Spé math ES, 2017: Annales Bac Mathématiques, série ES, Polynésie, Matrices et Graphes, Dijkstra, Correction by freemaths.fr

Transcription

1 Corrigé Exerie 3

2 Sujets Mthémtiques B 2017 freemths.fr Polynésie BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2017 MATHÉMATIQUES - Série ES ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Durée de l épreuve : 3 heures Coeffiient : 7 Les lultries életroniques de pohe sont utorisées, onformément à l réglementtion en vigueur. Le sujet est omposé de 4 exeries indépendnts. Le ndidt doit triter tous les exeries. Dns hque exerie, le ndidt peut dmettre un résultt préédemment donné dns le texte pour border les questions suivntes. Le ndidt est invité à fire figurer sur l opie toute tre de reherhe, même inomplète ou non frutueuse, qu il ur développée. Il est rppelé que l qulité de l rédtion, l lrté et l préision des risonnements seront prises en ompte dns l ppréition des opies. Avnt de omposer, le ndidt s ssurer que le sujet omporte bien pges numérotées de 1/ à /. 17MAESSPO1 pge 1/ freemths.fr freemths.fr

3 EXERCICE 3 (5 points) Polynésie freemths. fr B - Mths Série ES Les deux prties de et exerie sont indépendntes. Prtie A Alex téléhrgé sur son smrtphone un jeu lui permettnt de ombttre des nimux virtuels pr lolistion GPS. Le grphe pondéré représenté i-dessous illustre le trjet qu Alex doit suivre en mrhnt dns les rues de s ville et le nombre d nimux virtuels qu il doit ombttre sur l route suivie. F 2 A D O 5 B C 4 E À l ide d un lgorithme, déterminer le nombre miniml de rétures qu Alex doit ombttre s il prt du point O pour rriver u point F de l ville. Détiller les étpes de l lgorithme. Prtie B Alex retrouve d utres personnes, ynt le même jeu, dns le pr de l ville dns le but de omprer le nombre de rétures qu ils ont ombttues. Le premier jour, personnes se sont retrouvées dns le pr. Le seond, on omptit 25 personnes et le troisième jour, 0 personnes se sont retrouvées dns le pr. 17MAESSPO1 pge 5/

4 Soit f l fontion définie pr f (x)=x 2 + bx+, où, b et sont trois nombres réels et x un nombre entier ompris entre 1 et 10. On dmet que l fontion f modélise le nombre de personnes qui se retrouvent dns le pr le x ième jour. 1. Trduire l énoné pr un système de trois équtions à trois inonnues, b et. 2. Vérifier que e système est équivlent à l éqution AX=Bve : A= 4 2 1, X= b et B= , 5 1 0, 5 3. Soit l mtrie M= 2, 5 4 1, ) Cluler M A. b) Que représente l mtrie M pour l mtrie A? 4. À l ide d un lul mtriiel, déterminer les vleurs des nombres, b et. 5. Le pr de l ville une pité d ueil de personnes. Selon e modèle, le pr risque-t-il de refuser d ueillir des personnes un de es dix jours? Justifier l réponse. 17MAESSPO1 pge 6/

5 1 EXERCICE 3 [ Polynésie ] Prtie A: Déterminons le nombre miniml de rétures qu Alex doit ombttre pour ller du point O u point F: Après reours à l lgorithme de Dijkstr, nous trouvons omme trjet pour ller de O à F, tout en ombttnt le plus fible nombre de rétures: le trjet O - A - B - E - D - F. Et e trjet omporter: = 14 rétures à ombttre. Au totl, le trjet qu Alex doit suivre pour ller de O à F, tout en ombttnt le plus petit nombre de rétures est: O - A - B - E - D - F, et Alex renontrer 14 rétures. Prtie B: 1. Trduisons l énoné pr un système de 3 équtions à 3 inonnues: D près l énoné, nous svons que: y = f ( x ) = x 2 + b x +, pour x ı [ 1 ; 10 ], qund x = 1, y =, qund x = 2, y = 25, qund x = 3, y = 0. freemths. fr Corrigé - B - Mthémtiques

6 Ainsi, nous vons le système suivnt: 2 x = 1, y = x = 2, y = 25 => x = 3, y = 0 + b + = b + = 25. ( ) b + = 0 2. Vérifions que le système ( ) peut s érire sous l forme A X = B: ( ) <=> b = 25 0 <=> A X = B, ve: A = 4 2 1, X = b et B = Au totl, nous vons bien: ( ) <=> A X = B. 3.. Clulons M x A: 0, 5-1 0, M x A = - 2, 5 4-1, => M x A = Au totl: M x A = 3, 3 étnt l mtrie identité d ordre b. Que représente l mtrie M pour l mtrie A? Comme M x A =, M représente l mtrie inverse de A. 3 freemths. fr Corrigé - B - Mthémtiques

7 Et nous pouvons noter: M = A - 1 et A - 1 x A = Déterminons les nombres, b et : Nous svons que: AX = B. D où nous pouvons érire: AX = B <=> A - 1 x A x X = A - 1 x B <=> ( A - 1 x A ) x X = A - 1 x B <=> 3 x X = A - 1 x B => X = M x B. 0, 5-1 0, 5 Au totl: X = M x B <=> b = - 2, 5 4-1, => = 19 b = - 40 = Le pr risque-t-il de refuser d ueillir des personnes un de es dix jours, si l pité d ueil est de personnes? Pour répondre à ette question, nous llons dresser le tbleu suivnt: x y , ve: y = Comme les différentes vleurs de y obtenues sont toutes inférieures à 2500 personnes, il n y uun risque pour que le pr refuse d ueillir des personnes un de es dix jours. freemths. fr Corrigé - B - Mthémtiques