Série d exercices n 1 - Corrigé
|
|
- Norbert Sauvé
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Uiversité Pierre et Marie Curie Aée Probabilités LM90 Série d exercices 1 - Corrigé Rappel : C = ( :=!!(! est le ombre de choix o ordoés de élémets disticts pris parmi. A :=! (! est le ombre de choix ordoés de élémets disticts pris parmi. Exercice 1. Tout d abord, par l iclusio A B A, o a la majoratio suivate de P(A B : P(A B P(A = 4. Par ailleurs, o obtiet ue mioratio e écrivat P(A B = P(A+P(B P(A B = P(A B = 1 2. Motros maiteat que ces bores peuvet être atteites. O cosidère la probabilité uiforme P sur l esemble Ω = {1,2,,4}. Le maximum est atteit par exemple pour tadis que le miimum est atteit pour A = B = {1,2,}, avec A B = {1,2,}, A = {1,2,}, B = {1,2,4}, de sorte que A B = {1,2}. Exercice U espace probabilisé pouvat être associé à cette expériece est Ω = {(a 1,a 2,a,a 4,a i {1,,}} = {1,...,} 4. L esemble état fii, o choisit comme tribu F l esemble de toutes les parties : F = P(Ω. O défiit sur P(Ω la probabilité uiforme : A Ω, P(A = card(a card(ω = card(a 4 2. (a Soit A 1 l esemble de tous les quadruplets das u ordre strictemet croissat. Alors le ombre d élémets de A 1 est le ombre de combiaisos ( 4. O peut le motrer de deux faços différetes : A 1 est e bijectio avec l esemble des parties à 4 élémets pris parmi. E effet, chaque partie est associée de maière uique avec ue suite croissate (il suffit d arrager les élémets par ordre croissat o peut aussi voir que le ombre de quadruplets (a 1,a 2,a,a 4 avec 4 élémets disticts pris parmi est A 4, qu o doit esuite diviser par 4! pour e compter que les quadruplets qui sot strictemet croissats. 1
2 La probabilité d obteir quatre ombres das u ordre strictemet croissat est doc ( P(A 1 = 4 4 = = 0,021. (b Soit A 2 l esemble de tous les quadruplets das u ordre croissat au ses large. Das A 2, il y a quadruplets de ombres tous idetiques (α,α,α,α ; 2 ( 2 quadruplets de ombres dot trois sot égaux (α,α,α,β et (α,β,β,β, avec α < β ; ( quadruplets de ombre dot deux sot égaux (α,α,β,γ, (α,β,β,γ et (α,β,γ,γ, avec α < β < γ ; ( 2 quadruplets de ombres composés de deux couples de ombres idetiques (α,α,β,β, avec α < β ; ( 4 quadruplets de ombres tous disticts (α,β,γ,δ, avec α < β < γ < δ. Fialemet : P(A 2 = +2 ( ( 2 + ( + ( = = = 0,0715. O peut aussi raisoer de la maière suivate : L applicatio (a 1,a 2,a,a 4 (a 1,a 2 +1,a +2,a 4 + est ue bijectio de A 2 sur l esemble A 2 = {(a 1,a 2,a,a 4 : a 1 < a 2 < a < a 4, a i = 1,,1}. Le cardial de A 2 est doc égal à celui de A 2, c est à dire ( 1 4 = 715. (c Soit A l évéemet correspodat. Alors le cardial du complémetaire A c de A est le ombre de quadruplets obteus e réalisat cette expériece avec 9 ombres, c est à dire card(a c = 94. O a alors P(A = 1 P(A c = 1 ( 9 4 = = = 0,49. Exercice. 1. O peut choisir l espace probabilisé suivat : Ω = {(a 1,a 2,,a, a i {1,,N}, a i a i si i j}. L esemble Ω état fii, o choisit F = P(Ω. O muit (Ω,F de la probabilité uiforme : A P(Ω, P(A = card(a card(ω = card(a (N! A = card(a. N N! 2. (a A s écrit : A = {(a 1,,a Ω, a {1,2,,M}}, et o a P(A = card(a card(ω. Il reste à calculer card(a. O propose trois solutios: L applicatio A A 1 (a 1,,a,,a (a,a 2,,a 1,a +1,,a est ue bijectio de A das A 1, d où card(a = card(a 1. Le cardial de A 1 est card(a 1 = M(N 1 (N +1 = MA 1 N 1, et o trouve P(A = M N. 2
3 O peut aussi déombrer directemet l esemble A. O a M choix pour la boule. Ue fois la boule choisie, le ombre de choix pour les boules restates est doé par le ombre de choix ordoés de 1 élémets disticts pris parmi N 1, à savoir A 1 N 1. O retrouve bie card(a = MA 1 N 1. Troisième méthode : otos X le uméro de la boule. C est doc ue variable aléatoire. Par symétrie, o a P(X = 1 = P(X = 2 =... = P(X = N, doc vu que N P(X = i = 1, o obtiet que P(X = i = 1 N pour tout i. O remarque que P(A = P(X M = M P(X = i = M N. O remarque que la probabilité de l évéemet A e déped pas de et est égale à la proportio de boules rouges das l ure. (b Si = m alors P(A A m = P(A m = M/N. O suppose doc que m. De même qu à la questio précédete, o peut établir ue bijectio etre A A m et A 1 A 2, d où P(A A m = P(A 1 A 2. Efi il est facile de voir que le cardial de A 1 A 2 est soit card(a 1 A 2 = M(M 1(N 2 (N +1, P(A A m = M(M 1 N(N 1. O peut ecore doer ue autre solutio: O a M choix pour la boule puis M 1 choix pour la boule m. Ue fois ces deux boules choisies, il s agit de compter le ombre de choix ordoés de 2 élémets pris parmi N 2, doc card(a A m = M(M 1A 2 N 2 puis P(A A m = M(M 1 A 2 N 2. A N Exercice O peut choisir au mois deux espaces probabilisés : U premier choix : Ω 1 = {(a 1,a 2,,a, a i {1,,20}, a i a i si i j}. L esemble Ω 1 état fii, o choisit F 1 = P(Ω 1. O muit (Ω 1,F 1 de la probabilité uiforme : A P(Ω 1, P 1 (A = card(a card(ω 1 = card(a A 20 U autre choix possible est Ω 2 = {E {1,...,20}, card(e = }. = (20! card(a. 20! L esemble Ω 2 état fii, o choisit F 2 = P(Ω 2. O muit (Ω 2,F 2 de la probabilité uiforme : A P(Ω 2, P 2 (A = card(a card(ω 2 = card(a =!(20! card(a. 20! ( 20
4 2. Si o travaille avec l espace probabilisé Ω 2, l évéemet {X = 8} est égal à l esemble des parties à trois élémets de {8,...,20} qui cotieet 8, c est-à-dire des parties de la forme {8,a,b}, avec 9 a < b 20. So cardial est doc égal au ombre de parties à deux élémets de {9,...,20}, c est-à-dire ( O a doc ( 12 P 2 (X = 8 = 2 = = ( 20 L évéemet {X 8} est égal à l esemble des parties de {8,...,20} qui a pour cardial ( 1, et o a ( 1 P(X 8 = = E gééralisat le raisoemet fait à la questio précédete, o obtiet : {( 20 card({x = } = 1 si 20 +1, 0 sio. ( 20 et O obtiet doc et card({x } = {( si sio. ( 20 1 si P(X = = ( 20 0 sio. ( si P(X = ( 20 0 sio. Exercice Il suffit d écrire les équivaleces suivates : ( ( 1 A (ω = 1 ω A (, ω A (, 1 A (ω = 1 ( 1 A (ω = O écrit, e utilisat la relatio 1 A = 1 1 A c et la relatio de la questio 1 : 1 A = 1 ( Ac c = 1 1 Ac = 1 1 A c = 1 (1 1 A.. Il suffit de développer le derier terme de l idetité établie e 2, c est à dire : (1 1 A = 1 ( i 1 < <i 1 Ai1 A i. La formule demadée viet alors de l égalité établie e 2 et de la liéarité de l espérace, e remarquat que que E(1 A = P(A pour tout évéemet A. 4
5 4. O umérote les factures et les boîtes aux lettres de 1 à. Soit A l évèemet A = {la facture est das la boîte aux lettres }. O cherche la probabilité de l évèemet A = A. Pour utiliser, il faut détermier p. Soit i 1 < i 2 <... < i. L espace Ω est l esemble des cofiguratios de factures réparties das boîtes aux lettres. O a card(ω =!. L évèemet A i1 A i2... A i est l esemble des cofiguratios telles que la facture i j est das la boîte aux lettres i j, pour j = 1... Comptos so cardial. Pour chaque j = 1..., o a u seul choix pour la boîte aux lettres i j. Il reste esuite à répartir factures das boîtes aux lettres, ce qui doe (! cofiguratios possibles. Doc D où p = 1 i 1 < <i P(A i1 A i2... A i = (!.! P(A i1 A i = ( (!/! = 1/!, et p( = P(A = ( 1 1 /!, d après la questio précédete. Il découle du développemet e série de l expoetielle que la limite de p( lorsque ted vers + est 1 1/e. Exercice 6. O peut représeter cette expériece à l aide de l espace probabilisé suivat : Ω = {(a 1,,a, a i {1,2,}, i {1,,}} = {1,2,}. Socardialest. Pour {0,,}, lecardialdel évéemet{x = }est ( ( = (ombre de maières de choisir mauvaises réposes, multiplié par 2 (2 choix possible à chaque fois. La loi de X est doc doée par : {0,1,,}, P(X = = ( 2 = ( ( 1 ( 2. X suit ue loi biomiale de paramètres et 1/, otée B(,1/. Ue autre maière de détermier la loi de X est d exprimer cette variable aléatoire comme la somme de variable aléatoire idépedates preat la valeur 0 avec probabilité 2/ et la valeur 1 avec probabilité 1/ : X est le ombre de succès obteus après épreuves de Beroulli idépedates, où la probabilité de succès est 1/. Il est cou alors que X suit ue loi B(,1/. Exercice 7. O défiit les évèemets S i = {tirer le sac S i }, (i {1,2,} A = {tirer ue pièce d or}, B = {tirer ue pièce ordiaire}. 1. Soit Ω l espace probabilisé, alors Ω = S 1 S 2 S et P(A = P(A (S 1 S 2 S = P(A S 1 +P(A S 2 +P(A S = =
6 2. La probabilité que l o cherche est P(S 1 A. Il est évidet que P(A S 1 = 1, d où : P(S 1 A = P(A S 1 P(S 1 P(A = 2. Exercice 8. O défiit A = {le documet se trouve das le septième tiroir} B = {le documet se trouve das l u des six premiers tiroirs}. La probabilité que l o cherche est P(A B c. D ue part, P(A = p/7, P(B = 6p/7 et d autre part A est iclus das B c doc P(A B c = P(A Bc P(B c = P(A 1 P(B = p 7 6p. Exercice 9. L évéemet {X = Y} se décompose de la maière suivate : {X = Y} = {X =,Y = }. De plus les évéemets {X =,Y = }, = 1,, sot disjoits et pour tout, {X = } et {Y = } sot idépedats. O a doc : P(X = Y = P(X = P(Y = = 1 2 = 1. L espace probabilisé Ω se décompose aisi : Ω = {X > Y} {X < Y} {X = Y}. Par symétrie, o a P(X > Y = P(X < Y, d où l équatio : 2P(X > Y+P(X = Y = 1. O e déduit que P(X > Y = ( 1/2 et P(X Y = P(X > Y+P(X = Y = 1/2+1/2. O aurait pu aussi calculer cette probabilité directemet : P(X Y = P(Y = i,x i = P(Y = i,x i = P(Y = ip(x i par l idépedace de X et Y. O calcule que P(X i = obtiet doc (e utilisat aussi P(Y = i = 1/ P(X Y = P(Y = ip(x i = i+1 2 = X Y est ue variable aléatoire symétrique à valeurs das l esemble j=i P(X = j = i+1. O i 2 = { ( 1, ( 2,, 1,0,1,,( 2,( 1}. Pour détermier sa loi, il suffit de calculer P(X Y =, pour = 0,1,, 1 : P(X Y = = = P(X = +i,y = i P(X = +ip(y = i = 2, 6
7 où la secode égalité viet de l idépedace etre X et Y. Exercice. 1. Calculos P(X =. Il y a ( 00 faços de pêcher poissos parmi tous les poissos marqués. Puis il y a ( ( N faços de pêcher les autres. De plus il y a N 00 faços de pêcher 00 poissos das le lac. La loi de X est alors doée par : P(X = = ( 00 ( N ( N 00, = 0,1,,00. X suit ue loi hypergéométrique de paramètres N et O obtiet facilemet l égalité P(X = +1 P(X = = (00 2 ( +1(N Ce quotiet est décroissat e {0,..., 00}. O obtiet alors l équivalece P(X = 11 P(X = 1 P(X = P(X =. P(X = P(X = 9 De plus P(X=+1 P(X= est décroissat e N. E résolvat ( = (9+1(x o obtiet x = 0199,1, puis N =
FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI
FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue
Plus en détailExo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X
Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour
Plus en détail1 Mesure et intégrale
1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios
Plus en détailProbabilités et statistique pour le CAPES
Probabilités et statistique pour le CAPES Béatrice de Tilière Frédérique Petit 2 3 jui 205. Uiversité Pierre et Marie Curie 2. Uiversité Pierre et Marie Curie 2 Table des matières Modélisatio de phéomèes
Plus en détailIntégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :
Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **
Plus en détailx +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite
Plus en détailChapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)
Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s
Plus en détailEXERCICES : DÉNOMBREMENT
Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris
Plus en détailDénombrement. Chapitre 1. 1.1 Enoncés des exercices
Chapitre 1 Déombremet 1.1 Eocés des exercices Exercice 1 L acie système d immatriculatio fraçais était le suivat : chaque plaque avait 4 chiffres, suivis de 2 lettres, puis des 2 uméros du départemet.
Plus en détailDénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions
Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter
Plus en détailPolynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.
Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités
Plus en détailProcessus et martingales en temps continu
Chapitre 3 Processus et martigales e temps cotiu 1 Quelques rappels sur les martigales e temps discret (voir [4]) O cosidère u espace filtré (Ω, F, (F ) 0, IP). O ote F = 0 F. Défiitio 1.1 Ue suite de
Plus en détailSÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES
1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1
Plus en détail. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1
Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S
Plus en détailExercices de mathématiques
MP MP* Thierry DugarDi Marc rezzouk Exercices de mathématiques Cetrale-Supélec, Mies-Pots, École Polytechique et ENS Coceptio et créatio de couverture : Atelier 3+ Duod, 205 5 rue Laromiguière, 75005 Paris
Plus en détailCHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES
CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice
Plus en détailDeuxième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES
DEUXIEME PARTIE Deuième partie : LES CONTRATS D ASSURANCE VIE CLASSIQUES Chapitre. L assurace de capital différé Chapitre 2. Les opératios de retes Chapitre 3. Les assuraces décès Chapitre 4. Les assuraces
Plus en détailSolutions particulières d une équation différentielle...
Solutios particulières d ue équatio différetielle......du premier ordre à coefficiets costats O cherche ue solutio particulière de y + ay = f, où a est ue costate réelle et f ue foctio, appelée le secod
Plus en détailSéquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire
Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa
Plus en détail14 Chapitre 14. Théorème du point fixe
Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de
Plus en détailStatistique descriptive bidimensionnelle
1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets
Plus en détail20. Algorithmique & Mathématiques
L'éditeur L'éditeur permet à l'utilisateur de saisir les liges de codes d'u programme ou de défiir des foctios. Remarque : O peut saisir directemet des istructios das la cosole Scilab, mais il est plus
Plus en détailUV SQ 20. Automne 2006. Responsable d Rémy Garandel ( m.-el. remy.garandel@utbm.fr ) page 1
UV SQ 0 Probabilités Statistiques UV SQ 0 Autome 006 Resposable d Rémy Garadel ( m.-el. remy.garadel@utbm.fr ) page SQ-0 Probabilités - Statistiques Bibliographie: Titre Auteur(s) Editios Localisatio Niveau
Plus en détailConvergences 2/2 - le théorème du point fixe - Page 1 sur 9
Au sommaire : Suites extraites Le théorème de Bolzao-Weierstrass La preuve du théorème de Bolzao-Weierstrass3 Foctio K-cotractate4 Le théorème du poit fixe5 La preuve du théorème du poit fixe6 Utilisatios
Plus en détailEtude de la fonction ζ de Riemann
Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.
Plus en détailII LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009
M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted
Plus en détailGroupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3
1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que
Plus en détailLES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.
Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la
Plus en détailcapital en fin d'année 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1 + T) = C 0 r en posant r = 1 + T 2 C 0 r + C 0 r T = C 0 r (1 + T) = C 0 r 2 3 C 0 r 3...
Applicatios des maths Algèbre fiacière 1. Itérêts composés O place u capital C 0 à u taux auel T a pedat aées. Quelle est la valeur fiale C de ce capital? aée capital e fi d'aée 1 C 0 + T C 0 = C 0 (1
Plus en détailLes Nombres Parfaits.
Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie
Plus en détailIntroduction : Mesures et espaces de probabilités
Itroductio : Mesures et espaces de probabilités Référeces : Poly cédric Berardi et Jea Michel Morel. J.-F. Le Gall, Itégratio, Probabilités et Processus Aléatoire J.-Y. Ouvrard, Probabilités 2, maîtrise-agrégatio,
Plus en détail2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
2 ième partie : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES 1. Défiitios L'itérêt est l'idemité que doe au propriétaire d'ue somme d'arget celui qui e a joui pedat u certai temps. Divers élémets itervieet das le calcul
Plus en détail55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.
55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique
Plus en détailSéries réelles ou complexes
6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés
Plus en détailSuites et séries de fonctions
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 3 avril 5 Eocés Suites et séries de foctios Propriétés de la limite d ue suite de foctios Eercice [ 868 ] [correctio] Etablir que la limite simple d ue suite de
Plus en détailFormation d un ester à partir d un acide et d un alcool
CHAPITRE 10 RÉACTINS D ESTÉRIFICATIN ET D HYDRLYSE 1 Formatio d u ester à partir d u acide et d u alcool 1. Nomeclature Acide : R C H Alcool : R H Groupe caractéristique ester : C Formule géérale d u ester
Plus en détailLimites des Suites numériques
Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailDes résultats d irrationalité pour deux fonctions particulières
Collect. Math. 5, 00, 0 c 00 Uiversitat de Barceloa Des résultats d irratioalité pour deux foctios particulières Richard Choulet 7, Rue du 4 Août, 40 Aveay, Frace E-mail: richardchoulet@waadoo.fr Received
Plus en détailCours de Statistiques inférentielles
Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios
Plus en détailPROMENADE ALÉATOIRE : Chaînes de Markov et martingales
PROMENADE ALÉATOIRE : Chaîes de Markov et martigales Thierry Bodieau École Polytechique Paris Départemet de Mathématiques Appliquées thierry.bodieau@polytechique.edu Novembre 2013 2 Table des matières
Plus en détailComportement d'une suite
Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer
Plus en détailChap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)
Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie
Plus en détailTerminale S. Terminale S 1 F. Laroche
Termiale S Exercices. Rappels et exercices de base 3.. QCM (P. Egel) 3.. QCM, Atilles 005 4. 3. QCM, Liba 009, 3 poits 4. 4. QCM, C. étragers 007. 5. QCM, Frace 007 5 6. 6. QCM, N. Calédoie 007 7. 7. QCM
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détail4 Approximation des fonctions
4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour
Plus en détailModule 3 : Inversion de matrices
Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que
Plus en détailUNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4
UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»
Plus en détailSTATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES
STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie
Plus en détailChaînes de Markov. Arthur Charpentier
Chaîes de Markov Arthur Charpetier École Natioale de la Statistique et d Aalyse de l Iformatio - otes de cours à usage exclusif des étudiats de l ENSAI - - e pas diffuser, e pas citer - Quelques motivatios.
Plus en détailConsolidation. C r é e r un nouveau classeur. Créer un groupe de travail. Saisir des données dans un groupe
Cosolidatio La société THEOS, qui commercialise des vis, exerce so activité das trois villes : Paris, Nacy et Nice. Le directeur de la société souhaite cosolider les résultats de ses vetes par ville das
Plus en détailTRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 )
RAIRO Operatios Research RAIRO Oper. Res. 34 (2000) 99-129 TRANSFERT DE CHARGE DANS UN RÉSEAU DE PROCESSEURS TOTALEMENT CONNECTÉS (*) par Maryse BÉGUIN ( 1 ) Commuiqué par Berard LEMAIRE Résumé. L étude
Plus en détailProbabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2
Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................
Plus en détailGérer les applications
Gérer les applicatios E parcourat les rayos du Widows Phoe Store, vous serez e mesure de compléter les services de base de votre smartphoe à travers plus de 10 000 applicatios. Gratuites ou payates, ces
Plus en détailPOLITIQUE ECONOMIQUE ET DEVELOPPEMENT
POLTQU ONOMQU T DVLOPPMNT TRUTUR DU MAR NATONAL DU AF-AAO T PR AU PRODUTUR MALAN Beïla Beoit osultat PD N 06/008 ellule d Aalyse de Politiques coomiques du R Aée de pulicatio : Avril 009 Résumé e papier
Plus en détailc. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives
Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages
Plus en détailIndépendance Probabilité conditionnelle. Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles
Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles Indépendance Indépendance Probabilité conditionnelle Definition Deux événements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A).P(B) Attention
Plus en détailLes algorithmes de tri
CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS PARIS MEMOIRE POUR L'EXAMEN PROBATOIRE e INFORMATIQUE par Nicolas HERVE Les algorithmes de tri Souteu le mai JURY PRESIDENTE : Mme COSTA Sommaire Itroductio....
Plus en détailLa France, à l écoute des entreprises innovantes, propose le meilleur crédit d impôt recherche d Europe
1/5 Trois objectifs poursuivis par le gouveremet : > améliorer la compétitivité fiscale de la Frace > péreiser les activités de R&D > faire de la Frace u territoire attractif pour l iovatio Les icitatios
Plus en détailUniversité Pierre et Marie Curie. Biostatistique PACES - UE4 2013-2014
Uiversité Pierre et Marie Curie Biostatistique PACES - UE4 2013-2014 Resposables : F. Carrat et A. Mallet Auteurs : F. Carrat, A. Mallet, V. Morice Mise à jour : 21 octobre 2013 Relecture : V. Morice,
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
1 / 9 Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Le cycle d exploitatio des etreprises (achats stockage productio stockage vetes) peut etraîer des décalages de trésorerie plus
Plus en détailSTATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES
STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................
Plus en détailCompte Sélect Banque Manuvie Guide du débutant
GUIDE DU DÉBUTANT Compte Sélect Baque Mauvie Guide du débutat Besoi d aide? Preez quelques miutes pour lire attetivemet votre Guide du cliet. Le préset Guide du débutat vous facilitera l utilisatio de
Plus en détailUNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce
UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première
Plus en détailChap. 6 : Les principaux crédits de trésorerie et leur comptabilisation
Chap. 6 : Les pricipaux crédits de trésorerie et leur comptabilisatio Les etreprises ot souvet besoi de moyes de fiacemet à court terme : elles ot alors recours aux crédits bacaires (découverts bacaires
Plus en détailChapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES. 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.
Chapitre 2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE OU A PROBABILITES EGALES PLAN DU CHAPITRE 2 2.1 DEFINITIONS 2.2 SONDAGE ALEATOIRE SIMPLE SANS REMISE (PESR) 2.2.1 Pla de sodage 2.2.2 Probabilités d iclusio 2.3 SONDAGE
Plus en détailCalculs de probabilités conditionelles
Calculs de probabilités conditionelles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 20 mars 2008 1. Indépendance 1 Exemple : On lance deux pièces. Soit A l évènement la première est Pile
Plus en détailDistribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités
Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements
Plus en détailRESOLUTION DES FLOW SHOP STOCHASTIQUES PAR LES ORDRES STOCHASTIQUES. DERBALA Ali *)
RESOLUTION DES FLOW SHOP STOCHASTIQUES PAR LES ORDRES STOCHASTIQUES. DERBALA Ali *) *) Uiversité de Blida Faculté des scieces Départemet de Mathématiques. BP 270, Route de Soumaa. Blida, Algérie. Tel &
Plus en détailRESOLUTION PAR LA METHODE DE NORTON, MILLMAN ET KENNELY
LO 4 : SOLUTO P L MTHO OTO, MLLM T KLY SOLUTO P L MTHO OTO, MLLM T KLY MTHO OTO. toductio Le théoème de oto va ous pemette de éduie u cicuit complexe e gééateu de couat éel. e gééateu possède ue souce
Plus en détailÉchantillonnage et estimation
Stage «Nouveaux programmes de Termiale S» - Ho Chi Mih-Ville Novembre 202 Échatilloage et estimatio Partie C - Frédéric Barôme page Échatilloage et estimatio Partie C : Capacités et exercices-types. Rappelos
Plus en détail?,i- ' ^/mmmmmm. CACU ^..""'V ii\teimmies EîiiEsmmii ''?A y? K 1^ 1 - r Par le Moyede Formules Algébriques ) v-^' ET A 'AIDE DES OGARITHMES.../v:?i.'?Xi:: F, X, BURQUE, Ptr. Professeur de MatJu'matiques,
Plus en détailStatistique Numérique et Analyse des Données
Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques
Plus en détailMécanismes de protection contre les vers
Mécaismes de protectio cotre les vers Itroductio Au cours de so évolutio, l Iteret a grademet progressé. Il est passé du réseau reliat quelques cetres de recherche aux États-Uis au réseau actuel reliat
Plus en détailINTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES. par. Djalil Chafaï
INTRODUCTION AUX MATRICES ALÉATOIRES par Djalil Chafaï Résumé. E cocevat les mathématiques comme u graphe, où chaque sommet est u domaie, la théorie des probabilités et l algèbre liéaire figuret parmi
Plus en détailProbabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Plus en détailDonnez de la liberté à vos données. BiBOARD. www.biboard.fr
Doez de la liberté à vos doées BiBOARD www.biboard.fr Le décisioel pour tous Le décisioel évolue. L etreprise quelle que soit sa taille, a besoi de piloter so activité à l aide d outils simples, fiables,
Plus en détailPrincipes et Méthodes Statistiques
Esimag - 2ème aée 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 x y Pricipes et Méthodes Statistiques Notes de cours Olivier Gaudoi 2 Table des matières 1 Itroductio 7 1.1 Défiitio et domaies d applicatio de la statistique............
Plus en détailUniversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015
Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir
Plus en détailUniversité Victor Segalen Bordeaux 2 Institut de Santé Publique, d Épidémiologie et de Développement (ISPED) Campus Numérique SEME
Uiversité Victor Segale Bordeaux Istitut de Saté Publique, d Épidémiologie et de Développemet (ISPED) Campus Numérique SEME MODULE Pricipaux outils e statistique Versio du 8 août 008 Écrit par : Relu par
Plus en détailSommaire Chapitre 1 - L interface de Windows 7 9
Sommaire Chapitre 1 - L iterface de Widows 7 9 1.1. Utiliser le meu Démarrer et la barre des tâches de Widows 7...11 Démarrer et arrêter des programmes...15 Épigler u programme das la barre des tâches...18
Plus en détailGuide des logiciels de l ordinateur HP Media Center
Guide des logiciels de l ordiateur HP Media Ceter Les garaties des produits et services HP sot exclusivemet présetées das les déclaratios expresses de garatie accompagat ces produits et services. Aucu
Plus en détailChapitre 3 : Transistor bipolaire à jonction
Chapitre 3 : Trasistor bipolaire à joctio ELEN075 : Electroique Aalogique ELEN075 : Electroique Aalogique / Trasistor bipolaire U aperçu du chapitre 1. Itroductio 2. Trasistor p e mode actif ormal 3. Courats
Plus en détailDETERMINANTS. a b et a'
2003 - Gérard Lavau - http://perso.waadoo.fr/lavau/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio
Plus en détailExamen final pour Conseiller financier / conseillère financière avec brevet fédéral. Recueil de formules. Auteur: Iwan Brot
Exame fial pour Coseiller fiacier / coseillère fiacière avec brevet fédéral Recueil de formules Auteur: Iwa Brot Ce recueil de formules sera mis à dispositio des cadidats, si écessaire. Etat au 1er mars
Plus en détailProcessus géométrique généralisé et applications en fiabilité
Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR
Plus en détailAugmentation de la demande du produit «P» Prévision d accroître la capacité de production (nécessité d investir) Investissement
Augmetatio de la demade du produit «P» Prévisio d accroître la capacité de productio (écessité d ivestir) Ivestissemet Etude de retabilité du produit «P» Jugemet de l opportuité et de la retabilité du
Plus en détailMobile Business. Communiquez efficacement avec vos relations commerciales 09/2012
Mobile Busiess Commuiquez efficacemet avec vos relatios commerciales 9040412 09/2012 U choix capital pour mes affaires Pour gérer efficacemet ses affaires, il y a pas de secret : il faut savoir predre
Plus en détailOne Office Voice Pack Vos appels fixes et mobiles en un seul pack
Uique! Exteded Fleet Appels illimités vers les uméros Mobistar et les liges fixes! Oe Office Voice Pack Vos appels fixes et mobiles e u seul pack Commuiquez et travaillez e toute liberté Mobistar offre
Plus en détailUn nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction
A ew adaptive operator of fusio par Fraçois DELMOTTE LAMIH, Uiversité de Valeciees et du Haiaut-Cambrésis, Le Mot Houy, BP 3, 5933 Valeciees CEDEX 9 fdelmott@flore.uiv-valeciees.fr résumé et mots clés
Plus en détailSYSTEME FERME EN REACTION CHIMIQUE
SYSTEME FERME EN REACTION CHIMIQUE I. DESCRIPTION D UN SYSTEME. Les dfférets types de système (ouvert, fermé, solé U système S est formé d u esemble de corps séparés du reste de l uvers (appelé mleu extéreur
Plus en détailEtude Spéciale SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT?
Etude Spéciale o. 7 Javier 2003 SCORING : UN GRAND PAS EN AVANT POUR LE MICROCRÉDIT? MARK SCHNEIDER Le CGAP vous ivite à lui faire part de vos commetaires, de vos rapports et de toute demade d evoid autres
Plus en détailGuide des logiciels installés sur votre ordinateur portable Sony PCG-C1MHP
Guide des logiciels istallés sur votre ordiateur portable Soy PCG-C1MHP Commecez par lire ce documet! Commecez par lire ce documet! Importat Ce produit comporte des logiciels acquis par Soy sous licece
Plus en détailCopyright 2001 2006 Hewlett-Packard Development Company, L.P.
Guide des logiciels Media Ceter Les garaties des produits et services HP sot exclusivemet présetées das les déclaratios expresses de garatie accompagat ces produits et services. Aucu élémet de ce documet
Plus en détailSTRATÉGIE DE REMPLACEMENT DE LUTTE CONTRE LA PUNAISE TERNE DANS LES FRAISERAIES DE L ONTARIO
Des résultats du Programme de réductio des risques STRATÉGIE DE REMPLACEMENT DE LUTTE CONTRE LA PUNAISE TERNE DANS LES FRAISERAIES DE L ONTARIO 1. Cotexte La puaise tere Lygus lieolaris (figure 1) est
Plus en détailInitiation à l analyse factorielle des correspondances
Fiche TD avec le logiciel : tdr620b Iitiatio à l aalyse factorielle des correspodaces A.B. Dufour & M. Royer & J.R. Lobry Das cette fiche, o étudie l Aalyse Factorielle des Correspodaces. Cette techique
Plus en détailSéries numériques. Chap. 02 : cours complet.
Séris méris Cha : cors comlt Séris d réls t d comlxs Défiitio : séri d réls o d comlxs Défiitio : séri corgt o dirgt Rmar : iflc ds rmirs trms d séri sr la corgc Théorèm : coditio écssair d corgc Théorèm
Plus en détail