CUEEP Département Mathématiques T901 : Ecarts p1/11
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- Agathe Bernard
- il y a 6 ans
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1 Ecarts : écart absolu, écart type Stuaton L entreprse Jollane s mplante sur un axe router qu rele cnq vlles d égale mportance : Avlle, Bévlle, Cévlle, Dévlle et Euvlle. Elle héste entre deux poltques de dstrbuton : Poltque 1 : mplantaton d un pont de stockage Jollane sur l axe router pour fournr les détallants stués au centre de chaque vlle. Poltque 2 : mplantaton d une grande surface Maxlane sur l axe routes. Avlle Bévlle Cévlle Dévlle 14 Euvlle Le leu déal d mplantaton est-l le même dans les deux cas? Poltque 1 : On cherche à rendre mnmum le déplacement des cnq détallants. Poltque 2 : On cherche à mnmser la dsperson de la clentèle. On mesure la dsperson par le carré de la dstance du clent à la grande surface. CUEEP Département Mathématques T901 : Ecarts p1/11
2 Plan de traval Sot M le pont où s'nstallera le magasn de stockage. E vlle D vlle A vlle B vlle C vlle Magasn 14 Placer le pont M à dfférents endrots entre A et E et calculer : la somme des dstances de M aux dfférentes vlles ( AM +BM +CM +DM+ EM) pour la poltque 1 la somme des carrés des dstances aux dfférentes vlles (AM² + BM² + CM² +DM² + EM²) pour la poltque 2. CUEEP Département Mathématques T901 : Ecarts p2/11
3 Approche numérque S vous ne dsposez pas d un tableur vous vous lmterez à placer le pont M en A, B, C, D, E et en deux autres endrots : L un à égale dstance de A et de E c'est-à-dre à 17,5 km de A, ce qu parat à pror logque. L autre au pont représentant la moyenne des dstances des vlles par rapport à un pont chos comme repère. (Par commodté on chost A comme repère klomètre 0, les dstances des vlles A, B, C, D et E par rapport à A sont respectvement 0, 7, 11, 21, 35 et la moyenne de ces dstances est égale à 14,8). Exemples : s M est en A AM = 0, BM = 7, CM = 11, DM = 21, EM = 35 et la somme AM + BM + CM + DM + EM est égale à 74 s M est en B ( à 7 km de A) AM = 7, BM = 0, CM = 4, DM = 14, EM = 28 et la somme AM + BM + CM + DM + EM est égale à 53 Et ans de sute. Compléter le tableau : Dstance AM ,8 17, AM +BM+CM+DM+EM AM² + BM² + CM² +DM² + EM² Pour quelle valeur de AM la somme AM +BM+CM+DM+EM est-elle mnmale? Pour quelle valeur de AM la somme AM² +BM²+CM²+DM²+EM² est-elle mnmale? Quelle est la poston médane des vlles? Quelle est la poston moyenne des vlles? CUEEP Département Mathématques T901 : Ecarts p3/11
4 Comparer aux valeurs de AM trouvées précédemment. S vous dsposez d un tableur, vous pouvez compléter le tableau précédent avec un maxmum de valeurs pour la dstance AM. Attenton les dstances étant toujours postves, s vous voulez automatser vos calculs l faudra penser à utlser la foncton valeur absolue. En prme, vous pourrez auss vsualser les graphques des sommes en foncton de la dstance AM. Approche algébrque On appelle x la dstance AM (A chos comme repère klomètre 0). Exprmer les deux sommes précédentes en foncton de x et retrouver par l'algèbre les résultats précédents. Même remarque que précédemment, les dstances étant toujours postves, l faut penser à utlser la foncton valeur absolue. CUEEP Département Mathématques T901 : Ecarts p4/11
5 Corrgé Poltque 1 Soluton numérque Tableau 1 AM BM CM DM EM AM+BM+CM+DM+EM ,8 7,8 3,8 6,2 20,2 52,8 17,5 10,5 6,5 3,5 17,5 55, La somme est mnmale lorsque M est en C qu est la poston médane. (En effet en partant de A vers E l y a deux vlles avant C et deux vlles après C) Pour d autres valeurs de AM, vor le len suvant Feulle 1 qu est une Feulle de calcul Excel : on y retrouve ben le mnmum pour la somme lorsque M est à 11 Km de A c'est-à-dre en C. CUEEP Département Mathématques T901 : Ecarts p5/11
6 Soluton algébrque S on prend A comme repère 0 et qu'on appelle x la dstance AM Tableau 2 Poston du Magasn AM BM CM DM Entre A et B Entre B et C Entre C et D Entre D et E x 7 -x 11- x 21 - x 35 - x x x x 21 -x 35 - x x x - 7 x x 35 - x x x - 7 x - 11 x x EM Somme 74-3x 60 - x x x - 4 Valeurs lmtes 74 et et et et 91 Indépendamment de la poston de M, la dstance entre M et B peut s écrre x 7 que l on lt valeur absolue de x 7 x 7 est ègal à x 7 quand x est supéreur à 7, mas quand x est nféreur à 7, x 7 est ègal à 7 x La foncton valeur absolue x 7 fournt le résultat sans le sgne.. C est cette foncton valeur absolue que l on utlse dans la feulle de calcul Excel pour automatser les calculs CUEEP Département Mathématques T901 : Ecarts p6/11
7 Le graphque de la somme des dstances en foncton de x est composé de segments de drotes dont les équatons sont données dans la dernère lgne du tableau 2. Poltque Somme des 90 dstances à M dstance à A La somme est ben mnmale (49) pour x = 11, c'est-à-dre quand M est placé en C. Les déplacements sont mnma lorsqu on les calcule par rapport à la médane CUEEP Département Mathématques T901 : Ecarts p7/11
8 Poltque 2 Soluton numérque Tableau 3 AM AM² BM² CM² DM² EM² AM²+BM²+CM²+DM²+EM² ,8 219,04 60,84 14,44 38, ,8 17,5 306,25 110,25 42,25 12,3 306,3 777, La somme est mnmale lorsque M est sur la poston moyenne. Pour d autres valeurs de AM, vor le len suvant Feulle 2 qu est une Feulle de calcul Excel : Dans un premer tableau on fat varer les valeurs AM de 0 à 35 avec un pas de 1. Dans un deuxème tableau on fat un zoom entre 14 et 15 (pas de 0,1) on y retrouve ben le mnmum pour la somme des carrés des dstances lorsque M est à 14,8 Km de A c'est-à-dre en poston moyenne. CUEEP Département Mathématques T901 : Ecarts p8/11
9 Soluton algébrque AM² = ( x 0 )² BM² = (x -7)² = x² - 14x + 49 ou (7 -x)² CM² = (x - 11)² = x² - 22x +12 ou (11 - x)² DM² = (x - 21)² = x² - 42x ou (21 - x)² EM² = (x - 35)² = x² -70x ou (35 - x)² AM² + BM² + CM² + DM² + EM² = 5x² - 148x Le graphque de la somme des carrés des dstances en foncton de x est une parabole. b x = (formule générale y = ax² + bx + c, sommet pour 2a ) Le coeffcent 148 est égal à : (2 x x x x x 35) = 2( ) = 2 x x = = 5 x = x La somme est mnmale pour x = x La somme est mnmale pour : ( 148) x = = Le graphque de la somme des carrés des dstances en foncton de x est une parabole CUEEP Département Mathématques T901 : Ecarts p9/11
10 Poltque 2 744,5 744 Somme des carrés des dstances à M 743, , ,5 741 Dstance à A 740,5 13, ,2 14,4 14,6 14, ,2 La somme est ben mnmale pour x = 14,8 La dsperson est mnmale lorsqu'on la calcule par rapport à la moyenne. C'est ce calcul qu'on utlsera dans le calcul d'un écart type. CUEEP Département Mathématques T901 : Ecarts p10/11
11 Formalsme Le pont de stockage est stué au pont médan (pont d'abscsse médane). Au pont médan la somme des dstances est mnmale L'mplantaton de la grande surface est stuée au pont moyen (pont d'abscsse moyenne) Au pont moyen, la somme des carrés des dstances est mnmale L'écart absolu mesure la dsperson autour de la médane Me Ecart absolu : n x M n e L'écart type mesure la dsperson autour de la moyenne x Ecart type σ = n ( x x)² n L'écart type est le plus utlsé l sert à comparer la dsperson de deux populatons. CUEEP Département Mathématques T901 : Ecarts p11/11
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