L.M. Bouzaienne Thème : Statistiques à Deux Variables Cours Dirigé

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1 L.M. Bouzaenne Thème : Statstques à Deux Varables Cours Drgé I / Défntons : Lorsqu'une étude est fate sur un ensemble à N ndvdus présentant deux caractères X et x; y Y quanttatfs dscrets, on obtent une sére statstque double ( ) Avec ( x ) 1 les valeurs prses par X et ( ) N 1 Y N les valeurs prses par Y Une sére statstque est souvent présentée par un tableau appelé tableau à double entré. Paramètres d une sére statstques F Valeur Moyenne de X (ou Moyenne Arthmétque de X) notée X défne par : Remarque : S on utlse les dstrbutons margnales on utlse la formule : n l effectf de x ou le nombre de répétton de F Varance de X noté V ( X) défne par : ( ) x 1 n n = 1 V X = x X Remarque : S on utlse les dstrbutons margnales on utlse la formule : 1 ( ) n V X = nx X Avec n l effectf de x ou le nombre de répétton de x n = 1 F Ecart-type noté σ ou ( X ) X σ défne par : σ = VX ( ) X X 1 n x n = 1 1 n nx n = 1 = X = Avec Remarque : Cette formule explque ben que l Ecart-type n est défne que s : VX ( ) 0 Nuage De Ponts F Sot ( ; ) x y avec 1 n une sére statstque double. On désgne par x1, x,.. x,.. xn les valeurs prses par X et y1, y,.. y,... ynles valeurs prses par Y. Dans le plan étant rapporté à un repère orthogonal. On appelle Nuage De Ponts assocé à la M x; y. Et on appelle Pont Moyen du nuage le pont sére consdérée l ensemble des ponts ( ) 1 de coordonnées X et noté : GXY ( ; ) Sot ( ; ) n x y avec 1 n une sére statstque double. On appelle Covarance de X et Y notée cov ( XY, ) le nombre défne par : ( ) Remarque : cov (, ) ( ) n = 1 n 1 cov X, Y = ( x X)( y Y) n = 1 n 1 X Y = xy XY Est la plus commode pour les calculs à la man Conséquences : cov ( XY, ) = cov ( YX, ) ( ) ( ) cov ( X, X) = V ( X) cov ( XY, ) VXVY ( ) ( ) cov ax+ by, = acov Y, X ; ab, Remarque : La covarance permet une mesure de la dsperson des ponts du nuage par rapport au pont moyen. II / Nuage de ponts, Moyenne, Varance, Ecart-type, covarance et Coeffcent de corrélaton lnéare. (Réf 74) On consdère le tableau suvant : x 5,1 5 4,8 4,7 4,7 4,6 4,6 4,4 3,9 3,3 Y ) Placer dans un repère orthogonal ( O,, j) r ur le nuage de ponts M ( x; y) 1 10 ) Comment semble répart le nuage de ponts? Commentez! 1

2 L.M. Bouzaenne Thème : Statstques à Deux Varables Cours Drgé 3) Calculer : X la moyenne arthmétque de la sére statstque à varable x 4) Calculer : Y la moyenne arthmétque de la sére statstque à varable y 5) Placer le pont moyen GXYdans (, ) le même repère 6) Comment semble répart le nuage de ponts de par et d autre du pont G? Commentez! 7) Exste-l un len entre les varatons de X et Y 8) Calculer la varance et l'écart-type de chacune des varables X et Y Correcton :

3 L.M. Bouzaenne Thème : Statstques à Deux Varables Cours Drgé III / Ajustements Lnéares : 1) Coeffcent de corrélaton lnéare : XY,, le réel a) Défnton : On appelle coeffcent de corrélaton lnéare du couple ( ) cov( XY, ) = σxσy b) Proprétés : r XY, = 0 alors X et Y sont non corrélés (X et Y ne sont pas lées par une relaton affne r défne par : r ( XY, ) S ( ) autrement un tel ajustement affne n est pas possble) r XY, 0alors X et Y sont corrélés et un tel ajustement est possble. (Les ajustements S ( ) affnes ou lnéares ans que les non lnéares seront possbles sous des condtons sur r ) 1 r XY, 1 ( ) S r ( XY, ) = 1 alors l y a une dépendance totale entre X et Y. L une est une foncton affne de l autre. r XY, < 0,75alors la corrélaton lnéare entre X et Y est fable (On s ntéresse souvent S ( ) d autres ajustement non affnes) r XY, 0,75alors la corrélaton lnéare entre X et Y est forte S ( ) S ( ) r XY, 0,95;1 ajustements non lnéares non aucune mportances) c) Théorème (adms) Soent X et Y deux varables d'une sére statstques quanttatves 0,70 r XY, 1 alors la corrélaton lnéare entre X et Y est très forte (Les Lorsque le coeffcent de corrélaton lnéare vérfe: ( ), ou lorsque Le Nuage De Ponts à Une Forme Allongée, alors l est possble d approcher la lason entre X et Y par deux fonctons affnes représenter graphquement par deux drotes passant par le pont moyen GXY (, ) ) Méthode de Mayer (Réf 80) Actvté : Le tableau suvant donne le PNB (en euros, par habtants) ans que le nombre d'hôptaux (pour 1 mllon d'habtants) dans quelques pays européens. Pays P1 P P3 P4 P5 P6 P7 P8 x = PNB en euros par habtant y = Nombre d'hôptaux par mllon d'habtants ) Représenter le nuage de ponts assocé à la sére statstque (X, Y). Untés graphques : En abscsses : 7 cm pour euros. En ordonnées : 1,5 cm pour 400 hôptaux. On prendra pour orgne le pont (5000 ; 500). ) Détermner les coordonnées du pont moyen G de ce nuage de ponts. Placer G sur le graphque. 3) Détermner le coeffcent de corrélaton lnéare entre X et Y. Un ajustement affne est-l justfé? 4) Un premer ajustement affne : la Drote de Mayer Dans cette queston, on consdère deux sous-nuages : celu consttué des ponts correspondants aux pays P1, P, P3 et P4 et celu consttué des ponts correspondants aux pays P5, P6, P7 et P8. 3

4 L.M. Bouzaenne Thème : Statstques à Deux Varables Cours Drgé Calculer les coordonnées des ponts moyens G1 et G des deux sous-nuages. Placer les ponts G1 et Gsur le graphque. Démontrer qu'une équaton de la drote ( GG 1 ) sous la forme y = mx + p est : Y = 0,1539X 198,449 (On détallera les calculs). 4 (On arrondra m et p à 10 près) La drote (G1G) s'appelle la "drote de Mayer". Représenter cette drote sur le graphque. Correcton : 4

5 L.M. Bouzaenne Thème : Statstques à Deux Varables Cours Drgé Commentares a) Le prncpe d ajustement affne par la méthode de Mayer consste à partager le nuage x, y en deux nuages dont le nombre de ponts dffère d au plus un. On assocé à une sére ( ) désgne par G 1 et G les ponts moyens respectfs du premère et du deuxème nuage. La drote ( GG 1 ) est appelée drote de Mayer 5) Un deuxème ajustement affne : la Drote de Régresson : Méthode des mondres carrés. a) Détermner une équaton de la drote de régresson de y en x par la méthode des mondres carrés. On notera D cette drote. Représenter D sur la graphque. GG et D réalse-t-elle le melleur ajustement affne? b) Laquelle des deux drotes ( ) 1 6) Estmatons. À l'ade de l'équaton de la drote (D) (ou à défaut celle de ( ) 1 GG ), et en détallant les calculs, Répondre aux deux questons suvantes : a) Un pays a un PNB de 3400 par habtant. Quelle estmaton peut-on fare du nombre d'hôptaux (par mllon d'habtants) dans ce pays? (On arrondra à l'unté près) b) Un pays a 3500 hôptaux par mllon d'habtants. À comben peut-on estmer son PNB (en, par habtants)? (On arrondra à l'euro près) 5

6 L.M. Bouzaenne Thème : Statstques à Deux Varables Cours Drgé Correcton : 6

7 L.M. Bouzaenne Thème : Statstques à Deux Varables Cours Drgé Remarque : On peut fare une régresson de X en Y 7

8 L.M. Bouzaenne Thème : Statstques à Deux Varables Cours Drgé Commentares Théorème et défnton : Lors d un ajustement affne de Y en X par la méthode des mondres carrées la drote obtenue cov( XY, ) passe le pont moyen du nuage et a pour équaton : y = ( ax X) + Y où a = VX ( ) Cette drote s appelle la drote de régresson de Y en X La drote de régresson de X en y obtenue par la méthode des mondres carrés, lors d un ajustement affne, passe par le pont moyen du nuage et à pour équaton : x = ( ay Y) + X où a = cov( XY, ) VY () Remarque : Les deux drotes de régressons de Y en X et de X en Y passent par le pont moyen GXY (, ) Les deux coeffcents a et a sont de même sgne et le coeffcent de corrélaton r vérfe r = aa Exemple d ajustement non lnéare F Ajustement logarthmque : (Réf 96) (EX 13) Sot le tableau suvant : X Correcton Y

9 L.M. Bouzaenne Thème : Statstques à Deux Varables Cours Drgé F Ajustement hyperbolque : (Réf 97) (EX 14) F Ajustement exponentel : (Réf 86) (EX 1) F Ajustement parabolque : (Réf 86) (EX 1) 9