Université de Nantes

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1 Unversté de Nantes ÉCOLE DOCTORALE MECANIQUE, THERMIQUE ET GENIE CIVIL Année 2004 N B.U. : Thèse de DOCTORAT EN COTUTELLE Dplôme délvré par l'unversté de Nantes, d une part et par l Unversté de Lausanne, d autre part Spécalté : GEOSCIENCES Présentée et soutenue publquement par : MARESCOT LAURENT le 25 jun 2004 à LAUSANNE TITRE MODELISATION DIRECTE ET INVERSE EN PROSPECTION ELECTRIQUE SUR DES STRUCTURES 3D COMPLEXES PAR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS JURY Présdent : Henry Jors Professeur, Unversté de Lausanne Rapporteurs : Alan Tabbagh Professeur, Unversté Perre et Mare Cure (Pars VI) Franços Frey Professeur, Ecole Polytechnque Fédérale de Lausanne Examnateur : Olver Grasset Maître de Conférences, HDR, Unversté de Nantes Drecteur de thèse : Rchard Lagabrelle Drecteur de Recherche, LCPC, centre de Nantes Drecteur de thèse : Domnque-Mare Chapeller Professeur, Unversté de Lausanne Drecteur de thèse : Domnque-Mare CHAPELLIER Laboratore : Laboratore de Géophysque, Unversté de Lausanne Drecteur de thèse : Rchard LAGABRIELLE Laboratore Central des Ponts et Chaussées, Centre de Nantes Co-encadrant : Sergo PALMA LOPES Laboratore Central des Ponts et Chaussées, Centre de Nantes N ED 0367xxx

2 2

3 The dfference between theory and practce s smaller n theory than t s n practce. Scentfc folklore 3

4 AVERTISSEMENT La présente thèse a été préparée en cotutelle entre l'unversté de Nantes et l'unversté de Lausanne. A Nantes, le Laboratore d'accuel état le Laboratore Central des Ponts et Chaussées, membre de l'ecole Doctorale Mécanque, Thermque et Géne Cvl (MTGC). Conformément à la conventon de cotutelle sgnée entre les deux Unverstés, la soutenance a eu leu à Lausanne suvant le règlement de cette Unversté. Elle s'est déroulée en deux séances. La séance dte prvée le 25 jun 2004 devant le jury au complet qu a donné un avs favorable à la délvrance du dplôme conjont de docteur des Unverstés de Lausanne et de Nantes et autorsé la soutenance publque. La séance publque s'est déroulée le 16 jullet 2004, en publc, et devant un jury plus restrent (Prof. Henr Jors, Prof. Franços Frey, Prof. Domnque-Mare Chapeller et Dr. Rchard Lagabrelle) qu a confrmé la délvrance du dplôme de docteur. A la sute de ces soutenances, l'unversté de Nantes a chos comme date de délvrance du dplôme le 25 jun

5 AVANT PROPOS La recherche présentée c est le frut d un traval personnel durant lequel de nombreuses personnes sont ntervenues. Elles sont c chaleureusement remercées. Ma drectrce de thèse, Madame le Professeur Domnque Chapeller, Unversté de Lausanne, pour l amté et la confance qu elle m a accordées tout au long de ces années, son optmsme ans que son expérence des méthodes de prospecton électrque dont elle a su me fare profter. Mon drecteur de thèse, Monseur le Docteur Rchard Lagabrelle, Laboratore Central des Ponts et Chaussées (Nantes), pour son accuel à Nantes, ses recommandatons, ses consels ans que pour avor accepté de partager sa passon pour le problème nverse et les méthodes électrques. Monseur Sérgo Palma-Lopes, Laboratore Central des Ponts et Chaussées (Nantes), pour son ade, sa rgueur, ses consels, sa gentllesse mas auss sa grande dsponblté malgré les klomètres qu nous séparent. J espère contnuer encore longtemps nos fructueuses dscussons scentfques. Monseur le Professeur Henr Jors, Unversté de Lausanne, qu a accepté de présder le Jury de la présente thèse. Les membres du Jury, Messeurs les Professeurs Alan Tabbagh, Unversté Perre et Mare Cure (Pars VI) et Franços Frey, Ecole Polytechnque Fédérale de Lausanne ans qu à Monseur le Docteur Olver Grasset, Unversté de Nantes. Leurs ntérêts ans que leurs compétences reconnues dans les dvers aspects abordés dans ce traval ont perms de grandement amélorer la qualté de cet ouvrage. Monseur le Docteur Jean-Mchel Pau, Laboratore Central des Ponts et Chaussées (Nantes), qu m a gudé lors de mes premers pas dans la programmaton sous CESAR-LCPC et dont les dscussons sur les méthodes d optmsaton ont orenté de manère décsve le déroulement de ce traval. Monseur le Docteur Perre Humbert ans que toute la secton des Modèle Numérques du Laboratore Central des Ponts et Chaussées (Pars), pour m avor accuell et encadré lors de mes séjours dans la captale. Une pensée partculère à Monseur le Docteur Stéphane Rgobert pour sa dsponblté et son ade préceuse. Sa connassance détallée du code CESAR-LCPC a été détermnante pour le succès de ce traval. Monseur le Docteur Meng Heng Loke, Unverst Sans (Malase), pour les très nombreux échanges que nous avons eus durant ces années lors de travaux communs. J a pu également 5

6 bénéfcer de ses consels et de sa compétence reconnue dans le domane de l magere électrque. Je n ouble pas toute la secton Géophysque du LCPC pour son accuel amcal ans que tous mes collègues de l Insttut de Géophysque de l Unversté de Lausanne pour les moments agréables que nous avons passés ensemble. Une pensée partculère pour Ludovc Baron, avec qu j a eu de longues dscussons qu m ont perms d aplanr de nombreuses dffcultés ans que Francne Gass, qu a été ma collègue de bureau durant ces années et auss la relectrce attentonnée du manuscrt de la présente thèse. Je n ouble évdemment pas mes parents, ma sœur et mon ame qu chacun à leur manère m ont toujours adé et soutenu. Lausanne, jullet

7 TABLE DES MATIERES NOTATIONS 13 Grecques majuscules 13 Grecques mnuscules 13 Latnes majuscules 14 Latnes mnuscules 15 Dmensons 15 CHAPITRE I PRESENTATION 17 I.1 L IMAGERIE ELECTRIQUE 19 Résumé : L magere électrque 19 I.2 PROBLEME DIRECT ET PROBLEME INVERSE 20 Résumé : Problème drect et problème nverse 21 I.3 OBJECTIFS DU DEVELOPPEMENT 21 Résumé : Objectfs du développement 24 CHAPITRE II LA PROSPECTION ELECTRIQUE 25 II.1 HISTORIQUE DE LA PROSPECTION GEOELECTRIQUE 27 Résumé : Hstorque de la prospecton géoélectrque 28 II.2 PROPRIETE PHYSIQUE ETUDIEE 28 II.2.1 La résstvté en prospecton géophysque 29 II.2.2 La résstvté des tssus du corps human 30 II.2.3 La résstvté des matéraux du géne cvl 30 Résumé : Proprété physque étudée 30 II.3 PRINCIPE GENERAL DES MESURES 31 II.3.1 Acquston et représentaton des mesures 32 Résumé : Prncpe général des mesures 34 II.4 SENSIBILITE DES DISPOSITIFS ELECTRIQUES 35 II.4.1 Exemple de sensblté pour des dspostfs de surface 36 II.4.2 Exemples de sensblté pour des dspostfs de surface-forage 38 Résumé : Sensblté des dspostfs électrques 38 II.5 EQUATIONS FONDAMENTALES 41 II.5.1 Le courant électrque, la conductvté et la lo d Ohm 41 II.5.2 La formulaton de Maxwell pour l électromagnétsme 41 II.5.3 La formulaton de Maxwell pour des champs statques 43 II.5.4 Défnton du champ de potentel 43 II.5.5 Détermnaton du champ de potentel 45 II.5.6 Approxmaton électrostatque 46 Résumé : Equatons fondamentales 48 7

8 CHAPITRE III LA RESOLUTION DU PROBLEME DIRECT 49 III.1 SOLUTIONS AU PROBLEME DIRECT 51 III.1.1 Solutons analytques 51 III.1.2. Equatons ntégrales 52 III.1.3 Méthodes purement numérques 52 Résumé : Solutons au problème drect 53 III.2 RAPPELS SUR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS 53 III.2.1 Les formulatons ntégrales pour le problème électrque 54 III.2.2 Approxmaton par éléments fns 56 III Le mallage 56 III Les éléments et les fonctons d nterpolaton 57 III La formulaton dscrète 59 III Assemblage et résoluton 60 III L nterpolaton dans l élément de référence 60 III L nterpolaton dans l élément réel 62 Résumé : Rappels sur la méthode des éléments fns 64 III.3 PRESENTATION DU PROGICIEL CESAR-LCPC 65 III.3.1 Applcaton au problème électrque 66 Résumé : Présentaton générale du progcel CESAR-LCPC 67 III.4 LE PROGRAMME UTILITAIRE TOMELE 67 III.4.1 Problématque 67 III.4.2 Solutons apportées par TOMELE 69 III Aspect général du programme TOMELE 69 III Smulatons successves d une sére de cas de charge 70 III Electrodes ndépendantes du mallage 71 III Calcul des résstvtés apparentes 74 III.4.3 Conclusons 74 Résumé : Le programme utltare TOMELE 74 III.5 ARCHITECTURE DES MAILLAGES ET CONVERGENCE 75 III.5.1 Introducton 75 III.5.2 Les modèles complexes 77 III Type d éléments fns 77 III Imposton des condtons aux lmtes 78 III Dmenson des malles 84 III Varaton du contraste de résstvté 94 III.5.3 Conclusons pour les mallages 3D complexes 98 Résumé : Archtecture des mallages et convergence 99 III.6 EXEMPLE DE MODELE SYNTHETIQUE DE DIMENSION FINIE 100 Résumé : Exemple de modèle synthétque de dmenson fne 103 III.7 MESURES DIRECTES EXPERIMENTALES 103 III.7.1 Consttuants du modèle 104 III.7.2 Expérmentaton et mesures sur échantllon 104 III.7.3 Evaluaton numérque de la résstvté apparente 105 Résumé : Mesures drectes expérmentales 107 8

9 CHAPITRE IV LE PROBLEME INVERSE 109 IV.1 PRESENTATION DU PROBLEME INVERSE 111 IV.1.1 Stratéges d nverson non-lnéare 111 IV.1.2 Topographe de la foncton objectf 113 Résumé : Présentaton du problème nverse 114 IV.2 METHODES DE DESCENTE 114 IV.2.1 Méthode de plus grande pente 115 IV.2.2 Méthode de Newton 116 IV.2.3 Méthode de Gauss-Newton 117 IV.2.4 Modfcaton de Marquardt-Levenberg 118 Résumé : Méthodes de descente 119 IV.3 QUELQUES CARACTERISTIQUES DES MODELES 120 IV.3.1 Résoluton et varance de la soluton 120 IV.3.2 Modèle ntal 120 IV.3.3 Dscrétsaton 121 Résumé : Quelques caractérstques des modèles 121 IV.4 CHOIX D UNE STRATEGIE D INVERSION 121 IV.4.1 Les dfférentes stratéges d nverson pour le problème électrque 121 IV.4.2 Inverson non-lnéare par méthode de champ adjont 123 Résumé : Chox d une stratége d nverson 123 IV.5 LA METHODE DE L ETAT ADJOINT 124 Résumé : La méthode de l état adjont 126 IV.6 LA FONCTIONNELLE ET SON GRADIENT 127 IV.6.1 Problématque 127 IV.6.2 Chox de la foncton objectf E 127 IV Utlsaton du logarthme des résstvtés apparentes 128 IV Utlsaton drecte des résstvtés apparentes 135 IV.7 LE MODULE D INVERSION INVS 136 IV.7.1 Aspect général du module d exécuton INVS 136 IV.7.2 Le gradent de la foncton objectf 137 IV.7.3 Chox d une drecton de descente : les gradents conjugués 139 IV.7.4 Chox du pas d ajustement des paramètres 140 IV.7.5 Contrantes et nformaton a pror 141 IV.7.6 Crtères de convergence 142 Résumé : Le module d nverson INVS 143 CHAPITRE V FIABILITE DES RECONSTRUCTIONS 145 V.1 LA FIABILITE DES MODELES INVERSES 147 Résumé : La fablté des modèles nversés 147 V.2 LA METHODE DE GAUSS-NEWTON ET L INDICE ROI 148 V.2.1 Optmsaton du mallage et chox des paramètres 149 V.2.2 Exemples prélmnares 151 Résumé : La méthode de Gauss-Newton et l ndce ROI 154 9

10 CHAPITRE VI MODELISATION SYNTHETIQUE 155 VI.1 DONNEES COLLECTEES EN SURFACE 157 VI.1.1 Modèle pour la prospecton de surface 157 VI.1.2 Dspostf électrque chos pour la prospecton de surface 158 VI.1.2 Smulaton des données et paramètres d nverson 160 VI.1.3 Hétérogénété conductrce 160 VI.2.1 Hétérogénété résstante 165 Résumé : Données collectées en surface 167 VI.2 DONNEES COLLECTEES SUR DES STRUCTURES DE GEOMETRIE COMPLEXE 168 VI.2.1 Le modèle 168 VI.2.2 Dspostf électrque chos 169 VI.2.3 Utlsaton de dfférentes valeurs du pas d ajustement des paramètres 170 VI.2.4 Effet du modèle de départ 175 VI.2.5 Effet du brut de mesure 177 VI.2.6 Utlsaton d un modèle de référence 179 VI.2.7 Calcul de la régon d nvestgaton (ROI) 182 Résumé : Données collectées sur des structures de géométre complexe 183 CHAPITRE VII CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES 185 VII.1 APPORTS DU TRAVAIL 186 VII.1.1 Utlsaton de CESAR-LCPC pour la modélsaton électrque 186 VII.1.2 Modélsaton drecte 186 VII.1.3 Modélsaton nverse 187 VII.2 PERSPECTIVES 189 BIBLIOGRAPHIE 191 ANNEXE TECHNIQUE 203 Les éléments de CESAR-LCPC pour un problème de dffuson 205 Partculartés du progcel CESAR-LCPC 206 Partcularté du solveur 206 Condtons aux lmtes 206 Stockage de la matrce globale 207 Allocaton pseudo-dynamque des tables

11 Modélsaton drecte et nverse en prospecton électrque sur des structures 3D complexes par la méthode des éléments fns Ce traval a pour objectf la mse au pont d un ensemble d outls de modélsaton drecte et nverse en utlsant le code d éléments fns CESAR-LCPC. Ces outls sont adaptés aux données électrques collectées sur des structures 3D à géométres complexes. Pour le problème drect, un programme utltare servant d nterface avec le solveur CESAR a été créé afn de modélser des séquences de mesures électrques (tomographes). Ce programme permet l utlsaton d électrodes non stuées sur des nœuds. Les résstvtés apparentes sont obtenues par normalsaton sur un modèle homogène de résstvté unté ce qu permet d obtenr ce paramètre lorsque le calcul analytque du facteur géométrque est mpossble. Ces deux caractérstques smplfent la modélsaton sur des structures 3D à géométres complexes. De nombreux tests sur des mallages de forme varées ont également été effectués. Une procédure d élmnaton de la sngularté des sources ne pouvant être utlsée sur des structures à géométres complexes, un mnmum de 5 à 6 nœuds entre les électrodes d njecton de courant dot donc être utlsé pour garantr une bonne précson du calcul. De plus, la résstvté apparente calculée par normalsaton donne de melleurs résultats que l utlsaton du facteur géométrque. Afn de pouvor nverser un nombre mportant de données sur des modèles de grandes dmensons, la foncton objectf est mnmsée en utlsant la technque de l état adjont. Cette approche est orgnale car elle vse non pas le calcul des dérvées partelles en tant que telles, ce qu est tradtonnellement fat lors d nversons par mondres carrés, mas le calcul drect de la varaton à apporter aux paramètres du modèle, sans évaluaton explcte de la matrce de sensblté. Le module d nverson créé pour le progcel CESAR-LCPC est donc capable de calculer par éléments fns le champ de potentel électrque et le champ adjont sur le même mallage, avec les condtons aux lmtes et les sources approprées pour chaque champ. La drecton de descente est obtenue selon une méthode de plus grande pente pour la premère tératon pus par une méthode de gradents conjugués pour les tératons suvantes. Des données synthétques ont été utlsées pour valder cet algorthme d nverson. Ces smulatons montrent clarement que cet algorthme peut effectuer une nverson de manère robuste et donner un résultat satsfasant avec un effort de calcul rédut. Toutefos, des régulatons supplémentares dovent être ntrodutes dans le but d amélorer la qualté du résultat. Fnalement, la fablté du modèle reconstrut peut être évaluée par la technque de l ndce ROI (Regon Of Investgaton) qu utlse deux nversons successves en utlsant des modèles de références dfférents afn de défnr quels paramètres du modèle sont ben contrants pas les données. Dans ces régons, les deux nversons reprodusent la même valeur de résstvté et non pas le modèle de référence. Mots-clés : problème nverse, géophysque, résstvté, tomographe électrque, éléments fns, état adjont, optmsaton. 11

12 Forward and nverse resstvty modellng on complex three dmensonal structures usng the fnte element method Ths work presents the adaptaton and the use of the CESAR-LCPC fnte element code for the forward and nverse modellng of 3D resstvty data. These codes are better suted for magng structures wth complex geometres. The forward modellng code uses an electrode-ndependent mesh that allows to place the electrodes at ther exact locatons and to use a coarse mesh at the same tme. In ths approach, the choce for the mesh sze s solely governed by the need for accurate results. It s also possble to calculate apparent resstvtes, wthout the use of the geometrcal factor (that can be evaluated only for smple structures). To calculate apparent resstvty values, a normalsaton approach s used that gves sgnfcantly better results than the use of the geometrcal factor and allows the modellng of any knd of complex 3D structure. As a sngularty removal technque cannot be used on complex 3D models, a mnmum of 5 to 6 nodes between two current transmttng electrodes should be consdered to guarantee the qualty of the results. Synthetc results are presented to llustrate the effcency of the forward modellng technque. An nverson code was also presented for the processng of resstvty tomographes on complex 3D structures usng any electrode arrangement. Ths algorthm s well suted for the processng of large data sets wth a lot of unknown model parameters. The nverson code uses an orgnal strategy to avod the explct calculaton of a senstvty matrx. The adjontstate of the potental feld s used to mnmze an objectve functon for the electrcal nverse problem. Then, a steepest descent formulaton can be used for the frst teraton. Further teratons are carred out usng a conjugate gradent approach to mprove the convergence. As can be seen on synthetc data, a satsfactory reconstructon of the models can be acheved wth a mnor computatonal cost. Ths knd of nverse problem would have been very dffcult to solve usng a more tradtonal Gauss-Newton approach. Strateges are nevertheless needed to mprove the stablsaton of the nverse process and to nclude a pror nformaton n the problem. Fnally, a ROI (Regon Of Investgaton) ndex method s used to assess whether features n the model are caused by the data or are artefacts of the nverson process. Ths method carres out two nversons of the same data set usng dfferent values of the reference resstvty model. The two nversons reproduce the same resstvty values n areas where the data contan nformaton about the resstvty of the subsurface whereas the fnal result depends on the reference resstvty n areas where the data do not constran the model. Key words : nverse problem, geophyscs, resstvty tomography, electrcal magng, fnte elements, adjon-state, optmsaton. 12

13 NOTATIONS Nous défnssons c les notatons employées tout au long de ce mémore. Les untés sont celles du système nternatonal (S.I.). Certanes notatons, très spécfques ou utlsées durant un développement, ne sont pas mentonnées. Les vecteurs sont notés en gras. Le produt scalare entre A et B est noté AB. Le produt vectorel est noté A B. Les matrces sont également notées en gras. Nous utlserons de plus le terme de vecteur pour décrre une matrce lgne ou une matrce colonne. Grecques majuscules Γ frontère du domane Ω - Π fonctonnelle pour la formulaton varatonnelle - Φ porosté - Ω domane spatal étudé - Grecques mnuscules δ dstrbuton de Drac m -3 (en 3D) ε permttvté délectrque F.m -1 ε 0 permttvté délectrque du vde ( F.m -1 ) ε r permttvté délectrque relatve (ε=ε 0 ε r ) θ champ de température K λ facteur d amortssement - µ perméablté magnétque H.m -1 v varance - 13

14 ρ résstvté électrque Ω.m σ conductvté électrque S.m -1 ω fréquence angulare rad.s -1 Latnes majuscules A vecteur des ampltudes - B nducton magnétque T D déplacement électrque C.m -2 E champ électrque V.m -1 E foncton objectf - H champ magnétque A.m -2 I ntensté du courant électrque A J densté de courant A.m -2 K matrce globale - N matrce des fonctons de forme - Q charge électrostatque C S surface m 2 S w saturaton en eau - V champ de potentel V X matrce hessenne - Y matrce jacobenne du problème nverse (sensblté) - Y g matrce jacobenne de la transformaton géométrque - 14

15 Latnes mnuscules a ampltude - c source de chaleur J f fréquence Hz h gradent de la foncton objectf - k facteur géométrque m k t conductvté thermque W.m -1.K -1 n vecteur normal à une surface - p densté de charge électrostatque C.m -3 q flux de chaleur W.m -2 t temps s Dmensons A C F H Hz J K m S 1 ampère 1 coulomb 1 farad 1 henry 1 hertz 1 joule 1 kelvn 1 mètre 1 semens 15

16 V W Ω 1 volt 1 watt 1 ohm 16

17 CHAPITRE I PRESENTATION 17

18 18

19 I.1 L IMAGERIE ELECTRIQUE L objectf de l magere électrque (Electrcal Resstvty Tomography ou Electrcal Impedance Tomography) est la reconnassance multdmensonnelle des proprétés électrques ntrnsèques du mleu étudé (sol, échantllon de matérau ou parte du corps human par exemple). Dans cette méthode d auscultaton, un courant électrque est njecté au moyen d une pare d électrodes dans l objet étudé. Le champ électrque qu en résulte est une foncton de la dstrbuton de la conductvté dans le corps et est mesuré à l ade d un autre couple d électrodes. Les mesures sont ensute répétées en postonnant les électrodes à un autre endrot de l objet. Par une procédure d nterprétaton, nous cherchons alors à défnr la présence des hétérogénétés, plus ou mons résstantes, dans l objet qu ont nfluencé la répartton du champ électrque pour les dfférentes mesures. La prospecton électrque est couramment utlsée en géophysque dans le but de caractérser des fractures, détecter des cavtés ou des corps gelés, mager des ntrusons ou des mgratons d eau salée dans le sol, détecter la présence de vestges archéologques, étuder la structure des sols et de la proche surface ou encore délmter des décharges et déceler des mgratons de polluants dans le sol. Les technques d magere électrque susctent également un ntérêt grandssant pour l auscultaton des structures du géne cvl et de leur envronnement, qu elles soent en perre, en béton ou en terre. Dans ce cadre, la détecton de zones altérées et de la fssuraton représentent des enjeux mportants. Les méthodes électrques semblent ben adaptées à la mse en évdence d anomales de porosté ou à la présence de fssuraton, grâce au fort contraste de proprétés électrques que ces défectuostés mplquent. Le contrôle nondestructf de galeres, puts, plers de ponts ou éprouvettes de matéraux nécesste également l utlsaton de méthodes peu nvasves, rapdes à mettre en œuvre et de fable coût. La méthode de prospecton électrque respecte ces exgences, du mons lorsqu un contact électrque satsfasant peut être établ. Des recherches dans le domane de l magere électrque de processus ndustrels (Process Tomography) ou encore dans le domane de l magere électrque médcale (Electrcal Impedance Tomography) sont également en constant développement. Résumé : L magere électrque L magere électrque est la reconnassance multdmensonnelle des proprétés électrques ntrnsèques du mleu étudé au moyen d électrodes servant à applquer un courant électrque. Les perturbatons du champ électrque dans l objet étudé sont nterprétées comme une foncton de la dstrbuton de la conductvté dans le corps. Cette méthode, peu nvasve et de fable coût, est couramment utlsée en prospecton géophysque. 19

20 I.2 PROBLEME DIRECT ET PROBLEME INVERSE En scence expérmentale, nous cherchons à caractérser les paramètres physques d un objet en se basant sur une sére de données mesurées. En général, les los de la physque fournssent les bases nécessares permettant de prédre le résultat d une mesure en foncton d un modèle (un modèle est la représentaton smplfée ou déalsée de la réalté physque). Cette opératon porte le nom de problème drect. L opératon opposée, appelée problème nverse, consste à reconstrure un modèle à partr des données mesurées sur un objet. Ce type de reconstructon se rencontre très fréquemment en magere médcale. Un CT-scan (Computerzed Tomography Scanner) mesure par exemple la perte de pussance d une sére de rayons X passant au travers d un patent (problème drect). Nous chercherons ensute à reconsttuer une mage de la répartton des tssus explquant le meux les absorptons mesurées va une procédure d nverson. Dans la pratque, le trajet des rayons X est ndépendant des proprétés du corps (seule l absorpton compte). Une smple procédure de rétroprojecton le long des rayons rectlgnes sufft donc pour nverser les données. En tomographe électrque, la dstrbuton du courant sut les chemns de mondre résstvté et dépend donc des proprétés de l objet, ce qu sgnfe que le problème nverse est clarement non-lnéare et donc plus complqué à résoudre. Le problème nverse est fréquemment consdéré comme étant l opératon exactement opposée au problème drect. Dans un cas déal, l exste en effet une théore permettant de défnr comment passer des données au modèle. Malgré une certane élégance mathématque, de telles théores ne sont toutefos que rarement applcables dans la pratque. Il y a pluseurs rasons à cela. Premèrement, une telle soluton nécesste des stuatons exactes qu n apparassent que très rarement dans la pratque. Une sére de données réelles content toujours des erreurs et ces dernères peuvent se propager aux paramètres du modèle. De plus, le fat qu un nombre fn de données sot dsponble pour évaluer un modèle nécesstant une nfnté de degrés de lberté sgnfe que le problème nverse n est pas unque. De par l échantllonnage, qu peut être nadéquat, ou encore la qualté des mesures réelles, entachées d erreurs, les données ne contennent en général pas suffsamment d nformatons pour détermner un modèle de manère unvoque. Nous pouvons donc en conclure qu un modèle obtenu par nverson ne correspond pas nécessarement à la réalté que nous cherchons. Il faudra donc nclure dans le processus d nverson une procédure permettant d évaluer la fablté de la reconstructon par rapport à la réalté. La problématque complète devrat plutôt être schématsée à l ade du dagramme de la fgure 1.1. Notons r la réalté physque, m le modèle, d m les données mesurées et d c les données calculées (la réponse du modèle m). Le problème drect est donc l opératon permettant d obtenr d c connassant m ou d m connassant r. Une reconstructon d un modèle estmé m, à partr des données mesurées, consttue le problème d estmaton ou problème nverse au sens strct. Il est ensute nécessare de tester la fablté du modèle estmé par une opératon 20

21 d évaluaton. L estmaton du modèle et l évaluaton consttuent l opératon d nverson au sens large. Idéalement, toute procédure d nverson devrat comprendre une évaluaton du résultat obtenu (calcul de la propagaton de l erreur ou résoluton du résultat). Cela n est toutefos pas toujours facle à mettre en œuvre en pratque. En effet, les procédures d évaluaton n exstent parfos pas, notamment pour les problèmes non-lnéares, ou sont trop coûteuses en temps de calcul. Fgure 1.1 : Représentaton schématque de la problématque drecte et nverse. Résumé : Problème drect et problème nverse Le problème drect est l opératon permettant d obtenr une donnée mesurée relatvement à la réalté physque ou une donnée calculée (ou smulée) relatvement à un modèle synthétque. Une reconstructon d un modèle estmé à partr des données mesurées consttue le problème d nverson au sens strct. Le résultat de l nverson n est pas unque (de par la sous-détermnaton du problème ou l erreur des données) et l est de plus nécessare d évaluer la fablté du modèle obtenu. I.3 OBJECTIFS DU DEVELOPPEMENT Des arrangements standard d électrodes sont utlsées depus mantenant pluseurs décennes pour l auscultaton du sol en une ou deux dmensons (1D ou 2D respectvement). Les modèles obtenus apportent en général des nformatons très utles sur la structure nterne des objets étudés, dans la lmte où la réalté physque est effectvement un- ou bdmensonnelle. L utlsaton d une méthode d auscultaton en 1D sur un corps présentant des hétérogénétés trdmensonnelles peut en effet fare apparaître des artefacts dans le modèle. La fgure 1.2 montre un exemple de modèle nversé du sous-sol en 2D avec l nterprétaton géologque qu lu est assocée (Marescot et al., 2003b). Ce type de prospecton électrque de surface est très courant en géophysque, où beaucoup de structures géologques sont localement assmlables à des corps bdmensonnels. 21

22 Avec l augmentaton de la pussance de calcul ans que l améloraton constante du matérel de mesure, des prospectons géophysques de plus en plus complexes peuvent être envsagées. Alors que bon nombre de programmes d nterprétaton sont destnés à mager des structures smples (dem-espaces avec éventuellement des électrodes sous la surface et une topographe modérée), l devent de plus en plus envsageable de dsposer d algorthmes permettant des calculs sur des objets plus complexes. En effet, lorsque nous désrons ausculter la structure d un tunnel (par des mesures en galere), celle d un pler de pont, d une éprouvette de matérau ou encore d une structure au relef prononcé, l est ben dffcle d assmler l objet à un mleu smple (dem-espace par exemple). Les algorthmes d nverson tradtonnellement utlsés souffrent de fortes lmtatons quant à leur utlsaton sur ce type de structures. Fgure 1.2 : Exemple d magere électrque 2D en géophysque. Applcaton à la recherche d ancens cours d eau. Dans le cadre de ce traval de thèse en collaboraton entre le Laboratore Central des Ponts et Chaussées (LCPC) et l Insttut de Géophysque de l Unversté de Lausanne (IG), nous avons entreprs d adapter le progcel CESAR-LCPC pour le calcul drect et nverse de données électrques par la méthode des éléments fns sur des structures 3D à géométres complexes. Ce développement n est pas évdent, le code de calcul CESAR-LCPC n étant pas conçu pour cela. D un pont de vue pratque, ce traval de thèse devrat permettre l élaboraton d outls de modélsaton drecte et nverse meux adaptés à l auscultaton de structures présentant des géométres complexes que les codes actuellement dsponbles. Il est donc nécessare de ben cerner les besons des utlsateurs de tels outls afn de créer un code d nverson robuste et ben adapté. Ce traval respecte donc l axe de développement décrt dans le dagramme de la fgure 1.1. La résoluton du problème drect et du problème nverse sur des modèles 3D à géométres complexes va plus partculèrement engendrer les problèmes suvants : Comme la forme du champ électrque est nfluencée par la géométre de l objet étudé, l est ndspensable de pouvor représenter cette dernère de manère précse et détallée. La dstorson du champ électrque ne sera alors plus une source d erreur durant l nverson. La 22

23 méthode de résoluton drecte devra donc être capable de calculer la réponse d un modèle à géométre complexe, ce qu élmne par exemple bon nombre de méthodes de calcul analytques ou sem-analytques. Pour représenter le plus fdèlement possble l objet étudé, l sera ndspensable d utlser des modèles de formes très varables, composés d un grand nombre de paramètres (fgure 1.3). Il faudra également trouver des solutons au problème de la localsaton des électrodes dans un mallage à géométre complquée ou au problème du calcul de la résstvté apparente (un calcul explcte du facteur géométrque n exstant pas toujours). Un outl de modélsaton drecte va donc être nécessare afn de pouvor créer des séquences de mesures synthétques permettant de meux comprendre la réponse de dspostfs électrques non-conventonnels (c est-à-dre autres que ceux couramment utlsés dans la pratque). Cet outl de modélsaton va également être utlsé dans le but de générer des jeux de données pour tester l algorthme d nverson développé en seconde étape. Fgure 1.3 : Exemple de modèle à géométre complexe : détal de l ntersecton entre deux tunnels. Du pont de vue du problème nverse, le grand nombre de paramètres nconnus à détermner ans que le grand nombre de données mesurées mplquent un effort de calcul conséquent. Nous allons devor développer un algorthme spécfque permettant de rédure le temps de calcul et le stockage mémore nécessare. Fnalement, nous allons ensute mplémenter une méthode permettant de tester la fablté du modèle estmé sans évaluaton explcte de la matrce de sensblté. 23

24 Il faut encore relever que ce traval utlse une termnologe ans que des exemples propres à la géophysque. Toutefos, les développements et conclusons défns c sont asément transposables à d autres branches scentfques (domane bomédcal par exemple). Le traval s artcule de la manère suvante : Dans le second chaptre, quelques rappels théorques sont donnés sur la résoluton du problème drect pour le courant contnu ans que sur le prncpe de la mesure des proprétés électrques d un corps. Dans le trosème chaptre, nous décrvons la méthode des éléments fns (MEF) applquée à la résoluton du problème électrque pour des structures 3D. Le code de calcul CESAR-LCPC est ensute brèvement exposé et le programme que nous avons ms au pont afn de permettre la modélsaton drecte de séquences électrques est détallé. Fnalement des exemples de modélsaton drecte sur des structures smples et plus complquées sont donnés, afn d exposer quelques condtons d applcablté de la méthode. Le quatrème chaptre fournt des rappels théorques sur la résoluton du problème nverse électrque et les problèmes numérques qu en découlent. Une descrpton de la stratége d nverson chose est ensute explctée. Nous donnons alors une descrpton plus complète de notre algorthme et du module d nverson sous CESAR-LCPC créé pour ce traval. Le cnquème chaptre présente une approche permettant d évaluer le résultat d une nverson en évtant le calcul de la matrce de sensblté. Le sxème chaptre est consacré à la modélsaton synthétque drecte et nverse sur des structures 3D smples et complexes, afn de meux cerner les possbltés et les lmtes du code d nverson développé. En concluson, nous revenons sur les dfférents résultats obtenus et certanes perspectves souhatables à l avenr. Résumé : Objectfs du développement Ce traval de thèse a pour but la mse au pont d une sére d outls de modélsaton drecte et nverse pour les données électrques sur des structures trdmensonnelles à géométres complexes. Le progcel CESAR-LCPC sera adapté pour le calcul drect de données de tomographe électrque et un module d nverson spécfque sera élaboré. Ces outls devront tout d abord permettre la modélsaton de la résstvté apparente à partr de données collectées avec des dspostfs non-conventonnels, sur des structures à géométres complquées. En seconde étape, nous développerons un module permettant l nverson de ces données dans le cas de modèles possédant un grand nombre de paramètres nconnus. Une procédure permettant l évaluaton de la fablté de la reconstructon sera également présentée. 24

25 CHAPITRE II LA PROSPECTION ELECTRIQUE 25

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27 Les objectfs de cette parte sont la présentaton du prncpe de mesure de la résstvté ans que de la théore concernant l établssement des équatons fondamentales pour le courant contnu. Les dfférentes méthodes permettant la smulaton de mesures électrques sur un modèle de terran seront également brèvement décrtes. II.1 HISTORIQUE DE LA PROSPECTION GEOELECTRIQUE Les bases de la prospecton électrque en géophysque furent posées par Gray et Wheeler en 1720 qu, parm les premers, mesurèrent la conductvté de certanes roches. Un peu plus tard, en 1746, Watson constata que le sous-sol pouvat transporter un courant artfcel suvant la composton du terran. Le problème de la détermnaton de la résstvté électrque d un mleu non-homogène a été dscuté par Maxwell en Ce derner a soulgné l mportance de l utlsaton de quatre électrodes, plutôt que deux, pour mesurer la résstance générée par un courant dans un mleu conducteur trdmensonnel. Il faudra néanmons attendre le début du XX ème sècle pour que se développent de manère conséquente les méthodes électrques, notamment par l entremse de deux prncpales écoles. L école françase, la plus actve, connut son orgne en 1912 lorsque Conrad Schlumberger nta une sére d expérences dans le but de trouver des ressources mnérales par les méthodes électrques. Il mt tout d abord au pont la méthode de polarsaton spontanée, pus en 1914 celle des cartes de potentel (mse à la masse). Il ft en 1920 le premer relevé de résstvté électrque qu l applqua à la recherche mnère et pétrolère. Il fonda ensute la Socété de Prospecton Electrque en 1926, socété qu allat donner nassance un peu plus tard à deux grandes organsatons, la Compagne Générale de Géophysque de France (C.G.G.) et la Schlumberger Well Surveyng Corporaton. L école amércane fut nsttuée par Wells, Daft et Wllams en 1906, mas surtout en 1912 par Frank Wenner qu ft une étude théorque du système de mesure de résstvté électrque au moyen de quatre électrodes, ans que du théorème de récprocté applqué à ce système. Les Russes et Scandnaves ont également fat des recherches mportantes dans ce domane. A partr de cette époque, la prospecton électrque par courant contnu s est prncpalement concentrée sur la mse en œuvre et l nterprétaton des sondages électrques et des profls (ou cartes) de résstvté (Kunetz, 1966). Dans les années 1970, nous voyons apparaître une nouvelle représentaton des données sous la forme de panneaux électrques (Edwards, 1977). Il faut toutefos attendre le début des années 1990, et l mportant développement des moyens nformatques, pour que les méthodes d magere 2D et 3D assocées à des algorthmes d nverson performants se développent (Loke and Barker, 1996a et 1996b). Il n est sans doute pas exagéré d affrmer que l magere (ou la tomographe) électrque est à l orgne du nouvel essor que connaît actuellement la prospecton électrque par courant contnu (Dahln, 1993). 27

28 La prospecton électrque est actuellement couramment utlsée en géophysque dans le but d étuder l hydrogéologe d un ste (Marescot and Chapeller, 2003a et 2003b ; Marescot et al., 2003a), caractérser des fractures (Wang et al., 1991), détecter des cavtés ou des corps gelés (Marescot et al., 2001 ; Delaloye et al., 2003 ; Reynard et al., 2003), mager des ntrusons ou des mgratons d eau salée dans le sol (Bevc and Morrson, 1991), détecter la présence de vestges archéologques (Hesse et al., 1986), étuder la structure des sols et de la proche surface (Bendertter et al., 1994 ; Panssod, 1997 ; Bourennane et al., 1998 ; Panssod et al., 1998 ; Mchot, 2003) ou encore délmter des décharges et déceler des mgratons de polluants dans le sol (Daly et al., 1995 ; Daly and Ramrez, 1995 ; de Lma et al., 1995 ; Park, 1998 ; Chambers et al., 1999 ; Oglvy et al, 1999 ; Olaynka and Yaramanc, 1999 ; Slater et al., 2000 ; Chambers et al., 2002 ; Dahln et al., 2002). Les technques d magere électrque susctent également un ntérêt grandssant pour l auscultaton des structures du géne cvl (Draskovts and Smon, 1992 ; Johansson and Dahln, 1996 ; Mallol et al., 1999 ; Yaramanc, 2000 ; Yaramanc and Kewer, 2000 ; Dens et al., 2002 ; Lataste, 2002). Des recherches dans le domane de l magere électrque bomédcale sont également en constant développement (vor par exemple Lnderholm et al., 2004 ; Lonheart, 2004). Résumé : Hstorque de la prospecton géoélectrque Les méthodes de prospecton électrque, telles que le sondage ou le profl de résstvté, sont couramment utlsées depus un sècle. Avec l apparton récente de moyens nformatques performants, cette méthode d auscultaton géophysque connaît un renouveau sous la forme de prospecton et de modélsaton en deux ou tros dmensons. II.2 PROPRIETE PHYSIQUE ETUDIEE Les méthodes électrques ont pour but la détermnaton de la conductvté électrque σ (en S/m) des structures étudées. En prospecton électrque par courant contnu, le paramètre de résstvté électrque ρ (en Ωm), l nverse de la conductvté, est plus couramment utlsé. Dans ce qu sut, les termes de résstvté électrque et de conductvté électrque seront remplacés par les termes de résstvté et conductvté. La résstvté est la capacté d un mleu à s opposer au passage d un courant électrque. Cette résstvté dépend de dfférents facteurs tels que la qualté du flude, la saturaton, la porosté ou encore la température du mleu étudé (Keller and Frschknecht, 1966 ; Zhdanov and Keller, 1994). Dans le cas de la prospecton électrque en courant contnu, le courant électrque est prncpalement transporté par les électrons (conducton électronque dans les métaux) ou par les ons (conducton électrolytque dans les fludes). La résstvté des dfférents matéraux, nertes ou vvants, est donc une proprété physque varant dans de grandes proportons, ce qu consttue un atout majeur des méthodes 28

29 électrques. Dans la nature, la gamme des résstvtés est très étendue, varant de mons de 1 Ωm à pluseurs mllers d Ωm. II.2.1 La résstvté en prospecton géophysque Pour l auscultaton du sous-sol en géophysque, une relaton emprque fréquemment utlsée pour reler les dfférents paramètres du terran est donnée par la lo d Arche (1942) : ρ = ρ aφ S m n r w w (2.1) avec ρ r la résstvté du matérau, ρ w la résstvté de l eau d mbbton, Φ la porosté, a un facteur qu dépend de la lthologe et qu vare entre 0.6 et 2 (a < 1 pour les roches à porosté ntergranulares et a > 1 pour les roches à porosté de fracture), m un facteur de cmentaton (qu dépend de la forme des pores, de la compacton et vare entre 1.3 pour les sables non consoldés à 2.2 pour les calcares cmentés). S w est la saturaton en eau de la roche. L exposant n vare très peu avec les formatons, sa valeur est envron de 2 pour la plupart des formatons de porosté normale dont la teneur en eau est comprse en 20% et 100%. La lo d Arche a été élaborée dans le cadre de la prospecton pétrolère, où la résstvté de l eau est généralement très basse (eau mnéralsée). Pour des roches contenant de l eau douce, la présence d autres modes de conducton que le flude (argles ou métaux par exemple) peut rendre cette lo nexacte. De plus, la présence de partcules argleuses ou métallque rend le paramètre de la résstvté fortement dépendant de la fréquence (phénomène de polarsaton ndute). La fgure 2.1 donne un aperçu des dfférentes gammes de résstvté rencontrées en prospecton géophysque. Fgure 2.1 : Gamme des résstvtés couramment rencontrées en prospecton géophysque. 29

30 II.2.2 La résstvté des tssus du corps human L magere électrque médcale (Electrcal Impedance Tomography) est actuellement au centre d actves recherches, que ce sot pour mager l ntéreur du corps human ou étuder les proprétés d échantllons bologques. Les tssus bologques ont en effet la capacté de condure un courant électrque, ce derner étant ssu de la mse en mouvement par le champ électrque des ons de la parte aqueuse de l électrolyte ntra- ou nter-cellulare. Dans le domane bomédcal, cette proprété est en général caractérsée par le paramètre de la résstvté et de la permttvté, ben que, à relatvement basses fréquence, le paramètre de la résstvté seul pusse être prs en consdératon. A basses fréquences, la résstvté des tssus bologques dépend de la fréquence. Faes et al. (1999) proposent un récaptulatf des valeurs de la résstvté à 37 C, pour des fréquences varant de 100 Hz à 10 MHz. Nous pouvons noter une nette dfférence entre la résstvté du sang, des muscles ou des organes nternes, qu présentent des valeurs de la résstvté fables (entre 1.5 Ωm et 4 Ωm), et celles des os ou de la grasse, qu sont plus résstants car contenant mons d eau (>170 Ωm et 40 Ωm respectvement). Un bon contraste de résstvté semble donc exster entre ces tssus bologques. II.2.3 La résstvté des matéraux du géne cvl Les valeurs de la résstvté des matéraux utlsés en géne cvl varent également dans de grandes proportons. Nous donnons c quelques ndcatons sur les bétons, dont une étude complète a été effectuée par Lataste (2002). Le béton fras (non durc) est très conducteur (1 Ωm à 10 Ωm). Lorsque le béton durct, nous pouvons noter une rapde augmentaton de la résstvté, qu passe de 10 Ωm à 200 Ωm, pus cette varaton ralent dans le temps. Pour le béton durc âgé, la résstvté vare de 200 Ωm à Ωm selon le mélange utlsé pour le morter et les granulats, son état d'endommagement et d'humdté. Les armatures métallques, très fréquentes, rendent évdemment ces mleux assez complexes. On s'ntéresse d'alleurs plus souvent aux problèmes de corroson de ces armatures qu'aux proprétés ntrnsèques de la matrce. Plus un béton est conducteur (<100 Ωm), et plus la probablté de corroson des acers est mportante. Au-dessus de 1000 Ωm le rsque de corroson est néglgeable. Il est donc ntéressant d étuder la résstvté de ce matérau. Résumé : Proprété physque étudée La résstvté électrque est la capacté d un mleu à s opposer au passage d un courant électrque. Ce paramètre vare fortement dans la nature et dépend de nombreux paramètres physques (qualté du flude, saturaton, porosté ou encore température par exemple). La conductvté électrque est l nverse de la résstvté électrque. 30

31 II.3 PRINCIPE GENERAL DES MESURES La mesure de la résstvté d une structure s effectue en njectant un courant électrque dans celle-c au moyen d électrodes d njecton (souvent nommées A et B) et en mesurant la dfférence de potentel créée par le passage du courant au moyen d électrodes de mesure du potentel (souvent nommées M et N). Le nombre d électrodes, ans que leur agencement défnt le dspostf électrque utlsé. La confguraton du dspostf est chose selon la problématque de l étude. La dfférence de potentel dépend de l ntensté du courant njecté, de la dsposton des électrodes et de la résstvté électrque du matérau consttuant l objet étudé. Il est alors possble de dédure une répartton de la résstvté dans la structure en se basant sur la forme du champ de potentel. Dans le cas d un mleu théorquement homogène et sotrope, la résstvté mesurée correspond à la résstvté vrae du matérau, ce qu n est pas le cas pour des mleux hétérogènes. La noton d homogénété dépend toutefos de l échelle à laquelle le mleu est observé. Nous fasons appel, dans le cas d un mleu hétérogène, au concept de résstvté apparente. La résstvté apparente est le rapport du potentel mesuré sur le terran ( V) à celu calculé théorquement dans les mêmes condtons (même géométre des électrodes, même ntensté de courant) sur un terran homogène de résstvté 1 ( V 0 ). Le terme de résstvté apparente est relatvement mpropre. Le fat que cette grandeur at pour dmenson celle de la résstvté provent du chox de l unté pour la résstvté du mleu homogène, chox parfatement conventonnel. ρ app V = = k V 0 V I (2.2) Le paramètre k est appelé le facteur géométrque (en mètres) ; l permet l expresson de la résstvté apparente dans un espace de géométre smple (dem-espace par exemple, fgure 2.2). Il est défn pour un quadrpôle dont les électrodes sont sous la surface et pour un demespace homogène avec une lmte plane par : k = 4π AM AN BM BN A M A N B M B N (2.3) A et B étant les mages de A et B par rapport à la surface du sol (fgure 2.2). 31

32 Fgure 2.2 : Dspostf quadrpôle utlsé pour la mesure de la résstvté d un objet (domane). Nous pouvons encore rappeler l énoncé du théorème de récprocté en méthode électrque. Ce théorème fondamental ndque que le potentel mesuré en un pont M, dû à une source de courant localsée en un pont A, est égal au potentel mesuré au pont A dû à une source de courant de même ntensté localsée au pont M. Dans la pratque, le courant employé est rarement un vértable courant contnu. Pour paller les phénomènes de polarsaton spontanée et pour amélorer le rapport sgnal sur brut, un courant alternatf en créneaux ou snusoïdal basse fréquence est utlsé (de quelques fractons de hertz à quelques hertz). Cec est surtout valable lors de l utlsaton d électrodes à contact galvanque. Pour des nstruments de mesure capactfs, la fréquence utlsée peut être plus élevée. II.3.1 Acquston et représentaton des mesures En surface, les mesures peuvent être effectuées en gardant le centre du dspostf fxe et en écartant les électrodes d njecton (sondage électrque) ou en déplaçant un dspostf à écartement constant (traîné électrque). Avec la premère méthode nous obtenons la varaton de la résstvté en 1D sous le dspostf et avec la seconde méthode nous étudons les varatons latérales de ce paramètre. En combnant ces deux technques, l est possble de réalser des panneaux électrques, sensbles aux varatons tant vertcales qu horzontales de la sub-surface. Ces mesures sont habtuellement représentées sous la forme de panneaux électrques (ou pseudo-sectons en résstvtés apparentes). Les mesures sont partculèrement sensbles aux varatons de la résstvté sous le dspostf. Les ponts de mesure sont reportés à l aplomb du centre du dspostf et à une ordonnée proportonnelle à la dstance séparant les électrodes (AM/2 ou AB/2 par exemple) défnssant des nveaux d acquston. Les valeurs sont ensute nterpolées pour tracer les lgnes d sorésstvté (fgure 2.3). La détermnaton de la profondeur à laquelle placer les ponts de mesure donne cours à de nombreux débats. Une 32

33 méthode de postonnement vertcal des ponts est celle de la profondeur médane d'nvestgaton (Edwards, 1977) du dspostf utlsé. La profondeur médane d'nvestgaton, pour un mleu homogène, peut être consdérée comme étant la profondeur à laquelle la porton de terran stuée au dessus de cette lmte a la même nfluence que la porton de terran stuée au dessous. Cette profondeur médane n'a donc pas la sgnfcaton de profondeur d'nvestgaton (au sens de sgnal maxmal, Roy, 1972). Comme l a montré Barker (1989), la profondeur médane d nvestgaton semble être la manère la plus robuste par laquelle nous pouvons assocer une donnée mesurée et une profondeur. Un panneau électrque donne une mage très approxmatve de la répartton des résstvtés dans une structure. Cette mage est dstordue car elle dépend de la répartton des résstvtés dans l objet mas également du dspostf utlsé. Un panneau électrque est donc unquement une manère commode de représenter les résstvtés apparentes afn de trer quelques hypothèses sur la dstrbuton des résstvtés vraes. En effet, les formes engendrées par un objet dffèrent fortement en foncton du dspostf employé. C est la rason pour laquelle l est quasment mpossble d nterpréter correctement un panneau électrque non nversé. Il est juste possble de fare quelques hypothèses sur la dstrbuton des résstvtés apparentes. Cependant, une des utltés du panneau électrque est la possblté d'élmner sur ces profls les mauvases mesures de résstvté apparente. Ces dernères se marquent par des ponts de résstvté apparente anormalement haute ou basse par rapport à l'envronnement. Fgure 2.3 : Représentaton d un panneau électrque en 2D pour les mesures en surface. 33

34 Lors de mesures entre pluseurs forages ou entre un forage et la surface, les mesures sont sensbles aux varatons des proprétés électrques dans un plan stué approxmatvement entre les lgnes d électrodes. Le mode de représentaton des tomogrammes selon Pormeur (1986) peut être alors utlsé. Les ponts de mesure sont reportés sur un plan en deux dmensons en prenant la profondeur en abscsse. Pour des mesures entre deux forages, chaque forage devent un des axes du tomogramme. Les valeurs sont ensute nterpolées pour tracer les lgnes d sorésstvtés (fgure 2.4). Fgure 2.4 : Représentaton d un tomogramme en 2D pour les mesures entre forages. Dans le cas de mesures sur des structures 3D ou à géométres complexes, l peut être dffcle, vore mpossble, de représenter les données mesurées selon des panneaux électrques. Nous devrons donc souvent nous contenter de les représenter sous la forme de courbes de dstrbuton pour en fare l étude. Un exemple de smulaton de mesures sur une colonne est donné dans la fgure 2.5. La complexté du dspostf de mesure autour de la colonne rend mpossble toute représentaton des résstvtés apparentes sous la forme de tomogrammes. Résumé : Prncpe général des mesures Une mesure électrque s effectue au moyen d un quadrpôle d électrodes. Le sgnal mesuré va dépendre de l arrangement des électrodes ans que de la structure du mleu. Lorsque ce derner est hétérogène, une telle mesure donne une résstvté apparente et un tratement va être nécessare pour obtenr une mage de la répartton des proprétés électrques ntrnsèques du mleu. 34

35 Fgure 2.5 : Smulatons d une prospecton électrque sur une colonne. II.4 SENSIBILITE DES DISPOSITIFS ELECTRIQUES Il est souvent dffcle de détermner, a pror, quel est le melleur dspostf électrque à utlser lors d une prospecton. Les caractérstques de l nformaton collectée varent en effet suvant l agencement des électrodes (Dahln and Loke, 1998). Les proprétés d un dspostf donné peuvent toutefos être étudées en évaluant la sensblté de la mesure en un pont par rapport à une varaton des proprétés électrques du terran (Barker, 1979). Cette foncton nous permet de savor dans quelle mesure les varatons de la résstvté dans une régon nfluenceront la mesure de la dfférence de potentel. Plus la valeur de cette foncton de sensblté est élevée, plus son nfluence sera grande. Il est possble d évaluer analytquement les dfférentes sensbltés pour un sous-sol homogène de résstvté ρ en suvant la formulaton de Park et Van (1991). Loke et Barker (1995) ont montré qu une varaton dans le champ de résstvté du modèle provoquat une varaton dans le champ de potentel V pouvant être exprmée par : δv 1 = V V dω 2 δρ ρ Ω (2.4) où V est le potentel résultant d une source de courant d ntensté 1 stuée à la poston d un récepteur et Ω le domane étudé. 35

36 Une telle soluton analytque ne peut être évaluée que pour un espace (ou un dem-espace) homogène avec des électrodes en surface ou sous la surface. Pour un modèle non-homogène ou à géométre plus complexe, une évaluaton numérque des valeurs de sensblté, dérvées obtenues par dfférences fnes par exemple, peut être nécessare (Sptzer and Kümpel, 1997 ; Sptzer, 1998). Nous avons toutefos créé un programme pour calculer en 3D la sensblté de n mporte quel dspostf d électrodes dans le but de meux comprendre la réponse des dspostfs de mesures pour des modèles smples. Nous pourrons ultéreurement en trer quelques remarques et conclusons mportantes sur le gradent de la foncton d erreur à mnmser utlsée dans le module d nverson présenté plus lon. Les cas qu suvent ont donc unquement une valeur d exemple et ne représentent pas une étude exhaustve de la sensblté des dspostfs électrques. II.4.1 Exemple de sensblté pour des dspostfs de surface La fgure 2.6 montre la valeur de la foncton de sensblté pour dfférents agencements d électrodes en surface. Une très forte sensblté peut être remarquée à proxmté des électrodes de courant et de mesure. Cela sgnfe qu un corps stué vers les électrodes aura une nfluence majeure sur la mesure du potentel. Il est également possble de constater que les valeurs de cette foncton dffèrent selon les dspostfs. Ces derners vont donc avor chacun leurs caractérstques propres. Cec est surtout valable à plus grande dstance des électrodes. A proxmté mmédate des électrodes, la forme de la foncton de sensblté est semblable quel que sot le dspostf consdéré. La dfférence de forme de cette foncton nous permet donc de meux apprécer la réponse des dfférents dspostfs aux dfférents types de structures. En dspostf Wenner, les contours des valeurs de la sensblté sont quasment horzontaux à l aplomb du centre du dspostf. Cec mplque que le dspostf Wenner présente une bonne résoluton vertcale. En regardant les contours de la foncton de sensblté du dpôle-dpôle axal, nous constatons par contre que ce dspostf est très sensble à l aplomb des deux dpôles et que les contours de cette foncton sont essentellement vertcaux. Cec mplque que ce dspostf est très sensble aux changements horzontaux de la résstvté et donc déal pour détecter des structures vertcales. De plus, la sensblté se concentre unquement sous les dpôles lorsque la dstance entre ceux-c augmente. Un écartement maxmum entre les dpôles dot donc être envsagé. Le dspostf Wenner-Schlumberger est un hybrde entre le Wenner et le Schlumberger créé pour la tomographe électrque 2D de surface. Quand nous regardons la forme des contours des valeurs de la sensblté sous le centre du dspostf, nous constatons qu ls ne sont n horzontaux n vertcaux. C est donc un bon comproms entre le dspostf Wenner et le dpôle-dpôle axal. Nous pouvons constater également qu l y a des régons de sensbltés postves et négatves. Une régon avec une valeur de sensblté postve mplque que le sgne de la varaton du potentel est dentque au sgne de la varaton de la résstvté (une sensblté négatve mplque le contrare). Cela explque certanes nversons du sgne de l anomale qu peuvent 36

37 parfos être observées lors de mesures entre forages pour des corps 3D par exemple (Leroux, 2000). Une mage erronée du sous sol est alors obtenue s un algorthme d nverson 2D est utlsé pour nterpréter ce type de données. L utlsaton d un algorthme d nverson 3D se justfe alors amplement. Fgure 2.6 : Exemples de sensblté pour quelques dspostfs électrques couramment utlsés pour la prospecton de surface. 37

38 II.4.2 Exemples de sensblté pour des dspostfs de surfaceforage Dans la pratque, nous pouvons également mettre une parte ou toutes les électrodes sous la surface du sol (dans un forage par exemple) afn d amélorer la résoluton en profondeur (Danels, 1983 ; Le Masne and Pormeur, 1988 ; Pormeur and Vasseur, 1988 ; Bevc and Morrson, 1991). La sensblté de dspostfs surface-forage est donnée dans la fgure 2.7 (Marescot et al., 2002). Le dspostf pôle-pôle (M-A), qu possède unquement une électrode d'njecton de courant et une électrode de mesure du potentel, est fréquemment utlsé en tomographe. La forte sensblté négatve entre les électrodes de mesure peut être relevée. Nous pouvons remarquer que les autres dspostfs en surface-forage présentent également des sensbltés très varables. Contrarement à ce qu est généralement supposé, une très rapde dmnuton de la sensblté peut être relevée lon de la surface et du forage. Il est donc possble que nous surestmons souvent l utlté de ce type de dspostfs pour la prospecton géophysque (Asch and Morrson, 1989). Une analyse des sensbltés peut être également utle pour défnr s un dspostf est sensble aux effets latéraux. En effet, s cette sensblté aux effets latéraux est généralement néfaste pour des acqustons 2D, elle représente un atout en 3D. Nous pouvons dans ce cas évaluer s la parte de la subsurface stuée hors du plan du tomogramme aura une nfluence sur la mesure. Il sera nécessare de tenr compte de cela dans l archtecture des modèles utlsés pour le processus d nverson. Comme le montre la fgure 2.8 le dspostf MA-NB et plus sensble aux effet latéraux que le dspostf MN-AB par exemple. Des nformatons dentques peuvent être dédutes avec des dspostfs ayant toutes leurs électrodes sous la surface (Bng and Greenhalgh, 1997). Les dspostfs présentés c-dessus sont mantenant ben connus. Dans la pratque, et suvant le type d étude, n mporte quel agencement d électrodes peut toutefos être envsagé. Ces dspostfs non-conventonnels peuvent présenter des réponses nattendues ou surprenantes, pouvant parfos rendre le tratement de telles données très complexe. Nous pouvons cter par exemple l extrême sensblté de certans agencements d électrodes aux erreurs de poston et la dffculté de prévor le sgne de la résstvté apparente mesurée. Résumé : Sensblté des dspostfs électrques La foncton de sensblté d un dspostf nous permet de savor à quel pont les varatons de la résstvté dans une régon nfluenceront la mesure de la dfférence de potentel. Cette foncton ne peut être évaluée analytquement que sur un modèle homogène. L envronnement mmédat des électrodes partcpe de manère prépondérante à la mesure et selon les dspostfs, certanes régons de sensblté négatve peuvent provoquer une nverson de sgne de l anomale. De plus, la forme de cette foncton vare suvant les dspostfs utlsés. 38

39 Fgure 2.7 : Exemples de sensblté pour quelques dspostfs électrques dpôle-dpôle utlsés pour la prospecton entre la surface et un forage. 39

40 Fgure 2.8 : Les dfférentes sensbltés latérales pour les dspostfs électrques dpôle-dpôle utlsés pour la prospecton entre la surface et un forage. 40

41 II.5 EQUATIONS FONDAMENTALES Cette parte a pour objectf de rappeler les équatons de base qu régssent le comportement du champ électrque dans des mleux homogènes et hétérogènes. Ces équatons vont permettre, entre autres, de prédre les réponses électrques des mleux à l ade de calculs analytques ou numérques. Nous lmterons la descrpton de la théore de l électromagnétsme au cas de l approxmaton statque. II.5.1 Le courant électrque, la conductvté et la lo d Ohm Les méthodes électrques ont pour but la détermnaton de la conductvté électrque σ (en S/m) du sous-sol. Ce paramètre est défn par la lo d Ohm : la conductvté électrque correspond à la constante de proportonnalté entre le champ électrque E (V/m) applqué en un pont du mleu et la densté de courant J (A/m 2 ). J = σ E (2.5) Dans les expressons c-dessus, E et J sont des grandeurs vectorelles et σ une grandeur scalare (pour un mleu sotrope) ou un tenseur (pour un mleu ansotrope). Le courant électrque I (A) est noté comme étant le flux du vecteur J au travers d une surface S : I = S JdS (2.6) II.5.2 La formulaton de Maxwell pour l électromagnétsme J. C. Maxwell ( ) a réun sous la forme de quatre los les équatons fondamentales de l électromagnétsme. Ces los lent le comportement du champ électrque E (V/m), du champ magnétque H (A/m), du champ de déplacement D (C/m 2 ), du champ d nducton magnétque B (Wb/m 2 ) et de la densté de courant J (A/m 2 ). Tous ces champs sont des grandeurs vectorelles. En l absence de sources, l vent : B 1) E + = 0 lo d nducton de Faraday (2.7) t 2) D H = J équaton d Ampère-Maxwell (2.8) t 41

42 3) p J = avec p la densté de charges (2.9) t 4) B =0 (2.10) La trosème équaton de Maxwell peut également être exprmée par le bas du champ de déplacement D : et dans ce cas D = p (2.11) p J = = D (2.12) t t S nous consdérons des champs électrques et magnétques varant snusoïdalement dans le temps (t), nous pouvons écrre, avec ω la fréquence angulare : et t E() t = E e ω (2.13) t H() t = H e ω (2.14) En tenant compte de la proportonnalté entre les champs, avec ε la permttvté électrque et µ la perméablté magnétque, D= ε E (2.15) B= µ H (2.16) les équatons (2.7) et (2.8) s écrvent E= ω µ H (2.17) H = ω ε E+ σ E (2.18) Nous voyons que nous pouvons remplacer la conductvté σ et la permttvté ε par une conductvté complexe σ * et une permttvté complexe ε * : et σ = σ + ω ε (2.19) σ ε = ε + (2.20) ω 42

43 II.5.3 La formulaton de Maxwell pour des champs statques Dans le cas d un état statque, les équatons se smplfent consdérablement, car les dérvées temporelles s annulent : 1) E =0 (2.21) 2) H = J (2.22) 3) J =0 (2.23) 4) B =0 (2.24) II.5.4 Défnton du champ de potentel Dans la pratque, l est dffcle de mesurer drectement l ntensté d un champ électrque dans un mleu. Nous allons donc étuder le champ de potentel V qu est une grandeur étrotement lée au champ électrque. L équaton (2.21) montre que E dérve d un champ de potentel scalare V. Cette équaton exprme que le champ E est conservatf en vertu du théorème de Stokes (l ntégrale du champ électrque le long d un contour fermé est nulle). La défnton du champ E peut donc être exprmée par : E = V (2.25) Le champ scalare V est défn à une constante près, seules les dfférences de potentel entre deux ponts de l espace ont un sens physque. Ces dfférences de potentel peuvent être exprmées comme la crculaton du champ E entre ces ponts. En combnant l équaton (2.23) avec la lo d Ohm (équaton 2.5), nous obtenons : ( σ V ) 0 = (2.26) Lorsque le mleu est homogène et que la conductvté est la même dans tout l espace, nous obtenons : 2 V = 0 (2.27) qu est une équaton de Laplace. 43

44 Le potentel électrque est donc un champ scalare harmonque. Il vérfe certanes condtons aux lmtes, à l nterface de deux mleux où sont localsés deux ponts p 1 et p 2, que nous allons brèvement décrre plus lon. La formule de Laplace est valable dans un mleu homogène en l absence de sources de courant. En présence d une source de courant d ntensté I au pont r s, l équaton (2.27) devent : 2 = δ ( ) V I r r s (2.28) avec δ la dstrbuton de Drac à tros dmensons et r la poston d un pont quelconque de l espace. L équaton (2.26) est alors à remplacer par : ( σ ) δ ( ) V = I r r s (2.29) qu est une équaton de Posson. Dans le cas d un mleu hétérogène, la conductvté, et donc V, sont fonctons des coordonnées dans l espace. Dans la pratque, l espace est découpé en sous-domanes homogènes. A partr de la défnton de la tenson entre deux ponts, p 1 et p 2, stués de part et d autre d une frontère entre deux mleux, de conductvtés σ 1 et σ 2 respectvement, l est possble d obtenr l égalté suvante : V p1 p2 p2 V = Edl (2.30) p1 Lorsque les ponts p 1 et p 2 s approchent l un de l autre, les potentels devennent égaux : V = V (2.31) p1 p2 De plus, la composante normale de la densté de courant est contnue à la frontère : V σ n V = σ n p1 1 2 p2 (2.32) 44

45 II.5.5 Détermnaton du champ de potentel La résoluton du problème drect consste donc à détermner la répartton du champ de potentel V dans un mleu permettant le passage d un courant électrque. Ce problème s exprme, sous forme dfférentelle : Trouver le champ de potentel V défn sur le domane spatal d étude, noté Ω (fgure 2.9), tel que : ( σ V) = q (2.33) dans Ω, q étant une foncton de l espace de la forme I δ ( r r ) avec I s l ntensté d une source S, r s la poston de cette source, r la poston d un pont quelconque de l espace et δ la foncton de Drac, σ V n = J (2.34) sur Γ N la frontère dte de Neumann (frontère à flux nul), avec n le vecteur normal à la surface, V = V (2.35) sur Γ D la frontère dte de Drchlet (frontère à potentel mposé). s s s Fgure 2.9 : Représentaton schématque du domane et des frontères de Neumann et Drchlet. La soluton pour le champ de potentel V dot de plus respecter les condtons aux lmtes à l nterface de deux mleux de conductvtés dfférentes (équatons 2.31 et 2.32). Les condtons aux frontères dépendent de la forme de l espace utlsée. La condton de Neumann à l nterface ar-sol se tradut par V n = 0. La condton de Drchlet tradut le fat que le potentel a une valeur arbtrare constante (nulle par exemple) sur toutes les autres 45

46 frontères lorsque ces dernères sont lon des sources (V 0). Cette dernère condton nous force à créer des espaces très grands. Nous pouvons également affecter à ces valeurs les valeurs calculées pour un sol homogène ou encore tabulare (condtons mxtes). Nous remarquerons encore que ces condtons peuvent être naturelles (ce qu sgnfe que la formulaton du problème mplque qu elles sont vérfées) ou dovent être explctement ntrodutes (essentelles). II.5.6 Approxmaton électrostatque En méthode électrque par courant contnu (utlsant des fréquences allant jusqu à envron 150 Hz), un système d électrodes est généralement utlsé pour njecter le courant dans le mleu. Il faut dans ce cas s assurer du contact galvanque avec le mleu. Lors de l auscultaton de partes du corps human, de sols gelés, de mleux urbansés ou encore de bâtments (contrôle non destructf), une méthode permettant d obtenr des nformatons sur les proprétés électrques des structures, sans contact galvanque, dot être utlsée (Grard and Tabbagh, 1991). L utlsaton de quadrpôles électrostatques (un dpôle d njecton et un dpôle de mesure) permet de paller ce problème. Dans ce cas, les proprétés prses en compte sont la résstvté électrque, décrte plus haut, et la permttvté délectrque. Une alternatve à la prospecton électrostatque, dans ce type de mleu, est l utlsaton des méthodes électromagnétques proprement dtes. Toutefos, sur des structures très résstantes, les phénomènes d nducton sont fables et la réponse peut être dffcle à nterpréter. Il est donc nécessare de détermner sous quelles condtons un quadrpôle électrostatque donne les mêmes résultats qu un quadrpôle électrque classque (Tabbagh et al., 1993). Cela permettra de défnr s les outls de modélsaton développés dans ce traval peuvent être utlsés dans le cas de la prospecton électrostatque. Le potentel électrostatque est produt par un pôle qu peut être stué à la surface de l objet étudé ou encore dans l ar au-dessus de cet objet. Pour une charge électrostatque Q dans un mleu homogène, le potentel en un pont M s exprme par : V = Q 4 π ε R (2.36) 1 avec ε 1 la permttvté du mleu homogène et R la dstance entre la charge et le pont de mesure. A proxmté d un second mleu de permttvté ε 2 et s la séparaton entre les deux mleux est plane, l équaton du potentel se modfe de la manère suvante (Tabbagh et al., 1993), fgure 2.10 : 46

47 Fgure 2.10 : Confguraton de mesure en prospecton électrostatque. V Q 1 ε1 ε2 = + 4 πε1 R ε1+ ε2 1 R (2.37) S la charge est stuée dans l ar, le potentel est également exprmé dans l ar. Dans ce cas, ε 1 ε 0 avec ε 0 la permttvté délectrque du vde ( F.m -1 ). L ar peut être consdéré comme parfatement solant mas le sol n est pas un délectrque parfat. Nous avons alors : σ ε2 = ε0 εr + (2.38) ω avec ε r la permttvté relatve vrae et ω la fréquence angulare. La charge Q applquée au moyen d un courant alternatf I de fréquence angulare ω vaut : I Q = (2.39) ω En séparant cette expresson en parte réelle et magnare et en supposant qu à basse fréquence σ >> ω ε 0 et σ >> ω ε 0 ε r, nous pouvons noter : V Iρ I 1 1 = 2πR 4πωε R R 0 (2.40) Nous voyons alors que la parte réelle du potentel est drectement proportonnelle à la résstvté et que la parte magnare croît avec l épasseur d ar séparant l électrode du sol. L nfluence de la parte magnare décroît toutefos avec la dmenson du dspostf R. Nous devrons alors mesurer le potentel en phase et en quadrature par rapport à l ntensté njectée. Nous utlserons la parte en phase du potentel pour étuder les résstvtés du sol par les méthodes d nterprétaton en courant contnu. 47

48 Pour des pôles posés à la surface (R=R ), et à basse fréquence, l expresson du potentel devent : V I ρ (2.41) 2 π R ce qu est équvalent au cas de la prospecton électrque en courant contnu. Nous pouvons alors utlser la mesure en phase ou la valeur effcace du potentel pour étuder la résstvté et les méthodes d nterprétaton en courant contnu pourront être utlsées dans ce cas. En consdérant des dspostfs de mesure de quelques mètres, une gamme de résstvté nféreure à 5000 Ωm et une fréquence suffsamment basse (<100 khz en pratque), la résstvté est le terme domnant dans l expresson de la permttvté complexe (Leroux, 2000). Des applcatons dans le domane du contrôle non destructf ans que des applcatons en médecne, en géne cvl et en envronnement sont envsageables (Leroux, 2000). Résumé : Equatons fondamentales Le système dfférentel utlsé pour la résoluton du problème électrque peut être dédut des équatons de Maxwell sous la forme d une équaton locale (équaton 2.33) assocée à des condtons aux lmtes (équatons 2.34 et 2.35). Les champs sont consdérés comme statques (pas de varatons dans le temps). Ces équatons et donc les développements effectués dans ce traval peuvent également être utlsés pour des dspostfs électrostatques de fable dmenson (quelques mètres) pour des fréquences nféreures à 100 khz et des résstvtés nféreures à 5000 Ωm. 48

49 CHAPITRE III LA RESOLUTION DU PROBLEME DIRECT 49

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51 Après avor décrt la formalsaton des phénomènes électrques, nous allons mantenant montrer comment résoudre les équatons dfférentelles pour le champ de potentel. Une telle soluton permet de prédre une mesure en foncton d un modèle donné, opératon portant le nom de problème drect. La résoluton du problème drect est nécessare à une résoluton tératve du problème nverse. Un outl de modélsaton drecte est également très utle pour tester la réponse de dfférents arrangements d électrodes, ou encore l effet de dfférentes hétérogénétés pour planfer une prospecton. Une telle soluton au problème drect peut être obtenue par des méthodes analytques, sem-analytques, ou entèrement numérques. Les objectfs de cette parte sont la présentaton de dfférents aspects du problème drect électrque. La méthode de formulaton ntégrale ans que l approxmaton par éléments fns pour la résoluton du problème électrque sont décrtes en partculer. De plus, seule l utlsaton de modèles à éléments de volume (3D) est développée. La structure ans que l applcaton du code de calcul CESAR-LCPC pour le problème électrque sont exposées. Le programme permettant la modélsaton drecte de séquences électrques est ensute détallé et quelques exemples de modélsaton drecte sur des structures smples et plus complquées sont données afn d exposer quelques condtons d applcablté de la méthode. III.1 SOLUTIONS AU PROBLEME DIRECT III.1.1 Solutons analytques Un soluton analytque au système d équatons dfférentelles décrvant le champ de potentel dans un mleu conducteur peut être trouvée dans des cas très smples, présentant une symétre par rapport à un axe, un plan ou un pont. Nous entendons par là que la géométre des structures et des hétérogénétés est smple (sphère, cylndre nfn, falles, dyke, mleux tabulares horzontaux). Des exemples de solutons analytques pour une sphère nfnment conductrce peuvent être trouvées, par exemple, dans Scurtu (1972). Pour des mleux séparés par une nterface plane, nous pouvons applquer la méthode des mages. Nous pouvons ans défnr la valeur du champ de potentel pour un mleu comportant un nombre quelconque de couches (adaptaton de la formulaton de Stefanescu et Schlumberger (1930) par R. Lagabrelle, cté dans Leroux, 2000). La soluton donnée par une méthode analytque est une soluton fable de la répartton du champ de potentel. De plus, le temps de calcul nécessare à la résoluton du problème est généralement rédut. De par la smplcté du mleu modélsé, les solutons analytques ne peuvent pas décrre des modèles plus hétérogènes que ne le permet la méthode (en général un corps de géométre smple). Des modèles 3D à géométres complexes ne peuvent donc pas être décrts par ce type d approche. Toutefos, les solutons analytques peuvent servr à vérfer ou comparer dfférentes solutons 51

52 obtenues par des méthodes numérques. Pour des mleux plus complexes, des méthodes semanalytques peuvent être utlsées. La méthode des centres alpha en est un exemple (Stefanescu, 1970). Cette méthode connaît toutefos certanes lmtatons (Shma, 1990) et est donc assez peu utlsée. En effet, elle est partculèrement mal adaptée s les contrastes de résstvté sont forts ou s les corps modélsés présentent des lmtes très nettes. III.1.2. Equatons ntégrales Les méthodes d équatons ntégrales permettent de créer des modèles plus réalstes (vor par exemple Pormeur, 1986 ; Das, 1987 ; Lesur, 1995). La méthode des moments en est un exemple (Tabbagh, 1985). Dans la méthode des moments, des corps de formes quelconques, construts à partr d éléments paralléléppédques, sont plongés dans un mleu homogène ou tabulare. Seule la zone consttuant l anomale est dscrétsée, ce qu représente un ntérêt certan (temps de résoluton rédut) par rapport aux autres méthodes purement numérques qu nécesstent une dscrétsaton mportante de l espace. Le temps de résoluton des méthodes ntégrales augmente toutefos pour des hétérogénétés très complexes, fnement dscrétsées ou très étendues. Elles sont donc mons ben adaptées que les méthodes purement numérques à la prse en compte d un mleu globalement complexe. Les systèmes lnéares sont de dmensons plus modestes mas généralement mons creux que pour les méthodes numérques. Un condtonnement est donc souvent nécessare avant leur résoluton. III.1.3 Méthodes purement numérques Les méthodes purement numérques seront utlsées pour des modèles dont la géométre est très complexe en dscrétsant complètement le domane. Nous pouvons ans modélser des structures très dfférentes plongées dans des mleux qu ne sont pas nécessarement des demespaces homogènes. Il est alors possble de concevor des modèles de dmensons fnes dans l espace (modèles réduts, éprouvettes). Les méthodes numérques présentent le désavantage de nécesster un temps de calcul mportant ans que des besons en mémore très élevés. La méthode des dfférences fnes (Muft, 1976 ; Dey and Morrson, 1979 ; Sptzer, 1995 ; Loke and Barker, 1996a et 1996b) est couramment utlsée. Pour la méthode des dfférences fnes, nous résolvons l équaton de Posson sous sa forme dfférentelle. L espace est dvsé en un réseau de malles régulères unquement, ce qu est une des lmtatons de cette méthode. Des opérateurs de dfférentaton peuvent être obtenus à partr d un développement lmté. Ces opérateurs se servent ensute, pour exprmer le potentel (et ses dérvées) en un nœud, des valeurs aux nœuds vosns. La matrce du système lnéare ans obtenue est généralement creuse et peut donc être résolue par une méthode numérque approprée. 52

53 La méthode des éléments fns (Coggon, 1971 ; Fox et al., 1980 ; Prdmore et al., 1981 ; Holcombe and Jracek, 1984 ; Queralt et al., 1991 ; Sasak, 1994 ; Tsokas et al., 1997 ; Tsourlos et al., 1999) consdère l équaton de Posson sous une forme ntégrale et une soluton au problème est défne en mnmsant l énerge du champ électrque. L avantage de la méthode vent du grand chox de forme de malle à dsposton. Il est donc possble de représenter la forme réelle de la structure étudée quelle que sot sa complexté géométrque. Cette méthode semble donc être meux adaptée à notre objectf que la méthode des équatons ntégrales ou des dfférences fnes. L adaptaton du code d éléments fns CESAR-LCPC pour la modélsaton drecte et nverse est donc justfée. Résumé : Solutons au problème drect De toutes les méthodes de résoluton du problème drect, la méthode des éléments fns semble la meux adaptée à l nvestgaton de structures trdmensonnelles complexes. En effet, les méthodes analytques ne s applquent qu à des modèles smples et les méthodes d équatons ntégrales ne sont pas performantes pour mager des hétérogénétés très complexes. De plus, seules des malles régulères peuvent être utlsées dans la méthode des dfférences fnes. III.2 RAPPELS SUR LA METHODE DES ELEMENTS FINIS Il est mportant de relever que la verson standard de CESAR-LCPC ne permet pas de résoudre un problème sur un mallage 2D, où seules deux coordonnées de l espace varent, en utlsant des sources 3D. En effet, la source mposée sur un nœud est consdérée comme lnéque, c est-à-dre de dmenson nfne selon une drecton perpendculare au modèle. Pour obtenr une source trdmensonnelle, l serat nécessare d effectuer une transformée de Fourer selon la drecton perpendculare. Cette stratége est généralement utlsée pour effectuer des smulatons sur des mallages 2D. Actuellement, seules des mesures électrques effectuées avec des électrodes lnéques (Parasns, 1975) peuvent être smulées dans CESAR- LCPC pour des modèles 2D. Lors de smulatons sur un modèle représentant un dem-espace, la dfférence de potentel mesurée entre deux électrodes M et N vaut alors : ρi MB AN V = ln π AM BN (3.1) avec ρ la résstvté du modèle, I l ntensté du courant par unté de longueur, A et B étant les sources lnéques. 53

54 III.2.1 Les formulatons ntégrales pour le problème électrque Dans le cas où un problème n admet pas de soluton analytque, l est nécessare d évaluer une soluton approchée. Les méthodes d approxmaton ont pour objectf de remplacer un problème mathématque défn sur un mleu contnu (équatons dfférentelles ou ntégrales) par un problème dscret et réécrt sous forme matrcelle. Ce problème de dmenson fne peut alors être résolu numérquement par la méthode des éléments fns (MEF) par exemple. Pour résoudre un système d équatons dfférentelles en le dscrétsant, l est tout d abord nécessare de le mettre sous une forme ntégrale. Cette formulaton ntégrale permettra alors le calcul d une approxmaton par sous-régons pus l assemblage de ces sous-régons pour obtenr une soluton sur la totalté du domane. Les formulatons ntégrales obtenues sont strctement équvalentes au système d équatons dfférentelles ntal. L'ntérêt de la formulaton ntégrale est de tenr compte de l équaton locale et de tout ou parte des condtons aux lmtes. Lorsqu une formulaton ntégrale tent compte mplctement de certanes condtons aux lmtes, ces dernères sont dtes naturelles. Dans ce cas, l est nécessare de s assurer que le champ soluton vérfe les condtons aux lmtes restantes, dtes essentelles. Notons qu l exste pluseurs approches permettant d obtenr une formulaton ntégrale. La méthode des résdus pondérés (ou annulaton d'erreur) utlse comme pont de départ les équatons locales et les condtons aux lmtes du problème. La seconde approche est la méthode varatonnelle dont la formulaton mathématque est fondée sur des consdératons énergétques. La formulaton obtenue dépend ben entendu des hypothèses de modélsaton du problème physque. Dans le cas du problème électrque, ces deux approches donnent la même formulaton ntégrale (Zenkewcz and Taylor, 2000). La formulaton dfférentelle d un problème physque s exprme à l ade d équatons locales (à l ntéreur d un domane Ω) et de condtons aux lmtes (sur les frontères du domane Ω) (fgure 3.1). Nous rappelons que le problème électrque sous forme dfférentelle peut s énoncer ans : Trouver le champ de potentel V défn dans le domane Ω tel que : ( σ V) = q (3.2) dans Ω, q étant une foncton dans Ω de la forme I δ ( r r ) avec I s l ntensté de la source, r s la poston de la source, r la poston d un pont quelconque de l espace et δ la foncton de Drac : σ V n = J (3.3) s s s 54

55 sur Γ N la frontère de Neumann sur Γ D la frontère de Drchlet V = V (3.4) Fgure 3.1 : Représentaton schématque du domane total et d un domane élémentare. Nous utlsons c la formulaton varatonnelle pour le problème électrque pour obtenr une forme ntégrale. Cette méthode spécfe une fonctonnelle Π qu est défne par une forme ntégrale regroupant l équaton locale ans que la condton sur la frontère de Neumann. Il est possble de résoudre le problème électrque en exgeant la statonnarté (mnmsaton) de la fonctonnelle : 1 Π= σ V V + qv dω+ J V dγ 2 (3.5) N Ω Γ avec V = V et δ V = 0 sur Γ D la frontère de Drchlet. N La condton aux lmtes de type Neumann est prse en compte de façon naturelle. Le potentel soluton V est celu mnmsant la fonctonnelle Π et vérfant les condtons aux lmtes de Drchlet en certans ponts de la frontère du domane : ( ) 0 δπ= σ V δv + qδv dω+ J δv dγ = δ V (3.6) Ω avec V = V et δ V = 0 sur Γ D la frontère de Drchlet. Γ N Ans, le potentel soluton V dot vérfer cette équaton quel que sot le champ δv, varaton de V. Les champs V et δv dovent être admssbles, c est-à-dre contnus C 0 et vérfer les condtons aux lmtes. S des dérvées d ordre n apparassent dans l équaton locale ou les condtons aux lmtes, alors les fonctons utlsées dovent être choses telles que leurs dérvées d ordre n-1 soent contnues (contnuté C n-1 ). N 55

56 Nous remarquons que seule la statonnarté de la fonctonnelle est assurée par cette formulaton. Le fat de poser δπ=0 est une condton nécessare mas non suffsante pour une mnmsaton. III.2.2 Approxmaton par éléments fns Les codes d éléments fns font parte des outls couramment utlsés lors de l analyse de problèmes physques. Une analyse par éléments fns nécesste pluseurs étapes. L utlsateur désrant résoudre un problème par la méthode des éléments fns dot tout d abord créer un mallage fgurant le domane d étude. Cette étape est souvent très délcate car la qualté de l approxmaton par éléments fns dépend fortement de la structure de ce mallage. L utlsateur dot également mposer un certan nombre de condtons aux lmtes et défnr une sére de sollctatons. Une fos le problème ben défn, la résoluton du problème ntervent par l appel d un programme spécfque, le solveur. En général, cette étape se déroule sans nterventon extéreure. Une fos le résultat obtenu, l va ensute être nécessare d exploter les résultats en calculant et en représentant graphquement une sére de paramètres dérvés. Les ponts suvants de l approxmaton par éléments fns seront décrts plus en détal. L opératon de mallage, qu consttue souvent une des partes les plus délcates de la modélsaton, dot tout d abord être précsée. Les fonctons d nterpolaton, vértable pont central de l approxmaton par éléments fns, sont ensute décrtes. L expresson de ces fonctons d nterpolaton revendra régulèrement dans les développements effectués dans ce traval. Les opératons d assemblage et de résoluton sont ensute explctées afn de compléter la descrpton de la méthode. Fnalement, des ndcatons sur l nterpolaton dans l élément de référence ans que dans l élément réel sont données. Ces ndcatons sont nécessares à la compréhenson de la méthodologe de modélsaton drecte développée dans ce traval. III Le mallage L dée fondamentale de la méthode des éléments fns est de dscrétser le problème en décomposant le domane Ω à étuder en sous-domanes, de formes géométrques smples, appelés éléments fns. L ensemble des malles Ω e est donc une partton du domane Ω tel que Ω= Ω e. Les logcels d éléments fns dsposent d un malleur proposant des malles lnéques, surfacques ou volumques. Les malles dovent être ben proportonnées. Il est généralement adms que la dstorson de la malle, le rapport de la plus grande dmenson sur la plus pette, ne dot pas être excessve (de l ordre de 2). Les algorthmes de mallage automatque garantssent en général une fable dstorson, mas ce n est pas toujours le cas. Le mallage ne dot pas être nutlement fn et nous devons généralement fare un comproms entre la fnesse 56

57 de la représentaton géométrque et le coût en temps de calcul. Nous chosrons, en foncton des résultats escomptés, de maller fnement certanes régons et plus grossèrement d autres. Pour le problème électrque par exemple, l sera nécessare d utlser un mallage fn dans la régon où les mesures sont effectuées et un mallage plus grosser dans la régon servant à mposer des condtons aux lmtes à l nfn. La phase de mallage est sans doute celle où l on passe le plus de temps sur la défnton du problème. L expérence de l utlsateur, ans qu une certane dée du résultat du calcul, sont des facteurs mportants. Après examen des résultats du calcul, nous pouvons être amenés à recommencer un mallage ou à le remaner partellement. Un mallage satsfasant n est que rarement obtenu à la premère tentatve. III Les éléments et les fonctons d nterpolaton Nous avons vu précédemment qu l état possble d obtenr une formulaton ntégrale pour le problème électrque. Toutefos, cette formulaton est soumse à une condton très contragnante. En effet, le problème dot pouvor être résolu quelle que sot la valeur des fonctons δv. Or, en général, ce type de problème n a pas de soluton. Nous allons donc remplacer cette condton en cherchant à satsfare la formulaton ntégrale unquement pour certanes de ces fonctons. De plus, nous chosrons des fonctons fasant parte de l espace des fonctons admssbles. Cela sgnfe que nous restregnons cet espace aux seules fonctons qu respectent les condtons aux lmtes. La méthode des éléments fns donne une soluton approchée du champ de potentel qu est obtenue par juxtaposton des champs locaux V défns dans chaque élément. Un élément est une malle possédant un certan nombre de nœuds ans qu une famlle de champs locaux destnés à fournr une soluton approchée en tout pont de la malle en ne connassant que les valeurs d une soluton approchée aux nœuds. Le nombre de degrés de lberté (ddl) par nœud vare selon la nature du champ nconnu et la dmenson de l espace physque. Dans la sute de cet exposé, seul le cas du mallage volumque sera détallé. De plus, nous supposerons qu l n y a qu un seul ddl par nœud (champ potentel scalare). S le champ à nterpoler état vectorel ou tensorel, l y aurat alors un ddl par composante du champ et nous construsons des nterpolatons pour chaque ddl. Sur chaque élément e nous défnssons les approxmatons des champs V et δv suvantes : et V V" a N = = 1 n (3.7) n δv # δv = δa N (3.8) = 1 les fonctons N sont les fonctons de forme, n le nombre de nœuds de l élément, et a et δa sont les ampltudes assocées aux fonctons de forme. 57

58 L approxmaton présentée c utlse les mêmes fonctons de forme pour les champs V et δv (méthode de Galerkn) mas ce n est pas oblgatore. Ces chox donnent nassance à dfférentes méthodes de résoluton par éléments fns (et à dfférentes solutons approchées). Il est toutefos mpératf que ce chox génère un système d équatons réguler. Il est de plus désrable que ce système d équatons lnéares sot symétrque afn de permettre l utlsaton d algorthmes de résoluton effcaces. Enfn, les fonctons choses dovent être suffsamment dérvables suvant la formulaton ntégrale utlsée. Dans le cas où certanes dérvées s annulent, le système d équatons lnéares devent snguler. Pour la méthode de Galerkn, lorsque le problème est ben posé, nous sommes assurés de la régularté du système. Cette régularté du modèle mathématque assure des proprétés de convergence de la soluton cherchée, l'approxmaton étant d'autant plus précse que le nombre de nœuds augmente. La soluton approchée recherchée dot présenter une contnuté C 0. Cette condton peut être remple partellement en chosssant de mettre des nœuds sur la frontère des malles afn de garantr que la soluton approchée pour deux éléments vosns sot contnue au mons aux nœuds communs. Lors de l utlsaton d éléments conformes, nous garantssons de plus que l nterpolaton sur une frontère ne va dépendre que des nœuds de la frontère d un élément et non de nœuds stués au centre de ce derner. Le nombre de nœuds de la frontère dot donc être suffsamment mportant pour garantr la convergence du problème. n V V" = a N = Na (3.9) = 1 avec N la matrce lgne des fonctons de forme et a le vecteur des ampltude assocées aux fonctons de forme. L'approxmaton par éléments fns est donc une approxmaton nodale ne fasant ntervenr que les varables nodales du domane élémentare. Les nœuds sont donc les ponts de l'élément pour lesquels nous chosssons d'dentfer l'approxmaton du champ V à la valeur du champ de varables a. Nous en dédusons que V = a pour un nœud de l élément avec =1,n. Une caractérstque mportante de N peut être soulgnée c : 1; N( M j) = δj = 0; = j j (3.10) avec δ j le symbole de Kronecker et M j le nœud j. 58

59 III La formulaton dscrète Rappelons que la formulaton du problème électrque revent à trouver le champ de potentel V tel que Ω ( ) 0 σ V δv + qδv dω+ J δv dγ = δv (3.11) avec V = V et δ V = 0 sur Γ D la frontère de Drchlet. Γ N Dans cette formulaton, les fonctons δv et V apparassent sous la forme de leur gradent. Il sufft alors que les fonctons de base aent partout un gradent non nul. Des nterpolatons lnéares peuvent donc éventuellement être utlsées. De plus, seule la condton aux lmtes sur la frontère de Drchlet reste à mposer ce qu faclte grandement le problème. En effet, l sufft d mposer une valeur de potentel aux nœuds appartenant à la frontère consdérée. Dans la pratque, on mpose ces condtons aux lmtes en modfant la matrce obtenue fnalement pour résoudre le problème. Sur un élément e, l approxmaton suvante est alors utlsée : N V n = a N = 1 (3.12) et δv n = δa (3.13) = 1 N En substtuant ces expressons dans l équaton 3.11, nous obtenons alors pour un élément e : T (( ) σ ) N e N dω e a + J N dγ N = NqdΩ e = 1, n (3.14) e Ωe Γ Ω N Dans cette approxmaton, la valeur du champ de conductvté σ e peut varer dans chaque élément, ce qu n état pas le cas pour la formulaton dfférentelle. Ces ntégrales ne sont dfférentes de zéro que sur les éléments qu contennent le nœud et nous ne les calculons donc que pour ces éléments. Il faut également remarquer que ces ntégrales ne portent que sur les fonctons de base de l espace des fonctons d nterpolaton. L ntégrale curvlgne est nulle à la surface sol. La constructon des termes de la matrce globale consste essentellement en des calculs d ntégrales sur des éléments. En général, ces ntégrales sont évaluées numérquement. La méthode la plus courante est celle des ponts de Gauss. Pour un hexaèdre à 8 nœuds, nous 59

60 utlsons, dans le progcel CESAR-LCPC, 2x2x2 ponts d'ntégraton de Gauss, et 3x3x3 ponts de Gauss pour un hexaèdre à 20 nœuds. Pour les trangles en 2D, nous utlsons les ponts de Hammer. Pour les pentaèdres en 3D nous utlsons alors 3 ponts de Hammer dans le plan du trangle de base et 2 ponts de Gauss selon la trosème drecton. III Assemblage et résoluton L opératon d assemblage consste à construre le système lnéare des équatons à résoudre. Ce système est de la forme : avec K la matrce globale. Ka= F (3.15) Consdérons un mallage comportant m éléments et n nœuds. Les règles de l assemblage sont défnes par : K F j = = m e= 1 m e= 1 F K e e j = 1, n j = 1, n (3.16) avec K e et F e les valeurs de la matrce globale et du terme source, évaluées sur chaque élément. Une fos l assemblage effectué, le problème se ramène à la résoluton d un système d équatons lnéares, généralement de grande talle, en utlsant une méthode drecte ou tératve. Lorsque le système est lnéare et symétrque, une décomposton de Cholesky peut être utlsée lors de la résoluton du problème. III L nterpolaton dans l élément de référence De façon à unformser et à automatser les calculs pour obtenr un gan de temps de calcul, nous construsons tout d abord un espace de fonctons d nterpolaton sur une malle de référence, topologquement équvalente à la malle réelle. Le passage de l'élément de référence à l'élément réel sera réalsé par une transformaton géométrque. Nous entendons par élément réel un élément quelconque du domane dscrétsé. Dans la pratque, un logcel d éléments fns possède des bblothèques dans lesquelles les nterpolatons dans les malles de référence sont déjà défnes et n ont plus à être recalculées. Nous transformons ensute cet espace de fonctons d nterpolaton sur une malle de référence pour qu l devenne un espace de fonctons d nterpolaton sur les malles réelles. Les malles de référence volumques les plus courantes sont données dans la fgure

61 Fgure 3.2 : Les prncpaux éléments de référence pour les mallages de volume. Les bases polynomales sont défnes dans l espace de référence. Pour utlser une base polynomale complète, le nombre de termes dot être égal au nombre de varables nodales à dentfer. Des bases polynomales ncomplètes peuvent également être utlsées (bases trlnéares par exemple). Pour des malles volumques, la foncton d nterpolaton est un polynôme à tros varables ξ, η, ζ. Pour une approxmaton lnéare, la base polynomale utlsée est : (1, ξ, η, ζ) valable pour 4 varables nodales. Pour une approxmaton quadratque, la base polynomale utlsée est : (1, ξ, η, ζ, ξ 2, η 2, ζ 2, ξζ, ξη, ηζ) valable pour 10 varables nodales. Pour une approxmaton tr-lnéare, la base polynomale utlsée est : (1, ξ, η, ζ, ξη, ξζ, ηζ, ξηζ) valable pour 8 varables nodales. Le chox du degré d nterpolaton ncombe généralement à l utlsateur. Pour un mallage donné, la soluton approchée obtenue est ben melleure s nous utlsons des approxmatons quadratques à la place d approxmatons lnéares. Pour obtenr une soluton de melleure qualté avec des nterpolatons lnéares, l est nécessare d utlser un mallage plus fn. 61

62 III L nterpolaton dans l élément réel Il convent mantenant de construre des fonctons d nterpolaton sur l élément réel en utlsant les nterpolatons défnes sur l élément de référence. Comme les coordonnées des nœuds de l élément de référence sont dfférentes de celles de l élément réel, une transformaton géométrque f est nécessare. Cette transformaton dot être une bjecton. Elle dépend des coordonnées des nœuds géométrques de l'élément réel et utlse généralement une base de fonctons polynomales. Un élément réel peut être défn comme l'mage, par une transformaton géométrque, d'un élément de référence pour lequel les fonctons d'nterpolaton sont connues (fgure 3.3). Un même élément de référence permettra de générer une classe d'éléments réels. A chaque élément réel correspond une transformaton géométrque dfférente. ( ξ, ηζ, ) ( ξ, ηζ, ) ( ξ, ηζ, ) x fx y = fy z f z (3.17) Nous pouvons utlser les fonctons de forme qu ont déjà été défnes pour représenter les varatons du champ nconnu. Nous pouvons donc noter pour chaque élément : x1 y1 z1 x= N x 2 = N x y = N y 2 = N y z = N z2 = N z $ $ $ (3.18a, b et c) Pour des éléments réels présentant une géométre complquée, nous chosssons une transformaton qu est nversble et qu respecte la correspondance des nœuds. La correspondance des frontères, qu est complquée à trouver, n est en général pas respectée. Pour les éléments volumques, cela mplque que les arêtes et les faces transformées sont dfférentes des arêtes et des faces réelles. En utlsant cette transformaton géométrque, l élément de référence n est alors qu une approxmaton géométrque de l élément réel. Seuls les nœuds correspondent et les autres ponts sont dstncts. Nous noterons que s l élément réel est fortement dstordu, cette transformaton peut ne pas mener à un résultat unque. Nous pouvons vérfer cela en nous assurant que le sgne du détermnant de la matrce jacobenne (défne plus lon) reste nchangé dans un même élément. 62

63 Fgure 3.3 : Passage d un élément de référence à un élément réel. L élément est dt soparamétrque s N=N. L nterpolaton des coordonnées peut également être de degré nféreur (éléments subparamétrques) ou supéreur (éléments superparamétrques). Comme nous l avons vu plus haut, les matrces élémentares font apparaître des opérateurs dfférentels applqués aux fonctons d nterpolaton dans les éléments réels. En pratque, nous connassons les dérvées des fonctons d'nterpolaton par rapport aux coordonnées de l'élément de référence. Il nous faut alors exprmer les dérvées des fonctons d'nterpolaton par rapport aux coordonnées réelles. Consdérons le système de coordonnées locales ξ, η, ζ et le système de coordonnées globales x, y, z : N N x N y N z = + + ξ x ξ y ξ z ξ (3.19) En effectuant la transformaton respectvement aux deux autres coordonnées, nous obtenons sous forme matrcelle : N x y z N N ξ ξ ξ ξ x x N x y z N N = = Y g η η η η y y N x y z N N ζ ζ ζ ζ z z (3.20) 63

64 et N N x ξ N 1 N = Yg (3.21) y η N N z ζ avec Y g la matrce jacobenne de la transformaton géométrque. La parte gauche de l expresson précédente peut être évaluée car les foncton N sont spécfées en coordonnées locales. Comme x, y et z sont données par la relaton défne en coordonnées curvlnéares, la matrce jacobenne peut auss être exprmée en coordonnées locales. La relaton nverse va donc permettre de calculer les dérvées premères par rapport aux coordonnées globales. Le calcul des dérvées dans l élément réel nécesste donc l nverson de la matrce jacobenne pour chaque élément. Une sngularté de Y g peut apparaître lorsque l'élément réel est trop dstordu par rapport à l'élément de référence (élément dt dégénéré). De façon générale nous évterons d'utlser des éléments dsproportonnés, car ls nusent à la précson numérque du modèle (dstorson maxmale de l ordre de 6 ou 10). Il va de même être nécessare de ramener les ntégrales sur l élément réel à des ntégrales sur l élément de référence. S nous posons Ω comme étant l approxmaton géométrque de l élément réel et Ω celle de l élément de référence, l est possble de passer de l'ntégraton d'une foncton f défne sur l'élément réel à l'ntégraton sur l'élément de référence par le changement de varable suvant : Ω ( ) ( ξηζ) g f xyz,, dω= f,, dety dω (3.22) Ω Résumé : Rappels sur la méthode des éléments fns Pour résoudre un problème en utlsant la méthode des éléments fns, l est tout d abord nécessare de transformer le système d équatons dfférentelles en une formulaton ntégrale (ou varatonelle). Cette formulaton fable a l avantage de regrouper l équaton locale (équaton de Posson) et une parte des condtons aux lmtes (condton de Neumann) sous la même ntégrale. Cette formulaton varatonelle peut ensute être dscrétsée en un ensemble d éléments fgurant le domane d étude en notant toutefos que la créaton d un mallage n est pas une opératon évdente. Le champ de potentel scalare est évalué à l ade de fonctons d nterpolaton sur les éléments, ces fonctons étant défnes aux nœuds des éléments. La résoluton du problème est smplfée par l utlsaton d éléments de référence, qu ont une géométre plus smple que les éléments réels. Des transformatons géométrques permettent de passer des éléments de références aux éléments réels. Nous pouvons fnalement noter que la convergence du problème peut 64

65 être admse. En effet, lorsque l ordre des fonctons d nterpolaton augmente ou que le nombre d éléments s accroît, l approxmaton tend vers la soluton exacte. III.3 PRESENTATION DU PROGICIEL CESAR-LCPC Le développement du progcel CESAR-LCPC a débuté dans les années 1980 et l a défntvement succédé au système ROSALIE (développé au LCPC de 1968 à 1983) lors de la dffuson de la verson 2.0, à partr de L utlsaton ntensve de ce progcel durant de nombreuses années en assure donc la valdaton. CESAR-LCPC (verson 3.x) est la verson utlsée dans ce traval. Sous ce nom se regroupent le pré-processeur MAX, le code de calcul par éléments fns CESAR, le post-processeur PEGGY et de nombreux programmes utltares. Ces dfférents programmes communquent entre eux par l'ntermédare de bases de données. Réalser une modélsaton avec CESAR-LCPC (verson 3.x) se tradut en général par l'enchaînement des étapes suvantes (fgure 3.4) : a) utlsaton du pré-processeur MAX pour la génératon des données du code de calcul CESAR (mallage et jeu de données) ; b) lancement du code de calcul par éléments fns CESAR pour effectuer la résoluton numérque du problème étudé ; c) utlsaton du post-processeur PEGGY pour l'explotaton des résultats sur écran graphque et la réalsaton des sortes graphques sur traceur. Fgure 3.4 : Structure de CESAR-LCPC, verson 3.x. 65

66 III.3.1 Applcaton au problème électrque La modélsaton électrque est possble dans CESAR-LCPC car l équaton de Posson, pour les problèmes thermques et électrques, s écrt : ( k θ) = c δ ( r ) t r s équaton de Posson pour le problème thermque (3.23) ( σ V) I δ ( r rs ) = équaton de Posson pour le problème électrque (3.24) avec k t la conductvté thermque, θ le champ de température, σ la conductvté électrque et V le champ de potentel. Les sources de chaleur (c) et de courant (I) sont des sources ponctuelles volumques. Nous pouvons donc vor que les problèmes thermques et électrques sont des problèmes de dffuson et qu en régme statonnare, ls sont régs par la même équaton de Posson. De même, on notera que le flux de chaleur q est comparable à la densté de courant : q = kt θ flux de chaleur (3.25) J = σ V densté de courant (3.26) Les condtons aux lmtes (frontères de Drchlet et Neumann) sont également smlares. La smltude des problèmes électrques et thermques nous permet d utlser le module d exécuton LINE (calcul du problème lnéare en régme permanent). Ces problèmes sont lnéares car la forme de l équaton de dffuson ne fat ntervenr que des opérateurs et des relatons lnéares par rapport au champs V et θ solutons. Nous noterons que le module d exécuton DTLI (résoluton d'un problème de dffuson transtore lnéare par ntégraton drecte) peut être utlsé de manère équvalente à LINE lorsqu un pas de temps est consdéré (approxmaton contnue). Sous ces condtons, les dérvées par rapport au temps sont élmnées et le coeffcent d emmagasnement local de chaleur dsparaît. Pour les problèmes de dffuson, cnq famlles d éléments sont proposées par CESAR. Pour le problème électrque en tros dmensons, la Famlle 22 est la meux adaptée. Les éléments fasant parte de cette famlle sont les hexaèdres à 8, 20 ou 27 nœuds, les pentaèdres à 6, 15 ou 18 nœuds et les tétraèdres à 4 ou 10 nœuds. Une descrpton plus complète de cette famlle d éléments se trouve dans l Annexe Technque en fn de traval. Dans CESAR, les éléments du mallage dovent être réparts en groupes, en foncton de leurs caractérstques physques et géométrques. Un groupe désgne donc un ensemble d éléments appartenant à une même famlle et possédant une même lgne de proprétés. La noton de 66

67 groupe est donc fondamentale pour la créaton de modèles. Deux éléments ayant des conductvtés dfférentes dovent en effet être affectés à deux groupes dstncts. Résumé : Présentaton générale du progcel CESAR-LCPC Le module d exécuton LINE, qu permet la résoluton d un problème de thermque lnéare, peut être utlsé pour la résoluton du problème drect électrque. Dans CESAR- LCPC, les éléments possédant une même lgne de proprétés sont rassemblés dans des groupes. Deux éléments ayant des conductvtés dfférentes dovent donc être affectés à deux groupes dstncts pour la modélsaton. III.4 LE PROGRAMME UTILITAIRE TOMELE Comme nous l avons décrt plus haut, les modules d exécuton LINE et DTLI sont capables de résoudre un problème de dffuson tels que le problème thermque ou électrque. Toutefos, la smulaton d un grand nombre de couples source et de ponts de mesure est très fastdeuse (vore mpratcable) dans la verson standard de CESAR-LCPC. Il n est par exemple pas possble de lre une séquence d acquston et cette dernère dot être entrée manuellement. Sans compter que la modfcaton manuelle du jeu de données n est pas asée car l est nécessare de connaître le numéro de nœud de chaque électrode de courant. Or l utlsateur ne connaît en général que la poston spatale des électrodes. La lecture des valeurs de potentel assocées à chaque couple source souffre du même problème. Fnalement, une constructon manuelle du jeu de données ne permet pas de profter de toutes les possbltés offertes par la méthode des éléments fns. Il est donc ndspensable de créer un programme utltare permettant d effectuer ces smulatons de manère automatque. Nous avons construt le programme utltare de modélsaton drect TOMELE (pour TOMographe ELEctrque) qu respecte l archtecture des programmes utltares de CESAR- LCPC. Nous noterons toutefos que ce programme, envsagé au début du traval comme un smple utltare, s est ensute enrch de nouvelles fonctonnaltés et a évolué comme un vértable outl de modélsaton couplé au solveur CESAR. Dans cette optque, l aurat pu être conçu comme un module d exécuton de CESAR-LCPC. III.4.1 Problématque Nous allons défnr les prncpaux problèmes devant être résolus par TOMELE. Dans la pratque, l utlsateur désre souvent utlser la même séquence d électrodes pour dfférentes smulatons. Dans ce cas, une seule sére d électrodes avec une localsaton donnée est utlsée pour dfférents modèles EF. Inversement, l est auss parfos ntéressant de changer la poston 67

68 des électrodes tout en gardant le même modèle EF. Lorsque les sources ponctuelles et les électrodes de mesure du potentel sont placées sur les nœuds de la malle EF (fgure 3.5), la géométre de cette malle dot être adaptée à l agencement spatal de chaque confguraton d électrodes. Nous effectuons cela en utlsant des éléments possédant des géométres partculères ou en raffnant la malle afn de permettre une approxmaton précse de la poston des électrodes. Toutefos pluseurs problèmes peuvent survenr en chosssant l une ou l autre de ces approches. Premèrement une malle très fne mplque une grande quantté d éléments, ce qu nécesste d mportantes ressources nformatques pour la résoluton du problème. En fat, l est souvent judceux de lmter le nombre d éléments lors de la créaton d un modèle trdmensonnel. Deuxèmement, l est souvent dffcle de reprodure avec précson une mplantaton expérmentale mplquant une géométre complexe. En effet, la présence de structures à géométres complexes, d obstacles, de topographe ou encore la courbure des forages (dans le cas de mesures en forage) empêche fréquemment une mplantaton rectlgne ou régulère des électrodes. Il est donc dffcle de fare correspondre les postons d électrodes et les nœuds du mallage et l utlsaton des algorthmes de créaton automatque de mallage du pré-processeur est souvent mpossble. Il y a de plus des rsques de créer des éléments dégénérés. Fnalement, nous pouvons auss constater que la nécessté de fare coïncder les électrodes et les nœuds du mallage mplque généralement la créaton de nouveaux mallages pour chaque jeu d électrodes. La melleure soluton à ce problème est l utlsaton d électrodes ndépendantes du mallage EF. Cette dée a déjà été envsagée par Sptzer et al. (1999) pour des modélsatons en dfférences fnes et Pan et al. (2002) pour des modélsatons en éléments fns. Dans le cas d électrodes ndépendantes du mallage, le chox de la dmensons des malles est unquement gouverné par la nécessté d avor des résultats précs. Cette proprété consttue un avantage ndénable pour une modélsaton sur des structures à géométres complexes. Fgure 3.5 : Tros approches pour l applcaton de sollctatons électrques sur un mallage EF. 68

69 Dans le cas de mesures en 3D sur des structures à géométres complexes, telles que des mesures en forages oblques, en galere, sur des ouvrages de géne cvl (contrôle nondestructf) ou encore des éprouvettes, nous devons pouvor obtenr le paramètre de la résstvté apparente de la manère la plus souple possble. En effet, le paramètre de résstvté apparente est très famler pour le géophyscen et permet ans une bonne compréhenson du problème. Durant le processus d nverson, l utlsaton de la résstvté apparente, plutôt que la résstance, est également recommandée. Dans un dspostf pôle-pôle par exemple, de grandes valeurs de potentel sont obtenues lorsque les électrodes d émsson et de récepton sont proches et les données mesurées sont donc essentellement sensbles à l envronnement mmédat des électrodes. De fables valeurs de potentel sont par contre observées lorsque l écartement entre les électrodes est plus grand. Ces données sont alors sensbles à une plus grande part de la régon étudée. Une mportance plus grande dot donc être donnée à ces observatons et la melleure méthode pour effectuer cela est l utlsaton de la résstvté apparente. Il est alors ndspensable que le calcul des résstvtés apparentes ne passe pas par l évaluaton explcte du facteur géométrque, qu n a de sens que pour des structures très smples (mleux tabulares par exemple). III.4.2 Solutons apportées par TOMELE III Aspect général du programme TOMELE La smulaton automatque d'une séquence de mesures peut être vue comme la modélsaton d'un seul et même problème en consdérant pluseurs cas de «chargement» successfs. Chaque chargement équvaut à un couple de ponts sources. Le programme utltare TOMELE a été conçu afn de produre faclement un jeu de données correspondant à un tel cas de fgure à partr des nformatons fournes par l'utlsateur (fgure 3.6) de façon à ce qu l sot utlsable pas CESAR. TOMELE lt tout d abord les données relatves au mallage, contenues dans le jeu de données généré par MAX, pus le fcher d acquston contenant la poston des électrodes pour chaque mesure. Les dfférents cas de chargement sont ensute créés sur la base de ces nformatons et le fcher consttuant le jeu de données est complété en tenant compte des ponts sources qu ne sont pas stués sur des nœuds. Le solveur CESAR est ensute appelé. Ce solveur forme le système lnéare correspondant à la modélsaton du problème étudé et comprenant autant de seconds membres que de cas de chargement. A l'ssu de la smulaton, TOMELE extrat les valeurs des potentels en dfférents ponts, correspondant aux couples de mesure, dont le nombre et la poston vare pour chaque cas de chargement. Par conventon, un sgne de chargement correspondant à un flux entrant est donné pour l électrode A (source postve) et un sgne de chargement correspondant à un flux sortant est donné pour l électrode B (source négatve). A ce stade, une légère modfcaton du code de 69

70 TOMELE permettrat de smuler des dspostfs non-conventonnels (dspostfs focalsés par exemple). TOMELE supporte les smulatons n utlsant qu un seul pôle d njecton (pôlepôle ou pôle-dpôle) en affectant une source d ntensté nulle sur l électrode B. Fgure 3.6 : Descrpton du programme utltare TOMELE (PRETELE est un sous-programme de préparaton des tableaux, EXTELE est le code d exécuton de TOMELE proprement dt). III Smulatons successves d une sére de cas de charge En pratque, la matrce globale ne dot être factorsée qu une seule fos par résoluton du problème drect. Pour chaque poston d un couple source, seul le vecteur du second membre contenant les ampltudes des sources dot être modfé. Nous utlsons alors pluseurs cas de chargement successfs pour une même matrce globale. L'utlsaton de pluseurs cas de chargement permet ans de réalser des gans substantels en temps de calcul. Dans le cas d un problème de dffuson, le module d exécuton LINE appelle le module d exécuton DTLI. Ce derner est utlsé pour résoudre des problèmes de dffuson à pluseurs pas de 70

71 temps. Nous modfons alors LINE dans le but d utlser les pas de temps pour smuler dfférents cas de chargement. Le fcher résultat de CESAR contendra alors, pour chaque pas de temps, les valeurs de potentel aux nœuds correspondant à chaque couple source. Cette opératon mplque ben entendu l utlsaton d une verson adaptée de CESAR utlsant un module LINE modfé. III Electrodes ndépendantes du mallage Pan et al. (2002) utlsent une foncton Gaussenne pour dstrbuer l ntensté d un pont source sur les nœuds des éléments qu l entourent. Les valeurs nodales de la source S 0 valent : q ( ) 2 1 x exp S = 0 (3.27) 0 2 ns ls avec x et S 0 les postons du nœud et de la source et l la largeur de la dstrbuton Gaussenne employée, qu contrôle donc les contrbutons des nœuds plus élognés de la source. Le facteur l s a généralement la dmenson des éléments au vosnage de la source. S une source est sur un nœud, l est alors nécessare de donner une fable valeur à l s relatvement à la dmenson des éléments afn de placer l ntensté de la source en ce nœud. Le coeffcent n s est utlsé pour normalser cette évaluaton pour que l ntégraton des valeurs nodales de la source sur la totalté du domane sot égale au courant total I. TOMELE utlse une stratége smlare permettant l utlsaton de ponts sources et de ponts de mesures qu ne sont pas nécessarement stués sur des nœuds (Marescot et al., 2003c et 2003d). Le programme utltare TOMELE détermne l'élément dans lequel se stue l'électrode et dstrbue l'ntensté de la source sur les nœuds de cet élément. Pour ce fare, nous utlsons l'approxmaton éléments fns de la géométre, soparamétrque dans CESAR pour ce type de problème. A partr des coordonnées locales de la source dans l'élément de référence, les fonctons d'nterpolaton de la géométre assocée à chaque nœud sont évaluées. En multplant ces grandeurs par l'ntensté de la source, nous obtenons un ensemble d njectons nodales de courant correspondant chacune à la contrbuton d'un nœud à la source orgnale. Le programme TOMELE utlse une technque smlare pour calculer la valeur du champ de potentel en une poston d électrode qu n est pas stuée sur un nœud. Afn de défnr précsément cette approche, revenons brèvement sur la dscrétsaton du terme source pour un problème EF. 71

72 Tratement d une électrode d njecton de courant Pour une source de la forme q=q 0 δ(r-r S0 ) stuée en un pont S 0 dans un élément partculer, l ntégrale fasant ntervenr le terme source devent : qδv dω= q0 δ( r rs ) δv dω= q δv( S ) (3.28) Ω Ω avec δv(s 0 ) un scalare évalué au pont S 0. Nous utlsons l approxmaton du champ δv, varaton du champ V, sur l élément en queston. Il est approché de la même façon que V, c est-à-dre pour les n nœuds de l élément : n δv( ξηζ,, ) = δa N ( ξηζ,, ) (3.29) = 1 ξ, η, ζ étant les coordonnées locales sur l élément de référence. S nous notons ξ 0, η 0, ζ 0 les coordonnées locales du pont S 0 sur l élément auquel l appartent, le terme source devent : q δ V = q δan(ξ 0, η 0,ζ 0) (3.30) 0 ( S0 ) 0 δa étant le vecteur lgne des ampltudes assocées aux fonctons de forme, N étant le vecteur colonne des fonctons de forme assocées à chaque nœud et évalué au pont S 0 (en prenant les coordonnées locales). La formulaton fable dscrétsée est donc de la forme : δa( K A q 0 N(ξ 0, η 0,ζ 0)) = 0 (3.31) le produt scalare étant nul et A étant le vecteur des fonctons de forme servant à approcher le champ V sur un élément et K la matrce globale. Le problème dscret consste alors à détermner les nconnues contenues dans A, telle que l équaton sot vérfée quel que sot le champ d nconnues dscrètes δa. Nous constatons alors que le terme entre parenthèses dot être nul car snon l est toujours possble de trouver un vecteur δa tel que le produt scalare ne sot pas nul. Ans le vecteur colonne des ampltudes solutons vérfe : KA= q 0 N(ξ 0, η 0,ζ 0) = S (3.32) les δa ne font alors plus parte du problème. Nous voyons alors clarement que le vecteur source S ne content que le produt de l ampltude de la source par des fonctons de forme. La fgure 3.7 montre comment une source ponctuelle S en un pont du mallage est tratée. Nous solons tout d abord l élément (ou les éléments) qu contennent cette source pus nous récupérons les coordonnées locales de cette source sur l élément de référence. Nous pouvons 72

73 ensute, connassant la valeur des fonctons d nterpolaton en ce pont, construre le vecteur source correspondant. Fgure 3.7 : Représentaton schématque du calcul d une source ndépendante du mallage en utlsant l approxmaton soparamétrque du problème EF. Nous noterons donc la dfférence par rapport à la méthode de Pan et al. (2002), qu utlsent une foncton devant être paramétrée pour dstrbuer l ntensté de la source sur pluseurs éléments. Le chox que nous avons fat concernant la dstrbuton des sources unquement sur l élément (ou les éléments) qu les contennent évte à l utlsateur un réglage supplémentare et nous semble meux adapté dans notre cas. Il est en effet dffcle de défnr un paramètre l déal (équaton 3.27) en présence d éléments à géométres rrégulères à l ntéreur d un mallage 3D complexe. Nous respectons de plus exactement la formulaton du terme source en éléments fns. Tratement d une électrode de mesure du potentel En utlsant les fonctons d nterpolaton, l est de même possble d évaluer la valeur du champ de potentel en un pont qu n est pas stué sur un nœud. En effet, en posant M 0 un pont stué dans un élément et en notant ξ 0, η 0, ζ 0 les coordonnées locales de ce pont, nous pouvons écrre : n V( ξ, η, ζ ) = a N ( ξ, η, ζ ) (3.33) = 1 73

74 III Calcul des résstvtés apparentes Dans TOMELE, les valeurs de potentel peuvent être transformées en résstvtés apparentes de deux façons : ce paramètre peut être évalué en calculant la valeur du facteur géométrque, qu dépend de l agencement des électrodes, mas ce calcul n est possble que pour des modèles très smples, pouvant être représentés par un dem-espace délmté par un plan, où l analoge entre la théore des mages en optque et en électrque est applcable. Dans ce cas, une seule smulaton sur le modèle hétérogène est nécessare. Lorsque ce n est pas le cas (topographe prononcée, objet 3D lmté dans l espace), nous avons recours à la défnton de la résstvté apparente comme le rapport (ou la normalsaton) de la dfférence de potentel mesurée sur le terran dvsée par celle qu serat obtenue dans les mêmes condtons (même géométre du dspostf, même ntensté du courant) sur un terran de même géométre mas homogène de résstvté 1. Il faut relever que ce calcul nécesste une smulaton supplémentare pusqu l faut calculer la réponse du modèle homogène avant de calculer celle du modèle hétérogène étudé (Marescot et al., 2003c). Nous pouvons encore relever que la normalsaton n évte pas nécessarement certanes stuatons sngulères pouvant survenr lors du calcul de la résstvté apparente (lorsque la dfférence de potentel calculée sur le modèle homogène est nulle par exemple). III.4.3 Conclusons Le programme que nous avons créé permet des smulatons très varées sur des modèles à géométres complexes. Son utlsaton est asée et ne demande qu un mnmum d nformatons à l utlsateur. La smulaton d un grand nombre de couples sources et de ponts de mesure (séquence de tomographe) en est alors facltée. Cet utltare, couplé au solveur CESAR, permet l utlsaton d électrodes ndépendantes du mallage. Nous pouvons donc utlser n mporte quel agencement d électrodes sur un mallage de forme quelconque. Les résstvtés apparentes sont obtenues par normalsaton sur un modèle homogène de résstvté unté ce qu permet d obtenr ce paramètre lorsque le calcul analytque du facteur géométrque est mpossble. Ce programme semble donc ben répondre aux besons de notre problématque. En perspectve, l serat nécessare de transformer TOMELE en module d exécuton pour en amélorer l effcacté et la smplcté d utlsaton (pas de fchers temporares et de jeu de données à créer par exemple). Résumé : Le programme utltare TOMELE La smulaton d un grand nombre de couples source et de ponts de mesure (séquence de tomographe) est très fastdeuse (vore rréalsable) dans la verson standard de CESAR-LCPC. Pour la modélsaton sur des structures à géométres complexes, l est de plus désrable de pouvor utlser des électrodes ndépendantes du mallage et d avor la possblté d obtenr le paramètre de la résstvté apparente quel que sot la géométre 74

75 du modèle ou la confguraton des électrodes. Un programme nterface TOMELE a donc été créé, permettant une utlsaton souple et convvale de CESAR-LCPC pour la smulaton électrque. La formulaton par éléments fns utlsée permet l utlsaton d électrodes ndépendantes du mallage. Nous pouvons donc utlser n mporte quel agencement d électrodes sur un mallage de forme quelconque. Les résstvtés apparentes sont obtenues par normalsaton par rapport à un modèle homogène de résstvté unté ce qu permet d obtenr ce paramètre lorsque le calcul analytque du facteur géométrque est mpossble. Ce programme semble donc ben répondre aux besons de notre problématque. III.5 ARCHITECTURE DES MAILLAGES ET CONVERGENCE III.5.1 Introducton La qualté de l approxmaton du champ de potentel par la méthode des éléments fns dépend étrotement de la relaton exstant entre la dmenson des dspostfs et la dmenson des éléments, du type d éléments utlsés ans que des contrastes de résstvté mplqués dans le modèle. Le prncpe de convergence est un concept essentel de la MEF. Nous pouvons admettre qu une convergence survent lorsque la dmenson des éléments dmnue et, par conséquent, que le nombre de paramètres nconnus a spécfés aux nœuds augmente. Les arguments pour cela sont smples : s l expanson polynomale est capable, à la lmte, de reprodure chaque forme du champ dans le mleu, la vrae soluton dot donc être approchée. Cela dot se produre lorsque la dmenson des éléments tend vers zéro. Dans certans cas toutefos, une soluton très proche de la réalté peut être obtenue avec un nombre rédut d éléments (ou même avec un seul élément). Dans ce cas, l expanson polynomale utlsée dans cet élément ajuste ben la soluton. Cela se produt par exemple s un champ a localement la forme d un polynôme quadratque et que les fonctons de forme contennent tout les polynômes de cet ordre. La MEF décrte dans ce traval a pour but la modélsaton du champ de potentel total. Le potentel total est consdéré comme la somme d un potentel prmare dû au mleu encassant et d un potentel secondare dû à des hétérogénétés dans cet encassant (Rjo, 1977 ; Kaufman, 1992). Un champ secondare exste unquement s le champ total est dfférent du champ prmare. Beaucoup de publcatons géophysques, s ce n est pas la majorté, proposent des solutons EF utlsant une technque d élmnaton de sngularté («sngularty removal technque») pour la modélsaton EF (Coggon, 1971 ; Bbby, 1978 ; Pelton et al ; L and Sptzer, 2002 ; Wu, 2003). Le but de l élmnaton de la sngularté est d amélorer la qualté de l approxmaton du champ à proxmté des sources. En effet, pour ajuster de manère acceptable le champ dans ces régons, l devent nécessare de maller très fnement les envrons des sources, ce qu ne peut généralement pas être fat. Dans l approche 75

76 de l élmnaton de la sngularté, le potentel prmare, qu représente une mportante fracton du champ total, est calculé analytquement sur un modèle smple (dem-espace, nveaux tabulares ou falle vertcale par exemple) et le potentel secondare, causé par une hétérogénété qu engendre une dévaton du modèle prmare, est évalué par MEF. Nous posons alors pour le champ total et le champ prmare : K A = F (3.34) T T K A = F (3.35) P P nous défnssons donc le champ de potentel secondare par : KT AS = KS A P (3.36) avec K = K K S T P la matrce globale du champ secondare. Il sufft alors de calculer analytquement A P et de former K S (à partr de K T et K P ) pour obtenr A S. Nous remarquons qu l n y a plus de terme source F dans l équaton La sngularté a donc été élmnée. Par contre l sera toujours nécessare de maller fnement les régons à proxmté des hétérogénétés, où le champ de potentel secondare vare rapdement. En général, le champ de potentel secondare est plus fable que le champ de potentel prmare. Une améloraton de la qualté de l approxmaton peut donc être constatée. Nous pouvons comprendre que cette méthode est napplcable pour des modèles de structures 3D complexes. Il est en effet dffcle, vore mpossble, de calculer un potentel prmare analytquement sur un modèle à géométre complexe. Le but de cette parte du traval n est donc pas d effectuer une étude exhaustve de la convergence de la méthode EF applquée à des modélsatons électrques, mas de meux cerner les possbltés et les lmtatons entourant la créaton de modèles EF complexes. Dans cette optque, les prncpaux paramètres nfluençant la qualté d une modélsaton EF sont étudés. Il s agt prncpalement des dmensons des malles, du type d élément et du contraste de résstvté. Ces modélsatons synthétques sont d autant plus mportantes que nous utlsons c des postons d électrodes ndépendantes des postons des nœuds. Il n est donc pas évdent de fxer a pror le nombre de nœuds mnmum à utlser entre chaque électrode pour garantr une précson acceptable du résultat. Pour cette parte de l étude, nous effectuerons également quelques smulatons sur des modèles smples permettant un calcul analytque du champ de potentel. Nous préfèrerons c la comparason des MEF avec des solutons analytques plutôt qu à d autres solutons numérques. Comme le relève L et Sptzer (2002), une modélsaton effectuée en dfférence fnes (DF) est plus robuste par rapport à la talle de la grlle qu une modélsaton effectuée en EF. Par contre, les smulatons EF semblent être plus robustes que les modélsatons DF lors de forts contrastes de résstvté. Ces dfférences sont essentellement dues à la manère d approxmer le champ de potentel dans les deux méthodes. Dans le cas des travaux de L et 76

77 Sptzer (2002), l s agt de fonctons lnéares en MEF et de séres de Taylor de second ordre en MDF. Il est donc dffcle de trer des conclusons précses quant à la convergence de nos smulatons en utlsant une telle approche. III.5.2 Les modèles complexes III Type d éléments fns Les malles volumques les plus fréquemment utlsées pour construre un mallage sont les tétraèdres, les pentaèdres et les hexaèdres. Les fonctons d nterpolaton utlsées peuvent êtres des fonctons lnéares, quadratques et plus rarement cubques. Le chox du type d élément est un facteur nfluençant la convergence d une modélsaton et donc la précson du résultat. Quelques exemples peuvent être trouvés dans la lttérature. Sasak (1994) utlse des fonctons lnéares sur des éléments hexaédrques obtenus en assemblant cnq tétraèdres. Prdmore et al. (1981) ctent l utlsaton d éléments compostes obtenus par la réunon de cnq ou sx tétraèdres ans que d éléments hexaédrques. Dans ce derner traval, une sére de tests a été menée pour défnr la précson du résultat en foncton du type d élément utlsé. Un modèle composé d un dem-espace homogène avec un seul pont source est utlsé. Les résultats les plus précs, ans que les mons précs, sont obtenus selon dfférentes drectons du mallage avec les éléments tétraédrques. Les résultats obtenus en utlsant des éléments hexaédrques ont une précson ntermédare par rapport aux résultats obtenus en utlsant des éléments tétraédrques. Par contre, les résultats sont ndépendants de la drecton. Des exemples d éléments compostes créés à partr de tétraèdres sont présentés dans les fgures 3.8 et 3.9. Fgure 3.8 : Eléments compostes créés à partr de la réunon de cnq tétraèdres (modfé de Zenkewcz and Taylor, 2000). 77

78 Fgure 3.9 : Elément composte créé à partr de la réunon de sx tétraèdres (modfé de Zenkewcz and Taylor, 2000). Bng et Greenhalg (2000) ont comparé des modélsatons effectuées en utlsant des éléments hexaédrques avec des fonctons trlnéares et des malles tétraédrques (sous forme de blocs compostes obtenus par réunon de sx tétraèdres, fgure 3.9) et des fonctons lnéares entre les mêmes 8 nœuds du bloc ans défn. Ils obtennent en général de melleures approxmatons du champ de potentel en utlsant les éléments tétraédrques. La majorté des auteurs utlse toutefos des éléments hexaédrques et des fonctons d nterpolaton trlnéares (Pan et al., 2002 ; L and Sptzer, 2002 ; Wu, 2003). D un pont de vue pratque, les éléments hexaédrques facltent la modélsaton et la vsualsaton de coupes dans le modèle. Dans CESAR-LCPC nous préférerons utlser des super-éléments tant pour la modélsaton drecte que pour la modélsaton nverse. Un super-élément est un volume paralléléppédque, de forme quelconque, qu peut être rempl automatquement au moyen d hexaèdres à 8 ou 20 nœuds. Nous pouvons alors assembler pluseurs super-éléments pour créer un mallage 3D complexe en fusonnant ensute les nœuds communs. III Imposton des condtons aux lmtes Pour effectuer des smulatons sur un modèle fgurant un dem-espace, un potentel nul est mposé aux nœuds stués sur les bords vertcaux et le bord nféreur du mallage (frontères de Drchlet). Une condton de flux de courant nul (sur la frontère de Neumann) est consdérée sur le bord supéreur (en surface, la densté de courant dot être tangentelle à l nterface avec l ar). Cette condton est naturelle comme nous l avons vu plus haut. Le respect de la condton sur la frontère de Neumann ne présentera donc pas de dffcultés partculères. Un exemple de ce type de mallage est montré en fgure Nous noterons que, contrarement à ce qu peut être pensé, la créaton d un mallage fgurant un dem-espace est relatvement problématque. En effet, la condton de potentel mposé sur la frontère de Drchlet mplque 78

79 généralement la créaton de mallages comportant beaucoup d éléments (et donc beaucoup d nconnues). L utlsaton d éléments nfns serat une alternatve à ce problème. Ces derners tennent compte de manère explcte des condtons aux lmtes et permettent donc de rédure la dmenson des mallages (Lajarthe et al., 1999). Nous n utlsons toutefos pas ce type d approche car les éléments nfns n exstent pas pour le problème de dffuson dans CESAR-LCPC. Fgure 3.10 : Exemples de mallages de forme cubque (à gauche) et de forme cylndrque (à drote) utlsés pour des smulatons sur un dem-espace. Fgure 3.11 : Exemple de mallage de forme hémsphérque utlsé pour des smulatons sur un dem-espace. Une génératon d un mallage 3D par rotaton autour de l axe z du mallage 2D représenté à drote n est pas possble, cette opératon provoquant l apparton d éléments dégénérés vers l axe (en grs). 79

80 Dvers tests ont montré que la forme extéreure du mallage (cube, dem-sphère, cylndre), où sont mposées les condtons de potentel nul, n avat pas d effet mportant sur le calcul du champ de potentel, en partculer pour les résstvtés apparentes obtenues par normalsaton, pour autant que les bords soent suffsamment élognés de la zone d ntérêt où se trouvent les électrodes. En général, la créaton d une frontère cylndrque ou sphérque complque consdérablement la créaton du mallage. Il est en effet souvent nécessare d utlser des éléments de transton, ou encore de changer de type d élément, pour raccorder dfférents groupes entre eux. Nous relèverons de plus qu une génératon de mallage 3D par rotaton d un mallage 2D, opératon courante pour créer une dem-sphère, peut fare apparaître des éléments dégénérés le long de l axe de rotaton (fgure 3.11) et une telle opératon n est donc pas recommandée. Dans la plupart des cas, une frontère de forme cubque suffra. De nombreuses smulatons ont montré que l nfluence de ces frontères est en général néglgeable et que le potentel peut très ben être mposé à la valeur de zéro à une dstance valant envron 1.5 fos la dmenson de la régon centrale (des exemples seront donnés plus lon). Nous n avons donc pas utlsé c des condtons aux lmtes plus élaborées, telles que des condtons mxtes tenant compte du potentel et de sa dérvée sur la frontère de Drchlet (Dey and Morrson 1979 ; L and Sptzer 2002) qu permettraent de lmter la dmenson du domane. Nous construrons en général des mallages dont les éléments sont fns et de dstorson fable dans la zone d ntérêt (c est-à-dre où sont stuées les hétérogénétés et les électrodes) et plus grands dans les régons servant à mposer les condtons aux lmtes de Drchlet. La dmenson des malles augmente donc en drecton des bords du mallage pour un modèle fgurant un dem-espace (fgure 3.10). Dans ces régons, certans éléments présentent une forte dstorson, notamment vers les bords des modèles. De telles géométres d éléments peuvent être acceptées dans ces régons où le champ de potentel vare très peu. L approxmaton du champ est donc acceptable ou du mons, s elle est médocre, ne présente que peu d ntérêt pour l utlsateur. Il est juste nécessare de s assurer de la régularté du jacoben pour ces éléments, afn de garantr le bon condtonnement de la matrce globale. Un jacoben nul ou négatf provoquera mmanquablement un arrêt d exécuton du solveur. Nous nssterons encore sur le fat que des éléments présentant une forte dstorson ne dovent jamas être utlsés à proxmté des sources. De plus, la domnance dagonale de la matrce élémentare est étrotement lée à la dstorson de l élément (Prdmore et al. 1981). Dans le cas où une méthode tératve de résoluton du système lnéare est utlsée (ncomplete Cholesky conjugate gradent method), la présence d éléments fns et longs dans un modèle dmnue le taux de convergence du processus et peut mener à des résultats mprécs. Comme l a montré Wu (2003), des modfcatons dovent être apportées aux algorthmes de résoluton tératfs dans ce cas (shfted ncomplete Cholesky conjugate gradent method). Nous évtons ce genre de problème en utlsant une résoluton drecte du problème dans le solveur CESAR. 80

81 Ce type d archtecture de mallage, présentant une ou pluseurs faces à potentel mposé, peut être utlsé pour construre des modèles fgurant des structures plus complexes comme des murs ou des plers. Dans ce cas, l est possble d mposer un potentel sur les nœuds stués au contact entre la structure étudée et le sol. Cette soluton n est toutefos plus valable lorsque le modèle n est plus en contact avec le sol (ou du mons lorsque le courant passant dans ce derner est néglgeable). Cela peut se produre pour des modèles fgurant une éprouvette de matérau ou une cuve nstrumentée. Nous pouvons alors mposer une valeur de potentel à un nœud élogné des dspostfs de mesure. Un exemple de mesures sur une éprouvette de matérau est présenté à la fgure Le modèle est consttué d hexaèdres à 8 nœuds et le champ est approxmé en utlsant des fonctons lnéares. Les surfaces extéreures du modèle sont des frontères de Neuman à l excepton d un nœud où un potentel nul est mposé (cas 1, fgure 3.12). Un profl de résstvté utlsant un dspostf Schlumberger (MN=3 m, AB=12 m) est smulé en déplaçant le quadrpôle selon la drecton y et en orentant le dspostf selon y pus selon x. Nous donnons tout d abord une résstvté homogène (100 Ωm) au matérau. Nous pouvons vor que la résstvté apparente calculée par normalsaton, est très proche de la résstvté vrae (fgure 3.13). L utlsaton du facteur géométrque pour un dem-espace donne par contre des résstvtés supéreures à 100 Ωm, avec de forts effets de bord car ce modèle ne peut pas être consdéré comme un dem-espace. Par conséquent, le processus de normalsaton permet d amélorer la qualté du résultat en respectant exactement la défnton de la résstvté apparente. Fgure 3.12 : Exemple de modèle d éprouvette. Dans la seconde modélsaton, nous donnons ensute une résstvté de 100 Ωm au modèle et nous créons un paralléléppède de résstvté 10 Ωm pour fgurer une anomale conductrce (fgure 3.12). Nous pouvons vor que les résstvtés apparentes calculées par normalsaton 81

82 sont parfatement réalstes, avec une dmnuton de la résstvté apparente à l aplomb du corps conducteur (fgure 3.13) qu attent 25 Ωm perpendcularement et 30 Ωm parallèlement à l hétérogénété. L utlsaton du facteur géométrque surestme, là encore, la résstvté du mleu. Des smulatons semblables effectuées en mposant un potentel de 10V donnent des résultats très smlares. En effet, la dfférence entre les deux smulatons est nféreure à % sur la valeur de la résstvté apparente et nféreure à % sur la valeur de la dfférence de potentel. Les varatons sont dues unquement à des mprécsons numérques. Il est par contre évdent que les valeurs du second champ de potentel (potentel mposé à 10V) prses séparément sont égales aux valeurs du premer champ de potentel (potentel mposé à 0V) augmentées de 10, les champs de potentel étant défns à une constante près. En théore, l est possble de localser le nœud à potentel mposé à un endrot quelconque du mallage. Un nœud à potentel nul stué très près des dspostfs (cas 2) de mesure ne perturbe pas le calcul de la résstvté apparente, car seule la dfférence de potentel est consdérée. Nous remarquerons toutefos que l opton vsant à mposer un potentel à un nœud proche des dspostfs de mesure n est pas consellée : premèrement, cela produt un fort gradent de potentel en un endrot où nous désrons évaluer le champ avec précson et comme nous le verrons plus tard, la qualté de l approxmaton EF dépend fortement de la relaton exstant entre le gradent du champ de potentel et la dmenson de la malle. Il y a donc un rsque de perte de précson dans ce cas. De plus, ce fort gradent rsque de masquer des varatons plus fables dues aux cbles que nous désrons étuder dans le modèle. Nous notons également qu l y a un rsque, non néglgeable, d avor une poston d électrode d njecton concordant avec la poston du nœud à potentel mposé. Or, l est mpossble de sollcter un nœud à potentel mposé (geston des condtons aux lmtes par élmnaton dans CESAR, cf. Annexe Technque). Nous remarquons de plus que le champ de potentel est fortement nfluencé par le potentel mposé comme l est possble de le constater sur la fgure 3.14 : cette fgure montre la valeur du sgnal, mesuré par l électrode M du dspostf orenté selon y, pour le modèle hétérogène. L nfluence du pont à potentel mposé se fat ressentr par une forte décrossance des valeurs mesurées. Nous ne pouvons que soulgner l mportance de la normalsaton pour des modélsatons sur ce type de modèle. Ce processus de calcul de la résstvté apparente tend à élmner les effets de bord de la cuve (ou de l échantllon) et permet d obtenr la résstvté du mleu. Nous montrerons un exemple de modélsaton en cuve à la fn de ce chaptre. 82

83 Fgure 3.13 : Smulatons en résstvté apparente sur le modèle de l éprouvette. Potentel mposé selon le cas 1. Fgure 3.14 : Valeurs du sgnal pour l électrode M pour dfférentes localsatons du nœud à potentel mposé. Les localsatons des potentels mposés sont montrées dans la fgure

84 III Dmenson des malles Un des paramètres nfluençant fortement la qualté d une approxmaton EF est la dmenson des malles. Il n est cependant pas toujours évdent de chosr cette dernère pour des mallages complexes. Nous allons tout d abord tenter de meux appréhender ce problème pour un modèle smple. Un sondage électrque, de type Schlumberger (MN=AB/5), est smulé sur une falle vertcale, dont la réponse peut être évaluée analytquement par la méthode des mages. Le centre du sondage est stué à 5 m de la falle, sot du côté le plus conducteur (10 Ωm), sot du côté le plus résstant de la falle (1000 Ωm), le fort contraste de résstvté étant utlsé afn de tester la fablté des smulatons. Fnalement, ce sondage sot fat un angle de 35 avec la falle ou sot est parallèle à cette dernère. Le mallage utlsé dans cet exemple est composé d hexaèdres à 8 nœuds formant un mallage réguler dans la zone centrale. La dmenson des malles augmente en drecton des bords du mallage afn de pouvor mposer des lmtes de potentel nul smulant des frontères stuées à l nfn. Comme le montre la fgure 3.15, aucune électrode d njecton ou de mesure n est stuée sur un nœud. Nous nous ntéresserons tout partculèrement aux pettes longueurs de lgne, a pror plus sensbles aux fortes varatons de la résstvté et à la dmenson des éléments. Fgure 3.15 : Modèle utlsé pour smuler l effet d une falle vertcale sur un sondage électrque. Un premer exemple est calculé en consdérant une malle centrale grossère de 10mx10m (fgure 3.16). Nous pouvons constater que le début du sondage présente de fortes oscllatons, partculèrement pour les valeurs de résstvté calculées en utlsant le facteur géométrque. Nous remarquons également que la perturbaton est plus mportante lorsque le centre du sondage se stue dans le mleu résstant et lorsque le sondage est parallèle à la falle. En fat, peu de valeurs de potentel ont une erreur nféreure à 5%. Nous pouvons donc vor c un effet de la dmenson de la malle (ou plus précsément du nombre de nœuds varable autour des électrodes d njecton) mas auss du contraste de résstvté exstant. 84

85 Fgure 3.16 : Valeurs de la résstvté apparente pour un sondage effectué à proxmté d une falle vertcale. La malle de la régon centrale a une dmenson de 10mx10m et le contraste est de 100. Les fonctons d nterpolaton sont lnéares. 85

86 Les oscllatons en début de sondage provennent prncpalement de la proxmté des sources de courant, spécalement lorsqu une électrode de mesure (ou les deux) est (sont) dans le même élément qu une source. Le champ de potentel total théorque présente une sngularté à la poston de la source, ce qu perturbe fortement l évaluaton de l approxmaton du champ. Nous devrons, déalement, maller très fnement l envronnement mmédat des sources, ce qu complque toutefos l opératon de mallage. Nous noterons que la fn du sondage, pour les plus grandes longueurs de lgne (AB/2>100 m), vare fortement que ce sot pour les résstvtés obtenues par normalsaton ou calculées avec le facteur géométrque. Ce comportement est probablement dû à l utlsaton d éléments très allongés sur lesquels nous applquons une condton aux lmtes (plus ou mons) ncorrecte étant donné qu une source de courant se trouve dans ces éléments (le potentel ne devrat pas être exactement nul en certans nœuds). Ces éléments produsent donc un résultat de mondre qualté. Ce phénomène n est pas gênant car nous ne chercherons pas à exploter un résultat obtenu avec des électrodes stuées s près d une frontère à potentel mposé. Nous pouvons toutefos soulgner qu l n est vsblement pas nécessare de créer des frontères à potentel mposé très élognées de la zone d ntérêt, les perturbatons ne se fasant sentr que pour la fn du sondage. Nous pouvons remarquer que le champ de potentel vare de manère dfférente s les sources sont stuées dans le mleu résstant ou dans le mleu conducteur. Comme l est possble de le vor sur la fgure 3.17, où le champ de potentel en surface est calculé analytquement pour un dspostf parallèle et oblque à la falle, les équpotentelles présentent un plus fort gradent au contact de la falle s les électrodes sont stuées dans le mleu résstant. Un mallage plus fn devra alors être utlsé s nous désrons évaluer correctement le champ de potentel créé par une telle dsposton d électrodes. Lorsque le sondage est stué à l aplomb de la parte conductrce, le gradent du champ de potentel est mons mportant. Nous remarquons, de plus, que la structure du champ de potentel est très dfférente s le dspostf est parallèle, ou oblque (vore perpendculare) à la falle. 86

87 Fgure 3.17 : Fgure des équpotentelles pour une pare de ponts sources. Dfférents contrastes de résstvté sont représentés pour la falle et un modèle homogène est également proposé. Il va donc être ndspensable de modfer le mallage afn d amélorer la qualté de l approxmaton. Comme cette procédure de modfcaton dépend des résultats antéreurs, nous pouvons la qualfer d adaptatve. Il y a deux catégores de procédures permettant d amélorer une soluton EF : 87

88 h- refnement Nous pouvons utlser la même classe d éléments mas en dmnuer la talle à certans endrots et éventuellement l augmenter à d autres afn de ne pas rendre le calcul trop lourd (hrefnement). Suvant cette approche, nous agssons localement en dvsant certans éléments où le champ de potentel vare rapdement et lassons les frontères des autres éléments nchangées. Cette approche est néanmons problématque, car nous devons alors créer des éléments possédant des sommets stués sur les segments jognant les nœuds des autres éléments (éléments de transton). Nous pouvons auss mantenr constant le nombre de nœuds dans le mallage et smplement les déplacer aux endrots où le champ vare rapdement. Cette opton est toutefos dffcle à mettre en œuvre en 3D. Nous pouvons également reconstrure ntégralement, ou partellement (par groupes par exemple), le mallage en tenant compte des résultats de la smulaton précédente. Cette approche est la plus effcace (Zenkewcz and Taylor, 2000). Il faut relever qu l exste des codes EF permettant un calcul automatque du raffnement, notamment pour des éléments 2D trangulares où 3D tétraédrques suvant la procédure de trangulaton de Delaunay. Des tentatves ont été fates pour des quadrlatères 2D (Zhu and Zenkewcz, 1988), mas l ne semble actuellement pas exster de soluton pour les hexaèdres (Zenkewcz and Taylor, 2000). Nous devons alors nous contenter d une approche effectuée drectement par l utlsateur. p- refnement La seconde procédure consste à utlser la même talle d élément et smplement augmenter l ordre du polynôme utlsé dans sa défnton (p-refnement). Nous pouvons alors sot changer l ordre du polynôme pour l ntégralté du mallage, ou pour une parte du mallage seulement. L avantage de la méthode vent du fat que cette opton peut être utlsée automatquement avec les pré-processeurs actuels. Il est également possble de combner effcacement les deux approches (hp-refnement), ce qu permet, entre autres, de lmter le nombre d nconnues du problème tout en créant un mallage optmal. Nous pouvons donc théorquement obtenr une convergence, sot en augmentant l ordre du polynôme utlsé dans les fonctons d nterpolaton (p convergence), sot en raffnant le mallage (h-convergence). Il n exste pas de procédure drecte permettant de défnr le melleur raffnement à utlser pour obtenr une erreur donnée. Ce processus est généralement tératf. Nous effectuons donc c un deuxème calcul sur le même modèle, mas en consdérant un mallage dont la parte centrale est composée d hexaèdres à 8 nœuds de dmenson 5x5m (h-refnement) (fgure 3.18). Nous effectuons également une smulaton en utlsant le même mallage que précédemment (10mx10m) mas en utlsant une base polynomale quadratque (p-refnement) (fgure 3.19). 88

89 Fgure 3.18 : Valeurs de la résstvté apparente pour un sondage effectué à proxmté d une falle vertcale. La malle de la régon centrale a une dmenson de 5x5m et le contraste est de 100. Les fonctons d nterpolaton sont lnéares. 89

90 Fgure 3.19 : Valeurs de la résstvté apparente pour un sondage effectué à proxmté d une falle vertcale. La malle de la régon centrale a une dmenson de 10mx10m et le contraste est de 100. Les fonctons d nterpolaton sont quadratques. 90

91 Comme l est possble de le vor sur la fgure 3.18, la précson de l approxmaton effectuée sur le mallage 5mx5m est comparable à celle effectuée sur le mallage quadratque 10mx10m. Certanes dfférences peuvent provenr en parte de l ntégraton numérque qu ntrodut une approxmaton supplémentare dans le problème. Comme précédemment, la résstvté apparente calculée par normalsaton est plus proche de la soluton analytque que celle obtenue en utlsant le facteur géométrque. Nous remarquons toutefos que le mallage 5mx5m présente encore des oscllatons pour les pettes longueurs de lgnes lorsque le champ de potentel vare rapdement. Nous pouvons également remarquer le très fort effet du contraste de résstvté : les grandes longueurs de lgne n arrvent toujours pas à effectuer une approxmaton de champ de potentel correcte pour le sondage à 35. Il est donc possble de conclure que ce mallage n est pas optmal pour cette dmenson de dspostf et pour un fort gradent du champ de potentel. Pour le problème électrque, l convent donc d assurer une melleure approxmaton du champ dans les régons où celu-c vare rapdement. Cela survent partculèrement aux envrons des sources de courant et en bordure des hétérogénétés. Pour avor des mesures de potentel fables pour les pettes longueurs de lgne, des éléments plus fns dovent être utlsés au contact de la falle et à l aplomb du sondage, du mons lorsque la longueur de lgne est pette. Nous pourrons dans ce cas dmnuer unformément la dmenson des éléments sur tout le mallage, mas cela occasonnerat une très forte augmentaton du nombre d nconnues. Une melleure approche consste à affner unquement les régons où le potentel vare rapdement : nous créons pour cela deux régons (groupes) vers la falle, qu vont être mallées plus fnement. Cependant, afn de conserver un mallage plus grosser à l extéreur, nous allons être forcés d utlser un autre type d éléments. Les régons au contact de la falle seront donc mallées en éléments pentaédrques à 6 nœuds. Nous noterons que ces éléments prsmatques sont très petts vers la falle et s agrandssent ensute (la zone centrale de ce mallage est présentée en fgure 3.20). Ce type d éléments n est pas utlsé pour l ntégralté du mallage afn de lmter le nombre d nconnues dans le problème. Le résultat de la smulaton sur ce mallage est présenté en fgure Nous pouvons vor que la qualté du résultat s est amélorée spécalement pour les valeurs de résstvté apparente obtenues par normalsaton. Nous remarquons également que les oscllatons des valeurs de résstvté calculées à partr du facteur géométrque se sont également amélorées. Nous atténuons donc les effets de la sngularté du champ de potentel à proxmté des sources. Il est également possble de conclure que la MEF est globalement convergente pour le problème électrque proposé : nous nous approchons de la vrae valeur du champ de potentel lorsque la dmenson des éléments tend vers zéro. 91

92 Fgure 3.20 : Représentaton de la régon centrale du mallage avec une raffnement local vers la falle. Une remarque dot être encore fate concernant l utlsaton de mallages composés de dfférents types d éléments dont la talle vare fortement. Etant donné que la précson de l approxmaton du champ va varer selon la localsaton des électrodes dans le mallage, l est possble que le théorème de récprocté ne sot pas vérfé. Or le respect de la récprocté est un ndcateur de la qualté de l approxmaton EF du champ de potentel. Nous essaerons donc de construre un mallage dont la texture est suffsamment unforme autour des électrodes afn de lmter les erreurs numérques. Cela s applquera surtout pour des mesures de type tomographe électrque, où une électrode peut être alternatvement utlsée comme source ou comme électrode de mesure. Un autre problème peut survenr dans une stuaton de pseudo-pôle-pôle (Roban et al., 1999) smulée, en postonnant une des électrodes de courant lon de la régon centrale : pour une bonne approxmaton du champ, un mallage fn autour de cette électrode devrat être envsagé. 92

93 Fgure 3.21 : Valeurs de la résstvté apparente pour un sondage effectué à proxmté d une falle vertcale. La malle de la régon centrale présente un raffnement local vers la falle (Fgure 3.20) et le contraste est de 100. Les fonctons d nterpolaton sont lnéares. 93

94 III Varaton du contraste de résstvté Les mêmes smulatons ont été répétées sur les mallages précédents mas avec un contraste de résstvté dmnué (contraste de 10, fgure 3.22 et fgure 3.23) ou sur des modèles homogènes (contraste de 1, fgures 3.24 et 3.25). Nous pouvons remarquer que l approxmaton a tendance à s amélorer lorsque le contraste de résstvté dmnue. Nous pouvons par exemple le constater sur les grandes longueurs de lgne pour le sondage à 35 nfluencé par un conducteur sur le mallage 5mx5m. Cela se comprend, car le gradent du champ de potentel dmnue à l nterface des deux mleux et les fonctons d nterpolaton lnéares ajustent meux le champ dans ces régons. Lorsque le mallage devent homogène, nous pouvons constater que la résstvté apparente calculée par normalsaton est bonne quelle que sot la dmenson des malles. La soluton obtenue en utlsant le facteur géométrque présente néanmons encore des oscllatons. Nous pouvons donc conclure que ces oscllatons en début de sondage sont essentellement dues à la dmenson excessve des malles par rapport à la proxmté des sources (sngularté du champ de potentel). Selon Wu (2003), en présence d un très fort contraste de résstvté, l évaluaton du champ de potentel en utlsant une technque d élmnaton de la sngularté est ben melleure que celle obtenue à partr du champ total. Ces exemples permettent également de meux comprendre l effet du processus de normalsaton pour le calcul des résstvtés apparentes. Pour deux modèles homogènes de résstvtés dfférentes, les oscllatons des valeurs de potentel (que l on peut noter V et V 0 ) pour les pettes longueurs de lgne sont unquement dues à la dmenson nadaptée du mallage. En normalsant, nous obtenons une évaluaton plus précse de la résstvté apparente (qu est égale à la résstvté vrae dans ce cas). Nous avons donc une approxmaton relatvement correcte du champ obtenu par normalsaton (V/V 0 ) avec un tel mallage alors que ce même mallage n est pas appropré pour les champs V et V 0 prs séparément. Cela vent du fat que ces deux champs varent trop rapdement et que la fnesse du mallage n est pas à même d appréhender ces varatons spatales. Le rapport V/V 0 vare par contre mons rapdement et le mallage est assez fn pour retranscrre ces varatons. Pour un modèle hétérogène, le champ de potentel peut varer fortement. En tout début de sondage, où la résstvté du mleu peut encore être consdérée comme étant approxmatvement homogène, le processus de normalsaton permet de corrger ces oscllatons. Lorsque les longueurs de lgne sont beaucoup plus grandes (AB>60 m dans ces exemples), le sous-sol est perçu comme un mleu hétérogène mas le mallage est à ce moment là suffsamment fn pour assurer une bonne approxmaton du champ. Cependant, un problème peut survenr s de fortes varatons du champ survennent lorsque le mallage est encore grosser. Dans ce cas, la normalsaton ne permet plus d obtenr une correcton satsfasante, car le rapport V/V 0 vare encore trop rapdement pour le mallage utlsé. 94

95 Fgure 3.22 : Valeurs de la résstvté apparente pour un sondage effectué à proxmté d une falle vertcale. La malle de la régon centrale a une dmenson de 10mx10m et le contraste est de 10. Les fonctons d nterpolaton sont lnéares. 95

96 Fgure 3.23 : Valeurs de la résstvté apparente pour un sondage effectué à proxmté d une falle vertcale. La malle de la régon centrale a une dmenson de 5mx5m et le contraste est de 10. Les fonctons d nterpolaton sont lnéares. 96

97 Fgure 3.24 : Valeurs de la résstvté apparente pour un sondage effectué parallèlement à une falle vertcale. La malle de la régon centrale a une dmenson de 5x5m et le contraste est de 1 (mleu homogène). Les fonctons d nterpolaton sont lnéares. 97

98 Fgure 3.25 : Valeurs de la résstvté apparente pour un sondage effectué oblquement à une falle vertcale. La malle de la régon centrale a une dmenson de 5mx5m et le contraste est de 1 (mleu homogène). Les fonctons d nterpolaton sont lnéares. III.5.3 Conclusons pour les mallages 3D complexes Comme nous l avons vu précédemment, l est possble de créer des mallages adaptés pour des modèles admettant des solutons analytques. Toutefos, l ntérêt de la méthode des éléments fns résde justement dans sa flexblté lors de la créaton de modèles complexes. Dans ce cas, l n est pas possble de tester par avance le mallage utlsé afn de s assurer de la convergence de la smulaton pour une séquence de mesures donnée. Un nombre mnmum de nœuds dot donc être utlsé entre les électrodes de courant pour permettre une bonne approxmaton du champ. Comme le géophyscen connaît le dspostf qu l va utlser, cela ne pose pas de problème. 98

99 Le géophyscen devra donc s assurer que le mallage est suffsamment fn relatvement aux contrastes de résstvté présents dans le modèle. Lorsque nous créons un mallage dans le but de résoudre un problème nverse, nous ne savons pas, par défnton, quel va être le contraste de résstvté présent dans le modèle. Nous pouvons alors parfos assster à une dégradaton de la qualté de l approxmaton EF au fl des tératons. Lors de la créaton d un mallage, qu sera ensute utlsé pour une nverson, les connassances a pror de l utlsateur seront donc captales dès cette étape. Le mallage devra en effet présenter une bonne convergence, quel que sot le contraste de résstvté pouvant apparaître dans le modèle au cours du processus tératf. Lorsque le type d applcaton le permet (exstence d une soluton analytque), nous ne pouvons qu encourager une étude détallée de la convergence en surestmant le contraste de résstvté. Les tests sur des mallages, en présence d une résstvté homogène, montrent que le nombre mnmum de nœuds pour une erreur nféreure à 5% est de 5 à 6 nœuds entre les électrodes de courant présentant le plus pett écartement lorsque le facteur géométrque est utlsé. Des contrastes de résstvté jusqu à 10 permettent en général une bonne qualté de l approxmaton avec également un mnmum de 5 ou 6 nœuds. Pour des contrastes plus élevés, des mallages beaucoup plus fns (7 à 8 nœuds) devront être utlsés. Nous noterons toutefos que, dans la pratque, les contrastes rencontrés sont souvent plus fables (de l ordre de 2 à 5), ce qu a tendance à amélorer la qualté du résultat. Y et al. (2001) ont montré qu un mnmum de quatre éléments hexaédrques devat être utlsé entre chaque électrode pour un contraste de 10. Lors du calcul de la résstvté apparente par normalsaton, des résultats très proches des solutons analytques peuvent être obtenus avec des écartements d électrode plus petts. Il est donc partculèrement mportant d utlser un grand nombre de nœuds lorsque nous désrons exploter drectement les dfférences de potentel et non la résstvté apparente normalsée. Nous pouvons encore relever que ces conclusons rejognent les observatons de Artus (2003). Cette dernère a utlsé l utltare TOMELE et le progcel CESAR-LCPC pour calculer la réponse d une flûte mult-électrodes enfoue dans un mleu tabulare. Le dspostf utlsé pour les panneaux électrques est un dspostf Wenner et le modèle comporte des contrastes de résstvté de l ordre de 10 (une des couches est composée d eau de mer). Nous pouvons également relever dans ses expérences une forte corrélaton entre la dstance du dspostf au conducteur, la dmenson de la malle et la qualté de l approxmaton. Résumé : Archtecture des mallages et convergence Il n est pas possble d utlser une procédure d élmnaton de la sngularté des sources pour amélorer la qualté de l approxmaton pour des smulatons sur des structures à géométres complexes. L archtecture du mallage dot donc être adaptée en conséquence. 99

100 Les éléments qu sont utlsés pour les smulatons sont prncpalement des hexaèdres regroupés sous la forme de super-éléments. Ce chox est fat pour des rasons pratques dans MAX3D mas d autres types d éléments peuvent être utlsés selon les besons. L utlsaton d éléments tétraédrques, mons évdents à générer dans CESAR-LCPC, devrat toutefos donner de melleurs résultats. Lors de la créaton d un mallage représentant un dem-espace, la forme de la frontère à potentel mposé n a pas une mportance prmordale, pourvu que cette frontère sot suffsamment élognée. Il n est toutefos pas nécessare de s élogner de plus de 1.5 fos la dmenson de la régon centrale où sont effectuées les mesures. Lorsque seule la dfférence de potentel est mesurée, la valeur du potentel mposé mporte peu. Pour des modèles de dmensons fnes (éprouvettes par exemple), un potentel mposé peut être placé en un nœud du mallage sans créer de perturbatons dans l approxmaton, pour peu que la dfférence de potentel sot consdérée. La qualté de l approxmaton par éléments fns dépend de la dmenson de la malle par rapport à la dmenson du quadrpôle, ans que du contraste de résstvté. S le gradent du champ de potentel est fort, un mallage très fn dot être utlsé. Il est donc nécessare de connaître les résstvtés présentes dans un modèle lors de la constructon du mallage, ce qu peut représenter un problème lors de l utlsaton de la méthode pour résoudre un problème nverse. Un mnmum de 5 à 6 nœuds devrat être utlsé entre les électrodes d njecton de courant. Lorsque le contraste de résstvté est supposé très fort (>10), un mnmum de 7 ou 8 nœuds devrat être utlsé. Au beson, des régons présentant des fnesses de mallage dfférentes peuvent être créées. Nous pouvons fnalement relever que le calcul de la résstvté apparente par normalsaton donne de melleurs résultats que l utlsaton du facteur géométrque. III.6 EXEMPLE DE MODELE SYNTHETIQUE DE DIMENSION FINIE L exemple suvant llustre une possblté d auscultaton de structures de dmensons fnes en géne cvl. Il s agt d un pler de carrère, sur lequel on vent effectuer pluseurs tomographes électrques horzontales (fgure 3.26). Chaque tomographe est réalsée à l ade de 20 électrodes dsposées sur la crconférence du pler à une alttude donnée. Des rrégulartés de postonnement ont été smulées afn de refléter des condtons réelles de mse en œuvre sur le terran. Nous pouvons constater que l utlsaton d électrodes ndépendantes du mallage faclte grandement l élaboraton du modèle car aucune électrode ne se trouve sur un nœud. Dans notre cas, un algorthme de mallage automatque a pu être utlsé et aucune retouche n a été nécessare. Par alleurs, les résstvtés apparentes ne peuvent c être calculées que par normalsaton. Nous utlsons des séquences d acquston avec des dspostfs pôle-pôle, c est-à-dre qu une électrode d njecton de courant (B) et une électrode de potentel (N) sont fxes et placées lon 100

101 de la zone auscultée (plus de 10 m), tands que les deux autres (A et M) balayent toutes les postons possbles autour du pler. Il est à noter qu c la poston des électrodes B et N est donnée explctement et donc que leur effet est prs en compte, sans supposer comme on le fat habtuellement qu elles sont à une dstance nfne du reste du modèle, lmte qu ne peut pas toujours être approchée sur le terran. Fgure 3.26 : Modèle d un pler de carrère présentant une hétérogénété conductrce. Une secton du pler est présentée avec la poston des électrodes. Le plancher, le pler et le tot de la carrère sont homogènes de résstvté 1000 Ωm. Une hétérogénété est ntrodute dans le pler, décentrée par rapport à l axe vertcal, et de mondre résstvté (100 Ωm), pouvant représenter une zone dégradée ou humdfée. Nous représentons les résultats sous la forme de tomogrammes obtenus en placant chaque pont de mesure au mleu du segment jognant A et M. Sur les tomogrammes, du bas vers le haut du pler (fgure 3.27), une zone de résstvtés apparentes plus fables apparaît, décentrée comme l hétérogénété, pus commence à dsparaître à nouveau. L ampltude de l anomale est plutôt fable ce qu pourrat sgnfer que ce dspostf n est pas optmal pour mager cette structure. Ben que les électrodes actves (A et M) soent stuées à une alttude de 32 m sur le derner tomogramme de la fgure 3.27, nous pouvons encore remarquer que le conducteur se fat toujours ressentr. Le champ électrque traverse en effet toujours cette structure conductrce pour rejondre les électrodes B et N stuées sur le plancher de la carrère. Il en 101

102 résulte un effet qu rend mal asée la localsaton de l hétérogénété et tend à confrmer que ce dspostf est à évter. De plus, comme la zone stuée entre les électrodes A et M présente une sensblté négatve (fgure 2.7), une nverson du sgne de l anomale peut subvenr. Nous pouvons constater sur le tomogramme stué à 23 m que la résstvté apparente est supéreure à 1000 Ωm pour les données collectées avec un grand dspostf A-M. Fgure 3.27 : Tomogrammes de résstvté apparente smulés sur le pler de carrère avec un dspostf en pôlepôle. Nous pouvons donc vor que la modélsaton synthétque drecte est une ade utle pour planfer une campagne de mesure en utlsant des dspostfs non-conventonnels sur des structures à géométres complexes. 102

103 Résumé : Exemple de modèle synthétque de dmenson fne Un exemple de modélsaton synthétque sur un pler de carrère a perms d llustrer l utlté de notre programme TOMELE. Ces modélsatons permettent de meux comprendre la réponse obtenue lors d acqustons effectuées avec des dspostfs nonconventonnels. III.7 MESURES DIRECTES EXPERIMENTALES Un exemple de mesures en laboratore est présenté c afn d llustrer une utlsaton possble du programme utltare TOMELE et de mettre en pratque les conclusons que nous avons trées concernant la modélsaton drecte par éléments fns. Il s agt c de mesurer la résstvté d un sédment saturé en eau contenu dans une cuve en PVC (fgure 3.28). Fgure 3.28 : Représentaton de la cuve et des dspostfs de mesure. Il est souvent dffcle d obtenr une mesure réalste de la résstvté d un matérau lors de mesures sur des modèles de dmensons fnes (éprouvettes, échantllons de matéraux). En effectuant une mesure de la résstvté sur ce type de structure, l est en effet ndspensable d utlser un facteur géométrque (ou constante de cellule) adapté qu ne peut être calculé analytquement que pour des modèles à géométre smple (cylndre ou cube pour des 103

104 électrodes en forme de plaques). Les dspostfs de mesure dovent de plus être adaptés à la géométre de l échantllon, ce qu rend dffcle l utlsaton d un quadrpôle conventonnel et rend oblgatore le façonnage de l échantllon. Ce type d approche n est pas satsfasante s nous désrons conserver l aspect non-destructf de la méthode électrque. III.7.1 Consttuants du modèle Le sédment chos est un sable de fondere, dont les proprétés pétrophysques sont très ben connues : la composton mnéralogque du sable a été détermnée par dffractométre aux rayons X par le GEOLEP à l EPFL (Huot, 1999). Les conclusons montrent qu l s agt d un sable composé de quartz pur avec quelques pettes traces de feldspath et quelques rares observatons d oxyde de fer. Ce sable peut donc être consdéré comme formant une matrce de quartz pur. La dstrbuton granulométrque de ce sable est étrote, étant donné que ce derner a été lavé et tamsé à 0.4 mm. Les courbes granulométrques montrent qu une talle moyenne de gran de 0.3 mm peut être retenue. La porosté maxmum est très mportante. En effet, les analyses montrent une porosté maxmum de 40%, avec une ncerttude de +/- 0.28%, valeur suffsamment pette pour ne pas être prse en compte. L eau utlsée pour saturer le sable provent du crcut d eau courante de l Unversté de Lausanne. Nous avons lassé couler l eau pendant un certan temps afn d élmner les partcules contenues dans les canalsatons et d obtenr ans un lqude de composton constante. III.7.2 Expérmentaton et mesures sur échantllon L échantllon est saturé par gravtaton dans la cuve. La résstvté, ans que la température du flude, sont mesurées régulèrement au cours de l opératon en dvers endrots de la cuve. L eau et le sable n étant pas à la même température, les résstvtés de l eau mesurées sont ramenées à 20 C selon la relaton suvante (Wac, 1985) : T ρ2 = ρ1 + T (3.38) avec ρ 1 la résstvté de l eau à la température T 1 et ρ 2 la résstvté de l eau à la température T 2. De part l absence de mnéraux argleux, une bonne estmaton de la résstvté de l échantllon saturé peut être obtenue en utlsant la lo d Arche. Les paramètres suvants (relaton de Humble) sont très fréquemment utlsés pour ce type de sédments meubles : ρ 2,15 r = ρw 0.62 Φ (3.49) 104

105 avec ρ r la résstvté du matérau et ρ w la résstvté de l eau d mbbton. La résstvté de l eau vare légèrement au cours de la saturaton. Avant mélange avec la matrce, cette dernère vaut 36.9 Ωm. Elle tombe à 34.9 Ωm en fn de saturaton. Cette légère varaton peut être explquée par la mse en soluton de la parte fne du sable. Nous ne tenons pas compte des erreurs de mesure de la température, ces erreurs étant très fables (envron 1 C). En utlsant ces valeurs et pour une porosté de 40%, nous obtenons alors une résstvté du sédment comprse entre 164 Ωm et 155 Ωm, ce qu est parfatement plausble. Ces valeurs concordent ben avec les mesures effectuées par Ggon (2002) sur le même sédment mas dans une cuve de plus grande dmenson (x=125cm, y=86cm, z=59.5 cm) afn de lmter les effets de bord. Des mesures électrques sont ensute effectuées sur l échantllon en suvant l mplantaton décrte dans la fgure Ces résstvtés apparentes mesurées sont également ramenées à 20 C. Un total de neuf statons de mesures sont mplantées, certanes au centre de l échantllon, d autres très près du bord. Le dspostf utlsé est un quadrpôle Wenner de 12 cm de long, la poston étant connue avec une précson nféreure à 0.5 cm. Les électrodes sont en cuvre couvert d or afn de lmter les réactons électrochmques d électrolyse (en utlsant des électrodes en cuvre, nous observons un dépôt de cuprte Cu 2 O et un dégagement d hydrogène), car ces réactons peuvent perturber les mesures. Les mesures sont effectuées en utlsant un résstvmètre Syscal R1 (Irs Instruments) et chaque staton est répétée 10 fos pour effectuer une test de reproductblté. Un écart type nféreur à 1% a pu être constaté sur les mesures. La résstvté apparente calculée en utlsant un facteur géométrque pour un dem-espace est présentée dans la fgure Comme le sédment est consdéré homogène, la résstvté apparente mesurée devrat être égale à la résstvté vrae à l échelle du dspostf utlsé (sot envron à l échelle de l éprouvette). Cette résstvté est toutefos très élevée, partculèrement pour les mesures effectuées vers le bord de la cuve, et ne semble pas plausble pour ce type de sédment. Pour explquer de telles valeurs, une porosté très fable ou une résstvté de l eau très élevée devraent être admses, ce qu est en contradcton avec les nformatons dsponbles a pror. Ces valeurs élevées résultent ben entendu de l applcaton d un facteur géométrque nadéquat pour cette forme d échantllon. Ce derner ne pouvant pas être évalué de manère analytque, une soluton numérque dot être tentée. III.7.3 Evaluaton numérque de la résstvté apparente Un modèle numérque de la cuve est créé en utlsant la géométre exacte de l échantllon. Comme le montre la fgure 3.29, cette cuve présente des sectons trapézoïdales dans le plan xz. Nous créons alors un super-élément qu est ensute rempl par des hexaèdres à 8 nœuds. Des modélsatons successves sont effectuées en utlsant des malles respectvement de 0.5 cm, 1 cm, 2 cm et 3 cm envron. En foncton de ce qu a été énoncé précédemment lors des smulatons numérques de sondage électrque (cf. III.5), une dmenson maxmum de 2 cm dot être admse pour les malles du modèle afn de garantr une approxmaton EF de 105

106 qualté suffsante, étant donné les écartements des dspostfs utlsés c. Un potentel nul est mposé sur un nœud stué sur un con du fond de la cuve. Fgure 3.29 : Super-élément fgurant la cuve. Des smulatons numérques sur un modèle homogène de résstvté unté sont alors effectuées par le bas de TOMELE. La résstvté du sédment peut être calculée en dvsant les dfférences de potentel mesurées par celles évaluées sur le modèle numérque homogène. Il est possble de constater dans la fgure 3.30 que les valeurs de résstvté obtenues concordent ben avec l estmaton donnée par la lo d Arche pour les malles de dmensons nféreures à 2 cm. Il n y a en partculer pas de dfférence mportante entre le mallage utlsant des malles de 0.5 cm et 1 cm, ce qu lasse à penser que l utlsaton d un mallage très fn est nutle (la précson du problème peut être garante avec des malles de 1 cm). L utlsaton de malles de 3 cm semble par contre nadaptée. Nous pouvons également noter que le pont chos pour mposer un potentel nul ne perturbe pas l évaluaton de la résstvté. Ces résultats concordent avec les conclusons obtenues sur les modèles synthétques de la falle et de l éprouvette. Il est évdent que cette expérence peut être étendue à des échantllons de formes quelconques pour l évaluaton paramétrque de la résstvté (carottes de forage, fragments archtecturaux ou pèces en béton par exemple). De plus, des arrangements d électrodes quelconques peuvent être envsagés. Lorsque la géométre de la cellule de mesure ne change pas, la smulaton numérque ne dot être effectuée qu une seule fos et les dfférences de potentel obtenues sur le modèle homogène vont servr à corrger toutes les mesures effectuées dans cette cellule. Ces dfférences de potentel représentent donc une évaluaton purement numérque de la constante de cellule. 106

107 Fgure 3.30 : Valeur de la résstvté (apparente) mesurée en utlsant le facteur géométrque (colonne de gauche) et dfférentes évaluatons numérques de la constante de cellule (4 colonnes de drote). Résumé : Mesures drectes expérmentales Un exemple pratque de mesure de la résstvté d un sédment (sable) dans une cuve est exposé. La résstvté du sédment est mesurée à l ade d un dspostf quadrpôle Wenner. De par la dmenson fne de la cuve, l utlsaton d un facteur géométrque pour un dem-espace donne des valeurs erronées pour la résstvté du sédment. Un calcul de la résstvté apparente par normalsaton est alors tenté. Une estmaton de la dfférence de potentel sur un modèle homogène de résstvté unté est obtenue de manère numérque, va TOMELE, sur un modèle de cuve. La résstvté obtenue alors par normalsaton est très proche de la résstvté vrae du sédment, qu peut être évaluée en utlsant la lo d Arche. Cette approche permet donc d obtenr une évaluaton numérque de la constante de cellule. Cet exemple montre également la valdté des conclusons que nous avons obtenues précédemment sur des modèles purement synthétques (convergence du problème EF, potentel mposé). 107

108 108

109 CHAPITRE IV LE PROBLEME INVERSE 109

110 110

111 IV.1 PRESENTATION DU PROBLEME INVERSE Le problème nverse en méthodes électrques a été étudé par de nombreux auteurs durant pluseurs décennes. S les méthodes de résoluton ont relatvement peu changé depus les années 1980, l aspect de la résoluton numérque du problème nverse fut, quant à lu, étudé de manère ntensve. Les algorthmes ssus de ces nvestgatons sont étrotement lés à la pussance de calcul exstant à chaque époque. L opératon nverse du problème drect est utlsée pour remonter aux caractérstques nconnues du terran à partr de la réponse mesurée. Il s agt, à partr des potentels (ou des résstvtés apparentes) mesurés pour N postons d électrodes, de retrouver M paramètres, en général une répartton des résstvtés, décrvant la structure étudée de manère plausble et explquant ben les données mesurées. Cette opératon s effectue en général par une mnmsaton des écarts entre les résstvtés apparentes mesurées et celles calculées par modélsaton sur le modèle à ajuster. En général, le problème drect se présente sous la forme d une foncton contnue et arbtrarement complquée (non-lnéare) des données et des paramètres du modèle. Ce type de foncton ne permet pas l élaboraton d un schéma d nverson non-lnéare exact, malgré l élégance mathématque d une telle démarche. Il y a pluseurs rasons à cela : premèrement, une telle soluton nécesste des stuatons sans erreurs qu n apparassent pas dans la pratque. Une sére de données réelles content toujours des erreurs et ces dernères peuvent se propager aux paramètres du modèle. De plus, le fat qu un nombre fn de données sot dsponble pour évaluer un modèle nécesstant une nfnté de degrés de lberté sgnfe que le problème nverse n est pas unque dans ce sens. De par l échantllonnage, qu peut être nadéquat, ou de par la qualté des mesures réelles, entachées d erreurs, les données ne contennent en général pas suffsamment d nformatons pour détermner un modèle de manère unvoque. IV.1.1 Stratéges d nverson non-lnéare Le problème nverse électrque est non-lnéare, ce qu suppose généralement une résoluton tératve (Lnes and Tretel, 1984) et dfférentes approches peuvent être envsagées. L utlsaton d une formulaton lnéarsée (méthodes de dérvées) est sans doute le chox le plus courant en méthode électrque, où l approxmaton lnéare est généralement valde (méthodes lnéares tératves ou encore méthodes de descente). Des méthodes de recherches systématques (Grd Search Methods) ou fasant appel à des processus aléatores (Monte Carlo Methods) peuvent également être utlsées pour explorer l espace des paramètres du modèle. La recherche d un optmum peut être orentée de manère plus effcace par l utlsaton de méthodes de recut smulé (Smulated Annealng) ou d algorthmes génétques. Le problème nverse non-lnéare peut également être résolu en utlsant un pont de vue 111

112 probablste (Tarantola and Valette, 1982a et 1982b). Cette méthode mène à une formulaton objectve du problème nverse, s nous consdérons que l nformaton a pror utlsée a une vértable sgnfcaton physque. Nous supposons c que tous les paramètres (données et modèle) suvent une dstrbuton gaussenne et peuvent donc être caractérsés par une varance et une valeur moyenne. Cette méthode statstque est basée sur le fat que la valeur optmale des paramètres maxmse la probablté que les données observées soent effectvement observées. Pour une dstrbuton gaussenne, le pont de probablté maxmum (ou espérance) est dentque à la valeur moyenne, ce qu n est pas forcément le cas pour les autres dstrbutons. Les méthodes de dérvées ont l avantage de présenter une convergence rapde à proxmté d un mnmum mas sont très sensbles au chox du modèle de départ et aux mnma locaux. Les méthodes fasant appel à des phénomènes stochastques ne nécesstent pas le calcul de dérvées et sont capables d évter certans mnma locaux. Elles présentent par contre une convergence lente à proxmté d un mnmum et le réglage d un grand nombre de paramètres est nécessare pour arrver à un résultat satsfasant. De plus, l utlsaton de ces méthodes requert de nombreuses résolutons du problème drect et par conséquent un gros effort de calcul. Une méthode de dérvées semble donc la melleure approche dans le cas de modèles présentant un grand nombre de paramètres nconnus. Le but de l nverson est de défnr les paramètres m d un modèle optmal. Pour un tel problème d optmsaton, la somme des résdus entre les données observées et les données calculées sur le modèle va être mnmsée. Cette foncton de résdu E, appelée foncton de coût ou encore foncton objectf, est fréquemment défne en utlsant une norme. Avec le vecteur d erreur e entre les données mesurées d et calculées g(m), une norme générale peut être défne comme sut : avec 1 p N p e = e (4.1) = 1 ( ) e = d g m (4.2) Lorsque p=2, la norme quadratque L 2 ans obtenue mène à la méthode des mondres carrés. L utlsaton d une norme L 2 suppose une dstrbuton gaussenne de l erreur sur les données. Toutefos, ce type de dstrbuton peut ne pas être adapté à un certan type de données. L utlsaton du crtère des mondres carrés avec un autre type de dstrbuton (exponentelle, unforme ou asymétrque par exemple) mène généralement à des résultats nacceptables. Il est donc mportant d élmner les (mauvases) données trop solées de la dstrbuton (qu ont une nfluence prédomnante sur la norme utlsée) afn de rendre le problème compatble avec le crtère des mondres carrés et d amélorer, par la même occason, la varance de la soluton. 112

113 Dans le cas de données fortement perturbées, l utlsaton de normes plus fables (nverson dte robuste, avec L 1 ou L 0.5 par exemple) donne de melleurs résultats (Al-Chalab, 1992). Une dstrbuton exponentelle, plus étalée que la dstrbuton gaussenne, convent en effet meux aux jeux de données présentant des éléments fortement brutés. Nous noterons que l utlsaton d une norme dfférente, telle que la norme L 1 peut mener à devor transformer des formulatons préexstantes ou à utlser des algorthmes plus spécfques. Nous pouvons cter par exemple l algorthme du Smplex ou encore la méthode IRLS (Iteratvely Reweghted Least Squares). Remarquons encore qu une mnmsaton de la norme L 1 effectuée sur des données de dstrbuton gaussenne ne semble pas adaptée (Al-Chalab, 1992). Le contenu de la foncton objectf dépend de l nformaton a pror dsponble. En dehors d un ajustement aux données, l est possble d ntrodure des contrantes sur la norme de la soluton ou son écart à un modèle de référence. Nous pouvons également ntrodure des contrantes sur le gradent et des lssages spataux de la soluton. IV.1.2 Topographe de la foncton objectf Il n y a pas de moyen smple permettant de connaître, en l absence d nformatons a pror, s un problème nverse non-lnéare possède une soluton unque mnmsant l erreur entre les données calculées et mesurées. Afn d évaluer la non-uncté d un problème nverse, l est nécessare de s ntéresser à la topographe de la surface d erreur dans l espace des paramètres du modèle. Cette surface peut présenter pluseurs extrema secondares, des formes en selle ou encore en vallée, être creuse ou presque plate. Pour un grand nombre de paramètres, ce type d nvestgaton graphque est toutefos mpossble. Même s un problème nverse est connu pour présenter une soluton unque (mnmum global optmal), ren ne nous garantt que la technque tératve applquée converge vers cette soluton. En effet, un mnmum local est toujours possble. Les méthodes tératves ne peuvent trouver que des solutons qu sont lnéarement proches de l estmaton ntale des paramètres du modèle et par conséquent un chox sogneux du modèle ntal est de rgueur. La non uncté d un problème peut également provenr des erreurs sur les données, qu se propagent vers les paramètres du modèle, ou encore du formalsme mathématque qu ne décrt pas exactement la réalté du sous-sol. Il peut donc y avor pluseurs modèles de terran dfférents qu peuvent explquer (presque) auss ben les données mesurées. Nous sommes donc c en présence d un cas d équvalence. Le seul crtère d ajustement ne permettra donc pas toujours de décder quel modèle est le plus représentatf du terran. Une des manères de détermner l uncté d un problème nverse est de résoudre ce problème pour un grand chox d estmatons ntales. Mas, comme le nombre d expérmentatons ne peut être nfn, ren ne nous garantt que la totalté de la topographe de la surface d erreur a été ans appréhendée. Cependant, l n est souvent pas nécessare de connaître toutes les solutons possbles mas unquement celles qu semblent plausbles et pour parvenr à 113

114 nterpréter de manère unvoque les mesures de terran, des nformatons a pror sont souvent nécessares. Résumé : Présentaton du problème nverse Le problème nverse consste à retrouver, à partr d une sére de mesures, une répartton des résstvtés décrvant la structure étudée de manère plausble et explquant ben les données mesurées. Cette opératon, en général tératve pour un problème non-lnéare, s effectue en général par la mnmsaton d une foncton objectf (foncton des écarts entre les données mesurées et celles calculées par modélsaton sur le modèle à ajuster). Cependant, même s un problème nverse possède un mnmum global optmal, ren ne nous garantt que la technque tératve applquée converge vers cette soluton et non pas vers un mnmum local. Les prncpales méthodes de résoluton sont les méthodes de dérvées et les méthodes utlsant des processus aléatores. Les premères ont l avantage de présenter une convergence rapde à proxmté d un mnmum, mas sont très sensbles au chox du modèle de départ et aux mnma locaux. Par contre, les secondes ne nécesstent pas le calcul de dérvées et sont capables d évter certans mnma locaux. Cependant, elles requèrent un gros effort de calcul et présentent une convergence lente à proxmté d un mnmum, ans que le réglage d un grand nombre de paramètres. Une méthode de dérvées semble donc la melleure approche dans le cas de modèles présentant un grand nombre de paramètres nconnus. Fnalement, l peut y avor pluseurs modèles de terran dfférents qu peuvent explquer (presque) auss ben les données mesurées (problème d équvalence). IV.2 METHODES DE DESCENTE La résoluton tératve d un problème non-lnéare passe par les étapes suvantes : 1) un modèle de départ m 0 est chos, 2) le vecteur de modfcaton dm pour l tératon est évalué en utlsant une des formulatons décrtes plus lon, 3) un nouveau modèle est ensute évalué en posant m +1 =m +dm, 4) les deux étapes précédentes sont répétées jusqu à ce que la foncton objectf E attegne un mnmum, qu est déalement le mnmum global. Le nombre d tératons nécessares pour attendre un mnmum dépend de la non-lnéarté du problème, de la formulaton chose pour résoudre le problème nverse et auss de la proxmté du modèle de départ par rapport au mnmum global. Le vecteur de modfcaton dm peut être caractérsé par une drecton de descente v et un pas α : dm = α v (4.3) 114

115 La foncton objectf peut être estmée au pas suvant en utlsant un développement lmté de premer ordre : E ( ) ( ) ( ) T + = E + + o( ) m dm m h dm dm (4.4) avec h le gradent de la foncton objectf qu est un vecteur de dmenson M, où M est le nombre de paramètres du modèle. Nous en dédusons : T 1 ( m + ) = ( m ) + ( h ) v + o( v ) E E α α (4.5) Comme nous souhatons vor décroître la foncton objectf au fl des tératons, E(m +1 )<E(m ), l découle que h T v <0, qu est la condton nécessare pour avor une drecton de descente acceptable. En chosssant v = -R h, avec R une matrce MxM, la condton s écrt alors h T R h > 0. S R est défne postve cette condton est toujours vérfée. Rappelons qu une matrce symétrque à dagonale domnante, telle la matrce unté, est toujours postve et qu une matrce non-symétrque ne peut pas être défne postve. Nous noterons donc la mse à jour du modèle pour l tératon : 1 m + = m + α v = m α R h (4.6) Les méthodes de descente se dfférencent donc par le chox de R et α. Notons qu l n y a pas de chox optmal pour la résoluton du problème nverse : des méthodes très élaborées vont converger en peu d tératons mas vont exger le calcul de gradents et de dérvées secondes et d autres approches plus smples et nécesstant mons de calculs, auront par contre une convergence plus lente. Le chox de la matrce R est délcat et donne nassance à dverses méthodes de descente. IV.2.1 Méthode de plus grande pente La méthode de descente la plus smple consste à utlser une matrce dentté I (MxM) comme matrce défne postve. Nous obtenons dans ce cas la méthode de steepest descent ou méthode de plus grande pente (MPGP). 1 m + = m α I h (4.7) Dans ce cas, la drecton de descente sut une drecton h, ce qu provoque la dmnuton locale de la foncton objectf la plus rapde (fgure 4.1). Malheureusement, cette méthode peut présenter des convergences très lentes s la topographe de la foncton objectf présente des vallées étrotes, spécalement à proxmté d un mnmum. Un avantage de la méthode est que R=I est toujours défne postve, ce qu confère une certane robustesse au processus. 115

116 En utlsant une MPGP, l est nécessare de défnr non seulement la drecton de descente mas également une longueur de pas α. Le chox du pas α consste en général à calculer une valeur de α mnmsant la foncton objectf à l tératon suvante E(m +dm ). Nous noterons toutefos que ces méthodes nécesstent l évaluaton de problèmes drects supplémentares à chaque tératon. Fgure 4.1 : Représentaton schématque de la topographe d une foncton objectf pour deux paramètres m a et m b. Un exemple de recherche d un mnmum en utlsant une méthode de plus grande pente est llustré. Il est également possble d observer un mnum local à drote de la fgure. IV.2.2 Méthode de Newton La méthode de Newton propose l utlsaton de l nverse de la matrce hessenne X (matrce MxM des dérvées secondes de la foncton objectf E) comme matrce défne postve. Cela sgnfe que la foncton objectf au pont mnmum est approxmée par une surface de deuxème ordre. T T + E( m ) E( m ) + ( h ) dm + ( dm ) X ( d m ) (4.8) Au pont statonnare, le gradent de cette expresson dot s annuler : = h + X dm = (4.9) E m c est à dre ( ) 1 m + = m X 1 h (4.10) 116

117 Dans ce cas, R vaut X -1. Lorsque E est quadratque vers un mnmum, cette formulaton permet de trouver le pont statonnare en un seul pas. Lorsque X est défne postve, X -1 l est auss et le processus converge dans tous les cas vers des valeurs plus fables de E. IV.2.3 Méthode de Gauss-Newton Avec la méthode de Newton, la matrce X et le gradent h dovent être connus. Malgré de bonnes proprétés de convergence, la méthode de Newton est rarement utlsée sous la forme présentée dans l équaton Premèrement, l est ndspensable de calculer les dérvées secondes, ce qu est généralement dffcle. Deuxèmement, l est mpossble de défnr à l avance s X (et par extenson X -1 ) est défne postve. En général, la méthode de Gauss ou une méthode Quas-Newton (méthode BFSG par exemple, pour Broyden, Fletcher, Goldfarb, Shanno) permet de régler le premer problème et la méthode de Marquardt, le second. Pour un problème par mondres carrés, la foncton objectf s écrt : N ( ) 2 2 k k k= 1 k= 1 N E( m) = d g ( m ) = ek (4.11) avec g l opérateur du problème drect. La dérvée premère de cette expresson est : h l E = = 2 m l g N k ek (4.12) k = 1 ml sot g h= Y e = (4.13) T k 2, Ykl ml Avec Y la matrce jacobenne des dérvées partelles de dmensons NxM ou matrce des dérvées de Fréchet. Les coeffcents de cette matrce représentent en un pont la sensblté de la mesure à une varaton des paramètres du modèle. On l appelle donc souvent matrce de sensblté. Le Hessen peut être écrt : X lj 2 N 2 N E ek gk gk 2 ek 2 l j k= 1 l j k= 1 l j = = + m m m m m m (4.14) avec e m k g k j = m j (4.15) 117

118 X est de dmensons MxM. La méthode de Gauss va donc approxmer le Hessen dans la formulaton de Newton en utlsant la relaton 4.14 et en supprmant le terme de second ordre. Cette approxmaton peut être fate s le problème est fablement non-lnéare, c est-à-dre que les erreurs sont approxmatvement lnéares par rapport aux varatons des paramètres. Dans ce cas : X 2 T Y Y (4.16) Dans cette formulaton, l est possble de vor que le Hessen peut être obtenu sans calcul explcte des dérvées secondes. Ans, la méthode de Newton utlsant la formulaton de Gauss pour X et h est : ( ) 1 1 T m + = m + Y Y Y T e (4.17) avec e défn dans l équaton 4.2. Cette expresson est parfatement smlare à celle obtenue par lnéarsaton de l opérateur g en une sére de Taylor du premer ordre autour d un ensemble de paramètres estmés. De fat, la formulaton 4.17 est très fréquemment utlsée pour l nverson de données électrques. Nous pouvons donc constater que la méthode consstant à rendre lnéare l opérateur g et à résoudre ensute tératvement un système de relatons lnéares revent à néglger les dérvées secondes de la matrce hessenne du problème non-lnéare. IV.2.4 Modfcaton de Marquardt-Levenberg La méthode de Gauss présente, comme la méthode de Newton, de bonnes proprétés de convergence vers un mnmum. Par contre, la matrce X peut être sngulère à grandes dstances du mnmum pour des problèmes mal condtonnés. Nous ntrodusons la modfcaton, ou régularsaton, de Marquardt-Levenberg afn de paller ce problème (Levenberg, 1944 ; Marquardt, 1966). Le prncpe de la méthode de Marquardt-Levenberg consste à amorcer le processus tératf en utlsant une formulaton proche de la MPGP, pus d évoluer vers une formulaton de Gauss au fl des tératons. Nous proftons alors des avantages spécfques des deux méthodes. Le vecteur de correcton de la steepest descent vaut : T dm = I h =2 I Y e (4.18) ou Y T e= λ Idm (4.19) avec λ le facteur d amortssement, λ=2-1. En modfant la méthode de Gauss (équaton 4.17) selon la formulaton 4.19 nous obtenons alors : 118

119 ( λ ) T m = m + Y Y+ I Y T e (4.20) Le facteur d amortssement λ permet donc de trouver un comproms entre la MPGP (valeur de λ grandes) et la méthode de Gauss (valeurs de λ fables). Pour un problème non-lnéare, nous dmnuons donc la valeur de λ à chaque tératon (ben que certans auteurs utlsent un facteur λ fxe). Comme l explque Inman (1975), l algorthme d nverson de Marquardt-Levenberg, ou rdge regresson, est beaucoup plus stable face à un problème mal condtonné et, en foncton du λ chos, peut donner de melleurs résultats (varance du modèle plus fable) que la méthode de Gauss. Nous pouvons encore rappeler que λ peut être utlsé pour trouver un comproms entre résoluton et erreur. S λ est trop grand, le résultat perd rapdement en résoluton (Sasak 1992) mas par contre la varance du résultat a tendance à dmnuer (Inman, 1975). A mons de se baser sur les varances des données et des paramètres (Menke, 1989), le chox du facteur λ est totalement emprque. Le fat d augmenter, par le bas du terme en λi, la talle des fables valeurs propres de Y T Y dmnue la longueur du vecteur de modfcaton à applquer au modèle, ce qu a pour conséquence de donner des solutons plus proches de la réalté et de ralentr la convergence. De plus, lorsque ce vecteur de modfcaton est trop grand, de par l effet des valeurs propres fables, la lnéarsaton perd en précson. Le facteur λ est donc un moyen d ajouter une valeur scalare aux valeurs propres de la matrce Y T Y (donc de X), évtant ans que cette dernère, dans le cas où le condtonnement est médocre, devenne sngulère au cours du processus tératf. De plus, les fables valeurs propres sont assocées à des groupes de données très localsés, ce qu n est pas le cas des fortes valeurs propres qu représentent une moyenne de toutes les données. Ces fables valeurs propres ne dovent être tolérées qu à proxmté de la soluton. La formulaton de Gauss-Newton avec la modfcaton de Marquardt-Levenberg est fréquemment complétée par des matrces de lssage sur la soluton (Loke and Barker, 1996 a et 1996b), des matrces de covarance sur les paramètres du modèle ou sur les données (Tarantola and Valette, 1982a) ou encore par l utlsaton d un modèle de référence (Oldenburg and L, 1999). En fat, de nombreuses méthodes exstent pour nclure de l nformaton a pror dans la résoluton du problème nverse (Menke, 1989). Résumé : Méthodes de descente Le problème nverse non-lnéare est résolu tératvement à partr d un modèle ntal ; à chaque tératon, une drecton de descente ans qu un pas sont défns. La méthode de plus grande pente, qu orente la correcton dans le sens nverse du gradent de la foncton objectf, est la plus robuste. Pour paller certans problèmes de convergence, on utlse également une drecton de descente composée du gradent et de l nverse de la matrce hessenne de la foncton objectf (méthode de Newton). La méthode de Gauss- Newton permet une approxmaton du gradent (par rapport aux paramètres du modèle) et de la matrce hessenne de la foncton objectf à partr de la matrce de sensblté, ce 119

120 qu faclte le calcul. Pour stablser l nverson, la modfcaton de Marquardt- Levenberg est couramment employée. Cette dernère formulaton, souvent complétée de matrces permettant d ntrodure de l nformaton a pror, est fréquemment utlsée pour résoudre le problème nverse électrque. IV.3 QUELQUES CARACTERISTIQUES DES MODELES IV.3.1 Résoluton et varance de la soluton Il exste un comproms mportant entre la résoluton et la varance (erreur) d un modèle. Supposons que l nformaton ne sot pas réparte de façon homogène dans l espace et que la dscrétsaton sot très fne. Certanes cellules ne sont alors que pauvrement rensegnées. La varance sera grande en général ben que la résoluton sot très bonne. S la talle des cellules est augmentée, le problème ne sera plus sous-détermné et la varance va dmnuer (l ndétermnaton moyenne des paramètres étant dmnuée), mas la résoluton sera médocre. Cette relaton entre varance et résoluton est contrôlée par la qualté des données d une part, mas également par la sous-détermnaton du problème. En effet, la résoluton ne peut pas être plus fne que la talle de la plus pette des cellules utlsée pour mager le sous-sol. Concernant la résoluton du problème électrque, sgnalons que le chox du dspostf de mesure est également mportant. IV.3.2 Modèle ntal Le modèle de départ d un processus tératf d nverson est le plus souvent homogène, de résstvté égale à la moyenne des résstvtés apparentes mesurées (Loke and Barker, 1996a) ou encore égale à la résstvté d une zone reconnue comme ne fasant pas parte de la cble recherchée (proche des électrodes par exemple). Nous pouvons auss utlser la premère tératon comme modèle de départ. Un premer modèle très approxmatf peut auss être obtenu en utlsant, sot l approxmaton de Born, où le champ prmare est assmlé au champ secondare, sot la méthode des centres alpha, qu peut être complétée par une autre méthode telle que les éléments fns (Shma, 1992) ou encore une méthode de type SIRT (Smultaneous Reconstructon Technque). Idéalement, le modèle de départ devrat contenr un maxmum d nformatons a pror, qu peuvent être présentes dans la forme du mallage utlsé par exemple. Ce derner peut être construt afn de refléter certanes structures, comme des lmtes de couches. L mportance du modèle de départ, qu peut fortement nfluencer la convergence de la méthode, n est pas à néglger. 120

121 IV.3.3 Dscrétsaton La talle des cellules dot être chose de façon à avor un bon comproms entre résoluton et stablté. Sasak (1992) et Loke and Barker (1996a) préconsent l utlsaton de cellules dont la dmenson est équvalente à 0.5 fos la plus pette dstance entre les électrodes. Lorsque cela est possble, la dmenson des cellules peut être adaptée au dspostf utlsé (Loke and Barker, 1996a) en foncton de la sensblté de ce derner (Edwards, 1977). Cec est surtout valable pour les mesures en surface. Les cellules proches de la surface sont prses suffsamment pettes pour tenr compte des varatons de résstvtés qu peuvent être mportantes. Lors de mesures entre forages, l faut consdérer les effets provenant de corps stués en dehors de la régon d ntérêt (zone nterforage) et la régon extéreure dot être dscrétsée proprement de façon à tenr compte des varatons de résstvté (Zhao et al., 1986). De plus, s la méthode le permet, l est préférable d élaborer un mallage reflétant le plus possble la structure supposée du sous sol (Beasley and Trpp, 1991 ; Sasak, 1994 ; Olaynka and Yaramanc, 1999). Lorsque la structure du sous-sol est mal connue et que nous ne désrons pas nfluencer le processus d nverson, un mallage réguler dot être utlsé. Résumé : Quelques caractérstques des modèles Dans le but d ntrodure de l nformaton a pror dans le problème nverse, le modèle ntal dot être chos avec son et ce derner peut être construt afn de refléter certanes structures connues. Un comproms dot être trouvé entre la résoluton et la varance (erreur) d un modèle. En partculer, la talle des cellules dot être chose de façon à garantr une résoluton acceptable ans qu une certane stablté. IV.4 CHOIX D UNE STRATEGIE D INVERSION IV.4.1 Les dfférentes stratéges d nverson pour le problème électrque Pluseurs auteurs ont présenté, depus une vngtane d années, des algorthmes d nverson pour les données électrques. Des tentatves ont été fates pour utlser des algorthmes de reconstructon de type RBPT (Resstvty Back-Projecton Technque, Shma, 1992), ART (Algebrac Reconstructon Technque) ou encore SIRT (Smultaneous Reconstructon Technque) (par exemple Noël and Xu, 1991 ; Olaynka and Weller, 1997). Ben que rapdes, ces méthodes ne donnent toutefos pas des résultats satsfasants pour le problème électrque. En effet, la théore des ras s applque mal à un problème correspondant à la résoluton d une 121

122 équaton de Laplace. Une méthode de recut smulé a été également proposée (Chunduru et al., 1996 ; Pessel, 2000), mas ben que donnant de bons résultats, cette méthode est très exgeante en temps de calcul. Nous pouvons encore relever l approche de Maurello et Patella (1999). Ils proposent une probablty tomography dont le résultat n est toutefos que semquanttatf avec une localsaton du corps mas sans détermnaton de la résstvté. Une approche par réseaux neuronaux a également été présentée (El-Qady and Ushjma, 2001). En général, la majorté des auteurs utlse une méthode de Gauss-Newton (mondres carrés tératfs) avec une condton de régularsaton de type Marquardt-Levenberg (vor entre autres Pelton et al., 1978 ; Trpp et al., 1984 ; Daly and Owen, 1991 ; Park and Van, 1991 ; Sasak, 1992 ; Shma, 1992 ; Beard et al., 1996 ; Loke and Barker, 1996a et 1996b ; Morell and LaBrecque, 1996 ; Olaynka and Yaramanc, 1999 ; Y et al., 2001 ; Jackson et al., 2001 ; Pan et al., 2002). Cette formulaton est souvent complétée en y nsérant dfférentes matrces de lssage ou de pondératon dont le rôle est d ntrodure de l nformaton a pror (Pous et al., 1987 ; Marescot, 2003). Toutefos, dans le cadre de la résoluton du problème nverse applqué à des modèles 3D complexes, cette formulaton possède un handcap majeur : elle nécesste en effet d évaluer explctement la matrce jacobenne des dérvées partelles Y (ou matrce de sensblté). Cette matrce peut parfos être évaluée analytquement, comme nous l avons vu au Chaptre II, mas, pour des modèles quelconques, une soluton numérque sera souvent nécessare. Un méthode tradtonnelle consste à évaluer les coeffcents de la matrce par un calcul en dfférences fnes en résolvant le problème drect successvement pour une augmentaton et une dmnuton de la résstvté de chaque paramètre du modèle. Dans ce cas, 2xM factorsatons de la matrce globale et 2xS résolutons sont requses, avec S le nombre de couples source, ce qu peut s avérer mpratcable de par le temps de calcul exgé. Une autre approche consste à utlser une approxmaton de Born pour le calcul des sensbltés (vor par exemple Dabas et al., 1994). Dans ce cas, le champ prmare est assmlé au champ secondare et l n y a plus de système lnéare à résoudre. Cette méthode donne généralement des évaluatons des dérvées partelles de qualté médocre mas qu peuvent toutefos être acceptables pour le calcul des sensbltés. Une autre approche consste à utlser un modèle homogène pour calculer analytquement les dérvées partelles (Grffth and Barker, 1993), mas le résultat est relatvement dfférent lorsque la structure est fortement hétérogène, une soluton analytque n exstant pas pour des modèles 3D à structures complexes. Loke and Barker (1996a) utlsent la stratége quas-newton de Broyden pour mettre à jour la matrce de sensblté, ce qu est une approche très effcace s le processus d nverson ne s élogne pas trop du modèle de départ (Loke and Dahln, 2002). Une formulaton de champ adjont pour le champ de potentel peut également être utlsée pour évaluer les valeurs de sensblté de la matrce jacobenne. Dans ce cas, N résolutons du problème drect sont nécessares par tératon (McGllvray and Oldenburg, 1990 ; Zhang et al., 1995). Pour un problème avec beaucoup de données, cela peut également être un calcul prohbtf. Nous pouvons donc conclure c que le calcul explcte de la matrce jacobenne est en général très lourd et nécesste de grandes ressources en mémore pour son stockage. 122

123 IV.4.2 Inverson non-lnéare par méthode de champ adjont Une autre approche consste à utlser la formulaton du champ adjont au champ de potentel pour drectement mnmser la foncton objectf E (calcul du gradent h), ce qu est une technque d nverson purement non-lnéare. Cette méthode reste toutefos très peu utlsée pour le problème électrque. Cela vent probablement de la popularté de la méthode de Gauss-Newton dans le domane de la géophysque. Cette approche est néanmons ctée par McGllvray and Oldenburg (1990) et utlsée par Ells and Oldenburg (1994b), Spes and Ells (1995), Lesur et al. (1999) et Abubakar and van den Berg (2000) pour nverser des données sur des modèles représentant un dem-espace et en utlsant des méthodes d équatons ntégrales ou de dfférences fnes. Dans cette approche, le gradent h de la foncton objectf peut ensute être utlsé dans une formulaton de type MPGP. Avec cette stratége, une factorsaton de la matrce globale et 2xS résolutons du système lnéare sont nécessares par tératon. Nous proposons donc d utlser la technque de l état adjont (Ells and Oldenburg, 1994b) qu semble ben adaptée à notre problématque (Marescot et al., 2004). Nous adapterons toutefos l algorthme à des calculs par éléments fns sur des modèles 3D à géométres complexes. Nous pouvons noter que Abubakar and van den Berg (2000) consdèrent le contraste de conductvté (le produt du champ électrque total et de la conductvté) comme paramètre nconnu. Des modélsatons synthétques effectuées en utlsant cet algorthme donnent des reconstructons acceptables qu semblent également ndquer que la procédure d nverson est relatvement nsensble au brut. Nous utlserons quant à nous la résstvté (ou la conductvté) de chaque cellule comme paramètre nconnu. Résumé : Chox d une stratége d nverson La méthode de Gauss-Newton, avec une condton de régularsaton de type Marquardt- Levenberg, est tradtonnellement utlsée pour résoudre le problème nverse électrque. Cette formulaton est souvent complétée en y nsérant dfférentes matrces de lssage ou de pondératon. Toutefos, dans le cadre de la résoluton du problème nverse applqué à des modèles 3D à géométres complexes, cette formulaton possède un handcap majeur. Elle nécesste en effet d évaluer numérquement, par dfférences fnes par exemple, la matrce jacobenne des dérvées partelles (ou matrce de sensblté), ce qu peut représenter un calcul prohbtf. Notre approche consste à utlser la formulaton du champ adjont au champ de potentel pour drectement mnmser la foncton objectf. Le gradent de la foncton objectf peut ensute être utlsé dans une méthode de plus grande pente pour résoudre le problème nverse. 123

124 IV.5 LA METHODE DE L ETAT ADJOINT Comme nous l avons vu, les méthodes de descente de type MPGP nécesstent le calcul du gradent h de la foncton objectf E. Ce gradent pourrat être évalué en utlsant une formulaton par dfférences fnes, ce qu représente un gros effort de calcul. La méthode de l état adjont est par contre une technque effcace permettant cette évaluaton. Dans cette optque, l est tout d abord nécessare de défnr les équatons dfférentelles permettant l évaluaton du champ adjont avant de décrre explctement l algorthme d nverson utlsé dans ce traval, le problème à résoudre consstant à mnmser la foncton E sur le champ σ : = Ω ( ( σ), σ) E f V d Ω (4.21) où V est soluton de : ( ) σ V = q (4.22) dans Ω, q étant une foncton de l espace de la forme I δ ( r r ) avec I s l ntensté d une source S, r s la poston de cette source, r la poston d un pont quelconque de l espace et δ la dstrbuton de Drac (dans l espace à tros dmensons). Les condtons aux lmtes sont : σ V n = J (4.23) sur Γ N la frontère de Neumann, et V = V (4.24) s s s sur Γ D la frontère de Drchlet Dans l équaton 4.21, f est une foncton scalare supposée dérvable en V. Le champ V est résolu c au nveau d un seul couple source, et non pas au nveau de l ensemble des sources d une séquence de tomographe. Les champs V et σ sont c des champs scalares qu dépendent des coordonnées de l espace, ben que cela sot oms dans la notaton. Par dfférentaton du problème dont V est soluton par rapport à σ, le champ δ V est soluton du problème suvant : ( σ δv) = ( δσ ) V dans Ω (4.25) 124

125 σ δv n= δσ V n sur Γ N (4.26) δ V = 0 sur Γ D (4.27) La mnmsaton de la foncton objectf mplque la dfférencaton explcte de la foncton E par rapport au champ σ, avec les nconvénents que nous avons vus précédemment (lourdeur du calcul). La technque de l état adjont va nous permettre d obtenr cette dfférencaton sans le recours à un calcul explcte en transformant l écrture : δe = γ δv dω en Ω f δe = δσ dω σ Ω Notons au départ que f δe = δv dω= γ δv d V Ω (4.28) Ω Ω avec f γ =. (4.29) V L état adjont du champ scalare V est le champ scalare U, soluton du problème : ( σ U ) = γ dans Ω (4.30) σ U n = 0 sur Γ N (4.31) U = 0 sur Γ D (4.32) U est soluton d un problème classque de dffuson, avec une équaton de Posson sur le même champ de conductvté σ, un terme de source volumque égal à γ et des condtons aux lmtes sur les mêmes frontères de Drchlet et Neumann que le champ V. Nous avons alors, en utlsant successvement la technque de l ntégraton par partes et le théorème de Green-Ostrogradsky : ( ) dω δe = γ δv dω = σ U δv Ω Ω (4.33) ( ) (4.34) δe = δv σ U dω σ U δv dω Ω Ω δe = δv σ U n dγ σ U δv dω (4.35) Γ Ω 125

126 l ntégrale sur Γ=Γ D Γ N s annule car δ V = 0 sur Γ D et σ U n = 0 sur Γ N (condtons aux lmtes 4.27 et 4.31). Alors : δe = σ U δv d Ω (4.36) Ω en applquant à nouveau les mêmes technques, nous obtenons : ( ) ( ) d (4.37) δe = U σ δv dω+ U σ δv Ω Ω Ω ( ) δe = U σ δv n dγ U δσ V dω (4.38) Γ Ω en utlsant ( σ δv) = ( δσ V) dans Ω (4.25), pus encore les mêmes technques : ( ) δe = U σ δv n dγ U δσ V dω+ δσ V U dω (4.39) Γ Ω Ω ( ) δe = U σ δv + δσ V n dγ+ U V δσ dω (4.40) Γ et comme σ δv n= δσ V n sur Γ N (4.26) et U = 0 sur Γ D (4.32) nous obtenons : f δe = U V δσ dω= δσ dω σ Ω Ω Ω (4.41) avec f = U V σ (4.42) L état adjont U peut donc être calculé (par MEF notamment) de la même manère que V, mas en consdérant les condtons aux lmtes et les termes sources qu lu sont propres (données par la défnton de l état adjont). Résumé : La méthode de l état adjont L utlsaton d un algorthme de résoluton non-lnéare mplque la dfférencaton de la foncton objectf par rapport au champ de conductvté. La technque de l état adjont va nous permettre d obtenr cette dfférentelle sans un recours à un calcul explcte numérque, par dfférences fnes par exemple. Le champ adjont ans créé possède sa propre équaton locale et son propre terme de source, ans qu une sére de condtons aux lmtes. Le gradent de la foncton objectf s obtent par la smple évaluaton de deux champs (équaton 4.42). 126

127 IV.6 LA FONCTIONNELLE ET SON GRADIENT IV.6.1 Problématque L algorthme d nverson dot être capable de trater des jeux de données contenant un très grand nombre de mesures, souvent pluseurs mllers, sur des modèles à géométre complexe présentant de nombreux paramètres nconnus. Les méthodes de mnmsaton tradtonnelles, de type Gauss-Newton par exemple, où le calcul numérque de la matrce jacobenne dot être envsagé, sont mpratcables. Il est donc souhatable que l algorthme utlsé évte le stockage et l nverson de matrces de grandes talles et lmte au maxmum le nombre de problèmes drects à résoudre durant le processus tératf. Il est également souhatable que cet algorthme présente une certane robustesse et une certane polyvalence en ne nécesstant pas de réglages délcats pour obtenr un résultat satsfasant. En effet, dans les algorthmes de type Gauss- Newton, nous devons généralement adapter certans éléments de la formulaton servant à la stablsaton du calcul, tels que le facteur d amortssement (nverson de type Maquardt- Levenberg) ou encore les matrces de lssage (Sasak, 1994), en foncton de la dstance entre les cellules du modèle et les électrodes ou en foncton de l agencement des cellules du modèle par exemple (Loke and Barker, 1996a). La géométre complexe de nos modèles et l agencement quelconque des électrodes ne permettra pas de défnr, a pror et de manère standard, des réglages de ce type. Les dspostfs non-conventonnels qu seront utlsés pour mager l ntéreur de structures à géométres complexes présenteront des proprétés (résoluton, profondeur d nvestgaton) dffcles à appréhender par le géophyscen. Nous pouvons donc supposer que l nformaton collectée durant le processus d acquston ne sera pas optmale et que le problème nverse sera mal posé. L utlsaton d nformatons a pror et de contrantes sera alors captale lors de la résoluton du problème nverse, afn de lmter au maxmum la dmenson de l espace des modèles possbles. Dans cette approche du problème nverse, l utlsateur construra un certan modèle sur la base d nformatons a pror dsponbles pus cherchera à tester et éventuellement modfer ce modèle par le bas de l algorthme d nverson. L nfluence des données permettra alors de transformer certanes partes du modèle a pror. IV.6.2 Chox de la foncton objectf E Dans tout problème d optmsaton, l est nécessare de défnr une expresson de la foncton à mnmser E, qu peut être : E = E + E (4.43) RMS ref 127

128 avec, dans le cas du problème électrque : E RMS une foncton mnmsant la norme L 2 de la dfférence entre les résstvtés apparentes calculées et les résstvtés apparentes mesurées. La foncton E RMS est la somme des fonctons E RMS des S couples sources. E RMS S = E (4.44) = 1 RMS E ref une foncton mnmsant la norme L 2 de la dfférence entre les résstvtés du modèle calculées et les résstvtés mposées d un modèle de référence. Pour la résoluton du problème nverse, l est en général nécessare de pondérer les données au moyen d une foncton permettant de consdérer des varatons sgnfcatves de la résstvté et de tenr compte de la grande varablté de ce paramètre dans la nature. La foncton logarthme est couramment utlsée dans ce but. En effet, en consdérant les résstvtés apparentes drectement, nous ntrodurons un déséqulbre entre les valeurs de résstvtés apparentes extrêmes, les fortes valeurs étant rendues artfcellement plus nfluentes. Ben que les mesures expérmentales soent généralement exprmées en résstvtés apparentes, toutes les fonctonnelles et fonctons seront par la sute exprmées en foncton du champ de conductvté afn d applquer plus asément la technque de l état adjont. IV Utlsaton du logarthme des résstvtés apparentes L utlsaton d une foncton logarthme pour pondérer les données est fréquente (Pelton et al., 1978 ; Trpp et al., 1984 ; Pous et al., 1987 ; Sasak, 1992 et 1994 ; Morell and LaBrecque, 1996 ; LaBrecque et al.,1996 ou encore Loke, 2000). Comme nous pouvons le supposer, ce type de paramétrage est très effcace pour des données dont les valeurs sont supéreures à 1. L effet bénéfque de la foncton logarthme dsparaît toutefos pour les valeurs nféreures à 1 et cette foncton empêche l nverson de données nulles ou négatves. Ce phénomène n est en général pas gênant lors de mesures en surface avec des dspostfs conventonnels. Dans ce cas, l est en effet possble de s assurer du sgne postf de la résstvté apparente mesurée en exerçant un contrôle du sgne du facteur géométrque ans que de la forme globale du champ de potentel prmare. En surface, une résstvté apparente négatve peut subvenr s le champ de potentel secondare est très fort, ce qu est rarement le cas. Par contre, dans le cas de mesures sur des structures 3D complexes avec des dspostfs non-conventonnels (tomographe avec des électrodes autour de la structure ou en forage par exemple), la résstvté apparente mesurée peut très ben être nulle ou négatve, car le champ de potentel secondare ou le facteur géométrque peuvent fréquemment être de sgnes opposés. 128

129 Les expressons détallées de ces fonctons sont les suvantes, en consdérant r et r les ponts du domane spatal Ω à 3 dmensons : E E A (, rr ) (, rr ) = ln ln Φ ( rr, ) drdr 2 ( rr, ) (, ) (, ) rr rr 1 1 calc Ames RMS v A0 A ΩΩ Acalc (, rr ) = ln Φ ( rr, ) drdr 2 v ( rr, ) Ames (, ) ΩΩ rr RMS 2 2 (4.45) (4.46) avec A (, rr ) la foncton contnue et dérvable de la dfférence de potentel calculée sur le calc modèle entre les ponts r et r du domane Ω ; A (, ) 0 rr la foncton contnue et dérvable de la dfférence de potentel calculée sur un modèle homogène de résstvté untare entre les ponts r et r du domane Ω ; A (, rr ) la foncton contnue et dérvable des dfférences de potentel mesurées sur le mes terran entre les ponts r et r du domane Ω. Dans la pratque, la foncton A mes ( rr, ) n est pas connue partout car l échantllonnage des ponts de mesure sur le terran est forcément dscret. Φ (, rr ) une foncton de pondératon (pouvant être consttuée de Dracs en un certan nombre de ponts de mesures). v (, rr ) la varance sur les mesures du logarthme de la résstvté apparente (qu n est pas notée σ 2 afn d évter toute confuson avec la conductvté). Il est ntéressant de relever que l utlsaton du logarthme de la résstvté smplfe le problème. Nous pouvons en effet nous affranchr du calcul de la dfférence de potentel sur un terran homogène de résstvté untare durant le processus d nverson. De plus, le calcul de la résstvté apparente par normalsaton amélore sensblement la précson de l approxmaton EF du champ de potentel. Cette approche dot donc être préférée à l utlsaton du facteur géométrque. L expresson E RMS devent alors E 1 1 V ( σ; r) V ( σ; r ) 2 RMS = ln (, ) Φ 2 v ( rr, ) Vmes ( r) Vmes ( r ) ΩΩ rr drdr (4.47) avec A ( rr, ) = V ( σ; r) V ( σ; r ) calc L expresson V ( r) V ( r ) ne dépend pas du champ σ. Nous pouvons donc contnuer à la mes noter (, rr ). A mes mes 129

130 Rappelons que représente la dépendance de la mesure du potentel aux sources d njecton de courant. La foncton mnmsant la norme L 2 de la dfférence entre le logarthme du champ des résstvtés calculées et le logarthme du champ des résstvtés mposées d un modèle de référence vaut quant à elle : E ref = Λg ln ln 2 σ σ Ω ref 2 dω. (4.48) Cette foncton représente la contrante par régon sur le modèle de référence et Λ g une foncton réglant la contrante sur le modèle de référence par régon ou par groupe (noton vue lors de la descrpton de CESAR-LCPC, Chaptre III). Là encore, l utlsaton du logarthme des champs de résstvté évte les effets ndésrables causés par la large gamme de varaton de ce paramètre dans la nature. L utlsaton du logarthme nous évte également d mposer la postvté de la conductvté. Nous ne consdérons pas c de contrante de lssage sur la soluton (ou sur le vecteur de modfcaton des résstvtés) car elles ne nous semblent pas ndspensables dans un premer temps. En effet, beaucoup de cbles que nous désrons mager présentent des lmtes franches avec l encassant, ce qu est en contradcton avec l utlsaton d un lssage (Loke et al., 2001). De plus, la sous-détermnaton du problème ne présente pas de dffculté de stablté numérque. Une telle sous-détermnaton provoquerat par contre la sngularté du jacoben dans la formulaton de Gauss-Newton notamment. Dfférencaton de la foncton objectf par rapport au champ de conductvté Sot δσ une pette varaton du champ σ. Nous souhatons évaluer δe pour cette varaton de δσ, sot : δ E = δe + δe (4.49) RMS ref Pour la foncton de la contrante par régon sur le modèle de référence, cela ne pose pas de problème et le recours à l état adjont est nutle : S nous posons f ref = Λg ln ln 2 σ σ ref 2 (4.50) alors fref 1 σ ref δeref = δσ dω = Λg ln δ σ σ dω (4.51) σ σ Ω Ω 130

131 où fref 1 σ ref =Λg ln σ σ σ (4.52) Pour applquer c la technque de l état adjont à la mnmsaton par mondres carrés tradtonnelle, l faut auparavant transformer la double ntégrale sur le domane Ω en une ntégrale smple sur Ω. Dans un premer temps, nous pouvons dfférencer la foncton E RMS d un couple source par rapport à V : δ E 1 V ( σ; r) V ( σ; r ) δv ( σ; r) δv ( σ; r ) = ln Φ ( rr, ) drd r v (, rr ) Ames (, ) V ( σ;) V ( σ; ) ΩΩ rr r r (4.53) RMS Cette expresson se décompose en une dfférence de deux ntégrales doubles : δe 1 1 V ( σ; r) V ( σ; r ) = ln δv ( σ ; r) Φ ( r, r ) dr dr v (, rr ) V ( σ;) r V ( σ; r ) Ames (, ) ΩΩ rr RMS ΩΩ 1 1 V ( σ; r) V ( σ; r ) ln ( ; ) (, δv σ r Φ r r ) dr d r v (, rr ) V ( σ;) r V ( σ; r ) Ames (, rr ) (4.54) 1 1 V ( σ; r) V ( σ; r ) δerms = δv ( σ; r) ln (, Φ r r ) dr dr v (, ) V ( σ;) V ( σ; ) Ames (, ) Ω rr r r Ω rr sot : Ω 1 1 V ( σ; r) V ( σ; r ) δv ( σ; r ) ln (, Φ r r ) dr d r v (, ) V ( σ;) V ( σ; ) Ames (, rr r r ) Ω rr (4.55) δe = L( σ; r) δv ( σ; r) dr P ( σ; r ) δv ( σ; r ) dr (4.56) RMS Ω Ω avec 131

132 1 1 V ( σ; r) V ( σ; r ) L( σ ; r) = ln, Φ v (, rr ) V ( σ;) r V ( σ; r ) Ames (, ) Ω rr ( r r ) dr (4.57) 1 1 V ( σ; r) V ( σ; r ) P ( σ ; r ) = ln, Φ v (, rr ) V ( σ;) r V ( σ; r ) Ames (, ) Ω rr ( r r ) dr (4.58) En se plaçant au même pont r Ω et en prenant une même varable d ntégraton muette r, les expressons précédentes devennent : 1 1 V ( σ; r) V ( σ; r ) L( σ ; r) = ln, Φ v (, rr ) V ( σ;) r V ( σ; r ) Ames (, ) Ω rr ( r r ) dr 1 1 V ( σ; r ) V ( σ; r) P ( σ ; r) = ln (, Φ r r) dr v ( r, r) V ( σ; r ) V ( σ; r) Ames (, ) Ω r r (4.59) (4.60) et alors [ ] δerms = L( σ; r) P( σ; r) δv ( σ; r) Ω dr (4.61) δe = γ ( σ; r) δv ( σ; r ) dω (4.62) RMS Ω RMS où on a changé la notaton dr en dω, avec γ RMS ( σ; r) = L( σ; r) P ( σ; r) le terme source de l état adjont. Il est donc possble de calculer la dfférentelle de la foncton objectf E par rapport au champ σ. Nous obtenons alors, pour un couple source : σ f RMS = U ( σ; r) V ( σ; r ) (4.63) et nous pouvons noter : f f f δ = δ + δ = δσ Ω+ δσ Ω= δσ σ σ σ Ω (4.64) RMS ref E ERMS Eref d d d Ω Ω Ω avec : 132

133 frms σ S frms = (4.65) σ = 1 et δe RMS S = δe (4.66) = 1 RMS Dans le cas de mesures en résstvté, nous posons : m 1 m σ = e avec m = ln ρ = ln alors δσ = σ δm = e δm σ avec e le nombre népéren. Expresson des termes de source de l état adjont Il est mantenant nécessare d explcter le terme source de l état adjont. Sot le premer terme de δe RMS : 1 1 V ( σ; r) V ( σ; r ) L( σ ; r) = ln, Φ v (, rr ) V ( σ;) r V ( σ; r ) Ames (, ) Ω rr j ) ( r r ) dr (4.67) Pour représenter nos mesures dscrètes en des ponts défns de Ω nous exprmons Φ sous la forme : m (, ) δ ( M j ) δ ( rr r N r (4.68) Φ = j= 1 avec m le nombre de couples de mesure pour le couple source. M j et N j étant le j ème couple d électrodes de mesure consdéré pour le couple d électrodes d njecton. ( j ) m 1 δ N r V ( σ; r) V ( σ; r ) L( σ; r) = δ ( M j r) ln dr j= 1 v (, rr ) V ( σ;) r V ( σ; r ) Ames (, ) Ω rr (4.69) L ntégrale sur Ω peut alors être drectement évaluée : m 1 1 V ( σ; r) V ( σ; N ) j L( σ; r) = δ ( M j r) ln j= 1 v (, r N j) V ( σ;) r V ( σ; N j) Ames(, r N j) (4.70) 133

134 sot : m r = Ij( r ) ( j ) L( σ; ) σ; δ M r (4.71) j= 1 Le terme L ( σ ; r) d ntenstés I j. représente alors la somme des sources localsées aux ponts M j et De même pour le second terme de δ E RMS : avec : 1 1 V ( σ; r ) V ( σ; r) P ( σ ; r) = ln (, Φ r r) dr v ( r, r) V ( σ; r ) V ( σ; r) Ames (, ) Ω r r (4.72) m (, ) δ ( M j ) δ ( Φ = N j j= 1 ) r r r r (4.73) ( j ) m 1 δ M r V ( σ; r ) V ( σ; r) P ( σ; r) = δ ( N j r) ln dr j= 1 v ( r, r) V ( σ; r ) V ( σ; r) Ames (, ) Ω r r (4.74) ce qu donne, en ntégrant sur Ω : sot : m 1 1 V ( σ; M j ) V ( σ; r) P ( σ; r) = δ ( N j r) ln j= 1 v ( M j, r) V ( σ; M j) V ( σ; r) Ames( M j, r) (4.75) m ( j ) P ( σ; r) = R ( σ; r ) δ N r (4.76) j= 1 j Le terme P ( σ ; r) d ntenstés -R j. représente alors la somme des sources localsées aux ponts N j et Le terme de source γ RMS de l état adjont U correspondant au cas de charge devent donc : 134

135 m r = I r ( M r) R r ( ) γ ( σ; ) ( σ; ) δ ( σ; ) δ N r (4.77) RMS j j j j j= 1 Il est mantenant ntéressant de fare un parallèle entre la sgnfcaton concrète des champs V et U : Pour une poston de couple source, un champ de potentel V est créé, le courant étant njecté par un couple d électrodes A (ntensté +q) et B (ntensté -q). Nous pouvons remarquer que la méthode de l état adjont reste valable quel que sot le nombre, le sgne ou la forme des sources (ponctuelles, lnéques, planes). Nous mesurons le potentel V à dfférents emplacements dans l espace Ω à l ade des électrodes M j et N j. Il y a m couples de mesure. Dans le cas du champ adjont U, tout se passe comme s nous avons des sources d ntensté I j aux dfférentes postons M j et des sources d ntensté -R j aux dfférentes postons N j. Le champ U est alors calculé sur la totalté de l espace Ω (dans le cas d un problème résolu par MEF, dans chaque élément). Nous pouvons encore remarquer que pour le calcul du gradent de la foncton objectf E nous n utlsons pas drectement le champ U mas son gradent U. IV Utlsaton drecte des résstvtés apparentes Ben qu l ne sot pas consellé d utlser la valeur des résstvtés drectement, sans le logarthme, nous donnons c l expresson de la foncton objectf ans que du terme source de l état adjont que l on obtent dans ce cas : E A (, rr ) A (, rr ) = Φ 2 ( rr, ) (, ) (, ) rr rr 1 1 calc mes RMS v A0 A ΩΩ 0 2 (, ) rr drdr (4.78) Dans le cas présent, v ( rr, ) est la varance sur les mesures de la résstvté apparente drectement et non plus sur leurs logarthmes. Le terme source de l état adjont peut s obtenr de la même manère que précédemment : 1 (, ) V ( σ; r) V ( σ; r ) Ames rr 1 L( σ ; r) = (, r ) d v (, rr ) A0(, ) A0(, ) A0(, ) Ω rr rr rr Φ r r (4.79) 1 (, ) V ( σ; r ) V ( σ; r) Ames r r 1 P ( σ ; r) = (, r ) d v ( r, r) A0(, ) A0(, ) A0(, ) Ω r r r r r r Φ r r (4.80) En décomposant la foncton Φ qu permet de localser les ponts de mesure (correspondants au couple source ), nous obtenons à nouveau une expresson de la forme : 135

136 δe = γ ( σ; r) δv ( σ; r) dω RMS Ω RMS (4.81) avec ( ) ( m ( ; ) RMS j ( ; ) M j j ( ; ) N j j= 1 γ σ r = I σ δ R σ δ r r r r (4.82) où les ntenstés I j et -R j des sources de l état adjont U sont défnes suvant les expressons (4.79) et (4.80). ) IV.7 LE MODULE D INVERSION INVS Un code de calcul a été créé dans le but de permettre l nverson de données électrques par courant contnu. A la dfférence du programme utltare TOMELE utlsé pour la modélsaton drecte, le module d exécuton INVS (pour INVerson électrostatque) est conçu comme un module d exécuton de CESAR-LCPC (Marescot et al., 2003e ; Marescot et al., 2004). Il dot donc être appelé par mot clef dans le jeu de données créé par le préprocesseur MAX3D pour le solveur CESAR. Sous ce mot clef sont regroupés toute une sére de paramètres pour l nverson ans que les données de potentel mesurées. Une descrpton détallée du module ans que du jeu de données à créer se trouve dans l Annexe Technque en fn de traval. IV.7.1 Aspect général du module d exécuton INVS Nous décrvons c brèvement la structure générale du module d exécuton INVS. Le module d exécuton INVS sut l archtecture de tous les modules d exécuton de CESAR-LCPC. Nous dstnguons donc tout d abord un premer sous-programme (BLINVS) pour la préparaton des tableaux et la réservaton de l espace mémore, pus le sous programme d exécuton (EXINVS) pour l nverson proprement dte. Fnalement, deux sous-programmes sont également présents à la fn du code pour la résoluton numérque du problème. Le sous-programme EXINVS effectue tout d abord le lecture des données dans le jeu de données destné au solveur CESAR. Nous trouvons entre autres dans ce jeu de données les nformatons suvantes :! Les coordonnées cartésennes des électrodes! Les dfférences de potentel mesurées et les erreurs assocées! La valeur du modèle de départ par groupe 136

137 ! La valeur du modèle de référence par groupe! La contrante (pods) du modèle de référence par groupe! Les lmtes supéreure et nféreure pour la conductvté du modèle! Le nombre maxmum d tératons! La valeur maxmum désrée pour la foncton objectf E! Le taux de varaton mnmal entre deux valeurs consécutves de E pour admettre une convergence! Le type de foncton objectf à utlser (logarthme des résstvtés apparentes ou résstvtés apparentes drectement) L nverson se déroule de la manère suvante. Un premer calcul est effectué sur un modèle homogène de résstvté unté pour le calcul des résstvtés apparentes. Les dfférences de potentel ans calculées servront à l évaluaton des résstvtés apparentes. Nous ntalsons ensute le modèle en utlsant les résstvtés données par groupes pour le modèle de départ pus nous résolvons une premère fos le problème drect pour le calcul du champ de potentel V et de l état adjont U. Le gradent de la foncton objectf ans obtenu est utlsé pour mettre à jour le modèle de départ selon une MPGP. Le processus tératf commence ensute et le modèle est progressvement ms à jour selon la méthode des gradents conjugués. Pour chaque tératon, deux résolutons du problème drect sont nécessares pour le calcul de la mse à jour du modèle (nous consdérons à chaque fos une résoluton pour le champ V et une résoluton pour le champ U pour chaque couple source). Nous répétons ensute cette opératon jusqu à ce qu un des crtères d arrêt de l nverson sot rempl. Ces crtères d arrêt sont développés plus lon. IV.7.2 Le gradent de la foncton objectf Le module d exécuton INVS permet donc l évaluaton rapde du gradent de la foncton objectf E pour un modèle donné. Comme nous allons le vor, la forme de ce gradent condtonne certans chox lors de la mse au pont d un algorthme d nverson. Il est ntéressant de fare un parallèle entre le gradent de E et la foncton de sensblté pour un seul quadrpôle (fgure 4.2). Une mesure est smulée sur un modèle homogène de conductvté 1 S/m, pus le gradent de E est calculé en utlsant un modèle de départ de 0.01 S/m (plus résstant). Comme le montre la fgure 4.2, la forme du gradent de E est comparable à la foncton de sensblté, avec des zones postves et des zones négatves. Cec est parfatement normal de par la structure mathématque très smlare de ces deux fonctons (vor équaton 2.4). Dans notre cas, les cellules stuées dans une zone négatve verront leur conductvté augmenter lors d une correcton et nversement pour une zone postve. Comme le processus nverse dot augmenter la conductvté du modèle afn de dmnuer l erreur, les composantes du gradent de la foncton objectve sont globalement négatves. Elles sont en 137

138 partculer fortement négatves entre M et N. Une varaton de la conductvté dans l autre sens aurat fat apparaître des composantes du gradent globalement postves pour le modèle. Fgure 4.2 : Composantes du gradent de la foncton objectf dans chaque cellule pour quatre électrodes. Nous pouvons également remarquer que, comme dans le cas de la foncton de sensblté, les composantes du gradent de E sont très fortes à proxmté des électrodes. Les paramètres du modèle dans ces régons auront alors une nfluence prédomnante sur la correcton apportée au modèle. Ces fortes modfcatons peuvent créer des cas d équvalence en créant des structures présentant de forts contrastes de résstvté à proxmté des électrodes pour explquer des varatons plus élognées dans le modèle. Nous pouvons lmter cet effet en défnssant une résstvté moyenne pour le modèle de départ dans les cellules du modèle proches des électrodes (en utlsant les résstvtés mesurées par les plus petts dspostfs par exemple). Il s agra ensute de dmnuer l nfluence de ces cellules en lmtant les composantes du vecteur de modfcaton dans ces régons (Zhang et al., 1995). A proxmté des frontères à potentel mposé (condtons aux lmtes de Drchlet), nous pouvons noter que des composantes aberrantes (très élevées) du gradent de E peuvent être parfos obtenues. L apparton de telles valeurs aberrantes n est pas systématque pour tous les éléments des frontères. Elle est plus fréquente pour les éléments présentant une forte dstorson. Cela peut s explquer par l nstablté sur les bords des varables dérvées ( V et U) lorsqu'on mpose des condtons aux lmtes nexactes (potentel nul par exemple) sur les varables prmares (V et U). Nous stablserons le processus d nverson en mettant ces valeurs de gradent à zéro. La conductvté des éléments concernés n évolue donc pas au cours du processus tératf ce qu n est pas problématque, leur effet sur la mesure étant très fable. 138

139 IV.7.3 Chox d une drecton de descente : les gradents conjugués Nous revenons brèvement sur le chox de la méthode de descente. Ce module utlse la méthode de l état adjont pour mnmser la foncton objectf E afn de défnr une drecton de descente. Le gradent de la foncton objectf E correspond au vecteur h de dmenson M. En consdérant une méthode de descente, nous pouvons alors noter : 1 m + = m α R h (4.83) Cette méthode peut être alors utlsée dans un algorthme d nverson à condton de pouvor évaluer le gradent de la foncton objectf par la méthode des éléments fns. Une résoluton numérque par dfférences fnes étant trop coûteuse en temps, nous utlsons la formulaton de l état adjont. En effet, l état adjont permet le calcul du gradent h en lmtant le nombre de résolutons du problème drect. Nous devons également chosr une matrce R en lmtant les évaluatons supplémentares du problème drect. En utlsant une matrce dentté comme matrce défne postve, nous obtenons la méthode de plus grande pente (MPGP). Le vecteur -I h est ans une drecton de descente : 1 m + = m α I h (4.84) Suvant la topographe de la surface défne par la foncton objectf, la méthode du gradent peut s avérer nadaptée (oscllatons de la correcton en drecton du mnmum). Ce comportement se tradut par une dmnuton lente et monotone de la valeur de la foncton objectf à proxmté du mnmum. Nous évtons en général ce type de comportement de l algorthme en posant, comme nous l avons vu (IV.2.2), R=X -1, avec X -1 l nverse de la matrce hessenne (méthode de Gauss). Nous n utlserons cependant pas cette approche car les dérvées secondes de la foncton objectf dovent être évaluées. Dans l algorthme proposé, nous utlsons une MPGP pour la premère tératon, cette méthode étant toujours acceptable et robuste quel que sot le modèle de départ utlsé (R est ans toujours défne postve, même pour un modèle élogné de la réalté). Nous amélorons ensute la drecton de descente en utlsant une méthode de gradents conjugués afn de lmter les oscllatons en drecton du mnmum (Polyak et Rbere, 1969). Dans la méthode des gradents conjugués, la drecton de descente chose est composée du gradent de la foncton objectf pour le modèle courant, conjuguée aux drectons de descente des tératons précédentes. 139

140 L algorthme de mse à jour de la drecton de descente se décrt alors, avec le numéro de l tératon courante : Chosr m 1, un modèle de départ, et poser : r = h, p = r 1 Chosr α pour mnmser la foncton objectf et poser : m + = m + α p r + = h, avec ( ) T ( r ) r T p = r + β p, β = r r r + 1 (4.85) En théore, l algorthme dot repartr depus le début toutes les M tératons, avec M le nombre de paramètres du modèle. Dans la pratque toutefos, le processus converge avant l tératon M. IV.7.4 Chox du pas d ajustement des paramètres Idéalement, le chox du pas d ajustement dans l espace des paramètres consste à calculer une valeur de α mnmsant la foncton objectf à l tératon suvante E(m +dm ). Ce problème d optmsaton à une varable peut être résolu par un grand nombre d algorthmes dfférents (Press et al., 1992). Les algorthmes de la secton d or (ou Golden Secton) ou de Fbonacc sont très fréquemment utlsés en optmsaton. Ces méthodes effectuent une recherche d un mnmum par dchotome. Des algorthmes de recherche lnéare (en utlsant par exemple les condtons d Armjo-Goldsten) peuvent également être utlsés. Toutes ces méthodes exgent un nombre conséquent d évaluatons de E (et donc de résolutons du problème drect) pour attendre un mnmum. Ce type d approche semble donc peu adapté à notre problème. Dans le module d exécuton INVS, l utlsateur sélectonne la talle du pas utlsé lors de la premère tératon et utlse ce pas constant pour toutes les tératons. A chaque tératon, un contrôle est effectué sur la valeur de la foncton objectf. S cette valeur est supéreure à la valeur de l tératon précédente, nous recommençons l tératon courante avec un pas dmnué d un facteur deux. Cette technque est très robuste mas nécesste toutefos un nombre mportant d tératons pour attendre un mnmum, le pas n étant pas optmal. 140

141 IV.7.5 Contrantes et nformaton a pror Le module d exécuton INVS a été conçu de telle façon à lasser un maxmum de lberté à l utlsateur : dans ce module, un modèle de départ ans qu un modèle de référence peuvent être utlsés. Nous dsposons en effet fréquemment d nformaton a pror pour les applcatons concernées par ce traval (forages en géotechnque par exemple). Ces modèles peuvent être homogènes ou hétérogènes, c est-à-dre composés de groupes de géométres et de résstvtés varables en foncton de l nformaton a pror dsponble. Un pods par groupe peut être donné pour le modèle de référence. De cette manère, nous pouvons défnr un certan degré de certtude pour l nformaton a pror utlsée et lorsque ce pods est fort, l algorthme aura tendance à ne pas trop s élogner du modèle de référence. Lorsque ce pods est nul, la contrante sur le modèle de référence ne s applque pas et la foncton objectf a smplement la forme d un ajustement par mondres carrés sur les données. Il est également possble de relâcher la contrante sur le modèle de référence au cours de l nverson afn d orenter la drecton de mnmsaton au début du processus unquement, à un moment où l nformaton a pror est crucale. La moyenne des résstvtés apparentes peut être utlsée comme modèle de référence homogène dans le cas où aucune autre nformaton a pror n exste. Dans ce cas, la reconstructon obtenue ne s élognera pas trop de cette valeur de référence. Nous n utlsons pas de lssage lmtant les varatons de résstvté entre deux cellules adjacentes dans cette verson de notre algorthme. Un lssage des paramètres du modèle est généralement applqué afn de rédure le domane d équvalence de la soluton. Le modèle référence peut également être utlsé à cette fn dans notre algorthme d nverson. De plus, comme nous l avons dt précédemment, un lssage ne nous semble pas être la melleure contrante à utlser par rapport aux cbles que nous cherchons, ces dernères présentant fréquemment des lmtes très franches (fssures dans la roche, délamnatons dans le béton, nterface entre le sol et le substratum). Nous pouvons d alleurs vor dans Lesur et al. (1999) que le lssage utlsé est en conflt avec la forme supposée des cbles recherchées. Des réglages délcats ans que l utlsaton d une foncton de pénalsaton (favorsant une certane dscontnuté de résstvté entre deux cellules adjacentes) dovent être utlsés pour amélorer le résultat. Comme le relèvent les auteurs, cette foncton de pénalsaton est une forte contrante supplémentare sur le modèle qu nécesste de très bonnes nformatons a pror. Son utlsaton semble donc très délcate. L utlsateur peut également rentrer une valeur maxmale et mnmale pour la résstvté des cellules du modèle. Lorsqu une des cellules approche cette valeur lmte, la composante du vecteur de mse à jour de cette cellule est progressvement dmnué. Cela permet de contrandre le résultat de l nverson et d évter l apparton de résstvtés aberrantes dans le modèle. Nous ne fxons toutefos pas des lmtes rgdes pour la conductvté du modèle. Il y a pluseurs rasons à cela. Le fat de fxer de manère rgde la conductvté de certanes cellules 141

142 approchant les lmtes prédéfnes peut créer des nstabltés dans le processus d nverson. De plus, la fablté de l nformaton a pror ne peut jamas être parfatement garante. IV.7.6 Crtères de convergence Un ou pluseurs crtères de convergence sont nécessares afn de pouvor vérfer s le modèle obtenu explque ben les données et, le cas échéant, pouvor mettre fn au processus d nverson. Loke and Barker (1996a) se basent sur le taux de varaton de l erreur RMS entre deux tératons pour mettre fn au processus d nverson dans le cas où la varance des données est nconnue. Dans INVS, ce taux de varaton est défn de la manère suvante : 1 ( E E ) % = (4.86) E E En général, nous mettons fn au processus d nverson lorsque ce taux de varaton est nféreur à 5%. Cette valeur lmte pour le taux de varaton est couramment utlsée en géophysque (Loke and Barker, 1996a). Il est de même nécessare de défnr une valeur optmale pour la foncton objectf, tout en tenant compte du brut de mesure. En effet, s la valeur de la foncton objectf est très supéreure à la valeur optmale, cela sgnfe en général que la varance des données est sousestmée ou encore que le processus tératf n a pas été suffsamment prolongé. Dans ce cas, nous rsquons de manquer certanes structures mportantes dans le modèle. Dans le cas où la valeur de la foncton objectf est plus pette que la valeur optmale, cela peut sgnfer que le modèle est ajusté aux données au delà du nveau de brut. En théore, les écarts de prédcton aux données ne dovent pas être nféreurs aux erreurs de mesure. Cela peut également sgnfer que la varance des données est surestmée. Cependant, l dffcle d évaluer correctement la varance des données (Zhou et Dahln, 2003) et donc, la valeur optmale pour la foncton objectf. Dans ce qu sut, nous détermnons la valeur optmale de la foncton objectf qu concerne l ajustement des données par mondres carrés (on ne consdère pas la parte relatve au modèle de référence). Nous supposons c que les erreurs suvent une dstrbuton normale, ce qu devrat être le cas pour une mnmsaton par mondres carrés. La résstvté apparente brutée peut s écrre : ( b randn) ( ) ρ = ρ + = ρ * 1+τ (4.87) * a a 1 a avec ρ a la résstvté apparente brutée, ρ * a la résstvté apparente non brutée (a pror nconnue, sauf dans le cas de modélsatons numérques), b un nveau de brut (par exemple 142

143 b=0.05 pour 5%) et randn une foncton donnant une valeur aléatore suvant une dstrbuton normale de moyenne nulle et de varance (et d écart type) unté. Pour la foncton objectf utlsant le logarthme des données, nous pouvons écrre : * ( ) ( ) ( ln ρ = ln ρ + ln 1+ τ (4.88) a a ) En supposant que τ est pett (brut fable, en pratque nféreur à 20%, sot τ 0.2), nous pouvons alors effectuer un développement lmté et écrre : donc ( ) ln 1+ τ τ (4.89) ln * ( a) ln ( a) ρ ρ + τ (4.90) En cherchant la varance v de cette expresson nous obtenons : * ( ln ( a) ) ln ( a) ( ) ( ) ( ) v ρ v ρ + v τ = v b randn (4.91) car la varance sur la soluton exacte est nulle. Nous obtenons fnalement : ( ln ( a )) ( ) v ρ b v randn = b (4.92) Nous voyons donc que la varance sur le logarthme des résstvtés apparentes est une constante dépendant du nveau de brut chos. S ce nveau de brut est le même pour toutes les données, la valeur optmale de la foncton objectf vaut : N 2 ( ) * E b (4.93) avec N le nombre de données. Cette estmaton de la valeur optmale n est toutefos valable que lorsque l nfluence du modèle de référence est nulle, lorsque nous ne cherchons qu à ajuster les données calculées et mesurées. Lors de l utlsaton d un modèle de référence, la valeur optmale de la foncton est supéreure à E *, sauf s le modèle fnal respecte exactement le modèle de référence (ce qu n est pas l objectf de l nverson). Résumé : Le module d nverson INVS Le module d nverson INVS est adapté au tratement des jeux de données contenant un très grand nombre de mesures sur des modèles à géométre complexe présentant de 143

144 nombreux paramètres nconnus. L algorthme utlsé est donc robuste, évte le stockage et l nverson de matrces de grandes talles et lmte au maxmum le nombre de problèmes drects à résoudre durant le processus tératf. Il ne nécesste également qu un nombre mnmum de réglages pour obtenr un résultat satsfasant, les réglages prncpaux étant la valeur du pas d ajustement dans l espace des paramètres et les crtères d arrêt. La foncton objectf chose permet l utlsaton d un modèle de référence par groupes pour ntrodure de l nformaton a pror. L utlsateur construt un modèle sur la base d nformatons dsponbles pus cherche à modfer ce modèle par le bas de l algorthme d nverson. L nfluence des données permettra alors de transformer certanes partes du modèle a pror. Le gradent de la foncton objectf étant très fort à proxmté des électrodes, les paramètres du modèle dans ces régons auront une nfluence prédomnante sur la correcton apportée au modèle. Ces fortes modfcatons peuvent alors créer des cas d équvalence. Nous pouvons lmter cet effet en dmnuant l nfluence des cellules proches des électrodes. La drecton de descente est obtenue selon une méthode de plus grande pente pour la premère tératon, pus, pour les tératons suvantes, par une méthode de gradents conjugués afn de lmter les oscllatons en drecton du mnmum. Dans la méthode des gradents conjugués, la drecton de descente chose est composée du gradent de la foncton objectf pour le modèle courant conjuguée aux drectons de descente des tératons précédentes. Dans la verson actuelle de l algorthme, le pas est chos constant. Un des crtères d arrêt pour le processus d nverson est le taux de varaton de la foncton objectf entre deux tératons successves. Dans le cas où le nveau de brut peut être estmé, l est également possble d évaluer une valeur optmale pour la foncton objectf. 144

145 CHAPITRE V FIABILITE DES RECONSTRUCTIONS 145

146 146

147 V.1 LA FIABILITE DES MODELES INVERSES Lors d une procédure de modélsaton nverse, l est nécessare de détermner s les structures modélsées sont exgées par les données ou sont des artefacts du processus d nverson. Cette étude est partculèrement utle lorsque le modèle présente de forts contrastes de résstvté vers la surface (permafrost, cavtés, dalles). Dans le cas d un problème nverse lnéare, l est courant d évaluer une matrce de résoluton des paramètres du modèle et des données (vor par exemple Menke, 1989). Cette approche n est toutefos qu une approxmaton dans le cas d un problème nverse non-lnéare et nécesste de plus le calcul explcte de la matrce jacobenne des dérvées partelles. Or notre procédure d nverson ne calcule pas cette matrce. Il est donc nécessare de défnr une autre approche dans notre cas. Une autre soluton à ce problème serat de dscrmner les régons du modèle qu ont une nfluence sur les données de celles dont l nfluence est mondre. Cela revent en fat à quantfer la profondeur d nvestgaton d une étude électrque. Les approches les plus tradtonnelles calculent le sgnal maxmum en profondeur (Roy and Apparao, 1971) ou la profondeur médane d nvestgaton (Edwards, 1977) pour un terran homogène. Lorsque le sous-sol présente de forts contrastes de résstvté, ces méthodes ne sont toutefos plus applcables. De plus, pour des modèles trdmensonnels à géométres complexes, les solutons analytques permettant de défnr des profondeurs d nvestgatons ne sont plus applcables. Notre approche consste alors à utlser le calcul de l ndce DOI (Depth Of Investgaton) pour évaluer la profondeur en dessous de laquelle les données ne sont plus sensbles aux paramètres physques du sous-sol (Oldenburg and L, 1999). Dans cette parte du traval, nous présentons tout d abord l mplémentaton du calcul de l ndce DOI en utlsant la formulaton de Gauss-Newton. Il nous a en effet paru nécessare de tester tout d abord l applcablté de cette méthode dans un algorthme très fréquemment utlsé et qu sot très smlare à la formulaton nverse de Oldenburg et L (1999). Nous serons ensute à même d en trer quelques conclusons qu pourront nous être utles pour transposer le calcul de l ndce DOI dans le cadre de la formulaton nverse développée dans ce traval. On notera encore que pour des mesures sur des structures trdmensonnelles complexes ou encore des mesures en forages, le terme d ndce DOI n est peut-être pas déal. Nous proposons alors d utlser le terme de Regon Of Investgaton (ROI) qu est plus général. Résumé : La fablté des modèles nversés Lors d une procédure de modélsaton nverse, l est nécessare de détermner s les structures modélsées sont exgées par les données ou sont des artefacts du processus d nverson. Notre approche consste alors à utlser le calcul d un ndce ROI (Regon Of Investgaton) pour évaluer la profondeur sous laquelle les données ne sont plus sensbles aux paramètres physques du sous-sol. 147

148 V.2 LA METHODE DE GAUSS-NEWTON ET L INDICE ROI Le programme RES2DINV est utlsé pour nverser les résstvtés apparentes mesurées par une méthode de Gauss-Newton avec la modfcaton de Marquardt-Levenberg (Ells and Oldenburg, 1994a ; Loke and Barker, 1996a ; Farquharson and Oldenburg, 1998). Cette formulaton est dentque à l équaton 4.20, avec toutefos l adjoncton de matrces de lssages et l utlsaton d un modèle de référence. Nous utlsons donc la formulaton suvante : T T ( Y RdY + λk FR) m = Y Rd e λk FR ( m 1 m 0 ) avec F R C R C C R (5.1) T T R = αs s + αx x x x + αz z z C z où est l tératon courante, m est la modfcaton à apporter aux paramètres du modèle, m -1 est le vecteur contenant le logarthme des résstvtés du modèle, m 0 est un modèle de référence homogène, e est le vecteur des dfférences entre les logarthmes des résstvtés apparentes mesurées et calculées. R d, R x, R z et R s sont des matrces de pondératon. C x et C z sont des matrces de lssage et α s, α x, α z et λ k sont des facteurs d amortssement. Y est la matrce jacobenne des dérvées partelles telle qu elle a été défne plus haut. Le problème drect est résolu par méthode EF et la topographe peut être prse en compte dans le modèle par dstorson du mallage (Loke, 2000). La méthode de calcul de l ndce ROI (ndce DOI de Oldenburg and L, 1999) effectue deux nversons à partr du même jeu de données en utlsant dfférentes valeurs pour le modèle de référence m 0 dans l équaton (5.1). La valeur de l ndce ROI pour une cellule du modèle est donnée par : R AB ( x, z) (, ) (, ) ma x z mb x z = m m A B (5.2) avec m A et m B les deux modèles de référence utlsés. La valeur de R va approcher 0 dans les partes du modèle où les deux nversons reprodusent la même valeur de résstvté. La résstvté des cellules est alors ben contrante par les données. Dans les régons où les données ne fournssent que peu d nformaton, R va approcher la valeur de 1 car la résstvté de ces cellules sera smlare à la résstvté du modèle de référence. Cec va partculèrement se produre à grande profondeur ans que sur les côtés des profls. Afn de rédure l effet du chox du facteur α s ans que des résstvtés ntales m A et m B, un ndce normalsé a également été proposé par Oldenburg et L (1999) : 148

149 (, ) R x z (, ) B(, ) R ( m m ) ma x z m x z = M A B (5.3) avec R M la valeur maxmale de l ndce ROI calculée avec l équaton (5.2) sur le modèle. V.2.1 Optmsaton du mallage et chox des paramètres Le programme RES2DINV a été adapté au calcul de l ndce ROI. Pour des mesures en surface, l extenson vertcale du modèle 2D dot être tout d abord prolongée à une profondeur suffsante de façon à ce que les données mesurées contennent très peu d nformaton concernant la résstvté des cellules les plus profondes. La fgure 5.1 montre l agencement des cellules du modèle que nous avons utlsé pour le calcul de l ndce ROI dans RES2DINV. La poston horzontale des ponts de données est placée au centre du quadrpôle utlsé pour la mesure alors que la poston vertcale est fxée par la profondeur médane d nvestgaton (Edwards, 1977). Nous avons utlsé la profondeur médane d nvestgaton du plus grand dspostf de mesure pour estmer la profondeur d nvestgaton maxmale de la sére de mesures. Pour détermner la profondeur optmale à accorder à nos mallages tout en optmsant le temps de calcul, nous avons répété les calculs d ndce ROI en utlsant des modèles où la profondeur maxmale de la dernère couche varat de 2 à 5 fos la profondeur d nvestgaton maxmale. Nous avons constaté que les valeurs de ROI sont généralement beaucoup plus grandes que 0.2 pour des profondeurs supéreures à 3 fos la profondeur d nvestgaton maxmale (Marescot et al. 2003b). Suvant Oldenburg et L (1999), la valeur de ROI augmente rapdement avec la profondeur pour des valeurs supéreures à 0.1. C est pourquo nous avons chos d étendre la profondeur du mallage à 3.5 fos la profondeur d nvestgaton maxmale estmée. La fgure 5.2 présente le type de modèle 2D étendu qu peut être utlsé pour des mesures entre forages ou entre un forage et la surface. L extenson latérale du modèle dot dans ce cas être également envsagée (Marescot and Loke, 2004). La valeur du facteur α s, qu détermne le degré d mpact du modèle de référence sur le processus d nverson, a été fxée à 0.01 fos la valeur des facteurs d amortssement α x et α z (fxés à 1.0). De par la procédure de normalsaton, la résstvté en bas des modèles étendus peut ne pas attendre la valeur de la résstvté du modèle de référence. Selon Oldenburg et L, l ne faut pas accorder trop d mportance aux détals des fgures de ROI lorsque la valeur de cet ndce est supéreure à 0.1. La profondeur d nvestgaton est ndquée par la profondeur où le gradent de l ndce ROI est mportant. Pour le calcul de l ndce ROI, l est nécessare de défnr s le modèle perturbé dot être plus conducteur ou plus résstant que m 0 et quel dot être le facteur multplcatf. Nous devons également décder s nous voulons fare la dfférence entre m 0 et un modèle plus résstant (ou plus conducteur) ou entre deux modèles respectvement plus résstant et conducteur que m 0. Nous avons utlsé des modèles perturbés symétrquement avec une résstvté valant 0.1 et 10 fos la valeur de m 0. En outre, nous avons effectué des tests avec des valeurs extrêmes pour le facteur multplcatf (jusqu à 100). Les fgures de ROI qu en résultent se sont montrées très semblables, avec quelques varatons qu 149

150 n auraent pas eu de grandes conséquences sur l nterprétaton. Cela s explque en parte par l opératon de normalsaton de R. Fgure 5.1 : Modèle étendu pour des mesures en surface. Fgure 5.2 : Modèle étendu pour des mesures en forage. 150

151 V.2.2 Exemples prélmnares Un exemple synthétque smple (Marescot and Loke, 2003) est llustré fgure 5.3, où une acquston en dpôle-dpôle est smulée sur un modèle présentant une cavté (résstvté très élevée, Ωm) dans un substratum plus conducteur (1000 Ωm). La fgure 5.3 présente le modèle nversé avec des profondeurs étendues ans que le profl de l ndce ROI (modèles perturbés symétrquement avec une résstvté valant 0.1 et 10 fos la valeurs de m 0 =1916 Ωm). L augmentaton rapde de l ndce ROI sur la drote du profl ndque que la profondeur d nvestgaton est plus fable à l aplomb de la cavté (ROI 1 à mons de 10 m de profondeur). La profondeur d nvestgaton est plus mportante sur la gauche du profl où la résstvté est plus fable. Certans artefacts produts par l nverson (probablement dus aux contrantes de lssage et au fort contraste de résstvté) sont également ms en évdence par l ndce ROI. L utlsaton de résstvtés valant 0.01 et 100 fos la valeurs de m 0 donne des résultats très semblables. Des couches très conductrces peuvent également dmnuer de manère mportante la profondeur d nvestgaton d une étude. L exemple de la fgure 5.4 a été mesuré sur une plage au Danemark afn d étuder la transton exstant entre l eau douce et l eau salée dans le soussol. Le profl est perpendculare au rvage et les électrodes 1 à 16 sont mmergées. Comme le montrent le résultat de l nverson ans que la carte des ndces ROI, aucune nformaton fable ne peut être obtenue à grande profondeur sous la mer lorsque la flûte est mmergée. Dans l exemple de la fgure 5.5, une acquston forage-surface a été effectuée sur un ste test vers l Unversté de Lausanne. Le but d une telle acquston surface-forage est de tenter d augmenter notre connassance du sous-sol lon de la surface ou du forage. Dans la régon étudée, le substratum tertare, composé de marnes et de grès, est recouvert par envron 30 m de sédments quaternares (argles, sables et gravers). Lors des mesures, une pare d électrodes de courant et de potentel est déplacée dans le forage alors qu une autre pare d électrodes est déplacée en surface (fgure 2.7d). De plus, des données de surface unquement ont également été collectées en utlsant un dspostf Wenner-Schlumberger. Au total, 2543 ponts de mesure sont utlsés pour l nverson. Le résultat de l nverson ans que la coupe de l ndce ROI sont montrés dans la fgure 5.5. Le modèle de référence utlsé est un dem-espace homogène de résstvté 36.4 Ωm. Le modèle nversé est en accord avec les nformatons lthologques dans les sédments quaternares jusqu à une profondeur de 20 m envron. Certanes structures, tels le nveau de la nappe ou encore le bloc de calcare rencontré dans le forage, peuvent être dentfés sur le profl. Toutefos, un certan nombre d artefacts peut également être observé sur le profl de l ndce ROI. On remarque également la rapde décrossance de la résoluton de l étude lon du forage et de la surface, comportement en accord avec les conclusons que nous avons trées sur la foncton de sensblté des dspostfs surface-forage (Chaptre II). Cela semble ndquer de manère très explcte la forte lmtaton d utlsaton de ce type de mse en œuvre (Leroux, 2000). 151

152 Fgure 5.3 : Modèle synthétque d une cavté et sa réponse électrque modélsée en dpôle-dpôle. Le résultat de l nverson ans que l ndce ROI sont présentés. 152

153 Fgure 5.4 : Résultat de l nverson et du calcul de l ndce ROI pour un panneau électrque dont une parte des électrodes est mmergée (à gauche du pont ndqué par une flèche). Mesures en mleu lttoral (Danemark). Fgure 5.5 : Résultat de l nverson d un panneau électrque en surface-forage et mage de l ndce ROI. 153

154 Résumé : La méthode de Gauss-Newton et l ndce ROI La méthode de calcul de l ndce ROI (ndce DOI de Oldenburg and L, 1999) effectue deux nversons à partr du même jeu de données en utlsant dfférentes valeurs pour le modèle de référence. La valeur de cet ndce va approcher 0 dans les partes du modèle où les deux nversons reprodusent la même valeur de résstvté. La résstvté des cellules est alors ben contrante par les données. Dans les régons où les données ne fournssent que peu d nformaton, l ndce va approcher la valeur de 1 car la résstvté de ces cellules sera smlare à la résstvté du modèle de référence. Des exemples synthétques et de terran, nversés avec la méthode de Gauss-Newton, montrent la pertnence de cette approche. 154

155 CHAPITRE VI MODELISATION SYNTHETIQUE 155

156 156

157 Nous présentons c une sére de modélsatons synthétques, afn de meux cerner les possbltés ans que les lmtes de notre algorthme d nverson. Nous pouvons nsster sur le fat que cet algorthme est actuellement très smple et ne comporte en partculer aucune contrante sur un lssage spatal des résstvtés. Un premer modèle est proposé en guse d ntroducton. Ce modèle comprend unquement des électrodes en surface et permet de présenter le comportement général de notre algorthme. Le second modèle, ben plus complexe, comporte des électrodes autour d une structure à géométre réellement 3D. Pour les deux modèles, les éléments du mallage utlsés pour la résoluton du problème drect EF représentent également les paramètres nconnus du problème nverse. Dans ce qu sut, nous appellerons données smulées les données synthétques calculées sur le modèle pus ntrodutes dans le problème nverse et données calculées la réponse électrque d un modèle obtenu à une tératon donnée du processus d nverson. Un brut statstque, fgurant le brut de mesure, est ajouté aux données smulées sur un modèle avant nverson en utlsant la foncton randn du logcel Matlab. VI.1 DONNEES COLLECTEES EN SURFACE VI.1.1 Modèle pour la prospecton de surface Le premer modèle consste en un dem-espace dont la surface est plane et dans lequel nous plongeons une forme trdmensonnelle (une structure en forme de «L»). Cette smulaton représente une stuaton très courante en géophysque, où les capteurs (électrodes) ne peuvent être ms qu en surface. Les dmensons de cette hétérogénété sont données dans la fgure 6.1. Nous fxons la valeur de la résstvté de l encassant à 100 Ωm (0.01 S/m). La résstvté de l hétérogénété sera fxée à 10 Ωm (0.1 S/m) ou 1000 Ωm (0.001 S/m) selon les smulatons. Le mallage utlsé dans cet exemple est composé d hexaèdres à 8 nœuds pour le problème de dffuson (DTH8) formant une malle régulère dans la zone centrale où sont stuées les électrodes et l anomale. Ce mallage réguler est composé de cellules de 1 m 3, s étend jusqu à une profondeur de 10 m et représente une surface carrée de 32 m de côté. La dmenson des malles augmente en drecton des bords du modèle afn de pouvor mposer des lmtes de potentel nul. Ce mallage comprend éléments et nœuds au total. 157

158 Fgure 6.1 : Modèle et mallage utlsé pour la smulaton sur un dem-espace. VI.1.2 Dspostf électrque chos pour la prospecton de surface Un total de 225 électrodes est dsposé selon une grlle régulère de 15 électrodes par 15 électrodes espacées de 2 m selon les drectons x et y. Nous smulons sur ce modèle une acquston effectuée en dpôle-dpôle équatoral. La structure ans que la dstrbuton de sensblté de ce dspostf sont représentées dans la fgure 6.2. Nous remarquons que cette 158

159 confguraton présente une régon de sensblté postve entre les deux dpôles, flanquée de deux régons de sensblté négatve de plus fable dmenson en surface. Plus en profondeur, la sensblté de la confguraton est clarement postve. Ce dspostf semble donc ben correspondre à nos attentes pusque nous désrons mager la parte du sous-sol stuée à l aplomb des quatre électrodes. Nous pouvons relever que le terme de dpôle est relatvement mpropre c, étant donné la dmenson non néglgeable des pares d électrodes de mesure et de courant, relatvement à la talle totale du dspostf. Certans auteurs utlsent le terme de bpôle (par exemple Danels, 1977 ; Bng and Greenhalg, 2000). Nous garderons toutefos c le terme de dpôle fréquemment utlsé en prospecton géophysque. Comme le montre la fgure 6.2, la dstance entre le dpôle de mesure et le dpôle de courant (m) peut varer, permettant ans une prospecton du sous-sol en profondeur. Nous utlsons dans cette smulaton des dpôles dont la talle (l) est 4 m et un écartement entre les dpôles m de 4 à 20 m. Nous aurons pu également utlser des dpôles de talles l dfférentes afn d augmenter la quantté d nformaton collectée mas cela accroît également le nombre de ponts sources dans la smulaton. Une talle de dpôle fxée à 4 m garantt de plus la convergence de la modélsaton EF (nous avons 5 nœuds par dpôle de courant). Les dspostfs sont orentés tantôt selon l axe x, tantôt selon l axe y, afn d appréhender les varatons trdmensonnelles du modèle (Habberjam, 1979). Un total de 2288 données est ans collecté en utlsant 338 couples sources. Fgure 6.2 : Géométre et sensblté du dspostf dpôle-dpôle équatoral. Le dpôle-dpôle équatoral n est pas le dspostf le plus effcace du pont de vue de la rapdté de la résoluton du problème drect. En effet, très peu de dfférences de potentel sont collectées pour chaque couple source (maxmum 11 pour cette séquence). La vtesse de résoluton du problème drect augmentant avec le nombre de couples sources utlsé, l est ntéressant d utlser un mnmum de couples sources tout en récupérant un maxmum de valeurs de potentel. Il est possble de collecter une plus grande quantté de ponts par couple source en utlsant un dspostf dpôle-dpôle axal, mas cela se fat au détrment de la 159

160 couverture horzontale des mesures sur les bords du modèle. De plus, l nformaton collectée n est pas réellement 3D, ben que le dpôle-dpôle axal sot relatvement sensble aux hétérogénétés latérales. Le dspostf dpôle-dpôle axal n est donc pas très appropré pour une prospecton 3D, à mons que la grlle d électrodes utlsée sot de dmenson mportante. En revanche, le dpôle-dpôle équatoral permet d obtenr des nformatons sur les bords du modèle. VI.1.2 Smulaton des données et paramètres d nverson Afn de tester les possbltés réelles de l algorthme, nous n utlserons c que des nformatons dsponbles dans la pratque. En partculer, aucune résstvté n est connue a pror : le modèle de départ sera homogène, sa résstvté étant fxée à la résstvté apparente moyenne smulée. De plus, aucun modèle de référence ne sera utlsé. Nous applquons c un nveau de brut sur les mesures de 1%. Les postons des électrodes sont par contre consdérées comme parfatement connues. La dmenson du pas d ajustement des paramètres est défne emprquement et ce derner est constant au cours du processus tératf (IV.8). Le chox d une dmenson de pas constante n est sans doute pas optmal mas permet une économe substantelle de temps, aucune recherche lnéare n étant nécessare. Dans le module INVS, la longueur du pas est défne en foncton du nombre de couples sources utlsés (dans ce cas NCS=338) : µ α = (6.1) NCS avec µ un facteur devant être réglé par l utlsateur. Cette normalsaton est naturelle car la dmenson du gradent de la foncton objectf dépend du nombre de couples sources. Des procédures de stablsaton du processus nverse dovent également être mses en œuvre. Nous dmnuons d un facteur 10 la valeur du gradent de la foncton objectf pour la premère couche de cellules en surface. Comme ces cellules sont au contact des électrodes, elles présentent, comme nous l avons vu, de très fortes valeurs de sensblté qu l est nécessare d atténuer. Auss, les proprétés électrques de la premère couche de cellules ne devraent pas trop évoluer au cours du processus d nverson. VI.1.3 Hétérogénété conductrce Les données brutées smulées dans le cas de l hétérogénété conductrce sont présentées par ordre crossant de résstvté apparente dans le fgure 6.3. Nous pouvons noter que le corps conducteur provoque une nette décrossance de la résstvté apparente. Nous pouvons 160

161 également remarquer que 409 données sont supéreures à 100 Ωm : ce phénomène, plus fréquent pour les dspostfs de grandes talles, résulte de relatons complexes entre la géométre de l hétérogénété et les régons de sensblté négatve du dspostf utlsé. Fgure 6.3 : Résstvtés apparentes pour la smulaton sur une hétérogénété conductrce (10 Ωm) plongée dans un dem-espace homogène (100 Ωm) et pour un dspostf dpôle-dpôle équatoral. Fgure 6.4 : Convergence du processus nverse dans le cas de l hétérogénété conductrce. 161

162 Fgure 6.5 : Résultat de l nverson à l tératon 10 dans le cas de l hétérogénété conductrce. Comme toutes les résstvtés apparentes sont postves (> 49.3 Ωm), une nverson avec le logarthme des données peut être tenté. En foncton de ce qu a été dt plus haut (IV.8), la valeur optmale E * de la foncton objectf, pour ce nombre de données et ce nveau de brut, est de l ordre de 10. Il est toutefos fort probable que le processus converge en-dessous de E * dans le cas de données synthétques générées en utlsant un brut déal et de fable ampltude. Le modèle de départ est homogène et sa résstvté fxée à la résstvté apparente moyenne smulée (89.3 Ωm sot S/m). Dfférentes nversons ont été tentées pour les 8 premères tératons en utlsant des pas de dmensons varées (entre µ=0.01 et µ=0.5). Comme le montre la fgure 6.4, lorsque le pas est trop pett (µ=0.01), le processus a tendance à converger très lentement, même au début. Lorsque par contre le pas est trop grand, le processus présente des oscllatons (µ=0.2) ou ne converge pas (µ=0.5, non montré sur la fgure). Un pas ntermédare (µ=0.05) peut donc être chos et nous poursuvons les tératons jusqu à l tératon 10. Le taux de varaton de la foncton objectf entre deux tératons successves est alors nféreur à 5% et la foncton objectf vaut

163 La fgure 6.5 montre le résultat de l nverson à l tératon 10 en utlsant µ=0.05. La résstvté des cellules est représentée selon des coupes horzontales et vertcales en utlsant une échelle logarthmque des résstvtés. Nous pouvons relever la reconstructon correcte de la poston latérale du corps conducteur, ben que celu-c apparasse légèrement plus large et trop résstant par rapport au modèle (au mnmum 48 Ωm). Le contraste retrouvé n est que de 2, ce qu est ben nféreur au contraste réel (10). Nous voyons c que le théorème d équvalence peut se tradure par la reconstructon d un corps plus large et mons conducteur en profondeur. Comme la sensblté de la foncton objectf relatvement à une varaton de la résstvté est très forte en surface et que cette sensblté décroît rapdement avec la profondeur, l épasseur et la profondeur du corps sont sous-estmées. Le processus d nverson a en effet tendance à effectuer de très forts ajustements de la dstrbuton de la résstvté à proxmté des électrodes, dans la couche de cellules stuée entre z=43 m et la surface, ce comportement fasant décroître très rapdement la valeur de la foncton objectf mas drgeant éventuellement le processus nverse vers un mnmum local, correspondant à un modèle électrquement équvalent au modèle vra. Il est évdent que cette dmnuton de la sensblté en profondeur provent en grande parte du fat que le problème de la collecte de l nformaton est mal posé : en effet, nous auscultons le sous-sol en ne dsposant que d électrodes en surface. Dans le cas de tomographes utlsant des capteurs autour d une structure ou encore à l ntéreur de celle-c, ce type de problème peut être fortement atténué. Les algorthmes de type Marquardt-Levenberg souffrent également de ce type de problème, la matrce jacobenne présentant de très fortes valeurs de sensbltés vers les électrodes (Zhang et al., 1995 ; Pan et al., 2002). Dans cette formulaton, ce comportement est atténué en amorçant le processus d nverson avec un fort facteur d amortssement, pus en le dmnuant au fl des tératons afn de favorser la créaton de structures de pettes talles unquement vers la fn de l nverson. En fat, la bonne qualté des reconstructons obtenues par la méthode de Marquardt-Levenberg provent, en grande parte, de l adaptaton du facteur d amortssement durant le processus d nverson. Cet algorthme est complété en ncluant une opératon de régularsaton en foncton de la profondeur : un très fort lssage, éventuellement ansotrope, est affecté aux cellules stuées vers les électrodes afn d nhber la créaton de structures vers la surface. Lorsque la profondeur des cellules augmente, la contrante de lssage est ensute relâchée (de manère exponentelle par exemple) afn de permettre l apparton de structures dans le modèle (Zhang et al., 1995 ; Pan et al., 2002). Nous proposons, dans une approche purement emprque, de pondérer les contrbutons au gradent de la foncton objectf en foncton de la profondeur de chaque élément de manère lnéare, d autres types de pondératons pouvant être utlsés. La contrbuton élémentare au gradent pondéré vaut alors, pour une cellule k : 163

164 p = (6.2) w k hk hk p moy avec h k la composante du gradent de la foncton objectf selon le paramètre m k, p k la profondeur du barycentre de la cellule et p moy la profondeur moyenne de la régon d ntérêt (c 5 m). Par cette méthode, nous dmnuons artfcellement la sensblté des cellules stuées au dessus de p moy et augmentons celle des cellules plus profondes. La fgure 6.6 montre le résultat de l nverson à l tératon 11 en utlsant µ=0.05 et la pondératon du gradent de la foncton objectf en profondeur. Nous pouvons constater une melleure reconstructon du corps en profondeur. Il est par contre nécessare d effectuer plus d tératons pour attendre une valeur de la foncton objectf valant 10.1, le pas chos n étant sans doute pas optmal dans le cas d une nverson avec pondératon. Nous pouvons donc vor que le chox du pas est une opératon délcate. Fgure 6.6 : Résultat de l nverson à l tératon 11 dans le cas de l hétérogénété conductrce et pour un pondératon lnéare en foncton de la profondeur. 164

165 VI.2.1 Hétérogénété résstante La même étude a été menée sur une hétérogénété résstante (1000 Ωm). Nous pouvons noter que le corps résstant provoque une augmentaton de la résstvté apparente jusqu à envron 140 Ωm mas la majorté des résstvtés est stuée vers 100 Ωm (fgure 6.7). Ce manque d ampltude dans la valeur de la résstvté apparente fat que ce type de structure résstante est dffcle à mager. Comme dans le cas d un corps conducteur, nous pouvons noter que toutes les résstvtés apparentes sont postves (supéreures à 91.4 Ωm) et que certanes valeurs de la résstvté sont nféreures à 100 Ωm. Fgure 6.7 : Résstvtés apparentes pour la smulaton sur une structure résstante (1000 Ωm) plongée dans un dem-espace homogène (100 Ωm) et pour un dspostf dpôle-dpôle équatoral. Le modèle de départ est homogène et sa résstvté fxée à la résstvté apparente moyenne smulée (108.2 Ωm sot S/m). Dfférentes nversons ont été tentée en utlsant les mêmes pas que pour l anomale conductrce (entre µ=0.01 et µ=0.5). Toutefos, une nouvelle dffculté survent : comme le montre la fgure 6.8, la valeur de la foncton objectf pour le modèle de départ est déjà nféreure à la valeur de la foncton objectf optmale E * estmée. Nous pourrons donc en conclure que le modèle de départ homogène consttue une soluton acceptable d après ce crtère. Toutefos, nous pouvons constater que la valeur de la foncton objectf évolue de manère sgnfcatve à chaque tératon (fgure 6.8). Il est donc nécessare d observer le taux de varaton de la valeur de la foncton objectf entre deux tératons pour défnr la soluton optmale. 165

166 Fgure 6.8 : Convergence du processus nverse dans le cas de l anomale résstante. La fgure 6.9 montre le résultat à l tératon 10 de l nverson, effectuée en utlsant un gradent de la foncton objectf pondéré en foncton de la profondeur de chaque cellule. Nous pouvons constater que l anomale reconstrute est de fable ampltude (maxmum 200 Ωm). Cette observaton est cohérente avec les prncpes de la prospecton électrque selon lesquels l est plus asé d mager un corps conducteur qu un corps résstant. Nous pouvons d alleurs vor sur la fgure 6.9 que les résstvtés apparentes calculées à l tératon 10 sont trop fables par rapport aux résstvtés apparentes smulées. Par contre, la résstvté de l encassant (100 Ωm) est ben retrouvée. 166

167 Fgure 6.9 : Résultat de l nverson à l tératon 10 dans le cas de l hétérogénété résstante et pour un pondératon lnéare en foncton de la profondeur. Résumé : Données collectées en surface L algorthme a été utlsé pour nverser des données synthétques collectées en surface et nous avons pu constater que la forme reconstrute reflète ben la réalté. L algorthme a toutefos tendance à créer des structures proches des électrodes, dans les régons du modèle présentant de fortes sensbltés. Ce comportement exste également dans d autres types d algorthmes et dot être compensé en adaptant la sensblté des cellules en foncton de l élognement des électrodes. 167

168 VI.2 DONNEES COLLECTEES SUR DES STRUCTURES DE GEOMETRIE COMPLEXE VI.2.1 Le modèle Nous avons applqué notre algorthme au cas de données smulées sur une structure 3D à géométre complexe. Le modèle consste en un paralléléppède (735 m 3 ) dans lequel sont plongées deux hétérogénétés (fgure 6.10). La premère hétérogénété fgure une structure horzontale d épasseur rédute (10 m 3 ), la seconde une structure plutôt vertcale de volume plus mportant (21 m 3 ). Les dmensons exactes des hétérogénétés sont données dans la fgure Ces deux hétérogénétés ont donc un volume plutôt modeste relatvement à la dmenson de la structure globale. Par conséquent, l ne sera pas évdent de les mager par la méthode électrque, ce qu consttue une excellente opportunté de tester notre algorthme d nverson. Ce modèle peut fgurer un bloc de matérau ou un élément archtectural posé sur une surface solante. Il n y a en effet pas de réel contact électrque entre la base du bloc et le sol, à la dfférence d une colonne par exemple. Cet exemple peut toutefos se généralser à toutes sortes de structures rencontrées dans la pratque (pler de pont, éprouvettes par exemple). Une condton de potentel mposé nul est applquée en un nœud unque vers le bas du modèle (fgure 6.10). Dans la pratque, nous pourrons sot néglger ce paramètre, sot effectvement mettre à la terre une parte du bloc, ce qu revent alors à mposer un potentel constant en ce pont. Le mallage utlsé dans cet exemple est composé d hexaèdres à 8 nœuds. Les cellules sont cubques de côté 0.5 m à l excepton des cellules au bas du modèle, utlsées pour mposer la condton de potentel nul et qu ne sont pas auscultées par les dspostfs électrques. Ce modèle comprend 5096 éléments hexaédrques et 6075 nœuds. 168

169 Fgure 6.10 : Modèle et mallage utlsé pour la smulaton sur un bloc de matérau 3D. VI.2.2 Dspostf électrque chos Nous effectuons 13 tomographes sur la structure, au moyen de 40 électrodes espacées de 1 m placées autour de cette structure. Lorsqu une séquence de tomographe est achevée pour une alttude z détermnée, le dspostf est déplacé de 1 m vers le haut. Un ensemble de 13 tomographes horzontales est ans smulé sur le modèle. Un exemple de dspostf est llustré dans la fgure 6.10, avec A et B, deux électrodes de courant et M 1 -N 1 et M 2 -N 2 deux exemples de poston pour la pare d électrodes de mesure. La sensblté d un tel dspostf, ben qu mpossble à évaluer analytquement, dot est très semblable à celle du dpôle-dpôle équatoral (fgure 6.2), avec une régon de sensblté postve au centre de l objet et des régons de sensbltés négatves confnées vers la surface du bloc. Cet agencement de quadrpôle a été recommandé notamment par Bng and Greenhalg (2000) pour l auscultaton du sous-sol entre deux forages. Bng and Greenhalg (2000) ont montré que cette confguraton d électrodes présente une bonne résoluton ans qu une force de sgnal apprécable. Toutefos, 169

170 contrarement à ces auteurs, nous ne nous lmtons pas au cas où la dmenson de AM est dentque à la dmenson de BN, tous les écartements d électrodes étant prs en compte dans notre jeu de données. Il en résulte un total de dfférences de potentel mesurées pour 936 couples source (NCS=936). Ben que comportant beaucoup de mesures, une telle acquston est parfatement envsageable dans la pratque en utlsant un résstvmètre dsposant de pluseurs canaux de mesure. Le dspostf utlsé se prête d alleurs ben à ce type d acquston en permettant la mesure de pluseurs dfférences de potentel pour un même couple source (jusqu à un maxmum de 36 dfférences de potentel par couple source dans le cas de notre modèle). Nous pouvons toutefos relever que le dspostf utlsé n est pas nécessarement le plus performant pour mager ce type de structure et que ce problème mérterat une étude plus approfonde. Nous pouvons déjà remarquer que l évaluaton explcte de la matrce de sensblté pour une résoluton par une formulaton de Gauss-Newton serat très lourde et nécessterat l applcaton de nombreuses approxmatons. Dans notre algorthme, par contre, la seule approxmaton effectuée est celle nhérente à l utlsaton de la méthode des éléments fns. Cette approxmaton peut être relatvement ben contrôlée en s assurant de la convergence de la modélsaton EF. VI.2.3 Utlsaton de dfférentes valeurs du pas d ajustement des paramètres Les dmensons des hétérogénétés ans que les caractérstques du mallage pour cette premère sére de smulatons sont données dans la fgure Nous fxons la valeur de la résstvté de l encassant à 100 Ωm (0.01 S/m). Le premer modèle est créé en fxant la résstvté des deux hétérogénétés à 10 Ωm (0.1 S/m). Dans le second modèle, la résstvté de l hétérogénété horzontale est fxée à 10 Ωm (0.1 S/m), alors que la résstvté de l hétérogénété vertcale est fxée à 1000 Ωm (0.001 S/m). La fgure 6.11 montre les gammes de valeurs de résstvté apparente smulées sur les deux modèles. Nous pouvons constater qu l est parfatement possble de déceler la présence des deux hétérogénétés conductrces sur les résstvtés apparentes. De même, les corps résstants et conducteurs sont ben vsbles lorsque nous observons les données smulées sur le second modèle. Nous pouvons remarquer que la résstvté apparente smulée ne revent pas à la valeur de l encassant pour les dspostfs stués vers la parte supéreure du bloc (alttude supéreure à 13 m). Cela vent en parte du fat que le bloc présente une frontère de flux nul en son sommet (contrarement à un colonne qu supporterat un tot non-électrquement solant). Le champ électrque est donc confné dans cette parte du modèle et l nfluence de l hétérogénété supéreure est très mportante. Nous ne présentons pas de smulaton utlsant une hétérogénété horzontale résstante. Nous avons en effet constaté que cet arrangement d électrodes n est pas capable de détecter 170

171 correctement ce type de structure, car elle a peu d effet sur les résstvtés apparentes smulées. Ce manque de sensblté à des structures fnes et résstantes stuées parallèlement au plan des tomographes est une lmtaton ntrnsèque de la méthode de prospecton électrque. Des lgnes d électrodes vertcales pourraent certanement meux appréhender ce type de structure. Fgure 6.11 : Dstrbuton des résstvtés apparentes pour chaque tomographe en foncton de la hauteur du bloc. Comme les résstvtés apparentes smulées sont toutes postves, l nverson avec le logarthme des données peut être tentée. La valeur optmale E * de la foncton objectf pour ce nombre de données et ce nveau de brut (1%) est comprse entre 50 et 60. Nous pouvons déjà relever qu l est probable que le processus converge en dessous de E * car nous sommes dans le cas de données synthétques générées en utlsant un brut déal de fable ampltude. Là encore, l utlsaton du taux de varaton entre deux tératons comme second crtère de convergence peut s avérer utle. Pour cette premère sére d nversons, un modèle de départ homogène de résstvté égale à la résstvté apparente moyenne smulée est chos. Dfférentes smulatons ont été tentées en utlsant des pas de dmensons varées (entre µ=0.01 et µ=1). Comme le montre la fgure 6.12, s le pas est trop pett (µ=0.01), le processus a tendance à présenter une convergence lnéare lente, quel que sot le modèle consdéré. Nous pouvons par contre remarquer que la dmnuton de la valeur de la foncton objectf est plus forte suvant le modèle consdéré pour des facteurs µ supéreurs à Dans le cas du modèle contenant les deux hétérogénétés conductrces, la décrossance reste approxmatvement lnéare pour µ=0.01 à µ=0.35. Il est nécessare de prendre µ=1 pour avor un convergence rapde. Dans le cas du modèle contenant un corps résstant et un corps conducteur, nous pouvons constater une accélératon de la convergence pour des facteurs supéreurs à µ=0.1. Dans ce cas, la décrossance de la foncton objectf tend à suvre une lo de pussance. 171

172 Fgure 6.12 : Convergence du processus nverse pour les deux smulatons effectuées sur le bloc 3D. La fgure 6.13 montre le résultat de l nverson à l tératon 16 en utlsant µ=1 pour le modèle contenant deux corps conducteurs. Nous représentons la résstvté des cellules selon des coupes horzontales et vertcales. Nous pouvons relever la reconstructon correcte de la poston latérale des hétérogénétés conductrces ben que celles-c apparassent comme plus larges et trop résstantes (au mnmum 43 Ωm) par rapport au modèle ben que l ajustement des données sot bon. Le contraste retrouvé n est donc que de 2, ce qu est nféreur au contraste réel (qu vaut 10). Nous voyons donc, là encore, que les mesures électrques ne peuvent pas ben séparer les effets du volume et du contraste (équvalence électrque). Toutefos, le mnmum de l anomale permet de localser les structures dans le modèle. 172

173 Fgure 6.13 : Résultat de l nverson à l tératon 16 pour le modèle contenant deux corps conducteurs. La fgure 6.14 montre le résultat de l nverson à l tératon 15 en utlsant µ=0.35 pour le modèle contenant un corps résstant et un corps conducteur. Là encore, nous pouvons relever la reconstructon correcte de la poston latérale des hétérogénétés conductrces et résstantes, ben que celles-c apparassent comme plus larges et que les contrastes retrouvés soent toujours nféreurs aux contrastes réels. 173

174 Fgure 6.14 : Résultat de l nverson à l tératon 15 pour le modèle contenant un corps conducteur et un corps résstant. 174

175 VI.2.4 Effet du modèle de départ Nous allons mantenant nverser le jeu de données dans le cas du modèle contenant un corps conducteur et un corps résstant en utlsant deux modèles de départ dfférents. Deux nversons sont effectuées en utlsant le maxmum (166 Ωm, sot S/m) ou le mnmum (50 Ωm, sot 0.02 S/m) de la résstvté apparente smulée pour amorcer le processus. Le pas est réglé en utlsant un facteur µ=0.35, utlsé pour les nversons précédentes. Fgure 6.15 : Résultat de l nverson à l tératon 19 pour le modèle contenant un corps conducteur et un corps résstant et en utlsant un modèle de départ de 50 Ωm. 175

176 Comme nous pouvons le vor sur les résultats des nversons (fgures 6.15 et 6.16), les structures nternes du bloc restent dentfables. Nous pouvons relever que la résstvté des cellules, dont la sensblté a été dmnuée, n a pas évolué. Il semble toutefos qu un modèle de départ à 166 Ωm donne de melleurs résultats comme nous pouvons le vor sur l ajustement des données et la valeur de la foncton objectve pour l tératon chose. Le chox sogneux d un modèle de départ est donc de rgueur lors de la résoluton d un problème nverse utlsant un algorthme non-lnéare. En règle générale, une valeur proche de la résstvté apparente moyenne semble être un bon modèle de départ en absence d nformatons a pror. Fgure 6.16 : Résultat de l nverson à l tératon 17 pour le modèle contenant un corps conducteur et un corps résstant et en utlsant un modèle de départ de 166 Ωm. 176

177 VI.2.5 Effet du brut de mesure Nous avons applqué la procédure d nverson utlsant un modèle de départ homogène de résstvté 100 Ωm à l étude du modèle 3D contenant les deux corps de résstvtés dfférentes mas dans le cas de données plus fortement brutées que précédemment. Nous avons donc applqué successvement des nveaux de brut de 5% pus 10%. Les valeurs optmales de la foncton objectf sont alors de l ordre de 300 et 600 respectvement. Nous pouvons constater sur la fgure 6.17 que la courbe de décrossance de la foncton objectf présente, logquement, une convergence à des valeurs plus élevées lorsque le nveau de brut augmente. La dffculté à fare dmnuer la valeur de la foncton objectf est donc un ndce du nveau de brut. Fgure 6.17 : Convergence du processus nverse pour les deux smulatons effectuées sur le bloc 3D (un corps conducteur et un corps résstant) pour dfférents nveaux de brut. Lors de l nverson, nous voyons que les résultats restent comparables à ceux obtenus lorsque le nveau de brut est fable (fgures 6.18 et 6.19) ben que les graphques d ajustement des données reflètent le nveau de brut utlsé. En partculer, l n y a pas d apparton de corps supplémentares de dmensons semblables à celles des deux hétérogénétés smulées et qu ndurat en erreur. Il n y a pas non plus d oscllaton et la décrossance est smlare à celle des modèles précédents (forte dmnuton de la valeur de la foncton objectf au début, pus 177

178 convergence plus lente). La procédure d nverson semble donc robuste et assez nsensble au nveau de brut. Fgure 6.18 : Résultat de l nverson à l tératon 7 pour le modèle contenant un corps conducteur et un corps résstant pour un nveau de brut de 5%. Nous pouvons toutefos noter l apparton d anomales de pettes dmensons et de forte ntensté révélatrces d un nveau de brut élevé. Ces anomales solées ne gênent cependant pas l nterprétaton et leur poston par rapport aux structures de talles plus mportantes permet asément de les dentfer comme étant des artefacts. Ces perturbatons provennent en 178

179 parte de l absence de contrante de lssage dans notre algorthme ans que des fortes valeurs de sensblté à proxmté des électrodes. Fgure 6.19 : Résultat de l nverson à l tératon 4 pour le modèle contenant un corps conducteur et un corps résstant pour un nveau de brut de 10%. VI.2.6 Utlsaton d un modèle de référence Aucune contrante sur le modèle n a été utlsée pour le moment. Toutefos, la foncton objectf chose permet également l utlsaton d un modèle de référence par groupes pour 179

180 ntrodure de l nformaton a pror. Dans cette approche du problème nverse, l utlsateur construt un modèle sur la base d nformatons dsponbles pus cherche à tester et éventuellement à modfer ce modèle par le bas de l algorthme d nverson. Un modèle 3D de mêmes dmensons que précédemment est utlsé pour cette smulaton. Nous créons toutefos une hétérogénété fgurant une fssure conductrce (10 Ωm) dans un bloc homogène (100 Ωm). Cette fssure est vsble sur une des faces du modèle, sur la face y=0, entre z=9.5 et z=11 (fgure 6.20), ben que cette nformaton ne permette pas de savor s la fssure est horzontale ou plutôt oblque. Nous pouvons donc tenter d nverser nos données en utlsant un modèle de référence fgurant une fssure horzontale. Les données mesurées sur le bloc permettront de valder ou d nvalder cette hypothèse. Fgure 6.20 : Modèle et mallage utlsé pour la smulaton sur un bloc de matérau 3D contenant une fssure. 180

181 Fgure 6.21 : Résultat de l nverson pour le modèle contenant une fssure conductrce et un modèle de référence. 181

182 Une premère nverson est effectuée en donnant un pods fable au modèle de référence (Λ g = dans l expresson 4.48). Etant donné que l nformaton a pror utlsée est erronée, la reconstructon obtenue ne reflète pas le modèle de référence utlsé (fgure 6.21). Dans ce cas, les données ont une nfluence suffsante pour que le modèle ajusté s affranchsse du modèle de référence utlsé. Nous pouvons noter que le résultat obtenu est très proche de la réalté. Le pendage de la fssure est en partculer ben évalué. Le volume de la fssure est toutefos encore trop mportant et le contraste de résstvté trop fable. Nous pouvons à nouveau constater que les mesures électrques ne peuvent pas ben séparer les effets du volume et du contraste. Des nversons ont été également effectuées en augmentant le pods de Λ g. Pour Λ g =0.1, l nfluence du modèle de référence erroné persste durant le processus d nverson (fgure 6.21). Par alleurs, la valeur fnale de la foncton objectf pour ce modèle est légèrement plus élevée que précédemment (39.3 au leu de 30.3), ce qu ndque que ce modèle de référence utlsé ne correspond pas à la réalté. VI.2.7 Calcul de la régon d nvestgaton (ROI) Nous présentons c un exemple d utlsaton de l ndce ROI. Nous smulons l auscultaton d un pan du bloc précédent (fgure 6.10) dans lequel est plongée une pette hétérogénété conductrce au leu de la fssure. Nous ne consdérons toutefos que les électrodes stuées sur la face y=0 et utlsons alors cette grlle vertcale de 13x8 électrodes pour smuler une acquston en dpôle-dpôle équatoral sur la paro. La séquence comprend 72 couples sources et 468 ponts de mesure. Un brut de 1% est ajouté aux données. Une premère nverson est effectuée en utlsant un modèle de référence égal au modèle de départ (85 Ωm) et un facteur Λ g =0.01. Le résultat de l nverson est montré dans la fgure Nous pouvons constater une bonne localsaton du corps et une bonne estmaton de la résstvté de l encassant (100 Ωm). La parte profonde de l hétérogénété semble par contre plus dffcle à appréhender. Une seconde nverson est alors effectuée en utlsant un modèle de départ et un modèle de référence envron 1.5 fos plus résstant (130 Ωm). Comme notre algorthme peut ne pas converger lors de l utlsaton d un modèle de départ trop élogné de la réalté, le facteur multplcatf est chos plus fable que pour l ndce ROI calculé précédemment avec la méthode de Gauss-Newton (cf. chaptre V). Sur la secton de l ndce ROI, nous pouvons vor que la profondeur maxmale d nvestgaton dans ce cas est de l ordre de 3 m. Dans ces condtons, la forme de l hétérogénété ne pourra pas être correctement reconstrute au centre du bloc avec ce dspostf. Les fortes valeurs pour l ndce ROI vers les électrodes sont évdemment dues au fat que nous fxons la résstvté de ces cellules durant le processus d nverson. Ces dernère reflètent alors drectement le modèle de départ (et de référence) utlsé. 182

183 Fgure 6.22 : Inverson de données collectées sur une des paros du bloc avec une hétérogénété conductrce et fgure de l ndce ROI. Résumé : Données collectées sur des structures de géométre complexe Les exemples synthétques présentés dans ce chaptre ont montré l effcacté de l algorthme utlsé pour mager des structures de géométre quelconque. Cet algorthme semble partculèrement peu sensble au nveau de brut et permet l nverson d un grand nombre de données pour des modèles consttués de nombreux paramètres nconnus. Par contre, la convergence du processus est relatvement sensble au chox du modèle de départ et au pas utlsé. Cela vent en parte du fat que nous n utlsons aucune contrante de lssage et aucun algorthme spécfque pour optmser la dmenson du pas. Fnalement, le calcul de l ndce ROI semble être une bonne approche pour tester la valdté du résultat de l nverson. 183

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185 CHAPITRE VII CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES 185

186 Ce traval de thèse avat pour objectf la mse au pont d un ensemble d outls de modélsaton drecte et nverse pour les données électrques sur des structures 3D à géométre complexe. Ces outls devaent permettre la modélsaton des proprétés électrques d un objet à partr de données collectées avec des dspostfs électrques de géométres quelconques. Une procédure permettant l évaluaton de la fablté du modèle reconstrut devat être également développée. Il s agssat en partculer d adapter le progcel CESAR-LCPC pour le calcul drect de données de tomographe électrque et de créer un module d nverson sous cet envronnement. De toutes les méthodes de résoluton du problème drect, la méthode des éléments fns nous a semblé la meux adaptée à l nvestgaton des structures trdmensonnelles complexes. En effet, les méthodes analytques ne s applquent qu à des modèles smples et les méthodes d équatons ntégrales ne sont pas performantes pour mager des hétérogénétés très complexes. De plus, seules des malles régulères peuvent être utlsées dans la méthode des dfférences fnes. VII.1 APPORTS DU TRAVAIL Les prncpaux apports et résultats de ce traval sont les suvants : VII.1.1 Utlsaton de CESAR-LCPC pour la modélsaton électrque Nous avons défn une démarche permettant l utlsaton de CESAR-LCPC pour la résoluton du problème drect électrque, le progcel CESAR-LCPC permettant la résoluton d un problème de thermque lnéare en régme statonnare, ce problème de dffuson étant analogue au problème électrque. VII.1.2 Modélsaton drecte Nous avons rapdement constaté que la smulaton d un grand nombre de couples source et de ponts de mesure (séquence de tomographe) est mpratcable dans la verson standard de CESAR-LCPC et qu un programme utltare devat être élaboré dans ce but. Cette étape a quelque peu retardé la mse au pont du module d nverson mas s est avérée fnalement très utle. Nous avons en effet élaboré un programme nterface TOMELE permettant une 186

187 utlsaton souple et plus convvale de CESAR-LCPC pour la smulaton électrque et permettant de profter de tous les avantages de la méthode des éléments fns. Par le bas de TOMELE, l est possble d utlser des électrodes ndépendantes du mallage. Nous pouvons donc smuler des mesures effectuées avec n mporte quel agencement d électrodes sur un mallage de forme quelconque. Les résstvtés apparentes sont obtenues par normalsaton sur un modèle homogène de résstvté unté ce qu permet d obtenr ce paramètre lorsque le calcul analytque du facteur géométrque est mpossble. Ce programme semble donc ben répondre aux besons de notre problématque et pluseurs collaborateurs du LCPC l utlsent actuellement avec succès. Nous avons vu qu l n est pas possble d utlser une procédure d élmnaton de la sngularté des sources pour amélorer la qualté de l approxmaton pour des smulatons sur des structures à géométre complexe (décomposton du problème en champ de potentel prmare et secondare). L archtecture du mallage dot être adaptée en conséquence et suffsamment fne dans la régon où les mesures sont smulées. Les éléments qu seront utlsés pour les smulatons seront prncpalement des hexaèdres regroupés sous la forme de super-éléments. Nous avons également pu vor sur les smulatons que la forme de la frontère à potentel mposé n a pas une mportance prmordale pourvu que cette frontère sot suffsamment élognée de la zone d ntérêt. Il n est toutefos pas nécessare de s élogner de plus de 1.5 fos la dmenson de la régon centrale où sont effectuées les mesures. Pour des modèles de dmensons fnes (éprouvettes par exemple), un potentel mposé peut être placé en un nœud du mallage sans créer de perturbaton dans l approxmaton. En général, lorsque la dfférence de potentel seule est utlsée, la valeur du potentel mposé mporte peu. Pour garantr une bonne approxmaton du champ de potentel (erreur < 5% avec une soluton analytque), nous consellons l utlsaton d un mnmum de 5 à 6 nœuds entre les électrodes d njecton de courant. Lorsque le contraste de résstvté est supposé très fort, un mnmum de 7 ou 8 nœuds devrat être utlsé. Au beson, des régons présentant des fnesses de mallage dfférentes peuvent être créées. Nous avons montré que le calcul de la résstvté apparente par normalsaton donne de melleurs résultats que l utlsaton du facteur géométrque. VII.1.3 Modélsaton nverse La méthode de Gauss-Newton avec une condton de régularsaton de type Marquardt- Levenberg est tradtonnellement utlsée pour résoudre le problème nverse électrque. Toutefos, dans le cadre de la résoluton du problème nverse applquée à des modèles 3D de géométres complexes, cette formulaton nécesste une évaluaton numérque de la matrce des dérvées partelles (ou matrce de sensblté). Notre approche consste à utlser la formulaton du champ adjont au champ de potentel pour drectement mnmser la foncton objectf qu permet d ajuster un modèle aux données. L utlsaton d un algorthme de résoluton nonlnéare mplque le calcul de la dfférentelle de la foncton objectf par rapport au champ de conductvté. La technque de l état adjont nous permet d obtenr cette dfférentelle sans un 187

188 recours à un calcul explcte (par dfférences fnes par exemple). Le gradent de la foncton objectf peut ensute être utlsé dans une méthode de descente. Cette approche est relatvement peu utlsée en nverson électrque. Le module d nverson INVS ans développé, dans l envronnement de CESAR-LCPC, est adapté au tratement des jeux de données contenant un très grand nombre de mesures sur des modèles à géométre complexe présentant de nombreux paramètres nconnus. L algorthme utlsé est robuste, évte le stockage et l nverson de matrces de grandes talles et lmte au maxmum le nombre de problèmes drects à résoudre durant le processus tératf. Il ne nécesste également qu un nombre mnmum de réglages pour obtenr un résultat satsfasant. La drecton de descente est obtenue selon une méthode de plus grande pente pour la premère tératon pus par une méthode de gradents conjugués pour les tératons suvantes afn de lmter les oscllatons en drecton du mnmum. Nous avons utlsé un pas constant pour l ajustement des paramètres du modèle, sans optmsaton de celu-c, afn de lmter le nombre de résolutons du problème drect. Durant la phase de modélsaton synthétque, nous avons pu constater que les composantes du gradent de la foncton objectf sont très fortes pour des éléments à proxmté des électrodes et que les paramètres du modèle dans ces régons ont une nfluence prédomnante sur la correcton apportée au modèle. Ces fortes modfcatons peuvent créer des cas d équvalence et nous devons donc lmter cet effet en dmnuant l ampltude du gradent de la foncton objectf pour des cellules proches des électrodes. Nous avons utlsé un modèle de référence afn de pouvor applquer une contrante sur la forme de la soluton. Nous avons pu constater que le chox de ce modèle a pror est délcat et que le pods qu lu est assocé dans la mnmsaton dot être judceusement chos. Un des crtères d arrêt pour le processus d nverson est le taux de varaton de la foncton objectf entre deux tératons successves. Dans le cas où le nveau de brut peut être estmé, l est également possble d évaluer une valeur optmale pour la foncton objectf. En général, la combnason de ces deux crtères permet un bon dagnostc de convergence du processus nverse. 188

189 VII.2 PERSPECTIVES Concernant la modélsaton drecte, l est souhatable de transformer le programme utltare TOMELE en un module d exécuton de CESAR-LCPC. Un tel développement n apporte pas de fonctonnalté supplémentare mas faclte par contre le traval de l utlsateur. Nous avons fourn dans ce traval l archtecture générale d un code d nverson effcace en utlsant le progcel CESAR-LCPC. Un effort mportant a dû être consacré à l mplantaton et à la programmaton du module dans l envronnement propre à CESAR-LCPC, ce qu s est fat au détrment de l approfondssement de certans problèmes numérques. Le code d nverson utlsé dans ce traval mérte donc encore des raffnements. Nous pouvons en parte soulgner quelques ponts mportants : Nous avons utlsé un pas d ajustement constant dans ce traval afn de lmter le nombre de résolutons du problème drect. Cette soluton n est certanement pas la melleure et une étude approfonde des dverses technques numérques dsponbles dot être prévue dans le futur. De nombreux algorthmes d optmsaton exstent actuellement et peuvent être utlsés dans ce but. Un tel développement devrat être faclté par l augmentaton de la pussance de calcul dans les années qu vennent, pusque toute technque d optmsaton du pas mplquera des résolutons supplémentares du problème drect. Il peut également être nécessare d ntrodure des matrces de lssage orenté dans l espace afn de stablser la soluton. En partculer, le problème de la perte de résoluton en profondeur ans que de la forte sensblté des composantes du gradent de la foncton objectf venant d éléments à proxmté des électrodes dot être étudé. Le modèle de référence peut être adapté et pondéré dans ce but, selon la forme du modèle et l agencement des électrodes. Il semble probable qu une fos ces problèmes résolus, la qualté des reconstructons devrat être smlare à celles obtenues en utlsant la formulaton de Marquardt-Levenberg. Il sera fnalement nécessare de tester l algorthme avec des données réelles provenant de dfférents domanes (géophysque, géne cvl ou encore ngénere bomédcale). Seul le tratement de mesures réelles sera à même de défnr les améloratons à apporter aux codes et de cerner les besons des utlsateurs des outls développés c. 189

190 190

191 BIBLIOGRAPHIE 191

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203 ANNEXE TECHNIQUE 203

204 204

205 Les éléments de CESAR-LCPC pour un problème de dffuson Nous donnons c la lste des éléments pouvant être utlsés pour la modélsaton électrque avec CESAR-LCPC (verson 3.x). Pour les problèmes de dffuson, cnq famlles d éléments sont proposées : Famlle 21 : Eléments soparamétrques bdmensonnels de type dffuson, Famlle 22 : Eléments soparamétrques trdmensonnels de type dffuson, Famlle 23 : Eléments d'échange bdmensonnels, Famlle 24 : Eléments d'échange trdmensonnels, Famlle 25 : Eléments dscontnus pour la recherche d'une surface lbre (problèmes plans). Pour le problème électrque en tros dmensons, la Famlle 22 est la meux adaptée. Cette famlle comprend les éléments suvants : DTH8 : Hexaèdre à 8 nœuds, DTH20 : Hexaèdre à 20 nœuds, DTH27 : Hexaèdre à 27 nœuds, DTP6 : Pentaèdre à 6 nœuds, DTP15 : Pentaèdre à 15 nœuds, DTP18 : Pentaèdre à 18 nœuds, DTT4 : Tétraèdre à 4 nœuds, DTT10 : Tétraèdre à 10 nœuds, DTHT : Hexaèdre de transton. L élément de base utlsé pour construre un élément de transton est un hexaèdre à 20 nœuds. A l excepton des 8 nœuds des sommets, nous pouvons supprmer n mporte quel nœud de cet élément de base pour construre un élément de transton. Cet élément permet de reler des éléments possédant 4 nœuds sur une face avec des éléments possédant 8 nœuds sur une face par exemple. Le préprocesseur MAX3D propose la créaton de mallages trdmensonnels par la transformaton (rotaton ou translaton par exemple) d un mallage bdmensonnel, par l assemblage de sous-mallages ou encore par la créaton de super-éléments. Un super élément est un volume paralléléppédque de forme quelconque qu peut être rempl automatquement au moyen d hexaèdres à 8 ou 20 nœuds. Nous pouvons alors assembler pluseurs superéléments pour créer un mallage 3D complexe en fusonnant ensute les nœuds communs. 205

206 Partculartés du progcel CESAR-LCPC Partcularté du solveur Nous présentons c quelques partculartés du solveur CESAR. Les dfférentes technques numérques et conventons de programmaton présentées c sont couramment utlsées dans l établssement du programme de modélsaton drecte ans que du module d nverson. Cette annexe sera donc utle pour les personnes désrant poursuvre le développement des codes présentés dans ce mémore. La défnton des varables est donnée dans la documentaton du progcel. L accès aux codes créés dans ce traval (TOMELE et INVS) est restrent, une demande au LCPC devant être effectuée. Condtons aux lmtes CESAR prend en compte les condtons aux lmtes de potentel mposé par élmnaton. Le système à résoudre Ka=F peut s'écrre (avec n la dmenson du système, sot NDLT dans CESAR) : k11 & k1( 1) k1 k1( + 1) & kn a1 f1 $ $ $ $ $ $ $ k( 1)1 & k( 1)( 1) k( 1) k( 1)( + 1) & k ( 1) n a ( 1) f ( 1) k 1 & k( 1) k k( + 1) & kn a = f k( + 1)1 & k( + 1)( 1) k( + 1) k( + 1)( + 1) & k ( + 1) n a ( 1) f + ( + 1) $ $ $ $ $ $ $ kn 1 kn( 1) kn kn( + 1) k & & nn a n f n (A.1) Supposons que l'on mpose a =u. Il n est évdemment pas possble d mposer en même temps une sollctaton extéreure sur le degré de lberté dans ce cas. CESAR supprme donc la ème équaton (sot la lgne de la matrce). Dans les autres équatons, a sera remplacée par sa valeur mposée. En ne fasant apparaître dans le premer membre que les varables non mposées, on obtent donc : k11 & k1( 1) k1( + 1) & kn a1 f1 ku 1 $ $ $ $ $ $ $ k( 1)1 & k( 1)( 1) k( 1)( + 1) & k ( 1) n a ( 1) f ( 1) k = ( 1) u k( + 1)1 & k( + 1)( 1) k( + 1)( + 1) & k( + 1) n a( + 1) f( + 1) k( + 1) u $ $ $ $ $ $ $ kn 1 & kn( 1) kn( + 1) & knn an fn ku n (A.2) 206

207 CESAR résout donc ce nouveau système qu n'est plus de dmenson NDLT mas NEQ. Le module BLCOND stué en amont du module d exécuton calcule cette varable NEQ et modfe un certan nombre de tableaux. En partculer, l consttue les tableaux KNEQ et VDIMP. Pour l'nconnue j (j>=1 et j<=ndlt), s KNEQ(j)>0 le tableau VDIMP ndque le nouveau numéro d'nconnue dans le système à résoudre. S KNEQ(j)=-k (et donc <0) cela sgnfe que le degré de lberté est mposé. La valeur correspondante est donnée par VDIMP(k). Il faut de plus modfer le vecteur sollctaton (second membre). Il faut également le redmensonner, ce qu est fat par la routne FOCOND (dans la parte consttuton du second membre dans EXLINE par exemple). D autre part, l faut modfer les valeurs numérques du vecteur sauf s on pose u=0. On ne vent donc modfer le second membre que s le nombre NCLNZ de degrés mposés non nuls est plus grand que zéro. Dans CESAR, NCLZ est le nombre de degrés de lberté mposés à zéro et NCLT=NCLZ+NCLNZ est le nombre total de varables mposées. Cette remarque a son mportance pour l élaboraton du module d nverson, car nous mposons des potentels nuls pour le calcul du champ de potentel et de son champ adjont. Stockage de la matrce globale CESAR utlse systématquement le format de stockage lgne de cel ou skylne storage pour le tratement de la matrce globale. Une sére de routnes sont assocées à ce format de stockage telles que KONFI (calcul de KLD), ASSEM (assemblage de la matrce), SOL (factorsaton de Crout LD t L d une matrce symétrque avec résoluton optonnelle pour un vecteur de second membre) et RESOL (résoluton par descente-remontée des systèmes trangulares assocés à la forme factorsée). Pratquement, le trangle supéreur de la matrce globale peut être représenté à l ade d un vecteur VKGS, contenant les termes de la matrce, et d un vecteur de ponteurs d adresses enter KLD, avec : KLD[1]=1 par conventon ; KLD[NEQ+1]=Surface du profl sous la lgne de cel ; La hauteur de la colonne k (hors dagonale) est h = KLD[k+1]-KLD[k]. Le trangle supéreur de la matrce globale (hors dagonale) est alors représenté sous forme vectorelle dans un vecteur VKGS. Avec un tel système d adressage, pour trouver le terme a j avec <j (s >j, rechercher a j ; s j=, a = KLD[]), on procède de la façon suvante : 207

208 La hauteur de la colonne j (dmnuée de la dagonale) est donnée par h = KLD[j+1] - KLD[j]. L ndce de lgne du terme (dfférent de zéro) du haut de la colonne j est donc p=j-h. S h est dfférent de zéro, ce terme de haut de colonne est a pj = VKGS(KLD[j]). Dans ce cas, s <p, aj = 0; snon a j = VKGS(KLD[j]+-p). Allocaton pseudo-dynamque des tables Le langage FORTRAN 77 ne permet pas de défnr dynamquement la dmenson des tables en cours d'exécuton d'un programme. CESAR utlse une technque d'allocaton pseudodynamque des tables dans laquelle les tables sont dmensonnées comme des vecteurs et non pas comme des matrces, toutes les tables étant placées séquentellement dans une table unque VA et chaque table étant repérée par la poston (donnée par un ponteur) de son premer terme dans VA. La dmenson totale de l'ensemble des tables est lmtée par la dmenson du vecteur VA, défne dans le programme prncpal. Les ponteurs de chacune des tables sont conservés dans le commun nommé LOCVA. La talle des tableaux est modfable dynamquement. Il sufft de créer dans le répertore de traval le fcher TCESAR contenant les talles des tableaux. La créaton d'un vecteur (calcul du ponteur, et modfcaton du ponteur IVA) est effectuée par les sous-programmes ESPAKA (vecteur d'enters) ou ESPAVA (vecteur de réels). La suppresson d'un vecteur (décalage des vecteurs qu le suvent et modfcatons de leur ponteur et de IVA) est effectuée dans les sous-programmes MODIKA (vecteur enter) ou MODIVA (vecteur réel). Le sous-programme MISA1 lbère dans VA tout l'espace occupé à partr d un certan vecteur. Le dmensonnement de ces tableaux a leu dans la premère parte du module d exécuton (BLINVS pour le module INVS). On notera que la zone de VA non utlsée après allocaton des prncpaux tableaux joue un rôle très mportant car elle est appelée à recevor la matrce globale ou plus généralement, une porton de celle-c. La talle de cette matrce est donnée par VKGS (sot la varable ITAIL). On désgne par LVA la longueur de VA déjà moblsée. Il advent parfos que ces talles de tableaux soent s mportantes que la factorsaton matrcelle dot être effectuée en pluseurs étapes (factorsaton out of core). À chaque étape, une fracton de la matrce est factorsée, cette fracton étant détermnée de façon à occuper au maxmum la mémore centrale, pus la mémore est lbérée pour factorser le bloc matrcel suvant. Des ponteurs servent à gérer les accès-dsques amenant en mémore centrale les blocs matrcels utles à chaque étape. 208