Formation de voies : détermination du vecteur de pointage

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1 Foaton de voe J.-C. Pascal (009) Foaton de voes : détenaton d vecte de pontage Les étodes de foaton de voes sont des tecnes peettent d obten la contbton des soces se tovent dans n doane sélectonné de l espace en tlsant ne antenne de copones. Un vecte de pontage constt en foncton de la poston où on ecece la soce pondèe le sgnal de cacn des copones avant de les soe. Cette aoce est basée s n odèle de soces, c des soces ponctelles décoélées. De nobeses étodes sont tlsées po conste le vecte de pontage : - les étodes nttves de foaton de voes conventonnelles pa etad et soaton, - les nobeses étodes basées s la solton d n poblèe d optsaton, - les étodes dtes ate ésolton. Le tee ate ésolton (R) est tlsé po désgne les algotes condsent à ne ellee ésolton e la étode de foaton de voe standad, ce est le cas po la étode à vaance n o étode de Capon et les étodes ato-égessves. Totefos, acos (999) adopte la défnton svante : "ne étode est dte ate ésolton, s et seleent s, sa ésolton potentelle est ellee e celle de la foaton de voes classe, et dont les pefoances asyptotes ne sont pas ltées pa le aot sgnal s bt des sgnax. Ateent dt, son povo de ésolton est téoeent llté po n teps d'obsevaton nfn.", et fat eae e cette défnton excls les étodes de foaton de voes adaptatves et de ax d'entope (ato-égessves). Dans cette cote ntodcton ax tecnes d antenne, les étodes R sont ltées à la tecne de décoposton en sos espace epésentés pa la étode des vales popes et la étode USIC. On adopte le plan svant : Estaton des soces pa antenne à etad et soe Repésentaton tepoelle Repésentaton féentelle La foaton de voes coe solton d'n poblèe d'optsaton Pocesse de Batlet Estaton en pésence de bt Estaton à vaance n des soces Décoposton en sos-espaces Popétés de la atce ntespectale étode des vales popes et étode USIC

2 Foaton de voe J.-C. Pascal (009) Estaton des soces pa antenne à etad et soe Repésentaton tepoelle C'est la foe la pls classe de la foaton de voes (DS : delay and s beafoe). Cae voe de l antenne est consttée d n copone et d n dspostf électone peettant d ajste le gan et le etad d sgnal copone. Po teste l ypotèse de la pésence d ne soce ponctelle stée a pont, donc à des dstances de cae copone, les etads c ( c est la célété d son) ds à la popagaton sont copensés. Ans l estaton S (t) de la soce stée a pont s obtent en soant les sgnax ( t + c) a p S Ξ. (.) pont p ( ) p ( ) (t) (t) t t p p (t) S Σ Dans l éaton pécédente, n coeffcent de pondéaton a est pafos tlsé po odele la dectvté de l antenne (apodsaton). Ξ epésente n coeffcent de noalsaton nécessae po obten le nvea coect de la soce. La pesson podte pa ne soce ponctelle à ne dstance en foncton de son débt d accéléaton Q a (t) est Le débt de asse est coaent eployée et s expe pa Q ρ0q en foncton d débt de vtesse Q 4π and 0 (où est la vtesse patclae adale à poxté édate de la soce ponctelle). Le débt d accéléaton se défnt donc pa Q dq ( t dt. a )

3 Foaton de voe J.-C. Pascal (009) ( t c) ρ0qa p. (.) 4π En tlsant cette expesson po la pesson captée pa cacn des copones de l antenne dans l éaton estant la soce, on obtent S a p ( t + c) ρ0qa ( t c + c) a Ξ Ξ 4π ρ0qa Ξ a 4π. (.3) Cette elaton onte claeent e po ne estaton de la soce telle e a S ρ0qa, le coeffcent de noalsaton dot ête Ξ. Ans l est possble 4π d éce l éaton (.) d ne façon pls concse S p, (.4) où la pesson de cae copone est convolée pa ne foncton noée vecte de δ ( t T0 + c) ponage dans laelle T 0 ax Ξ epésente le etad de c gope nécessae po e le systèe sot casal. Reae : coe nos le veons pls lon, cette aoce nttve ne condt pas à n estate optal de la soce. Cel-c coespond à la défnton c-dessos d vecte de pontage a (4π ) δ ( t T + c) 0 4π. (.5) Repésentaton féentelle A ne féence f ω π, le etad d à la popagaton s expe sos la foe d n dépasage. La foaton de voes pa etad et soaton (DS) est sovent noé pocesse de Batlet. Une estaton des apltdes des soces pet se fae à pat d vecte des pessons coplexes captées pa les copones de l'antenne. L'apltde de la soce a pont focal pet s'éce foelleent pa S p, (.) où est le vecte de pontage (o "steeng vecto") assocé a pont focal ( note la tansposée etenne : vecte tansposé dont les éléents sont coplexes conjgés) et p le vecte des pessons coplexes des copones. Le podt scalae p ente les dex 3

4 Foaton de voe J.-C. Pascal (009) vectes est ax and ls sont colnéaes. Ce podt scalae coespond en fat à n coeffcent de coélaton. Le vecte de pontage est donc basé s n odèle de soce. Pa exeple, po ne soce ponctelle d'apltde ntae stée a pont focal et ayonnant en espace lbe, sa foncton de tansfet est ( jk ) ( 4π ) exp, (.) où k π f c et est la dstance ente la soce et le copone. La contbton de cette soce s tos les copones de l'antenne est epésentée pa le vecte T L L. (.3) Ans, le vecte des pessons po ne soce ponctelle d'apltde focal est coélaton p A ( A ρ0qa ρ a pont A 0Q a ). En cosssant n vecte de pontage, la p A est axale. as le eplaceent de l'éaton (.) ne peet pas d'obten S égal à de noalsaton et s'expe pa A : pa dans dot satsfae en pls à la contante. (.4) Sovent po éde les effets de lobe, des fenêtes spatales sont eployées (annng, Kase-Bessel, Blackan, etc.). En notant a le vecte des pondéatons alées à cae copone, le vecte de pontage dag a. tlsea ( ) La densté spectale de pssance (apltde caée) de la dstbton de soce estée pet s'éce ω ) E{ S S } E{ ( p)( p) } E{ p p }, sot ( où E{ } (ω), (.5) est la atce ntespectale des pessons s l'antenne. Cae éléent de la atce coespond à ne densté ntespectale de pssance (ntespecte 3 ) ente dex copones de l'antenne n E{ p pn } T) N k, k (, T) pn, k (, T ) p, k T ( p ω ω, où ( ω, ) est la tansfoée de Foe s n tonçon d'ndce k de dée fne T d sgnal d copone. S la dagonale de la atce se tovent les atospectes (éels) des copones. n n On note e, ce confèe à la syéte etenne. On a la elaton svante ente des vectes coplexe : ( p) ( p ) p ( p) 3 po splfe on palea d'ntespecte po densté ntespectale de pssance et d'atospecte po la densté spectale de pssance; T * * 4

5 Foaton de voe J.-C. Pascal (009) La foaton de voes coe solton d'n poblèe d'optsaton Pocesse de Batlet Po ecece n vecte de pontage optal, l fat défn ne foncton coût (o d'ee) e l'on cecea à nse. La foncton coût est natelleent assocée à l'écat p A ente la vale estée de la soce et sa vale éelle. Pse les soces (et le bt ajoté) sont des gandes aléatoes, c'est la densté spectale de pssance défnt cette foncton coût { p A )( p A ) } E{ p A } E{ p A } + E{ A A } J E (. (3.) E{ A A } ntespectales de pssance { g p E p A } et p E{ p A } est le specte de la soce. En consdéant le vectes des denstés foe adate svante g, la foncton coût se et sos la p p J g g +, (3.) et la solton optale s'obtent en calclant son n en alant la condton J 0. J est n scalae dévé pa n vecte condt à n expesson vectoelle 4 J g p 0, (3.3) peet de donne l expesson d vecte de pontage optal optal g. (3.4) p En consdéant la atce ntespectale de à la soce pet ête odélsée pa { A A }, E, (3.5) et le vecte des ntespectes ente les pessons des à cette soce et son apltde p { p A } E{ A A } g, E, (3.6) le vecte de pontage s'éct 5 g ( ), p,. (3.7) 4.T. anna,. Saan, "A closed-fo solton to a adatc optzaton poble n coplex vaables", Jonal of Optzaton Teoy and Alcatons 47 (4) (985) Vo ass, P.A. Nelson, S.J. Ellott, Actve Contol of Sond (Aendx : a lnea lttle algeba), Acadec Pess, en tlsant la elaton ( ) A ( A ) avec A (ttp://atxcookbook.co/) 5

6 Foaton de voe J.-C. Pascal (009) Le vecte de pontage optal obten coespond ben à l'expesson (.4) avec. Estaton en pésence de bt On consdèe c n bt ndépendant vent s ajote a sgnal des soces esées pa les copones, s ben e la atce ntespectale des copones devent ˆ +. (4.), nn Le bt de cae copone est sosé décoélé (pas de tees cosés dans la atce ntespectale) et pet s éce en tlsant la atce dentté tel e I. Le vecte des denstés ntespectales de pssance g p, E{ p A } n est pas affecté pa le bt pse cel-c n est pas coélé avec le sgnal de la soce. En notant le aot d bt s le sgnal soce γ nn, le odèle de la atce ntespectale esée devent ˆ + γ I. Le vecte de pontage devent alos 6, ( ) ( + γ I) ˆ, g p,. (4.) + γ nn nn Estaton à vaance n des soces Cette étode, ntodte pa Capon (969), est ass noé étode de ax de vaseblance. Elle consste à cos n vecte de pontage nse l énege à la sote d pocesse and cel-c est sos à la contante de noalsaton (gan ntae po ne soce ntae) dans la decton de la soce. Ce poblèe d optsaton est expé sos foe syntéte pa : nse sos éseve e. (5.) La solton est obtene pa la étode d ltplcate de Lagange (noté λ ) consste à nse la foe adate svante J ( ) + λ +. (5.) J La dévée de cette fonctonnelle étant l expesson svante d vecte de pontage + λ, son annlaton condt à λ. (5.3) Cel-c dot ass satsfae la contante de noalsaton, devent λ, (5.4) 6 K.B. Petesen,.S. Petesen, Te atx Cookbook [ ttp://atxcookbook.co ],

7 Foaton de voe J.-C. Pascal (009) and on tlse l expesson d vecte de pontage de l éaton (5.3). Le ltplcate de Lagange est ans obten et font le vecte de plotage optal en epotant son expesson dans (5.3) Reaes. (5.5) ) Dans la étode de Capon et contaeent ax étodes pécédentes (E. 3.5 et 3.6), la atce ntespectale n est pas constte avec le odèle de la soce as calclée à pat des sgnax copones esés. ) En tlsant l expesson (.5) po la densté spectale de soce (ω) et en tlsant l expesson (5.5) d vecte de plotage on obtent. (5.6) 3) La étode de Capon possède ne sensblté pls potante a odèle de soce et à la alté des sgnax esés ca son vecte de pontage tlse la atce ntespectale esée. Une veson églasée où l nvese de la atce ntespectale est eplacée pa ( ) + γ I dot sovent ête eployée. Décoposton en sos-espaces Cette étode est basée s les popétés de la atce ntespectale. Popétés de la atce ntespectale La atce ntespectale des pessons copones à po éléents les ntespectes calclés ente cae paes de copones. L éléent d ndces n coespond à l ntespecte ente le copone et le copone n et s expe pa n E { N p pn} T) k, k (, T) pn, k (, T ) ( p ω ω. (6.) On eae e l ntespecte n atce, est son coplexe conjgé, coespond à l éléent syéte de n n n dans la. S la dagonale de la atce se tovent les atospectes (éels) des copones. On dt e est ne atce caée possède ne syéte etenne et pet se défn pa la elaton, (6.) 7

8 Foaton de voe J.-C. Pascal (009) où sgnfe e la atce est tansposée et e ses éléents sont eplacés pa les coplexes conjgés. Ces popétés font e cette atce pet se décopose, en tlsant la tecne de décoposton en vales snglèes (SVD), sos la foe UΣ U. (6.3) La atce U est ne atce consttée de vectes popes U [ L ] otogonax ( 0, po j ) et ntaes telle e U U U U I. La atce j est ne atce dagonale dag( σ, σ, K, σ ) dont les éléents pésentent des vales popes décossantes. En éécvant la atce ntespectale sos la foe (gâce à l otogonalté des vectes ) Σ σ, (6.4) on onte elle se décopose en caps coéents, ndépendants ente ex (otogonax). S les sgnax copones sont ds neent à N soces sonoes, le ang de la atce ntespectale ne poa ête spée à N, c est à de e σ σ L σ et σ L σ 0, po N. (6.5) + Dans la pate, pa exeple dans le cas d n cap podt pa des soces patelleent coéentes stées dans ne égon en face de l antenne, pet ête ben nfée a nobe de soces ponctelles. Dans la pate, n bt de ese ndépendant des sgnax assocés ax soces venda ass se spepose et conde à des vales non-nlles po les coposantes d ndces spées à s ben e la atce ntespectale pet s éce sos la foe de dex tees coespondant espectveent a sos-espace soce et a sos-espace bt s + n σ + σ. (6.6) sos espace soce sos espace bt Consttés de soes d éléents otogonax, les dex sos espaces sont natelleent otogonax. étode des vales popes et étode USIC S coe po l éaton (3.5), le odèle de soce est eployé po conste la atce ntespectale, E{ A A } de à ne soce stée en, dex statons pevent se pode : a) ne soce éelle se tove a pont et des éléents de cette atce seont patelleent coélés avec cex de la atce as tot à fat ndépendants avec cex de n, se sgnfe e s n 0. 8

9 Foaton de voe J.-C. Pascal (009) b) l n y a pas de soce éelle en et des éléents de la atce, coélés avec cex des atces s et n. sont pls où ons La étode des vales popes constt n estate de soce où la atce ntespectale de l estate de Capon (5.6) est eplacée pa ses coposantes coespondant a sos espace bt tel e P n + σ (6.) pet se splfe sos la foe évalente svante P + σ. (6.) Qand le pocesse ponte s le pont où se tove ne soce, les vectes (and > ) sont otogonax et l estate P pend ne vale nfne. et P ne font pas ne estaton de la densté spectale de la soce as seleent ne estaton de sa pésence a pont. La étode USIC (Ultple SIgnal Classfcaton) de à Scdt (97) est ne vaante de la étode pécédente dont l estate n tlse pas les vales popes σ P + +. (6.3) Po tlse ces étodes, la sépaaton ente les dex sos-espaces dot ête effectées en tlsant des estates d nobe de soces. Ces estates sont exposés en Annexe. Ces étodes R fonssent des ésltats tès pefoants dans bons nobes de doanes où les antennes sont alées (concatons, édcal, ada, etc.). En acoste des dffcltés sont sovent encontées d fat e les densons des soces et des obstacles d le de popagaton sont d êe ode de gande e la longe d onde. Le odèle pet-ête alos assez dfféent des fonctons de tansfet éelles, ce se tadt pa de fables coélatons avec l espace soce, et ntodt d êe cop n défat d otogonalté avec le sos espace bt end les ésltats dffcleent ntepétables. 9

10 Foaton de voe J.-C. Pascal (009) Annexe : Détecton d nobe de soces Les estates d nobe de soces pevent s'éce de la façon svante 7, 8 : Kˆ ag ag k k n { 0, L, } n { 0, L, } g( k) N log a( k) k + α k( k) p( k) N log + α k( k) k a ( k) avec le nobe de captes tlsées et N le nobe d'écantllons (tepoelle po la foncton de coélaton et nobe de oyenne po la atce ntespectale) et en notant les oyennes atéte et géoétes des vales popes assocées à l'espace bt pa s( k) a( k) ˆ λ et k k k + ( k ) ( ) ( ) ˆ g k p k λ k + ( k ) et le paaète α peet de dfféence dex étodes : - étode basée s le ctèe AIC (Akake Infoaton Cteon) α log N - étode basée s le ctèe DL (n Descpton Lengt) α Reae : le ctèe AIC pésente ne pobablté de sestaton asyptote non nlle d nobe de soce. C'est à de e êe po n nobe nfn d'écantllons, le ctèe AIC aa tendance à seste le nobe de soces. Il est onté e l'adjoncton d facte de pénalté α dans DL peet de égle la pobablté de sestaton asyptote à zéo. En evance, cette pobablté de sestaton n'est pas nlle lose le nobe d'écantllons est fable. Le facte de pénalsaton a alos tendance à s- pénalse et à détéoe la pobablté de détecton 8. Des factes de pénalté éalsant n copos ente AIC et DL ont été poposés 9. Le test d'akake a été efolé à pat de l'nfoaton telle de Kllback, ese la poxté ente dex los de pobablté de vaseblance sos des ypotèses de nobe de soces dfféentes 7,0. Une vaante 0 peet de l donne ne foe dévée d test d'akake en tlsant l'nfoaton nvese de Kllback. Cette vaante pet ête étende a ctèe DL 7 Kˆ ag k p( k) n N log + α k( { 0, L, } a ( k) k). 7 J. offad, P. Lazabal,. Clegeot, "Sélecton d'ode d odèle po les étodes.r.", n Les étodes à ate ésolton (C. 6) (S. acos, Ed.), eès, Wax, T. Kalat, "Detecton of sgnal by nfoaton teoetc ctea", IEEE Tansactons on ASSP 33() (985) K.. Wong, Q.T. Zang, J.P. Relly, P.C. Yp, "On nfoaton teoetc ctea fo detenng te nbe of sgnals n g esolton aay pocessng", IEEE Tansacton on ASSP 38() (990) J.P. Le Cade, "Alcaton of soe statstcal eases to spatal sgnal pocessng", NATO Advanced Stdy Insttte on Adaptve etods n Undeate Acostcs, Lnebg (eany) 30 Jly- 0 Agst 984 (Poceedngs n NATO ASI See C, edted by.. ban, Redel,985). 0

11 Foaton de voe J.-C. Pascal (009) Eléents de bblogape D.E. Ddgeon, R.. eseea, ltdensonal dgtal sgnal pocessng, Pentce-all, 984. S. acos (Ed.), Les étodes à ate ésolton, eès,998.. Bandsten, D. Wad (Eds.), copone Aay, Spnge, 00. T.J. elle (Ed.), Aeoacostc easeents, Spnge-Velag, 00. [atos : C.S. Allen, W.K. Blake, R.P. Dogety, D. Lync, P.T. Sodean, J.R. Undebnk.] P.A. Nelson, "Soce dentfcaton and locaton (C.3)", n Advanced Alcatons n Acostcs, Nose and Vbaton (F. Fay and J. Walke, Eds.), Spon Pess, 004.