Université de Nantes

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1 Unversté de Nantes ÉCOLE DOCTORALE MECANIQUE, THERMIQUE ET GENIE CIVIL Année 2004 N B.U. : Thèse de DOCTORAT EN COTUTELLE Dplôme délvré par l'unversté de Nantes, d une part et par l Unversté de Lausanne, d autre part Spécalté : GEOSCIENCES Présentée et soutenue publquement par : MARESCOT LAURENT le 25 jun 2004 à LAUSANNE TITRE MODELISATION DIRECTE ET INVERSE EN PROSPECTION ELECTRIQUE SUR DES STRUCTURES 3D COMPLEXES PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS JURY Présdent : Henry Jors Professeur, Unversté de Lausanne Rapporteurs : Alan Tabbagh Professeur, Unversté Perre et Mare Cure (Pars VI) Franços Frey Professeur, Ecole Polytechnque Fédérale de Lausanne Examnateur : Olver Grasset Maître de Conférences, HDR, Unversté de Nantes Drecteur de thèse : Rchard Lagabrelle Drecteur de Recherche, LCPC, centre de Nantes Drecteur de thèse : Domnque-Mare Chapeller Professeur, Unversté de Lausanne Drecteur de thèse : Domnque-Mare CHAPELLIER Laboratore : Laboratore de Géophysque, Unversté de Lausanne Drecteur de thèse : Rchard LAGABRIELLE Laboratore Central des Ponts et Chaussées, Centre de Nantes Co-encadrant : Sergo PALMA LOPES Laboratore Central des Ponts et Chaussées, Centre de Nantes N ED 0367xxx

2 2

3 The dfference between theory and practce s smaller n theory than t s n practce. Scentfc folklore 3

4 AVERTISSEMENT La présente thèse a été préparée en cotutelle entre l'unversté de Nantes et l'unversté de Lausanne. A Nantes, le Laboratore d'accuel état le Laboratore Central des Ponts et Chaussées, membre de l'ecole Doctorale Mécanque, Thermque et Géne Cvl (MTGC). Conformément à la conventon de cotutelle sgnée entre les deux Unverstés, la soutenance a eu leu à Lausanne suvant le règlement de cette Unversté. Elle s'est déroulée en deux séances. La séance dte prvée le 25 jun 2004 devant le jury au complet qu a donné un avs favorable à la délvrance du dplôme conjont de docteur des Unverstés de Lausanne et de Nantes et autorsé la soutenance publque. La séance publque s'est déroulée le 16 jullet 2004, en publc, et devant un jury plus restrent (Prof. Henr Jors, Prof. Franços Frey, Prof. Domnque-Mare Chapeller et Dr. Rchard Lagabrelle) qu a confrmé la délvrance du dplôme de docteur. A la sute de ces soutenances, l'unversté de Nantes a chos comme date de délvrance du dplôme le 25 jun

5 AVANT PROPOS La recherche présentée c est le frut d un traval personnel durant lequel de nombreuses personnes sont ntervenues. Elles sont c chaleureusement remercées. Ma drectrce de thèse, Madame le Professeur Domnque Chapeller, Unversté de Lausanne, pour l amté et la confance qu elle m a accordées tout au long de ces années, son optmsme ans que son expérence des méthodes de prospecton électrque dont elle a su me fare profter. Mon drecteur de thèse, Monseur le Docteur Rchard Lagabrelle, Laboratore Central des Ponts et Chaussées (Nantes), pour son accuel à Nantes, ses recommandatons, ses consels ans que pour avor accepté de partager sa passon pour le problème nverse et les méthodes électrques. Monseur Sérgo Palma-Lopes, Laboratore Central des Ponts et Chaussées (Nantes), pour son ade, sa rgueur, ses consels, sa gentllesse mas auss sa grande dsponblté malgré les klomètres qu nous séparent. J espère contnuer encore longtemps nos fructueuses dscussons scentfques. Monseur le Professeur Henr Jors, Unversté de Lausanne, qu a accepté de présder le Jury de la présente thèse. Les membres du Jury, Messeurs les Professeurs Alan Tabbagh, Unversté Perre et Mare Cure (Pars VI) et Franços Frey, Ecole Polytechnque Fédérale de Lausanne ans qu à Monseur le Docteur Olver Grasset, Unversté de Nantes. Leurs ntérêts ans que leurs compétences reconnues dans les dvers aspects abordés dans ce traval ont perms de grandement amélorer la qualté de cet ouvrage. Monseur le Docteur Jean-Mchel Pau, Laboratore Central des Ponts et Chaussées (Nantes), qu m a gudé lors de mes premers pas dans la programmaton sous CESAR-LCPC et dont les dscussons sur les méthodes d optmsaton ont orenté de manère décsve le déroulement de ce traval. Monseur le Docteur Perre Humbert ans que toute la secton des Modèle Numérques du Laboratore Central des Ponts et Chaussées (Pars), pour m avor accuell et encadré lors de mes séjours dans la captale. Une pensée partculère à Monseur le Docteur Stéphane Rgobert pour sa dsponblté et son ade préceuse. Sa connassance détallée du code CESAR-LCPC a été détermnante pour le succès de ce traval. Monseur le Docteur Meng Heng Loke, Unverst Sans (Malase), pour les très nombreux échanges que nous avons eus durant ces années lors de travaux communs. J a pu également 5

6 bénéfcer de ses consels et de sa compétence reconnue dans le domane de l magere électrque. Je n ouble pas toute la secton Géophysque du LCPC pour son accuel amcal ans que tous mes collègues de l Insttut de Géophysque de l Unversté de Lausanne pour les moments agréables que nous avons passés ensemble. Une pensée partculère pour Ludovc Baron, avec qu j a eu de longues dscussons qu m ont perms d aplanr de nombreuses dffcultés ans que Francne Gass, qu a été ma collègue de bureau durant ces années et auss la relectrce attentonnée du manuscrt de la présente thèse. Je n ouble évdemment pas mes parents, ma sœur et mon ame qu chacun à leur manère m ont toujours adé et soutenu. Lausanne, jullet

7 TABLE DES MATIERES NOTATIONS 13 Grecques majuscules 13 Grecques mnuscules 13 Latnes majuscules 14 Latnes mnuscules 15 Dmensons 15 CHAPITRE I PRESENTATION 17 I.1 L IMAGERIE ELECTRIQUE 19 Résumé : L magere électrque 19 I.2 PROBLEME DIRECT ET PROBLEME INVERSE 20 Résumé : Problème drect et problème nverse 21 I.3 OBJECTIFS DU DEVELOPPEMENT 21 Résumé : Objectfs du développement 24 CHAPITRE II LA PROSPECTION ELECTRIQUE 25 II.1 HISTORIQUE DE LA PROSPECTION GEOELECTRIQUE 27 Résumé : Hstorque de la prospecton géoélectrque 28 II.2 PROPRIETE PHYSIQUE ETUDIEE 28 II.2.1 La résstvté en prospecton géophysque 29 II.2.2 La résstvté des tssus du corps human 30 II.2.3 La résstvté des matéraux du géne cvl 30 Résumé : Proprété physque étudée 30 II.3 PRINCIPE GENERAL DES MESURES 31 II.3.1 Acquston et représentaton des mesures 32 Résumé : Prncpe général des mesures 34 II.4 SENSIBILITE DES DISPOSITIFS ELECTRIQUES 35 II.4.1 Exemple de sensblté pour des dspostfs de surface 36 II.4.2 Exemples de sensblté pour des dspostfs de surface-forage 38 Résumé : Sensblté des dspostfs électrques 38 II.5 EQUATIONS FONDAMENTALES 41 II.5.1 Le courant électrque, la conductvté et la lo d Ohm 41 II.5.2 La formulaton de Maxwell pour l électromagnétsme 41 II.5.3 La formulaton de Maxwell pour des champs statques 43 II.5.4 Défnton du champ de potentel 43 II.5.5 Détermnaton du champ de potentel 45 II.5.6 Approxmaton électrostatque 46 Résumé : Equatons fondamentales 48 7

8 CHAPITRE III LA RESOLUTION DU PROBLEME DIRECT 49 III.1 SOLUTIONS AU PROBLEME DIRECT 51 III.1.1 Solutons analytques 51 III.1.2. Equatons ntégrales 52 III.1.3 Méthodes purement numérques 52 Résumé : Solutons au problème drect 53 III.2 RAPPELS SUR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS 53 III.2.1 Les formulatons ntégrales pour le problème électrque 54 III.2.2 Approxmaton par éléments fns 56 III Le mallage 56 III Les éléments et les fonctons d nterpolaton 57 III La formulaton dscrète 59 III Assemblage et résoluton 60 III L nterpolaton dans l élément de référence 60 III L nterpolaton dans l élément réel 62 Résumé : Rappels sur la méthode des éléments fns 64 III.3 PRESENTATION DU PROGICIEL CESAR-LCPC 65 III.3.1 Applcaton au problème électrque 66 Résumé : Présentaton générale du progcel CESAR-LCPC 67 III.4 LE PROGRAMME UTILITAIRE TOMELE 67 III.4.1 Problématque 67 III.4.2 Solutons apportées par TOMELE 69 III Aspect général du programme TOMELE 69 III Smulatons successves d une sére de cas de charge 70 III Electrodes ndépendantes du mallage 71 III Calcul des résstvtés apparentes 74 III.4.3 Conclusons 74 Résumé : Le programme utltare TOMELE 74 III.5 ARCHITECTURE DES MAILLAGES ET CONVERGENCE 75 III.5.1 Introducton 75 III.5.2 Les modèles complexes 77 III Type d éléments fns 77 III Imposton des condtons aux lmtes 78 III Dmenson des malles 84 III Varaton du contraste de résstvté 94 III.5.3 Conclusons pour les mallages 3D complexes 98 Résumé : Archtecture des mallages et convergence 99 III.6 EXEMPLE DE MODELE SYNTHETIQUE DE DIMENSION FINIE 100 Résumé : Exemple de modèle synthétque de dmenson fne 103 III.7 MESURES DIRECTES EXPERIMENTALES 103 III.7.1 Consttuants du modèle 104 III.7.2 Expérmentaton et mesures sur échantllon 104 III.7.3 Evaluaton numérque de la résstvté apparente 105 Résumé : Mesures drectes expérmentales 107 8

9 CHAPITRE IV LE PROBLEME INVERSE 109 IV.1 PRESENTATION DU PROBLEME INVERSE 111 IV.1.1 Stratéges d nverson non-lnéare 111 IV.1.2 Topographe de la foncton objectf 113 Résumé : Présentaton du problème nverse 114 IV.2 METHODES DE DESCENTE 114 IV.2.1 Méthode de plus grande pente 115 IV.2.2 Méthode de Newton 116 IV.2.3 Méthode de Gauss-Newton 117 IV.2.4 Modfcaton de Marquardt-Levenberg 118 Résumé : Méthodes de descente 119 IV.3 QUELQUES CARACTERISTIQUES DES MODELES 120 IV.3.1 Résoluton et varance de la soluton 120 IV.3.2 Modèle ntal 120 IV.3.3 Dscrétsaton 121 Résumé : Quelques caractérstques des modèles 121 IV.4 CHOIX D UNE STRATEGIE D INVERSION 121 IV.4.1 Les dfférentes stratéges d nverson pour le problème électrque 121 IV.4.2 Inverson non-lnéare par méthode de champ adjont 123 Résumé : Chox d une stratége d nverson 123 IV.5 LA METHODE DE L ETAT ADJOINT 124 Résumé : La méthode de l état adjont 126 IV.6 LA FONCTIONNELLE ET SON GRADIENT 127 IV.6.1 Problématque 127 IV.6.2 Chox de la foncton objectf E 127 IV Utlsaton du logarthme des résstvtés apparentes 128 IV Utlsaton drecte des résstvtés apparentes 135 IV.7 LE MODULE D INVERSION INVS 136 IV.7.1 Aspect général du module d exécuton INVS 136 IV.7.2 Le gradent de la foncton objectf 137 IV.7.3 Chox d une drecton de descente : les gradents conjugués 139 IV.7.4 Chox du pas d ajustement des paramètres 140 IV.7.5 Contrantes et nformaton a pror 141 IV.7.6 Crtères de convergence 142 Résumé : Le module d nverson INVS 143 CHAPITRE V FIABILITE DES RECONSTRUCTIONS 145 V.1 LA FIABILITE DES MODELES INVERSES 147 Résumé : La fablté des modèles nversés 147 V.2 LA METHODE DE GAUSS-NEWTON ET L INDICE ROI 148 V.2.1 Optmsaton du mallage et chox des paramètres 149 V.2.2 Exemples prélmnares 151 Résumé : La méthode de Gauss-Newton et l ndce ROI 154 9

10 CHAPITRE VI MODELISATION SYNTHETIQUE 155 VI.1 DONNEES COLLECTEES EN SURFACE 157 VI.1.1 Modèle pour la prospecton de surface 157 VI.1.2 Dspostf électrque chos pour la prospecton de surface 158 VI.1.2 Smulaton des données et paramètres d nverson 160 VI.1.3 Hétérogénété conductrce 160 VI.2.1 Hétérogénété résstante 165 Résumé : Données collectées en surface 167 VI.2 DONNEES COLLECTEES SUR DES STRUCTURES DE GEOMETRIE COMPLEXE 168 VI.2.1 Le modèle 168 VI.2.2 Dspostf électrque chos 169 VI.2.3 Utlsaton de dfférentes valeurs du pas d ajustement des paramètres 170 VI.2.4 Effet du modèle de départ 175 VI.2.5 Effet du brut de mesure 177 VI.2.6 Utlsaton d un modèle de référence 179 VI.2.7 Calcul de la régon d nvestgaton (ROI) 182 Résumé : Données collectées sur des structures de géométre complexe 183 CHAPITRE VII CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES 185 VII.1 APPORTS DU TRAVAIL 186 VII.1.1 Utlsaton de CESAR-LCPC pour la modélsaton électrque 186 VII.1.2 Modélsaton drecte 186 VII.1.3 Modélsaton nverse 187 VII.2 PERSPECTIVES 189 BIBLIOGRAPHIE 191 ANNEXE TECHNIQUE 203 Les éléments de CESAR-LCPC pour un problème de dffuson 205 Partculartés du progcel CESAR-LCPC 206 Partcularté du solveur 206 Condtons aux lmtes 206 Stockage de la matrce globale 207 Allocaton pseudo-dynamque des tables

11 Modélsaton drecte et nverse en prospecton électrque sur des structures 3D complexes par la méthode des éléments fns Ce traval a pour objectf la mse au pont d un ensemble d outls de modélsaton drecte et nverse en utlsant le code d éléments fns CESAR-LCPC. Ces outls sont adaptés aux données électrques collectées sur des structures 3D à géométres complexes. Pour le problème drect, un programme utltare servant d nterface avec le solveur CESAR a été créé afn de modélser des séquences de mesures électrques (tomographes). Ce programme permet l utlsaton d électrodes non stuées sur des nœuds. Les résstvtés apparentes sont obtenues par normalsaton sur un modèle homogène de résstvté unté ce qu permet d obtenr ce paramètre lorsque le calcul analytque du facteur géométrque est mpossble. Ces deux caractérstques smplfent la modélsaton sur des structures 3D à géométres complexes. De nombreux tests sur des mallages de forme varées ont également été effectués. Une procédure d élmnaton de la sngularté des sources ne pouvant être utlsée sur des structures à géométres complexes, un mnmum de 5 à 6 nœuds entre les électrodes d njecton de courant dot donc être utlsé pour garantr une bonne précson du calcul. De plus, la résstvté apparente calculée par normalsaton donne de melleurs résultats que l utlsaton du facteur géométrque. Afn de pouvor nverser un nombre mportant de données sur des modèles de grandes dmensons, la foncton objectf est mnmsée en utlsant la technque de l état adjont. Cette approche est orgnale car elle vse non pas le calcul des dérvées partelles en tant que telles, ce qu est tradtonnellement fat lors d nversons par mondres carrés, mas le calcul drect de la varaton à apporter aux paramètres du modèle, sans évaluaton explcte de la matrce de sensblté. Le module d nverson créé pour le progcel CESAR-LCPC est donc capable de calculer par éléments fns le champ de potentel électrque et le champ adjont sur le même mallage, avec les condtons aux lmtes et les sources approprées pour chaque champ. La drecton de descente est obtenue selon une méthode de plus grande pente pour la premère tératon pus par une méthode de gradents conjugués pour les tératons suvantes. Des données synthétques ont été utlsées pour valder cet algorthme d nverson. Ces smulatons montrent clarement que cet algorthme peut effectuer une nverson de manère robuste et donner un résultat satsfasant avec un effort de calcul rédut. Toutefos, des régulatons supplémentares dovent être ntrodutes dans le but d amélorer la qualté du résultat. Fnalement, la fablté du modèle reconstrut peut être évaluée par la technque de l ndce ROI (Regon Of Investgaton) qu utlse deux nversons successves en utlsant des modèles de références dfférents afn de défnr quels paramètres du modèle sont ben contrants pas les données. Dans ces régons, les deux nversons reprodusent la même valeur de résstvté et non pas le modèle de référence. Mots-clés : problème nverse, géophysque, résstvté, tomographe électrque, éléments fns, état adjont, optmsaton. 11

12 Forward and nverse resstvty modellng on complex three dmensonal structures usng the fnte element method Ths work presents the adaptaton and the use of the CESAR-LCPC fnte element code for the forward and nverse modellng of 3D resstvty data. These codes are better suted for magng structures wth complex geometres. The forward modellng code uses an electrode-ndependent mesh that allows to place the electrodes at ther exact locatons and to use a coarse mesh at the same tme. In ths approach, the choce for the mesh sze s solely governed by the need for accurate results. It s also possble to calculate apparent resstvtes, wthout the use of the geometrcal factor (that can be evaluated only for smple structures). To calculate apparent resstvty values, a normalsaton approach s used that gves sgnfcantly better results than the use of the geometrcal factor and allows the modellng of any knd of complex 3D structure. As a sngularty removal technque cannot be used on complex 3D models, a mnmum of 5 to 6 nodes between two current transmttng electrodes should be consdered to guarantee the qualty of the results. Synthetc results are presented to llustrate the effcency of the forward modellng technque. An nverson code was also presented for the processng of resstvty tomographes on complex 3D structures usng any electrode arrangement. Ths algorthm s well suted for the processng of large data sets wth a lot of unknown model parameters. The nverson code uses an orgnal strategy to avod the explct calculaton of a senstvty matrx. The adjontstate of the potental feld s used to mnmze an objectve functon for the electrcal nverse problem. Then, a steepest descent formulaton can be used for the frst teraton. Further teratons are carred out usng a conjugate gradent approach to mprove the convergence. As can be seen on synthetc data, a satsfactory reconstructon of the models can be acheved wth a mnor computatonal cost. Ths knd of nverse problem would have been very dffcult to solve usng a more tradtonal Gauss-Newton approach. Strateges are nevertheless needed to mprove the stablsaton of the nverse process and to nclude a pror nformaton n the problem. Fnally, a ROI (Regon Of Investgaton) ndex method s used to assess whether features n the model are caused by the data or are artefacts of the nverson process. Ths method carres out two nversons of the same data set usng dfferent values of the reference resstvty model. The two nversons reproduce the same resstvty values n areas where the data contan nformaton about the resstvty of the subsurface whereas the fnal result depends on the reference resstvty n areas where the data do not constran the model. Key words : nverse problem, geophyscs, resstvty tomography, electrcal magng, fnte elements, adjon-state, optmsaton. 12

13 NOTATIONS Nous défnssons c les notatons employées tout au long de ce mémore. Les untés sont celles du système nternatonal (S.I.). Certanes notatons, très spécfques ou utlsées durant un développement, ne sont pas mentonnées. Les vecteurs sont notés en gras. Le produt scalare entre A et B est noté AB. Le produt vectorel est noté A B. Les matrces sont également notées en gras. Nous utlserons de plus le terme de vecteur pour décrre une matrce lgne ou une matrce colonne. Grecques majuscules Γ frontère du domane Ω - Π fonctonnelle pour la formulaton varatonnelle - Φ porosté - Ω domane spatal étudé - Grecques mnuscules δ dstrbuton de Drac m -3 (en 3D) ε permttvté délectrque F.m -1 ε 0 permttvté délectrque du vde ( F.m -1 ) ε r permttvté délectrque relatve (ε=ε 0 ε r ) θ champ de température K λ facteur d amortssement - µ perméablté magnétque H.m -1 v varance - 13

14 ρ résstvté électrque Ω.m σ conductvté électrque S.m -1 ω fréquence angulare rad.s -1 Latnes majuscules A vecteur des ampltudes - B nducton magnétque T D déplacement électrque C.m -2 E champ électrque V.m -1 E foncton objectf - H champ magnétque A.m -2 I ntensté du courant électrque A J densté de courant A.m -2 K matrce globale - N matrce des fonctons de forme - Q charge électrostatque C S surface m 2 S w saturaton en eau - V champ de potentel V X matrce hessenne - Y matrce jacobenne du problème nverse (sensblté) - Y g matrce jacobenne de la transformaton géométrque - 14

15 Latnes mnuscules a ampltude - c source de chaleur J f fréquence Hz h gradent de la foncton objectf - k facteur géométrque m k t conductvté thermque W.m -1.K -1 n vecteur normal à une surface - p densté de charge électrostatque C.m -3 q flux de chaleur W.m -2 t temps s Dmensons A C F H Hz J K m S 1 ampère 1 coulomb 1 farad 1 henry 1 hertz 1 joule 1 kelvn 1 mètre 1 semens 15

16 V W Ω 1 volt 1 watt 1 ohm 16

17 CHAPITRE I PRESENTATION 17

18 18

19 I.1 L IMAGERIE ELECTRIQUE L objectf de l magere électrque (Electrcal Resstvty Tomography ou Electrcal Impedance Tomography) est la reconnassance multdmensonnelle des proprétés électrques ntrnsèques du mleu étudé (sol, échantllon de matérau ou parte du corps human par exemple). Dans cette méthode d auscultaton, un courant électrque est njecté au moyen d une pare d électrodes dans l objet étudé. Le champ électrque qu en résulte est une foncton de la dstrbuton de la conductvté dans le corps et est mesuré à l ade d un autre couple d électrodes. Les mesures sont ensute répétées en postonnant les électrodes à un autre endrot de l objet. Par une procédure d nterprétaton, nous cherchons alors à défnr la présence des hétérogénétés, plus ou mons résstantes, dans l objet qu ont nfluencé la répartton du champ électrque pour les dfférentes mesures. La prospecton électrque est couramment utlsée en géophysque dans le but de caractérser des fractures, détecter des cavtés ou des corps gelés, mager des ntrusons ou des mgratons d eau salée dans le sol, détecter la présence de vestges archéologques, étuder la structure des sols et de la proche surface ou encore délmter des décharges et déceler des mgratons de polluants dans le sol. Les technques d magere électrque susctent également un ntérêt grandssant pour l auscultaton des structures du géne cvl et de leur envronnement, qu elles soent en perre, en béton ou en terre. Dans ce cadre, la détecton de zones altérées et de la fssuraton représentent des enjeux mportants. Les méthodes électrques semblent ben adaptées à la mse en évdence d anomales de porosté ou à la présence de fssuraton, grâce au fort contraste de proprétés électrques que ces défectuostés mplquent. Le contrôle nondestructf de galeres, puts, plers de ponts ou éprouvettes de matéraux nécesste également l utlsaton de méthodes peu nvasves, rapdes à mettre en œuvre et de fable coût. La méthode de prospecton électrque respecte ces exgences, du mons lorsqu un contact électrque satsfasant peut être établ. Des recherches dans le domane de l magere électrque de processus ndustrels (Process Tomography) ou encore dans le domane de l magere électrque médcale (Electrcal Impedance Tomography) sont également en constant développement. Résumé : L magere électrque L magere électrque est la reconnassance multdmensonnelle des proprétés électrques ntrnsèques du mleu étudé au moyen d électrodes servant à applquer un courant électrque. Les perturbatons du champ électrque dans l objet étudé sont nterprétées comme une foncton de la dstrbuton de la conductvté dans le corps. Cette méthode, peu nvasve et de fable coût, est couramment utlsée en prospecton géophysque. 19

20 I.2 PROBLEME DIRECT ET PROBLEME INVERSE En scence expérmentale, nous cherchons à caractérser les paramètres physques d un objet en se basant sur une sére de données mesurées. En général, les los de la physque fournssent les bases nécessares permettant de prédre le résultat d une mesure en foncton d un modèle (un modèle est la représentaton smplfée ou déalsée de la réalté physque). Cette opératon porte le nom de problème drect. L opératon opposée, appelée problème nverse, consste à reconstrure un modèle à partr des données mesurées sur un objet. Ce type de reconstructon se rencontre très fréquemment en magere médcale. Un CT-scan (Computerzed Tomography Scanner) mesure par exemple la perte de pussance d une sére de rayons X passant au travers d un patent (problème drect). Nous chercherons ensute à reconsttuer une mage de la répartton des tssus explquant le meux les absorptons mesurées va une procédure d nverson. Dans la pratque, le trajet des rayons X est ndépendant des proprétés du corps (seule l absorpton compte). Une smple procédure de rétroprojecton le long des rayons rectlgnes sufft donc pour nverser les données. En tomographe électrque, la dstrbuton du courant sut les chemns de mondre résstvté et dépend donc des proprétés de l objet, ce qu sgnfe que le problème nverse est clarement non-lnéare et donc plus complqué à résoudre. Le problème nverse est fréquemment consdéré comme étant l opératon exactement opposée au problème drect. Dans un cas déal, l exste en effet une théore permettant de défnr comment passer des données au modèle. Malgré une certane élégance mathématque, de telles théores ne sont toutefos que rarement applcables dans la pratque. Il y a pluseurs rasons à cela. Premèrement, une telle soluton nécesste des stuatons exactes qu n apparassent que très rarement dans la pratque. Une sére de données réelles content toujours des erreurs et ces dernères peuvent se propager aux paramètres du modèle. De plus, le fat qu un nombre fn de données sot dsponble pour évaluer un modèle nécesstant une nfnté de degrés de lberté sgnfe que le problème nverse n est pas unque. De par l échantllonnage, qu peut être nadéquat, ou encore la qualté des mesures réelles, entachées d erreurs, les données ne contennent en général pas suffsamment d nformatons pour détermner un modèle de manère unvoque. Nous pouvons donc en conclure qu un modèle obtenu par nverson ne correspond pas nécessarement à la réalté que nous cherchons. Il faudra donc nclure dans le processus d nverson une procédure permettant d évaluer la fablté de la reconstructon par rapport à la réalté. La problématque complète devrat plutôt être schématsée à l ade du dagramme de la fgure 1.1. Notons r la réalté physque, m le modèle, d m les données mesurées et d c les données calculées (la réponse du modèle m). Le problème drect est donc l opératon permettant d obtenr d c connassant m ou d m connassant r. Une reconstructon d un modèle estmé m, à partr des données mesurées, consttue le problème d estmaton ou problème nverse au sens strct. Il est ensute nécessare de tester la fablté du modèle estmé par une opératon 20

21 d évaluaton. L estmaton du modèle et l évaluaton consttuent l opératon d nverson au sens large. Idéalement, toute procédure d nverson devrat comprendre une évaluaton du résultat obtenu (calcul de la propagaton de l erreur ou résoluton du résultat). Cela n est toutefos pas toujours facle à mettre en œuvre en pratque. En effet, les procédures d évaluaton n exstent parfos pas, notamment pour les problèmes non-lnéares, ou sont trop coûteuses en temps de calcul. Fgure 1.1 : Représentaton schématque de la problématque drecte et nverse. Résumé : Problème drect et problème nverse Le problème drect est l opératon permettant d obtenr une donnée mesurée relatvement à la réalté physque ou une donnée calculée (ou smulée) relatvement à un modèle synthétque. Une reconstructon d un modèle estmé à partr des données mesurées consttue le problème d nverson au sens strct. Le résultat de l nverson n est pas unque (de par la sous-détermnaton du problème ou l erreur des données) et l est de plus nécessare d évaluer la fablté du modèle obtenu. I.3 OBJECTIFS DU DEVELOPPEMENT Des arrangements standard d électrodes sont utlsées depus mantenant pluseurs décennes pour l auscultaton du sol en une ou deux dmensons (1D ou 2D respectvement). Les modèles obtenus apportent en général des nformatons très utles sur la structure nterne des objets étudés, dans la lmte où la réalté physque est effectvement un- ou bdmensonnelle. L utlsaton d une méthode d auscultaton en 1D sur un corps présentant des hétérogénétés trdmensonnelles peut en effet fare apparaître des artefacts dans le modèle. La fgure 1.2 montre un exemple de modèle nversé du sous-sol en 2D avec l nterprétaton géologque qu lu est assocée (Marescot et al., 2003b). Ce type de prospecton électrque de surface est très courant en géophysque, où beaucoup de structures géologques sont localement assmlables à des corps bdmensonnels. 21

22 Avec l augmentaton de la pussance de calcul ans que l améloraton constante du matérel de mesure, des prospectons géophysques de plus en plus complexes peuvent être envsagées. Alors que bon nombre de programmes d nterprétaton sont destnés à mager des structures smples (dem-espaces avec éventuellement des électrodes sous la surface et une topographe modérée), l devent de plus en plus envsageable de dsposer d algorthmes permettant des calculs sur des objets plus complexes. En effet, lorsque nous désrons ausculter la structure d un tunnel (par des mesures en galere), celle d un pler de pont, d une éprouvette de matérau ou encore d une structure au relef prononcé, l est ben dffcle d assmler l objet à un mleu smple (dem-espace par exemple). Les algorthmes d nverson tradtonnellement utlsés souffrent de fortes lmtatons quant à leur utlsaton sur ce type de structures. Fgure 1.2 : Exemple d magere électrque 2D en géophysque. Applcaton à la recherche d ancens cours d eau. Dans le cadre de ce traval de thèse en collaboraton entre le Laboratore Central des Ponts et Chaussées (LCPC) et l Insttut de Géophysque de l Unversté de Lausanne (IG), nous avons entreprs d adapter le progcel CESAR-LCPC pour le calcul drect et nverse de données électrques par la méthode des éléments fns sur des structures 3D à géométres complexes. Ce développement n est pas évdent, le code de calcul CESAR-LCPC n étant pas conçu pour cela. D un pont de vue pratque, ce traval de thèse devrat permettre l élaboraton d outls de modélsaton drecte et nverse meux adaptés à l auscultaton de structures présentant des géométres complexes que les codes actuellement dsponbles. Il est donc nécessare de ben cerner les besons des utlsateurs de tels outls afn de créer un code d nverson robuste et ben adapté. Ce traval respecte donc l axe de développement décrt dans le dagramme de la fgure 1.1. La résoluton du problème drect et du problème nverse sur des modèles 3D à géométres complexes va plus partculèrement engendrer les problèmes suvants : Comme la forme du champ électrque est nfluencée par la géométre de l objet étudé, l est ndspensable de pouvor représenter cette dernère de manère précse et détallée. La dstorson du champ électrque ne sera alors plus une source d erreur durant l nverson. La 22

23 méthode de résoluton drecte devra donc être capable de calculer la réponse d un modèle à géométre complexe, ce qu élmne par exemple bon nombre de méthodes de calcul analytques ou sem-analytques. Pour représenter le plus fdèlement possble l objet étudé, l sera ndspensable d utlser des modèles de formes très varables, composés d un grand nombre de paramètres (fgure 1.3). Il faudra également trouver des solutons au problème de la localsaton des électrodes dans un mallage à géométre complquée ou au problème du calcul de la résstvté apparente (un calcul explcte du facteur géométrque n exstant pas toujours). Un outl de modélsaton drecte va donc être nécessare afn de pouvor créer des séquences de mesures synthétques permettant de meux comprendre la réponse de dspostfs électrques non-conventonnels (c est-à-dre autres que ceux couramment utlsés dans la pratque). Cet outl de modélsaton va également être utlsé dans le but de générer des jeux de données pour tester l algorthme d nverson développé en seconde étape. Fgure 1.3 : Exemple de modèle à géométre complexe : détal de l ntersecton entre deux tunnels. Du pont de vue du problème nverse, le grand nombre de paramètres nconnus à détermner ans que le grand nombre de données mesurées mplquent un effort de calcul conséquent. Nous allons devor développer un algorthme spécfque permettant de rédure le temps de calcul et le stockage mémore nécessare. Fnalement, nous allons ensute mplémenter une méthode permettant de tester la fablté du modèle estmé sans évaluaton explcte de la matrce de sensblté. 23

24 Il faut encore relever que ce traval utlse une termnologe ans que des exemples propres à la géophysque. Toutefos, les développements et conclusons défns c sont asément transposables à d autres branches scentfques (domane bomédcal par exemple). Le traval s artcule de la manère suvante : Dans le second chaptre, quelques rappels théorques sont donnés sur la résoluton du problème drect pour le courant contnu ans que sur le prncpe de la mesure des proprétés électrques d un corps. Dans le trosème chaptre, nous décrvons la méthode des éléments fns (MEF) applquée à la résoluton du problème électrque pour des structures 3D. Le code de calcul CESAR-LCPC est ensute brèvement exposé et le programme que nous avons ms au pont afn de permettre la modélsaton drecte de séquences électrques est détallé. Fnalement des exemples de modélsaton drecte sur des structures smples et plus complquées sont donnés, afn d exposer quelques condtons d applcablté de la méthode. Le quatrème chaptre fournt des rappels théorques sur la résoluton du problème nverse électrque et les problèmes numérques qu en découlent. Une descrpton de la stratége d nverson chose est ensute explctée. Nous donnons alors une descrpton plus complète de notre algorthme et du module d nverson sous CESAR-LCPC créé pour ce traval. Le cnquème chaptre présente une approche permettant d évaluer le résultat d une nverson en évtant le calcul de la matrce de sensblté. Le sxème chaptre est consacré à la modélsaton synthétque drecte et nverse sur des structures 3D smples et complexes, afn de meux cerner les possbltés et les lmtes du code d nverson développé. En concluson, nous revenons sur les dfférents résultats obtenus et certanes perspectves souhatables à l avenr. Résumé : Objectfs du développement Ce traval de thèse a pour but la mse au pont d une sére d outls de modélsaton drecte et nverse pour les données électrques sur des structures trdmensonnelles à géométres complexes. Le progcel CESAR-LCPC sera adapté pour le calcul drect de données de tomographe électrque et un module d nverson spécfque sera élaboré. Ces outls devront tout d abord permettre la modélsaton de la résstvté apparente à partr de données collectées avec des dspostfs non-conventonnels, sur des structures à géométres complquées. En seconde étape, nous développerons un module permettant l nverson de ces données dans le cas de modèles possédant un grand nombre de paramètres nconnus. Une procédure permettant l évaluaton de la fablté de la reconstructon sera également présentée. 24

25 CHAPITRE II LA PROSPECTION ELECTRIQUE 25

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27 Les objectfs de cette parte sont la présentaton du prncpe de mesure de la résstvté ans que de la théore concernant l établssement des équatons fondamentales pour le courant contnu. Les dfférentes méthodes permettant la smulaton de mesures électrques sur un modèle de terran seront également brèvement décrtes. II.1 HISTORIQUE DE LA PROSPECTION GEOELECTRIQUE Les bases de la prospecton électrque en géophysque furent posées par Gray et Wheeler en 1720 qu, parm les premers, mesurèrent la conductvté de certanes roches. Un peu plus tard, en 1746, Watson constata que le sous-sol pouvat transporter un courant artfcel suvant la composton du terran. Le problème de la détermnaton de la résstvté électrque d un mleu non-homogène a été dscuté par Maxwell en Ce derner a soulgné l mportance de l utlsaton de quatre électrodes, plutôt que deux, pour mesurer la résstance générée par un courant dans un mleu conducteur trdmensonnel. Il faudra néanmons attendre le début du XX ème sècle pour que se développent de manère conséquente les méthodes électrques, notamment par l entremse de deux prncpales écoles. L école françase, la plus actve, connut son orgne en 1912 lorsque Conrad Schlumberger nta une sére d expérences dans le but de trouver des ressources mnérales par les méthodes électrques. Il mt tout d abord au pont la méthode de polarsaton spontanée, pus en 1914 celle des cartes de potentel (mse à la masse). Il ft en 1920 le premer relevé de résstvté électrque qu l applqua à la recherche mnère et pétrolère. Il fonda ensute la Socété de Prospecton Electrque en 1926, socété qu allat donner nassance un peu plus tard à deux grandes organsatons, la Compagne Générale de Géophysque de France (C.G.G.) et la Schlumberger Well Surveyng Corporaton. L école amércane fut nsttuée par Wells, Daft et Wllams en 1906, mas surtout en 1912 par Frank Wenner qu ft une étude théorque du système de mesure de résstvté électrque au moyen de quatre électrodes, ans que du théorème de récprocté applqué à ce système. Les Russes et Scandnaves ont également fat des recherches mportantes dans ce domane. A partr de cette époque, la prospecton électrque par courant contnu s est prncpalement concentrée sur la mse en œuvre et l nterprétaton des sondages électrques et des profls (ou cartes) de résstvté (Kunetz, 1966). Dans les années 1970, nous voyons apparaître une nouvelle représentaton des données sous la forme de panneaux électrques (Edwards, 1977). Il faut toutefos attendre le début des années 1990, et l mportant développement des moyens nformatques, pour que les méthodes d magere 2D et 3D assocées à des algorthmes d nverson performants se développent (Loke and Barker, 1996a et 1996b). Il n est sans doute pas exagéré d affrmer que l magere (ou la tomographe) électrque est à l orgne du nouvel essor que connaît actuellement la prospecton électrque par courant contnu (Dahln, 1993). 27

28 La prospecton électrque est actuellement couramment utlsée en géophysque dans le but d étuder l hydrogéologe d un ste (Marescot and Chapeller, 2003a et 2003b ; Marescot et al., 2003a), caractérser des fractures (Wang et al., 1991), détecter des cavtés ou des corps gelés (Marescot et al., 2001 ; Delaloye et al., 2003 ; Reynard et al., 2003), mager des ntrusons ou des mgratons d eau salée dans le sol (Bevc and Morrson, 1991), détecter la présence de vestges archéologques (Hesse et al., 1986), étuder la structure des sols et de la proche surface (Bendertter et al., 1994 ; Panssod, 1997 ; Bourennane et al., 1998 ; Panssod et al., 1998 ; Mchot, 2003) ou encore délmter des décharges et déceler des mgratons de polluants dans le sol (Daly et al., 1995 ; Daly and Ramrez, 1995 ; de Lma et al., 1995 ; Park, 1998 ; Chambers et al., 1999 ; Oglvy et al, 1999 ; Olaynka and Yaramanc, 1999 ; Slater et al., 2000 ; Chambers et al., 2002 ; Dahln et al., 2002). Les technques d magere électrque susctent également un ntérêt grandssant pour l auscultaton des structures du géne cvl (Draskovts and Smon, 1992 ; Johansson and Dahln, 1996 ; Mallol et al., 1999 ; Yaramanc, 2000 ; Yaramanc and Kewer, 2000 ; Dens et al., 2002 ; Lataste, 2002). Des recherches dans le domane de l magere électrque bomédcale sont également en constant développement (vor par exemple Lnderholm et al., 2004 ; Lonheart, 2004). Résumé : Hstorque de la prospecton géoélectrque Les méthodes de prospecton électrque, telles que le sondage ou le profl de résstvté, sont couramment utlsées depus un sècle. Avec l apparton récente de moyens nformatques performants, cette méthode d auscultaton géophysque connaît un renouveau sous la forme de prospecton et de modélsaton en deux ou tros dmensons. II.2 PROPRIETE PHYSIQUE ETUDIEE Les méthodes électrques ont pour but la détermnaton de la conductvté électrque σ (en S/m) des structures étudées. En prospecton électrque par courant contnu, le paramètre de résstvté électrque ρ (en Ωm), l nverse de la conductvté, est plus couramment utlsé. Dans ce qu sut, les termes de résstvté électrque et de conductvté électrque seront remplacés par les termes de résstvté et conductvté. La résstvté est la capacté d un mleu à s opposer au passage d un courant électrque. Cette résstvté dépend de dfférents facteurs tels que la qualté du flude, la saturaton, la porosté ou encore la température du mleu étudé (Keller and Frschknecht, 1966 ; Zhdanov and Keller, 1994). Dans le cas de la prospecton électrque en courant contnu, le courant électrque est prncpalement transporté par les électrons (conducton électronque dans les métaux) ou par les ons (conducton électrolytque dans les fludes). La résstvté des dfférents matéraux, nertes ou vvants, est donc une proprété physque varant dans de grandes proportons, ce qu consttue un atout majeur des méthodes 28

29 électrques. Dans la nature, la gamme des résstvtés est très étendue, varant de mons de 1 Ωm à pluseurs mllers d Ωm. II.2.1 La résstvté en prospecton géophysque Pour l auscultaton du sous-sol en géophysque, une relaton emprque fréquemment utlsée pour reler les dfférents paramètres du terran est donnée par la lo d Arche (1942) : ρ = ρ aφ S m n r w w (2.1) avec ρ r la résstvté du matérau, ρ w la résstvté de l eau d mbbton, Φ la porosté, a un facteur qu dépend de la lthologe et qu vare entre 0.6 et 2 (a < 1 pour les roches à porosté ntergranulares et a > 1 pour les roches à porosté de fracture), m un facteur de cmentaton (qu dépend de la forme des pores, de la compacton et vare entre 1.3 pour les sables non consoldés à 2.2 pour les calcares cmentés). S w est la saturaton en eau de la roche. L exposant n vare très peu avec les formatons, sa valeur est envron de 2 pour la plupart des formatons de porosté normale dont la teneur en eau est comprse en 20% et 100%. La lo d Arche a été élaborée dans le cadre de la prospecton pétrolère, où la résstvté de l eau est généralement très basse (eau mnéralsée). Pour des roches contenant de l eau douce, la présence d autres modes de conducton que le flude (argles ou métaux par exemple) peut rendre cette lo nexacte. De plus, la présence de partcules argleuses ou métallque rend le paramètre de la résstvté fortement dépendant de la fréquence (phénomène de polarsaton ndute). La fgure 2.1 donne un aperçu des dfférentes gammes de résstvté rencontrées en prospecton géophysque. Fgure 2.1 : Gamme des résstvtés couramment rencontrées en prospecton géophysque. 29

30 II.2.2 La résstvté des tssus du corps human L magere électrque médcale (Electrcal Impedance Tomography) est actuellement au centre d actves recherches, que ce sot pour mager l ntéreur du corps human ou étuder les proprétés d échantllons bologques. Les tssus bologques ont en effet la capacté de condure un courant électrque, ce derner étant ssu de la mse en mouvement par le champ électrque des ons de la parte aqueuse de l électrolyte ntra- ou nter-cellulare. Dans le domane bomédcal, cette proprété est en général caractérsée par le paramètre de la résstvté et de la permttvté, ben que, à relatvement basses fréquence, le paramètre de la résstvté seul pusse être prs en consdératon. A basses fréquences, la résstvté des tssus bologques dépend de la fréquence. Faes et al. (1999) proposent un récaptulatf des valeurs de la résstvté à 37 C, pour des fréquences varant de 100 Hz à 10 MHz. Nous pouvons noter une nette dfférence entre la résstvté du sang, des muscles ou des organes nternes, qu présentent des valeurs de la résstvté fables (entre 1.5 Ωm et 4 Ωm), et celles des os ou de la grasse, qu sont plus résstants car contenant mons d eau (>170 Ωm et 40 Ωm respectvement). Un bon contraste de résstvté semble donc exster entre ces tssus bologques. II.2.3 La résstvté des matéraux du géne cvl Les valeurs de la résstvté des matéraux utlsés en géne cvl varent également dans de grandes proportons. Nous donnons c quelques ndcatons sur les bétons, dont une étude complète a été effectuée par Lataste (2002). Le béton fras (non durc) est très conducteur (1 Ωm à 10 Ωm). Lorsque le béton durct, nous pouvons noter une rapde augmentaton de la résstvté, qu passe de 10 Ωm à 200 Ωm, pus cette varaton ralent dans le temps. Pour le béton durc âgé, la résstvté vare de 200 Ωm à Ωm selon le mélange utlsé pour le morter et les granulats, son état d'endommagement et d'humdté. Les armatures métallques, très fréquentes, rendent évdemment ces mleux assez complexes. On s'ntéresse d'alleurs plus souvent aux problèmes de corroson de ces armatures qu'aux proprétés ntrnsèques de la matrce. Plus un béton est conducteur (<100 Ωm), et plus la probablté de corroson des acers est mportante. Au-dessus de 1000 Ωm le rsque de corroson est néglgeable. Il est donc ntéressant d étuder la résstvté de ce matérau. Résumé : Proprété physque étudée La résstvté électrque est la capacté d un mleu à s opposer au passage d un courant électrque. Ce paramètre vare fortement dans la nature et dépend de nombreux paramètres physques (qualté du flude, saturaton, porosté ou encore température par exemple). La conductvté électrque est l nverse de la résstvté électrque. 30

31 II.3 PRINCIPE GENERAL DES MESURES La mesure de la résstvté d une structure s effectue en njectant un courant électrque dans celle-c au moyen d électrodes d njecton (souvent nommées A et B) et en mesurant la dfférence de potentel créée par le passage du courant au moyen d électrodes de mesure du potentel (souvent nommées M et N). Le nombre d électrodes, ans que leur agencement défnt le dspostf électrque utlsé. La confguraton du dspostf est chose selon la problématque de l étude. La dfférence de potentel dépend de l ntensté du courant njecté, de la dsposton des électrodes et de la résstvté électrque du matérau consttuant l objet étudé. Il est alors possble de dédure une répartton de la résstvté dans la structure en se basant sur la forme du champ de potentel. Dans le cas d un mleu théorquement homogène et sotrope, la résstvté mesurée correspond à la résstvté vrae du matérau, ce qu n est pas le cas pour des mleux hétérogènes. La noton d homogénété dépend toutefos de l échelle à laquelle le mleu est observé. Nous fasons appel, dans le cas d un mleu hétérogène, au concept de résstvté apparente. La résstvté apparente est le rapport du potentel mesuré sur le terran ( V) à celu calculé théorquement dans les mêmes condtons (même géométre des électrodes, même ntensté de courant) sur un terran homogène de résstvté 1 ( V 0 ). Le terme de résstvté apparente est relatvement mpropre. Le fat que cette grandeur at pour dmenson celle de la résstvté provent du chox de l unté pour la résstvté du mleu homogène, chox parfatement conventonnel. ρ app V = = k V 0 V I (2.2) Le paramètre k est appelé le facteur géométrque (en mètres) ; l permet l expresson de la résstvté apparente dans un espace de géométre smple (dem-espace par exemple, fgure 2.2). Il est défn pour un quadrpôle dont les électrodes sont sous la surface et pour un demespace homogène avec une lmte plane par : k = 4π AM AN BM BN A M A N B M B N (2.3) A et B étant les mages de A et B par rapport à la surface du sol (fgure 2.2). 31

32 Fgure 2.2 : Dspostf quadrpôle utlsé pour la mesure de la résstvté d un objet (domane). Nous pouvons encore rappeler l énoncé du théorème de récprocté en méthode électrque. Ce théorème fondamental ndque que le potentel mesuré en un pont M, dû à une source de courant localsée en un pont A, est égal au potentel mesuré au pont A dû à une source de courant de même ntensté localsée au pont M. Dans la pratque, le courant employé est rarement un vértable courant contnu. Pour paller les phénomènes de polarsaton spontanée et pour amélorer le rapport sgnal sur brut, un courant alternatf en créneaux ou snusoïdal basse fréquence est utlsé (de quelques fractons de hertz à quelques hertz). Cec est surtout valable lors de l utlsaton d électrodes à contact galvanque. Pour des nstruments de mesure capactfs, la fréquence utlsée peut être plus élevée. II.3.1 Acquston et représentaton des mesures En surface, les mesures peuvent être effectuées en gardant le centre du dspostf fxe et en écartant les électrodes d njecton (sondage électrque) ou en déplaçant un dspostf à écartement constant (traîné électrque). Avec la premère méthode nous obtenons la varaton de la résstvté en 1D sous le dspostf et avec la seconde méthode nous étudons les varatons latérales de ce paramètre. En combnant ces deux technques, l est possble de réalser des panneaux électrques, sensbles aux varatons tant vertcales qu horzontales de la sub-surface. Ces mesures sont habtuellement représentées sous la forme de panneaux électrques (ou pseudo-sectons en résstvtés apparentes). Les mesures sont partculèrement sensbles aux varatons de la résstvté sous le dspostf. Les ponts de mesure sont reportés à l aplomb du centre du dspostf et à une ordonnée proportonnelle à la dstance séparant les électrodes (AM/2 ou AB/2 par exemple) défnssant des nveaux d acquston. Les valeurs sont ensute nterpolées pour tracer les lgnes d sorésstvté (fgure 2.3). La détermnaton de la profondeur à laquelle placer les ponts de mesure donne cours à de nombreux débats. Une 32

33 méthode de postonnement vertcal des ponts est celle de la profondeur médane d'nvestgaton (Edwards, 1977) du dspostf utlsé. La profondeur médane d'nvestgaton, pour un mleu homogène, peut être consdérée comme étant la profondeur à laquelle la porton de terran stuée au dessus de cette lmte a la même nfluence que la porton de terran stuée au dessous. Cette profondeur médane n'a donc pas la sgnfcaton de profondeur d'nvestgaton (au sens de sgnal maxmal, Roy, 1972). Comme l a montré Barker (1989), la profondeur médane d nvestgaton semble être la manère la plus robuste par laquelle nous pouvons assocer une donnée mesurée et une profondeur. Un panneau électrque donne une mage très approxmatve de la répartton des résstvtés dans une structure. Cette mage est dstordue car elle dépend de la répartton des résstvtés dans l objet mas également du dspostf utlsé. Un panneau électrque est donc unquement une manère commode de représenter les résstvtés apparentes afn de trer quelques hypothèses sur la dstrbuton des résstvtés vraes. En effet, les formes engendrées par un objet dffèrent fortement en foncton du dspostf employé. C est la rason pour laquelle l est quasment mpossble d nterpréter correctement un panneau électrque non nversé. Il est juste possble de fare quelques hypothèses sur la dstrbuton des résstvtés apparentes. Cependant, une des utltés du panneau électrque est la possblté d'élmner sur ces profls les mauvases mesures de résstvté apparente. Ces dernères se marquent par des ponts de résstvté apparente anormalement haute ou basse par rapport à l'envronnement. Fgure 2.3 : Représentaton d un panneau électrque en 2D pour les mesures en surface. 33

34 Lors de mesures entre pluseurs forages ou entre un forage et la surface, les mesures sont sensbles aux varatons des proprétés électrques dans un plan stué approxmatvement entre les lgnes d électrodes. Le mode de représentaton des tomogrammes selon Pormeur (1986) peut être alors utlsé. Les ponts de mesure sont reportés sur un plan en deux dmensons en prenant la profondeur en abscsse. Pour des mesures entre deux forages, chaque forage devent un des axes du tomogramme. Les valeurs sont ensute nterpolées pour tracer les lgnes d sorésstvtés (fgure 2.4). Fgure 2.4 : Représentaton d un tomogramme en 2D pour les mesures entre forages. Dans le cas de mesures sur des structures 3D ou à géométres complexes, l peut être dffcle, vore mpossble, de représenter les données mesurées selon des panneaux électrques. Nous devrons donc souvent nous contenter de les représenter sous la forme de courbes de dstrbuton pour en fare l étude. Un exemple de smulaton de mesures sur une colonne est donné dans la fgure 2.5. La complexté du dspostf de mesure autour de la colonne rend mpossble toute représentaton des résstvtés apparentes sous la forme de tomogrammes. Résumé : Prncpe général des mesures Une mesure électrque s effectue au moyen d un quadrpôle d électrodes. Le sgnal mesuré va dépendre de l arrangement des électrodes ans que de la structure du mleu. Lorsque ce derner est hétérogène, une telle mesure donne une résstvté apparente et un tratement va être nécessare pour obtenr une mage de la répartton des proprétés électrques ntrnsèques du mleu. 34