collection odyssée Livre du professeur Nouveau programme François BRISOUX Professeur de mathématiques au lycée Frédéric Kirschleger de Munster

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1 collectio odyssée MATHÉMATIQUES T le S Livre du professeur Eseigemet spécifique Eseigemet de spécialité Sous la directio de éric SIGWARD Nouveau programme IA-IPR de mathématiques de l académie de Strasbourg Auteurs Fraçois BRISOUX Professeur de mathématiques au lycée Frédéric Kirschleger de Muster Christia BRUCKER Professeur de mathématiques au lycée Théodore Deck de Guebwiller Frédéric LÉON Professeur de mathématiques au lycée Emily Brotë de Loges Nadie MEYER Professeur de mathématiques au lycée Marguerite Yourcear d Erstei Didier REGHEM Professeur de mathématiques au lycée Marguerite de Fladre de Godecourt Christophe ROLAND Professeur de mathématiques au lycée Pasteur de Héi-Beaumot Matthieu SCHAVSINSKI Professeur de mathématiques au lycée Emilie du Châtelet de Serris

2 Suivi éditorial : Hélèe Forti-Servet et Ae-Sophie Dreyfus Maquette : Nicolas Balbo Mise e page : Pierre Florette (Domio) Ifographies : Domio HATIER, PARIS, ISBN Sous réserve des eceptios légales, toute représetatio ou reproductio itégrale ou partielle, faite, par quelque procédé que ce soit, sas le cosetemet de l auteur ou de ses ayats droit, est illicite et costitue ue cotrefaço sactioée par le Code de la Propriété Itellectuelle Le CFC est le seul habilité à délivrer des autorisatios de reproductio par reprographie, sous réserve e cas d utilisatio au fis de vete, de locatio, de publicité ou de promotio de l accord de l auteur ou des ayats droit

3 S O M M A I R E Itroductio 5 Eseigemet spécifique partie a Aalyse 9 chapitre Suites chapitre Limites de foctios 9 chapitre Complémets sur la dérivatio 65 chapitre Foctios sius et cosius 8 chapitre 5 Foctio epoetielle 99 chapitre 6 Foctio logarithme épérie 7 chapitre 7 Itégratio 55 partie b Géométrie 77 chapitre 8 Nombres complees 79 chapitre 9 Géométrie das l'espace 99 partie c Probabilités et statistiques 5 chapitre Coditioemet et idépedace 7 chapitre Lois à desité 9 chapitre Fluctuatio et estimatio 5 Eseigemet de spécialité partie a Arithmétique 59 chapitre Divisibilité das Z, divisio euclidiee, cogrueces 6 chapitre Applicatios du PGCD 67 chapitre Nombres premiers 75 partie b Matrices et suites 8 chapitre Matrices carrées : évolutio de processus 85 chapitre 5 Matrices carrées iversibles et applicatios 9 chapitre 6 Matrices et études asymptotiques de processus discrets

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5 Itroductio Le mauel repred les trois parties du programme de la classe de termiale scietifique : les suites et les foctios, la géométrie et les statistiques et probabilités Das chacue de ces parties, il s agit de former les élèves a la démarche scietifique afi de les redre capables de coduire u raisoemet Le programme de termiale peut être abordé selo plusieurs agles, mais il e faudrait surtout pas le cocevoir comme ue successio de chapitres cloisoés Il coviedra doc de cocevoir, dès le début de l aée, ue progressio alterat les différetes otios a traiter, de telle sorte que les cocepts abordés soiet repris tout au log de l aée Vous retrouverez d ailleurs das le mauel otre voloté de varier au maimum les situatios problèmes au sei de chaque chapitre, afi de réivestir les différets thèmes Chaque chapitre de ce mauel propose des travau pratiques que ous avos choisis les plus diversifiés possibles : des activités utilisat l outil iformatique ou la calculatrice ; des activités qui mettet e œuvre ue démarche algorithmique ; les problèmes ouverts qui eiget davatage d iitiative de la part des élèves Certais d etre eu écessitet l utilisatio de logiciels pour cojecturer Das chacu de ces problèmes, les élèves aurot l occasio de chercher, d appliquer des techiques, d effectuer des essais, de cojecturer avec les TICE puis d élaborer des démostratios L utilisatio des TICE est tout a fait adaptée a l acquisitio de ombreuses otios du programme de termiale Il s agit d eploiter toutes les possibilités offertes afi d erichir l appretissage et les méthodes d ivestigatio L outil iformatique permet e effet d obteir rapidemet ue représetatio cocrète du problème étudié Des modificatios des cofiguratios e jeu peuvet mettre e évidece les propriétés a démotrer et toute l attetio peut alors se porter sur la démostratio elle-même Les problèmes ouverts proposés das ce mauel e fot pas appel directemet au TICE Nous proposos cepedat das certais cas soit ue illustratio, soit ue vérificatio du résultat obteu a l aide de la calculatrice ou d u logiciel adapté a la situatio étudiée Il importe que la diversité de ces activités se retrouve aussi das la ature des travau proposés au élèves : des travau dirigés e groupe, des travau e autoomie, des activités e salle iformatique ou des devoirs persoels réalisés e temps libre Nous avos essayé de proposer, au sei de chaque chapitre, des problèmes de difficultés progressives, e particulier das le domaie de l algorithmique A l issue des classes de secode et de première, les élèves ot déja acquis ue certaie epériece avec les logiciels usuels : tableurs et u logiciel de géométrie dyamique aisi que das le domaie de l algorithmique Nous avos privilégié aucue sytae particulière, ce qui vous permet d utiliser ce guide avec ses fichiers quel que soit le matériel et les logiciels utilisés das votre établissemet La plupart des travau pratiques peuvet cepedat être réalisés assez simplemet a l aide d ue calculatrice Ce qui permet ue très large utilisatio de ce guide 5

6 Vous trouverez das ce livre du professeur, des élémets de correctio pour les activités, les travau pratiques, aisi que les eercices et problèmes U ombre importat de ces activités peut être réalisé avec l outil iformatique E complémet, vous trouverez sur le CD d accompagemet, des fichiers sous de ombreuses versios : Ecel et OpeOffice pour les fichiers tableurs ; Casio et Teas pour les tracés et la programmatio a l aide de la calculatrice ; GeoGebra et TI Nspire pour les eercices de géométrie plae ; CabriD et Geospace pour les eercices de géométrie das l espace ; AlgoBo, Pytho, Scilab et Xcas pour les programmes qui illustret les algorithmes ; Xcas et TI Nspire pour le calcul formel Ces fichiers vous permettrot d ue part de visualiser les résultats demadés, de tester les algorithmes ou les figures dyamiques, mais égalemet d illustrer vos eplicatios lors de sythèses collectives avec les élèves Certais de ces fichiers sot a la dispositio des élèves sur le site compago, itégralemet ou partiellemet complétés, plus particulièremet lorsque le problème cosiste, soit a modifier, compléter ou corriger u algorithme, soit a réaliser des cojectures sur ue cofiguratio géométrique relativemet complee, ou bie ecore a effectuer des simulatios sur ue feuille de calcul d u tableur Ils servirot aisi de base de travail pour ue activité e autoomie ou pour u devoir a réaliser a la maiso Nous espéros que ce livre répodra a vos attetes et qu il vous apportera des pistes itéressates pour ue présetatio efficace du programme de termiale S Les auteurs 6

7 Eseigemet spécifique 7

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9 Partie A aalyse 9

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11 Suites QCM Pour bie commecer Les eercices de cette rubrique sot corrigés das le mauel, p 56 Corrigés des activités Le paradoe d Achille et de la tortue l Achille atteit la tortue s il eiste N tel que d = l a d = ; d = 5 ; d = 5 ; d =,5 b (d ) semble être géométrique de raiso et de premier terme La suite (d ) semble décroître l c Par hypothèse de l eercice, d + = d Doc la suite (d ) est ue suite géométrique de raiso et de premier terme d O a d = et o divise à chaque fois par d où < d pour tout N O a motré que d > pour tout N doc Achille e rattrape jamais la tortue ce qui semble u peu surpreat car il est évidet qu il le fera e réalité l (d ) est ue suite géométrique de raiso et de premier terme doc d = l5 a La limite de la suite semble être b Car la raiso est doc les termes se rapprochet «de plus e plus» de Il semble que, pour ue suite géométrique, si la raiso est etre et, la suite ted vers comme ous le verros plus tard c Les temps t pedat lesquels sot parcourus les itervalles etre deu temps d arrêt sot de plus e plus petits et tedet vers O peut motrer que la somme de ces temps est fiie puisque t = d d +, v A v T doc t + t + t + + t = d d + v A v T Or v A v T est u réel fié et la suite (d ) ted vers Doc la limite de la somme des temps est, v A v ce qui est cohéret avec os coaissaces et otre ituitio T Il y a ue ifiité de temps t et de distaces d mais les temps tedet vers et la limite de la somme est fiie Achille fiit doc par atteidre la tortue e u temps fii, et e parcourat ue distace fiie O e coçoit pas, au temps de Zéo, qu ue ifiité de distaces fiies puisse être parcourue e u temps fii et Aristote, das sa Physique, réfuta tous les paradoes de Zéo, sas être très covaicat : cocerat Achille et la tortue, il émet l idée que toute lige fiie sera parcourue e u temps fii car e ajoutat au fii, o dépassera tout fii Suites

12 Les routes du futur l a C est possible pour et 5 villes mais pas pour B B C A D A C E effet, pour = : ue ville a écessairemet ue route qui arrive et ue route qui part, sio elle e peut remplir les coditios ; avec villes, il faut écessairemet qu ue ait au mois routes qui partet, sio o a ue seule route qui part de chaque ville car u chemi uique A B C D e permet pas de relier A à D e routes Supposos que la ville qui a routes qui partet soit A et que ces routes qui partet vot vers B et vers C ; il y a ue route qui arrive à A et qui viet forcémet de D car les routes e sot pas à double ses Il faut relier A à D doc o doit créer la route B vers D ou C vers D Par symétrie, o peut faire le choi de créer B vers D Il faut relier C à A doc o doit écessairemet faire la route C vers D Il faut relier C à B doc o doit écessairemet faire la route C vers B b Il semblerait que le mathématicie a raiso l a Il reste à créer la route qui va de A p + à A p + b Il maque juste à vérifier que ça marche pour le premier cas, c est-à-dire pour villes, ce que ous avos fait au a c O peut démotrer que c est vrai pour tout ombre pair de villes supérieur ou égal à 6 et doc que c est vrai pour tout ombre de villes supérieur ou égal à 5 (E fait, ça e marche pas pour et villes uiquemet) O utilise pour cela la même récurrece mais il reste à motrer l iitialisatio pour = 6 E Suites

13 Corrigés des travau pratiques TP Compte e baque l Il faut faire : «pour i allat de à» et «,s + 5» l Etrée : Saisir u motat Iitialisatio : Affecter à la variable la valeur Affecter à la variable s la valeur Traitemet : Tat que s < motat Affecter à la variable s la valeur,s + 5 Affecter à la variable la valeur + Fi Tat que Afficher l Voir fichiers logiciels a as b as c 7 as d 9 as l La suite semble tedre vers + l5 a O augmete de % doc o multiplie par le coefficiet + et o ajoute 5 b u + = s =,s + 9 =,(s ) =,u c u =, u TP l d, > doc lim u = + + e s = u 8 75 doc lim s = + + Deu approimatios du ombre e Etrée : Saisir Iitialisatio : Affecter à la variable i la valeur Traitemet : Pour k = à Affecter à la variable i la valeur i + factorielle(k) Fi Pour Afficher i Cet algorithme permet de calculer u = +! +! +! + +! ecore écrit u = l (u ) semble être croissate et majorée par doc elle semble être covergete l (u ) semble coverger vers,78 8 l Il faut rajouter «Affecter à la variable v la valeur» das l iitialisatio et «Affecter à la variable v la valeur i +» à la fi de la boucle Pour k! l5 (v ) semble être décroissate à partir du rag et coverger vers la même limite que (u ) k= k! Suites

14 l6 a u + u = qui est strictemet positif pour tout N ( +)! b Démotros par récurrece que! pour tout Iitialisatio :! = et = = doc la propriété est iitialisée au rag puisque! Hérédité : Supposos que la propriété est vraie pour u certai rag p Supposos doc p! p pour u certai p doé Démotros que la propriété est héréditaire et doc qu elle est vraie pour le rag p + (p + )! = (p + ) p! doc (p + )! (p + ) p Or p doc p + d où (p + )! p et (p + )! p Doc la propriété est vraie au rag p + Coclusio : La propriété est iitialisée au rag, et si la propriété est vraie au rag p alors elle est vraie au rag p + doc elle est héréditaire E coclusio, la propriété est vraie pour tout p N * Doc k! k pour tout k c O a k! pour tout k d après b k Doc +! +! +! + + +! D où u d O remarque que est la somme des termes d ue suite géométrique de raiso et de premier terme O a doc = = = pour tout N * e D après d, comme < pour tout N *, o a < D où, d après c, u < + pour tout N * (u ) est majorée par f (u ) est croissate et majorée doc elle coverge d après le théorème de covergece mootoe REMARQUE Pour obteir l epoetielle sous Pytho, o peut aussi utiliser : def facto(): «Calcul de la factorielle de» if == : u= else: u=*facto(-) retur u Cepedat, ce programme Pytho est ue foctio récursive, or la récursivité est pas au programme bie que plus rapide Suites

15 TP U pot de cartes l Voir fichiers logiciels O obtiet ue logueur de, cm eviro E saisissat e cellule B : «=B+,5/A» l a O remarque que L + L =,5 d où L + = L +,5 Voir fichiers logiciels b O retrouve bie le résultat de, cm eviro c Pour =, o obtiet ue logueur de, cm eviro l a Voir fichiers logiciels b D après otre algorithme, quel que soit le réel M, il semble qu il eiste u rag à partir duquel tous les termes de la suite sot das ]M ; +[, ce qui est la défiitio d ue suite tedat vers + Avec ue ifiité de cartes, il semblerait que Baptiste puisse obteir ue logueur ifiie l a Le cetre de gravité est placé à du segmet [AB], du côté de A b Le cetre de gravité est alors placé à du segmet [GX ] du côté de X c La distace etre et l abscisse de G est,5 d D après b et c, o a = +,5 e Iitialisatio : L = + 7 et =,5 d après d, doc L =,5 Par ailleurs, 7 +,5 =,5 Doc la propriété est iitialisée au rag Hérédité : Supposos que la propriété est vraie pour u certai rag p Supposos doc L p = 7 +, p pour u certai p doé Démotros que la propriété est héréditaire et doc qu elle est vraie pour le rag p + L p + = 7 + p = 7 + p +,5 d après d p D où L p + = L p +,5 p = 7 +, p +,5 p = 7 +, p + p e factorisat Doc la propriété est vraie au rag p + Suites 5

16 Coclusio : La propriété est iitialisée au rag, et si la propriété est vraie au rag p alors elle est vraie au rag p + doc elle est héréditaire E coclusio, la propriété est vraie pour tout etier Doc L = 7 +, pour tout etier l5 a (u ) est croissate car u + u = + > b u = = u Or +, +,, sot iférieurs à pour tout etier o ul Doc chaque terme de la somme est mioré par pour tout etier o ul D où u u avec termes D où u u + puis u u + pour tout etier o ul c E appliquat deu fois b, o a u u + u + Démotros par récurrece sur k qu il eiste u rag tel que u k pour tout etier k Iitialisatio : u = doc la propriété est iitialisée au rag Hérédité : Supposos que la propriété est vraie pour u certai rag p Supposos doc qu il eiste u rag tel que u p pour u certai p doé Démotros que la propriété est héréditaire et doc qu elle est vraie pour le rag p + Nous avos vu que u u + doc u p + La propriété est vraie au rag p + Coclusio : La propriété est iitialisée au rag, et si la propriété est vraie au rag p alors elle est vraie au rag p + doc elle est héréditaire E coclusio, la propriété est vraie pour tout etier Doc il eiste u rag tel que u k pour tout etier k d Le c est la égatio de la défiitio d ue suite majorée doc (u ) est pas majorée e D après le cours, ue suite croissate et o majorée ted vers + l6 O a L = 7 +,5u doc, d après les opératios sur les limites, (L ) ted vers + TP Comparer des vitesses de covergece l a Das la cellule E, o saisit : «=A*RACINE(A)» b Das la cellule F, o saisit : «=A^» c Das la cellule B, o saisit : «=/A» d Das la cellule C, o saisit : «=/A^» l Voir fichiers logiciels l (u ), (v ) et (w ) sot décroissates miorées par et les trois autres suites sot croissates o majorées l Oui l5 pour (u ), (v ) et (w ) et + pour les trois autres suites l6 No, elles coverget plus ou mois vite 6 Suites

17 l7 a Au rag pour (u ), au rag pour (v ) et au rag pour (w ) b La plus rapide est (v ), puis c est (u ) puis c est (w ) la plus lete c La plus rapide est (s ), puis c est (r ) puis c est (t ) la plus lete d La suite * ( ) N est la plus rapide de toutes est etre (v ) et (u ) e termes de rapidité TP 5 Suites de Farey Partie A l F = { ; } ; F = ; ; l O costate que si y l a { } ; F { = ; ; ; } ; ; F 5 { = ; 5 ; ; ; 5 ; ; 5 ; ; ; 5 } ; et sot cosécutives alors y y = y k e f a b c d Sortie Iitialisatio Étape Étape Étape Étape Étape 5 Étape b Il permet d obteir la suite de Farey d ordre c Il faut laisser les blocs de à leur place d C est c d e C est e f l Par costructio de l algorithme, ous avos a + e = kc et b + f = kd Si les trois fractios sot bie das la même suite de Farey F et que la e est la plus petite possible, o aura alors des fractios cosécutives de Farey d ordre d après la propriété Suites 7

18 L iitialisatio assure que les premiers a b et c d sot das F Il suffit doc que e f soit das F pour avoir que des fractios de F e raisoat par récurrece k permet justemet de s assurer que so déomiateur soit le plus grad possible pour avoir la plus petite fractio possible supérieure à a b et c d et que e reste das F ( ou sio l algorithme s arrête) f Aisi, o choisit le plus grad k tel que kd b, c est-à-dire k = E + b d Partie B l l l Voir fichiers logiciels E 9 itératios TP 6 TP 7 Trop de pages Notos k la page qui a été comptée deu fois Alors ( +) + k = Comme k >, o a ( +) < < ( +) + D où ( +) < < ( + ) puis ( +) < < ( + ) E résolvat les deu iéquatios du secod degré, o a = 6 D où k = 59 C est doc la page 59 qui a été comptée deu fois Suites O a a =, a =, a =, a = 7, a 5 =, (a ) semble diverger et lim a = + + C est assez simple à motrer e démotrat par récurrece que a pour tout N * puis e utilisat les théorèmes de comparaiso Par la suite, o remarque que a + = a a a Doc a + = a, puis a + = a ( a ), c est-à-dire a + = a a Doc = a a a + D où = k= a k k= a k k= a + + = k+ a k= a k k= a + = k a a a + + a Doc o a S = a + + = d où lim a + S = + 8 Suites

19 TP 8 TP 9 Segmets das l espace Faisos u raisoemet par récurrece Iitialisatio : = Si o a poits de l espace A, A, A et A Il eiste 6 segmets possibles etre eu Si ous elevos u des segmets possibles, par eemple [A A ], pour e tracer que 5 segmets, alors les triagles A A A et A A A sot dessiés La propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que l o ait poits de l espace et que si o trace + segmets alors o ait forcémet u triagle Raisoos par l absurde : Supposos que l o ait + poits A, A,, A + et que l o trace ( + ) + segmets sas qu il y ait de triagle Deu de ces poits sot reliés par u segmet par eemple [A + A + ] Il reste doc poits Par hypothèse de récurrece, o sait que si o trace + segmets avec ces poits, il y a u triagle Comme ous supposos que ous avos pas de triagle, o peut tracer au plus segmets Pour tout poit A k parmi les poits restats, o e peut tracer que [A k A + ] ou [A k A + ] car si o trace les deu o a u triagle Cela ous doe doc au plus segmets O peut doc tracer au plus + + = ( + ) segmets sas faire de triagle Or ici, o e a tracé ( + ) + ; il est doc impossible de les tracer sas tracer u triagle Il y a doc u triagle et la propriété est héréditaire Coclusio : Pour tout etier, si o trace + segmets parmi poits de l espace, o a au mois u triagle Temps de vol Le plus grad temps de vol est 78, atteit pour = 87 (Voir fichiers logiciels) Corrigés des eercices et problèmes Eercices d applicatio a u + u = + Or + > pour tout doc u + u > D où (u ) est strictemet croissate b u + u = = = 7 u + u < pour tout doc (u ) est strictemet décroissate c u + u = ( + ) ( + ) ( ) = = Doc u + u pour tout doc (u ) est croissate Cet eercice est corrigé das le mauel, p 56 u + u = 5( + ) ( + ) (5 ) = = + Doc u + u > pour tout et (u ) est strictemet croissate v + v = ( + ) ( + ) ( ) = = v + v > pour tout etier doc (v ) est strictemet croissate à partie du rag a u = (u ) est ue suite géométrique de raiso et de premier terme Or > et > doc (u ) est strictemet croissate b v + = 7 v 7 > et la suite (v ) est positive pour tout Doc (v ) est ue suite croissate w c + = p w > et la suite (w ) est positive pour tout Doc (w ) est ue suite croissate Suites 9

20 a u =,8 ; u = 6,6 ; u =,7 b u p 5,8 5,8u p,8 car,8 <,8u p, 6,8u p + 8,8 c Iitialisatio : u 5 doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p 5 pour u p doé, p D après b, o a doc 6 u p +,8 Doc u p + 5 La propriété est héréditaire Coclusio : O a doc u 5 pour tout 5 a Le premier ombre impair est Le deuième ombre impair est Le septième ombre impair est b O ajoute c Iitialisatio : Pour =, o a = qui est bie le premier ombre impair ; doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que la propriété est vraie au rag p avec p * Le p ième ombre impair est doc p D après b, le ombre impair suivat est p + c est-à-dire p + Or p + = (p + ) Doc le (p + ) ième ombre impair est (p + ) La propriété est doc héréditaire Coclusio : Doc le ième ombre impair est pour tout * 6 Cet eercice est corrigé das le mauel, p 56 7 a Supposos que la propriété est vraie au rag p avec p p + est doc u multiple de Or p + + = ( p + ) Par hypothèse de récurrece, ( p + ) est doc u multiple de puisque p + l est O peut doc factoriser p + par et u etier p + est doc u multiple de La propriété est héréditaire b Cepedat, cette propriété est fausse car o arrive jamais à l iitialiser Par eemple, pour =, 7 est pas u multiple de O a toujours + = [] pour tout Attetio à bie iitialiser ue récurrece 8 Iitialisatio : Pour =, 5 + = 5 et = 5 O a doc pour = La propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que la propriété est vraie au rag p où p O a doc 5 p + p + + p + Alors 5 p + = 5 p + 5 5( p + + p + ) 5 p p + Or 5 et 5 doc 5 p + p + + p + D où 5 p + p + + p + La propriété est doc héréditaire Coclusio : pour tout 9 Démotros cette propriété par récurrece sur * Iitialisatio : Pour =, = qui est pair La propriété est doc iitialisée Hérédité : Supposos que la propriété est vraie au rag p où p est u etier o ul p est u ombre pair Or p + = ( p ) + ( p ) est u ombre pair puisque p l est état pair, p + est doc pair La propriété est doc héréditaire Coclusio : est doc u ombre pair pour tout etier Démotros cette propriété par récurrece sur * Iitialisatio : Pour =, ( +) = = = Doc la propriété est iitialisée au rag Hérédité : Supposos que la propriété est vraie au rag p où p est u etier o ul O a doc p = p (p +) Doc p + (p + ) = p (p +) + (p + ) = (p + ) p + p + = (p + ) p + p + (p +) = (p + ) Doc la propriété est héréditaire Coclusio : O a = ( +) pour tout * Démotros cette propriété par récurrece sur Iitialisatio : Pour =, ( + ) = doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que la propriété est vraie au rag p où p est u etier O a (p + ) = (p + ) Suites

21 O pose A = (p + ) + (p + ) A = (p + ) + (p + ) A = p + p + + p + A = p + p + A = (p + ) Doc la propriété est héréditaire Coclusio : O a ( + ) = ( + ) pour tout REMARQUE O peut aussi le voir géométriquemet, à la grecque : = = = = Cet eercice est corrigé das le mauel, p 56 Soit et et S = er cas : Il eiste, i {,,, } tel que i > i + Alors i > puis S > car les k sot strictemet i + positifs pour tout k {,,, } e cas : i i + pour tout i {,,, } Alors Si = : o a k = pour tout k {,,, } et S = > Si < : alors > puis S > car les k sot strictemet positifs pour tout k {,,, } D où S > pour tout et REMARQUE U raisoemet par récurrece e marche pas bie ici car la propriété est pas héréditaire (ou o e peut pas le motrer) E effet, S + = S = S Nous avos aucue certitude quat à positif Ce qui est même fau e preat =, + = et = 5 par eemple O e peut doc pas motrer cette propriété par récurrece Motros cette propriété par récurrece sur * ( +)( +) Iitialisatio : Pour =, = =, 6 6 doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que la propriété est vraie au rag p où p est u etier o ul p p(p +)(p +) = 6 O pose A = p + (p + ) p(p +)(p +) A = + (p + ) 6 p(p +) A = (p + ) + p + 6 A = p + (p + p + 6p + 6) 6 A = p + (p + 7p + 6) 6 A = p + (p + )(p + ) 6 (p +)(p + )(p + ) A = 6 Doc la propriété est héréditaire Coclusio : Pour tout *, ( +)( +) = 6 5 a Cette propriété a l air d être vraie à partir de = b Iitialisatio : Pour =, 8 > 6 doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que p > p avec p et p Alors p + = p > p Doc p + > p Or, si p >, p > p + Doc o a p + > p + puis p + > (p + ) Doc la propriété est héréditaire Coclusio : > pour tout etier 6 a (u ) semble être décroissate b Motros par récurrece que u + < u pour tout Iitialisatio : u = et u = doc u < u La propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p + < u p avec p Alors u p + < u p 5 5 puis u p + < u p 5 5 D où u p + < u p + doc la propriété est héréditaire Coclusio : u + < u pour tout Doc (u ) est décroissate 7 a u = ; u = ; u = 9 6 La suite (u ) semble être croissate b f est ue foctio affie de coefficiet directeur 7 > doc f est croissate sur c Motros par récurrece sur que u + u Iitialisatio : D après a, u u doc la propriété est iitialisée Suites

22 Hérédité : Supposos que u p + u p avec p D après b, o a f(u p + ) f(u p ) soit u p + u p + Doc la propriété est héréditaire Coclusio : u + u pour tout Doc (u ) est croissate 8 a Iitialisatio : u = doc u = + = La propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p avec p * Alors u p + 6 Puis u p + car la foctio racie carrée est croissate sur + D où u p + La propriété est héréditaire Coclusio : u pour tout * b Iitialisatio : u u doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p u p avec p * Alors u p + u p + Puis u p + u p + car la foctio racie carrée est croissate sur + u p + u p Doc la propriété est héréditaire Coclusio : u + u pour tout Doc (u ) est croissate 9 a Iitialisatio : u = 5 doc u = 5 5 = Doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p avec p * Alors u p + puis u p (u p + ) C est-à-dire u p + u p Soit u p + Doc la propriété est héréditaire Coclusio : u pour tout b u + u = u + u D après a, o a u + u pour tout De plus, u u Doc (u ) est croissate a Soit a Soit tel que E a + + Alors > a + puis > a c est-à-dire u > a Doc ]a ; +[ cotiet tous les termes à partir du rag E a + + quel que soit a Doc (u ) a pour limite + b Soit a * et b +* Alors I = ]a ; b[ cotiet Soit tel que E b Alors > b d où b + b > puis + < b De plus, doc + > a car a * Doc u ]a ; b[ Doc ]a ; b[ cotiet tous les termes à partir du rag E b quels que soiet a * et b +* Doc (u ) coverge vers c Soit b Soit tel que E b Alors > b doc 7 < b + 9 puis 7 9 < b c est-à-dire u < b Doc ] ; b[ cotiet tous les termes à partir du rag E b quel que soit b Doc la limite de la suite (u ) est a lim ( ) = + + doc lim quotiet + u = par b lim = + par produit doc lim u = par + + quotiet c lim = + doc lim = e t + + lim 5 = Doc lim u = par somme + + d u = + pour lim = + et lim = doc lim u = par produit + 5 e + u = = pour lim = et lim + 6 = doc lim + u = + par quotiet f lim + = + doc lim + Doc lim u = + + = par quotiet g lim + = + ; lim = + et lim = Doc lim u = + par somme + h u = + + = + + car Suites

23 Or lim = doc lim + puis lim u = = a u = + pour doc lim u = + + b u = doc lim u = + c lim + + = + car + = + pour D où lim u = + + d u = + = + pour D où lim + u = e u = + = D où lim u = + f u = pour D où lim u = + + = + = + = + a u = + + ( = + +) = + ( +) = ( ) lim + + = + car + = + lim + + = + car + = + Doc lim u = + b v = + = Doc lim v = + par somme + = ( )( + + ) = + + Cet eercice est corrigé das le mauel, p 56 5 a a c 6 a ( ) + + Doc u pour tout b lim = + doc lim u = + par les théorèmes + + de comparaiso 7 a O a, doc w De plus, 5 doc soit 5( + ) Doc w pour tout b D après a, u pour tout ( +) c lim = doc lim u = par le théorème +( +) + des gedarmes 8 a t < gedarmes) b u des gedarmes) c v > d w doc lim t = (théorème des + doc lim u = (théorème + doc lim v = +(comparaiso) + doc lim w = (théorème des + gedarmes) 9 Cet eercice est corrigé das le mauel, p 56 a lim u = + car q > + doc lim + v = lim + ( + u ) = + b lim u = car < q < doc lim + car lim + + = + + c lim u = car < q < doc lim + + car lim + = + v = v = d lim u = car < p + < v = p ( ) ( ) = p 8 = 8 p Or p < doc p a pas de limite D où (v ) a pas de limite Suites

24 Suites a, > doc lim + u = + b et c eiste par défiitio d ue limite ifiie Voir fichiers logiciels a Voir fichiers logiciels b La suite (u ) semble coverger vers c v + = u + = (u + ) = u = (u ) = v Doc la suite (v ) est géométrique de raiso et de premier terme v = d < < doc (v ) coverge vers D où (u ) coverge vers ou e coviet pas car (u ) est positive Doc lim + u = Cet eercice est corrigé das le mauel, p 56 O a u + = u Doc v + = u + = (u + ) = u + = u = u = v (v ) est doc ue suite géométrique de raiso Or < < doc (v ) coverge vers D où lim + u = 5 a u = Or < 5 < et < 7 < doc lim + 5 = et lim + 7 = doc lim = Par ailleurs, < 5 7 < doc lim = D où lim + u = b v = = < 5 8 < doc lim = D où lim + v = 6 ( + ) > pour tout etier Or lim + = + car > D après les théorèmes de comparaiso, lim + ( + ) = + 7 a Fau Par eemple, u = ( ) b Vrai car la suite est borée (théorème p 8) c Vrai d Fau Par eemple u = 8 a Quel que soit l etier tel que >, o a u u b Il eiste u réel M tel que, quel que soit l etier, o a u M c Il eiste u réel m tel que, quel que soit l etier, o a u m 9 a Fau ; par eemple u = ( ) b Fau ; par eemple u = + c Fau ; par eemple u = + 5 Cet eercice est corrigé das le mauel, p 56 5 a (u ) semble être croissate covergete vers Soit f la foctio défiie sur ] 6 ; +[ par f () = + 6 f est croissate sur ] 6 ; +[ e tat que composée de deu foctios croissates Motros que u u + par récurrece sur Iitialisatio : u = et u = 5 doc u u La propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p u p + où p O a f(u p ) f(u p + ) car u p e tat que racie carrée u p + u p + doc la propriété est héréditaire

25 Coclusio : u u + pour tout Doc (u ) est croissate c Motros que u pour tout par récurrece Iitialisatio : u doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p avec p Alors u p + 6 9, d où u p + Coclusio : (u p ) est majorée par La suite (u ) est croissate majorée doc elle coverge (u ) est covergete 5 a u + u = > pour tout + 5 Doc (u ) est croissate b u = k 5 = 5 k= 5 = c (u ) est croissate et majorée Doc (u ) coverge De plus, < + < doc lim = D où lim u = Eercices d approfodissemet 5 Cette propriété semble vraie à partir de = Iitialisatio : = 8 et = 6 doc > La propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que p > p avec p et p ( ) Alors p + = p > p = p Or >, doc p > p +,p et,p > si p D où p > p + puis p > (p + ) D où p + > (p + ) La propriété est héréditaire Coclusio : Doc > pour tout supérieur ou égal à 5 a Elle est évidemmet fausse b Oui, u échatillo à bille ayat au mois ue bille jaue e cotiet que des jaues c L erreur est das la première partie car o e peut pas mettre des billes de côté si = Doc la propriété est pas héréditaire de = à = et doc elle est fausse 55 a Il permet de calculer u b Voir fichiers logiciels c u = ; u = ; u = ; u = et u = 7 u = ( ) + d Iitialisatio : iitialisée ( ) + = doc la propriété est p(p ) Hérédité : Supposos que u p = + avec p p(p ) Alors u p + = u p + p = + + p p(p + ) (p +)p = + = + Doc la propriété est héréditaire ( ) Coclusio : u = + pour tout 56 lige : u = lige 5 : «pour tout etier p» lige 9 : iégalité fausse Raisoemet par iégalité fau lige : pour tout p est fau 57 a u + = u + u + = u + u + u + = u + b Par récurrece Iitialisatio : u doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p où p Alors u p + puis u p + Puis u p + C est-à-dire u p + Doc la propriété est héréditaire Coclusio : Doc u pour tout c f est dérivable sur [ ; ] e tat que foctio ratioelle f '() = ( + ) f () > doc f est strictemet croissate sur [ ; ] d Iitialisatio : u = doc u > u La propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p > u p + avec p D après b et c, o a doc f(u p ) > f(u p + ), soit u p + > u p + Doc la propriété est héréditaire Coclusio : D où u > u + pour tout Doc (u ) est strictemet croissate Suites 5

26 ( + ) a u = + + pour tout * u = + = ( ) Or + doc D où + u pour tout * b lim = et lim = Doc lim u = d après le théorème des gedarmes + v = u + u + + u v = D où v = + = + = + Or lim + = et lim + = doc lim + v = + 59 a Par récurrece : Iitialisatio : u > doc la propriété est iitialisée Hérédité : Soit u p > pour tout p Alors u p + = u p > car > u p + La propriété est héréditaire Coclusio : Doc u > pour tout b Pour tout, u + () () u u + u + u doc u + u pour tout (u ) est décroissate (u ) est décroissate et miorée doc (u ) coverge c Par récurrece : Iitialisatio : = doc la propriété est iitialisée + Hérédité : Supposos que u p = où p p + u p Alors u p + = = u p + p + p + + = p + p + + p + = p + Doc la propriété est héréditaire Coclusio : u = pour tout + d lim + + = + doc lim u = + 6 a Les lacers sot idépedats doc : u = p ( avoir aucu sur lacers) p (avoir au ième lacer) u = pour tout * Doc (u ) est ue suite géométrique de raiso 5 6 et de premier terme 6 < 5 6 < doc (u ) coverge vers b S = = Doc S = 5 6 pour tout * 5 c (S ) coverge vers car lim + 6 = car < 5 6 < S représete la probabilité d avoir eu u lors des premiers lacers Lorsque ted vers l ifii, la probabilité d obteir u lorsqu ue ifiité de lacers est faite est de Autremet dit, il est certai d obteir u sur ue ifiité de lacers d u dé équilibré à 6 faces 6 a O a apparemmet u b Par récurrece : Iitialisatio : u = doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p où p Alors u p + u p + puis u p + 5 Doc u p + 5 La propriété est héréditaire Coclusio : u pour tout c Soit f la foctio défiie sur [ ; ] telle que f () = + f '() = ( + ) > Doc f est strictemet croissate sur [ ; ] Motros que (u ) est strictemet décroissate par récurrece Iitialisatio : u = 5 Doc u > u La propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p > u p + avec p D après b, u p + < u p () () f() f(u p + ) < f(u p ) f() () u p + < u p + 6 Suites

27 Doc la propriété est héréditaire Coclusio : u + < u pour tout (u ) est décroissate d (u ) est décroissate et miorée doc (u ) coverge a Voir fichiers logiciels b u <, pour 8 U <, 5 pour 9 6 a P est dérivable sur + e tat que polyôme P () = + ( ) P () > pour tout + et Doc P est strictemet croissate sur + pour tout b P P est cotiue et strictemet croissate sur [ ; ] [ ; ] pour tout Doc P admet ue uique racie sur [ ; ] et même ] ; [ + c P + ( + ) = + + P ( + ) et P + ( + ) = + Doc P ( + ) = + < car + ] ; ] pour tout P ( + ) < pour tout d Comme P ( ) =, o a P ( + ) < P ( ) soit + < car P est strictemet croissate sur [ ; ] pour tout Doc ( ) est décroissate ( ) est décroissate et miorée par doc ( ) coverge 6 a Vrai E effet, soit f défiie sur ;+ par f() = f est croissate sur ;+ La mootoie de (u ) déped de u et u Si u = alors u = u et (u ) est costate Si u < alors u < u et (u ) est croissate Si u > alors u > u et (u ) est décroissate b Vrai c Fau puisqu elle est croissate d Vrai 6 a u a et v b doc b v pour tout D où a u (a u ) + (b v ) () () a u (a + b) (u + v ) Or lim (a + b) (u + v ) = par hypothèse + Doc lim a u = par le théorème des gedarmes + (u ) coverge vers a b De même, o a b v (b v ) + (a u ) () () b v (a + b) (u + v ) Doc, par le théorème des gedarmes, (v ) coverge vers b 65 Notos a l aire du ième triagle si o les classe das l ordre décroissat a = a Comme le sommet du ( + )ième triagle est au milieu de l hypotéuse du ième triagle, et que les côtés sot parallèles, d après la réciproque de Thalès, les côtés du ( + ) ième triagle sot deu fois plus petits que ceu du ième D où a + = a (a ) est ue suite géométrique de raiso et de premier terme a Soit s l aire occupée par les premiers triagles s = a + a + + a s = a = a < < doc lim + = puis lim s = + a L aire orage est doc a 66 u + u < pour tout, doc (u ) est strictemet décroissate a Démostratio par récurrece Iitialisatio : u = < La propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p < p avec p u p + = u p (p + ) < p p = p < (p + ) Doc u p + < (p + ) La propriété est héréditaire Coclusio : u < pour tout etier aturel > b lim = doc lim u = par comparaiso + + Motros par récurrece que u = ( + ) pour tout Iitialisatio : u = La propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p = p(p + ) avec p u p + = u p (p + ) = p(p + ) (p + ) = (p + )(p + ) La propriété est héréditaire Coclusio : u = ( + ) pour tout Suites 7

28 67 + p + (p +) = p (p +) +(p +) + p p (p +) pour tout p * O pose A = + p + (p +) A = p +(p + p +)+ p + p + + p p (p +) A = p + p + p + p + p (p +) (p + p + ) = p + p + p + p +p + Doc + p + (p +) = p + p + p(p +)+ p(p +) = p(p +) D où + p + (p +) = + p(p +) pour tout p * Notos S la somme demadée O a S = + p(p +) Or p= p(p +) = p p + Doc S = + p= Doc S = p = + p + p= 8 = 68 a v = ; u = ; v = ; u = 7 ; v = 7 b 5 u,5,66,,, v,, u,,,,, v c Par récurrece : Iitialisatio : u et v doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p et v p pour p Alors u p + v p doc u p + Puis up + d où u p + Doc la propriété est héréditaire Coclusio : (u ) et (v ) sot borées par et d u + v + = u + v = (u + v ) 8 u + v (u + v ) Or u v = (u Doc u + v + = + v ) u v (u + v ) = (u v ) pour tout (u + v ) e D après c, u et v sot positifs pour tout Doc u + v + pour tout De plus, u v doc u v pour tout f u + = u + v et u v pour tout Doc u + u d où u + u Doc (u ) est décroissate Comme u + u, o a u + u soit v + v pour tout Doc (v ) est croissate REMARQUE O otera que ces deu suites sot adjacetes et coverget vers (très rapidemet d ailleurs) Objectif BAC Se tester sur Les eercices de cette rubrique sot corrigés das le mauel, p56 Sujets type BAC 79 Cet eercice est résolu das le mauel, p 6 8 a Supposos que < Notos = <' < Alors, e posat I = ] ε, + ε [ et I = ] ε, + ε [ < [ I o répod par hypothèses : <'[ I' I I' = I I ll b Par défiitio d ue limite, I doit coteir tous les termes de la suite à partir d u certai rag et I aussi à partir d u certai rag A partir du rag ma ( ; ), tous les termes sot das I et I C est impossible car I I = Doc o e peut pas avoir La limite d ue suite est doc uique 8 a m u M pour tout Doc mv v u Mv pour tout Or lim v = doc lim Mv = et lim mv = D après le théorème des gedarmes, lim u v = + ll 8 Suites

29 b Soit (u ) et (v ) telles que lim u = < + et lim v = < + D après le théorème p 8, (u ) coverge doc est borée De plus, (v ) coverge vers Doc, d après a, (u (v )) coverge vers c est-àdire (u v u ) coverge vers Mais (u ) coverge vers Doc (u v ) coverge vers 8 f est dérivable, e tat que foctio ratioelle, sur [ ; ] f '() = > doc f est strictemet croissate ( +) sur [ ; ] f () = > et f () = 5 < Doc : f Si [ ; ], f() [ ; ] a Voir fichiers logiciels (u ) semble croissate et (v ) décroissate b Motros que v pour tout Iitialisatio : v = doc la propriété es t iitialisée Hérédité : Supposos que v p où p Alors f(v p ) d après Soit v p + Doc la propriété est héréditaire Coclusio : v pour tout Motros que v + v pour tout Iitialisatio : v = 5 doc v v La propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que v p + v p où p D après b, o a v p + v p Or f est croissate sur [ ; ] d après, doc v p + v p + La propriété est héréditaire Coclusio : v + v pour tout c v + u + = v + v + u + u + = (v +)(u +) (u +)(v +) (u +)(v +) = v + u u v v = u (u +)(v +) (u +)(v +) Motros par récurrece que v u pour tout 5 Iitialisatio : v u = doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que v p u p où p Alors v p u p car u p et v p d après b (u p +)(v p +) Doc v p + u p + La propriété est héréditaire Coclusio : v u pour tout De plus, v + et u + pour tout d après b Doc v + u + v u Soit v + u + (v u ) pour tout d Par récurrece Iitialisatio : v u = et = doc : v u La propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que v p u p p où p Alors d après c : v p + u p + (v p u p ) p = p + Doc la propriété est héréditaire Coclusio : v u pour tout e < < doc lim + = De v u et du théorème des gedarmes, o tire doc que lim v u = puis que (u ) et (v ) + coverget vers la même limite 8 Cet eercice est corrigé das le mauel, p 56 8 a Fau : elles ot la même limite mais e sot pas forcémet covergetes Par eemple, u = et v = + + b Vrai Supposos que p + soit divisible par 5 avec p Alors (p + ) + = p + = p 8 + = ( p + ) 8 8 Comme 8 est divisible par 5 et p + aussi, (p + ) + l est aussi et la propriété est héréditaire c Vrai : elle coverge vers d après le théorème des gedarmes d Fau : par eemple, u = 5 pour tout + est covergete vers 5 ; miorée par et croissate e Fau : u Suites 9

30 85 a A = O A A A 5 A A 6 A b O a a = a + a =,5, puis a =,75, a =,65, a 5 =,687 5 et a 6 =,656 5 c Puisque le poit A + est le milieu du segmet [A A + ] cela se traduit e abscisses par : a + = a + a + Iitialisatio : a + = + = = a La formule est vraie au rag Hérédité : Supposos qu il eiste p, p > tel que a p + = a p +, qui équivaut à a p = a p + Alors a p + = a p + a p + = a p + + a p + = a p + = a p +, doc la relatio est vraie au rag p + Coclusio : O a doc démotré que pour tout aturel, a + = a + O a pour tout aturel, v + = a + v + = a + = a + = a = v La relatio pour tout aturel, v + = v motre que (v ) est ue suite géométrique de raiso et de premier terme v = a = O sait que pour tout aturel : v + = v = Or < < lim + = Doc lim v = + Comme a = v +, o a lim a = + 86 u + u > pour tout, doc (u ) est strictemet croissate a Par récurrece Iitialisatio : > doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p > p avec p u p + = u p + p + > p + p + > p + p + = (p + ) Doc u p + > (p + ) La propriété est héréditaire Coclusio : u > pour tout b lim = + doc lim u = + par comparaiso + + Motros que u = ( + ) pour tout par récurrece Iitialisatio : u = doc la propriété est iitialisée Supposos que u p = (p + ) pour p u p + = u p + p + = (p + ) + p + = p + p + = (p + ) Doc la propriété est héréditaire Coclusio : Doc u = ( + ) pour tout 87 a Voir fichiers logiciels b La suite (u ) semble être décroissate et covergete vers a Iitialisatio : O a u = 5 = > : vrai Hérédité : Supposos qu il eiste p tel que : u p > Or u p + = u p u p + doc u p + = u p u p + u p + = u p u p u p + = u p u p + = (u p ) u p + O sait que u p >, doc u p > et u p + > > Tous les termes de u + sot supérieurs à zéro, doc fialemet u p + > Coclusio : O a doc démotré par récurrece que pour tout, u > b Décroissace de la suite : soit u + u = u u + u = u u u u + = u + u = u u + u + u + = (u ) u + Les deu termes du quotiet sot positifs, doc fialemet u + u < ce qui démotre que la suite (u ) est décroissate Or u > u > La suite (u ) est décroissate et miorée doc elle coverge a O a v + v = u + u Or o a vu ci-dessus (démostratio par récurrece) que u + = (u ) u +, doc : u v + v = + (u ) u = u + (u ) = u (u ) =, car o a vu que u > Cela motre que la suite (v ) est ue suite arithmétique de raiso, de premier terme : v = u = 5 = Suites

31 b O sait que : v = v + = + = + = + Or v = u u = () v () u = = + = = v + + +, quel que soit + 5 c Pour > o peut écrire u = + O voit facilemet que lim u = + 88 D après la défiitio : u = u u = + = Si la suite était géométrique, d après les deu premiers termes la raiso serait égale à ; or u = u Si la suite était arithmétique, d après les deu premiers termes la raiso serait égale à ( ) = ; or u + = u Coclusio : la suite (u ) est i arithmétique i géométrique a O a pour tout aturel : v + = u + u + = u + u u + = u + u = u + u = v b v + = v sigifie que la suite (v ) est ue suite géométrique de premier terme (v = u u = ) et de raiso c O a doc quel que soit, v = = a O a w + = u v + + = u = + u v + v v b O a par défiitio u = w, doc l égalité v ci-dessus s écrit : w + = + w c w = u = = L égalité précédete motre v que la suite (w ) est ue suite arithmétique de premier terme et de raiso O a doc w = w + = + O a trouvé que w = = u v = u = u Doc u =, car quel que soit 5 Démostratio par récurrece Iitialisatio : S = u = et + = = = La propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que S p = p + p Alors S p + = S p + u p + S p + = p + (p +) p + p + (p + )+ (p +) S p + = + p + p 6 + p + S p + = + p + S p + = p + 5 (p +)+ p + = p + Doc la propriété est héréditaire Coclusio : S = + pour tout Problèmes 89 a Étage Nombre de truffes b Il semble que, si o ote s le ombre de truffes du ième étage, o a : ( +) s = k = k= c Par récurrece Iitialisatio : s = et = doc la propriété est iitialisée p(p +) Hérédité : Supposos que s p = où p * Alors à l étage d e dessous, il faut le même ombre de truffes auquel o ajoute p + truffes de maière à pouvoir les décaler Doc s p + = s p + p + p(p +) (p +)(p + ) s p + = + p + = La propriété est héréditaire k(k +) Coclusio : s k = pour tout k * Suites

32 d Pour étages : + = il faut truffes Pour étages : + +6 = il faut truffes Pour étages : = il faut truffes e Si o ote p le ombre de truffes écessaires pour ue pyramide à étages, o a : ( +)( + ) p = 6 f Par récurrece Iitialisatio : pour =, p = et = doc 6 la propriété est iitialisée k(k +)(k + ) Hérédité : Supposos que p k = 6 où k * Alors p k + = p k + s k + k(k +)(k + ) (k +)(k + ) p k + = + 6 (k +)(k + ) = (k + ) 6 (k +)(k + )(k + ) = 6 ( +)( + ) Coclusio : p = pour tout * 6 9 a et b La suite semble croissate et tedre vers + u + = + u ( +)!! = + Doc u + < pour tout u Comme les termes de la suite (u ) sot positifs, o peut e déduire que (u ) décroît à partir de = De plus, (u ) est miorée par doc elle coverge a Voir fichiers logiciels O trouve = 9 b De même qu au, la suite (v ) défiie sur par v = est décroissate à partir du rag! Comme >, v < v pour tout > Or v < par défiitio de Doc v < v < d où v < pour tout > Doc, pour tout >,! > c Pour tout >,! > d où :! < doc <! Doc u < pour tout > d lim + = car < < O sait que u pour tout doc d après le théorème des gedarmes, lim u = + e O a été piégé par la calculatrice car o a pas été assez loi Il faut doc se méfier de la calculatrice et toujours cofirmer ue cojecture par ue démostratio 9 poits t segmet poits t segmets poits t 6 segmets 5 poits t segmets ( ) Il semblerait qu il y ait segmets avec poits Motros-le par récurrece ( ) Iitialisatio : pour =, = doc la propriété est iitialisée p(p ) Hérédité : Supposos qu o ait segmets avec p poits où p et p Si o rajoute u poit, o peut faire p ouveau segmets p(p ) Il y a doc + p = p p + (p +) = p Doc la propriété est héréditaire p(p ) Coclusio : Pour tout p et p, o a segmets possibles avec p poits 9 a Le k ième carreau qu il colle est coupé das u carreau de m e k das chaque dimesio Il fait doc k m k k= D où A = b A + A = ( +) > doc A + > A pour tout D où (A ) est croissate c k k (k ) = = k k(k ) k(k ) k car k > k pour tout k Doc k k pour tout k k d D après a et c, o a : A + k= k k = + pour tout et A pour tout etier Doc (A ) est majorée par (A ) est croissate majorée doc elle coverge e Voir fichiers logiciels Suites

33 9 L = car il y a qu u couple au départ L = car u couple e peut se reproduire qu après mois L + = couples du mois précédet + couples és ce mois-ci = couples du mois précédet + couples d il y a mois car u couple se reproduit (e egedrat u seul couple) s il a plus de mois D où L + = L + + L pour tout Voir fichiers logiciels a Iitialisatio : L = et L = L + doc la propriété est iitialisée Hérédité : p Supposos que L p + = L k + avec p k= Alors L p + = L p + + L p + p = L k + + L p + k= p+ = L k + k= Doc la propriété est héréditaire Coclusio : L + = L + L + + L + pour tout b L + = L + L + L + = L + + L + = L + L + L + = L + + L + = L + L + + L + L + = L + L + L + 5 = L + + L + = L + L + + L + L + = L + 5L + L + 6 = L + + L + 5 = L + L + +L + 5L + = 5L + 8L + L + 7 = L L + 6 = 8L + L + L + 8 = L L + 7 = L + L + L + 9 = L + L + +9 Doc L k = 55L + 88L + = L + 6 k= c (r ) semble coverger vers,68 eviro (voir fichiers logiciels) 9 a Notos a le ombre de maipulatios pour déplacer ue tour à étages a = 5 b a 5 = c Il semblerait que a = pour * Motros par récurrece que a = Iitialisatio : Pour =, a = évidemmet et a = = Doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que a = Pour bouger ue pyramide à + étages e u miimum de déplacemets, il faut déplacer les étages supérieurs sur la tige d à côté e u miimum de déplacemets puis déplacer le gros disque de tige et remettre les disques Autremet dit, a + = a + + a = a + Doc a + = ( ) + = + + = + La propriété est héréditaire Coclusio : O a a = pour tout * E ue heure, Beoît peut faire : 6,85 5 maipulatios au maimum Or = 95 et = 8 9 Doc Beoît peut faire ue tour à étages 95 La forme du médaillo, avec ses ecroissaces à droite et à gauche et les parties poitues e haut et e bas, etraîe que chaque «tour» écessite 6 heagoes de plus que le tour précédet ( heagoes à gauche et à droite et heagoes e haut et e bas) Notos t le ombre d heagoes écessaires au ième tour et r le ième ombre rouge t O a doc + = t + 6 pour tout * t = 9 r Et + = r + t pour tout * r = O e déduit que t = t + 6( ) = + 6 pour tout * r D où + = r pour tout * r = C est-à-dire r + r = Doc r k + r k = 6 k + 9 k= 9 k= 9 9 r 9 r = r 9 = 6 99 Doc le 9 e heagoe de la lige rouge est 6 96 a v = + avec fractios Alors v = + avec fractios D où v = v pour tout * D où v + = v pour tout v + = v + et v + = + pour tout v + b Voir fichiers logiciels Suites

34 c Motros que v pour tout par récurrece Iitialisatio : v = doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que v p avec p Alors + v p puis et + v p v p + Doc la propriété est héréditaire Coclusio : v pour tout Doc (v ) est borée d (v ) est pas mootoe car la foctio f défiie sur \ { } par u + = f(u ) (c est-à-dire f () = + ) est décroissate + e < = + ( )( + ) = + < = = < = ou < = Or < = e coviet pas d après a f Doc la limite est [,,, ] est associé à w a O a + = + w pour tout w = b Voir fichiers logiciels c La suite (w ) semble coverger vers,68 eviro d Si la suite (w ) coverge vers, alors o a : < = + < comme pour e Et : < = + < = + = < = + 5 Or 5 ou < = 5 < doc e coviet pas Doc [,,, ] correspod à + 5 qui est le ombre d or Φ a Voir fichiers logiciels O trouve y tedat vers,785 eviro b et c y ted vers p 97 a O a L + = l et l + = L l b Comme o a u rectagle d or, o a : p = L + l + Doc p = et p = L l l L l = L l = p p = p p p = p = 5 ou p = + 5 p = + 5 car 5 < doc e coviet pas c O retrouve ue ouvelle fois le ombre d or Φ d où le om de rectagle d or d Soit (v ) ue suite géométrique de raiso q et état de Fiboacci Alors v + = v + + v pour tout Doc v q = v q + v Soit v (q q ) = pour tout Doc, soit v = pour tout, soit q q = c est-à-dire, soit v = soit q = + 5 (car la raiso est positive) Ue suite géométrique de raiso positive est de Fiboacci si v = ou q = Motros que u pour tout * par récurrece Iitialisatio : u doc la propriété est iitialisée Hérédité : Supposos que u p avec p * Alors u p + p (p + ) + (p +) (p +) = 6p + 6 (p +) = Doc la propriété est héréditaire Coclusio : (u ) est majorée par u + u = ( +) u + ( + ) ( +) = ( +) u ( + ) + ( +) = ( + )( u + ) ( +) Comme + >, + > et u + d après D où u + u pour tout * Doc (u ) * est croissate Doc (u ) coverge a v + = ( + )( u + ) = ( +) 6( +) u ( + ) ( +) = 6 u = ( u ) = v Doc la suite (v ) est géométrique de raiso et de premier terme v = b v = = pour tout * Suites