CORRECTION FX e 2 8 ; E = 1 2 e 1 ; F = ln (e + 1) ; K = 3π 8. ; L = 1 ( 1 + e. 3 u3/2. Rappelons que, si α est une constante 1

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1 Lycée Thiers CORRECTION FX 6 E D abord, les réponses : A = ; B = 3 D = ; C = 3 9 e 8 ; E = e ; F = ln e + G = e ; H = π ; I = J = π ; K = 3π 8 ; L = + e π M = ln ; N = π ; P = π 8 ln 4 Q = e + ln e + e ln ; R = 3 4 ln ; S = A présen, quelques commenaires... A = sans calcul! car c es l inégrale d une applicaion impaire sur un inervalle symérique. B se calcule en reconnaissan le moif u u = 3 u3/. Rappelons que, si α es une consane u e si u es dérivable à valeurs >, alors u α u α+ =, qui n es aure qu un cas pariculier de la α + formule de dérivaion d une composée. Ici α =. C se calcule en inégran rois fois par paries. Plus généralemen, si P es une foncion polynôme de degré n, on calcule b a P e λ d en inégran n fois par paries : chaque inégraion par paries fai chûer d une unié le degré du faceur polynomial. D se calcule en reconnaissan le moif uu = u cf. commenaire B avec α =. E se calcule en inégran par paries en dérivan le logarihme. F = e + u d puis on reconnaî le moif + ln u = ln u. G s inègre par paries en considéran par eemple que ln = ln e en dérivan ln. H es l aire d un quar de disque de rayon mais on peu aussi vériablemen calculer cee inégrale... I se calcule en reconnaissan le moif u u =. cf. commenaire B avec α =. u J s obien en inégran par paries on dérive le faceur polynomial. Pour K, on linéarise cos 4 dans un cas aussi simple, pas besoin de passer par la méhode générale uilisan les nombres complees : on uilise deu fois de suie la formule cos + cos θ θ =. L se calcule par deu IPP successives ou bien en passan en complees. Pour M, une primiive de an es ln cos c es encore le moif u u. Pour N, on linéarise sin.

2 CORRECTION FX 6 Pour P, penser à associer l inégrale jumelle deu inégrales donne la réponse. π/4 Q s inègre par paries en posan u = e v = ln inégrales puisque ln + = ln + ln. cos d. Ajouer e rerancher ces sin + cos +. On peu aussi séparer Q en deu R s inègre par paries en posan u = e v = ln +. + S s inègre par paries en posan u = e v = ; d où u = e v = +. Il vien : S = ] / / 3 / + d = 4 3 d = 4 + ] / = E Tou d abord : donc : Ensuie : donc : Enfin : e donc : h a = f a = a a g a = d = ] a = a lim f a = a + a d = ] = a a lim g a = + a + ln d = ln ] a = a ln a + a lim h a = a + Dans chacun des rois cas ci-dessus, le graphe de la foncion, l ae des abscisses e les droies d équaions = e = limien un domaine non borné la disance enre deu poins du domaine n es pas majorée. Pouran, dans le premier e le roisième cas, son aire vue comme limie lorsque a + de l aire du domaine pariel limié par les abscisses a e es finie! On d di que les inégrales impropres e ln d son convergenes, e l on noe : d = ; ln d = d Quan à l inégrale impropre, elle es divergene. Passons à F, G e H. Pour ou a > : F a = e ] a = = ea H a = a e sin d = e sin ] a = + a G a = arcan ] a = = arcan a e cos d = e a sin a+ e cos ] a = a e sin d

3 e donc : d où finalemen : CORRECTION FX 6 3 H a = e a cos a + sin a H a H a = ea cos a + sin a On consae ainsi que la convergence de ces rois inégrales impropres : E 3 + e d = ; + d + = π ; + e sin d = On peu obenir les valeurs de a, b, c par idenificaion. Cela consise à développer l epression : a b c + + puis à l idenifier avec l epression +, c es-à-dire à former le sysème : a + b + c = 5a + 4b + 3c = 6a + 3b + c = On en ire facilemen : Ainsi : R {3,, }, a = ; b = 3; c = = Après avoir observé que = pour ou, on en dédui : F = ln ln + 5 ] ln = ln ln puis : 9 3 lim F = ln + 8 Remarque. La méhode d idenificaion uilisée plus hau es assez pesane. On peu faire mieu! Si un el riple a, b, c eise e c es le cas pour des raisons héoriques : cf. cours ulérieur sur la décomposiion d une fracion raionnelle en élémens simples, alors en muliplian chaque membre de l égalié : = a + + b + + c + 3 par +, on rouve : = a + b + + c ] d où la valeur de a en faisan endre vers. On calcule b e c de la même façon. E 4 Le calcul de A es direc : Le calcul de B aussi : A = B = + d = ln + ] ; soi A = ln + d = + ] ; soi B = 4

4 Pour C, c es du cours : Pour D, un peu d asuce : puis IPP en posan : ce qui donne : Finalemen : D = C = Pour E, c es encore du cours : E = Pour F, c es immédia : F = CORRECTION FX 6 4 d + = arcan ] ; soi C = π d = C u = ; v = + u = ; v = + ] + d + d = + C + = π 8 4 D = π d + = ln + + ] ; soi E = ln + Pour G on inègre par paries en posan : Ainsi : G = + d = + ] ; soi F = u = ; v = arcan u = ; v = + arcan d = arcan ] + d; soi G = π 4 ln. Pour H, on reconnaî la dérivée d un carré : H = arcan + d = arcan ] Pour I, on commence par inégrer par paries : I = arcan d = arcan Or donc I = π 3 arcan d = + π 4 π ln 3 +, soi : ] donc : H = π 3 arcan d + arcan d = G H = π 4 I = π 6 π 4 + ln ln π 3 ;

5 CORRECTION FX 6 5 E 5 On inègre par paries, pour,, en posan : ce qui donne : d = ] + = u = ; v = u = ; v = d = + d d où : F = arcsin + e cee égalié vau encore pour =, par coninuié. F es l aire de l union d un riangle recangle, don les côés de l angle droi mesuren e, e d un seceur de rayon e d angle au cenre arcsin, d où la formule obenue ci-dessus. E 6 On a direcemen : puis, pour ou n N : J = π 4 ; J = J n+ + J n = π/4 π/4 an d = ln cos ] π/4 = = ln an n an + ] d = an n+ n + ] π/4 = = n + Il s ensui sommaion élescopique que : n n J + + J = J + J = n J n+ J c es-à-dire : ou encore : = = = n = ln + n J n+ n = ln n J n+ =

6 De la même façon : c es-à-dire : CORRECTION FX 6 6 n n + J + + J = + J + J = n J n J = Or, pour ou n N : n J n J n + J n+ = n + e donc lim J n =. Les relaions e donnen alors : ce qu on peu noer : lim n = = = = + = π 4 n J n n = ln ; lim = = ln ; = + = π 4 + = π 4 E 7 A = 3 3 ] d = = A = 6 ln 3 ln 3 e ] B = ln 3 3 e e ] d = 3 ln3 ln 3 e ] 3 e d = 3 ln3 3 ln + ln d, 3 soi : ] 3 e ] 3 e ] 3 e e B = 3 ln3 3 ln e3 + ln d e donc B = e 3 = B = 4e C = + d = + ] C avec C = d = + + d = C + ln + + ]. Ainsi C = + ln + C, càd C = + ln + Pour D, la bonne idée consise à mere le rinôme sous forme canonique. D = d puis de penser à la formule d = +a a arcan ] a + C e. Ainsi D = + arcan, c es-à-dire 3 3 D = arcan 3 arcan, soi finalemen D = π e E = e + d = ln e + ] e + = E = ln puis F = e e d = E e donc F = ln + e + Où es passé l inégrale G? Y en a pas :

7 CORRECTION FX 6 7 Pour H, on inègre par paries en posan u = sh e v = sh, ce qui donne u = ch e v = sh ch e donc H = ch sh ] sh + sh c es-à-dire H = ch sh H + ch ] e donc H = ch sh sh 3 I = J = e 3 e / d = ln ln ]e3 e = I = ln 3 ln arcsin d = arcsin ] / J = π 7 + arcsin ] / E 8 / d / Soi p, q N N. On inègre par paries : ce qui donne : soi : Par une récurrence immédiae : arcsin d, donc : e donc J = π 7 + π 3 6 u = p ; v = q u = p+ p + = ; v = q q ] p+ I p,q = q + q p + = p + I p+,q } {{ } p, q N N, I p,q = I p,q = q p + I p+,q q q p + p + p + q I p+q, Or I p+q, = e donc : p + q + I p,q = p! q! p + q +! 3 Pour ou p, q N : = q = q p + + = q = q donc, par linéarié de l inégrale : q q q q p + + = p d = Vu le poin précéden, on conclu que : q = = q p + + = p! q! p + q +! p+ d p q d = I p,q

8 CORRECTION FX 6 8 E 9 On observe que : I n = Ainsi lim I n = Par ailleurs : e donc : J n = ln + n d n d = n + n + n d = + n d J n n d = n + d où lim J n = On inègre ensuie par paries, en posan : ce qui donne I n = ln + n ] = n De la relaion précédene, on ire : E comme lim I n =, on conclu que : u = ; v = ln + n u = ; v = nn + n n d, soi finalemen : + n I n = ln n J n J n = J n = ln n ln n + I n n + o n

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