Probabilités et Statistiques: Eléments de cours et exercices

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1 Uiversité Paris Villetaeuse Aée 2013/2014 Clémet Foucart 1 Probabilités Probabilités et Statistiques: Elémets de cours et exercices Prépa Capes Les programmes de mathématiques das l'eseigemet secodaire aisi qu'e classes préparatoires et BTS mettet de plus e plus e avat la théorie des probabilités. S'il est rare que les exercices de probabilités doés au lycée et das les premières aées uiversitaires écessitet des raisoemets diciles e aalyse réelle, plusieurs types de dicultés apparaisset lorsque l'o eseige ou que l'o étudie les probabilités. D'ue part, des éocés mal costruits (trop succicts ou au cotraire trop logs) peuvet rapidemet bloquer le lecteur 1. D'autre part, o peut être ameé à mobiliser des coaissaces e aalyse ou e algèbre (calculs de séries, d'itégrales, algèbre liéaire, matrice à iverser). La théorie de la mesure 'est pas au programme du CAPES. Nous ous boreros doc à l'usage de otios probabilistes sas doer plus de détails quat à leurs déitios e théorie de la mesure. Il faut éamois bie compredre que probabilités et itégratio partaget beaucoup de choses, comme ous le verros das les chapitres suivats, probabilités discrètes (respectivemet cotiues) amèet à l'étude de séries (respectivemet d'itégrales). A de doer u cadre clair, ous itroduiros rapidemet les tribus (c'est d'ailleurs au programme e classes préparatoires écoomiques et sociales, voie scietique). D'u poit de vue pédagogique, itroduire les tribus permet de s'etraîer à maipuler les sous-esembles. Les exercices accompagés du sige # sot corrigés. Ils ot été das leur grade majorité rédigés par Alexadre Geadot et Pierre Veuillez (http ://mathsece.free.fr/) 2. A de vous etraîer, vous pouvez cosulter les référeces suivates : Ouvrages utilisés pour la rédactio de ce polycopié 1) Itégratio et Probabilités, Auliac, Cocozza-Thivet, Mercier, Roussigol, EdiSciece. 2) Probabilités, aalyse de doées et Statistiques, Saporta, Techip. 3) Polycopié du cours de préparatio au capes de Paris 6. Frédérique Petit et Béatrice de Tilière (dispoible e lige sur la page de B. de Tilière) 4) Probabilités et statistiques pour le CAPES extere et l'agrégatio itere de Mathématiques (Jérôme Escoer) 5) Aales des ECRICOMES (pour les problèmes et exercices de probabilités : http ://mathsece.free.fr/sujetset 6) Aalyse pour l'agrégatio, Zuily et Queélec. Duod, Référeces pouvat être cosultées 1) Probabilités Tome 1, licece- capes Jea-Yves Ouvrard, chez Cassii 2) Itroductio au calcul des probabilités et à la statistique, Jea-Fraçois Delmas, dispoible e lige 3) Probability ad radom processes Grimmett ad Stirzaker third editio, Oxford 1. et ceci est vrai à tout iveau. 2. J'e prote pour les remercier ici.

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3 Table des matières 1 Rappels fodametaux Rudimets sur les esembles et les foctios Notios de base sur les esembles Esembles et foctios Esembles déombrables Esembles au plus déombrables Esembles is Exercices Espaces probabilisés Termiologie probabiliste et otio de probabilité Probabilité coditioelle Formule des probabilités totales et formule de Bayes Idépedace Variables aléatoires : otio de loi et de momets Loi d'ue variable aléatoire Foctios de répartitio et idépedace Exercices Variables aléatoires discrètes Gééralités Loi et foctio de répartitio Espérace Compositio d'ue variable aléatoire et d'ue foctio et idépedace Momets, variace et écart-type Lois discrètes usuelles Vecteurs aléatoires discrets Vecteurs aléatoires discrets : lois margiales, idépedace Structure algébrique, covariace et corrélatio Loi multiomiale Somme de variables aléatoires idépedates Exercices Variables aléatoires à desité Gééralités Loi et foctio de répartitio Espérace

4 4 TABLE DES MATIÈRES Compositio d'ue variable aléatoire et d'ue foctio et idépedace Momets, variace et écart-type Lois à desité usuelles Vecteurs aléatoires à desité Vecteurs aléatoires à desité : lois margiales, idépedace Loi ormale multidimesioelle Sommes de deux variables aléatoires idépedates : covolutio Exercices Théorèmes limites Notios de covergece de suites aléatoires Covergece e probabilité et loi faible des grads ombres Covergece e loi Approximatios de certaies lois et théorème cetral limite Covergece presque-sûre et loi forte des grads ombres Exercices Elémets de statistiques Estimatio Exercices Sujets des exames passés et problèmes Foctios additives et loi expoetielle Théorème de Weierstrass Marche aléatoire Problèmes d'aalyse pour les probabilités 135

5 Chapitre 1 Rappels fodametaux Ce chapitre est du iveau de première et deuxième aée. Il est coseillé d'y reveir si vous avez des lacues. Nous commeços par des rappels de base sur les esembles et les opératios sur les esembles. Nous termios par des rappels sur les esembles déombrables. Ces esembles jouet u rôle primordial lors de l'étude des probabilités discrètes. Les otios présetées ici fot parties des cours de première et deuxième aée de mathématiques. Nous revoyos le lecteur aux ouvrages cosacrés. 1.1 Rudimets sur les esembles et les foctios Notios de base sur les esembles Soit Ω u esemble (typiquemet Ω sera iclus das N, R ou R d pour d 2). A est u sousesemble (o dit aussi partie) de Ω, si A est ue collectio d'élémets de Ω : au ses où tous les élémets de A sot élémets de Ω. O ote alors la relatio est la relatio d'iclusio. A Ω, Rappel : O raisoe souvet par double iclusio pour motrer que deux esembles sot égaux : A = B A B et B A. O ote P(Ω) l'esemble des parties de Ω. C'est à dire : Opératios sur les esembles : P(Ω) = {A; A sous-esemble de Ω}. Esemble complémetaire. Soit A P(Ω). Le complémetaire de A est l'esemble des élémets de Ω qui 'appartieet pas à A : A c = {x Ω; x / A}. O ote le complémetaire de Ω. Cet esemble s'appelle l'esemble vide. 5

6 6 CHAPITRE 1. RAPPELS FONDAMENTAUX Réuio : La réuio de deux esembles A et B est otée A B et est déie par : x A B x A ou x B Attetio, le "ou" 'est pas exclusif, c'est à dire que x peut apparteir à la fois à A et à B. Itersectio : l'itersectio de deux esembles A et B est otée A B et est deie par : x A B x A et x B L'esemble des élémets de A qui e sot pas das B est oté A \ B. O dit "A privé de B". O le déit par : A \ B = A B c. Ces opératios se gééraliset à des familles d'esembles : soit I N et (A i, i I). Leur réuio est otée i I A i, leur itersectio i I A i x A i i I tel que x A i, doc x / A i i I, x / A i i I i I x A i i I, x A i, doc x / A i i I tel que x / A i. i I i I Remarque Toutes ces opératios sot stables das P(Ω). O rappelle les règles de calculs : ˆ (A B) C = (A C) (B C) ˆ (A B) C = (A C) (B C) ˆ (A B) c = A c B c ˆ (A B) c = A c B c Plus gééralemet : ( i I A i ) c = i I A c i et ( i I A i ) c = i I A c i. Déitio (Partitio) Ue famille de parties de Ω, (A i, i I) est ue partitio de Ω si ; i) i I A i = Ω ii) i I, j I : i j = A i A j =. Déitio (Produit cartésie) Le produit cartésie de deux esembles E et F est otè, E F et est déi par : E F = {(x, y); x E et y F }. Plus gééralemet, le produit cartésie de esembles est : E 1 E 2 E 3... E = E i = {(x 1, x 2,..., x ); i [ 1, ], x i E i }. i=1

7 1.2. ENSEMBLES DÉNOMBRABLES Esembles et foctios O doe ici quelques rudimets sur les applicatios : les déitios d'ijectivité, surjectivité, de l'image et de l'image réciproque d'u esemble par ue applicatio. Soiet E et F deux esembles, soit f ue applicatio qui va de E das F : Déitio La foctio f est dite ˆ ijective si : x, y E, f(x) = f(y) = x = y. Das ce cas, u élémet de F a au plus u atécédet par f das E. ˆ surjective si : z F, x E; f(x) = z. Das ce cas, tout élémet de F a au mois u atécédet par f. ˆ bijective si : ijective et surjective. Das ce cas, pour tout z das F, il existe u et u seul x E tel que f(x) = z. Déitio Soit f ue applicatio de E das F, A ue partie de E et B ue partie de F. O appelle image de A par f l'esemble oté f(a) déi par f(a) = {y F ; x A tel que y = f(x)}. O appelle image réciproque de B par f l'esemble oté f 1 (B) déi par f 1 (B) = {x E; f(x) B}. Remarque La otatio f 1 est abusive car f 'est pas toujours bijective et 'a doc pas toujours de réciproque, l'esemble f 1 (B) existe même si f 'est pas bijective. Propositio (Image réciproque et uio) Soiet A, B P(F ) ˆ f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) ˆ f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) ˆ f 1 (A c ) = f 1 (A) c Preuve laissée e exercice. 1.2 Esembles déombrables Pour clôturer ces gééralités, et avat de passer aux probabilités, ous rappelos la otio d'esemble déombrable, aisi que des élémets de déombremet. Le déombremet est fodametal das les probabilités discrétes. Nous traitos ces questios à part a de se cocetrer das la suite sur les probabilités.

8 8 CHAPITRE 1. RAPPELS FONDAMENTAUX Esembles au plus déombrables Déitio U esemble E est dit au plus déombrable s'il existe ue ijectio de E das N Deux cas sot possibles : l'esemble E est ii et das ce cas, o peut démotrer qu'il existe ue bijectio de E das N. L'esemble est dit déombrable. L'esemble E est i et das ce cas, o peut déombrer combie il possède d'élémets. Remarque (Exemples) Ces propriétés sortet du cadre du cours, mais sot à savoir démotrer. L'esemble des ratioels Q est déombrable. L'esemble des réels R est o déombrable Esembles is O dit qu'u esemble est i s'il est vide, ou s'il existe u etier aturel et ue bijectio de [ 1, ] := {1, 2,..., } das E. Si E, l'etier est appelé cardial de E. O ote Card E =. Par covetio Card = 0. O a Card E = si et seulemet si les élémets de E peuvet être otés e 1,..., e où les e k sot disticts. Déombrer u esemble i E correspod à détermier le ombre délémets de E, c'est à dire so cardial. Plusieurs méthodes sot possibles. Néamois, rappelos les trois coditios qui doivet être remplies pour que le déombremet soit correct : 1) S'assurer que seuls des élémets de E sot comptés 2) S'assurer que l'o e oublie pas 3) S'assurer que l'o e compte pas plusieurs fois le même élémet. Propriétes des cardiaux Propositio Soit E u esemble i. Si F est u esemble e bijectio avec E, alors F est i et Card E = Card F. Démostratio Si E est u esemble i de cardial alors il existe φ ue bijectio de [ 1, ] das E. Soit f ue bijectio de E das F, la composée de deux bijectios est ue bijectio, doc l'applicatio φ f est ue bijectio. De plus le cardial de F est. Propositio Soit E u esemble i. Toute partie A de E est ie et Card A Card E. Si A est ue partie de E et Card A = CardE alors A = E. Propositio Soit A et B deux parties de E, esemble i. 1) Si A et B sot disjoites, Card (A B) = Card (A) + Card (B) 2) Card (A \ B) = Card A Card B 3) Card A c = Card E Card A 4) Card (A B) = Card A + Card B Card (A B)

9 1.2. ENSEMBLES DÉNOMBRABLES 9 Propositio (Formule du Crible) Soit (A i, i I) ue famille de parties de l'esemble i E alors pour tout etier 1 ; Card ( i=1a i ) = ( 1) k+1 Card ( k l=1a il ) k=1 1 i 1 <i 2 <i 3 <...<i k Si (A i, i I) est ue partitio de E alors Card ( i=1a i ) = Card (E) Preuve. Par récurrece. Cette formule correspod à la formule du crible das le cadre des probabilités sur des esembles is avec l'hypothèse d'équiprobabilité. Nous verros qu'elle se gééralise à toutes les probabilités (pas seulemet pour la probabilité uiforme). Propositio (Cardial d'u produit d'esembles is) Soit (E i, i [ 1, ]) ue famille d'esembles is. O a : Card (E 1 E 2... E ) = (Card E 1 )(Card E 2 )...(Card E ). Remarque Cette formule est fodametale e déombremet. Ue boe compréhesio de sa sigicatio et de sa preuve est le meilleur départ possible e probabilités discrètes. Démostratio. O se cocetre sur = 2, ue fois le résultat établi pour = 2, o peut raisoer par récurrece. Soiet A et B, deux esembles de cardial respectif et p. O va procéder par récurrece sur p. Iitialisos, la récurrece : supposos p = 1, par déitio puisque Card A =, il existe ue bijectio φ : A {1,..., }. L'applicatio : φ : (a, b) A B φ(a) {1,..., } est ue bijectio, doc Card (A B) =. Hypothèse de récurrece : Supposos que la propriété est vraie au rag p. Hérédité : O ote A et B deux esembles avec B de cardial p+1. O ote A = {a 1,..., a }, B = {b 1,..., b p, b p+1 } A B = {(a, b); a A, b B} = A ({b 1,..., b p }) A {b p+1 }. Par hypothèse de récurrece Card (A {b 1,..., b p }) = p, doc Card (A B) = p + = (p + 1). La propriété état héréditaire, iitialisée, o coclut qu'elle est vraie pour tout etier p par récurrece.

10 10 CHAPITRE 1. RAPPELS FONDAMENTAUX Arragemets et combiaisos Déitio O appelle p-liste d'u esemble E à élémets, toute suite de p élémets de E. C'est à dire u élémet de E p. Remarque L'ordre des p-élémets est importat. Ue p-liste peut coteir plusieurs fois le même élémet. O parle aussi de p-uplet, ou p-uple. Théorème Il y a p p-listes d'u esemble à élémets. Démostratio. O choisit p élémets das E : o a doc à compter le ombre d'élémets de E } E... {{ E }. D'après la propositio 1.2.5, il y a (Card E) p élémets. p fois O peut égalemet raisoer de la faço suivate (c'est e fait tout à fait équivalet, mais la rédactio est diérete) : O choisit d'abord le premier élémet de la liste : o a possibilités. O choisit esuite le secod élémet, o a égalemet possibilités, et aisi de suite p fois. Le ombre de p-listes possibles est alors le produit de toutes ces possibilités : c'est à dire p. E fait, o peut idetier p-liste d'u esemble à élémets et applicatio de {1,..., } das {1,..., p}. O a doc le théorème suivat : Théorème Soiet A et B de cardial respectif et p. Le ombre d'applicatios de A das B est (Card A) Card B. Déitio U arragemet de p élémets parmi est ue liste de p élémets disticts d'u esemble E à élémets. Si Card E =, u arragemet de élémets est ue permutatio de E. Théorème O ote A p le ombre d'arragemets de p parmi. O a : A p = ( 1)...( p + 1) =! ( p)!. Remarque O ote souvet () p (symbole de Pochhammer) A p (éamois cette otatio 'est pas utilisée e secodaire). Démostratio. Notos A p l'esemble des arragemets de p parmi. O souhaite démotrer que Card A p! = ( p)!. O procède par récurrece sur p. Si p = 1 alors A 1 = (et ce pour tout ). Soit p 1, supposos que la propriété est vraie au rag p. Clairemet A p+1 est e bijectio avec A p A 1 p. Doc par le Théorème = A p A 1 p. A p+1 Par hypothèse de récurrece, et car A 1 p = p, o a A p+1 =! ( p)! ( p) =! ( p 1)!.

11 1.2. ENSEMBLES DÉNOMBRABLES 11 Déitio (Combiaiso) Soit E u esemble i de cardial. O appelle combiaiso de k élémets de E toute partie de E de cardial k. O ote ( k) le ombre de combiaisos de k élémets parmi. Autremet dit ( k) est le ombre de faços de choisir k élémets parmi sas teir compte de leur ordre. Il faut bie faire la diérece etre partie et liste! Théorème Pour tout k ( ) = k! k!( k)! Démostratio. O va faire ue récurrece sur. O ote la propriété au rag, P : ( ) k =!. k!( k)! O iitialise la propriété : = 0, o compte les parties de l'esemble vide ; il 'y a qu'ue partie l'esemble vide lui même : ( 0 0) = 1. O motre maiteat l'hérédité, c'est à dire : P = P +1. Soit E = {a 1,..., a +1 }. Soit k = 0, ( ) +1 k = 1 : la seule partie de E avec 0 élémet est l'esemble vide. Soit k 1, ue partie de E cotiet l'élémet a +1 ou o. O écrit doc l'esemble des parties à k élémets de E comme l'uio disjoite des parties à k élémets sas a +1 et des parties à k élémets avec a +1. Comptos le ombre de parties. O a ( k) parties de E coteat k élémets sas a +1. Il reste à compter les parties de E à k élémets coteat a +1. Ces parties s'écrivet de la forme B {a +1 } avec B ue partie de {a 1,..., a } à k 1 élémets. O e déduit qu'il y a ( k 1) parties de E à k élémets coteat a+1. Par hypothèse de récurrece ) =!, doc (k 1)!( k+1)! ( k 1 ( ) + 1 = k ( ) ( ) + = k k 1 ( + 1)! k!( + 1 k)!. Remarque Au log de la preuve, o a démotré u résultat itéressat, à savoir ( ) + 1 = k ( ) ( ) +. k k 1 Cette relatio permet de calculer les premières valeurs de ( k). Costruire le triagle de Pascal. Propositio (Formule de Vadermode) 0 p + m ( ) + m = p p k=0 ( )( ) m. k p k Démostratio. Soiet E u esemble de cardial, F u esemble disjoit de cardial m. Déombrer les parties à p élémets de E F.

12 12 CHAPITRE 1. RAPPELS FONDAMENTAUX 1.3 Exercices Exercice Ue classe comporte 20 étudiats. Douze lles et huit garços. Le professeur décide de désiger u groupe de travail de trois élèves chargé de préparer u devoir maiso. 1) Combie de groupes de travail de trois élèves est il possible de former? 2) Combie y a-t-il de groupes costitués de trois lles? 3) Combie y a-t-il de groupe avec deux lles et u garço? Exercice O orgaise u champioat de Curlig. Sept équipes sot qualiées. Si chaque équipe recotre ue seule fois chacue des autres équipes, quel ombre de matchs doit-o prévoir? Si chaque équipe recotre deux fois chacue des autres équipes (match aller, match retour) quel ombre de matchs doit-o prévoir? Exercice O cosidère poits disticts d'u cercle avec 3. E joigat ces poits deux à deux, combie détermie-t-o de droites? Combie existe-t-il de triagles ayat leurs sommets e ces poits? Exercice U restaurat propose trois etrées, deux plats et quatre desserts. U meu se compose d'ue etrée, u plat, u dessert. Quel est le ombre de meus? Exercice O étudie le lectorat de trois revues (a=libératio, b=le Mode, c=le Figaro). Sur 100 persoes iterrogées das la rue, 57 liset a, 42 liset b, 38 liset c, 22 liset a et b, 14 liset b et c, 16 liset a et c, 8 liset a,b et c. Calculer le ombre de persoes 1) qui e liset que a et b, que b et c, que a et c 2) qui e liset que a, que b, que c 3) qui e liset aucue des trois revues. Exercice (#) Soit N. O pose : 1. Développer (1 + x). f(x) = (1 + x) 2. E déduire la valeur des sommes suivates : A = k=0 ( ), B = k 3. Calculer la dérivée f (x) de deux faços. 4. E déduire la somme : D = k=0 ( ) ( ) ( ) 2 k, C = k k=0 ( ) ( ) ( ) ( 1) k k Correctio.

13 1.3. EXERCICES D'après la formule du biôme : f(x) = (x + 1) = p=0 ( ) x p 1 p = p p=0 ( ) x p = p 2. O remarque, grâce à la questio précédete, que : ( ) + 0 A = f(1) = (1 + 1) = 2 B = f(2) = (1 + 2) = 3 ( ) x + 1 ( ) x C = f( 1) = (1 1) = 0 car 1 par hypothèse (rappelos que 0 0 = 1) 3. Calculos f (x) de deux faços. D'ue part f(x) = (1 + x) doc : f (x) = (1 + x) 1 O a utilisé la formule : (u ) = u u 1. D'autre part : Doc : f(x) = f (x) = ( ) + 0 ( ) x + 1 ( ) x Avec la questio précédete, o voit que : ( 2 ( ) x ) x + + ( ) D = f (1) = (1 + 1) 1 = 2 1 ( ) x x 1 ( ) x Exercice (#) U étudiat va acheter trois livres de math et deux bades dessiées. Das le magasi, il y a dix livres de math et vigt bades dessiées. 1. De combie de faços l'étudiat peut-il faire ses achats? 2. De retour chez lui, il forme ue pile avec ses ouveaux livres. De combie de faços peut-il le faire? 3. Même questio si l'étudiat souhaite que ses livres de math se trouvet e bas de la pile, et ses bades dessiées e haut. 4. Même questio si l'étudiat souhaite que ses livres de math se suivet das la pile (mais pas écessairemet les bades dessiées). Correctio. 1. Pour l'achat des livres, l'ordre 'a pas d'importace. L'étudiat choisit 3 livres de math parmi 10 et 2 bades dessiées parmi 20. Doc le ombre de faços de faire ces achats est : ( )( ) 3 2 = = = Ici l'ordre compte. L'étudiat choisit u de ses 5 livres pour être le premier de la pile, puis u des 4 autres pour être le deuxième, etc. Il a doc = 5! = 120 faços de costituer la pile. (Nombre de permutatios d'u esemble de cardial 5)

14 14 CHAPITRE 1. RAPPELS FONDAMENTAUX 3. Das cette questio, l'étudiat forme ue pile avec ses 3 livres de math : il a 3 2 = 6 faços de le faire. Puis ue pile avec ses bades dessiées : il a 2 faços de le faire. E, il place la pile de livres de math sous la pile de bade dessiées, mais il 'y a qu'ue seule faço de faire cela. Il a doc 6 2 = 12 faços de costituer la pile de 5 livres. 4. Ici, l'étudiat forme ue pile avec ses 3 livres de math (doc 6 faços de le faire, o l'a vu), ue pile avec ses bades dessiées (2 faços de le faire), puis il isère la pile de livre de math : sous les bades dessiées ou bie etre les deux bades dessiées ou bie au dessus des bades dessiées Fialemet, il a doc = 36 faços de costituer la pile. Exercice livres doivet être ragés das ue bibliothèque, dot 4 livres de maths, 3 livres de chimie, 2 livres de littérature, et 1 d'histoire. O souhaite rager les livres de maière que les livres du même sujet soiet regroupés sur l'étagère. Combie d'arragemets sot possibles? Exercice O appelle partage par paire d'u esemble toute partitio dot les parties cotieet chacue deux élémets. Quel est le ombre de partages par paires d'u esemble de 2 élémets? 2. O cosidère 32 joueurs de teis, de combie de faços peut-o orgaiser le premier tour d'u touroi de teis e simple? E double? Exercice Soit Ω = {1, 2, 3, 4}. Décrire toutes les parties de Ω, puis vérier que card(p(ω)) = 2 4. Démotrer que si card (Ω) = alors card(p(ω)) = 2 Exercice Motrer que pour tous, p N, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 1 = et = +. p p p + 1 p p + 1 Exercice Soiet A, B et C trois parties d'u même esemble E. 1. A l'aide de dessis, justier les lois de Morga : (A B) c = A c B c et (A B) c = A c B c. 2. A l'aide de dessis, Justier les relatios esemblistes suivates : A (B C) = (A B) (A C) et A (B C) = (A B) (A C). 3. Doer ue forme simpliée des expressios : (A B) (A B c ) et (A B) (A c B) (A c B c ).

15 Chapitre 2 Espaces probabilisés A de motiver les déitios qui suivet, voici deux exemples types de problèmes où les probabilités se révèlet écessaires. Il est courat que des exercices soiet éocés de cette maière e secodaire ou das les premières aées d'uiversité. Exemple (Cotrôle de productio) Ue usie produit à grade échelle ue pièce mécaique. Le processus de fabricatio est complexe et e permet pas de détecter à tout momet si ue pièce est défectueuse. Néamois, le fabricat a des egagemets evers ses cliets et souhaite vérier que so stock e cotiet pas trop de pièces défectueuses. Pour e estimer le ombre, o peut par exemple predre 100 pièces et compter combie sot défectueuses. Si o e trouve 3, o a evie de coclure que 3% de la productio sera défectueuse. Ce 'est évidemmet pas précis, et le calcul des probabilités est écessaire pour répodre à la questio. Exemple (Fiabilité) Imagios qu'u système embarque plusieurs composats électroiques qui tombet e pae à des temps aléatoires. A d'assurer la abilité du système, o a besoi d'iformatios précises sur ces temps aléatoires. Cela ous coduira à cosidérer des lois de probabilités. Das cette sectio, ous présetos les fodemets de la théorie. Les exercices associés sot u peu abstraits mais permettet ue compréhesio plus globale de la théorie. 2.1 Termiologie probabiliste et otio de probabilité La première étape pour étudier u phéomèe aléatoire est d'idetier les résultats possibles d'ue expériece impliquat ce phéomèe. Déitio O ote Ω l'esemble de tous les résultats possibles. O appelle cet esemble l' uivers (o parle égalemet d'esemble fodametal ou d'espace d'états). Repreos l'exemple Supposos que sur N = pièces, u ombre m de pièces sot défectueuses. O tire maiteat au sort = 100. Commet décrire Ω? O peut predre pour uivers Ω l'esemble des tirages de pièces sas teir compte de l'ordre : c'est à dire l'esemble des combiaisos de élémets parmi N. Le cardial de Ω est doc le ombre de combiaisos de élémets parmi N : ( N ) = N!!(N )!. O peut predre pour uivers l'esemble des tirages teat compte de l'ordre : das ce cas, il s'agit de l'esemble des arragemets de élémets parmi N. Le cardial de Ω est doc A N. 15

16 16 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS O peut égalemet predre pour uivers l'esemble décrit par le ombre de pièces défectueuses tirées : Ω = {0, 1,..., }. Il 'y a doc pas uicité de l'espace Ω. Plusieurs choix sot possibles, le meilleur est toujours celui qui mèe aux calculs les plus simples... Das l'exemple de durée de foctioemet, s'il y a u seul composat, l'espace de probabilité aturel pour modéliser le temps de pae est Ω = R +. S'il y a N composats, o peut predre Ω = R N +. Ue fois le choix de l'uivers clair, o peut s'itéresser à certais évéemets. Par exemple le ombre de pièces défectueuses est iférieur à 5 (das l'exemple 2.0.1) ou le composat e tombe pas e pae das les 10 prochaies aées. Si l'o peut décrire u évéemet à l'aide d'ue phrase, il faut bie compredre que c'est u sous-esemble de l'uivers Ω 1 Le tableau suivat doe les correspodaces etre esembles et évéemets. Notatios vocabulaire esembliste vocabulaire probabiliste ω élémet de Ω tirage, résultat possible ou expériece ω A ω appartiet à A l'expériece ω réalise A A B A coteu das B l'évéemet A etraîe l'évéemet B A B réuio de A et B A ou B A B itersectio de A et B A et B A c esemble complémetaire de A évéemet "o A" esemble vide évéemet impossible Ω esemble plei évéemet certai A B = A et B disjoits A et B évéemets icompatibles. L'objectif est doc d'étudier les occurreces de ces évéemets. O eted par occurrece, la probabilité d'apparitio de l'évéemet : c'est à dire u réel apparteat au segmet [0, 1], vériat certaies propriétés aturelles (voir Déitio 2.1.5). Lorsque Ω est o-déombrable, il est impossible d'attribuer à chaque élémet de P(Ω), ue probabilité vériat ces propriétés et o e peut déir P que sur u sous-esemble strict de P(Ω). Ces dicultés mèet à la otio de tribu qui peut être passée e première lecture. Déitio Ue tribu (aussi appelée σ-algèbre) sur u esemble Ω est ue famille F de parties de Ω, vériat les trois propriétés suivates : Ω F Pour tout élémet A de F, A c appartiet à F (o parle de stabilité par passage au complémetaire) Pour toute suite (A ) N d'élémets de F, N A F. Propositio L'itersectio déombrable de tribus est ue tribu (voir Exercice). E gééral, la réuio de deux tribus 'est pas ue tribu! Déitio La tribu egedrée par u esemble de parties G de Ω est la plus petite tribu, 1. c'est ue diculté lorsque l'o débute e probabilité.

17 2.1. TERMINOLOGIE PROBABILISTE ET NOTION DE PROBABILITÉ 17 au ses de l'iclusio, coteat G. O a doc σ(g) := A tribu ;G A Déitio Ue tribu importate, à laquelle ous feros implicitemet référece das le chapitre 4, est la tribu des borélies. La tribu des borélies est la tribu sur R d egedrée par l'esemble G des pavés ouverts (des itervalles ouverts si d = 1). O la otera B(R d ). Itroduisos maiteat la otio de probabilité. La première otio de probabilité étudiée e secodaire est celle d'équiprobabilité das u uivers Ω i. Supposos que de par l'expériece tous les élémets de Ω ot la même chace d'être obteu (c'est la otio d'équiprobabilité) o déit ue otio de probabilité de la faço suivate. Soit A u évéemet. La probabilité de A est la proportio d'élémets de A das Ω. O déit P(A) = Card A Card Ω. Les propriétés du cardial d'u esemble coduiset immédiatemet à la célèbre formule A. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). E eet Card (A B) = Card A + Card B Card (A B). Cette otio de probabilité est d'u certai poit de vue la plus simple et ramèe le calcul à des questios de déombremet (parfois loi d'être faciles). Remarque Ces derières aées, les programmes e mettet pas l'accet sur le déombremet, éamois vous devez e coaître les rudimets. La situatio d'équiprobabilité est u cas particulier (o parlera das la suite de loi uiforme). Pour avoir ue déitio tout à fait géérale et pouvoir par exemple étudier les probabilités pour des expérieces liées à des uivers iis, suivos l'approche fréquetiste. Lorsque l'o peut répéter u grad ombre de fois ue même expériece aléatoire, o costate que la fréquece d'apparitio d'u évéemet A, c'est à dire le quotiet ombre de fois que A se réalise ombre de fois que l'o fait l'expériece uctue de mois e mois et semble coverger vers ue limite au fur et à mesure que le ombre d'expérieces gradit. O ote cette quatité P(A). De faço heuristique, si P(A) est proche de 1, A s'est produit très souvet et doc lors d'ue expériece, l'évéemet A a beaucoup de chaces de se réaliser. Au cotraire si P(A) est proche de 0, alors A s'est peu produit et la chace qu'il se réalise est petite. Si A et B sot des évéemets icompatibles, alors le ombre de fois ou l'évéemet A B se réalise est simplemet la somme du ombre de fois où A s'est réalisé et du ombre de fois ou B s'est réalisé. E "passat à la limite", o a si A B = P(A B) = P(A) + P(B).

18 18 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS Présetée telle quelle la otio de probabilité 'est pas du tout rigoureuse. E eet, ous e pouvos pas a priori maipuler des limites sas savoir si elles existet. Cepedat, cette heuristique ous idique déjà qu'ue probabilité est ue applicatio qui va de l'esemble des évéemets à l'itervalle [0, 1] et qui de plus vériet certaies propriétés d'additivité. Nous allos poser comme axiome qu'ue probabilité vérie la σ-additivité, qui est ue gééralisatio de l'additivité vue ci-dessus. Déitio Si F est ue tribu sur l'esemble Ω, ue probabilité sur la tribu F est ue applicatio otée P de F das [0, 1] telle que : P(Ω) = 1 Pour toute suite (ie ou iie) (A, 1) d'évéemets deux à deux disjoits de F, P( 1 A ) = 1 P(A ). Le triplet (Ω, F, P) est appelé espace probabilisé. Avec cette déitio, c'est u théorème qui établira la covergece des fréqueces d'apparitio de cet évéemet vers sa probabilité (Loi des grads ombres, voir Chapitre 5). Remarque Il est légitime de se poser la questio de l'itérêt de la otio de tribu. Lorsque Ω est au plus déombrable, cela e pose e gééral pas de problème, o predra F = P(Ω). Lorsque Ω est ii o déombrable, typiquemet Ω = R, o e peut pas déir ue probabilité sur la tribu P(Ω). Il existe des parties de R qui 'appartieet pas aux borélies. Nous 'iros pas plus loi sur ces questios qui sortet du programme. Mais il est bo de savoir qu'il existe des esembles o borélies. Das la propositio suivate sot rassemblées des propriétés élémetaires mais fodametales liées à la déitio : Propositio Pour tout évéemet A, P(A c ) = 1 P(A) Pour tous évéemets A et B, P(B) = P(B A)+P(B A c ). Plus gééralemet si (A i, i I) est ue partitio de Ω alors P(A) = i I P(B A i). Si A B alors P(A) P(B) et P(B \ A) = P(B) P(A). Pour tous évéemets A, B : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Si A 1, A 2,..., A,... est ue suite d'évéemets : o a ( ) ( ) ( ) ( P A = 1 P et P A = 1 P Soiet évéemets A 1, A 2,..., A alors P ( i=1 A i) i=1 P(A i ) A c A c ) Propositio (Propriété de la limite mootoe) 1) Si A 1, A 2,..., A,... est ue suite croissate (pour l'iclusio) d'évéemets et que l'o ote A = A alors P(A) = lim P(A ).

19 2.1. TERMINOLOGIE PROBABILISTE ET NOTION DE PROBABILITÉ 19 2) Si A 1, A 2,..., A,... est ue suite décroissate (pour l'iclusio) d'évéemets et que l'o ote A = A alors P(A) = lim P(A ). Démostratio. O démotre seulemet 1). La preuve de 2) est similaire, il sut de passer au complémetaire. Si (A, 1) est ue suite croissate au ses de l'iclusio alors (P(A ), 1) est ue suite réelle croissate majorée par 1. La suite est doc covergete. O déit les évéemets suivats B 1 = A 1, B 2 = A 2 \ A 1, B i = A i \ A i 1. Clairemet i=1 B i i=1 A i. Vérios l'iclusio réciproque. Soit ω i=1 A i. O pose k = mi{i [ 1, ]; ω A i }. De deux choses l'ue, si k = 1, ω A 1 = B 1, si k > 1, ω A k \ A k 1 = B k. Doc i=1 A i i=1 B i. Par σ-additivité : ( ) P B i = P(B i ) Or k=1 P(B k) = P ( k=1 B k) = P ( k=1 A k) = P(A ), doc i=1 i=1 (P(A ), 1) coverge. Propositio (Formule du Crible) Soit (A i, i I) ue famille d'évéemets alors pour tout etier 1 ; Démostratio. A vous! P ( i=1a i ) = ( 1) k+1 P( k l=1a il ). k=1 1 i 1 <i 2 <i 3 <...<i k Trois cas fodametaux sot à distiguer cocerat l'uivers Ω. Uivers i Supposos que l'expériece doe p résultats possibles Ω = {a 1,..., a p }. O ote la probabilité de l'évéemet élémetaire a i, P[{a i }] = p i. Les évéemets {a i } sot disjoits et quelque soit l'évéemet A, o a A = i;a i A {a i} et doc P(A) = i [ 1,p ],a i A Lorsque Ω est i le calcul d'ue probabilité reviet au calcul d'ue somme ie. Lorsque de plus, l'expériece a des réalisatios équiprobables, p i = p élemet de [0, 1] idépedat de i et P(A) = p i = p = pcard A. i;a i A i;a i A p i.

20 20 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS O obtiet aisi avec A = Ω, p = 1. Das ce cas, le calcul se ramèe à u problème de Card Ω déombremet. Nous retiedros la formule p = ombre de cas favorables ombre de cas possibles. Exemple (Les aiversaires) O cherche à calculer la probabilité qu'au mois deux persoes parmi soiet ées le même jour. O formalise le problème e preat Ω = [ 1, 365 ], c'est à dire l'esemble des aiversaires possibles parmi les. O suppose que tous les jours sot équiprobables. Soit A l'évéemet Au mois, deux persoes ot leur aiversaire le même jour Calculer P[A] peut sembler dicile, il faut peser à regarder ce que sigie l'évéemet cotraire : A c : chaque persoe parmi les est ée u jour diéret. Puisqu'o a supposé que tout était équiprobable, P[A c ] = ombres de cas favorables ombres de cas possibles = A O a alemet P[A] = 1 P[A c ] = 1 A pour = Nous avos vu précédemmet que plusieurs choix d'uivers sot parfois possibles pour ue même expériece aléatoire (éamois ous parleros de l'uivers). Certais choix aidet les calculs. O repred l'exemple du cotrôle de productio où ous allos voir apparaître ue première loi usuelle importate : la loi hypergéométrique. Exercice (#) O tire pièces sas remise das ue productio de N pièces parmi lesquelles m sot défectueuses. Quelle est la probabilité de l'évéemet : le ombre de pièces tirées défectueuses est égal à k? Solutio : Si o choisit de predre comme uivers Ω, l'esemble des tirages de pièces parmi N sas teir compte de l'ordre. C'est à dire l'esemble des combiaisos de parmi N. Chaque élémet de Ω a doc pour probabilité ( N ), et ous sommes das ue situatio d'équiprobabilité : (il y a autat de raiso de tirer u -uplet o ordoé qu'u autre). l'évéemet A k : le ombre de pièces tirées qui sot défectueuses est égal à k correspod à la partie de Ω des -uplets o ordoés qui cotieet exactemet k objets défectueux. O a doc P(A k ) = Card A k Card Ω = Card A k ( N ). O cherche doc à calculer Card A k. Si k + 1 alors clairemet Card A k = 0. Si k > m ou k > N m alors Card A k = 0 (o e peut pas tirer plus de pièces défectueuses que m, i avoir plus de pièces o-défectueuses que N m). Das les autres cas : o compte Card A k = ( )( k k m N m). Doc alemet : ( k k ) P(A k ) = m)( N m ( N. )

21 2.1. TERMINOLOGIE PROBABILISTE ET NOTION DE PROBABILITÉ 21 C'est la loi hypergéométrique. L'exercice est résolu. Preos maiteat l'uivers des tirages où l'ordre compte, c'est à dire que Ω est l'esemble des arragemets de parmi N. Le fait de predre l'ordre des pièces que l'o tire e compte, e chage rie quat au fait de tirer ue pièce défectueuse ou o. Il 'y a pas plus de chace de tirer tel ou tel arragemet. Nous sommes à ouveau das u cadre équiprobable. O a cette fois Card Ω = A N. De la même faço que précédemmet, o idetie l'évéemet à B k = {arragemets de objets parmi N avec k défectueux}. Il faut calculer Card B k : Pour réaliser u -uplet ordoé avec k élémets défectueux, o commece par choisir la place des élémets défectueux : o a ( k) possibilités. O choisit u k-uplet ordoé parmi les m défectueux : o a A k m possibilités. Il faut aussi choisir u ( k)-uplet ordoé parmi les N m objets o défectueux : o e a A k N m. Fialemet O a doc ( ) Card B k = A k k ma k N m! m! (N m)! = k!( k)! (m k)! (N m + k)! m! (N m)! =! k!(m k)! ( k)!(n m + k)! ( )( ) m k =! k N m P(B k ) =!( )( m k ) k N m A N = ( k k ) m)( N m ( N. ) Ce qui correspod à la probabilité calculée précédemmet. Il faut oter que du fait de l'expériece, il 'est pas aturel de predre e compte l'ordre des pièces que l'o tire et que le calcul est plus dagereux. Uivers ii déombrable Si Ω = {a 1, a 2,..., a i,...}, o ote p i = P({a i }). Comme précédemmet Ω = i 1 {a i}, et i 1 p i = 1. De plus tout évéemet A peut s'écrire A = i:a i A {a i}, d'où P(A) = i;a i A Doc lorsque Ω est déombrable, le calcul d'ue probabilité sera lié à celui de la somme d'ue certaie série. Il est importat de oter que das le cas d'u uivers ii déombrable il 'y a plus de otio d'équiprobabilité! E eet supposos que p i est ue costate p, l'égalité i 1 p i = 1 'est plus vériée. Remarque A ce propos, tout texte commeçat par ue phrase du type O choisit u ombre au hasard 'a pas de ses mathématique. L'esemble des etiers est ii déombrable, et vous e pouvez pas choisir de faço équiprobable u etier. p i.

22 22 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS Uivers ii o-déombrable Le derier cas à distiguer est celui où Ω est o-déombrable. Vous pouvez facilemet imagier ue expériece où l'uivers est R (exemple?). Exemple (Fléchettes) O cosidère l'expèriece suivate : o lace ue échette sur ue cible. O s'itéresse à la positio de la échette. U choix d'uivers Ω est clairemet P(D) où D est le disque représetat la cible. Soit A P(Ω), o a evie de déir la probabilité que A se réalise par aire de A P(A) = aire de D. Cepedat la théorie de la mesure ous dit qu'il existe des sous-esembles A pour lesquels o e peut pas déir d'aire. Il faut se restreidre aux parties de Ω qui ot ue aire bie déie. U uivers associé à l'étude de la distace etre la échette et le cetre du disque est Ω = R 2 et o peut predre la tribu des borélies. Pour étudier la trajectoire de la échette, o peut predre Ω = C(R +, D) : l'esemble des foctios cotiues. Le choix de la tribu est plus dicile et sort du cadre du cours. 2.2 Probabilité coditioelle O déit das ce paragraphe la otio de probabilité coditioelle. Déitio Soiet A et B deux évéemets avec P(B) > 0. O appelle probabilité coditioelle de A sachat B et o ote P B (A) = P(A B) P(B) La quatité P B (A) est la probabilité que l'évéemet A se réalise sachat que B est arrivé. Si o sait que B est arrivé, o peut restreidre l'uivers à Ω B. Remarque Pour compredre pourquoi o pose cette déitio, o peut repredre l'approche fréquetiste. De faço heuristique, si o ote N A B et N B respectivemet le ombre de fois que A et B se réaliset et le ombre de fois que B se réalise, parmi N expérieces. O a N A B P B (A) = lim N N B N A B = lim N N N N A B = lim N B N N lim N N = N B P(A B). P(B) Il existe ue autre otatio courammet utilisée pour les probabilités coditioelles : P(A B). Cette otatio 'est pas celle au programme du secodaire. D'autre part, il faut bie compredre que A B 'est pas u évéemet! A B seul 'état pas déi e doit pas apparaître das vos copies! Propositio Soiet (Ω, F, P) u espace probabilisé et B élémet de F tel que P(B) > 0. Alors l'applicatio P B de F das [0, 1] est ue probabilité. Démostratio. Laissée e exercice.

23 2.2. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE 23 Exercice O repred l'exemple du cotrôle de productio : N objets, m défectueux. O suppose que l'o tire les élémets de l'échatillo les us après les autres. La probabilité que le premier objet tiré soit défectueux est m. Quelle est la probabilité de tirer u objet défectueux au N deuxième tirage sachat que l'o a tiré u objet défectueux au premier tirage? Exercice [Test de maladie] U laboratoire pharmaceutique met au poit u test pour détecter ue maladie. O sait que la maladie touche 1% de la populatio. O eectue le test sur u échatillo de malades et voit que 95% sot positifs. O eectue esuite le test sur ue populatio de o malades et 5% sot déclarés positifs par le test. Formaliser l'éocé (doer u uivers). Est-ce u bo test? Les évéemets à cosidérer sot : Malade, No malade, Test positif, Test égatif. Les doées du problèmes sot alors : P(Malade) = 0.01, P Malade (Test positif) = 0.95 et P(Test égatif) = Ue faço de juger la qualité du test est de calculer la probabilité d'être malade sachat que le test est positif. C'est à dire P Test positif (Malade). Pour faire ce calcul, o a besoi de la formule de Bayes Formule des probabilités totales et formule de Bayes Propositio (formule des probabilités composées) Soiet évéemets A 1,..., A tel que P(A 1 A 2... A 1 ) > 0, o a : P(A 1 A 2... A ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )...P(A A 1 A 2... A 1 ). Démostratio. Si P(A 1 A 2... A 1 ) > 0 alors pour tout 1 i 1 P(A 1 A 2... A i ) > 0. Faire ue récurrece. Propositio Soit B u évéemet tel que P(B) > 0 et P(B c ) > 0 alors pour tout évéemet A : P(A) = P B (A)P(B) + P B c(a)p(b c ). Démostratio. O a A = (A B) (A B c ) et les évéemets A B et A B c sot disjoits doc P(A) = P(A B) + P(A B c ), o coclut par déitio des probabilités coditioelles. O gééralise cette propositio : Propositio (Formule des probabilités totales) Si (B i, i 1) est ue famille au plus déombrable d'évéemets format ue partitio de Ω et P(B i ) > 0 pour tout i I, alors pour tout évéemet A, o a : P(A) = i I P Bi (A)P(B i ). Démostratio. Laissée e exercice. Remarque (Lie avec les arbres podérés) Les formules des probabilités composées et des probabilités totales sot à rapprocher de la représetatio e arbre podéré utilisée au lycée pour représeter ue expériece aléatoire. O rappelle qu'u arbre podéré est u arbre tel que :

24 24 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS La somme des podératios (ou probabilités) des oeuds issus d'u même sommet doe 1. La probabilité d'u chemi est le produit des probabilités des braches qui le composet. La podératio de la brache allat du sommet A vers le sommet B est la probabilité coditioelle de B sachat A, P A (B). La costructio d'u arbre podéré obéit au pricipe suivat : le oeud racie réprésete l'évéemet certai ω, et si u oeud représete u évéemet A, o costruit autat de ls qu'il y a d'évéemets A E, où (E ) est ue partitio de Ω. La formule des probabilités composées est la traductio exacte de l'item 2. ci-dessus : la probabilité d'u oeud de l'arbre est la probabilité de l'itersectio des évéemets qui composet le chemi qui le relie au sommet. La formule des probabilités totales das ce cotexte dit que la probabilité d'u évéemet est la somme des probabilités des feuilles de l'arbre qui coceret cet évéemet. Exemple O dispose de deux ures, l'ue coteat 1 boule blache et 3 oires, l'autre 2 blaches et 2 oires. O choisit uiformémet au hasard parmi les deux ures, puis o tire au hasard ue boule das l'ure choisie. O cosidére la probabilité de l'évéemet A = o tire ue boule oire. L'uivers Ω est {(i, j), i = 1, 2, j = 1, 2, 3, 4}, où i est le uméro de l'ure et j celui de la boule. O cosidére la partitio Ω = E 1 E 2, où E i = {(i, j), j = 1, 2, 3, 4} qui est l'évéemet cosistat à choisir l'ure i. Si o umérote e premier les boules oires, l'évéemet A s'écrit {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2)}. Pour tout i, la probabilité coditioelle P Ei est la probabilité uiforme sur E i. Doc P E1 (A) = 3/4 et P E2 (A) = 1/2. D'après la formule des probabilités totales, P(A) = P E1 (A)P(E 1 ) + P E2 (A)P(E 2 ) = = Propositio (Formule de Bayes simple) Soiet A et B deux évéemets tels que P(A), P(B) et P(B c ) sot strictemet positifs. O a : P A (B) = P B (A)P(B) P B (A)P(B) + P B c(a)p(b c ). Démostratio. O a P A (B) = P(B A) = P(A B)P(B). O décompose esuite le déomiateur P(A) P(A) par la formule des probabilités totales : P(A) = P B (A)P(B) + P B c(a)p(b c ). A ouveau, cette propositio se gééralise, à ue famille format ue partitio de Ω. Propositio (Formule de Bayes) Si (B i, i I) est ue famille qui forme ue partitio de Ω telle que pour tout i I, P(B i ) > 0 alors, quelque soit l'évéemet A, si P(A) > 0 P A (B i ) = P Bi (A)P(B i ) i I P B i (A)P(B i ). Démostratio. Même argumet que précédemmet. Les deux derières formules permettet de calculer des probabilités coditioelles P A (B) coaissat les probabilités iverses P B (A). Exercice Calculer la probabilité d'avoir tiré ue boule das la première ure sachat que c'est ue oire. Sous so apparete simplicité, la formule de Bayes est le départ d'ue théorie etière appelée la statistique bayésiee.

25 2.2. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE 25 Nous repreos maiteat la questio de l'exercice cocerat le test de maladie. La formule de Bayes va ous permettre de calculer la probabilité qu'u idividu soit malade sachat qu'il a été testé positif. O ote M l'évéemet malade, T l'évéemet test positif. O a P M (T )P(M) P T (M) = P M (T )P(M) + P M c(t )P(M c ) = Résultat, le test 'est pas bo Idépedace Nous passos maiteat à ue otio fodametale e probabilités : la otio d'idépedace. Si la coaissace d'u évéemet 'iue e rie sur la probabilité d'u autre, o dit que les évéemets sot idépedats. La otio de probabilité coditioelle formalise cela. Si B est u évéemet avec probabilité strictemet positive et P(A B) = P(A) alors A et B sot dit idépedats. Par déitio des probabilités coditioelles cela équivaut à la déitio suivate : Déitio Deux évéemets A et B sot idépedats si P(A B) = P(A)P(B). Pour illustrer cette otio, o repred l'exemple de cotrôle de productio. Exemple (Cotrôle de productio o destructif) O a N objets, m défectueux. O tire au hasard objets parmi les N e remettat chaque objet après l'avoir tiré. (o parle de tirage avec remise). Soit l' évéemet A i : l'objet tiré au ième tirage est défectueux. Motrer que A i et A j sot idépedats pour tout i j. Exemple Cette fois o e remet pas l'objet tiré. (tirage sas remise). Calculer P(A 1 A 2 ) et coclure que ce e sot pas des évéemets idépedats Propositio Soiet A et B deux évéemets idépedats alors A c et B sot idépedats, aisi que A et B c et A c et B c. Démostratio. Laissée e exercice. O gééralise maiteat la otio d'idépedace à ue famille d'évéemets : Déitio (Idépedace mutuelle) Soit ue famille (A i, i I) d'évéemets. O dit qu'elle est formée d'évéemets (mutuellemet) idépedats si pour toute sous famille ie i 1, i 2,..., i p de I o a : ( p ) p P A ik = P(A ik ). k=1 Attetio à bie oter que l'idépedace de A i et A j pour tout i j 'implique pas l'idépedace de la famille (A i, i I). Doos u cotre-exemple : Ω = {1, 2, 3, 4}, mui de la probabilité uiforme. Cosidérer A = {1, 2}, B = {1, 3}, C = {2, 3}. k=1

26 26 CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS 2.3 Variables aléatoires : otio de loi et de momets O a vu das la sectio précédete, les dicultés que le choix de l'uivers pouvait impliquer. Das la plupart des cas, o se cocetre sur les évéemets que l'o souhaite étudier. Plus gééralemet, o déit la otio de variables aléatoires déies sur u espace Ω abstrait. Ue variable aléatoire est ue applicatio dot la valeur déped du résultat de l'expériece aléatoire. O rappelle que B(R d ) est la tribu des borélies, c'est à dire la tribu egedrée par les pavés i=1 ]a i, b i [. Déitio Ue variable aléatoire X est ue applicatio telle que pour tout A B(R d ) X : ω Ω X(ω) R d X 1 (A) = {ω Ω; X(ω) A} F. (2.1) Cela correspod à la otio de mesurabilité : X est ue foctio F-mesurable à valeurs das l'espace euclidie. E probabilité, cela sigie que l'o peut étudier l'évéemet X tombe das i=1 [a i, b i ]. Pour tout B B(R d ), o idetiera l'évéemet X 1 (B) avec X B. O admet la propositio suivate issue de la théorie de la mesure. Propositio L 0 (Ω, F) l'esemble des variables aléatoires à valeurs das l'espace euclidie R d est u espace vectoriel. Exemple (Foctio idicatrice) Soit A u évéemet. O déit 1 si ω A 1 A : ω 0 sio. Exemple O lace ue échette sur ue cible et cherche à coaître la distace etre la échette et le cetre de la cible. O pose Ω = R 2 et X : w = (x, y) x 2 + y 2. X est ue foctio cotiue (doc mesurable) et vérie la coditio 2.1. Remarque Lorsque l'o peut predre F = P(Ω) (par exemple, lorsque Ω est i, et que l'o souhaite que tous les évéemets élémetaires soiet das la tribu) alors la coditio 2.1 est toujours vraie. Propositio L'esemble des variables aléatoires déies sur u même espace (Ω, F) forme ue algèbre : e particulier la somme et le produit de deux variables aléatoires sot des variables aléatoires.

27 2.3. VARIABLES ALÉATOIRES : NOTION DE LOI ET DE MOMENTS Loi d'ue variable aléatoire Le plus souvet, (typiquemet lorsque la variable aléatoire pred u ombre ii de valeurs), lorsque l'o étudie la variable aléatoire X, o 'étudie pas X(ω) e chaque ω, mais la probabilité avec laquelle X se répartit das les borélies. La variable aléatoire X est aisi souvet caractérisée par sa foctio de répartitio ou par sa loi. Déitio O appelle loi ou distributio d'ue variable aléatoire X déie sur u espace probabilisé (Ω, F, P), l'applicatio O a le résultat fodametal suivat : P X : B B(R d ) P(X 1 (B)). Propositio L'applicatio P X est ue probabilité sur (R d, B(R d )). Démostratio. A faire e cours. Exemple (jeu de dé) O joue au jeu suivat : o lace u dé équilibré. O réalise u gai ul si o obtiet 1, 1 euro si o obtiet 2, 3 ou 4 et 2 euros si le résultat est 5 et 4 euros si le résultat est 6. O déit la variable aléatoire X doat le motat du gai. Détermier sa loi. Propositio Si X est ue variable aléatoire sur (Ω, F). Soit g ue foctio cotiue par morceaux sur X(Ω) alors l'applicatio g X est ue variable aléatoire. O la ote souvet g(x) Foctios de répartitio et idépedace O se place das le cas des variables aléatoires réelles : c'est à dire à valeurs das R. O ote souvet v.a.r pour variable aléatoire réelle. Déitio O appelle foctio de répartitio de X, l'applicatio : F : x R P(X x). Comme metioé précédemmet l'évéemet X x s'idetie à X 1 (], x]). Propositio Toute foctio de répartitio vérie les propriétés suivates : 1. F est croissate 2. lim F (x) = 0 et lim x F (x) = 1 x + 3. F est cotiue à droite e tout poit de R 4. F a ue limite à gauche e tout poit x de R, et x R, F (x) F (x ) = P[X = x] où F (x ) = lim F (t). t x;t<x 5. L'esemble des poits de discotiuité de F est au plus déombrable.