Enseignement à l Université, perspective institutionnelle et contrat didactique. Le cas de la dualité en algèbre linéaire

Transcription

1 FACULTES UNIVERSITAIRES NOTRE-DAME DE LA PAIX FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUE Esegemet à l Uversté, perspectve sttutoelle et cotrat ddactque. Le cas de la dualté e algèbre léare ANNEXES Thèse présetée par Marte DE VLEESCHOUWER e vue de l obteto du grade de Docteur e Sceces Composto du Jury : Jea-Luc DORIER Ghslae GUEUDET (Drecteur) Valére HENRY Marc ROMAINVILLE Suzae THIRY (Promoteur) Carl WINSLØW Septembre 200

2 Presses uverstares de Namur & Marte De Vleeschouwer Rempart de la Verge, 3 B Namur (Belgque) Toute reproducto d'u extrat quelcoque de ce lvre, hors des lmtes restrctves prévues par la lo, par quelque procédé que ce sot, et otammet par photocope ou scaer, est strctemet terdte pour tous pays. Imprmé e Belgque ISBN : Dépôt légal: D / 200 / 88 / 38 Facultés Uverstares Notre-Dame de la Pax Faculté des Sceces rue de Bruxelles, 6, B-5000 Namur, Belgum

3 TABLE DES MATIERES DES ANNEXES ANNEXE. DESCRIPTION DES LIVRES ET MANUELS ANALYSES AU CHAPITRE LE POLYCOPIE DE TOINT LE LIVRE DE HALMOS LE LIVRE DE BIRKHOFF & MAC LANE LE LIVRE DE GRIFONE LE LIVRE D'ESCOFIER LE LIVRE DE PHAM & DILLINGER LE LIVRE DE LAX LE LIVRE DE LANG LE LIVRE DE MERLIN LE LIVRE D'ETIENNE LE LIVRE DE UHLIG... 4 ANNEXE 2. ANALYSE SYNTHETIQUE ET COMPARATIVE DE LA DUALITE DANS LES MANUELS ANALYSES SECTION CONSACREE EXPLICITEMENT A LA DUALITE CHAPITRES ET SECTIONS OU LES THEMES DE LA DUALITE SONT CITES/UTILISES... 7 ANNEXE 3. TABLES DES MATIERES ET DESCRIPTION DE L ORGANISATION MATHEMATIQUE GLOBALE/REGIONALE DANS LES MANUELS ANALYSES AU CHAPITRE 3, PRESENTATION DES TABLES DE MATIERES Table des matères du lvre d Halmos (974) : Fte-Dmesoal Vector Spaces Table des matères du lvre d Escofer (2006) : Toute l algèbre de la lcece Table des matères du lvre de Pham&Dllger (996) : Algèbre léare Table des matères du lvre de Merl (995) : Methodx algèbre (250 méthodes, 250 exercces corrgés) Table des matères du lvre d Uhlg (2002) : Trasform Lear Algebra PRESENTATION DE L ORGANISATION MATHEMATIQUE GLOBALE/REGIONALE DE LA DUALITE Le lvre d Halmos Le lvre d'escofer Le lvre de Pham & Dllger Le lvre de Merl Le lvre de Uhlg : u cas partculer ANNEXE 4. FORMULE DE QUADRATURE POUR UN POLYNOME DE DEGRE INFERIEUR A N. 43 ANNEXE 5. CONTEXTE DE L ENSEIGNEMENT DE LA DUALITE A L UNIVERSITE DE NAMUR TABLE DES MATIERES DU LIVRE DE TOINT (2007) PAGES DU POLYCOPIE (TOINT 2007) PRESENTANT LA DUALITE ANNEXE 6. COMPOSANTES DE L ENQUETE SUR LA DUALITE FORMULAIRE POUR L INTERVIEW SEMI-STRUCTUREE SUIVANT LE QUESTIONNAIRE «DEBUTANTS» (MAI 2008) ENONCE DU TRAVAIL DE GROUPE PROPOSE AUX ETUDIANTS AYANT REPONDU AU QUESTIONNAIRE «DEBUTANTS» (MARS 2008) QUESTIONNAIRE PROPOSE AUX ETUDIANTS DE MASTER ET 2 EN MATHEMATIQUE (MARS 2009) ANNEXE 7. FORMULATION DE PROPOSITION POUR L INTRODUCTION DE L APPLICATION TRANSPOSEE ANNEXE 8. DEROULEMENT GENERAL DES DISPOSITIFS MIS EN PLACE A NAMUR EN

4 ANNEXE 9. PROPOSITION D ILLUSTRATION DES NOTIONS D ESPACE VECTORIEL PRIMAL, DUAL, BIDUAL Méthodologe Présetato et aalyse a pror ANNEXE 0. PROPOSITION D ENSEIGNEMENT POUR L INTRODUCTION DES BASES DUALES TABLE DES MATIERES DU POLYCOPIE D ALGEBRE LINEAIRE ERE BAC MATH&PHYSIQUE - UNIVERSITE DE NAMUR PROPOSITION D ENSEIGNEMENT DES BASES DUALES VIA UNE FONCTIONNALITE OUTIL Espace dual Réflexvté ANNEXE. GUIDE D ENTRETIEN POUR L INTERVIEW DU PROFESSEUR ENSEIGNANT LA DUALITE EN ANNEXE 2. DETAIL DU DEROULEMENT DE L ENSEIGNEMENT DES NOTIONS DE DUALITE EN EN PREMIERE ANNEE MATH-PHYSIQUE A L UNIVERSITE DE NAMUR ANNEXE 3. NOTES DE DEUX ETUDIANTS CONCERNANT L INTRODUCTION DE LA DUALITE ET LES BASES DUALES EN EN PREMIERE ANNEE MATH-PHYSIQUE A L UNIVERSITE DE NAMUR NOTES DE L ETUDIANT NOTES DE L ETUDIANT

5 Aexe. Descrpto des lvres et mauels aalysés au Chaptre 3 Nous présetos c brèvemet les mauels que ous avos reteus e vue d aalyser la dualté comme savor à eseger (Chaptre 3). Rappelos que otre souc a pas été l exhaustvté, mas ue varété de présetatos des otos de dualté. Nos chox pour les mauels reteus serot brèvemet explqués au fur et à mesure des descrptos.. Le polycopé de Tot Le polycopé ttulé "Algèbre" (Tot 2007, 29 pages, Belgque), rédgé par Phlppe Tot, professeur au départemet de mathématques à l'uversté de Namur, est le support des otes du cours d'algèbre léare que suvet les étudats scrts e premère aée mathématque ou physque à l'uversté de Namur e Belgque (vor Aexe 4 pour u pla de ce cours). Ce mauel repred les motvatos, llustratos, déftos et théorèmes cocerat les otos vues au cours théorque. Il est complété par u recuel d'exercces repreat des exercces répertorés par chaptre selo les otos vsées. L'avat derer chaptre du recuel d'exercces est cosacré à des exercces récaptulatfs, et le derer chaptre repred les tests et exames écrts des deux derères aées académques. Ces otes de cours s'adresset doc à des étudats e f de cycle du secodare, et e requèret aucue oto prélmare d'algèbre léare. 2. Le lvre de Halmos "Fte-Dmesoal Vector Spaces", de Paul R. Halmos (Halmos 974, 200 pages, Etats- Us) est le lvre dot s'est prcpalemet et talemet spré Ph. Tot pour la rédacto du polycopé assocé à so cours d'algèbre léare à l uversté de Namur. La secode édto de ce lvre, datat de 958 et réédtée e 974, se dstgue de la premère (datat de 942) prcpalemet par le ombre d'exercces présetés. Ces derers sot postoés tout au log du lvre, regroupés à la f de sectos de chaptres. Das sa préface, l'auteur aoce que le but qu'l poursut est de trater les trasformatos léares (sur des espaces vectorels de dmeso fe) par le bas de méthodes de théores plus géérales, tout e essayat d'adopter ue vso géométrque. Le lvre e demade pas de prérequs partculer pour qu veut s'ter à l'algèbre léare par so termédare. De plus, la premère édto de ce lvre a ue composate hstorque : le lvre d Halmos est, avec le lvre "Survey of Moder Algebra" de Brkhoff & Mac Lae édté e 94, l'outl qu a perms la dffuso des dées propres à l'algèbre léare auprès des chercheurs et das l'esegemet uverstare de l'époque (Dorer 997, p.95). Ce mauel est aalysé plus e détal au chaptre 3, Le lvre de Brkhoff & Mac Lae Le lvre de G. Brkhoff et S. Mac Lae, composé de deux volumes ( er volume : Brkhoff & Mac Lae 97, 408 pages, Frace), a été sélectoé pour la raso hstorque présetée à la secto c-avat. Cepedat, pour otre aalyse, ous 'avos pas cosdéré la premère édto du lvre de Brkhoff & Mac Lae dot l est fat meto c-avat ( 2). Nous avos prvlégé la traducto de la trosème édto, datat de 97. E effet, cette trosème édto

6 a perms de corrger et d'amélorer le texte tal, l'esprt de l'ouvrage restat par alleurs le même. De fat, les auteurs présetet ue approche très axomatque de l'algèbre. La oto de dualté y est tout d'abord présetée par le bas du dual d u dagramme, pus du dual d'u module, le dual d'u espace vectorel e état alors u produt dérvé. La traducto fraçase de la trosème édto se présete sous deux volumes, le premer repreat les chaptres à 9 das u tome ttulé "Structures fodametales". Le deuxème tome, "Les grads théorèmes", repred la traducto des chaptres 0 à 6 de l'ouvrage orgal "Algebra", à laquelle les auteurs ot ajouté u chaptre supplémetare sur la "Théore de Galos". Lors de otre aalyse, ous ous sommes cocetrée sur le premer volume. 4. Le lvre de Grfoe Nous avos égalemet cosdéré "Algèbre Léare - 2 e édto", de Joseph Grfoe (Grfoe 2002, 46 pages, Frace). Partat du costat selo lequel les programmes actuels de l'esegemet das le secodare e comportet presque plus d'algèbre léare, Grfoe se sert de so expérece de pluseurs aées d'esegemet de l'algèbre léare e premer cycle d'uversté pour essayer de combler cette lacue. Les dfféretes otos sot présetées de faço à mettre e évdece leur raso d'être et leur utlté. Ue atteto partculère est portée sur la sgfcato géométrque. Chaque oto et chaque éocé sot llustrés par des exemples (présetés das dfférets cadres) et des exercces résolus. Chaque chaptre se terme par ue sére d'éocés d'exercces se rapportat à l'etèreté du chaptre (toutes sectos cofodues), suve esute par ue sére d'dcatos se rapportat à ces éocés. 5. Le lvre d'escofer "Toute l'algèbre de la lcece : Cours et exercces corrgés", de Jea-Perre Escofer (Escofer 2006, 674 pages, Frace) est, das sa secode édto, u ouvrage récet. Il repred l'esemble des otos d'algèbre abordées das les tros premères aées d'uversté d'u étudat de mathématque. L'auteur, costatat que les otos élémetares e mathématques e fot gééralemet pas l'objet d'attetos partculères, a écrt ce lvre à l'teto d'étudats «à l ase et mos à l ase e mathématques», e espérat trasmettre à ces derers le goût pour les mathématques. Les otos présetées sot accompagées de récts et d'aecdotes hstorques, as que d'applcatos récetes. Chaque chaptre se terme par des éocés d'exercces (statuts varés et cadres dfférets), suvs esute par la résoluto détallée de ceux-c. Ce mauel est aalysé plus e détal au chaptre 3, Le lvre de Pham & Dllger Le lvre de F. Pham et de H. Dllger (Pham & Dllger 996, 347 pages, Frace) a été sélectoé pour l'approche dfférete qu'l présete par rapport aux autres ouvrages déjà ctés. Das leur "Avertssemet au lecteur", les auteurs aocet que leur but 'est pas de trasmettre des techques mas be des dées, des cocepts qu pourrot être utles pour résoudre d'autres problèmes. Ils dquet égalemet que, be que préseté de maère orgale, le coteu du lvre correspod au programme tradtoel d'u cours d'algèbre de La premère édto date de

7 Aexe. Descrpto des lvres et mauels aalysés au Chaptre 3 premère aée d'uversté, et que le sloga "dualté etre géométre et calcul" résume leur prcpale préoccupato. Ce mauel est aalysé plus e détal au chaptre 3, Le lvre de Lax Le lvre de Peter D. Lax a pour ttre "Lear Algebra ad ts applcatos". Sa deuxème édto est très récete (2007, 376 pages, Etats-Us). Das sa préface, l auteur précse que cet ouvrage costtue u support cofortable pour u cours complémetare 2 sur l algèbre léare, supposat doc que le lecteur a déjà eu l occaso de se cofroter aux premères otos d algèbre léare. L térêt de cet ouvrage résde o seulemet das la présetato qu y est fate de la dualté, mas égalemet das les applcatos de celle-c qu y sot présetées. 8. Le lvre de Lag O pourrat affrmer que Serge Lag a écrt ue trloge sur l algèbre léare, s l o cosdère " Itroducto to Lear Algebra " (986), " Lear Algebra " (987), " Algebra " (2002). Les deux premers lvres ctés sot du veau des premères aées d uversté, alors que le trosème lvre, " Algebra ", est à destato de persoes ayat déjà été cofrotées à l algèbre ou ayat ue maturté mathématque approprée. Ce derer ouvrage est du veau graduate. L auteur trodut pas la dualté das "Itroducto to Lear Algebra" (986), l y fat meto que de la trasposée d ue matrce, sas aucu le avec la dualté. C est das "Lear Algebra" (987) que la dualté est présetée e algèbre léare. Das le trosème ouvrage de Lag cosdéré, "Algebra" (2002), la dualté y est auss présetée das u cadre plus vaste (groupe dual, module dual, ) état doé le caractère spécfque de cet ouvrage. Etat doé le sujet de otre recherche, ous ous sommes cocetrés sur le deuxème ouvrage de Lag (987, 296 pages, Etats-Us) préseté c. 9. Le lvre de Merl Xaver Merl, das so lvre "Methodx - Algèbre : 250 méthodes, 250 exercces corrgés" (Merl 995, 400 pages, Frace) présete ue lste de méthodes, qu peut être terprétée comme u cours "oreté exercces". Il cosacre u chaptre eter à la dualté. La démarche est orgale, et l'auteur précse tout de même qu'l e sufft pas de coaître ue méthode, ecore faut-l savor quad elle s'applque ou quad elle est opérate... Ce mauel est aalysé plus e détal au chaptre 3, Le lvre d'etee Le lvre de Dame Etee, ttulé "Exercces corrgés d'algèbre léare - tome 2" (Etee 2006, 359 pages, Belgque) est égalemet u ouvrage récet. L auteur a tré proft de so expérece de pluseurs aées d esegemet de l algèbre léare e lceces scetfques (Frace) pour la rédacto de cet ouvrage. Le tome 2 est be évdemmet précédé d u premer tome, mas l auteur a chos de placer le secteur dualté das le deuxème tome. La plupart des chaptres de ces deux ouvrages sot costruts de la même maère : ue premère 2 «a secod course o the subject» [Lax, 2007, p. x] 3

8 parte repreat quelques rappels de cours, suve par ue secto repreat des éocés d exercces, dot la correcto est présetée das la trosème parte du chaptre. Comme le ttre du lvre le lasse percevor, cet ouvrage est cetré essetellemet sur les exercces.. Le lvre de Uhlg Ce lvre (Uhlg 2002, 503 pages, Etats-Us) est desté à des étudats d u veau débutat ou termédare, das u parcours scetfque. L ouvrage a pour but d ader les étudats à développer ue compréheso tutve de l algèbre léare et de leur préseter des cocepts qu sot à l orge de ce domae des mathématques. Ce lvre adopte ue présetato o formelle de la dualté. O y parle d alleurs pas d espace vectorel dual. L ouvrage d Uhlg met l accet sur des cocepts d algèbre léare et de théore des matrces. As par exemple la oto de rag est trodute par la défto du rag d ue matrce A d u système d équatos léares (Ax = b) comme état le ombre de pvots das la forme écheloée par lge 3 de la matrce A. Par coséquet, ce mauel e sera pas aalysé de la même maère que les autres ouvrages présetés c-dessus ; mas l ous semblat téressat d e parler état doée l omprésece de l approche aturelle 4 de la dualté das l ouvrage. L ouvrage a à l esprt les applcatos de l algèbre léare. C est pourquo la plupart des chaptres sot dvsés e tros sectos : la premère repreat le coteu d u cours, suv de problèmes ; la deuxème présetat des apports théorques et mathématques ; et la derère parte présetat des applcatos d algèbre léare. Ce mauel est aalysé plus e détal au chaptre 3, Les élémets a j d ue matrce (p,q) écheloée par lge sot tels que a j = 0 pour tout > j, où =,, p et j =,, q. 4 Vor Chaptre 2,

9 Aexe 2. Aalyse sythétque et comparatve de la dualté das les mauels aalysés Cette aexe vet détaller ce qu est préseté e troducto au chaptre 3. Nous avos aalysé, das u premer temps, la maère dot le secteur dualté s'sère das l'orgasato des dfférets mauels cosdérés. Esute, ous avos regardé les partes de mauels où terveat la dualté. Nous présetos c ue sythèse des résultats observés.. Secto cosacrée explctemet à la dualté Le fat que la dualté sot présetée das u chaptre à part etère das u mauel pourrat créer ou accetuer l dée d u secteur solé das le domae de l algèbre léare. De plus, la posto relatve de la dualté par rapport à l étedue du mauel peut ous reseger sur la quatté de prérequs écessares à cette matère ou sur le degré de dffculté atrrbué à cette matère par l auteur. Ef, le ombre de pages cosacrées à la présetato de la dualté, as que ce que ces pages représetet par rapport à l etèreté du lvre peut ous reseger sur l étedue de la descrpto du secteur das le mauel. Nous ous posos doc les questos suvates : Das les dvers mauels aalysés, le secteur dualté occupe-t-l u chaptre à part etère? Quelle est la posto relatve de l'apparto de la dualté das le mauel? Quelle place relatve occupe la secto (chaptre) cosacrée à la dualté à l'téreur du mauel? Remarquos que, vu la spécfcté de l ouvrage de Uhlg (2002), ce mauel e sera pas aalysé das cette secto. E effet, das ce mauel, la dualté est pas présetée e tat qu objet. Le cocept est ompréset das les propos de l auteur, mas l est pas formalsé : l auteur e parle pas par exemple d espace vectorel dual ou de base duale Das le tableau c-dessous, la premère coloe repred les oms des auteurs des mauels aalysés. Le lecteur trouvera esute e deuxème coloe la répose à la premère des tros questos posées c-dessus; das les 3 coloes suvates la répose à la deuxème de ces questos; et ef les deux derères coloes permettet de répodre à la trosème questo posée : Tot Halmos Brkhoff & Mac Lae Grfoe Chaptre à part etère No ( chap.2 Applcatos) No ( chap. Spaces) No ( chap.7 Espaces vectorels) No ( chap.3 Applcatos léares et Nombre de pages (total) du mauel Apparto du secteur dualté : Posto relatve de la dualté Etalé sur... pages Qu représetet, par rapport à l'etèreté du lvre: 29 Page % 9 4.% 200 Page 20 0% +8 9,5% 408 Page 36 (dagramme) Page 248 (module) Page 275 (esp.vect.) 46 Page 82 9,7% 67.4% % 0 (ex. clus) 2,4% 5

10 Chaptre à part etère Nombre de pages (total) du mauel Apparto du secteur dualté : Posto relatve de la dualté Etalé sur... pages Qu représetet, par rapport à l'etèreté du lvre: matrces Escofer Ou 96 (premère aée) Page 8 92,3% 3 6,6% (premère aée) Pham & Dllger No ( chap3 Dualté etre géométre et calcul) 674 (tout le lvre) 26,8%,9% (tout le lvre) 347 Page % % Lax Ou 376 Page 3 3.5% 6,6% Lag No ( chap.5 produt scalare et orthogoalté) 296 Page 25 42,2% 5,7% Merl Ou 400 Page 6 5,2% 8 4,5% Etee Ou 359 Page 29 35,9% 23 (ex. clus) 6,4% Tableau 2.I. Présetato de la secto cosacrée explctemet à la dualté e algèbre léare Remarquos que les chffres présetés das la derère coloe du Tableau 2.I e teet compte que du ombre de pages de la secto (ou du chaptre) cosacré explctemet à la dualté. Ils e teet doc pas compte du ombre de pages, présetes das le mauel, où la dualté est utlsée, par exemple à ttre d'llustrato d'autres otos, ou à l'téreur d'ue démostrato, ou ecore e comparaso avec ue autre oto. Pour avor ue dée de l'étedue que revêt le secteur dualté sur l'etèreté du mauel, et o plus seulemet das la secto (ou chaptre) qu lu est explctemet cosacré(e), ous vtos le lecteur à se référer à la secto suvate. Nous pouvos déjà ous apercevor de la grade dversté de l mportace accordée au secteur dualté das les dfférets ouvrages sélectoés. Certas auteurs y cosacret u chaptre, d autres pas. L apparto de la dualté peut se fare relatvemet tôt das l ouvrage, comme chez Lax ou Halmos, ou ver plus tard. De même, o peut costater qu l y a pas de costate e ce qu cocere l étalemet de la parte de l ouvrage cosacrée à la dualté. Il faut évdemmet relatvser certas des chffres présetés c-dessus. O sat par exemple que l ouvrage de Lax référecé c s adresse à des étudats o ovces e algèbre léare. Il est doc compréhesble que la dualté apparasse s tôt das l ouvrage. Ce qu est plus surpreat, c est la place accordée par Halmos à la dualté. Rappelos c l mportace hstorque qu à joué ce lvre das la dffuso de l algèbre léare das la commuauté scetfque et l esegemet supéreur. 6

11 Aexe 2. Aalyse sythétque et comparatve de la dualté das les mauels aalysés 2. Chaptres et sectos où les thèmes de la dualté sot ctés/utlsés Le tableau suvat comporte, pour chacu des mauels aalysés, deux partes: l'ue cosacrée aux chaptres, l'autre cosacrée aux sectos. Chacue de ces deux partes est composée de deux coloes repreat das la premère le ombre de chaptres/sectos développat ou utlsat la dualté par rapport au ombre total de chaptres/sectos reprs(e)s das le mauel; la secode coloe de chaque parte repred la part relatve (e pourcetages) de ces chaptres/sectos par rapport à l'etèreté du mauel. Chaptres Sectos Tot 3/0 30,0% 6/36 6,7% Halmos 3/4 75,0% 23/93 24,7% Brkhoff & Mac Lae 5/9 55,6% /88 2,5% Grfoe 3/0 30,0% 5/87 5,7% Escofer Premère aée : /0 Tout le lvre : 3/22 0,0% 3,6% Premère aée : 9/79 Tout le lvre : 9/98,4% 4,5% Pham & Dllger /5 20% 3/25 2,0% Lax 9/8 (/6 aexes) 50,0% (6,3%) - - Lag 2/2 6,7% 2/56 3,6% Merl 5/8 27,8% 0/82 2,2% Etee 2/0 20,0% 4/7 23,5% Tableau 2.II. Importace de la dualté das l'esemble d'u mauel Le tableau c-dessus ous motre que la dualté est gééralemet pas u secteur solé e algèbre léare be que les thèmes présetés et l utlsato qu e est fate varet d u auteur à l autre. Remarquos toutefos das le Tableau 2.II que c est das les lvres «hstorques» (Halmos ; Brkhoff & Mac Lae) que l o retrouve la dualté das u ombre relatvemet mportat de chaptres. O ote que les lvres récets fot de mos e mos de place à la dualté. A l uversté e Frace, celle-c est plus abordée e premère aée. Cec cofrme la dffculté de ce sujet, qu peut dffclemet rester préset s l allégemet des programmes au lycée écesste la présetato e premère aée d uversté de coteus qu relevaet jusque là du secodare. 7

12

13 Aexe 3. Tables des matères et descrpto de l orgasato mathématque globale/régoale das les mauels aalysés au chaptre 3, 2.2. Cette aexe se compose de deux partes : Nous présetos das u premer temps ( ) la table des matères des cq lvres présetés à la secto 2.2 du chaptre 3, af d avor ue vue d esemble de ces mauels sélectoés pour l aalyse globale, régoale et locale de la dualté e tat que savor à eseger. Af d avor ue vso d'esemble de l'edrot d'troducto et/ou d'utlsato des thèmes lés à la dualté das le domae de l algèbre léare, ous avos ajouté, à chacue des tables des matères, des otatos etre crochets «[ ]». Il s'agt des sujets et thèmes que ous avos défs pour le secteur dualté. Pour évter toute ambguïté avec les composates de la table des matères elle-même, ces otatos sot e caractères gras et soulgées. Des remarques ot auss parfos été ajoutées. Elles sot égalemet e gras mas e sot quat à elles pas soulgées. Das u secod temps ( 2), ous décrvos plus e détal l orgasato mathématque globale/régoale qu est fate de la dualté das chacu de ces cq mauels. Cela permettra au lecteur cureux de meux compredre les artculatos aocées das les tables des matères reprses à la premère secto de cette aexe.. Présetato des tables de matères Preface.. Table des matères du lvre d Halmos (974) : Fte-Dmesoal Vector Spaces Chaptre. Spaces. Felds 2. Vector Spaces 3. Examples 4. Commets 5. Lear depedece 6. Lear combatos 7. Bases 8. Dmesos 9. Isomorphsm 0. Subspaces. Calculus of subspaces 2. Dmeso of a subspace 3. Dual spaces [forme léare] [dual] 4. Brackets [dual] [forme léare] [forme bléare] 5. Dual bases [base duale] 6. Reflexvty [dual] [bdual] 7. Ahlators [aulateurs] [dual] [base duale] 8. Drect sums 9. Dmeso of a drect sum 20. Dual of a drect sum [dual] [aulateurs] 9

14 2. Quotet spaces [dual] [aulateurs] : thèmes présets das les éocés d'exercces 22. Dmeso of a quotet space 23. Blear forms [forme bléare] 24. Tesor products [dual] [forme bléare] 25. Product bases [dual] [forme bléare] 26. Permutatos 27. Cycles 28. Party 29. Multlear forms 30. Alteratg forms 3. Alteratg forms of maxmal degree Chaptre 2. TRANSFORMATIONS 32. Lear trasformatos 33. Trasformatos as vectors [dual] : thème préset das l'éocé d'u exercce 34. Products 35. Polyomals 36. Iverses 37. Matrces 38. Matrces of trasformatos 39. Ivarace 40. Reducblty 4. Projectos 42. Combatos of projectos 43. Projectos ad varace 44. Adjots [dual] [bdual] [applcato trasposée] 45. Adjots of projectos [dual] [applcato trasposée] [aulateurs] [matrce trasposée] 46. Chage of bass [dual] [covarat/cotravarat] 47. Smlarty [dual] [trasposée] : thèmes présets das des éocés d'exercces 48. Quotet trasformatos 49. Rage ad ull-space [dual] [aulateur] [trasposée] [mage] [oyau] 50. Rak ad ullty [trasposée] [rag] 5. Trasformatos of rak oe [base duale] 52. Tesor products of trasformatos [dual] 53. Determats 54. Proper values 55. Multplcty 56. Tragular form [dual] [trasposée] [aulateur] 57. Nlpotece 58. Jorda form Chaptre 3. ORTHOGONALITY 59. Ier products 60. Complex er products 6. Ier product spaces 62. Orthogoalty 63. Completeess 64. Schwarz's equalty 65. Complete orthoormal sets 0

15 Aexe 3. Tables des matères et descrpto de l O.M. globale/régoale das les mauels aalysés au chap Projecto theorem 67. Lear fuctoals [dual] [forme léare] 68. Paretheses versus brackets [dual] [forme léare] [base duale] [aulateur] [trasposée] 69. Natural somorphsms [dual] [bdual] 70. Self-adjot trasformatos [base duale] 7. Polarzato 72. Postve trasformatos 73. Isometres 74. Chage of orthoormal bass 75. Perpedcular projectos 76. Combatos of perpedcular projectos 77. Complexfcato 78. Characterzato of spectra 79. Spectral theorem 80. Normal trasformatos 8. Orthogoal trasformatos 82. Fuctos of trasformatos 83. Polar decomposto 84. Commutatvty 85. Self-adjot trasformatos of rak oe Chaptre 4. ANALYSIS 86. Covergece of vectors 87. Norm 88. Expressos for the orm 89. Bouds of a self-adjot trasformato 90. Mmax prcple 9. Covergece of lear trasformatos 92. Ergodc theorem 93. Power seres Appedx. Hlbert space Recommaded readg Idex of terms Idex of symbols

16 Remarque : Avat-propos.2. Table des matères du lvre d Escofer (2006) : Toute l algèbre de la lcece Das la table des matères du lvre d'escofer, les sectos de chaque chaptre sot ctées. Pour ue questo de lsblté, ous 'avos détallé c que les sectos des chaptres où terveaet les thèmes et sujets lés au secteur dualté. Premère aée Chaptre. Equatos dfféretelles léares Chaptre 2. Sutes récurretes léares Chaptre 3. L'espace vectorel R Chaptre 4. Systèmes léares Chaptre 5. Gééraltés sur les espaces vectorels Chaptre 6. Bases et dmeso Chaptre 7. Applcatos léares 7.. Nassace du cocept 7.2. Applcatos léares 7.3. Exemples 7.4. Proprété uverselle 7.5. Noyau d ue applcato léare 7.6. Image d ue applcato léare 7.7. Le théorème du rag ou des dmesos 7.8. Résoluto d'ue équato léare 7.9. Résoluto d'u système léare [hyperpla] 7.0. Isomorphsmes Exercces Solutos Chaptre 8. Matrces Chaptre 9. Sommes drectes, produts, quotets 9.. Exemples 9.2. Décomposto e somme drecte 9.3. Sommes drectes fes 9.4. Produt de deux espaces vectorels 9.5. Projecteurs 9.6. Espaces vectorels quotets Exercces [matrce trasposée] Solutos Chaptre 0. Dualté 0.. Itroducto [dual] [forme léare] [bdual] 0.2. Formes léares et hyperplas [forme léare] [hyperpla] 0.3. Base duale [base duale] 0.4. Orthogoal d'u sous-espace [orthogoal (et o aulateur)] [hyperpla] 0.5. Trasposée d'ue applcato léare [trasposée (applcato & matrce)] Exercces Solutos 2

17 Aexe 3. Tables des matères et descrpto de l O.M. globale/régoale das les mauels aalysés au chap.3 Deuxème aée Chaptre. Groupes Chaptre 2. Arthmétque, aeaux Chaptre 3. Polyômes Chaptre 4. Détermats Chaptre 5. Autour de la dagoalsato Chaptre 6. Orthogoalté 6.. Itroducto 6.2. Orthogoalté das le pla et l espace ordares 6.3. Produt scalare 6.4. Expresso du produt scalare [matrce trasposée] 6.5. Norme et agle 6.6. Bases orthogoales et orthoormées 6.7. Orthogoalté de sous-espaces [dual] [forme léare] [base duale] [orthogoal (et o aulateur)] 6.8. Projecto orthogoale 6.9. Trasformatos orthogoales Groupe orthogoal de R Groupe orthogoal de R 6.2. Edomorphsme adjot et autoadjot [matrce trasposée] 6.3. Polyômes orthogoaux : exemple des polyômes de Legedre Exercces Solutos Chaptre 7. Carl Fredrch Gauss ( ) Trosème aée Chaptre 8. Ouverture sur les groupes Chaptre 9. Ouverture sur les aeaux commutatfs utares Chaptre 20. Ouverture sur les polyômes Chaptre 2. Corps fs Chaptre 22. Formes bléares symétrques et quadratques 22.. Complémets sur le groupe orthogoal d u espace euclde [hyperpla] [matrce trasposée] Formes bléares et bléares symétrques [dual] [forme léare] [base duale] Formes quadratques Méthode de Gauss pour la décomposto e carrés Décomposto d ue forme quadratque sur C ou R Dagoalsato smultaée de deux formes quadratques Orthogoalté [dual] [forme léare] [base duale] [orthogoal (et o aulateur)] Espaces quadratques régulers [dual] [orthogoal (et o aulateur)] Groupe orthogoal d u espace quadratque réguler Quateros 22.. Recherches arthmétques de Lagrage Exercces Solutos Bblographe Idex 3

18 Remarque :.3. Table des matères du lvre de Pham&Dllger (996) : Algèbre léare Das la table des matères du lvre de Pham & Dllger, les sectos de chaque chaptre sot ctées. Pour ue questo de lsblté, ous 'avos détallé c que les sectos des chaptres où terveaet les thèmes et sujets lés au secteur dualté. 0 Prologue Etude formelle des systèmes léares. Mapulatos formelles sur les systèmes léares.2 Idépedace léare. Relatos.3 Rag.4 Codtos d exstece des solutos.5 Formes léares [forme léare] 2 Espaces vectorels et géométre 3 Dualté etre géométre et calcul 3. Systèmes de coordoées et dualté [dual] [forme léare (reprs sous les termes «foctos léares»)] [base duale (reprs das u premer temps sous les termes «système de coordoées léares»)] [aulateur (reprs sous les termes «système de coordoées léares assocé à u sous-espace vectorel de co-dmeso p», ou das l autre ses, sous les termes «leu des zéros des foctos affes»)] [hyperpla] 3.2 Systèmes léares et géométre [forme léare (reprs sous les termes «foctos léares» et/ou «formes léares»)] [base duale (reprs sous les termes «système de coordoées léares»)] [hyperpla] 3.3 Calcul matrcel [forme léare (reprs sous les termes «foctos léares»)] 3.4 Calcul matrcel et géométre [dual] [base duale (reprs sous les termes «système de coordoées léares»)] 4 Edomorphsmes d espace vectorel 4.0 Itroducto [base duale (reprs sous «système de coordoées léares»)] 5 Eplogue A. Polyômes, et ombres complexes B. Rudmets de théore des esembles C. Structures algébrques a. Itroducto b. Groupes c. Aeaux et corps d. L algèbre des polyômes e. Retour à l algèbre léare. La structure d espace vectorel 4

19 Aexe 3. Tables des matères et descrpto de l O.M. globale/régoale das les mauels aalysés au chap.3 Solutos des exercces. Dualté [dual] [formes léares (reprse sous le terme de foctos léares de E à valeurs das IK)] [bdual] [base duale (reprse sous les termes de système de coordoées assocé à ue base)] [trasposée (applcato et matrce)] [aulateur (reprs sous les termes d espace co-ormal à u sous-espace vectorel)]. L algèbre des edomorphsmes et le groupe léare 5

20 Remarque : Avat-propos.4. Table des matères du lvre de Merl (995) : Methodx algèbre (250 méthodes, 250 exercces corrgés) Das la table des matères du lvre de Merl, les sectos de chaque chaptre sot ctées. Pour ue questo de lsblté, ous 'avos détallé c que les sectos des chaptres où terveaet les thèmes et sujets lés au secteur dualté. Chaptre : Méthodes d'étude des polyômes Chaptre 2 : Méthodes de décomposto d'ue fracto ratoelle e élémets smples Chaptre 3 : Méthodes géérales d'algèbre léare : espaces vectorels et applcatos léares Chaptre 4 : Méthodes de dualté. Formes léares [formes léares] [crochet de dualté] [hyperpla] [oyau] 2. Orthogoalté [crochet de dualté] [aulateur (vu comme orthogoal)] [oyau] [bdual] 3. Base duale [base duale] 4. Trasposée [applcato trasposée] [algèbre bléare] [adjote] [matrce trasposée] Chaptre 5 : Méthodes de calcul matrcel () Chaptre 6 : Méthodes de calcul matrcel (2). Rag 2. Trace [formes léares] [utlse le dual de M ] 3. Polyômes de matrces 4. Cetres et commutats 5. Espaces stables [hyperpla] [applcato trasposée] 6. Résoluto d équatos matrcelles 7. Tratemet algébrque et tratemet matrcel d u exercce Chaptre 7 : Méthodes de calcul de détermats Chaptre 8 : Méthodes de dagoalsato pratque Chaptre 9 : Méthodes de réducto théorque 0. Ce qu l est écessare et suffsat de savor. Thème : Polyôme caractérstque 2. Thème 2 : Edomorphsme d espaces foctoels 3. Thème 3 : Espace stables par A 4. Thème 4 : Réducto par «blocs» 5. Thème 5 : Réductos smultaées [applcato trasposée] 6. Thème 6 : Edomorphsmes de L(E) et applcatos 7. Thème 7 : Localsato du spectre 6

21 Aexe 3. Tables des matères et descrpto de l O.M. globale/régoale das les mauels aalysés au chap.3 8. Thème 8 : Autres réductos classques 9. Thème 9 : Exercces «ayat re à vor avec la dagoalsato» Chaptre 0 : "Best of" Vra ou Faux : réducto des edomorphsmes Chaptre : Méthodes de topologe matrcelle Chaptre 2 : Méthodes d'étude de l'expoetelle matrcelle Chaptre 3 : "Best of" : Méthodes d'études des matrces classques Chaptre 4 : Méthodes géérales d'algèbre bléare. Commet étuder les proprétés des formes A) Problèmes de déftos B) Décomposto de Gauss [formes léares] C) Orthogoalté, côe sotrope et oyau [aulateur (vu comme orthogoal)] D) Bases orthogoales [base duale] 2. Produt scalare et orme 3. Base orthoormale et orthoormalsato de Schmdt Chaptre 5 : Méthodes de détermato de la sgature Chaptre 6 : Méthodes d'étude des edomorphsmes autoadjots Chaptre 7 : "Best of" : Edomorphsmes classques des espaces eucldes et hermtes Chaptre 8 : L'essetel de l'algèbre... e quatre pages [o y parle de la trasposée] 7

22 Préface.5. Table des matères du lvre d Uhlg (2002) : Trasform Lear Algebra Notes to Istructors Itroducto. Lear Trasformatos.. Lecture Oe: Vectors, Lear Fuctos, ad Matrces [Equatos léares reprses sous forme matrcelle].2. Tasks ad Methods of Lear Algebra.3. Applcatos: Geometry, Calculus, ad MATLAB 2. Row-Reducto 2.. Lecture Two: Gaussa Elmato ad the Echelo Forms 2.2. Applcatos: MATLAB 3. Lear Equatos 3.. Lecture Three: Solvablty ad Solutos of Lear System [Equatos léares] 3.2. Applcatos: Crcuts, Networks, Chemstry, ad MATLAB 4. Subspaces 4.. Lecture Four: The Image ad Kerel of a Lear Trasformato [espace orthogoal U (trodut comme ue représetato exclusve (e opposto à la représetato clusve) d u sous-espace U)] 4.2. Applcatos: Jo ad Itersecto of Subspaces 5. Lear Depedece, Bases, ad Dmeso 5.. Lecture Fve: Mmal Spag or Maxmally Idepedet Sets of Vectors 5.2. Applcatos: Multple Spag Sets of Oe Subspace, MATLAB 6. Composto of Maps, Matrx Iverse 6.. Lecture Sx [Matrce trasposée] 6.2. Theory: Gauss Elmato Matrx Products, the Uqueess of the Iverse, ad Block Matrx Products 6.3. Applcatos: MATLAB 7. Coordates Vectors, Bass Chage 7.. Lecture Seve: Matrx Represetatos wth Respect to Geeral Bases [Matrce trasposée] 7.2. Theory: Rak, Matrx Traspose 7.3. Applcatos: Subspace Bass Chage, Calculus 8. Determats, λ -matrces 8.. Lecture Eght: Laplace Expaso, Gaussa Elmato, ad Propertes [Matrce trasposée] 8.2. Theory: Axomatc Defto 8.3. Applcatos: Volume, Wroska 8

23 Aexe 3. Tables des matères et descrpto de l O.M. globale/régoale das les mauels aalysés au chap.3 9. Matrx Egevalues ad Egevectors 9.. Lecture Ne, Usg Vector Iterato: Vashg ad Mmal Polyomal, Matrx Egeaalyss, ad Dagoalzable Matrces 9..D Lecture Ne, Usg Determats: Characterstc Polyomal, Matrx Egeaalyss, ad Dagoalzable Matrces 9.2. Theory: Geometry, Vector Iterato, ad Egevalue Fuctos 9.3. Applcatos: Stochastc Matrces, Systems of Lear Des, ad MATLAB 0. Orthogoal Bases ad Orthogoal Matrces 0.. Lecture Te: Legth, Orthogoalty, ad Orthoormal Bases [Approche duale va la représetato exclusve d u sous-espace vectorel] 0.2. Theory: Matrx Geerato, Rak ad Householder Matrces 0.3. Applcatos: QR Decomposto, MATLAB, ad Least Squares. Symmetrc ad Normal Matrx Egevalues.. Lecture Eleve: Matrx Represetatos wth respect to Oe Orthogoal Bass.2. Theory: Normal Matrces.3. Applcatos: Polar Decomposto, Voume, ODEs, ad Quadrcs 2. Sgular Values 2.. Lecture Twelve: Matrx Represetatos w.r.t. Two Orthoormal Bases 2.2. Theory: Matrx Approxmato, Least Squares 2.3. Applcatos: Geometry, Data Compresso, Least Squares, ad MATLAB 3. Basc Numercal Lear Algebra Techques 3.. Lecture Thrtee: Computer Arthmetc, Stablty, ad the QR Algorthm 4. Nodagoalzable Matrces 4.. Lecture Fourtee: Jorda Normal Form 4.2. Theory: Real Jorda Normal Form, Compao Matrx 4.3. Applcatos: Lear Dfferetal Equatos, Postve Matrces Eplogue Appedx A Complex Numbers ad Vectors Appedx B Fdg Iteger Roots of Iteger Polyomal Appedx C Abstract Vector Spaces Appedx D Ier Product Spaces Solutos Lst of Photographs Idex 9

24 2. Présetato de l orgasato mathématque globale/régoale de la dualté 2.. Le lvre d Halmos Le lvre de Halmos (974), composé de 200 pages, comporte 4 chaptres. Il e trate que des espaces vectorels de dmeso fe. Le cas réel (champ réel) et le cas complexe (champ complexe) sot tous deux abordés das l ouvrage. Le premer chaptre, ttulé "Spaces" (Espaces), est costtué de 3 sectos, parm lesquelles o trouve e trezème posto, et déjà à la page 20, la secto ttulée "Dual spaces". Halmos aborde doc très vte la dualté : ot été présetées que les otos de champ, d espace vectorel, de dépedace léare, de combasos léares, de base et dmeso, d somorphsmes et de sous-espaces vectorels. Halmos commece la premère secto où est abordé le secteur dualté par la défto, d'ue "lear fuctoal", que ous appelos mateat forme léare. Il déft esute l'espace vectorel dual, qu'l ote V '. Das la secto suvate ("Brackets"), Halmos trodut ue otato, les crochets [ ], qu lu permettra plus tard de défr u élémet du bdual as que la trasposée, et égalemet de fare le le etre la trasposée et l'adjote d'ue applcato. Halmos déft as, pour ue forme léare y et u vecteur x, la otato [x,y] = y(x). Ces crochets défsset as ue "blear fuctoal" (forme bléare). Veet esute des exercces, proposés prcpalemet das le cadre aalytque. Toujours das ce premer chaptre, la secto 5 est ttulée " Dual bases". Tros théorèmes y sot présetés avec leur démostrato, et la défto de base duale, otée X = {y,,y } d ue base X = {x,,x }de V est doée : [x,y j ] = δ j (où δ j est le symbole de Kroecker, qu vaut u s = j et qu vaut zéro s j ). Quo qu l le démotre va la base duale, Halmos e metoe pas explctemet l exstece d u somorphsme etre u espace et so dual. La secto suvate est cosacrée à la réflexvté, c est-à-dre au fat qu u espace vectorel V est caoquemet somorphe à so bdual (V ) = V. Les crochets de dualté sot alors utlsés pour décrre u élémet du bdual : pour x 0 fxé das V, [x 0,. ] V. Halmos éoce et démotre le théorème cocerat la «atural correspodace», et explque ces termes. Il explque alors qu e dmeso fe, o peut detfer V à V et qu o peut se permettre de dre qu u élémet z 0 de V est le même que l élémet x 0 de V où l o a : z 0 (y) = [x 0,y] pour tout y das V. Il se permet doc l detfcato de la base du prmal avec la base duale de la base duale : X = X. La secto 7 est ttulée «Ahlators». La otato S 0 est utlsée pour l aulateur d u sous-esemble (pas écessaremet sous-espace) S de vecteurs de V. Halmos repred sous forme de théorème qu l démotre le fat que M 0 est u sous espace de dmeso (-m) s M est ue sous-espace de dmeso m de V, lu-même de dmeso. L detfcato fate à la secto précédete permet à l auteur d éocé et de démotrer que (M 0 ) 0 = M.. Des exercces clôturet la secto. Les deux sectos suvates sot cosacrées aux sommes drectes d espaces vectorels (défs sur le même champ) et à leurs dmesos. Les otatos <x,y> U V, sot adoptées. 20

25 Aexe 3. Tables des matères et descrpto de l O.M. globale/régoale das les mauels aalysés au chap.3 La secto 20 s ttule «Dual of a drect sum». L auteur utlse les résultats des deux sectos précédetes pour éocer et démotrer le théorème selo lequel s M et N sot des sous-espaces de l espace vectorels V, et s V =M N, alors M est somorphe à N 0 et N à M 0, et V = M 0 N 0. Des exercces termet la secto. Les deux sectos suvates sot cosacrées aux espaces quotets et à leurs dmesos. La otato U/M est utlsée pour désger l espace quotet de U modulo M. Ces deux sectos se clôturet par 5 éocés d exercces, dot le quatrème mplque le dual de U/M et M 0 [outl llustrato], et le derer travalle sur V V. La secto 23 s ttule «Blear Forms». S U et V sot deux espaces vectorels costruts sur le même champ, Halmos ote par w(x,y) la valeur d ue focto w e u élémet <x,y> de W = U V. Il trodut les termes «blear form (or blear fuctoal)» pour ue focto w défe sur W et à valeurs das les scalares. La dualté tervet das cette secto e tat qu outl-llustrato, e état u cas partculer de l espace V terveat das la défto d ue forme bléare. Les deux sectos suvates, «Tesor products» et «Product bases» fot référece au dual et aux formes bléares. La dualté tervet comme outl-défto pour le produt tesorel U V de deux espaces U et V de dmeso fe défs sur le même champ 5. Cela permet à l auteur d utlser les théorèmes évoqués das les sectos présetat la dualté et les formes bléares. Le premer chaptre se terme avec les sectos cosacrées aux permutatos, aux cycles, à la parté, aux formes multléares, aux formes alterées et aux formes alterées de degré maxmal. Les k-formes y sot metoées, mas sas référece explcte à la dualté. Le deuxème chaptre du lvre d'halmos, ttulé "Trasformatos", repred 27 sectos, umérotées de 32 à 58. L'auteur y déft, à la secto 32, les trasformatos léares. A la secto 37, l déft ue "matrce assocée sous certaes codtos à ue trasformato léare". A la secto 44, ttulée "Adjots", l écrt : "the lear trasformato A s called the adjot (or dual) of A ". Ce A' est ce que ous avos appelé f t, la trasformato "trasposée de f ". C'est das cette secto que l'auteur éoce et démotre les proprétés de la trasposée. La secto suvate de ce deuxème chaptre est ttulée "Adjots of projectos". Das ce cas partculer de "adjot" (trasposée), terveet de ouveau les aulateurs, état doé que "f E s the projecto o M alog N, the E' s the projecto o N alog M " (Halmos, 974; p.80). C'est à la f de cette secto qu'l déft la matrce assocée à la trasformato trasposée : "ths matrx [A'] s called the traspose of [A] " (Halmos, 974; p.8). Remarquos que, s l'auteur utlse le terme adjot ou dual pour ommer la trasformato trasposée, c'est be le terme traspose qu'l utlse pour désger la matrce assocé à la trasformato trasposée. O se rappelle que, hstorquemet, la matrce trasposée a été défe be avat que apparasse le cocept de trasformato trasposée (vor chaptre 2). Das la secto 46 cosacrée aux chagemets de base, Halmos utlse la dualté comme aaloge pour l terprétato du produt matrcel ; ce qu lu permet d trodure la oto de vecteurs covarats et cotravarats. La secto 49 du deuxème chaptre s'ttule "Rage ad ull-space", ce qu se tradut e fraças par mage et oyau. Les aulateurs terveet doc ecore das cette secto, 5 Vor chaptre, 2.. 2

26 et le théorème fodametal de l algèbre léare y est éocé et démotré (Halmos e doe pas de om au théorème). Remarquos que les exercces proposés à la f des sectos sot régulèremet proposés das le cadre de l'aalyse (opérateur dfféretel,...), ce qu 'est pas sas rappeler le cadre qu a perms de développer les otos lées au dual. La secto suvate de ce chaptre, ttulée "Rak ad ullty", fourt la défto du rag d'ue trasformato léare. La dualté y est ecore présetée sous forme d objet à travers le théorème affrmat que le rag d ue applcato et celu de sa trasposée sot égaux. Halmos présete das ce même théorème le fat que, pour ue applcato léare, la dmeso de so mage plus la dmeso de so oyau est égale à la dmeso de l espace de départ (appelé mateat le théorème du rag). La secto 5 ttulée "Trasformato of rak oe" cotet u théorème dot la démostrato utlse des bases duales [outl-démostrato]. O se red doc déjà compte à ce stade qu Halmos altere très hablemet les passages où l présete la dualté e tat qu objet avec les passages où la dualté est cosdérée comme u outl, avec des faltés varées. Le chaptre 3 est ttulé «orthogoalty». Après avor déf le produt scalare et l orthogoalté, Halmos aoce que l o peut mateat obter ue correspodace aturelle etre V et V : l éoce et démotre théorème de représetato de Resz (sas toutes fos lu doer ce om), fasat as le le etre les formes léares et le produt scalare. Grâce à ce théorème, Halmos déft auss u produt scalare sur V 6, à partr du produt scalare sur V. Le dual d u espace euclde (réel) ou utare (complexe) V, mu du produt scalare as déf est oté V *. Il y a doc u somorphsme cojugué aturel etre V et V *. Halmos présete esute l aaloge etre les crochets de dualté [.,.] et la otato utlsée pour le produt scalare (.,.). De même, avec l troducto du produt scalare, l aulateur M (sous-espace de V ou V *) est remplacé par l orthogoal M (sousespace de V ) ; la base duale d ue base X = {x,,x }de V est remplacée par ue base Y = {y,,y }de V telle que (x,y j ) = δ j. Halmos déft esute la trasformato léare A* par aaloge avec la trasformato trasposée A qu l avat défe das le chaptre 2. Rappelos qu Halmos appelat déjà A la trasformato adjote de A (et o pas trasposée). Il e doe pas de om partculer à A*. Il démotre esute que A=A**, alors que l o e pouvat écrre A=A qu e voquat le théorème de réflexvté. Le chaptre 4 est dédé à l aalyse, cadre prvlégé d applcato pour les otos d algèbre léare. E cocluso de cette aalyse, ous pouvos dre qu Halmos trodut rapdemet la dualté das so ouvrage. Il altere régulèremet les momets où l présete la dualté comme u objet et les momets où l utlse les thèmes de la dualté déjà troduts, que ce sot pour défr, trodure ou llustrer ue ouvelle oto ou pour démotrer ue proprété. Sas oubler les aaloges qu l fat à partr de la dualté. Pour Halmos, la dualté est tout auss aturellemet utlsée que le serat ue oto élémetare d algèbre léare, telle ue base ou ue applcato léare. 6 Soet y ', y2 ' V '. Par le théorème de Resz, l leur correspod les vecteurs y et y 2 das V. Halmos déft alors le produt scalare ( y ', y 2 ') comme état égal à ( y, y2) ( y2, y) =. 22

27 Aexe 3. Tables des matères et descrpto de l O.M. globale/régoale das les mauels aalysés au chap Le lvre d'escofer Le lvre d'escofer (674 pages) comporte tros partes, pouvat correspodre respectvemet aux tros premères aées d'uversté du parcours d'u étudat e mathématques e Frace. La premère parte, correspodat doc à la premère aée, présete l'algèbre léare, as que l'algèbre de base. Elle comporte 0 chaptres dot le derer est cosacré à la dualté. Après u avat propos das lequel l explque l'approche hstorque et gééralsatrce de so lvre, l'auteur cosacre quatre chaptres à la présetato de ce qu pourrat lu servr de cadre par la sute : le premer chaptre est cosacré aux équatos dfféretelles léares, le deuxème aux sutes récurretes léares, le trosème à l'espace vectorel R et le quatrème aux systèmes léares. Vet esute u chaptre ttulé "Gééraltés sur les espaces vectorels", suv d'u autre sur les "bases et dmeso". C'est das ce chaptre, à la secto 6.5 tratat de la "dmeso", que l'auteur déft u hyperpla d'u espace vectorel E comme état u sous-espace de dmeso -. Le chaptre 7 est cosacré aux applcatos léares. C'est à la secto 7.9 ("résoluto d'u système léare") de ce chaptre qu u p hyperpla est préseté comme état le oyau d'ue applcato léare f : R R, autremet dt, l hyperpla est déf par l'équato ax a x = 0. L auteur précse esute qu o peut cosdérer la résoluto d u système d équatos léares comme la détermato de l tersecto de la famlle d hyperplas défs par les équatos du système léare (p.23). Vet esute le chaptre 8 cosacré aux matrces. Le le etre matrce et applcato léare est fat d'emblée à l'etrée de ce chaptre, suv d'ue composate hstorque et d'exemples. S o y parle esute de matrce de la composée ou de matrce verse, l 'est cepedat pas fat meto de matrce trasposée, les bases pour trodure cette oto 'ayat pas ecore été posées. Le chaptre 9 se terme par la remarque suvate : Vers le chaptre 0 Voc le lecteur préveu! Le chaptre 9 terme ce qu'l semble rasoable d'eseger e premère aée de Lcece au sujet de l'algèbre léare actuellemet. Le chaptre 0 est u peu à part. Il présete des otos sur l'espace vectorel formé par les hyperplas d'u espace vectorel, appelé espace dual. Certas et certaes pourrot le trouver u peu dffcle, u peu abstrat; s sa seule lecture peutêtre dfférée jusqu'au chaptre 6, l semble plus à sa place c. (Escofer 2006, p.75). Remarquos cepedat que c'est à la f du chaptre 9 et par l'termédare de l'éocé d'u exercce que l'auteur déft la trasposée d'ue matrce M = (a j ) comme état la matrce t M = (a j ). Il revoe à la secto 5 du chaptre 0 (dualté) pour ue présetato de ces matrces. Le chaptre 0, cosacré à la "Dualté" e comporte que 3 pages, cluat des éocés et solutos d'exercces. Après ue troducto à caractère hstorque, l'auteur déft l'espace vectorel dual de E e dmeso fe. Il le ote E*, et déft das la foulée le bdual, E**. La secto 0.2 s'ttule "Formes léares et hyperplas". Ue proposto repred les les etre ces deux otos. La secto 0.3 est dédée à la oto de "Base duale". Escofer y doe, sas vramet le dre, l'expresso géérale d'ue forme léare. L'auteur p p 23

28 explque auss à la f de cette secto, que les coordoées des formes léares das la base duale permettet de travaller avec des formes léares e leu et place des équatos. Das la secto 0.4 ("Orthogoal d'u sous-espace"), l'auteur déft l'orthogoalté de formes léares et de vecteurs : ue forme léare f de E* et u vecteur u de E sot orthogoaux s f(u) = 0. Le terme orthogoal est explqué par le fat que les coordoées de u et f défsset das R des vecteurs orthogoaux pour le produt scalare usuel (l auteur revoe au chaptre 6 pour ces otos). Le terme aulateur est pas utlsé, Escofer lu préfère le terme orthogoal d u sous-espace F de E. Il le ote F. L auteur explcte esute les les etre forme léare de F, oyau et hyperpla. U exemple est doé avec 3 terprétato géométrque ( R ). Escofer déft esute l'orthogoal d'u sous-espace G de E* : { : ( ) 0} G = u E f G f u =. L terprétato de cette défto est esute égalemet fate e termes d hyperplas. Les proprétés qu suvet (dmeso et orthogoal d'orthogoal) sot chaque fos éocées pour les deux types d'orthogoal (d'u sous-espace de E ou de E*). Evdemmet, avec les déftos trodutes, o a les proprétés suvates : s F est u sous-espace de E et G u sous-espace de E* : ( F ) = F et ( G ) = G. Les otos sot llustrées par u exemple où 3 E =R, et le vocabulare utlsé est claremet géométrque. La secto 0.5 s'ttule "Trasposée d'ue applcato léare". Après ue défto formelle das le regstre géérque de l'algèbre léare, c'est le regstre graphque qu est utlsé pour "vsualser" la défto. L'auteur éoce et démotre das le regstre géérque algébrque la léarté de la trasposée d'ue applcato léare g, otée t g. Il utlse par cotre esute le regstre graphque pour explquer la trasposée d'ue composto de formes léares. La trasposée d'ue matrce est esute défe comme elle l'avat été das u éocé d'exercce stué la f du chaptre 9. La proposto suvat la défto fat alors le le etre la trasposée de l'applcato et la trasposto de la matrce de l'applcato, le tout préseté das le regstre géérque algébrque. Suvet esute des éocés d'exercces varés, tat au veau du statut des éocés que des cadres das lesquels ls sot formulés. Après la présetato de la dualté fate au chaptre 0, l faut attedre le chaptre 6 cosacré à l orthogoalté pour que ce secteur sot à ouveau metoé. O se stue alors, d après la classfcato de l auteur, das la deuxème aée d esegemet. A la secto 6.4, la trasposto d ue matrce est utlsée das l expresso du produt scalare : s ( e..., e ) est ue base d u espace euclde E, et que Φ = ( ) avec a =< e, e >, alors, a j j j t t < u, v >= U Φ V = V Φ U, où u, v sot des vecteurs de E, U et V état leurs matrces coloes assocées (repreat leurs coordoées das la base ( e,..., e ). A la secto 6.7 ttulée "Orthogoalté de sous-espaces", Escofer déft l orthogoal d u sous-espace F d u espace euclde E. Il s agt be etedu d u sousespace de E, et o de so dual. L artculato etre les formes léares et le produt scalare est fate à partr des formes bléares, ces derères ot été défes à la secto 6.2 : Sot E u espace euclde et sot u u vecteur o ul de E. Notos ϕ : E E R le produt scalare. Pour tout u de E, l applcato ϕu : v ϕ( u, v) est ue applcato léare de E das R.C est doc ue 24