Probabilités & Statistiques L1: Cours. December 20, 2008

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1 Probabilités & Statistiques L1: Cours December 20, 2008

2 Chapter 1 Déombremets I 1.1 Pricipes gééraux Règle du produit O fait deux expérieces, successives ou simultaées. Si la première doe 1 résultats possibles et si, pour chacu de ces résultats, la deuxième doe 2 résultats possibles alors il y a e tout 1 2 résultats possibles. Règle de la somme O fait ue expériece et o peut répartir ses résultats e deux catégories icompatibles. S il y a 1 résultats possibles de type 1 et 2 résultats possibles de type 2 alors il y a e tout résultats possibles. 1.2 Cas stadards Les problèmes courats sot des types suivats: permutatios, lacers, répartitios, tirages. Les pricipaux critères pertiets sot: discerable ou o (e abrégé D ou D), ordoé ou o (e abrégé O ou O), avec répétitio ou o (e abrégé R ou R) Permutatios U mot de logueur est représeté par ue suite (x 1 ; :::; x ) de lettres, qui peuvet être discerables ou pas: si le mot est composé de p lettres discerables répétées 1 ; :::; p fois o dira que c est u mot de ( 1 ; :::; p ) lettres partiellemet discerables. Ue permutatio des lettres d u mot doe u mot composé des mêmes lettres que lui: elle coserve ce mot si le mot obteu après permutatio est idetique au mot iitial. Permutatio sur lettres discerables Si le mot est composé de lettres discerables alors chaque permutatio doera u mot ouveau: le ombre de ces mots est égal au ombre de permutatios. Exemple. Les permutatios du mot abc sot codées abc ; acb ; bca ; ::: Calcul. O calcule le ombre! de ces permutatios grâce à la règle du produit, sachat que le choix de la k-ème lettre restreit de 1 l évetail des choix pour la (k + 1)-ème. Permutatio sur lettres partiellemet discerables Si le mot est composé de = ( 1 ; :::; p ) lettres partiellemet discerables alors certaies permutatios coserverot le mot: ce sot elles que l o veut compter. Exemple. Le mot iitial aab est codé a 1 a 2 b : les permutatios qui le coservet sot codées a 1 a 2 b ; a 2 a 1 b: Calcul. O calcule le ombre de ces permutatios grâce à la règle du produit: ( 1! permutatios de 1 lettres distictes) ::: ( p! permutatios de p lettres distictes): Tirages Lorsqu o choisit successivemet p élémets parmi élémets o obtiet u tirage successif (p; ) : par pricipe les élémets sot discerables, umérotés 1; :::; : Tirage ordoé avec remise U tirage successif (p; ) de type O=R est représeté par ue suite (x 1 ; :::; x p ) de p élémets évetuellemet égaux pris parmi : Exemple. Les tirages (3; 4) de type O=R das fa; b; c; dg sot codés abb; cbd ; ccc ; ::: Calcul. O calcule le ombre de ces tirages grâce à la règle du produit, sachat que le résultat du k-ème tirage i ue pas sur le résultat du (k + 1)-ème. 1

3 Tirage ordoé sas remise U tirage successif (p; ) de type O=R est représeté par ue suite (x 1 ; :::; x p ) de p élémets disticts pris parmi : Exemple. Les tirages (3; 4) de type O=R das fa; b; c; dg sot codés abc ; dac ; bcd ; ::: Calcul. O calcule le ombre A p de ces tirages grâce à la règle du produit, sachat que le résultat du k-ème tirage restreit de 1 l évetail des résultats pour le (k + 1)-ème. Tirage o ordoé sas remise U tirage successif (p; ) de type O=R est représeté par ue partie fx 1 ; :::; x p g de p élémets (disticts) pris parmi : Choisir simultaémet p élémets parmi élémets équivaut à u tirage successif (p; ) de type O=R: Exemple. Les tirages (3; 4) de type O=R das fa; b; c; dg sot codés fa; b; cg ; fb; c; dg ; fa; c; dg ; ::: Calcul. O calcule le ombre p de ces tirages par la règle du produit: à chaque tirage O=R correspodet p! tirages O=R; pour u total de A p tirages O=R. Tirage o ordoé avec remise Das u tirage successif (p; ) de type O=R seul compte le ombre de fois où chaque élémet est apparu: u tirage peut doc être représeté par ue suite (p 1 ; :::; p ) de etiers positifs ou uls évetuellemet égaux et véri at P k=1 p k = p: Exemple. U tirage (3; 4) de type O=R das fa; b; c; dg sera codé (2; 1; 0; 0) pour sigi er qu il y a eu deux a; u b; zéro c; zéro d : o peut égalemet le coder (aajbj j) ou ( j j j). Calcul. Le ombre de ces tirages est égal au ombre de tirages (p; p + 1) de type O=R : p est le ombre de, 1 celui de j, et + p 1 le ombre total de symboles das le codage ci-dessus Lacers Lorsqu o lace p fois u dé à faces o obtiet u lacer successif (p; ) : par pricipe il y a répétitio et o suppose que les faces sot discerables, umérotées 1; :::; : Lacer simultaémet p dés à faces équivaut à u lacer successif (p; ) ; ordoé si les dés sot discerables, o ordoé sio. Lacer successif ordoé U lacer successif (p; ) de type O est représeté par ue suite (x 1 ; :::; x p ) de p faces évetuellemet égales prises parmi : problème aalogue à u tirage (p; ) de type O=R: Lacer successif o ordoé Das u lacer successif (p; ) de type O seul compte le ombre d apparitios de chaque face : problème aalogue à u tirage (p; ) de type O=R: Répartitios Lorsqu o répartit p boules das ures o obtiet ue répartitio (p; ) : par pricipe les ures sot discerables, umérotées 1; :::; : Les ures peuvet être évetuellemet vides, les boules sot discerables ou pas. NB. Si o accepte pas que les ures puisset être vides o les préremplit par ue boule chacue (cas p > ): Répartitio à boules discerables Ue répartitio (p; ) de type D est représetée par ue suite (x 1 ; :::; x p ) formé de p ures évetuellemet égales prises parmi : problème aalogue à u tirage (p; ) de type O=R: Répartitio à boules idiscerables Das ue répartitio (p; ) de type D seul compte le ombre de boules das chaque ure : problème aalogue à u tirage (p; ) de type O=R: 2

4 1.2.5 Problèmes divers Mots discerables à lettres partiellemet idiscerables O permute les lettres d u mot de ( 1 ; :::; p ) lettres partiellemet discerables: o s itéresse aux mots discerables obteus. Exemple. Les mots discerables obteus par permutatio de aab sot codés aab ; aba ; baa: Calcul. O calcule le ombre de ces mots par la règle du produit: à chaque mot ouveau correspodet 1! 2!::: permutatios qui le coservet, pour u total de! permutatios. Répartitios e groupes d e ectifs imposés O répartit élémets discerables e p groupes discerables d e ectifs 1 ; :::; p : Exemple. Les répartitios de 3 élémets a; b; c e 2 groupes d e ectifs 2; 1 sot codées fa; bg fcg ; fa; cg fbg ; fb; cg fag : Calcul. O calcule le ombre de ces répartitios par la règle du produit: à chaque répartitio ouvelle correspodet 1! 2!::: p! permutatios qui la coservet, pour u total de! permutatios. 3

5 Chapter 2 O ote E tout esemble à élémets. Déombremets II 2.1 Pricipes gééraux Règle du produit ja Bj = jaj jbj : Règle de la somme Si A et B sot deux parties disjoites alors ja [ Bj = jaj + jbj : Plus gééralemet o a ja [ Bj = jaj + jbj ja \ Bj : Permutatios 2.2 Cas stadards Le ombre de permutatios de E est! = ( 1) ::: 3 2 1: O a! = ( 1)! et o coviet que 0! = 1: Permutatios sous cotraite. O cosidère ue partitio de E e p parties A 1 ; :::; A p de cardial 1 ; :::; p : O dit qu ue permutatio s coserve la partitio si s (A k ) = A k pour tout k : le ombre de ces permutatios est 1! 2!::: p!: Applicatios Ue applicatio E p! E est appelée applicatio de p das : il y e a Variate: p est le ombre de suites avec répétitio de p parmi : p : Arragemets Ue applicatio ijective E p! E est appelée arragemet de p parmi : il y e a A p! = = ( 1) ::: ( p + 1) : ( p)! Variate: A p est le ombre de suites sas répétitio de p parmi : Combiaisos e a Ue partie à p élémets de E est appelée combiaiso de p parmi : il y = Ap! = p p! p! ( p)! : Variate: p est le coe ciet biômial de a p b p das le développemet de (a + b) : O a p = p et p = 1 p + 1 p 1 : o "visualise" cette derière relatio avec le triagle de Pascal. Noter que P p=0 p = 2 : 4

6 Partitios d u esemble Ue partitio de E e suite (A 1 ; :::; A p ) de p parties de ( 1 ; :::; p ) élémets est appelée partitio de e ( 1 ; :::; p ) : il y e a! = 1 ; :::; p 1! 2!::: p! : Noter que P p k=1 k = : Variate: 1 ;:::; p est le coe ciet multiômial de x 1 1 :::x p p das le développemet de (x 1 + ::: + x p ) : Ue combiaiso 1 parmi est ue partitio de e ( 1 ; 2 ) ; avec 2 = 1 : doc 1 ; 2 = 1 = 2 : Décompositios d u etier Ue suite (p 1 ; :::; p ) d etiers positifs ou uls satisfaisat la relatio P k=1 p k = p est appelée décompositio de p e P k=1 p k : il y e a p + 1 p + 1 = : p 1 +p 1 Variate: p est le ombre de moômes disticts x p 1 1 :::x p (x 1 + ::: + x ) p : das le développemet de 2.3 Exemples Permutatios U mot de lettres discerables équivaut à ue pemutatio de élémets: il y e a!: U mot de = ( 1 ; :::; p ) lettres partiellemet discerables équivaut à ue partitio de e ( 1 ; :::; p ) : il y a 1! 2!::: p! permutatios qui coservet la partitio. Tirages, Lacers, Répartitios U tirage successif (p; ) de type O=R est ue applicatio de p das : il y e a p : U tirage successif (p; ) de type O=R est u arragemet de p parmi : il y e a A p : U tirage successif (p; ) de type O=R est ue combiaiso de p parmi : il y e a p : U tirage successif (p; ) de type O=R est ue décompositio de p e P k=1 p k : il y e a p+ 1 p : U lacer successif (p; ) de type O est ue applicatio de p das : il y e a p : U lacer successif (p; ) de type O est ue décompositio de p e P k=1 p k : il y e a p+ 1 p : Ue répartitio (p; ) de type D est ue applicatio de p das : il y e a p : Ue répartitio (p; ) de type D est ue décompositio de p e P k=1 p k : il y e a p+ 1 p : Problèmes divers Mots à lettres partiellemet idiscerables. U mot de = ( 1 ; :::; p ) lettres partiellemet discerables équivaut à ue partitio de e ( 1 ; :::; p ) : il y e a 1 ;:::; p : Répartitios e groupes d e ectifs imposés. Ue répartitio de élémets discerables e p groupes discerables d e ectifs 1 ; :::; p équivaut à ue partitio de e ( 1 ; :::; p ) : il y e a 1 ;:::; p : Chemis sur u réseau. U chemi sur le réseau N N est ue suite de segmets uités i = (1; 0) ou j = (0; 1) : U chemi qui mèe du poit (0; 0) au poit (p; q) comporte p segmets i et q segmets j : il peut être vu comme combiaiso de p parmi p + q et il y e a p+q p : U chemi partat de (0; 0) et de logueur se termie e u poit (p; q) de la droite p + q = : il y e a 2 : 5

7 Chapter 3 Espace probabilisé Ue somme i ie est à predre comme limite d ue somme ie: P 1 k=0 p k = lim!1 ( P E particulier: (i) P 1 k=0 xk = 1 1 x si jxj < 1 (ii) P 1 k=0 x k k! = e x pour tout x 2 R 3.1 Poit de vue expérimetal k=0 p k) : Uivers Ue épreuve (ou expériece) E doe lieu à u ombre i ou déombrable d issues (ou résultats) possibles, otées! 1 ;! 2 ; ::: : leur esemble est l uivers : Evèemets U évèemet lié à E est u esemble d issues, doc ue partie de : o dit qu u évèemet A est réalisé lorsque le résultat de l expériece appartiet à A: Probabilités A chaque issue! k est associé u ombre p k 2 [0; 1] ; avec p 1 + p 2 + ::: = 1 : o calcule la probabilité pr (A) d u évèemet A par pr (A) = X! k 2A p k : Equiprobabilité Das le cas i il y a équiprobabilité quad p k = 1 jj pour tout k : alors pr (A) = jaj jj : 3.2 Poit de vue formel Espace probabilisé i O cosidère u esemble i ; appelé uivers: les élémets de P () sot appelés évèemets. Les évèemet A et B sot dits icompatibles si A \ B =?: Loi de probabilité les axiomes suivats: A chaque évèemet A o associe u ombre pr (A) et o suppose véri és PR1: 0 pr (A) 1 pour tout A PR2: pr () = 1; pr (?) = 0 PR3: Si A et B sot deux évèemets icompatibles o a pr (A [ B) = pr (A) + pr (B) L applicatio pr : P ()! [0; 1] est appelée loi de probabilité sur : le triplet (; P () ; pr) est appelé espace probabilisé. Propriétés 1. Pour tous évèemets A; B o a: (i) pr A = 1 pr (A) (ii) pr (A [ B) = pr (A) + pr (B) pr (A \ B) (iii) Si A B alors pr (A) pr (B) 6

8 2. Pour toute suite A 1 ; :::; A d évèemets deux à deux disjoits o a pr! [ A k = k=1 X pr (A k ) : k=1 3. Si les évèemets A 1 ; :::; A sot quelcoques o a pr ( S k=1 A k) = P P pr (A i ) pr (A i \ A j ) + 1i 1i<j P 1i<j<k pr (A i \ A j \ A k ) ::: Evèemets élémetaires Les évèemets f!g sot dits élémetaires: o a toujours pr (A) = X!2A pr (!) ; et e particulier P!2 pr (!) = 1: Disjoctio des cas Pour tous évèemets A; B o a pr (A) = pr (A \ B) + pr A \ B : Plus gééralemet, si les évèemets 1 ; :::; formet ue partitio de o a pr (A) = P k=1 pr (A \ k) : Espace probabilisé déombrable Si est déombrable o remplace PR3 par le résultat ci-dessous: PR3 bis: Pour toute suite A 1 ; A 2 ; ::: d évèemets deux à deux disjoits o a pr! 1[ A k = k=1 1X pr (A k ) : k=1 3.3 Exemples Espace probabilisé i 1. est l esemble des permutatios de E : Sous l hypothèse d équiprobabilité chaque permutatio a la probabilité 1 : Ue permutatio s admet i comme poit xe si s (i) = i : la probabilité! que s ait aucu poit xe est p = P ( 1) k k=0 : k! 2. est l esemble des applicatios p das : Sous l hypothèse d équiprobabilité chaque applicatio a la probabilité 1 : Idem pour les arragemets et combiaisos de p parmi : p 3. = fa; b; c; dg et pr (a) = pr (c) = =2; pr (b) = ; pr (d) = 2 : = 1=4; pr (fa; bg) = 3=8: 4. Das ue épreuve à 2 issues o code les issues 0 et 1 de maière stadard, d où l uivers = f0; 1g : Si pr (1) = p alors pr (0) = 1 p; oté q: 5. Lorsqu o répète ue épreuve à 2 issues fois l uivers est l esemble = f0; 1g des suites avec répétitio de parmi 2 : sous l hypothèse d équiprobabilité chaque suite a la probabilité 1 : 2 La probabilité qu ue suite comporte k fois 1 exactemet est k : 1 : 2 Espace probabilisé déombrable O lace ue pièce équiprobable jusqu à ce qu o obtiee PILE et o code PILE par 1 et FACE par 0 : l uivers est l esemble des suites 1; 01; 001; ::: et o ote! la suite dot le 1 est au rag : La suite! a pour probabilité p = 1 : o véri e que P 1 2 =1 p = 1: Probabilité d attedre PILE au mois 3 lacers, d u PILE à u rag pair. 7

9 Probabilité coditioelle, Idépe- Chapter 4 dace 4.1 Probabilité coditioelle Probabilité coditioelle d u évèemet Si A; B sot deux évèemets et pr (B) > 0 o dé it la probabilité de A sachat B par pr (A j B) = pr (A \ B) : pr (B) Si A \ B =? alors pr (A j B) = 0; si B A alors pr (A j B) = 1: O a doc pr (A \ B) = pr (A j B) pr (B) = pr (B j A) pr (A) : Formule gééralisable: pr (A 1 \ ::: \ A ) = pr (A 1 ) pr (A 2 j A 1 ) pr (A 3 j A 1 \ A 2 ) ::: Loi coditioelle L applicatio pr ( j B) : A! pr (A j B) est ecore ue loi de probabilité sur : e particulier, si A 1 \ A 2 =? alors pr (A 1 [ A 2 j B) = pr (A 1 j B) + pr (A 2 j B) : Cette loi coditioelle équivaut à ue restrictio de l uivers à B : das certais cas cette restrictio peut être décrite et permettre aisi u calcul direct des probabilités coditioelles. 4.2 Idépedace La otio de probabilité coditioelle est pertiete que si l évèemet B i ue sur A: Evèemets idépedats A et B sot des évèemets idépedats si pr (A \ B) = pr (A) pr (B) : Autremet dit pr (A j B) = pr (A) : alors A et B; A et B; A et B sot aussi idépedats. Idépedace totale Ue suite A 1 ; :::; A d évèemets est e idépedace totale si la probabilité de toute itersectio d évèemets de cette suite est le produit des probabilités. L idépedace totale etraîe l idépedace deux à deux mais la réciproque est fausse. 4.3 Probabilités totales, Formule de Bayes Formule des probabilités totales Pour tous évèemets A; B o a pr (A) = pr (A j B) pr (B) + pr A j B pr B : Formule gééralisable à ue partitio 1 ; :::; de : pr (A) = P k=1 pr (A j k) pr ( k ) : Formule de Bayes Pour tous évèemets A; B o a pr (B j A) = pr (A j B) pr (B) pr (A j B) pr (B) + pr A j B pr B 8

10 4.4 Exemples Probabilité coditioelle 1. Das ue populatio 20% des ges sot blods, 30% ot les yeux bleus. (i) 10% sot blods aux yeux bleus: probabilité d avoir les yeux bleus sachat qu o est blod et vice-versa. (ii) 60% des blods ot les yeux bleus: probabilité d être blod aux yeux bleus.. 2. O tire sas remise 3 boules das ue ure coteat 3 boules blaches et 4 oires. (i) Probabilité d obteir ue boule blache au 3ème tirage sachat qu o e a déjà obteu 2: (ii) Probabilité d obteir ue boule blache au 3ème tirage sachat qu o a déjà obteu ue blache et ue oire. Epreuves successives Lorsqu o e ectue épreuves successives l uivers est u esemble de suites (x 1 ; :::; x ) et peut être décrit par u arbre de choix: chaque oeud de l arbre représete u état possible, chaque brache représete la trasitio d u état à u autre. O a ecte à chaque brache ue probabilité de trasitio, qui est la probabilité coditioelle de l u des oeuds sachat l autre: la probabilité de l issue (x 1 ; :::; x ) est le produit des probabilités des braches qui mèet à cette issue. U cas importat est celui d ue épreuve répétée fois: si le résultat à l étape k i uece le résultat à l étape k + 1 les probabilités de trasitio doivet être recalculées à chaque ouvelle étape; si l épreuve est répétée idépedammet les probabilités de trasitio sot les mêmes d ue étape à l autre. Exemple: tirage avec ou sas remise. Idépedace 1. O tire avec remise boules das ue ure coteat 3 boules blaches et 4 oires. Probabilité d obteir ue boule blache au troisième tirage sachat qu o a déjà obteu ue boule blache et ue boule oire. 2. O lace u dé équiprobable à 6 faces deux fois de suite idépedammet. Idépedace des évèemets "le premier chi re vaut 4", "la somme des chi res vaut 7", "le secod chi re vaut 3". Idépedace o totale. Système parallèle et système série O cosidère composats biaires e idépedace totale: o ote p k le taux de pae du composat k; doc 1 p k sa probabilité de bo foctioemet. (i) Le système série foctioe ssi tous les composats foctioet: sa probabilité de bo foctioemet est k=1 (1 p k) : (ii) Le système parallèle est e pae ssi tous les composats le sot: sa probabilité de pae est k=1 p k: Formule de Bayes O veut diagostiquer ue maladie à l aide d u test; comme celui-ci est pas parfait il peut doer u résultat positif chez u patiet o malade (résultat faux positif) ou u résultat égatif chez u patiet malade (réultat faux égatif): o ote par la suite T et M les évèemets "test positif" et "patiet malade", et p = pr (M) la probabilité d être malade das ue populatio doée (prévalece), q = 1 p: O distigue deux poits de vue: (i) le laboratoire, qui veut évaluer la qualité de so test, utilise les idices sesibilité se = pr (T j M) et spéci cité sp = pr T j M ; supposés idépedats de p: (ii) le médeci, qui veut évaluer la pertiece de so diagostic, utilise les idices valeur prédictive positive vpp = pr (M j T ) et valeur prédictive positive vp = pr M j T ; qui e sot pas idépedats de p: 9

11 Chapter 5 Statistique I Ue série statistique est ue suite de doées. 5.1 Cas discret Série discrète o regroupée Das le cas o regroupé les N doées x 1 ; :::; x N sot évetuellemet égales. Moyee La moyee de la série est la moyee arithmétique x = 1 N P N k=1 x k: Variace La variace P de la série mesure la dispersio de la série autour de sa moyee: elle est doée par v x = 1 N N k=1 (x k x) 2 P = 1 N N k=1 x2 k x 2 : Série discrète regroupée Das le cas regroupé les N doées évetuellemet égales sot regroupées par valeurs distictes x 1 < x 2 < ::: < x p : o représete la série par u tableau des e ectifs x 1 x 2 x p 1 2 p ; où k désige le ombre de fois où la valeur x k a été observée: doc P p k=1 k = N: Fréqueces Moyee La fréquece de x k est f k = k N : Noter que P p k=1 f k = 1: La moyee de la série est la moyee podéré x = P p k=1 f kx k : Variace, Ecart-type L écart-type est x = p v x : La variace de la série est v x = P p k=1 f k (x k x) 2 = P p k=1 f kx 2 k x 2 : 5.2 Cas cotiu Série cotiue O représete la série par u tableau des fréqueces ]x 0 ; x 1 ] ]x 1 ; x 2 ] ]x p 1 ; x p ] f 1 f 2 f p ; où f k est la fréquece de l itervalle ]x k 1 ; x k ] : o appelle amplitude de ]x k 1 ; x k ] la quatité x k x k 1 : La fréquece d ue valeur x k (ou de toute autre valeur) est cosidérée comme ulle: les itervalles ]x k 1 ; x k [ ; [x k 1 ; x k ] ; ]x k 1 ; x k ] ; [x k 1 ; x k [ ot doc même fréquece. Fréqueces, Desité L histogramme des fréqueces est u graphique où l o place e abscisse les itervalles ]x k 1 ; x k ] et e ordoée des rectagles d aires égales aux fréqueces f k : si p k désige la hauteur du k-ème rectagle o a doc p k (x k x k 1 ) = f k : La desité est la foctio p costate par morceaux dot le graphe est l histogramme des fréqueces 1. La fréquece de l itervalle [a; b] est l aire fr ([a; b]) = R b p (x) dx: a 1 O peut toujours compléter le tableau des fréqueces avec deux itervalles ctifs ] 1; x 0 ] et ]x p ; +1[ et des fréquece associées ulles: o complète alors p sur R par p (x) = 0 sur ] 1; x 0 ] et ]x p ; +1[ : 10

12 Fréqueces cumulées croissates, Foctio de répartitio La somme F k = P k i=1 f i est appelée fréquece cumulée croissate (FCC e abrégé): F 0 = 0: L histogramme des FCC est u graphique où l o place e abscisse les itervalles ]x k 1 ; x k ] et e ordoée des rectagles de hauteur égale aux FCC F k : o relie les poits M k = (x k ; F k ) par le polygôe des FCC. La foctio de répartitio est la foctio F a e par morceaux dot le graphe est le polygôe des FCC 2 : o a F 0 (x) = p (x) sauf e des poits isolés. La fréquece de l itervalle [a; b] est doée par fr ([a; b]) = F (b) F (a) : Médiae, Quartiles La médiae m divise la série e deux itervalles de même fréquece, doc est doée par le poit m; 2 1 du polygôe des FCC: F (m) = 0:5: Les quartiles q 1 ; q 2 ; q 3 diviset la série e trois itervalles cosécutifs de même fréquece: F (q 1 ) = 0:25; q 2 = m; F (q 3 ) = 0:75: 5.3 Exemples Série statistique 1. Série discrète. 2. Série cotiue dé ie par ue desité ou par ue foctio de répartitio. Foctio a e F (x) = mx + p dé ie par l image de deux poits: (i) Si F (x 0 ) = y 0 alors p = y 0 mx 0 doc F (x) = m (x x 0 ) + y 0 : (ii) Si F (x 1 ) = y 1 ; F (x 2 ) = y 2 alors m = y 2 y 1 x 2 x 1 doc F (x) = y 2 y 1 x 2 x 1 : (x x 1 ) + y 1 : Courbe de cocetratio de Lorez das ue populatio. O s itéresse aux iégalités de possessio de richesse O cosidère la série discrète regroupée (r k ; k ) k=1::p où r k est la richesse possédée par idividu et k l e ectif associé das la populatio. La populatio totale est N; la richesse totale est R = P p i=1 P ir i = N:r et o ote R k = 1 k R i=1 P ir i ; F k = 1 k N i=1 i : doc la k-ème fractio F k la plus pauvre de la populatio possède la fractio R k de la richesse totale. La courbe de Lorez joit les poits (F k ; R k ) : elle part de (F 0 ; R 0 ) = (0; 0); se termie e (F p ; R p ) = (1; 1); et est située sous le segmet joigat ces deux poits. Il y a égalité parfaite lorsque chaque idividu possède la même richesse, iégalité extrême lorsqu u seul idividu possède toute la richesse: de faço géérale plus la courbe "colle" à la lige de parfaite égalité plus la société est égalitaire. L idice de Gii permet de quati er cela. L idice de Gii peut se dé ir à partir de la courbe de Lorez comme le double de l aire de la surface délimitée par cette courbe et la première diagoale: doc 0 1: Si est proche de 0 cela sigi e que les di éreces relatives sot e moyee faible par rapport à la moyee des reveus : les iégalités das la populatio sot faibles. Si au cotraire est proche de 1 alors il y a de fortes di éreces relatives e moyee : les iégalités sot fortes. 2 O peut toujours complèter F par F (x) = 0 sur ] 1; x 0 ] et F (x) = 1 sur ]x p ; +1[ : 11

13 Chapter 6 Variables aléatoires I 6.1 Variable, Loi A ue épreuve doée d uivers o peut associer ue ou plusieurs applicatios X :! R; appelées variables aléatoires (VA e abrégé). Ue variable discrète ie e pred qu u ombre i N de valeurs x 1 < ::: < x N tadis qu ue variable discrète déombrable pred u ombre déombrable x 1 < x 2 < :::: de valeurs: o adoptera la covetio N = 1 das le deuxième cas. Evèemets liés à X L évèemet f! 2 ; X (!) 2 Ig est oté fx 2 Ig : les évèemets f! 2 ; X (!) = xg ; f! 2 ; X (!) < xg sot ecore otés fx = xg ; fx < xg : Loi de X L applicatio pr X : I! pr (X 2 I) est appelée loi de X : elle est coue dès lors que l o coaît les pr X (x k ) = pr (X = x k ) : La distributio de X est la foctio p X : R! [0; 1] dé ie par p X (x) = pr (X = x) : E pratique o e metioe que les valeurs x 1 ; :::; x N de x pour lesquelles p X (x) > 0 et o résume la distributio par u tableau des probabilités (x k ; p X (x k )) k=1::n : Par la suite le symbole P x sigi era que la somme est faite sur les valeurs p X (x) > 0 : avec cette covetio o a P x p X (x) = 1: Foctio de répartitio La foctio de répartitio de X est la foctio F X : R! [0; 1] dé ie par F X (x) = pr (X x) : O a pr (X > x) = 1 F (x) ; pr (X 2 ]a; b]) = F (b) F (a) : 6.2 Espérace Souvet otée ; l espérace de X est la moyee podérée E (X) = X x p X (x) :x: g est ue foctio R! R: 6.3 Foctio d ue variable Variable g (X) probabilité C est l applicatio Z = g X :! R : elle pred la valeur z avec la p Z (z) = X p X (x) : g(x)=z Espérace de g (X) Elle est doée par E (g (X)) = X x p X (x) :g (x) : E particulier E (ax + b) = a:e (X) + b: 12

14 6.4 Variace Momets Le momet d ordre de X est E (X ) ; le momet cetré d ordre est E [(X ) ] : Variace La variace de X est le momet cetré d ordre deux O a toujours V (ax + b) = a 2 :V (X) : V (X) = E (X ) 2 = X p X (x) : (x ) 2 x " # X = E X 2 2 = p X (x) :x 2 2 : x Ecart-type Souvet oté ; l écart-type de X est (X) = p V (X): Si X est ue VA d espérace et écart-type alors la VA X écart-type égal à 1 : elle est dite cetrée réduite. a ue espérace ulle et u 6.5 Exemples Variable idicatrice La variable idicatrice d u évèemet A est la variable A dé ie par A (x) = 1 si x 2 A; 0 sio: o a doc pr ( A = 1) = pr (A) ; pr ( A = 0) = pr A : Si p = pr (A) o a E ( A ) = p; V ( A ) = p (1 p) : VA ies 1. O cosidère l uivers = fa; b; c; dg mui de la loi pr (a) = pr (b) = 1 4 ; pr (c) = 1 3 ; pr (d) = 1 6 : O dé it la VA X sur par X (a) = X (c) = 1; X (b) = 1; X (d) = 2 : loi, foctio de répartitio, espérace et variace de X; 2X 1; X 2 : 2. O lace u dé équiprobable à 6 faces deux fois de suite idépedammet et o ote les uméros apparus. O dé it sur l uivers les VA X = "ombre de 4", Y = "ombre de chi res pairs", Z = "rag du premier 4" (avec la covetio Z = 0 si aucu 4) : loi et espérace de X; Y; Z; importace d u bo choix de : 3. O cosidère l uivers = f0; 1g 4 et o dé it la VA X = "ombre de 1" sur : Loi de X: VA déombrables U eseigat désordoé recherche u livre das sa bibliothèque et la parcourt de log e large. Au premier aller-retour il a ue probabilité 1 de trouver so livre, 2 1 mais, la fatigue aidat, il a plus qu ue probabilité au -ème aller-retour s il a pas ecore +1 trouvé so livre avat. Le ombre X d aller-retours écessaires pour trouver le livre est ue VA déombrable qui peut predre toutes les valeurs etières strictemet positives 1; 2; ::: L éocé doe pr (X = j X > 1) = 1 doc pr (X = ) = 1 2 ::: 1 1 = 1 et la probabilité de (+1) réussite est 1 : par cotre le temps d attete moye avat de trouver le livre est E (X) = +1: Jeux Das u jeu d arget o désige par X le gai du joueur: le jeu est dit équitable si E (X) = 0; avatageux ou désavatageux suivat que E (X) > 0 ou E (X) < 0: O lace u dé équiprobable à 6 faces umérotées 1; 2; 2; 3; 3; 3 : o gage 2 $ si le 1 apparaît, o perd 1 $ si le 3 apparaît, et o e perd i e gage rie si le 2 apparaît. O ote G le gai lors d ue partie: loi et espérace de G: 13

15 Chapter 7 Variables aléatoires II O cosidère deux VA X; Y :! R et o ote fx 2 I; Y 2 Jg l évèemet fx 2 Ig \ fy 2 Jg : X et Y preet les valeurs x 1 < ::: < x N et y 1 < ::: < y P : 7.1 Couple de variables aléatoires Le couple (X; Y ) est la VA! R 2 dé ie par (X; Y ) (!) = (X (!) ; Y (!)) : Loi cojoite La loi cojoite de (X; Y ) est la loi pr X;Y : I J! pr (X 2 I; Y 2 J) du couple (X; Y ) : elle est etièremet détermiée par les probabilités pr X;Y (x i ; y j ) = pr (X = x i ; Y = y j ) : La distributio cojoite de (X; Y ) est la foctio p X;Y : R 2! [0; 1] dé ie par Noter que P P x y p X;Y (x; y) = 1: p X;Y (x; y) = pr (X = x; Y = y) : Lois margiales Les lois margiales de (X; Y ) sot les lois de X et Y calculées à partir de la loi cojoite de (X; Y ) : p X (x) = X p X;Y (x; y) ; p Y (y) = X p X;Y (x; y) : y x 7.2 Foctio de deux variables g est ue foctio R 2! R: Variable g (X; Y ) probabilité C est l applicatio Z = g (X; Y ) :! R : elle pred la valeur z avec la p Z (z) = X p X;Y (x; y) : g(x;y)=z Espérace de g (X; Y ) Elle est doée par E (g (X; Y )) = X X p X;Y (x; y) :g (x; y) : x y E particulier E (X + Y ) = E (X) + E (Y ) : 7.3 Variables idépedates Les VA X; Y sot dites idépedates si, au choix: (i) pr (X 2 I; Y 2 J) = pr (X 2 I) pr (Y 2 J) pour tous I; J: (ii) pr (X x; Y y) = pr (X x) pr (Y y) pour tous x; y: (iii) pr (X = x; Y = y) = pr (X = x) pr (Y = y) pour tous x; y: La dé itio et ses équivalets sot gééralisables à u ombre i de VA. 14

16 Propriétés X et Y sot idépedates ssi la loi cojoite de (X; Y ) est doée par Alors: (i) La loi de Z = g (X; Y ) est doée par p Z (z) = X (ii) O a p X;Y (x; y) = p X (x) p Y (y) : g(x;y)=z p X (x) p Y (y) : E (XY ) = E (X) E (Y ) ; V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) : Ces propriétés sot gééralisables à VA idépedates. Epreuve idépedammet répétée O répète fois idépedammet ue épreuve: si l épreuve est représetée par la VA X alors les répétitios sot représetées par des copies idépedates X 1 ; :::; X de X : ces copies suivet la même loi que X; doc preet les mêmes valeurs que X avec les mêmes probabilités, mais pas forcémet aux mêmes poits! (i) La loi cojoite de (X 1 ; :::; X ) est dé ie par p X1 ;X 2 ;:::;X (x 1 ; x 2 ; :::; x ) = p X (x 1 ) p X (x 2 ) ::: p X (x ) : (ii) L espérace et la variace de S = P k=1 X k et F = S sot doées par E (S ) = :E (X) ; V (S ) = :V (X) ; E (F ) = E (X) ; V (F ) = 1 :V (X) : 7.4 Exemples Loi cojoite, Lois margiales 1. O lace idépedammet 2 dés équiprobables à 3 faces: o désige par X le ombre de fois où la face 2 est apparue, par Y la somme des faces apparues. Loi cojoite et lois margiales de (X; Y ) : 2. O cosidère u poit (X; Y ) sur le réseau [0; 4] N [0; 3] N et o doe les probabilités suivates: p X;Y (x; y) = 0 si (x; y) est u des poits (0; 0) ; (4; 0) ; (4; 3) ; (0; 3) ; (2; 1) ; (2; 2) ; p X;Y (x; y) = 1 sio. Loi cojoite et lois et margiales de (X; Y ) : 14 VA idépedates 1. O lace idépedammet 2 dés équiprobables à 3 faces: o désige par X 1 et X 2 les chi res apparus sur les dés 1 et 2: Loi cojoite de (X 1 ; X 2 ) ; lois de X 1 + X 2 et mi (X 1 ; X 2 ) : Probabilités pr (X 1 = X 2 ) ; pr (X 1 > X 2 ) ; pr (X 1 < X 2 ) : 2. O lace idépedammet 3 dés équiprobables à 5 faces: o désige par X k le chi re apparu sur le dé k: Probabilités pr (X 1 = X 2 = X 3 ) et pr (X 1 < X 2 < X 3 ) : 3. O lace idépedammet fois ue pièce: o suppose que pr (P ILE) = 2 et o désige 3 par X k le résultat du lacer k: Lois de S = P k=1 X k et F = S lorsque = 2; 3: 15

17 Chapter 8 Lois discrètes ies 8.1 Loi de Berouilli Succès, Echec O cosidère ue épreuve à deux issues, ommées de maière stadard "succès" ou "échec". Le résultat de cette expériece est représeté par ue VA X qui peut predre les deux valeurs 1 ou 0: Loi de Berouilli Si la probabilité de succès est p alors pr (X = 1) = p; pr (X = 0) = 1 p: O appelle loi de Berouilli de paramètre p la loi dé ie par cette distributio: o otera q = 1 p: Espérace et Variace Processus de Berouilli ue épreuve de Berouilli. O a E (X) = p; 2 (X) = pq: U processus de Berouilli cosiste à répéter idépedammet 8.2 Loi biomiale Nombre de succès Das u processus de Berouilli de logueur o s itéresse au "ombre de succès". Le résultat de cette expériece est représeté par ue VA X dot les valeurs possibles sot k = 0; 1; :::: Loi biomiale Si la probabilité de succès est p alors pr (X = k) = :p k q k : k O appelle loi biomiale de paramètres (; p) la loi dé ie par cette distributio, otée B (; p) : Cette loi présete u maximum lorsque k vaut la partie etière de ( + 1) p: Espérace et Variace O a E (X) = p; 2 (X) = pq: 8.3 Loi hypergéométrique Tirage sas remise O cosidère u tirage sas remise de boules das ue ure qui e cotiet N; dot N 1 sot blaches et les autres oires: o s itéresse au "ombre de boules blaches tirées". Le résultat de cette expériece est représeté par ue ue VA X dot les valeurs possibles dépedet de et N 1 : Loi hypergéométrique O a pr (X = k) = N 1 N N1 k k N avec la covetio s r = 0 si r < 0 ou r > s: O appelle loi hypergéométrique de paramètres (N; N 1 ; ) la loi dé ie par cette distributio, otée H (N; N 1 ; ) : Noter que la proportio de boules blaches est p = N 1 N Espérace et Variace O a E (X) = p; 2 (X) = N :pq: N 1 : iversemet N 1 = Np: 16

18 Approximatio de la loi hypergéométrique par la loi biomiale Lorsque est petit devat N la distictio etre "avec remise" et "sas remise" perd de sa pertiece et o peut approcher la loi hypergéométrique H (N; N 1 ; ) par la loi biomiale B ; N 1 N : 8.4 Loi multiomiale Epreuve idépedammet répétée à issues multiples O répète fois idépedammet ue épreuve à s issues umérotées 1; 2; :::; s: O ote X k le ombre d apparitios de l issue k et o s itéresse à la variable cojoite (X 1 ; :::; X s ) ; dot les valeurs possibles sot les partitios de e ( 1 ; 2 ; :::; s ) : Loi multiomiale Si l issue k a la probabilité p k de réalisatio alors pr (X 1 = 1 ; X 2 = 2 ; :::; X s = s ) = :p 1 1 p 2 2 :::p s s : 1 ; 2 ; :::; s O appelle loi multiomiale de paramètres (; p 1 ; :::; p s ) la loi dé ie par cette distributio, otée M (; p 1 ; p 2 ; :::; p s ) : Les X k sot des VA (o idépedates) de loi B (; p k ) ; avec P s k=1 X k = et P s k=1 p k = 1: 8.5 Exemples Loi de Berouilli O lace ue pièce o équiprobable: la probabilité d obteir PILE est otée p: O pose X = 1 si o obtiet PILE, 0 sio: X est ue VA de Berouilli de paramètre p: Loi biomiale O lace idépedammet fois ue pièce o équiprobable: la probabilité d obteir PILE est otée p: O ote X le ombre de PILE obteus: X est ue VA biomiale de paramètres (; p) : Nombre et fréquece de succès Das u processus de Berouilli de paramètre p o ote X k la VA qui vaut 1 si succès au rag k et 0 sio (k = 1; :::; ) : les X k sot des VA de Berouilli idépedates de même paramètre p: La VA S = P k=1 X k doe le ombre de succès et suit la loi B (; p) ; tadis que la VA F = S doe la fréquece de succès: (i) pr (S = k) = k :p k q k et o a E (S ) = p; 2 (S ) = pq: (ii) pr F = k = k :p k q k et o a E (F ) = p; 2 (F ) = pq : Loi multiomiale O lace idépedammet 9 fois u dé équiprobable à 6 faces. Probabilité d obteir 3 fois le 1; 2 fois le 4 et 4 fois le 5: Loi hypergéométrique O veut estimer le ombre N d aimaux d ue certaie espèce sur u territoire doé et o adopte la techique suivate: o capture N 1 aimaux que l o marque puis relâche pedat u temps su sat pour qu ils se disperset aléatoiremet; o capture à ouveau < N 1 aimaux et o ote le ombre X d aimaux marqués. O suppose que l e ectif total a pas varié depuis le premier prélèvemet. X suit la loi hypergéométrique de paramètres (N; N 1 ; ) et o ote p k (N) la probabilité que X = k sachat que l e ectif total est N: O motre que p k (N) atteit so maximum lorsque N satisfait la relatio N 1 = k ; qui dit que la proportio des aimaux marqués est la même lors de la N première et de la deuxième capture: o peut doc estimer N à partir de la valeur observée de X: 17

19 Chapter 9 Lois discrètes déombrables 9.1 Loi géométrique Temps d attete du premier succès das u processus de Berouilli Das u processus de Berouilli o s itéresse au rag du premier succès, appelé "temps d attete du premier succès". Le résultat de cette expériece est représeté par ue VA X; qui peut predre toutes les valeurs etières strictemet positives 1; 2; ::: Loi géométrique Si la probabilité de succès est p alors pr (X = k) = pq k 1 : O appelle loi géométrique de paramètre p la loi dé ie par cette distributio, otée G (p) : O a pr (X > k) = q k doc pr (X > j + k j X > j) = pr (X > k) : autremet dit le temps d attete avat le premier succès e déped pas du temps déjà écoulé. Espérace et Variace Si la probabilité de succès est 1 r O a E (X) = 1 p ; 2 (X) = q p 2 : il faudra doc attedre e moyee u temps r: 9.2 Loi biomiale égative Temps d attete du r-ème succès das u processus de Berouilli Das u processus de Berouilli o s itéresse au rag du r-ème succès, appelé "temps d attete du r-ème succès". Le résultat de cette expériece est représeté par ue VA X; qui peut predre toutes les valeurs r; r + 1; ::: Loi biomiale égative Si la probabilité de succès est p alors k 1 pr (X = k) = :p r q k r : r 1 O appelle loi biomiale égative de paramètre (r; p) la loi dé ie par cette distributio, otée BN (r; p) : La déomiatio viet de la dé itio k = ( 1):::( k+1) gééralisée à tout réel ; et de k! l égalité k 1 r 1 = ( 1) r r k r : Espérace et Variace O a E (X) = r p ; 2 (X) = rq p 2 : 9.3 Loi de Poisso Suite d évèemets rares et idépedats U phéomèe discret est rare si la probabilité qu il apparaisse plus d ue fois est petite: o appelle sigal ue apparitio du phéomèe. Le "ombre de sigaux" est ue VA X qui peut predre toutes les valeurs etières 0; 1; 2; ::: et sa loi peut être approximativemet décrite à l aide du seul ombre moye de sigaux. Loi de Poisso Ue VA X suit la loi de Poisso de paramètre si pour tout etier k : o ote P () cette loi. pr (X = k) = e : k k! 18

20 Espérace et Variace O a E (X) = ; 2 (X) = : Le ombre 1 représete l écart moye etre deux sigaux. Approximatio de la loi biomiale par la loi de Poisso Si est grad et p petit alors o peut approcher B (; p) par la loi de Poisso de paramètre = p; doc k :p k q k par e : k : k! Processus de Poisso O cosidère u phéomèe temporel ou spatial rare: o ote X (t) le ombre de sigaux das u itervalle de logueur t; et le ombre moye de sigaux par uité (de temps ou d espace). O dit que le phéomèe est u processus de Poisso si X (t) suit la loi de Poisso de paramètre t: 9.4 Exemples Loi géométrique et loi biomiale égative 1. O e ectue u tirage avec remise das ue ure coteat N boules, dot N 1 blaches et les autres oires. O ote X r le rag de la r-ème boule blache tirée: X 1 suit la loi géométrique de paramètre p = N 1 ; X N r suit la loi biomiale égative de paramètres (r; p) : 2. O lace ue pièce o équiprobable u ombre idétermié de fois: o ote p la probabilité d obteir PILE. O ote X r le temps d attete avat d obteir le r-ème PILE: X 1 suit la loi géométrique de paramètre p; X r suit la loi biomiale égative de paramètres (r; p) : 3. Ue marque de chocolat isère das chaque tablette u bo marqué d u uméro parmi 1; 2; :::; : chaque uméro a la même probabilité 1 d apparaître. O s itéresse au temps d attete T avat d obteir tous les uméros et o ote X k le temps d attete d u k-ème ouveau uméro sachat qu o e a déja k 1 disticts: alors T = P k=1 X k: La loi de X k est géométrique de paramètre p k = k+1 doc l espérace de T est P 1 k=1 p k = : P 1 k=1 ; qui est de l ordre de k l () pour grad. Temps d attete etre deux succès Das u processus de Berouilli de paramètre p o ote T k le temps d attete etre le succès k 1 et le succès k : les T k sot des VA idépedates et suivet le même loi G (p) : La VA X = P r k=1 T k doe le temps d attete du r-ème succès et suit la loi BN (r; p) : Loi de Poisso 1. Nombre X de coquilles par page das u livre. O admet que chaque page comporte caractères et que chaque caractère a la probabilité p d être mal redu, idépedammet des autres: alors = p est le ombre moye d erreurs par page et X suit approximativemet la loi P () : 2. Nombre X (t) de particules émises par u gramme de matériau radioactif pedat u temps de t secodes. O admet que l o coaît le ombre moye de désitégratios par secode et que l o a a aire à u processus de Poisso: alors X (t) suit a priori la loi P (t) : O peut égalemet cocevoir le gramme de matière comme formé de atomes ayat chacu la probabilité p = = de désitégratio, auquel cas o justi e l usage d ue loi de Poisso comme approximatio de la loi biomiale. 3. Nombre X (t) d étoiles das ue partie de l espace de volume t: O admet que l o coaît le ombre moye d étoiles par uité de volume et que l o a a aire à u processus de Poisso: alors X (t) suit a priori la loi P (t) : 4. O ote X la VA "ombre de poits xes d ue permutatio de E ": si est grad, X suit approximativemet ue loi de Poisso de paramètre = 1: 19

21 Chapter 10 Statistique II 10.1 Test d hypothèse Das ue expériece aléatoire o ote X le résultat: o fait ue hypothèse H 0 qui permet de prédire la loi de X: Le résultat réel est raremet e accord parfait avec l hypothèse, et o veut l utiliser pour décider si o peut accepter celle-ci, ou si o doit la rejeter: cette démarche écessite d opposer l hypothèse H 0 à ue autre hypothèse H 1 ; qui déped du problème posé. Test d hypothèse d ue probabilité L expériece est u processus de Berouilli de logueur : O ote X le ombre de succès et o fait l hypothèse H 0 selo laquelle la probabilité de succès est p 0 : alors X suit la loi biomiale B (; p 0 ) d espérace 0 = p 0 et écart-type 0 = p p 0 (1 p 0 ): L expériece motre qu e fait le ombre de succès est bp; e otat bp la fréquece de succès: o rejettera H 0 si bp est "trop éloigé" de p 0 ; ou de maière équivalete si la valeur bp est trop peu vraisemblable. Pour préciser le ses de "trop éloigé" o dé it la zoe de rejet et le seuil de rejet, qui est la probabilité de cette zoe sous l hypothèse H 0 : - le seuil de rejet est xé de maière stadard à 5%: - la zoe de rejet est de la forme X 0 t: 0 ; X 0 t: 0 ou la réuio des deux. E pratique et au seuil de 5% : (i) Si pr (X p 0 bp p 0 ) < 5% o rejette H 0 cotre H 1 : p < p 0 : (ii) Si pr (X p 0 bp p 0 ) < 5% o rejette H 0 cotre H 1 : p > p 0 : (iii) Si pr (jx p 0 j jbp p 0 j) < 5% o rejette H 0 cotre H 1 : p 6= p 0 : 10.2 Loi du 2 discrète Ue expériece cosiste à répèter fois idépedammet ue épreuve à s issues umérotées 1; 2; :::; s : o ote X k le ombre d apparitios de l issue k: O fait l hypothèse H 0 selo laquelle les issues 1; 2; :::; s ot les probabilités p 1 ; p 2 ; :::; p s : alors X k suit la loi biomiale B (; p k ) ; d espérace p k : O cofrote les résultats observés aux résultats espérés et o veut détermier si l hypothèse H 0 est boe. (X k p k ) 2 Variable 2 Pour répodre au problème o utilise la VA 2 = P s k=1 p k ; qui mesure l écart relatif etre les moyees espérées p 1 ; :::; p s et les valeurs observées de X 1 ; :::; X s : so espérace est = s 1; ecore appelé le ombre de degrés de liberté, et so écart-type est ' p 2 pour de grades valeurs de : Test d hypothèse O calcule la valeur b 2 de 2 pour l expériece faite: o rejette l hypothèse H 0 au seuil de 5%:si b 2 > + 2: Noter qu ue valeur trop petite de 2 est égalemet suspecte car elle idique des résultats trop beaux pour être vrais, doc u trucage des doées. Test d idépedace O cosidère deux évèemets A et B: Ue expériece cosiste à répéter fois idépedammet ue épreuve à 4 issues A \ B; A \ B; A \ B; A \ B : o ote X k le ombre d apparitios de l issue k; das l ordre doé. L expériece a permis de détermier le ombre de réalisatios des 4 évèemets itersectios, 20

22 doc leur fréquece; o résume les doées par le tableau ci-dessous: B B A a c a + c : A b d b + d a + b c + d 1 O fait l hypothèse H 0 selo laquelle les évèemets A et B sot idépedats et o utilise les fréqueces margiales bp A = a + c; bp B = a + b; bq A = 1 bp A ; bq B = 1 bp B comme estimatios des probabilités margiales: sous cette hypothèse les probabilités des évèemets itersectios sot doées par les produits de bp A ; bp B ; bq A ; bq B : La VA 2 = (X 1 bp A bp B ) 2 bp A bp B + (X 2 bq A bp B ) 2 bq A bp B + (X 3 bp A bq B ) 2 bp A bq B + (X 4 bq A bq B ) 2 bq A bq B mesure l écart etre fréqueces observées et probabilités espérées: elle est à 1 degré de liberté car la doée de bp A ; bp B et d ue seule des quatre fréqueces a; b; c; d permet de détermier les trois autres. O teste l hypothèse H 0 e calculat la valeur b 2 de 2 pour l expériece faite: o trouve b 2 = bp A bp B bq A bq B (ad bc) 2 et o rejette l hypothèse H 0 au seuil de 5%:si b 2 > + 2 ' 3:83: 10.3 Exemples Test d hypothèse O veut détermier si les rats distiguet les couleurs et o procède à ue expériece où 10 rats doivet choisir etre deux couleurs ROUGE ou V ERT : o ote p = pr ("choisir le V ERT ") : L hypothèse H 0 est qu ils sot idi érets aux deux couleurs, doc que la probabilité de choisir chaque couleur est p 0 = 0:5: L hypothèse H 1 opposée à H 0 peut être: (i) les rats préfèret le V ERT; doc p > 0:5 (ii) les rats préfèret le ROUGE; doc p < 0:5 O ote X le ombre de rats qui choisisset le V ERT : sous l hypothèse H 0 la VA X suit la loi biomiale B (10; 0:5) : E foctio du résultat de l expériece o accepte ou o H 0 au seuil de 5% : - si 2 rats ot choisi le V ERT : pr (X 2) ' 0:055 > 5% doc o accepte H 0 cotre H 1 : p < 0:5: - si 9 rats ot choisi le V ERT : pr (X 9) ' 0:011 < 5% doc o rejette H 0 cotre H 1 : p > 0:5: Loi du 2 discrète O lace u dé à 6 faces fois idépedammet: o ote X k le ombre d apparitios du uméro k: O fait ue hypothèse H 0 d équiprobabilité: autremet dit la probabilité d apparitio du uméro k est p k = 1=6: Après = 120 lacers o a obteu les résultats suivats: k X k O a 2 = P 6 (X k 20) 2 k=1 et = 5; = p 2 : b 2 ' 6:2 + 2 doc o accepte H 20 0 : Test d idépedace Das ue populatio o s itéresse aux évèemets A = "avoir les yeux bleus" et B = "avoir les cheveux blods". O fait ue hypothèse H 0 d idépedace. Ue étude a doé les résultats suivats, sur = 50 persoes: B B A : A O trouve = 1; = p 2 et b 2 = 3:93 > + 2 doc o rejette H 0 : 21