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1 Aée 2013/2014 TS Itervalle de fluctuatio et estimatio Cours est u etier aturel o ul et p est u réel de l itervalle 0 ; 1. I Itervalle de fluctuatio Cotexte : Das ue populatio, la proportio d idividus présetat u certai caractère est supposée être p. O prélève u échatillo de taille (échatillo assimilé à ue suite de tirages aléatoires avec remise) et o étudie la fréquece du caractère das cet échatillo. 1) Défiitio Défiitio X est ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale de paramètres et p. F est la variable aléatoire défiie par F X. est u réel de l itervalle 0 ; 1. U itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F au seuil de 1 est u itervalle détermié à partir de et p et qui cotiet F avec ue probabilité d autat plus proche de 1 que est grad. Théorème 1 X est ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale de paramètres et p. F est la variable aléatoire défiie par F X Pour tout réel de l itervalle 0 ; 1, lim P I désige l itervalle p u X I 1 où ; p u I est doc u itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F au seuil de 1 Preuve : Voir ROC 1 Remarque : O admet que pour 30 ; p 5 et 1 p 5, o peut utiliser l approximatio PF I 1 (L approximatio est d autat meilleure que est grad) Cas particulier : L itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % est p 1, 96 ; p 1, 96 Ceci sigifie que F appartiet à l itervalle p 1, 96 ; p 1, 96 des cas. das eviro 95 % 2) Itervalle de fluctuatio e secode et 1S E classe de secode, l itervalle de fluctuatio de F au seuil de 95 % que l o a utilisé est 1

2 TS - Cours : itervalle de fluctuatio et estimatio J p 1 ; p 1. Remarque : O retrouve cet itervalle, e majorat 1, 96 par 1. (voir Activité) Théorème 2 X est ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale de paramètres et p. F est la variable aléatoire défiie par F X Il existe u etier 0 tel que, pour tout etier aturel 0, PF J 0, 95 où J désige l itervalle J p 1 ; p 1 Preuve : Voir ROC 2 E classe de 1S, l itervalle de fluctuatio de F au seuil de 95 % que l o a utilisé est a ; b où a est le plus petit etier tel que PX a 0, 025 et b est le plus petit etier tel que PX b 0, 975. Remarque : Les valeurs de a et b peuvet être détermiés à l aide d u algorithme. 3) Prise de décisio au seuil de 5 % La proportio du caractère étudié das la populatio est supposée être p. La prise de décisio cosiste, à partir d u échatillo de taille, à valider ou o cette hypothèse faite sur la proportio p. Pour cela : - o calcule la fréquece observée f du caractère das cet échatillo. - si les coditios d approximatio 30, p 5 et 1 p 5, o détermie l itervalle de fluctuatio asymptotique I au seuil de 95 % de la variable aléatoire correspodat à la fréquece d idividus possédat le caractère étudié das u échatillo de taille. (Sio, o utilise u itervalle de fluctuatio vu e secode ou 1S) - o applique la règle de décisio suivate : si f I, o rejette l hypothèse faite sur p avec u rique d erreur d eviro 5 % si f I, o e rejette pas l hypothèse faite sur p. Remarques : - Das le cas où l o e rejette pas l hypothèse faire sur p, le risque d erreur est pas quatifié. - La prise de décisio peut égalemet cosister à tester la "coformité" de l échatillo par rapport à la populatio (par exemple das l étude des aissaces das la réserve d Aamjiwaag) Exercice 1 : Groupe sagui - Itervalle de fluctuatio asymptotique et prise de décisio D après ue ecyclopédie médicale, la proportio p de persoes de goupe sagui A e Frace est de 45 %. Das ue classe de termiale, 11 élèves sur 36 sot de groupe sagui A. 1) Quelle est la fréquece de persoes de groupe A das l échatillo? 2) Détermier l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire correspodat à la fréquece de persoes du groupe A das u échatillo de taille 36. 3) A partir de cet échatillo, peut-o rejeter l hypothèse faite sur la proportio p? Exercice 2 : Cotester u jugemet - Itervalle de fluctuatio asymptotique et prise de décisio E ovembre 1976 das u comté du sud du Texas, Rodrigo Partida était codamé à huit as de priso. Il attaqua ce jugemet au motif que la désigatio des jurés de ce comté était discrimiate à l égard des Américais d origie mexicaie. Alors que 79, 1 % de la populatio de ce comté était d origie mexicaie, sur les 870 persoes covoquées pour être jurés, il y 2

3 TS - Cours : itervalle de fluctuatio et estimatio eut que 339 persoes d origie mexicaie. 1) Quelle est la fréquece de persoes d origie mexicaie das le jury? 2) Détermier l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire correspodat à la fréquece de persoes d origie mexicaie das u échatillo de taille ) Commet le caractère discrimiatoire peut-il être prouvé? Exercice 3 : Itervalle de fluctuatio et prise de décisios U grossiste e fouriture de bureau reved des rouleaux de ruba adhésif et affirme que seulemet 0, 8 % des rouleaux présetet u défaut de jauissemet du papier. U cliet achète 500 rouleaux et costate que 6 rouleaux jauisset le papier. 1) Peut-o utiliser u itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la variable aléatoire correspodat à la fréquece de rouleaux présetat u défaut de jauissemet das u échatillo de taille 500? 2) A l aide de la méthode vue e 1S, détermier u itervalle de fluctuatio au seuil de 95 % de la variable aléatoire correspodat à la fréquece de rouleaux présetat u défaut de jauissemet das u échatillo de taille ) Peut-o dire que le grossiste a meti au cliet? II Itervalle de cofiace et estimatio Cotexte : Das ue populatio, la proportio p d idividus présetat u certai caractère est icoue O prélève u échatillo de taille (échatillo assimilé à ue suite de tirages aléatoires avec remise) et o étudie la fréquece du caractère das cet échatillo. O cherche à estimer la proportio p à l aide de cette fréquece. Défiitio U itervalle de cofiace pour ue proportio p à u iveau de cofiace 1 0 ; 1 est la réalisatio, à partir d u échatillo, d u itervalle aléatoire coteat la proportio p avec ue probabilité supérieure ou égale à 1. Théorème 3 X est ue variable aléatoire qui suit la loi biomiale de paramètres et p. F est la variable aléatoire défiie par F X Il existe u etier 0 tel que, pour tout etier aturel 0, P p F 1 ; F 1 0, 95 Preuve : E effet, F 1 p F 1 p 1 F p 1 et o utilise le théorème 2. Défiitio Soit f la fréquece observée d u caractère das u échatillo de taille extrait d ue populatio das laquelle la proportio de ce caractère est p. L itervalle f 1 ; f 1 est u itervalle de cofiace de la proportio p au iveau de cofiace de 95 %. 3

4 TS - Cours : itervalle de fluctuatio et estimatio Remarques : Cet itervalle de cofiace est cetrée e f. Das d autres domaies, o utilise l itervalle f 1, 96 f1 f ; f 1, 96 f1 f qu il est pas possible de justifier e Termiale. O utilise cet itervalle dès que 30, f 5 et 1 f 5. Le iveau de cofiace 95% ous idique alors que das eviro 95 cas sur 100, la proportio icoue p appartiet à l itervalle de cofiace. U itervalle de cofiace peut doc e pas coteir p (voir exemple ci-dessous) Exemple : O cherche à estimer la probabilité d obteir "PILE" avec ue pièce truquée. O effectue 20 séries de simulatios de lacers d ue pièce truquée et pour chaque série, o s itéresse à la fréquece d apparitio f du côté "PILE". O obtiet 20 itervalles du type f 1 ; f 1 f 0, 01 ; f 0, 01 que l o a représetés ci-dessous. O peut remarquer que certais de ces itervalles sot disjoits et qu ils e peuvet doc pas tous coteir la probabilité p d apparitio du côté PILE. Das cet exemple, la probabilité d obteir le côté "PILE" était p 0, 4. O remarque que 2 itervalles sur 20 e cotieet pas p. Exercice 4 : Détermier et utiliser des itervalles de cofiace Voici u extrait d article, publié das le joural "Le Mode" par le statisticie Michel Lejeue, après le premier tour de l électio présidetielle de "Pour les rares scietifiques qui savet commet sot produites les estimatios, il était clair que l écart des itetios de vote etre les cadidats Le Pe et Jospi redait tout à fait plausible le scéario qui s est réalisé. E effet, certais des deriers sodages idiquaiet 18 % pour Jospi et 14 % pour Le Pe." 1) Sachat qu u sodage est effectué sur u échatillo de 1000 persoes, détermier u itervalle de cofiace au seuil de 95 % de la proportio de votats pour chacu des cadidats. 2) Au premier tour de l électio présidetielle de 2002, L. Jospi a obteu 16, 18 % des voix et J-M Le Pe 16, 86 %. Les pourcetages de voix recueillies par chaque cadidat sot-ils bie das les itervalles de cofiace précédets? 3) Expliquer le commetaire de Michel Lejeue. Propriété Si l o souhaite situer p das u itervalle de cofiace au iveau de cofiace de 95 % de logueur doée a, la taille de l échatillo doit vérifier 4 a 2 4

5 TS - Cours : itervalle de fluctuatio et estimatio Preuve : L itervalle de cofiace au iveau de cofiace de 95 % 2. Or 2 a 4 a 2. f 1 ; f 1 a pour amplitude Exercice 5 : Amplitude d u itervalle de cofiace Ue baque désire savoir si so site est bie adapté aux besois de plus de 5 millios de cliets. Elle commade alors à u istitut de sodage ue equête afi d estimer la proportio de ses cliets satisfaits. Quelle doit être la taille miimale de l échatillo afi que l itervalle de cofiace de cette proportio au iveau de cofiace de 95 % ous doe ue estimatio de celle-ci à 2 % près? 5

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