Feuille 7 intégration 1

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Charles Fontaine
il y a 6 ans
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1 UPMC M Suies, iégrles, lgére liéire 5-6 Feuille 7 iégrio Il y plusieurs ypes d exeries : les exeries dis «de luls» mrqués pr u (C) que vous devez pouvoir rier e uoomie e ss erreur : des quesios de e ype sero posées à l exme. Exerie ((C) Premiers luls). Déermier les primiives des foios suives, puis luler l iégrle demdée.. f : R R,. Cluler d. Soluio : méhode : Pr l relio de Chsles o éri d = d+ d. E resriio à l iervlle [, ] (resp. [, ]) l foio es (resp. ). O rouve omme résul. méhode : O re le grphe de l foio puis o lule l ire délimiée pr le grphe e l xe horizol. O se rerouve à sommer deux fois l ire d u rigle, es à dire l deux fois l moiié de l ire d u regle. C es à dire l ire du di regle (ii d ire ).. f : R R défiie pr = si() (resp. os()). Cluler π d. Soluio : Ue primiive de si es os, d où π si()d = [ os() ] π = Pour le osius o rouve le même résul. 3. f : R + R,. Cluler F (x) = d e déermier si x lim x + F (x) exise. Soluio : O oî ue primiive de f, es. Do F (x) = x. Cee foio possède ue limie qud x ed vers + : es. 4. f : R R, +. Cluler, pour ou x R, x d. Déermier x x si lim x + d exise. x Soluio : O oî ue primiive de f, es r(). L iégrle vu F (x) = r(x) r( x) = r(x), qui dme ue limie qud x ed vers + : es π. 5. f : R R, os(). Cluler π d. Soluio : E uilis os () = +os(), o rouve ue primiive de os(), à si() + svoir. O e dédui que l iégrle vu π 4.

2 UPMC M Suies, iégrles, lgére liéire 5-6 Exerie ((C) Iégrios pr pries).. f : R + R défiie pr = l(). Cluler, pour ou x >, x d. Soluio : L iégrle vu x l(x) x +, e fis l IPP où o iègre e dérive l().. f : R R défiie pr = os(). Cluler π os()d. Soluio : O dérive e o iègre le osius : o oie. 3. f : R R défiie pr = e. Cluler, pour ou x R, x d. Soluio : O dérive e o iègre e. O rouve x e d = x e x x e d. O effeue à ouveu ue iégrio pr pries e dériv e e iégr e. O oie : x e d = x e x (xe x (e x )) = e x (x x + ). 4. f : R + R défiie pr = l(). Cluler, pour ou x R, x d. Soluio : O dérive le l() e o iègre le. O oie : x l() x d = l (x) l() d. E pss l iégrle de droie à guhe de l équio, o oie l (). x l() d = Exerie 3 ((C) Chgeme de vrile). E uilis éveuelleme des hgemes de vriles, luler : I = Soluio : e x e + d I = h() d I 3 = I 4 = π 4 ()d I 5 = e l() d. d

3 UPMC M Suies, iégrles, lgére liéire 5-6 I : O pose u = e, soi du d = e, ou eore du = e d. Qud vrie ere e, u vrie ere e e. Do : I = e I : Ii eore o pose u = e. O oie : I = e x du = l( + e) l(). + u + u du = r(ex ) r( π 4 ) = r(ex ). es l dérivée de rsi, lors o I 3 : Si o si que l foio peu iégrer direeme. Sio, o pose = os(u). Ii u vrie ere π e π 4. Alors d du = si(u), soi d = si(u)du. De plus, = os (u) = si (u) = si(u) r sur e iervlle si(u). O oie π π 4 si(u) I 3 = si(u) du = 4 du = π 4. I 4 : O revoie u ours : = si os l( ) = l( ) = l(). π π es de l forme u u. O oie I 4 = I 5 : O peu poser u = l(). u vrie ere e. De plus du du = d. Aisi I 5 = udu =. Exerie 4. Soi f : [, ] R dérivle de dérivée f > e oiue. d =, soi. Si l o oe = f() e d = f() que représee grphiqueme l quié : d. E déduire l formule suive : d f ()d + f ()d d = d 3. Rerouver e résul e fis suessiveme ue iégrio pr pries e u hgeme de vrile ds l iégrle : d Soluio :. C es l ire ere le grphe de l foio f e l xe des ordoées. 3

4 UPMC M Suies, iégrles, lgére liéire 5-6. L somme des ires des deux premières iégrles doe grphiqueme l somme des ires des deux pries hhurées sur le dessi suiv. Cee somme es égle à l différee des ires de deux regles y (, ) e ommu (le grd regle gris lir e le regle gris lir o hhuré). Le premier es d ire d e le seod d ire, d où le résul. d 3. Soi I = d. O ommee pr ue iégrio pr pries : o dérive f e o iègre e qui doe : I = [ ] f ()d Ds l seode iégrle o fi le hgeme de vrile u = d où du = f ()d o oie do : Au fil : f ()d = I + f() d f() f (u)du = d f (u)du = d f (u)du E remplç I pr s défiiio o oie le résul voulu. Exerie 5. Soi f ue foio iégrle e périodique de période T, défiie sur R. Soie e deux réels queloques. Morer que +T d = +T d Soluio : Rppelos qu ue foio f es prériodique de période T si x R, f(x + T ) = f(x).. Pour ou, R, le grphe d ue foio périodique es do le même sur ous les iervlles du ype [ + T, + T ], pour ou N. 4

5 UPMC M Suies, iégrles, lgére liéire 5-6 Si l foio f es iégrle e périodique sur R, de période T, o peu érire, pr l relio de Chsles +T +T +T d = d + d + d +T Pr périodiié, o e do +T Exerie 6. d = +T +T d = +T d + d + d d = +T d. Soi f ue foio iégrle e impire défiie sur u iervlle [, +], où R +. Morer que + d =. Soi f ue foio iégrle e pire défiie sur u iervlle [, +], où R +. Morer que Soluio : + d = + d. Rppelos qu ue foio f : [, +] R es impire si x [, +], f( x) = f(x) Le grphe d ue foio impire es do symérique pr rppor à l origie. Pr l relio de Chsles, o peu érire + d = + d + + d Si l foio f es impire, l foio es ussi impire e do + pr symérie pr rppor à l origie (rgume grphique), + d = + d 5

6 UPMC M Suies, iégrles, lgére liéire 5-6 (Pour u rgume plus formel o peu ussi fire le hgeme de vrile ds l ue des iégrle i dessus. ) D où + d = + d + + d =. Rppelos qu ue foio f : [, +] R es pire si x [, +], f( x) = f(x) Le grphe d ue foio impire es do symérique pr rppor à l xe des ordoées. De l même fço, si l foio f es pire, l foio es ussi + pire e do pr symérie pr rppor à l xe des ordoées, D où + d = + d = + d + d + + d = + d Exerie 7. O rppelle que si x R, s prie eière E(x) es le plus gd omre eier relif el que E(x) x. E uilis l relio de Chsles, luler, pour ous eiers relifs m e els que m, E() d m Soluio : Soi deux eiers relifs m e els que m, lors m E() d = = = = k+ k=m k k+ k=m k=m k k m p= E() d k d (m + p) m = m( m) + p p= ( m )( m) = m( m) + ( m)( + m ) =. 6

7 UPMC M Suies, iégrles, lgére liéire 5-6 Exerie 8. Soi ϕ ue foio de lsse C sur [, ]. Pour ou N, o pose u = ϕ() si() d Morer que l suie (u ) N overge vers qud +. Soluio : O fi ue iégrio pr pries, o iègre si() e o dérive ϕ : [ os() u = ] ϕ() os() ϕ ()d. O v morer que les deux memres de l équio ede vers qud. Commeços pr [ ] os() ϕ() Comme ϕ es C elle es ussi oiue, do mjorée sur [, ] disos pr M ϕ. O do : [ os() ϕ() ] = os()ϕ() + os()ϕ() ( ) ( ) os()ϕ() + os()ϕ() iéglié rigulire Pour le erme M ϕ os() ϕ ()d es l même démrhe mis e plus ehique : Comme ϕ is C, ϕ es oiue do mjorée sur [, ], disos pr M. O peu ussi érire, pr l iéglié rigulire : os() Ce qui doe le résul. ϕ ()d os() Md ϕ () d ( )M 7

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Intégrales généralisées 3 Iégrles géérlisées Pour ce chpire, les focios cosidérées so priori défiies sur u iervlle réel I o rédui à u poi, à vleurs réelles ou complees e coiues pr morceu. L défiiio e les propriéés de l iégrle