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Marie-Dominique Paquin
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2 INTÉGRATION I Détrmitio d primitivs Ercic : Vérifir qu F st u primitiv d f sur R vc : f ( ) = F ( ) = l ( + ) + f ( ) F ( ) = = Ercic : Primitivs d somms d foctios usulls Détrmir u primitiv d chcu ds foctios suivts : 5 f ( ) = sur I = R f ( ) = 6 + sur I = R 7 6 f ( ) = sur I = R f ( ) = 5 sur I = R f5 ( ) = + 9 sur I = ] ; + [ f6 ( ) = si cos sur I = R f7 ( ) = sur I = R 8 ( ) sur f = + I = R u ' u ' Ercic : Primitivs d, t u ' u u u Détrmir u primitiv d chcu ds foctios suivts : f ( ) = sur I = R f ( ) = sur I = R ( ) = = R ( ) f sur I f5 ( ) = sur I = + Ercic : R ( ) ( ) f = sur I = R ( + ) f = I = R si 6 cos sur Détrmir touts ls primitivs sur R d l foctio f, défii sur R pr f ( ) = Ercic 5 : Détrmir l primitiv sur R d l foctio cosius qui s ul + Détrmir l primitiv d l foctio f, défii sur R pr f ( ) Détrmir l primitiv d l foctio f, défii sur R pr ( ) rprésttiv pss pr l poit A ( l,) + =, qui s ul = =, dot l cour f Ercic 6 : O cosidèr l foctio f défii sur ] ;+ [ pr c ) Écrir f sous l form f ( ) = + + ) Détrmir lors u primitiv d f f ( ) =

3 II Clcul d itégrls À l id ds primitivs Ercic 7 : Clculr ls itégrls suivts : ) ( + + ) d) t t dt ) d t t t t dt ) ( ) 6 c) cos si d f) l d l d cos Ercic 8 : Clculr ls itégrls suivts : ) d) g) l t dt ) d + l t t + dt ) ( + ) l t d t t d c) f) dt t t dt h) si ( t ) dt i) cos( ) Ercic 9 : Soit f l foctio défii sur ; pr : 8 f ( ) = c Détrmir ls réls, t c tls qu : ;, f ( ) = Clculr l itégrl Ercic : Soit t du réls f ( )d O cosidèr ls foctios f t F défiis sur R pr f ( ) ( ) F ( ) ( ) = t = + Détrmir ls réls t tls qu F soit u primitiv d f l( ) E déduir ( ) d d

III Clcul d irs Ercic : Associr chqu itégrl u schém qui lui corrspod (pour ct rcic, ls irs ds prtis du pl situés sous l ds scisss sot comptés égtivmt) ) ) c) d) f ( ) d f ( ) d f ( ) d ( ) Ercic : O

4 III Clcul d irs Ercic : Associr chqu itégrl u schém qui lui corrspod (pour ct rcic, ls irs ds prtis du pl situés sous l ds scisss sot comptés égtivmt) ) ) c) d) f ( ) d f ( ) d f ( ) d ( ) Ercic : O trcé ds l rpèr ci-dssous l cour rprésttiv d l foctio f f d O suppos cous ls irs A, A, A, A t A 5 ) Avc cs vlurs, primr ls itégrls suivts :,5 = ( ) d, ( ) 6,5 I f = t I = f ( ) d I f d ) À l id d itégrls, primr l somm A + A + A

5 Ercic : Ls irs A, A, A, A,A 5 t A 6 sot cous ) Eprimr ls itégrls suivts à l id d cs vlurs = ( ) d ( ) I f ( ) ( ) I = f g d ( ) ( ) I = f g d I g d = ) Eprimr à l id d itégrls l somm A + A 5 Ercic : O trcé ci-dssous l cour rprésttiv d u foctio f t du droits d équtios rspctivs = α t = β ) Colorir roug l prti du pl dot l ir st doé pr ( ) f d ) Colorir lu l prti du pl dot l ir st doé pr ( ) f d f c) Colorir vrt l prti du pl dot l ir st doé pr ( ) d Ercic 5 : O trcé ds l rpèr ci-cotr ls cours rprésttivs ds foctios f, g t h défiis pr : f ( ) =, g ( ) = t h( )= ) Eprimr vc l id ds itégrls l ir roug A roug t l clculr ) Clculr A lu = + d c) E déduir l ir colorié sur l figur uités d ir β α

=, = m, l ds scisss t l cour rprésttiv d l foctio g Ctt ir st foctio d m Clculr l ir A( m) t détrmir l limit d A( m) lorsqu m td vrs l ifii Ercic 7 : Soit l

6 Ercic 6 : O trcé ds l rpèr ci-dssous l cour rprésttiv d l foctio f ( )= ) Eprimr vc u itégrl l ir vrt V Clculr V ) Eprimr vc u itégrl l ir lu B Clculr B ( +) m désig u rél strictmt positif t A( m ) st l ir d l prti du pl situé tr ls droits O trcé ds l rpèr ci-dssous l cour rprésttiv d l foctio g( ) = d équtio =, = m, l ds scisss t l cour rprésttiv d l foctio g Ctt ir st foctio d m Clculr l ir A( m) t détrmir l limit d A( m) lorsqu m td vrs l ifii Ercic 7 : Soit l foctio f ( )= + défii sur [ ;], rprésté ci-dssous ds u rpèr orthogol Ls uités grphiqus sot cm sur l ( O ) t cm sur l ( ) Clculr l ir, cm, du domi D coloré Oy 5

7 IV Itégrls t iéglités Ercic 8 : O pos I = t dt + t Motrr qu I Ercic 9 : Soit f l foctio défii sur [ ; ] pr ) Démotrr qu pour tout rél t d l itrvll [ ; ], ) E déduir qu I f ( ) = O ot + f ( t) t = ( )d I f Ercic : ) Motrr qu, pour tout rél strictmt positif t, + t t ) E déduir qu, pour tout tir turl o ul, dt + t Ercic : O pos = l I l( + )d Démotrr qu I O pos = I ( ) d Démotrr qu I Ercic : Soit F l foctio défii sur [ ; + [ Motrr qu, pour tout rél positif, F( ) pr F( ) = dt + t Ercic : O coît l tlu d vritio d u foctio f défii sur [ ;5 ]: Dor u cdrmt d chcu ds itégrls suivts : I f ( )d ; = J f ( )d = 5 6

8 V Suits t itégrls Ercic : Pour tout tir turl, o cosidèr l suit ( u ) défii pr ) Motrr qu pour tout tir turl, u ) Étudir l ss d vritio d l suit ( u ) c) Qu put-o déduir pour l suit ( u )? u d = Ercic 5 : Pour tout d N, o défiit ) Motrr qu, pour tout d N, l suit ( ) = cos d t t t ) Étudir l ss d vritio d l suit ( ) c) Qu put-o déduir pour l suit ( )? Ercic 6 : Pour tout d N, o défiit ) Motrr qu pour tout d N, ) E déduir l limit d ( y ) st à trms positifs = si d y t t t ; y ; + = Ercic 7 : Pour tout tir turl o ul, o pos ( l ) I d ) Motrr qu, pour tout d ] ; [ t pour tout tir o ul, ( ) ( ) + ) E déduir qu l suit ( I ) st décroisst l l > Ercic 8 : Pour tout tir turl o ul, o pos Motrr qu l suit ( I ) st croisst I = t d t = Ercic 9 : Pour tout tir turl o ul, o pos ( l ) I d Motrr, à l id d u itégrtio pr prtis, qu pour tout tir turl o ul : I = I ( ) + + 7

9 VI Itégrtio t lgorithms Ercic : Soit f l foctio positiv t strictmt croisst sur [, ] défii pr f ( ) l ( ) O souhit clculr u vlur pproché d ( ) Etré : Sisir Iitilistio : i prd l vlur s prd l vlur prd l vlur h prd l vlur Tritmt : Pour k llt d à ( ) i prd l vlur i + h l prd l vlur + h ( ) s prd l vlur s + h l Fi du pour Affichr i, s Décrir c qui s pss étp pr étp prt = Qu rprést i t s? Ercic : ) Motrr qu l foctio f défii pr f ( ) [, ] 5 = l d utilist l lgorithm suivt : = st positiv t décroisst sur l itrvll ) Rcopir t complétr l lgorithm dot sorti ls vlurs d U (somm d rctgls «ifériurs») t V (somm d rctgls «supériurs») cdrt ( ) Etré : Sisir Iitilistio : prd l vlur U V prd l vlur prd l vlur Tritmt : Pour k llt d à Affichr U, V prd l vlur + prd l vlur Fi du pour prd l vlur + f d 8

10 VII Pour llr plus loi : Itégrtio pr prtis (HORS progrmm) Théorèm Soit u t v du foctios dérivls sur u itrvll I, dot ls dérivés u t v sot cotius sur I Pour tous réls t d I, u ( ) v '( ) d = [ u ( ) v ( )] u '( ) v ( ) d Pruv u t v sot dérivls sur I doc uv st dérivl sur I, t ( uv)' = u ' v + uv ', doc uv ' = ( uv)' u ' v u, v, u t v sot cotius sur I, doc uv, u v t (uv) l sot ussi lors Empls [ ] u( ) v '( ) d = ( uv)'( ) u '( ) v( ) d Clculr = = ( uv)'( ) d u '( ) v( ) d [ uv ] = ( ) u '( ) v( ) d J si d Soit u rél strictmt positif Clculr l tdt Clculr = J d O ot I = si d t J = cos d Démotrr qu I = J t qu I = J + + E déduir ls vlurs cts d I t d J Ercic : À l id d u itégrtio pr prtis, clculr ls itégrls suivts : ) ( ) ) si d d c) l( )d Ercic : À l id d u itégrtio pr prtis, dor u primitiv sur ] [ ] ;+ [ pr f ( ) = l( ) Ercic : O cosidèr ls itégrls 9 ;+ d l foctio f défii sur si( )d t cos( )d I = J = ) E itégrt I puis J pr prtis, démotrr qu I = J puis qu I = J + + ) Détrmir I t J pr résolutio d u systèm Ercic 5 : Soit u tir turl t ) Clculr I ) Étlir u rltio tr I t c) E déduir I + I = d I

11 Ercic 6 : À l id d u doul itégrtio pr prtis, clculr ) I = d ) I = cos( )d

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