Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de "Processus Stochastiques"

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Master 1ère année spécialité IMIS et Mathématiques Contrôle continu de "Processus Stochastiques""

Transcription

1 Master ère aée spécialité IMIS et Mathématiques Cotrôle cotiu de "Processus Stochastiques" 8 octobre 00 - Durée h Calculatrices et documets autorisés Exercice Jacques va tous les jours à so travail e emprutat le chemi a ou le chemi b. S il y a des ecombremets sur le chemi qu il emploie, il chage d itiéraire le ledemai. O suppose que le premier jour, il choisit a ou b avec équiprobabilité. Par ailleurs, la probabilité d ecombremets sur le chemi a est égale à /, et à / sur le chemi b.. Motrer que la situatio peut être modélisée à l aide d ue chaîe de Markov (homogèe) (X ) N à valeurs das fa; bg, dot o doera la matrice de trasitio P et la loi iitiale.. Calculer la probabilité p pour que le ième jour Jacques choisisse l itiéraire a.. Calculer les probabilités suivates : où N. q P a (X a; X b; X a) q P b (X a; X 4 bx a) q P a (X a; X ax b) q 4 P (X a; X + b; X + a) q P a (X a; X + b; X + a) q P a (X + a; X + bx a) q 7 P a (X a; X + ax + b) 4. (Idépedate des questios et ). Soiet T a at T b les temps d etrée respectifs das les états a et b où T x mi f 0 : X xg pour x fa; bg. (a) Pour N, exprimer l évéemet ft a > g à l aide de X 0, X,... E déduire la valeur de P (T a > ). De même, calculer P (T b > ). (b) Exprimer E (T a ) e foctio des P (T a > ) pour N. E déduire la valeur de E (T a ). De même, calculer E (T b ). Remarque : das tout l exercice, o demade de simpli er au maximum les résultats. O rappelle par ailleurs que + ( ) ( ) + ( ) + ( ) pour tous ; ]0; [ et tout N.

2 Exercice Deux persoes A et B jouet à u jeu. La fortue iitiale de A est k (0 k N), celle de so adversaire est N k. A chaque partie, le joueur A pred u Euro à so adversaire avec ue probabilité p ou lui doe u euro avec ue probabilité q, la probabilité d ue partie ulle état r (avec p; q > 0, r 0 et p + q + r ). Le jeu s arrête dès que l u des joueurs est ruié. Les di éretes parties sot supposées idépedates.. Motrer que l évolutio de la fortue du joueur A peut être modélisée à l aide d ue chaîe de Markov (homogèe) (X ) N, dot o doera l espace d états E, la matrice de trasitio P et la loi iitiale. (A de dé ir X pour tout N, o coviet que la fortue de A reste costate lorsque A ou B est ruié).. Soit T la durée du jeu, c est-à-dire le ombre total de parties jouées. Pour k f0; ; :::; Ng, soit u k P k (T < +) (où o rappelle que k est la fortue iitiale de A). (a) Doer les valeurs de u 0 et de u N. (b) Pour k f; ; :::; N g, doer ue relatio de récurrece etre u k, u k et u k+. (c) Calculer u k. (O pourra itroduire v k u k u k ).. (Idépedate de la questio ). Pour k E, o pose w k E k (T ). (O admettra que w k < + pour tout k E). (a) Trouver ue relatio de récurrece véri ée par w k. (b) E déduire la valeur de w k pour k E.

3 Correctio du cotrôle cotiu de "Processus Stochastiques" du 8 octobre 00 M metio IMIS et Mathématiques Exercice. Soit X le chemi qu il emprute le -ième jour. S il emprute a (resp. b) le -ième jour, la probabilité qu il chage de chemi le jour suivat est toujours (resp. ), idépedemmet de ce qui s est passé les jours strictemet atérieurs au -ième jour. E d autres termes, pour tous i 0 ; i ; :::; i ; i; j E où E fa; bg: avec P (X + jjx 0 i 0 ; X i ; :::; X i ; X i) P (X + jjx i) P (X jjx 0 i) ote P i;j P (P i;j ) i;je Ceci caractérise ue chaîe de Markov de matrice de trasitio P et de loi iitiale ; car le premier jour, il choisit a ou b avec équiprobabilité.. Pour et, o a :. P et p P (X a) (P ) (a) (a) P (a; a) + (b) P (b; a) 0. q P a (X a; X b; X a) P (a; a) P (a; b) P (b; a) 9 q P b (X a; X 4 bx a) P (X a; X bx 0 a) P (a; a) P (a; b)! q P a (X a; X ax b) P a (X a; X b; X a) P a (X b) q P (a; b) q 4 P (X a; X + b; X + a) P (X + b; X + ajx a) P (X a) P (a; b) P (b; a) p q P a (X a; X + b; X + a) P a (X + b; X + ajx a) P a (X a) P (a; b) P (b; a) P (a; a) q P a (X + a; X + bx a) q 7 7 q 7 P a (X a; X + ax + b) P a (X a; X + b; X + a) P a (X + b) q P + (a; b)

4 4 4. (a) O a : ft a > g fx 0 b; X b; :::; X bg. D où : (b) Exercice P (T a > ) P (X 0 b; X b; :::; X b) (b) P b (X b; :::; X b) (p (b; b)) + De même : P (T b > ) (a) (p (a; a)). D où : E (T a ) +X k0 +X i De même : E (T b ) P + 0 k P (T a k) P (T a > i ) +X E (T a ). k i +X 0 +X 0 P (T a k) P (T a > ) + +X +X i ki P (T a k). Soit X la fortue de A après la -ième partie. Pour i 0, i,..., i, i f; :::; N g et j f0; :::; Ng :. P (X + jjx 0 i 0 ; X i ; :::; X i ; X i) P (X + jjx i) P i;j 8 < p si j i + q si j i : r si j i et, pour i f0; Ng et j f0; :::; Ng : P (X + jjx 0 i; X i; :::; X i; X i) si j i P (X + jjx i) P i;j 0 sio (a) Lorsque la fortue du joueur vaut 0 ou N, aucue partie est jouée et T 0. O e déduit : u 0 P 0 (T < +) P 0 (0 < +) et u N de la même faço. (b) Pour k f; ; :::; N g, o a : u k P k (T < +jx k + ) P k (X k + ) + P k (T < +jx k ) P k (X k ) + P k (T < +jx k) P k (X k) Sur fx 0 kg avec k f; ; :::; N g : T if ( 0 : X f0; Ng) if ( : X f0; Ng) if ( m + tel que m + et X m+ f0; Ng) if ( m + tel que m 0 et X m f0; Ng) if (m tel que m 0 et X m f0; Ng) + T +

5 Pour k f; ; :::; N g, o a alors : P k (T < +jx k + ) P k (T + < +jx k + ) De la même faço : P k (T < +jx k + ) P k+ (T < +) d après la Pté de Markov faible u k+ (car T est mesurable / (X ; N) ) P k (T < +jx k ) u k et P k (T < +jx k) u k D où : u k p u k+ + q u k + r u k ou ecore (p + q) u k p u k+ + q u k car p + q + r. (c) D après (c) : q (u k u k ) p(u k+ u k ) c est-à-dire v k+ av k pour k f; ; :::; N g avec a q p. (O sait que q > 0). D où v k a k v pour k f; ; :::; Ng. Si a i.e. q p, o a doc : u k u 0 + v i + i i a i v + ak a v avec u N + an a v. D où : v 0 et u k. Pour q p, o obtiet : v k v, u k + kv avec u N + kv. D où : v 0 et u k. Aisi, das tous les cas, le jeu s arrête p.s... (a) Avec la otatio du cours : T S f0;ng 0. Comme o a vu que P k (T < +) pour tout k E, o a doc pour tout k N : NX E k (T ) + p(k; j) E j (T ) + q E k (T ) + r E k (T ) + p E k+ (T ) j i.e. w k + q w k + r w k + p w k+ ou ecore : (p + q) w k + q w k + p w k+ pour tous k N. (b) E utilisat w 0 0 et w N 0 et la suite t k w k w k, o trouve k N ak où a q p. w k ( q p k p (N a N si p q k) si p q

MA401 : Probabilités TD3

MA401 : Probabilités TD3 MA : Probabilités Exercice Ue compagie aériee étudie la réservatio sur l u de ses vols. Ue place doée est libre le jour d ouverture de la réservatio et so état évolue chaque jour jusqu à la fermeture de

Plus en détail

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3.

On peut représenter la situation par un arbre : On a donc p(b 1 B 2)= p(b 1) p (B ) = 3 4 = 3. T ale S Correctio Exercices type bac de Probabilités. Mars Exercice : Ue ure cotiet au départ 0 boules blaches et 0 boules oires idiscerables au toucher. O tire au hasard ue boule de l ure : Si la boule

Plus en détail

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5

Correction du devoir surveillé de mathématiques n o 5 Correctio du devoir surveillé de mathématiques o 5 Exercice 1 1. Soit g la foctio défiie sur R par g(x) = (x 1)e x. (a) Détermier les ites de g e et +. Limite e. O a ue forme idétermiée. E développat,

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

2 Exercice 15 : les intégrales de Wallis

2 Exercice 15 : les intégrales de Wallis Exercice sur les itégrles Exercice 5 : les itégrles de Wllis O pose si xdx ) Clculer I et I ) Motrer que l suite ( ) coverge 3) Etblir ue formule de récurrece etre et 4) Motrer que le produit ( + ) + est

Plus en détail

E(X i ) par linéarité de l espérance.

E(X i ) par linéarité de l espérance. Statistiques appliquées. L3 Iterrogatio Questios de cours. 3 poits 1) Eocer le théorème cetral limite (1 pt). Si (X ) est ue suite de v.a. idépedates et de même loi, admettat des momets d ordre u et deux

Plus en détail

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède).

f(t)dt = 0. On pose a = min f et b = max f. 0 1 + x 2 dx = 3 + 1 7 π. 2) En déduire un encadrement de π (meilleur que celui d'archimède). #4 Itégrale de Riema Khôlles - Classes prépa Thierry Sageaux, Lycée Gustave Eiel Exercice Soit f ue foctio cotiue sur [, ] telle que Motrer que f ab f(t)dt = O pose a = mi f et b = max f Exercice x ) Motrer

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3 LES SUITES. Défiitio.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique et u désige l'image de l'etier (appelé

Plus en détail

Centre Régional des Métiers de l Éducation et de la Formation MARRAKECH

Centre Régional des Métiers de l Éducation et de la Formation MARRAKECH R O Y A U M E D U M A R O C Miistère de l Educatio Natioale et de la Formatio Professioelle Cetre Régioal des Métiers de l Éducatio et de la Formatio Académie Régioale de l Éducatio et de la Formatio Marrakech-Tesift

Plus en détail

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations

Feuille 2 : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissements finis, étude des variations UPMC 1M001 Aalyse et algèbre pour les scieces 013-014 Feuille : dérivabilité, théorème de Rolle et des accroissemets fiis, étude des variatios Les eercices sas ( ) sot des applicatios directes du cours.

Plus en détail

Automates 1 Présentation

Automates 1 Présentation Automates Présetatio Présetatio d u automate 2 Ue maière de désiger l automate de l exemple 3 Défiitio géérale 4 U exemple d automate 5 Mot costruit sur l alphabet C 6 L esemble de tous les mots das u

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france. Exo7 Applicatios liéaires cotiues, ormes matricielles Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr Exercice * * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile

Plus en détail

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001

BTS BIOCHIMIE & ANALYSES BIOLOGIQUES 2001 Exercice 1 : ( 12 poits ) Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet l ue de l autre. O se propose d étudier l évolutio e foctio du temps des températures d u bai et d u solide plogé das ce bai.

Plus en détail

Questions pour un champion en ligne

Questions pour un champion en ligne Questios pour u champio e lige Le jeu télévisé QPUC préseté sur FR3 et aimé par Julie Lepers existe aussi e variate «e lige». U jeu «e lige» se déroule aisi : Six iterautes disputet ue première mache dite

Plus en détail

INF582 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wiener

INF582 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wiener INF58 : Cryptologie Attaque de clés RSA par la méthode de Wieer Nicolas DOUZIECH - Thomas JANNAUD - X005 9 mars 008 Table des matières Quelques rappels sur le cryptosystème RSA Pricipe de l attaque de

Plus en détail

et arctanx + arctan 1 x = sgn(x)π 2. 3. Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres.

et arctanx + arctan 1 x = sgn(x)π 2. 3. Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres. Eo7 Foctios circulaires et hyperboliques iverses Correctios de Léa Blac-Ceti. Foctios circulaires iverses Eercice Vérifier arcsi + arccos π et arcta + arcta sgπ. Idicatio Correctio Vidéo [00075] Eercice

Plus en détail

Feuille d exercices 5

Feuille d exercices 5 Mathématiques Physique S3, 205/206 Uiversité Blaise Pascal Feuille d exercices 5 Ex.. Tracer le graphe des foctios périodiques suivates, doer leur développemet e série de Fourier et discuter la covergece

Plus en détail

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan.

Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons représentative de f dans un repère du plan. Foctio réciproque d'ue octio cotiue, d'ue octio dérivable FNCTIN RECIPRQUE D'UNE FNCTIN CNTINUE, D'UNE FNCTIN DERIVABLE EXEMPLES N SE LIMITERA AUX FNCTINS NUMERIQUES DEFINIES SUR UN INTERVALLE DE R Notatios

Plus en détail

Université de Picardie Jules Verne 2006-2007 Faculté de Mathématiques et d Informatique

Université de Picardie Jules Verne 2006-2007 Faculté de Mathématiques et d Informatique Uiversité de Picardie Jules Vere 006-007 Faculté de Mathématiques et d Iformatique Licece metio Mathématiques - Deuxième aée - Semestre 4 Probabilités Elémetaires Exame du ludi 4 jui 007 Durée h00 Documet

Plus en détail

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes.

Polynésie Septembre 2002 - Exercice On peut traiter la question 4 sans avoir traité les questions précédentes. Polyésie Septembre 2 - Exercice O peut traiter la questio 4 sas avoir traité les questios précédetes Pour u achat immobilier, lorsqu ue persoe emprute ue somme de 50 000 euros, remboursable par mesualités

Plus en détail

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski Dossier : Actualité de l Aalyse e Lycée 447 Qu est-ce qu u bo éocé de bac? Aalyse de l exercice de spécialité de TS de Podichéry 2013 Jacques Lubczaski «Podichéry est tombé!» : cela ressemble à l aoce

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Suites géométriques suite géométrique suite géométrique de raison q

Suites géométriques suite géométrique suite géométrique de raison q Sites géométriqes Itrodctio : M. Fiace dispose d e somme de 5 FF et désire faire frctifier so pactole ; por cela il va voir so baqier qi li propose de optios : e agmetatios forfaitaire, aelle, de 5 F =

Plus en détail

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov AME Dossier : Matrices et suites 545 romeades aléatoires : vers les chaîes de Markov ierre Griho (*) Cet article propose ue mise e perspective de la otio de promeade ou de marche aléatoire itroduite das

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Terminale S (2014-2015) Suites numériques

Terminale S (2014-2015) Suites numériques Termiale S (04-05) Suites umériques Raisoemet par récurrece. Itroductio E Mathématiques, u certai ombre de propriétés dépedet d u etier aturel. Par exemple, la ( + ) somme des etiers aturels de à est égale

Plus en détail

CORRECTION DU BAC BLANC 2

CORRECTION DU BAC BLANC 2 CORRCTION DU BAC BLANC 2 XRCIC 1 (6 poits) Baccalauréat ST Mercatique Podichéry - 2010 Deux tableaux sot doés e aexe : le premier doe l évolutio du prix du mètre carré das l immobilier résidetiel acie

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I

SESSION Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE. Epreuve de Mathématiques B PSI. Exercice I SESSION 9 Cocours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE E3A Epreuve de Mathématiques B PSI Exercice I ) rga) 3 < 4 et doc A / GL 4 R) Par suite, est valeur propre de A ) Soit U Puisque la somme des coefficiets

Plus en détail

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A Iformatique TP : Calcul umérique d ue itégrale CPP 1A Romai Casati, Wafa Johal, Frederic Deveray, Matthieu Moy Avril - jui 014 1 Zéro de foctio O doe le code suivat (vu e cours), qui permet de calculer

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice 1 - Loi d u dé truqué - Deuxième aée - 1. X pred ses valeurs das {1,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque

Plus en détail

4. Calculer en utilisant une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

4. Calculer en utilisant une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. 1S DS o 1 Durée : h Exercice 1 ( 7 poits ) 1. La suite (u ) est défiie pour tout etier aturel par u = 3 + est-elle arithmétique? Pour tout etier aturel, o a : u +1 = ( + 1) 3( + 1) + = + + 1 3 3 + = La

Plus en détail

Analyse 5 SUITES REELLES

Analyse 5 SUITES REELLES Aalyse chap 5 /6. GENERALITES SR LES SITES. Défiitios Défiitio : e suite est ue foctio, défiie sur ue partie D de. O ote () =, o lit «idice». O dit que est le terme gééral de la suite, ou terme de rag.

Plus en détail

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES PROBABILITES EXERCICES CORRIGES Vocabulaire des probabilités Exercice. Das chacue de situatios décrites ci-dessous, éocer l évéemet cotraire de l évéemet doé. ) Das ue classe, o choisit deux élèves au

Plus en détail

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES

PROBABILITES EXERCICES CORRIGES PROBABILITES EXERCICES CORRIGES Vocabulaire des probabilités Exercice. Das chacue de situatios décrites ci-dessous, éocer l évéemet cotraire de l évéemet doé. ) Das ue classe, o choisit deux élèves au

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

LSM 3.053 Informatique - Statistique : TP n 1 et 2

LSM 3.053 Informatique - Statistique : TP n 1 et 2 LSM.05 Iformatique - Statistique : TP et Ce TP couple les otios de statistiques descriptives abordées e cours avec l'utilisatio avatageuse du tableur Excel. Le tableur est utilisé pour effectué les calculs

Plus en détail

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice

Mots de longueur donnée à base de P lettres, et fonction génératrice Mots de logueur doée à base de lettres, et foctio géératrice Cosidéros les mots de logueur à base de lettres, avec etier positif. ) Combie existe-t-il de tels mots? La première lettre du mot est l ue des

Plus en détail

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications

Développement d une fonction en série entière. Exemples et applications Développemet d ue foctio e série etière Exemples et applicatios Das ce chapitre, K désigera R ou C B(; R) désigera la boule ouverte de cetre et de rayo R > 1 Gééralités Défiitio 1 Soit f ue applicatio

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL

Corrigé du baccalauréat Polynésie 16 juin 2014 STI2D STL spécialité SPCL Corrigé du baccalauréat Polyésie 6 jui 4 STID STL spécialité SPCL EXERCICE 4 poits Cet eercice est u questioaire à choi multiples. Pour chacue des questios suivates, ue seule des quatre réposes proposées

Plus en détail

SUITES et SERIES DE FONCTIONS

SUITES et SERIES DE FONCTIONS UE7 - MA5 : Aalyse SUITES et SERIES DE FONCTIONS I Suites de foctios à valeurs das È ou  Etat doé u esemble E, ue suite de foctios umériques défiies sur E est la doée, pour tout etier, d'ue applicatio

Plus en détail

Temps moyen de lecture par page (exercice compris) : 10 minutes

Temps moyen de lecture par page (exercice compris) : 10 minutes MOTS BINAIRES Mots biaires de logueur 2 Rappel : le logarithme e base b 3 Le choix de la logueur des mots biaires 4 Calculs avec les mots de logueur 5 Le poids d u mot biaire de logueur 6 La distace de

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot

Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot Septembre 2 CPI 37 Exercices Agès Bachelot Table des matières - Séries Numériques.......................................... 3 - Séries à termes positifs.................................... 3-2 Séries quelcoques......................................

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN

DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN DT - CONSTRUCTION DE L EXPONENTIELLE ET DU LOGARITHME NEPERIEN Das ce qui suit, o utilisera des argumets élémetaires et o e suppose aucue coaissace des foctios exp et l Ce qui suit sert à les défiir comme

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 mai 07 Eocés Calcul de ites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la ite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = + + d u =

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015)

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015) Mohiieddie Beayad Cocours de l Iscae Épreuve Commue de Mathématiques (5) Voici l éocé de l épreuve commue de Mathématiques du cocours d etrée à l ISCAE de l aée 5, aisi que l itégralité du corrigé. Les

Plus en détail

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose

Exercice 6 [ ] [Correction] Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs. On suppose [http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 ovembre 07 Eocés Calcul de limites Exercice [ 054 ] [Correctio] Détermier la limite, si celle-ci existe, des suites u suivates : a u = 3 3 + b u = + + + c u = +

Plus en détail

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.

x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3. EXERCICE 3 (6 poits ) (Commu à tous les cadidats) Il est possible de traiter la partie C sas avoir traité la partie B Partie A O désige par f la foctio défiie sur l itervalle [, + [ par Détermier la limite

Plus en détail

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique

Équations différentielles - Cours no 6 Approximation numérique Équatios différetielles - Cours o 6 Approximatio umérique 1 Itroductio De très ombreux problèmes scietifiques sot mis e équatio à l aide d u système d équatios différetielles ẋt) = ft, xt)) voir par exemple

Plus en détail

Cours 4 SUITES DE NOMBRES RÉELS

Cours 4 SUITES DE NOMBRES RÉELS Cours 4 SUITES DE NOMBRES RÉELS A/ GÉNÉRALITÉS 1. Défiir ue suite de ombres réels Ue suite u de ombres réels, est ue foctio défiie sur N qui, à chaque etier aturel, associe u ombre oté u. Ce ombre u s

Plus en détail

Introduction aux tests statistiques

Introduction aux tests statistiques Itroductio aux tests statistiques Philippe Boeau 27 septembre 2006 Chapitre 1 Élémets de probabilités Exercice 1 O ote E l esemble des etiers aturels iférieurs ou égaux à 12 et A (respectivemet B et C)

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

SAINT-CYR. MATHEMATIQUES 1 - Epreuve commune Options M, P, T, TA

SAINT-CYR. MATHEMATIQUES 1 - Epreuve commune Options M, P, T, TA SESSION 993 SAINT-CYR MATHEMATIQUES - Epreuve commue Optios M, P, T, TA PREMIÉRE PARTIE ) Les polyômes L 0,, L sot + polyômes de R [X] qui est de dimesio + Pour vérifier que la famille (L i ) 0 i est ue

Plus en détail

Convergence de suites réelles

Convergence de suites réelles DOMAINE : No olympique AUTEUR : Nicolas SÉGARRA NIVEAU : Itermédiaire STAGE : Motpellier 2014 CONTENU : Cours et exercices Covergece de suites réelles I) Rappels et otios de base. Défiitio 1. Ue suite

Plus en détail

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 SESSION 2005 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES PREMIER EXERCICE a. T (x + y dxdy = = ( y= (x + y dy y= x dx = ((x + 2 ( x2 + x2 2 dx = T (x + y dxdy = 4 3. [xy +

Plus en détail

Université Paris-Dauphine Année 2008-2009 U.F.R. Mathématiques de la décision L3 - Statistique Mathématique. Examen

Université Paris-Dauphine Année 2008-2009 U.F.R. Mathématiques de la décision L3 - Statistique Mathématique. Examen Uiversité Paris-Dauphie Aée 28-29 U.F.R. Mathématiques de la décisio L3 - Statistique Mathématique Exame Durée 2h. Le barême est doé à titre idicatif. Exercice : 5 poits) Soit X,...,X ) u échatillo de

Plus en détail

Chapitre 5 : Suites classiques

Chapitre 5 : Suites classiques Chapitre 5 : Suites classiques Objectifs : Révisios sur les suites arithmétiques et géométriques. Révisio du théorème de croissace comparée. Savoir exprimer e foctio de les termes d ue suite récurrete

Plus en détail

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont :

Estimation. Exemple Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BTS OL en France pour l année 2014 sont : Estimatio Objectifs Estimer poctuellemet ue proportio, ue moyee ou u écart type d ue populatio à l aide de la calculatrice ou d u logiciel, à partir d u échatillo Détermier u itervalle de cofiace à u iveau

Plus en détail

Quelques inégalités classiques

Quelques inégalités classiques Quelques iégalités classiques O se propose de motrer, sous forme d exercices, quelques iégalités classiques. Les preuves de ces iégalités e écessitet que quelques coaissaces élémetaires.. Exercices classiques

Plus en détail

Une définition de la fonction exponentielle dans l esprit des nouveaux programmes

Une définition de la fonction exponentielle dans l esprit des nouveaux programmes 1 Ue défiitio de la foctio expoetielle das l esprit des ouveaux programmes 0. Itroductio. Les ouveaux programmes de mathématiques de termiale S qui sot etrés e vigueur à la retrée 2002 icitet fortemet

Plus en détail

MAT 452 Analyse Fonctionnelle ( ) Correction exercice 5 / Feuille d exercices n 3

MAT 452 Analyse Fonctionnelle ( ) Correction exercice 5 / Feuille d exercices n 3 MAT 45 Aalyse Foctioelle (6-7) Correctio exercice 5 / Feuille d exercices 3 Soit H u espace de Hilbert complexe séparable et D u sous-espace quelcoque de H. O se doe u opérateur liéaire A : D H. O appelle

Plus en détail

Suites numériques : définition générale.

Suites numériques : définition générale. 1 Suites arithmétiques Suites umériques : défiitio géérale.... Le pricipe de récurrece... 3 Suites arithmétiques... 4 Formule 1 des suites arithmétiques... 5 Appreos à compter... 6 Formule des suites arithmétiques...

Plus en détail

EPREUVE DE RAISONNEMENT LOGIQUE ET MATHEMATIQUE

EPREUVE DE RAISONNEMENT LOGIQUE ET MATHEMATIQUE EPREUVE DE RAISONNEMENT LOGIQUE ET MATHEMATIQUE Nombre de pages de l épreuve Durée de l épreuve 0 pages 3h00 Compte teu du fait qu il s agissait d u cocours d etraiemet, cette épreuve à été prise sur le

Plus en détail

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points)

Exercice 2 (Séries de fonctions - 7 points) INSA Toulouse, STPI, IMACS 2 mercredi 18 décembre 212 Correctio exame d'aalyse I (coquilles probables) Exercice 1 (Séries etières - 5 poits) Calculer le rayo de covergece et le domaie de covergece simple

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. u k SÉRIES NUMÉRIQUES K désige le corps R ou C. Gééralités. Défiitios Défiitio. Série Soit (u ) 0 ue suite umérique (i.e. à valeurs das K). O appelle série de terme gééral u la suite (S ) 0 où 0, S = u k Cette

Plus en détail

Etude de la fonction ζ de Riemann

Etude de la fonction ζ de Riemann Etude de la foctio ζ de Riema ) Défiitio Pour x réel doé, la série de terme gééral,, coverge si et seulemet si x >. x La foctio zeta de Riema est la foctio défiie sur ], [ par : ( x > ), = x. Remarque.

Plus en détail

Plan du cours. 1 Jeux à deux joueurs à somme nulle. 4 Théorème du MINIMAX en stratégies mixtes. 3 stratégies mixtes

Plan du cours. 1 Jeux à deux joueurs à somme nulle. 4 Théorème du MINIMAX en stratégies mixtes. 3 stratégies mixtes Pla du cours Cours 8 : Alicatios ratiques de la rograatio liéaire Christohe Gozales LIP6 Uiversité Paris 6, Frace 1 Jeux à deux joueurs à soe ulle 2 Théorèe du MINIMAX e stratégies ures 3 stratégies ixtes

Plus en détail

Loi de Bernoulli et loi binomiale, cours, première S

Loi de Bernoulli et loi binomiale, cours, première S Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, classe de première S Loi de Beroulli et loi biomiale, cours, première S 1 Loi de Beroulli Déitio : Soit p u ombre réel tel que p [0; 1]. Soit X ue variable aléatoire.

Plus en détail

Soit n un entier supérieur ou égal à 0. On note b n la proportion des adhérents ayant un abonnement de type. l année n.

Soit n un entier supérieur ou égal à 0. On note b n la proportion des adhérents ayant un abonnement de type. l année n. Amérique du Nord Mai 1 Série ES Exercice U club de sport propose à ses adhérets deux types d aboemets : l aboemet de type A qui doe accès à toutes les istallatios sportives et l aboemet de type B qui,

Plus en détail

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k.

1 + t = t. a 6 n ln 1 + a. Suite a : On utilise une relation de Chasles (même terme mais sur des ensembles d indices distincts) ! 1 # 1. 1 k. PHEC Correctio feuille d exercices 00-006 correctio de l exercice t. 8t R + ; + t 6 l( + t) 6 t : Pour cela, o itroduit les foctios f : t 7 l( + t) t et g : t 7 t l( + t) + t dé ies sur [0; +[ et o étudie

Plus en détail

Rappels. A-Oukhai Suites géométriques 2 e Science

Rappels. A-Oukhai Suites géométriques 2 e Science A-Oukhai Suites géométriques e Sciece Rappels Pour motrer que u est ue suite géométrique : Soit o exprime u +1 e foctio de u et o doit trouver ue relatio de la forme u +1 qu où q est u réel qui e déped

Plus en détail

Chapitre 2. Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques

Chapitre 2. Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques Chapitre Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques Nous allos ici rappeler les différets résultats sur les suites de ombres réels qui sot des suites arithmétiques ou des suites géométriques

Plus en détail

Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations

Partie I : Résultats généraux sur les matrices stochastiques - Illustrations 8-8- JFC p EM LYON S JF COSSUTTA Lycée Marceli BERTHELOT SAINT-MAUR jea-fracoiscossutta@waadoofr PROBLÈME Partie I : Résultats gééraux sur les matrices stochastiques - Illustratios Remarque Das la suite

Plus en détail

I. (2 points) III. (2 points)

I. (2 points) III. (2 points) ère S Cotrôle du vedredi 7 mars 05 (0 mi) Préom : Nom : Note : / 0 II ( poits) Soit ABC u triagle isocèle e A tel que AB AC 8 cm et BC 5 cm O ote I le milieu de [AC] Calculer BI (valeur exacte) I ( poits)

Plus en détail

DS 2 Correction. (question de cours 2 points) Énoncer le théorème de Rolle. 1 n n n. lim u n = 1.

DS 2 Correction. (question de cours 2 points) Énoncer le théorème de Rolle. 1 n n n. lim u n = 1. icolas.laillet@imj-prg.fr DS 2 Aalyse Exercice 1 (questio de cours 2 poits Éocer le théorème de Rolle. Soiet a, b deux réels avec a < b, soit f ue foctio à valeurs réelles, cotiue sur [a, b] et dérivable

Plus en détail

Les suites récurrentes à convergence lente

Les suites récurrentes à convergence lente Les suites récurretes à covergece lete Daiel PERRIN 0. Itroductio. Je me propose d écrire ue sorte de bila sur la covergece des suites u + = f(u ), avec f de classe C au mois, vers u poit fixe α, das le

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTE DE LIGNE. Partie I

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTE DE LIGNE. Partie I CONCOURS DE RECRUTEMENT D ELEVES PILOTE DE LIGNE ANNEE 14 EPREUVE DE MATHEMATIQUES Partie I Questio 1 : Explicatio 1 : I GL R et I GL R mais I I = / GL R. Doc GL R est pas u sous-espace vectoriel de M,

Plus en détail

Dénombrement. Le nombre de p-listes d éléments distincts d un ensemble à n éléments est Le nombre d injections de E p dans F n : (n p) :

Dénombrement. Le nombre de p-listes d éléments distincts d un ensemble à n éléments est Le nombre d injections de E p dans F n : (n p) : Filière E Deis Pasquigo Résumé du cours : 1. Esembles fiis Déombremet Défiitios E et F sot équiotets si il existe ue bijectio de E sur F. E est déombrable si E est équiotet à N. E est u esemble fii si

Plus en détail

Développements limités

Développements limités [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 0 juillet 04 Eocés Développemets limités Calcul de développemets limités Eercice [ 0447 ] [correctio] Détermier les développemets limités suivats : a) DL 3 (π/4)

Plus en détail

Chapitre 3: Réfraction de la lumière

Chapitre 3: Réfraction de la lumière 2 e B et C 3 Réfractio de la lumière 16 Chapitre 3: Réfractio de la lumière 1. Expériece 1 : tour de magie avec ue pièce de moaie a) Dispositio Autour d'ue petite boîte coteat ue pièce de 1 de ombreux

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2017 Correction de l Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2017 Correction de l Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blac Termiale L - Février 2017 Correctio de l Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) 1. Depuis le 28 jui 2007, la ville de Bordeaux a été classée au patrimoie modial

Plus en détail

CONCOURS BLANC 1 SCI 2

CONCOURS BLANC 1 SCI 2 CONCOURS BLANC SCI Durée : 4 heures Aucu istrumet de calcul est autorisé Aucu documet est autorisé Les étudiats sot ivités à soiger la présetatio de leur copie EXERCICE : CCP 05 CCP : cocours commus polytechiques

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

Exercices de Khôlles de Mathématiques, second trimestre

Exercices de Khôlles de Mathématiques, second trimestre Exercices de Khôlles de Mathématiques, secod trimestre Lycée Louis-Le-Grad, Paris, Frace Igor Kortchemski HX 2-2005/2006 Exercices particulièremet itéressats : - Exercices 2., 2.2 - Exercice 3. - Exercice

Plus en détail

Fiche Diagonalisation des Matrices 2x2

Fiche Diagonalisation des Matrices 2x2 Fiche Diagoalisatio des Matrices x MOSE 1003 4 Septembre 014 Table des matières Motivatio, puissaces d ue matrice 1 Diagoalisatio Vérificatio avec Scilab 3 Puissace 4 Motivatio, puissaces d ue matrice

Plus en détail

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008

Sup Galilée - Maths pour l Ingénieur Corrigé du Partiel du 19 Novembre 2008 Sup Galilée - Maths pour l Igéieur Corrigé du Partiel du 9 Novembre 008 Étude d ue suite récurrete Soit u 0 ]0, [ O cosidère la suite (u ) défiie par u + u 3 u ) Justifier que la suite u est borée O motre

Plus en détail

Séquence 1. Suites numériques

Séquence 1. Suites numériques Séquece Suites umériques Objectifs de la séquece Recoaître des situatios faisat iterveir des suites géométriques ou des suites arithmético-géométriques. Modéliser ces situatios par des suites géométriques

Plus en détail