 4. CM CM Puisque ( ) ( ), l'égalié CM 4 se réécri successivemen : ( ) L'(évenuelle) inersecion de ce cercle es de la droie d'équaion es consiuée de l'ensemble des poins M( ; ) don les coordonnées son soluions du ssème que l'on résou par subsiuion : ( ) ( ) L'équaion ses deu racines se résou en calculan son discriminan ( ) 4 ( 5) 64 e ( ) 64 8 e ( ) Si alors. Si 5 alors L'inersecion du cercle e de la droie d'équaion es consiuée des deu poins de coordonnées (-;-) e (5;6). Produi scalaire - eercices corrigés Page 6/47 version du 4//8

37 Correcion de l'eercice n 4 (reour à l'énoncé) ) L équaion de P éan de la forme a b cz d, avec a, b, c -, un veceur n a; b; c n ;; normal à P es le veceur ( ) c es-à-dire ( ) ) a) Le poin M( ; ;7), par eemple, apparien au plan P, car ses coordonnées vérifien l équaion z 7 b) Le poin L(;-;) apparien au plan P car ses coordonnées ( ; ; z ) bien l équaion z 7 L L L L vérifien L L L c) Le poin N(;5;z) appariendra au plan P si e seulemen si ses coordonnées vérifien l équaion de P, à savoir z 7 5 z 7 z 4 N N N Pour que le poin N(;5;z) apparienne au plan P, il fau e il suffi que z 4 Correcion de l'eercice n 4 (reour à l'énoncé) ) L équaion de P éan de la forme a b cz d, avec a, b, c, un veceur normal n a; b; c à P es le veceur ( ) c es-à-dire n ( ;; ) ) a) Le poin se rouve sur l ae des abscisses si e seulemen si ses coordonnées son de la forme ( ; ; z ) e il appariendra de surcroî au plan si e seulemen si ses coordonnées vérifien l équaion de P, à savoir, z 6 6. Le poin ( ; ;) es le poin d inersecion du plan P avec l'ae des abscisses (O). b) Le poin ( ; z ) ; sera à l inersecion du plan P e de l ae (O) si e seulemen si ses coordonnées vérifien simulanémen z z z 6 6 Il s agi du poin ( ;6 ;) Le poin C ( ; z ) C ; sera à l inersecion du plan P e de l ae (Oz) si e seulemen si ses C C coordonnées vérifien simulanémen C C C C z C 6 z C C C 6 Il s agi du poin C( ; ;6) ) Voir figure ci-dessous : Produi scalaire - eercices corrigés Page 7/47 version du 4//8

38 Correcion de l'eercice n 4 (reour à l'énoncé) L équaion de P éan de la forme a b cz d, avec a -, b, c, un veceur normal n a; b; c à P es le veceur ( ) c es-à-dire n ( ;; ) L équaion de P éan de la forme a b cz d, avec a, b -, c, un veceur normal n a; b; c n ; ; à P es le veceur ( ) c es-à-dire ( ) L équaion de P éan de la forme a b cz d, avec a, b, c, un veceur normal n a; b; c à P es le veceur ( ) c es-à-dire n ( ;;) L équaion de P 4 éan de la forme a b cz d, avec a, b, c -, un veceur normal n a; b; c n 4 ;; à 4 P es le veceur ( ) c es-à-dire ( ) 4 Produi scalaire - eercices corrigés Page 8/47 version du 4//8

39 Correcion de l'eercice n 44 (reour à l'énoncé) ) Si n ( ;; ) es un veceur normal de P, cela signifie que P adme une équaion de la forme z d. Puisque (;-;5) apparien à P, cela signifie que les coordonnées de vérifien l équaion de P, à savoir z d ( ) 5 d d 5 Une équaion de P es donc z 5. ) Si n ( 5;; ) 5 z d. es un veceur normal de P, cela signifie que P adme une équaion de la forme Puisque (4;-;) apparien à P, cela signifie que les coordonnées de vérifien l équaion de P, à 5 z d 5 4 d d 6 savoir ( ) Une équaion de P es donc 5 z 6. ) Si n ( ;;) z d. es un veceur normal de P, cela signifie que P adme une équaion de la forme Puisque (;;) apparien à P, cela signifie que les coordonnées de vérifien l équaion de P, à savoir z d d d Une équaion de P es donc z. Correcion de l'eercice n 45 (reour à l'énoncé) ) L équaion de P éan de la forme a b cz d, avec a, b -, c 6, un veceur n a; b; c n ; ;6 normal à P es le veceur ( ) c es-à-dire ( ) ) Puisque le plan P' es parallèle au plan P, le veceur ( ; ;6) n normal à P sera aussi normal à P qui admera donc une équaion de la forme 6z d. Puisque (6;-4;-4) apparien à P, cela signifie que les coordonnées de vérifien l équaion de P, 6z d d d à savoir ( ) ( 4) Une équaion de P es donc 6z. Produi scalaire - eercices corrigés Page 9/47 version du 4//8

40 Correcion de l'eercice n 46 (reour à l'énoncé) a) L équaion de P éan de la forme a b cz d, avec a, b, c -, un veceur n a; b; c n ;; normal à P es le veceur ( ) c es-à-dire ( ) L équaion de P éan de la forme a b cz d, avec a -, normal à P es le veceur n ( a; b; c) c es-à-dire n ; ; b, c, un veceur Les veceurs ( ;; ) n e n ; ; n éan pas colinéaires (il n eise pas de réel k unique k saisfaisan à la fois k ), les deu plans P e P' ne son pas parallèles ( ) k b) L équaion de P éan de la forme a b cz d avec a, b, c -5, un veceur n a; b; c n ;; 5 normal à P es le veceur ( ) c es-à-dire ( ) L équaion de P éan de la forme a b cz d, avec a -, b -9, c 5, un veceur normal à P es le veceur n ( a; b; c) c es-à-dire n ( ; 9;5) Puisque les veceurs normau respecifs à P e P, n ( ;; 5) e n ( ; 9;5) son colinéaires (on a n n ), on en dédui que les plans P e P son parallèles. c) L équaion de P éan de la forme a b cz d, avec a, b, c -, un veceur n a; b; c n ;; normal à P es le veceur ( ) c es-à-dire ( ) L équaion de P éan de la forme a b cz d, avec a -4, b -, c 8, un veceur normal à P es le veceur n ( a; b; c) c es-à-dire n ( 4; ;8) Puisque les veceurs normau respecifs à P e P, n ( ;; ) e n ( 4; ;8) son colinéaires (on a n 4n ), on en dédui que les plans P e P son parallèles. Produi scalaire - eercices corrigés Page 4/47 version du 4//8

41 Correcion de l'eercice n 47 (reour à l'énoncé). Puisque le plan P es orhogonal à la droie (), on en dédui que le veceur es normal à P. Les coordonnées de son ( 5 ; ; z z ( ) 4). ;; 4, son équaion es de la forme 4z d. Puisque P adme pour veceur normal ( ) Puisque C apparien à P, ses coordonnées vérifien l équaion de P, à savoir 4z d équaion qui se réécri 4 d d 8 Une équaion de P es donc 4z 8 ;; 4 es un veceur direceur de la droie (), celle-ci adme pour représenaion. Puisque ( ) ( ) paramérique ( ) z( ) z 4 4 Puisque P es orhogonal à la droie (), le projeé orhogonal H du poin sur le plan P sera l inersecion du plan P e de la droie () Les coordonnées du poin H vérifien simulanémen On obien donc : ( ) 4( 4) Le poin H a pour coordonnées z 8 6 z H H H 7 4. La disance du poin au plan P es donnée par : H 9 4 H H H e H H 4z H 8. 4 ( ) ( ) ( z z ) ( ( ) ) H H H a. Puisque la droie () es orhogonale au plan P, elle sera orhogonale à oue droie conenue dans le plan P, en pariculier à (CH). Comme C apparien à (), les droies () e (CH) seron perpendiculaires. Produi scalaire - eercices corrigés Page 4/47 version du 4//8 C C C

42 b. Puisque () e (CH) son perpendiculaires, la disance du poin C à la droie ( ) sera donnée par la disance CH 5 4 ( ) ( ) ( z z ) ( ) H C H C H C a. L égalié M se radui par : z b. M M M f z z z M M M 4 ( ) CM ( ) ( ) ( z z ) ( ) ( ) ( 4 ) 6 9 M C 6 M C 6 6 M C 6 7 c. Puisque la foncion racine es sricemen croissane sur [ ; [, les variaions de f son ideniques à celles de la foncion polnôme P : Puisque P es de la forme minimum pour Il s agi du poin H. a b c avec a 6>, b -6 e c 7, elle aein son b a donc pour le poin M don les coordonnées son z M M M 7 4 Ce résula éai prévisible car le minimum de la disance enre C e les poins M du plan P es réalisé pour le projeé orhogonal de C sur le plan P, donc pour H. Correcion de l'eercice n 48 (reour à l'énoncé). Les droies D e D ' son : a. sécanes b. orhogonales c. non coplanaires Eplicaion : Un veceur direceur de D es u ( ; ; ). Un veceur direceur de D es ( ; ; ) v Produi scalaire - eercices corrigés Page 4/47 version du 4//8

43 Ces deu veceurs n éan ni colinéaires ni orhogonau, les droies ne son ni parallèles ni orhogonales. De plus, le ssème n admean pas de couple soluion ( ), on en dédui que les droies D e D ne son pas sécanes. Elles son donc non coplanaires. Les plans P e ' P son : a. parallèles b. orhogonau c. sécans Un veceur normal de P es ( ) ;; n. Un veceur normal de P es ( ) ; ; n Ces deu veceurs n éan ni colinéaires ni orhogonau, on en dédui que les plans ne son ni parallèles ni orhogonau. Ils son donc sécans. La droie D e le plan P son : a. sécans b. orhogonau c. parallèles Le ssème z z se résou : ( ) 7 8 z z z z Puisqu il adme une unique soluion, on en conclu que la droie D e le plan P son sécans 4. La droie D e le plan ' P son : a. sécans b. orhogonau c. parallèles Produi scalaire - eercices corrigés Page 4/47 version du 4//8

44 Le ssème 4 z z se résou : ( ) ( ) z z z Puisqu il adme une unique soluion, on en conclu que la droie D e le plan P son sécans 5. Un veceur direceur de la droie inersecion de P e ' P es : a. 5 u b. 5 u c. 5 u ( ) 5 z z z z L z L L z L z L z Un veceur direceur de la droie inersecion de P e ' P es ( ) ;; 5 v Un aure es donc ( ) ; ; 5 v u Produi scalaire - eercices corrigés Page 44/47 version du 4//8

45 Correcion de l'eercice n 49 (reour à l'énoncé) - accalauréa TS Pondicher 6 Parie Voir figure ci-dessous Parie. Dans le repère ( ; ; D; E), les coordonnées des sommes du cube son : (; ; ), (; ; ), D(; ; ), E (; ; ), C (; ; ), F (; ; ), H (; ; ), G (; ; ). Le poin I es le milieu de [F] donc I a pour coordonnées I ; ; Le poin J es le milieu de [C] donc J a pour coordonnées J ; ; Le poin K es le milieu de [CD] donc K a pour coordonnées K ;;. a. Le veceur G a les mêmes coordonnées que le poin G c es-à-dire (; ; ). IJ a pour coordonnées IJ J I ; J I ; zj zi On a G IJ donc G e IJ son orhogonau Produi scalaire - eercices corrigés Page 45/47 version du 4//8

46 JK a pour coordonnées JK K J ; K J ; zk zj On a G JK donc G e JK son orhogonau Puisque les veceurs IJ e JK ne son pas colinéaires e puisque G es orhogonal à IJ e JK, le veceur G es normal au plan (IJK). b. Le veceur G es normal au plan (IJK) Le plan (IJK) es l ensemble des poins P( z ; ; ) de l espace els que G es orhogonal à IP. Le veceur IP a pour coordonnées IP I ; I ; z zi z L égalié G IP se réécri : ( ) z. Le plan (IJK) a donc pour équaion z G. Puisque M es un poin vérifian M G, on a donc, d où on dédui que le G z z z G poin M a pour coordonnées ( ; ; ). a. MI IM ( I) ( I) ( z zi) ( ) ( ) b 5 b. Tou rinôme a b c avec a > es minimal pour, donc es minimal a 4 pour MI donc MI es minimal pour cela correspond au poin de coordonnées ; ; 4. a. Le plan (I JK) a pour équaion z e le poin N a pour coordonnées ; ;. On calcule N N zn donc le poin N ; ; apparien au plan (IJK). b. Les poins I e N appariennen au plan (IJK) e le veceur G es normal au plan (IJK). On en dédui que les droies (IJ) e (G) son orhogonales. Le poin N éan le milieu de [G], il apparien à (G). On peu donc en déduire que les droies (IN) e (G) son perpendiculaires en N. Produi scalaire - eercices corrigés Page 46/47 version du 4//8

47 De plus, le veceur IN a pour coordonnées coordonnées F ( ;;). On calcule F IN ; ; e F E a pour donc les veceurs F e IN son orhogonau. La droie(in) es orhogonale à la droie (F). Le poin I apparenan au deu droies (IN) e (F), on peu dire que les droies (IL) e (F) son perpendiculaires en I. Correcion de l'eercice n 5 (reour à l'énoncé) - Concours FESIC/Puissance 6 a. FUX car un veceur normal à (Q) es nq ( ; ; ) qui n es pas colinéaire à i b. VRI car un veceur normal à (P) es n P ( ;;) andis qu un veceur normal à (Q) es nq ( ; ; ) Les veceurs n P e n Q n éan pas colinéaires, on en dédui que les plans (P) e (Q) ne son pas parallèles, donc son sécans suivan une droie c. FUX. La droie es définie par le ssème d équaions carésiennes z L 5z 5 L L z 4 L z 4 L 5z 5 d. VRI Le ssème d équaions carésiennes définissan se réécri z 4, z IR z Un veceur direceur de es donc u ( 5;;). Un veceur direceur de (D) éan u ( 5;;) u, on en dédui que les deu droies e (D) son parallèles. Produi scalaire - eercices corrigés Page 47/47 version du 4//8