CALCUL MATRICIEL ... sont appelés les coefficients de la matrice.. b sont égales si, et seulement si, elles ont
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- Sandrine Lepage
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1 CALCUL MATRICIEL Cours Termiale S 1 Notio de matrice 1) Défiitio Défiitio 1 : Ue matrice de taille (ou d ordre ) m x est u tableau de ombres formé de m liges et coloes Ue telle matrice s'écrit sous la forme : a11 a1 a13 a1 a1 a a3 a M = am 1 am am 3 am Les ombres a ij sot appelés les coefficiets de la matrice M = a ij i m j O ote aussi ( ) 1 ; Exemple : A = est ue matrice d ordre x Remarque : Deux matrices A = ( a ij ) et B = ( ij ) b sot égales si, et seulemet si, elles ot même ordre m x et si a = b pour tout couple (i, j) tel que 1 i m et 1 j ij ) Vocabulaire ij Lorsque m =, o parle de matrice carrée 5, Par exemple : A = est ue matrice carrée d ordre 7 1 Das ce derier cas, lorsque tous les coefficiets sot uls sauf ceux de la diagoale, o parle de matrice diagoale Par exemple : B = est ue matrice diagoale Lorsque, o parle de matrice coloe 1 Par exemple : C = est ue matrice coloe 0 Lorsque m, o parle de matrice lige D est ue matrice lige Par exemple : ( ) 3) Défiitio Défiitio : La matrice ulle est la matrice dot tous les coefficiets sot uls Soit N O appelle matrice idetité d ordre, otée I la matrice diagoale dot tous les termes diagoaux valet 1 1
2 1 0 0 Par exemple : I 3 = Opératios sur les matrices 1) Somme de deux matrices Défiitio 3 : Soit A et B deux matrices de même taille La somme de A et B est la matrice, otée A + B, dot les coefficiets sot obteus e additioat deux à deux des coefficiets qui ot la même positio das A et B Exemple : Soiet A = et 5 7 B = alors C = A + B = = Propriété 1 : Soit A, B et C trois matrices de même taille L additio est commutative ( A + B = B + A ) et associative (( + ) + = + ( + )) ) Produit d ue matrice par u réel A B C A B C Défiitio 4 : Soit A ue matrice et k u ombre réel La produit de A par le réel k est la matrice, otée ka, dot les coefficiets sot obteus e multipliat tous les coefficiets de A par k Exemple : A = d où B = A = 6 Propriété : Soit A et B deux matrices carrées de même taille et deux réels k et k' a) (k + k')a = ka + k'a b) k(a + B) = ka + kb c) (kk')a = k(k'a) d) (ka)b = A(kB) = k(a x B) 3) Produit d ue matrice carrée par ue matrice coloe Défiitio 5 : Soit A ue matrice carrée de taille et B ue matrice coloe à liges telles que : a11 a1 a13 a1 b1 a1 a a3 a A = et b B = a 1 a a 3 a b Le produit de la matrice carrée A par la matrice coloe B est la matrice coloe à liges, otée A x B et égale à : a11 b1 a1 b a13 b3 a1 b a1 b1 a b a3 b3 a b A B = a 1 b1 a b a 3 b3 a b Exemple : Soiet A = et 5 ( ) B = Alors A B = = ( ) 34
3 4) Produit d ue matrice lige par ue matrice carrée Défiitio 6 : Soit A ue matrice coloe à coloes et B ue matrice carrée de taille telles que : b11 b1 b13 b1 1 3 A = ( a1 a a3 a ) et b b b b B = Alors : bm 1 bm bm 3 bm ( ) A B = a b + a b + + a b a b + a b + + a b a b + a b + + a b A et B = 1 5 A B = = 8 49 Exemple : Soiet = ( 7) Alors ( ) ( ) 5) Produit de deux matrices carrées Défiitio 7 : Soit A et B deux matrices de même taille Le produit de A et B est la matrice, otée A x B, dot les coloes correspodet au produit de la matrice A par chaque coloe de la matrice B 7 Exemple : Soiet A = et B = alors ( ) C = A B = = = ( 1) ( 1) ( 1) De plus, ( ) ( ) ( ) ( ) D = B A = = =
4 Remarque : La multiplicatio des matrices est pas commutative ; e effet, das l exemple précédet, A B B A Propriété 3 : Soit A, B et C trois matrices carrées de même taille et u réel k a) Associativité : (A x B) x C = A x (B x C) = A x B x C b) Distributivité : A x (B + C) = A x B + A x C et (A + B) x C = A x C + B x C c) (ka)b = A(kB) = k(a x B) 6) Puissace d ue matrice carrée Défiitio 7 : Soiet A ue matrice carrée et u etier aturel o ul La puissace -ième de de A, otée A, est la matrice défiie par : A = A A A Par covetio, A 0 = I Exemple : Soit A = alors ( 5) A = A A = = = ( 1) ( 5) 5 + ( 1) fois 3 Matrice iverse 1) Propriété Propriété 4 : Soit A ue matrice de taille O a : A I = I A = A Exemple : Soit A = alors A I = = = = ( 1) ( 1) 1 A 5 ) Matrice iverse d ue matrice carrée Défiitio 8 : Soit A ue matrice de taille S il existe ue matrice B de taille telle que A B = B A = I, alors o dit que A est iversible et o ote la matrice B de la faço suivate B = A 3 0, 0, Exemple : Soit A = et B = alors 1 0, 4 0,6 A 3 0, 0, 3 0, + ( 1) ( 0,4) 3 0, + ( 1) 0,6 1 0 B = = 1 0,4 0, 6 = = 0, + 1 ( 0, 4) 0, + 1 0,6 0 1 I Doc A et B sot iverses l ue de l autre 3) Matrice iverse d ue matrice carrée d ordre Propriété 5 : Soit A = A est iversible si, et seulemet si, ad 0 c d bc Démostratio : Soiet A = c d et d b B = c a D où : 4
5 d b ad bc ab + ba ad bc A B = = = = ( ad bc) c d c a cd dc cb + da 0 ad bc 0 1 A B = ad bc I Par suite, ( ) Si 0 1 ad bc ad bc, alors A B = ( ) D où A est iversible et A = B ad bc 1 1 I 1, c est-à-dire A B = I ad bc Si ad bc = 0, alors A B = 0 Ce qui est impossible Doc A est pas iversible 0 Exemple : Soit A = Détermier A 1 Soit A = c d O doit obteir : A A a b = = = 1 I c d a + c 0 b + d 1 0 D où = 1 a + c 1 b + d c c = a + c = 0 O e déduit que, c est-à-dire a = c = 1 d = 0 d = 0 b + d b d Par coséquet, 1 = 1 0 A 4 Applicatio à la résolutio d u système Exemple : O cosidère le système (S) suivat : 3 O pose : = x A, X = et 4 3 y B = 5 3 x x + 3y Par suite, A X = = 4 3 y 4x + 3y Le système (S) peut doc s écrire A X = B x + 3y = 5 4x + 3y = 1 1) Propriété Propriété 6 : Soit A ue matrice carrée iversible de taille et B ue matrice coloe à liges Alors le système liéaire d'écriture matricielle A X = B admet ue uique solutio doée par la matrice coloe A B Démostratio : A X = B équivaut à Doc A X = B équivaut à X = A B = A A X A B, c est-à-dire I X A B = ) Résolutio de l exemple D après la propriété précédete, X = A B 5
6 Détermios A à l aide de la calculatrice : Soit A = c d O doit obteir : A A a b = = = 4 3 I c d 0 1 a + 3 c b + 3 d 1 0 D où = 4 a + 3 c 4 b + 3 d 0 1 a + 3c a + 3c a + 4a b + 3d = 0 3d = b 3d = b O e déduit que, qui équivaut à, ou ecore à 4a + 3c = 0 3c = 4a 3c = 4a 4b + 3d 4b + 3d 4b b 1 a = d = b = = O e déduit c = a = = b = Par coséquet, A = ( 1) Doc X = A B = = = ( ) Le système (S) a doc pour solutio le couple (x ; y) = (1 ; 1) 6
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