Le papyrus Rhind, retrouvé en 1857, est rédigé en

Transcription

1 QCM Détemie la (o les) boe(s) épose(s) état etie atel, est égal à : état etie atel, b l est égal à : b l a b c a b c est égal à : a b c Si po tot etie A^h #, alos : a A^h b A ^ h # c A^ h A^h 9 Ov légede éseve QCM Détemie la boe épose Soit la site défiie s N pa : Alos po tot etie : Soit v la site défiie s N pa : v # Alos po tot etie : Vai o fa? Pécise si les affimatios sivates sot vaies o fasses b v v est costat ; v c est idépedat de v a b c # a v # v b v # v c v 9 # v O epésete cicote la doite qi a po éqatio y f ^h et les pemies temes de la site défiie pa et po tot etie H, f ^h a Po tot etie H,, b c Po tot etie o l, est costat d Po tot etie H,, La site v a po teme gééal v # Po tot etie : v a ; v y y Les sites aithmétiqes et géométiqes sot tilisées das de ombe domaies A fil d temps E écoomie, ces sites sot tilisées pa eemple po calcle les mesalités d Ue loge histoie embosemet de pêt Le papys Rhid, etové e 87, est édigé e Maths E photogaphie, patot tete les ovetes de A fil d temps av JC pa le scibe égyptie Ahmès ; celici pécise q il ecopie des écits datat de as diaphagme fomet e site géométiqe A fil lettie E physiqe et e SVT, la datatio a Le Façais Plsies Piee des de poblèmes Femat () qi y sot décits tiliset des caboe fait itevei des sites met e p «pogessios» aithmétiqes et géométiqes Ces qalificatifs, «aithmétiqe» et «géométiqe», sot tès acies : ils sot ds a pythagoicies, a vi e siècle av JC géométiqes O a aisi p date les débts de l at peste ete et as avat ote èe Ov légede oi Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes

2 Activité Das e etepise, l atelie et les bea sot istallés das le même bâtimet o isolé L activité de l atelie géèe des bits tès gêats po les bea Po les attée, o décide d istalle des plaqes d isolatio phoiqe, qi pemettet égalemet d isole themiqemet la pièce Avat le istallatio, l itesité d bit à l itéie BA Mosse isolate d bea est de db (pa impact) et la cosommatio aelle de chaffage est de Chaqe plaqe est composée de de plaqes de placo BA Chace de ces plaqes a e épaisse de mm et dimie de db l itesité d bit O isèe, ete ces de plaqes de placo, des coches de mosse isolate, chace d épaisse mm L ajot d e coche pemet : de dimie de 9 db l itesité d bit ; de édie de, % la cosommatio aelle de chaffage Le ombe de coches itemédiaies e pet dépasse di ités Qelles sot l itesité d bit à l itéie d bea et la cosommatio aelle de chaffage losq o isèe e coche de mosse isolate? De coches de mosse isolate? O appelle le ombe de coches isolates iséées ; aisi, G G O ote : l itesité d bit à l itéie d bea, e db (décibel) ; v la cosommatio aelle de chaffage, e eo a Doe les vales de et v b Die si chace des affimatios sivates est vaie o fasse Jstifie la épose Po tot etie G, 9 Po tot etie G, v, 97 # v Po tot etie G, 9 Po tot etie G, v v, # v Po tot etie G, v, 97 # Les sites et v ot même ses de vaiatio Le bit à l itéie d bea sea acceptable si so itesité est iféiee à db a Détemie le ombe miimal N de coches de mosse à isée po obtei e itesité acceptable b Qel est le pocetage de dimitio de la cosommatio aelle de chaffage po N coches de mosse iséées? c Si l etepise sohaite édie de % sa cosommatio aelle de chaffage, combie a miimm doitelle mette de coches de plaqes isolates? Le saviezvos? E 998, décet s l itesité d bit das les lie pblics a fié des seils comme ivea sooe maimm acceptable pa la poplatio db seil de la dole 9 db seil de dage 8 db seil de isqe db seil d adibilité db(a) Échelle d bit (e db) avio a décollage cocet discothèqe klao estaat scolaie atomobile salle de classe feête s e éoliee salle de séjo chambe à coche vet lége Activité O se popose de calcle la somme : S f po H O sohaite calcle S O popose po cela le dessi cicote Epliqe commet celici pemet de calcle S Refaie dessi po obtei S Gééalise la démache et epime S e foctio de Le saviezvos? Le pofesse de Cal Fiedich Gass avait demadé jo à ses élèves de calcle la somme des cet pemies ombes eties, afi de soffle pe Cal Fiedich Gass, alos âgé de hit as, aait, qelqes secodes pls tad, aocé le ésltat Il avait imagié la somme des ombes écite das l ode coissat des temes, pis das l ode décoissat des temes, et aisi tové le ésltat tès apidemet Cal Fiedich Gass (7778), mathématicie, astoome et physicie allemad Activité O dit q élémet est adioactif si la stcte de ses atomes est istable : il se tasfome alos e ate élémet pls stable, e émettat des ayoemets qi pevet ête tès éegétiqes Aisi, pa eemple, le «poloim», adioactif, se modifie po devei d plomb, stable O mese la «vitesse» de cette tasfomatio e tilisat la otio de «péiode» d élémet adioactif : c est la dée écessaie po qe la moitié des atomes de l élémet se soit tasfomée e élémet difféet L ode de gade d e péiode est tès vaiable d élémet adioactif à l ate : $ 7 secode po le «poloim» et, milliads d aées po l aim 8 O admet qe la péiode d «poloim» est de jos U échatillo coteait gamme de «poloim» le e javie Combie de «poloim» esteatil 7 jos pls tad? Apès combie de temps esteatil, g de «poloim»? O appelle la masse, e gammes, de «poloim» estat das l échatillo apès l écolemet de péiodes Détemie e elatio de écece liat et Applicatio : datatio a caboe Po date les estes d ête vivat, o pet tilise la méthode dite «a caboe» Le caboe ^Ch est adioactif, il se tasfome e caboe ^ Ch stable, la péiode état d evio as Chez ête vivat, le caboe se épatit ete C et C e popotio costate, d fait de la espiatio Dès la mot, le C péset se tasfome e C pa adioactivité La compaaiso de la popotio pésete das des estes ogaiqes avec la popotio coe à l état vivat pemet la datatio (sos cetaies coditios) Aisi, pa aalyse d chabo de bois empisoé sos la lave, o pet affime qe la deièe éptio de la chaîe des Pys das le Massif cetal date de 8 as evio U ossemet date de as Compae la qatité de C q il cotiet à celle q il coteait iitialemet La popotio de C das e statette e bois est hit fois moide qe la popotio obsevée s le bois vivat À combie peto date cet objet? Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes

3 Das tot le chapite, les eties cosidéés sot atels Défiitio O dit q e site est aithmétiqe si, à pati de so pemie teme, chaqe teme est obte e ajotat a pécédet même ombe Aisi, il eiste éel tel qe po tot etie, ffff Le ombe est appelé aiso de la site aithmétiqe ; il est égal à la difféece ete de temes coséctifs qelcoqes : po tot etie, Théoème Soit e site aithmétiqe de aiso Alos po tot etie, # Pls gééalemet, po tos eties p et k, ^p kh D É M O N S T R A T I O N À pati de, o obtiet e ajotat fois la aiso : p k # f # temes O a alos p p # et k k # Doc p k p # k # ^p kh #, soit ^p kh p k # Théoème Soit e site aithmétiqe de aiso Si, la site est stictemet coissate Si, la site est stictemet décoissate Si, la site est costate Voi la démostatio à l eecice, page 8 Gaphiqemet, les poits de coodoées ^ ; h appatieet à la doite d éqatio y So coefficiet diecte est Si, la foctio affie 7 est coissate : les temes sot de pls e pls gads Teme Idice Si, la foctio affie 7 est décoissate : les temes sot de pls e pls petits Teme Eemples La site " ; ; ; 7 ; f, des eties impais, de teme gééal, est e site aithmétiqe de pemie teme et de aiso La site v de teme gééal v est pas e site aithmétiqe E effet, v ; v ; v, : po passe d teme a sivat, o ajote pas tojos le même ombe Remaqe La démostatio d théoème est tès simple : est égal à la difféece ete de temes coséctifs qelcoqes Idice Eecice coigé Les sites sivates sotelles aithmétiqes? Si oi, détemie le pemie teme et la aiso Po tot etie, 7 Po tot etie, v Po tot etie, w ^ h Soltio Eecices d applicatio (Poit ) 7 # 7; 7 # ; 7 # Il semble qe la difféece ete de temes coséctifs soit, doc idépedate de (Poit ) Po tot etie : ^7 ^ hh ^7 h La site est aithmétiqe de pemie teme 7 et de aiso (Poit ) v ; v ; v Das chac des cas sivats, die si la site, défiie s N, est aithmétiqe Si oi, pécise le pemie teme et la aiso a ; b ; c Soit la site telle qe po tot etie, les poits de coodoées ^ ; h sot aligés s la doite tacée cicote Détemie,, Epime e foctio de O a v v difféet de v v Doc (Poit ) la site v est pas aithmétiqe Démote qe la site est e site aithmétiqe dot o pécisea la aiso y (Poit ) O a w ; w ; w : la difféece ete de temes coséctifs semble costate et égale à (Poit ) Po tot etie : w w ^ h ^ ^ E développat, o tove : w w Doc la site w est aithmétiqe de pemie teme w et de aiso y Poits méthode Avat tote chose, calcle les tois pemies temes de la site po cojecte le ésltat Po démote q e site est aithmétiqe, o pove qe la difféece est costate, c estàdie idépedate de Po démote q e site est pas aithmétiqe, il sffit de tove eemple motat qe la difféece ete de temes coséctifs est pas costate O a epéseté cidessos la site de pemie teme, défiie pa écece pa f ^h po tot etie y f : y Lie les vales, et Qelle est la foctio f? : y E dédie qe la site est aithmétiqe et e doe la aiso Voi eecices Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes

4 Défiitio O dit q e site est géométiqe si, à pati de so teme iitial, chaqe teme est obte e mltipliat le pécédet pa même ombe Aisi, il eiste éel q tel qe po tot etie, q # Le ombe q est appelé aiso de la site géométiqe Das le cas où la site e s ale pas, q est égal a qotiet de de temes coséctifs qelcoqes : q (éel fié idépedat de l etie ) Théoème Soit e site géométiqe de aiso q o lle Alos po tot etie, # q Pls gééalemet, po tos eties p et k, p # q D É M O N S T R A T I O N À pati de, o obtiet e mltipliat fois pa la aiso : # q # q # f # q # q temes p k p k k O a alos p # q et k # q Comme q!, k k q Alos p k p p k q k #, soit p k # q q Théoème Soit q éel o l Si q, la site ^q h est stictemet coissate Si q, la site ^q h est costate égale à Si q, la site ^q h est stictemet décoissate Si q, la site ^q h est costate égale à, à pati d ag Si q, la site ^q h est pas mootoe Eemples Gaphiqemet, à l aide de la calclatice : Si q Si q Si q La site " ; ; ; 8 ; f, des pissaces de, de teme gééal, est e site géométiqe de pemie teme et de aiso La site v de teme gééal v ^ h est pas e site géométiqe E effet, v ; v ; v 9, Po passe d teme a sivat, o e mltiplie pas tojos pa le même ombe Voi la démostatio à l eecice, page 8 Eecice coigé Les sites, v et w sotelles géométiqes? Si oi, e doe le pemie teme et la aiso Po tot etie : a ; b v ; c w w et w Soltio a (Poit ) ; ; O cojecte qe po passe d teme a sivat, o mltiplie pa (Poit ) Po tot etie, c m La site est géométiqe de pemie teme et de aiso b (Poit ) v ; v ; v 7 79 O cojecte qe po passe d teme a sivat, o mltiplie pa 7 (Poit ) La site v est à temes stictemet positifs O a po tot etie : v v # 7 La site v est géométiqe de aiso et de pemie teme v 7 c (Poit ) w ; w 7 ; w O costate qe l o e mltiplie pas tojos pa même ombe po passe d teme a sivat : la site w est pas géométiqe (Poit ) Eecices d applicatio Les sites et v, défiies s N, sotelles géométiqes? Si oi, pécise le pemie teme et la aiso a ; b v O cosidèe les sites et v telles qe et po tot etie, et v Démote qe la site v est géométiqe O pécisea le pemie teme et la aiso O a epéseté cicote les pemies temes d e site doée pa e fomle de écece et le pemie teme Détemie, et Doe la foctio f telle qe po tot etie, f ^h Poits méthode Avat tote chose, o calcle les tois pemies temes Po démote q e site est géométiqe : o epime sos la fome q # ; si les temes sot o ls, o pove qe le qotiet est costat, c estàdie idépedat de Po démote q e site est pas géométiqe, il sffit de tove eemple motat qe le qotiet de de temes coséctifs est pas costat E dédie qe la site est géométiqe f : y : y Voi eecices Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes

5 Théoème Soit etie atel o l Alos la somme des pemies ^ h eties o ls est : f D É M O N S T R A T I O N O dispose côteàcôte des ectagles de lage et de hate,,,,, de faço à obtei la sface blee, et so symétiqe la sface vete L aie de chaqe sface est : f O la éio des sfaces vete et blee est ectagle de côtés et Doc : # ^ f h # ^ h ; d où le ésltat R E M A R Q U E Po tot etie H, la somme f est etièe Le théoème cidesss pemet aisi d affime qe ^ h est tojos etie Ce qi se jstifie aisémet pa ailles : comme les eties et sot coséctifs, l des de est pai ; le podit ^ h est doc ombe pai Théoème Soit etie atel o l et q éel difféet de q Alos : q q f q q D É M O N S T R A T I O N O pose S q q f q O a q # S q q q f q E sostayat : S q # S ^ q q f q h ^q q f q h E alat les sommes de temes opposés : S q # S q D où ^ qh # S q q, et comme q!, o obtiet : S q E X E M P L E S f 7 b l f c f m O pet assi calcle cette somme e factoisat pa : f # c f 9 m # Sites aithmétiqes et géométiqes Eemples f # f ^ f h ^ f 9h 9 # # Remaqe Das le cas où q, o a po tot etie H : q q f q f temes Eecice coigé Calcle les sommes sivates : a S 7 f b S f 8 Qelle est la somme des mltiples de 7 compis ete et? Soltio a (Poit ) Les temes de la somme sot les temes coséctifs de la site aithmétiqe de pemie teme et de aiso (Poit ) Comme 7 #, et #, S ^ # h ^ # h f ^ # h (Poit ) D où S f # ^ f h temes (Poit ) Doc S # # # b (Poit ) Les temes de la somme sot les temes coséctifs de la site géométiqe de pemie teme et de aiso (Poit ) Comme #, et 8 #, S # # f # (Poit ) D où S # ^ f h (Poit ) Doc S # # ^ h 7 88 Le pemie mltiple spéie à 7 est et le deie iféie à est 99 Il fat calcle la somme S f 99 (Poit ) La site tilisée est e site aithmétiqe de pemie teme et de aiso 7 (Poit ) Comme 99 7 # 7 : S ^ 7h ^ 7 # h f ^ 7 # 7h (Poit ) S f 7 # f 7 ^ h 7 temes (Poit ) Doc S # # # 8 La somme chechée est 8 Eecices d applicatio Calcle la somme : A f Calcle la somme : B 89 f 7 78 Calcle la somme des pissaces de compises ete et Poits méthode O idetifie la ate de la site mise je avec so pemie teme et sa aiso Po calcle e somme de temes coséctifs d e site aithmétiqe : o écit chaqe teme e foctio d pemie teme et de la aiso : ; Voi eecices Sites aithmétiqes et géométiqes # o egope les temes idetiqes et o factoise a maimm ; o tilise la fomle : ^ f Po calcle e somme de temes coséctifs d e site géométiqe : o tilise l epessio de chaqe teme e foctio d pemie teme et de la aiso q : # q ; o factoise pa ; 7 o tilise la fomle : q q f q q, q po q Y Ue etepise paisiee doit evoye cetai ombe de colis e povice U taspote popose les coditios sivates : Combie coûte l evoi de colis? Combie de colis l etepise petelle evoye? h

6 Théoème Soit e site aithmétiqe de aiso o lle Si, la site divege ves : lim " Si, la site divege ves : lim D É M O N S T R A T I O N Soit e site aithmétiqe de aiso! So teme gééal est : # " Si, H dès qe H ; H dès qe H Pls gééalemet, po tot éel M, H M dès qe la site divege ves Si, G dès qe H ; G dès qe H Pls gééalemet, po tot éel M, G M dès qe la site divege ves Théoème (admis) Soit q éel difféet de Si q, la site ^q h divege ves : lim q " " Si q, la site ^q h covege ves : lim q Si q G, la site ^q h divege et admet pas de limite Gaphiqemet, à l aide de la calclatice : po q 7, : po q 7, : po q, : po q, : M H M H : : Repésetatio gaphiqe Gaphiqemet, à l aide de la calclatice : TI, et : et : Eemple Soit la site géométiqe de pemie teme et de aiso, Po tot etie,, # ^ h Comme q, lim ^, h " Doc la site covege ves Nméiqemet, à l aide de la calclatice o d table, o a :, dès qe H ; dès qe H ; dès qe H Eecice coigé Soit la site aithmétiqe de aiso,8 et de pemie teme Soit v la site géométiqe de aiso, et de pemie teme v Soit w la site géométiqe de aiso et de pemie teme w Détemie les limites des sites, v et w Détemie le ag à pati dqel : a H ; b v G ; c w G Soltio (Poit ) La site est aithmétiqe de aiso 8,, doc La site divege doc ves : lim (Poit ) Comme, Eecices d applicatio " lim " v #,, Le teme gééal de la site v est ^, h E mltipliat pa (égatif), o obtiet e site v qi divege ves : lim v " (Poit ) Comme, lim b l " Le teme gééal de la site w est w # b l E mltipliat pa, o obtiet e site w qi covege ves : lim w Soit e site aithmétiqe de pemie teme et de aiso Das chaqe cas, détemie la limite de la site : et et et et " a Le teme gééal de est :, 8 # (Poit ) O ésot :, 8 H H H, 8, où est etie Doc H dès qe H b (Poit ) La site v est décoissate, ca po tot etie, v v, ^, h, doc v v Il sffit de tove ag N tel qe vn G : 7 coviet Alos po tot etie H 7, o a v G c (Poit ) La site w est décoissate, ca po tot etie, w w # b l, doc w w Il sffit de tove ag N tel qe wn G : coviet Alos po tot etie H, o a w G Poits méthode Po détemie la limite d e site aithmétiqe, o eamie le sige de sa aiso (positif o égatif) Po détemie la limite d e site géométiqe de aiso q, o détemie d abod le compotemet à l ifii de la site ^q h e egadat si q est : spéie à ; compis ete et ; iféie à Pis o ped e compte le pemie teme de la site Po détemie ag à pati dqel H, o pet, pa eemple : si c est possible, ésode algébiqemet l iéqatio ; sio, tilise les vaiatios de la site et la calclatice po détemie le pls petit ag N véifiat H Soit v e site géométiqe de pemie teme v et de aiso q Das chaqe cas, pécise si la site v admet e limite Si oi, la détemie v et q v et q v et q, v et q ^h 7 N Voi eecices Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes

7 Éocé Soltio La difféece de de temes coséctifs,, est égale à : la site est aithmétiqe de aiso La site est aithmétiqe de aiso Doc po tot etie H, ^h # ^ h 9 Le deie ag N véifie : 9 N 9 Doc N Le toit compote agées Le toit compote e tot : S f adoises S ^ h ^ # h f ^ # h S # # ^ f h Doc S # # # 88 Le toit compote e tot 88 adoises Éocé Soltio Po covi toit coiqe, cove dispose les adoises e agées sccessives e patat d bas Le ombe d adoises écessaies po chaqe agée est doé pa les temes d e site méiqe : la pemièe agée compote adoises, la deième compote 7 adoises, la toisième compote adoises et aisi de site e sivat la même pogessio Qelle est la ate de la site? Sachat qe la deièe agée compote 9 adoises, détemie le ombe total de agées à mette e place po covi le toit Calcle le ombe total d adoises écessaies po covi le toit Soit la site défiie pa et po tot etie, Soit la site v défiie po tot etie pa : v Mote qe la site v est géométiqe O pécisea la aiso E dédie l epessio de v, pis de e foctio de Po tot etie, v Doc v # ^ h, soit v # v Doc la site v est géométiqe de aiso La site v est géométiqe de aiso et de pemie teme v 8 Doc po tot etie, v 8 # b l O v Doc po tot etie, 8 b l Statégies Si la difféece de de temes coséctifs est costate, la site est aithmétiqe O somme temes O egope les vales idetiqes, et o factoise a maimm Comme la site est aithmétiqe, o tilise : ^ h f Statégies Voi eecices Voi eecices O epime v e foctio de v de faço à obtei e elatio d type : v q v # L epessio d teme gééal d e site géométiqe est : v v # q E la epotat das v, o pet obtei l epessio de Éocé Voi eecices Gemaie est e etaitée de as e Le motat de sa etaite s élève à 7 (et) pa mois e Ce motat agmete chaqe aée de, % Gemaie a tové petit appatemet dot le loye se mote à pa mois e Elle pévoit qe so loye agmete de pa a Elle estime q elle aa des difficltés à paye so loye s il epésete pls de % de sa etaite E tilisat table, doe l âge à pati dqel Gemaie aa des difficltés à paye so loye Soltio O place : E B 7 ; e C E B B * E C C E D C/B O ecopie B, C et D ves le bas Gemaie poait avoi des difficltés à pati de ses 7 as po paye so loye (e ) Éocé Soit la site v défiie s N pa v et v, # v O cosidèe l algoithme cicote a Faie foctioe l algoithme po N Obtieto v? b Tasfome l algoithme de faço à obtei v e foctio de O place s livet qi appote, % pa mois à itéêts composés À la fi de chaqe mois, o y vese la somme de Ce livet est bloqé po as, ce qi sigifie qe, s cette péiode, il est impossible de etie de l aget Doe la somme pésete s ce livet a teme d cotat O cosidèe la site défiie pa v Démote qe la site est géométiqe E dédie l epessio de v e foctio de, pis véifie le ésltat de la qestio Statégies Apès les avoi iitialisées, o calcle de poche e poche les vales : de la etaite : si la etaite est R, l aée sivate elle est c, m # R, soit, # R ; d loye : si le loye est L, l aée sivate il est L ; d appot des de O lit l âge à pati dqel ce appot dépasse % Soltio Statégies a O obtiet pas v Le livet est bloqé ciq as,, qi vat, soit mois O fait foctioe b Das l algoithme, o emplace S!, # S pa S!, # S l algoithme modifié avec N E tilisat la elatio de écece, o ecoaît qe le teme v est O epime e foctio de égal à la somme pésete s le livet apès mois de faço à obtei e elatio O calcle v O obtiet, à pès d type : v, # ^ h, # q # Doc la site est géométiqe de aiso, et de pemie teme L epessio d teme gééal d e égal à : v 7 site géométiqe est : Doc po tot etie, 7 # ^, h O v # q Doc po tot etie, v 7 # ^, h A teme d cotat, la somme dispoible est : v 7 # ^, h Vaiables : S : éel ; N, K : eties Débt Ete (N) ; S! ; K! ; Tat qe K N K! K ; S!, # S ; Fi tat qe ; Affiche (S) ; Fi Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes

8 Éocé Étape O se popose de détemie la vale de la somme ifiie : Se faie e idée d ésltat S b l b l b l f À l aide d table o d e calclatice, cojecte la vale qe semble pede la somme «ifiie» S Étape Valide la cojecte fomlée Validatio géométiqe Le caé ABCD cicote a po côté O costit le pls gad caé vet à pati des milie des côtés AB@ et BC@ O costit esite la site de caés vets e épétat le pocédé Si o appelle a ^ H h l aie d ième caé aisi costit, pécise l epessio de a e foctio de E s appyat s la fige, pécise la vale de la qatité : a a a a f Validatio pa le calcl Soit etie atel H D Détemie e foctio de e ate epessio de la somme b l b l f b l, pis de la somme b l b l f b l Qelle est la limite de cette deièe epessio losqe ted ves? Cocle Étape Rédige e soltio À l aide des de paties pécédetes, édige e soltio d poblème posé O cosidèe la site de pemie teme et telle qe, po tot etie, O sohaite détemie l epessio de e foctio de E tilisat table o e calclatice, calcle et epésete gaphiqemet les di pemies temes de la site Le age de poits obte atil e paticlaité? Si oi, laqelle? a À l aide des obsevatios faites das la qestio, cojecte e fomle doat, po impote qelle vale de l etie atel, l epessio de e foctio de b Démote cette fomle Coseil Utilise le ésltat d chapite : «De sites sot égales losq elles ot même teme iitial et losq elles véifiet la même elatio de écece», o ecoe tilise le fait qe : f ^ h ^ h A Coseil Cheche l éqatio d e cobe coe, o ecoe tilise e cobe de tedace s le table B C O cosidèe la site défiie pa et po tot etie : a À l aide d table, calcle les pemies temes de la site b Qelles cojectes peto émette s le sige de, le ses de vaiatio et la covegece de? c Calcle les pemies temes de la site v défiie s N pa v Qelle cojecte peto faie s la ate de la site v? Sige de Jstifie qe po tot etie, Étde de la site v a Mote qe la site v est e site aithmétiqe O doea la aiso b Epime v e foctio de Étde de a Epime e foctio de b Étdie le compotemet à l ifii de la site v, pis de la site Noémie et Aleade compaet les étees q ils eçoivet chaqe aée E, Noémie a eç 8 et Aleade Chaqe aée, les étees de Noémie agmetet de et celles d Aleade de % Po tot etie, o ote et v les étees eçes pa Noémie et Aleade l aée, e eos Aisi 8 et v Pécise la ate des sites et v O sohaite détemie e qelle aée Noémie eçoit po la pemièe fois davatage q Aleade a Jstifie qe l algoithme cicote pemet de ésode le poblème b Pogamme et ésode le poblème À pati de, i Noémie i Aleade, qi seot top gads, e ecevot d étees O sohaite détemie qelle est la pesoe qi aa eç le pls d étees s les as, ete et 9 a Costie algoithme pemettat de ésode ce poblème b Pogamme et ésode le poblème Coseil a O poa faie effecte des calcls de poche e poche po obtei les étees totales Voi les Otils po l algoithmiqe, page 8, et les fiches logiciels, page 8 à 9 Vaiables : U, V : éels ; N : etie ; Débt U! 8 ; V! ; N! ; Tat qe U G V faie N! N ; U! U ; V! V #, ; FiTatQe ; Affiche^ Nh ; Fi Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes

9 Savoi Commet faie? Démote q e site est aithmétiqe Epime le teme gééal d e site aithmétiqe de aiso Démote qe, po tot etie,, où est idépedat de Véifie qe, po tot Teme Teme etie, f ^h où f est e foctio affie Gaphiqemet, les poits ^ ; h appatieet à e Idice doite, dot le coefficiet Idice diecte est la aiso À pati de p, o obtiet (avec H p) e ajotat p fois la aiso : ^ ph O pet égalemet tilise la fome a b, et détemie a et b p QCM Po chace des qestios sivates, e sele épose est coecte La site défiie s N pa ^ h est : La site défiie s N pa # est : y : y : y a aithmétiqe b géométiqe c i aithmétiqe, i géométiqe a aithmétiqe b géométiqe a aithmétiqe b géométiqe c i aithmétiqe, i géométiqe c i aithmétiqe, i géométiqe Démote q e site est géométiqe Epime le teme gééal d e site géométiqe de aiso q Étdie le ses de vaiatio d e site aithmétiqe Eploite le ses de vaiatio des sites q ^ h Calcle la somme de temes coséctifs d e site aithmétiqe o d e site géométiqe Démote qe po tot etie, q #, où q est idépedat de Si la site est à temes o ls, véifie qe, po tot etie, q, où q est idépedat de À pati de p, o obtiet (avec H p) e effectat p mltiplicatios p pa la aiso q : # q O pet égalemet tilise la fome a # b et détemie a et b Le ses de vaiatio est lié a sige de la aiso : si, alos la site est décoissate ; si, alos la site est coissate Si q, la site de teme gééal q est coissate Si q, la site de teme gééal q est décoissate Si q la site ^q h est i coissate i décoissate Si la site est aithmétiqe, tilise la fomle : ^ h f Si la site est géométiqe de aiso q Y, tilise la fomle : q q q f q q p La site epésetée cidesss est : Si la site est aithmétiqe telle qe 7 et 8, alos sa aiso est : La site aithmétiqe telle qe 8 et 7 a po pemie teme et po aiso où : Si la site est géométiqe telle qe et, sa aiso est : 7 S f a S 9 87 ^ 8 La site de teme gééal # h : a b c a et, b et, c et a b 9 b S c 9 8 c S a covege ves b a pas de limite c divege ves Étdie le compotemet à l ifii de la site géométiqe de teme gééal q Si q, la site covege ves q Si q, la site est costate égale à Si q, la site divege ves pls l ifii q Si q G, la site a pas de limite q Vai o fa? Pécise si les affimatios sivates sot vaies o fasses Tote site géométiqe de aiso stictemet spéiee à est coissate Tote site aithmétiqe de aiso stictemet égative est décoissate La site de teme gééal # est e site géométiqe de pemie teme et de aiso La site défiie s N pa # # est e site géométiqe Soit f e foctio tiôme d secod degé La site défiie s N pa f^ h f^h est e site aithmétiqe La site de teme gééal ^ h est e site covegete Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes

10 Les eecices potat méo jae sot coigés à la fi d mael, page 7 Doe totes les boes époses La site est aithmétiqe de pemie teme et de aiso a b c La site est décoissate La site est aithmétiqe de pemie teme et de aiso La vale de est : a b c 7 La site v est aithmétiqe telle qe v et v a La site v est coissate b La aiso est égale à c Le pemie teme v est égal à d v 7, O cosidèe la site w défiie pa : w et po tot etie atel, w w a La site w est aithmétiqe de aiso b La site w est coissate Po chaqe qestio, plsies époses poposées pevet ête eactes Soit e site aithmétiqe de aiso La aiso est égale à : a b c À pati de, o ajote fois la aiso O obtiet alos : a b c Pécise si les affimatios sivates sot vaies o fasses O cosidèe la site aithmétiqe de pemie teme et de aiso Les poits de coodoées ^ ; h sot aligés s la doite d éqatio y Les poits de coodoées ^ ; la doite d éqatio y 97 h sot aligés s Pami les sites sivates défiies s N, détemie celles qi sot aithmétiqes, e pécisat das ce cas le pemie teme et la aiso : a ; b v ; w c w w t t t Das chac des cas sivats, die si la site, dot o doe la défiitio s N, est aithmétiqe : a est la site des eties impais ; b est la site des caés des eties impais ; c * O a epéseté cidessos les pemies temes d e site Détemie das chaqe cas si la site est aithmétiqe Si oi : pécise le pemie teme et la aiso ; doe l epessio d teme gééal ; calcle le teme d idice a c y y y y b d y y, y y y y y La site est aithmétiqe de aiso telle qe 7 Qelle est la vale de? de? Doe l epessio de e foctio de Qel est le ses de vaiatio de? Das chac des cas sivats, la site est aithmétiqe a Pécise so pemie teme et sa aiso b Calcle c Étdie le ses de vaiatio de d Doe l epessio de so teme gééal et et Soit la site défiie s N pa : ^ h Calcle, et 7 Démote qe la site est e site aithmétiqe (o pécisea la aiso) U téléphéiqe pogesse à vitesse costate : à chaqe secode, so altitde agmete de,7 m La gae de dépat est à e altitde de m O appelle a l altitde de la cabie apès secodes de tajet, e mètes Détemie les vales a, a et a Mote qe la site a est aithmétiqe (pécise la aiso) La dée d tajet est pécisémet de mites Qelle est l altitde de la gae d aivée? Das le epèe othoomé ^O, IJ, h, o y ote po tot etie spéie à : a a a A le poit de coodoées ^ ; h ; le cecle de cete A passat pa O ; A A p le péimète d cecle ; a l aie d coissat compis ete et La site p estelle aithmétiqe? Si oi, pécise la aiso et le pemie teme La site a estelle aithmétiqe? Si oi, pécise la aiso et le pemie teme O sppose q pi d âge compis ete et as a e coissace églièe aelle de cm e hate Po tot etie compis ete et, o ote h la hate, e mète, d pi à l âge E spposat das cette qestio qe h, calcle h et h 7 Mote qe la site ^h h (po etie compis ete et ) est e site aithmétiqe O sppose q pi de as a e hate de 7 m Qelle sea sa hate losq il aa as? O sppose q pi de 8 as a e hate de 8 m Qelle était sa hate losq il avait 8 as? Soit e site aithmétiqe de aiso et de pemie teme Rappele l epessio d teme gééal Calcle, po tot etie, E dédie le ses de vaiatio de la site selo la vale Voi le théoème d cos, page 8 Soit la site défiie s N pa : et po tot etie, a Calcle les qate pemies temes de la site b La site estelle aithmétiqe? défiie ;, jstifie qe po tot! N, O appelle v la site défiie s N pa v a Démote qe la site v est aithmétiqe O pécisea sa aiso et so pemie teme b E dédie l epessio de v, pis celle de e foctio de E tilisat la foctio f : 7 Étdie les vaiatios de a À l aide de la calclatice, cojecte la limite de b À pati de qel ag N ato, po tot etie H N,? Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes

11 L escalie de secos d gatteciel de étages compote 8 maches pa étage Jacqes est a sommet d gatteciel et William a ezdechassée, a bas de l escalie Ils décidet pa téléphoe de se ejoide e patat a même istat William mote de maches pa secode (sas s essoffle!) et Jacqes e desced qate das le même temps O ote,,, le ombe de maches qi sépaet Jacqes d bas de l escalie, espectivemet a dépat, a bot d e secode, de secodes, de secodes O ote v, v, v, v le ombe de maches qi sépaet William d bas de l escalie, espectivemet a dépat, a bot d e secode, de secodes, de secodes Aisi, 98 et v Calcle,, v et v Epime et v e foctio de Étdie les vaiatios des sites et v Itepéte les ésltats À qel istat (e mites) et à qel étage Jacqes et William votils se ecote? Pécise qelles sites sot géométiqes : a po tot etie, ; b v et pot tot etie, v v v c po tot etie, w ; Doe la boe épose Soit e site géométiqe de aiso q dot tos les temes sot o ls La aiso est égale à : a b c Doe la boe épose Soit la site défiie s N pa : ^ h ^ h La site est : a aithmétiqe b géométiqe c costate Pécise si les affimatios sivates sot vaies o fasses Tote site géométiqe de aiso stictemet spéiee à est coissate Tote site géométiqe de aiso ete et est décoissate Tote site géométiqe de aiso stictemet égative est o mootoe Démote qe les sites, v et w dot les temes gééa sot doés cidessos, sot géométiqes E pécise le pemie teme et la aiso : a ^h ; b v # ; c w ^h Das chac des cas sivats, die si la site, dot o doe la défiitio s N, est géométiqe : a ; b est la site des eties pais o ls ; c * ; d *, Po les eecices à, la site est géométiqe de aiso q O doe : et q O doe : et q Calcle Calcle 8 O doe : et q Calcle 7 O doe : et q Calcle O doe et 8 Calcle q, et La site est géométiqe et et Détemie les aisos possibles de la site Si la site est coissate, qelle est sa aiso? La site est géométiqe et mootoe telle qe et 9 8 Détemie la aiso de la site Détemie le ses de vaiatio de la site La site estelle boée? Détemie les éels po qe,, 9 soiet tois temes coséctifs d e site géométiqe La pls gade des popées sses mese cm La taille d e popée est les deties de celle qi la pécède Qelle sea la taille de la ciqième popée? Po la site des titos cidessos, qad o va de l etéie ves le cete d tablea, chaqe tito est obte e mltipliat pa,8 la loge d tito pécédet de même cole A bot de combie de titos la loge atelle dimié de moitié? Utilise la calclatice MC Esche, 99 La site est e site géométiqe de pemie teme et de aiso q Démote qe po tot etie atel H, Po ifo est le côté d caé qi a la même aie qe le ectagle de côtés et O pale de moyee géométiqe O éalise la qadate d ectagle a ses de Pythagoe Pythagoe, philosophe, mathématicie et scietifiqe gec (evio 897 av JC) Los de «boses a lives» sccessives, mael scolaie ped chaqe aée % de sa vale U live a été acheté ef e, il coûtait alos Qel est so pi à la bose a lives de? Po fabiqe ovea podit, e etepise décide d achete obot de 8 Les coditios de paiemet sot les sivates : les qate embosemets otés U, U, U et U fomet e site géométiqe de aiso q, Calcle le motat de chaqe embosemet A pays de Lewis Caol, les éphas posset e doblat chaqe jo le sface U mati, épha éclot a cete d étag ciclaie de ayo m ; le épha mese alos cm de ayo Epime la sface S d épha a bot de jos e foctio de l etie, e m O sohaite détemie a bot de combie de jos le épha aa ecovet la moitié de l étag a Apès avoi aalysé l algoithme sivat, compléte les poitillés de faço à ésode le poblème b Pogamme la calclatice, pis ésode le poblème Vaiables : S : éel ; N : etie ; Débt S! f ; N! ; Tat qe S f faie N! N ; S! # S ; FiTatQe ; O sohaite maiteat détemie a Fi Affiche ^Nh ; bot de combie de jos le épha aa ecovet la totalité de l étag Tasfome l algoithme de la qestio et ésode ce poblème Mote qe le ayo d épha (e m), apès jos, est le teme gééal d e site géométiqe, dot o pécisea la aiso Soit e site géométiqe de pemie teme et de aiso q Démote qe po tot etie : q ^q h E peat, démote le théoème d cos Qelle est l iflece de s le ses de vaiatio de la site? Voi le théoème d cos, page 7 Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes

12 E tavesat e plaqe de vee teitée, ayo lmie ped % de so itesité lmiese Chaqe itesité est ici epimée e lme (lm) Soit I l itesité d ayo lmie à so etée das la plaqe de vee et I so itesité à la sotie Epime I e foctio de I O spepose plaqes de vee idetiqes ; o ote I l itesité d ayo à la sotie de la ième plaqe a Epime, po tot etie H, I e foctio de I b Qelle est la ate de la site I? Détemie l epessio de I e foctio de et de I c Qel est le ses de vaiatio de la site I? Itepéte le ésltat Qelle est l itesité iitiale I d ayo dot l itesité, apès avoi tavesé qate plaqes, est égale à lme? Calcle le ombe miimm de plaqes q ayo doit tavese po qe so itesité sotate soit iféiee o égale a qat de so itesité etate? (O poa pede I ) Po especte e ovelle ome atipolltio, gope idstiel doit édie sa qatité de ejets e CO de toes pa a à toes pa a s e péiode de as Po atteide cette édctio de %, il s egage à édie chaqe aée sa qatité de ejets de % Po tot etie, o désige pa la qatité aelle de ejets apès aées d effots, e toes Qelle est la ate de la site? Epime e foctio de a Calcle la qatité de déchets ejetée la deièe aée de l egagemet La ome estelle espectée? b U ta de édctio de déchets de % pa a pemettaitil de especte cette ome? Soit la site défiie s N pa : et po tot etie, Tace das même epèe othoomé les doites et D d éqatios espectives y et y, pis epésete gaphiqemet les ciq pemies temes de la site Qelles cojectes peto faie s : le ses de vaiatio de la site ; la limite de la site? Soit la site v défiie s N pa v a Mote qe la site v est géométiqe (o pécisea so pemie teme et sa aiso) b E dédie l epessio de v e foctio de, pis mote qe, po tot etie, 8 # b l c Démote les vaiatios cojectées à la qestio Soit la site défiie s N pa : et po tot etie, Soit la site v défiie po tot etie pa : v Calcle les qate pemies temes de la site v Qe peto cojecte? Epime, po tot etie, v e foctio de v Doe l epessio d teme gééal de la site v E dédie l epessio d teme gééal de la site O cosidèe les sites a et b défiies pa : Z a b a ] a * et po tot etie, [ b a b ] b \ E tilisat table, calcle les pemies temes des sites a et b Soiet et v les sites défiies, po tot etie atel pa : a b et v b a a Compléte la feille de calcl avec les pemies temes des sites et v b Qelle cojecte peto faie qat à la ate de chace de ces sites? a Démote la cojecte émise à la qestio b b Détemie les epessios de et v e foctio de c E dédie les epessios de a et b e foctio de Doe la boe épose La somme des tete pemies eties atel o ls est : a b c 7 Po H, la somme f est égale à : ^ h^ h ^ h ^ h^ h a b c Doe totes les boes époses La somme f est 8 égale à : a b l b b l c 7 La somme f est égale à : a # ^ f h b c ^ h Po tot éel!, la somme f est égale à : a b c Po les eecices et, calcle les sommes doées S 9 f S f S 98 f S 9 f 999 Coseil Po S, véifie tot d abod qe : S ^ h ^ # h f ^ # h, pis qe : S # # ^ f h Po tot etie o l, o appelle : S la somme des pemies eties o ls : S f ; P la somme des pemies eties pais o ls : P f ^h ; I la somme des pemies eties impais : I f ^ h Epime P e foctio de S E dédie l epessio de P e foctio de Calcle I P E dédie l epessio de I e foctio de Soit la site défiie s N pa : Calcle les qate pemies temes de la site Pove qe la site est e site aithmétiqe (o pécisea le teme iitial aisi qe la aiso) E dédie le ses de vaiatio de la site Calcle la somme S des 98 pemies temes de la site : S f 9 97 Soit e site aithmétiqe de pemie teme et de aiso Po tot etie, o ote S la somme des pemies temes de la site : S f Rappele l epessio d teme gééal de la site Pis véifie qe : S ; S ^ h ; # S ^ h # Détemie l epessio de S e foctio de Das fomlaie, o a tové la fomle sivate : ^ h # ^ h S Obtieto le même ésltat? Appliqe la fomle de faço à calcle «apidemet» les sommes des eecices et Po les eecices 7 et 8, calcle les sommes doées S g ; S 8 f S f ; S,, f Coseil Po S, véifie tot d abod qe : S # c f m Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes

13 Das chac des cas sivats, epime S e foctio de : a S 9 f ^h po H b S f po H est la site géométiqe de pemie teme 8 et de aiso q Soit S la somme des pemies temes de la site : S f Mote qe S # ^ q q f q h E dédie la vale eacte de S O cosidèe la site défiie s N pa et la elatio po tot etie Calcle les qate pemies temes de la site Epime e foctio de Détemie le ag d teme 78 Calcle la somme : S f 78 O dispose a sol des tya cylidiqes idetiqes Pis o empile e agée spplémetaie e posat chaqe tya s de tya d ivea iféie Si l o dispose tois tya s le sol, combie de tya peto empile si l o cotie le pocédé assi logtemps qe possible? Si empilemet de ce type cotiet tya, qel est le ombe de tya posés s le sol? O désie décoe l ecole d bstie avec des agées de peles dot o vet détemie le ombe Le e ag compote 78 peles, le e ag compote 7 peles, le e ag compote 7 peles et aisi de site La deièe agée de peles compote peles Détemie le ag N coespodat à cette deièe agée Calcle le ombe total de peles écessaies po décoe le bstie Ue sbvetio de est octoyée po la echeche d e appe d ea soteaie epéée pa spécialiste das déset Ue etepise doe l estimatio sivate d coût de foage : le foage d pemie mète coûte ; le foage d deième mète coûte de pls qe celi d pemie mète ; le foage d toisième mète coûte de pls qe celi d deième mète Pls gééalemet, le foage de chaqe mète spplémetaie coûte de pls qe celi d mète pécédet Po tot etie H, o ote : le coût d foage d ième mète e eos ; S le coût de foage de mètes e eos Pécise la ate de la site E dédie l epessio de e foctio de Mote qe po tot etie H, S Qelle pofode maimale, e mètes, peto foe avec la sbvetio alloée? Ue légede dit qe po le emecie des plaisis qe li pocait le je d échecs, l empee Shiam pomit à so ivete Sissa le cadea sivat : «S la pemièe case d je, je déposeai gai de iz, pis le doble s la deième case et aisi de site e doblat chaqe fois le ombe de gais jsq à la deièe case» Sachat q je d échec compote cases, détemie le ombe de gais de iz qe l empee s egage à doe à Sissa Das kilogamme de iz, il y a evio gais de iz La podctio modiale aelle ajod hi est de $ 8 toes de iz Commete le ésltat pécédet À la aissace d Alba, sa gadmèe dépose s compte bacaie et décide d agmete ses vesemets de % à chaqe aivesaie O sppose q Alba e fait ac ajot, i etait s so compte Po tot etie, o ote : a la somme vesée pa la gadmèe d Alba à so ième aivesaie (a ) ; S la somme totale dispoible s le compte bacaie d Alba à so ième aivesaie : S a a a f Pécise la ate de la site a E dédie l epessio de a e foctio de Mote qe po tot etie, S # ^, h Alba êve d achete e gitae, qi coûte 999 Po savoi à pati de qel âge il poa se l offi, o popose l algoithme icomplet cicote a Qe epésetet les vaiables, a et S? Compléte les poitillés b E tilisat le ésltat de la qestio et e tilisat qe les vaiables et S, modifie l algoithme de faço à ésode le poblème c Pogamme l des algoithmes pécédets, pis die à pati de qel âge Alba poa s offi la gitae Ue etee d ea atificielle est alimetée pa issea dot le débit dimie de % d jo s l ate à case de la sécheesse Po la joée d e ji, so débit D est égal à m Po etie, o ote D le débit po le ième jo apès le e ji, e m Calcle le débit D po le ji Qelle est la ate de la site D? Epliqe E dédie l epessio de D e foctio de Calcle le volme d ea appoté das la etee a cos des jos d mois de ji O aodia le ésltat a mète cbe Vaiables : : etie ; a, S : éels ; Débt! ; a! ; S! ; Tat Qe Faie! ; a! a # f ; S! S a ; FiTatQe ; Affiche ; Fi Doe l iqe boe épose La site aithmétiqe de aiso et de pemie teme : a divege ves b divege ves c covege ves d admet pas de limite La site géométiqe de aiso, et de pemie teme : a divege ves b divege ves c covege ves d admet pas de limite La site défiie s N pa, et po tot etie, : a divege ves b divege ves c covege ves d admet pas de limite Pécise si les affimatios sivates sot vaies o fasses La site de teme gééal # covege ves La site défiie s N pa ves b l divege Tote site géométiqe boée, de aiso difféete de et, covege Soit la site aithmétiqe de pemie teme et de aiso La site estelle mioée? Jstifie Démote qe la site est pas majoée Qelle est la limite de la site? Détemie ag N à pati dqel H Coseil O poa pa eemple aisoe pa l absde e spposat qe est majoée pa M fié Soit v la site aithmétiqe de pemie teme v et de aiso Calcle v, v, v et v Détemie la limite de v a Détemie ag N tel qe po tot etie H N, o a : v G b Détemie ag N tel qe po tot etie H N, o a : v G Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes

14 Les sites géométiqes, v et w sot epésetées cidessos Site Site v E admettat qe les tedaces obsevées se posivet à l ifii, doe la limite de chaqe site? Pécise des vales possibles de la aiso po chaqe site Site w est e site géométiqe de pemie teme et de aiso q Das chac des cas sivats, doe la limite de la site si elle eiste : a et q ; b et q ; c et q ; d et q AB CDest caé A A B A F de côté a A O place les poits A et B B tels qe A A AB B et B B B BC et o costit le caé F de côté itéieemet a caé F D C O cotie de la même maièe po obtei des caés F de côté c po tot etie Qelle elatio eistetil ete c et c po tot etie? E dédie c e foctio de Qelle est la limite de la site c? Itepéte le ésltat Coseil Utilise le théoème de Pythagoe O place capital de à itéêts composés aels de, % (voi le Poit ifo s capital placé à itéêts composés, page ) O e pocède à ac ajot spplémetaie, i ac etait à ce motat Po tot etie, o ote C le motat dispoible a bot de aées e eos Aisi C Calcle C et C Jstifie qe la site C est géométiqe (o pécisea la aiso) Qelle est so ses de vaiatio? Itepéte Qelle est sa limite? Itepéte a O sohaite détemie le ombe miimal d aées de placemet de faço à doble le capital O popose po cela l algoithme icomplet cicote L aalyse, pis compléte les poitillés b Ici la vale C est o fiée Modifie l algoithme pécédet de faço à détemie le ombe miimal d aées de placemet de faço à doble le capital e foctio de la vale C Vaiables : C : éel ; i : etie ; Débt C! ; i! ; Tat qe faie i! i ; C! C #, ; FiTatqe ; Affiche (i) ; Fi Pis pogamme (calclatice o logiciel) et doe le ombe d aées écessaies das le cas où : C ; C ; C Qe costateto? Le saviezvos? Ce temps de doblemet d capital placé à, % est lié à la foctio logaithme (l) Il est l^h égal à l etie immédiatemet spéie à l^, h À l istat t (e hee) o ijecte das le sag d patiet pa piqûe itaveiese e dose de,8 mg d médicamet O sppose qe le médicamet se épatit istataémet das le sag et q il est pogessivemet élimié : o cosidèe qe le cops élimie chaqe hee % d médicamet péset das l ogaisme Po tot etie, o ote R la masse (e mg) de médicamet pésete das le sag a bot de hees Aisi R 8, Calcle R et R Jstifie qe la site R est géométiqe (o pécisea la aiso) Qelle est so ses de vaiatio? Itepéte Qelle est sa limite? Itepéte À l aide de la calclatice, détemie : le pls petit ag tel qe po tot etie H la masse R est iféiee à la moitié de la masse iitiale ; le pls petit ag tel qe po tot etie H la masse R est iféiee à, mg ; le pls petit ag tel qe po tot etie H la masse R est iféiee à, mg Le saviezvos? Le ag est idépedat de la masse iitale de médicamet pésete das le sag O l appelle le temps de demivie U obot miiate se déplace s cecle de cete O et de ayo m Il est déposé a poit A, et pacot le A cecle e toat das le ses diect (ses ivese des aigilles d e mote) So tajet s effecte e plsies étapes : Voici e site de mobiles costits avec des cbes e cato Doe e ègle qi pemette de calcle le ombe de cbes écessaies po costie impote qel mobile de la site illstée Combie de cbes seot écessaies po la costctio d mobile méoté? Ue etepise a commadé e machie de apès de l de ses foisses E cas de livaiso e etad, des péalités ot été fiées : le pemie jo de etad est facté, le deième jo de etad est O A A étape : il pacot le demicecle de A à A ; la distace pacoe est otée d (e m) ; étape : il pacot le qat de cecle de A à A ; la distace pacoe est otée d (e m) ; étape, avec H : il pacot l ac de cecle allat de A à A, la distace pacoe, otée d, état la moitié de celle pacoe à l étape pécédete (e m) Calcle d et d a Qelle est la ate de la site ^d h? Jstifie la épose doée b Epime d e foctio de Po tot etie H, o ote D la distace totale pacoe pa le obot s le cecle de l étape à la fi de l étape a Epime D e foctio de b Détemie la limite de la site ^D h Itepéte Le saviezvos? U paadoe semblable (dichotomie) a été développé pa Zéo d Elée (V e siècle avat JC) et est poche d paadoe d «liève et de la tote» facté ; le e jo de etad est facté, et aisi de site : chaqe jo spplémetaie de etad est facté de pls qe la joée pécédete A bot de combie de jos le foisse «offe» til la machie? E éalité, la fabicatio po le foisse est etabilisée qe si les péalités e dépasset pas Qel est le ombe de jos maimm de etad de livaiso po qe le foisse ete das ses fais? O patage caé de côté e qate caés de même taille et o oicit le caé iféie gache O appliqe le pocédé a caé e hat à doite Et aisi de site Qelle sea l aie de la patie oie losq o posit idéfiimet la costctio? Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes

15 Soit la site défiie s N pa : et po tot etie, Calcle les temes et La site estelle aithmétiqe? géométiqe? Tace das epèe othoomé (ité : cm) : la doite D : y ; la cobe epésetative de f : 7 ; les pemies temes de Qelles cojectes peto émette s les vaiatios de la site? O admet qe, po tot etie, est pas l O défiit la site v s N pa v a Calcle v, v et v b Epime v e foctio de v E dédie qe la site v est aithmétiqe (pécise la aiso) c Epime v, pis e foctio de Étdie les vaiatios de la site et compae avec la cojecte de la qestio O cosidèe la site y défiie pa et po tot etie atel f, Calcle, et : y O epésete cicote la cobe d éqatio y f ^h où f est la foctio méiqe, telle qe po tot etie : f ^h a Détemie la foctio f b Visalise la site s le gaphiqe cidesss, et cojecte : le ses de vaiatio de la site ; la limite évetelle de la site Po tot etie, o pose : v a Calcle v, v et v b Démote qe la site v est e site géométiqe dot o pécisea la aiso c Epime v e foctio de d E dédie l epessio de e foctio de Po alle pls loi Pove la cojecte émise à la qestio b s les vaiatios de Ue etepise popose po ecte ovel employé de types de éméatio : type : salaie iitial de pa mois, avec agmetatio aelle d salaie mesel de ; type : salaie iitial de pa mois, avec agmetatio aelle d salaie mesel de 8 % a Das le cas de la éméatio de type, o ote le salaie mesel iitial et le salaie mesel apès aées Doe les vales de, et b Das le cas de la éméatio de type, o ote v le salaie mesel iitial et v le salaie mesel apès aées Doe les vales de v, v et v c Doe e epessio gééale de et v e foctio de À l aide de la calclatice, détemie le ombe d aées a bot dqel la éméatio de type est spéiee à la éméatio de type Le ovel employé compte este as das l etepise Qel type de éméatio est le pls avatage po li? Vicet vet empte po achat Le vede li popose de choisi ete de fomles de cédit s mois Popositio : la pemièe mesalité est de et chaqe mois les mesalités sivates dimiet de pa appot a mois pécédet Popositio : la pemièe mesalité est de et chaqe mois, les mesalités sivates dimiet de % pa appot a mois pécédet Détemie qelle est la popositio la pls avatagese po Vicet O age des boîtes de coseve : e pemièe agée est placée s le sol, pis o place e secode agée de boîtes (e boîte de mois qe po la pemièe agée) à cheval s ces boîtes, et aisi de site jsq à la fomatio d e pile d alle tiaglaie Les boîtes de coseve ot cm de diamète et cm de hate O ote le ombe de boîtes de la agée disposée s le sol, le ombe de boîtes de la agée d e étage, le ombe de boîtes d e étage D e maièe gééale, po H, o ote le ombe de boîtes d ième étage de la pile Epime e foctio de et de Qelle est la ate de la site (o pécisea la aiso)? Détemie le ombe de boîtes qe cotiet e pile ayat boîtes à la base O vet etepose e cetaie de boîtes das la pile (pa eemple, ) a De qelle lage, e cm, doito dispose à la base? b Qelle sea alos la hate de la pile? Soit e site aithmétiqe de pemie teme et de aiso, eties atels Démote qe la site v de teme gééal : v est e site géométiqe dot o pécisea le pemie teme et la aiso Achille est desse de pces et pésete ecellet méo de ciqe Il possède pces q il fait sate e l ai e cadece ete de podims ( petit et gad), placés l à côté de l ate Il a costaté qe : pami les pces placées s le gad podim, 8 % etombet s place et % s le petit podim ; pami les pces placées s le petit podim, % etombet s place et % s le gad podim Il fait sate les pces plsies fois de site % 8 % Gad podim Petit podim % % A dépat, il y a pces s le gad podim et 8 pces s le petit podim O sohaite savoi si le ombe de pces s chaqe podim se stabilise a bot d gad ombe de sats Po tot etie, o ote g le ombe de pces s le gad podim et p le ombe de pces s le petit podim a bot de sats Aisi g et p 8 O vet calcle les pemies temes des sites g et p à l aide de la feille de calcl cidessos a Jstifie les fomles e B B ) 8 C ) et e C B ) C ) b Réalise la feille de calcl e ecopiat les fomles jsq à la lige c Cojecte e épose à la qestio posée O étdie maiteat les écats ete le ombe de pces s chaqe podim et le ombe «limite» de pces s chaqe podim Soit alos les sites et v défiies s N pa : g 7 et v p Compléte la feille de calcl e calclat les pemies temes des sites et v Qelle semble ête la ate des sites et v? a E costatat q il y a tojos total de pces, mote qe po tot etie, g, g b Mote qe la site est géométiqe (o pécisea le pemie teme et la aiso) c Epime, pis g e foctio de d Mote la cojecte émise à la qestio b Po alle pls loi La épatitio iitiale est ici icoe : g pces s le gad podim et p pces s le petit podim (avec g p ) Le compotemet à l ifii de la site g estil modifié? Coseil d Mote qe la site covege ves Pede des iitiatives Ue balle ebodit s e table O sait qe : so pemie impact est à de mètes d bod doit ; le pemie ebod mese mète de log ; m m chaqe ebod est de fois mois log qe le pécédet La balle tombeatelle de la table? Si oi, apès combie de ebods? Po costie escalie de tois maches d type cicote, o tilise kg de cimet Combie de cimet tiliseato po costie escalie de même lage compotat qate maches? Ciq maches? Di maches? Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes

16 Ue clte de bactéies A agmete chaqe semaie de, % pa appot à la semaie pécédete Ue clte de bactéies B agmete de bactéies pa semaie Po tot etie, o ote le ombe de bactéies A et v le ombe de bactéies B a bot de semaies a Calcle le ombe de bactéies A et le ombe de bactéies B a bot de qate semaies et a bot de di semaies b Qelle est la ate des sites et v? E dédie l epessio de et v e foctio de Détemie a bot de combie de semaies le ombe de bactéies A dépasse celi des bactéies B A bot de combie de semaies le ombe de bactéies A agmetetil de % pa appot a ombe iitial de bactéies de la clte A? Epliqe et jstifie la épose Coseil Utilise table, e calclatice o tot logiciel de pogammatio (écie a péalable algoithme pemettat de ésode le poblème) a Costie la fige e vaie gade e sivat les istctios sivates : A étape : soit OA A tiagle ectagle isocèle e A, tel qe : AA cm ; étape : etéieemet a tiagle OA A, costie le tiagle OA A ecta Tiagle gle isocèle d hypotése ; O étape : etéieemet A Tiagle a tiagle OA A, costie le tiagle OA A ecta Tiagle gle isocèle d hypotése A A b O posit de la même faço : po tot etie, le tiagle OA A est ectagle isocèle d hypotése Réalise les costctios des étapes à Qe peto die des poits O, A et A 8? des poits O, A et A 9? Epliqe a Calcle la vale eacte de AA, pis de A A b D e faço pls gééale, si à e étape la loge d côté difféet de l hypotése est otée a, qelle est la loge d côté difféet de l hypotése d tiagle de l étape sivate? c E dédie qe po tot etie H : A A # d Po chaqe étape (où est etie o l), o s itéesse à la loge S de la lige bisée AAA A : S AA AA f A A a Qelle est la loge de la lige bisée à l étape? à l étape? b Jstifie qe po tot etie H : S # e d o À l aide de la calclatice, das chaqe cas, détemie le pls etie N véifiat la coditio idiqée : a la loge d côté difféet de l hypotése d tiagle de l étape N est iféiee à, cm ; b la loge de la lige bisée S N est spéiee à cm ; c la loge de la lige bisée S N est spéiee à, cm Qelle est la limite de la site S? O patage tiagle éqilatéal oi, de cm de côté, e qate tiagles éqilatéa e taçat les segmets joigat les milie des côtés de ce tiagle O blachit le tiagle cetal Chaqe petit tiagle oi est alos patagé e qate tiagles selo la même pocéde qe pécédemmet, et o blachit le tiagle cetal Et aisi de site o posit la costctio Étape Étape Étape Po tot etie H, o désige pa : le ombe de tiagles blachis los de l étape ; p le péimète d tiagle blachi los de l étape ; a l aie d tiagle blachi los de l étape Patie A Étde d tiagle blachi à l étape Calcle, p et a Idiqe commet, p et a s obtieet à pati de, p et a Cela estetil vai de chaqe étape à l étape? E dédie la ate des sites, p et a Pis epime, p et a e foctio de Patie B U tacé bie log Po tot etie, o ote P la somme des péimètes de tos les tiagles blachis a cos de l étape Epime P e foctio de et p, pis véifie qe po tot etie, P #, À l aide de la calclatice, détemie à pati de qelle étape, P dépasse m? km? Calcle la limite des sites, p et P E qoi cette deièe limite estelle speate? Patie C Ves le blac Po tot etie, o désige pa A la somme des aies de tos les tiagles blachis costits a cos de l étape Mote qe po tot etie, A # 7, (O appelle qe l aie d tiagle éqilatéal de côté a est : a ) E dédie la limite de la site A Po tot etie, o désige pa S la somme des aies de tos les tiagles blacs obtes los des pemièes étapes E tilisat agmet gaphiqe, cojecte la vale de la limite de la site S Établi qe, po tot etie : S 9 # ^ 7, h, pis valide (démote) la cojecte Coseil A Remaqe q à chaqe étape, chaqe tiagle blac (e ombe ) est associé à tois tiagles ois ; chac de ceci est patagé à l étape sivate e qate (tois tiagles ois et tiagle blac) Cela pemet d epime e foctio de Le mathématicie Vo Koch a poposé e costctio simple d objet dit «factal» e 9, s docmet ititlé S e cobe cotie sas tagete, obtee pa e costctio géométiqe élémetaie La costctio de ce «floco» epose s picipe simple : le poit de dépat est tiagle éqilatéal de côté Po chac de ses côtés, o effecte la costctio sivate : divise le segmet e tois paties égales ; costie tiagle éqilatéal «s le segmet d milie» Floco d ode O épète alos la costctio pécédete po obtei le floco d ode, pis le floco d ode, etc O ote po chaqe etie :, la loge d côté d floco d ode ; c le ombe de côtés d floco d ode ; P le péimète d floco d ode ; l aie d floco d ode Patie A : Des fomles de écece Floco d ode Calcle les vales iitiales,, c, P et Détemie les elatios de écece qi pemettet de passe, po tot etie, de, à,, et de c à c Epime P e foctio de c et de, O appelle qe l aie d tiagle éqilatéal de côté a est : a Tove e elatio de écece pemettat de calcle e foctio de, c et, Patie B : Epéimete À l aide d table, costie e feille de calcl doat la site des vales des sites pécédetes : Qelles cojectes peto faie s les compotemets à l ifii des sites,, c, P et? Le saviezvos? Le sédois Niels Fabia Helge vo Koch (879), avec so «floco», a été le pemie à ehibe e cobe femée, cotie, déivable e ac poit, et de péimète ifii po e aie itéiee fiie, cofimat qe le cocept de cobe, emis e case pa Cato et Dedekid, était ecoe à (e)défii à l époqe O costit «abe» selo le modèle sivat : Étape iitiale Étape Étape A bot de combie d étapes le ombe de amea dépassetil? Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes

17 O désige pa etie atel Le éel # ^ h est égal à : a ^ 8h b # c ^ h Le éel est égal à : a b c Soit la site défiie s N pa, alos po tot etie, a b c Soit v la site défiie s N pa v #, alos po tot etie : a v v b v v c v Méthode Po obtei, o emplace pa e tilisat des paethèses Po les eecices et, Voi le savoifaie page 9 O cosidèe la site défiie s N pa : Démote qe la site est aithmétiqe Méthode Utilise les poits méthode, page 9 Ue cve e fome de paallélépipède ectagle à base caée, de, m de côté, cotiet 7 lites d ea O vet compléte le emplissage de la cve à l aide d obiet dot le débit est de lites pa mite, m h désige la hate d ea e mètes das la cve, mites apès le débt d emplissage Qelle est la ate de la site h? Qelle est la hate d ea apès 8 mites de emplissage? Coseil Calcle h, pis egade à qelle hate d ea coespod le emplissage d e mite, m Voi le savoifaie page 7 Des élèves ot à ésode l eecice sivat : «Soit la site défiie s N pa Démote la site est e site géométiqe» O popose les de copies d élèves sivates : Copie de Rémi : O a # 8 # 9 doc la site est géométiqe de aiso Copie de Sami : # doc la site est géométiqe de aiso Les copies compotet chace des ees Les epée, les coige Pis ésode l eecice Voi le savoifaie page 7 Étdie la covegece évetelle des sites : a défiie s N pa ; b v défiie s N pa v 7 ; k k c k défiie pa k et, k Coseil Idetifie le type de site, pis se epote a poits méthode, page 7, po cocle O dispose des doées sivates : e 8, la podctio d éegie éoliee modiale est égale à 79 MW O pévoit qe cette podctio agmete de % chaqe aée à pati de 8 Détemie les podctios modiales péves po 9 et sos cette hypothèse O ote la capacité modiale de podctio d éegie éoliee l aée 8 O a doc 79 a Démote qe la site est e site géométiqe dot o détemiea la aiso b Doe l epessio de e foctio de À l aide d table, détemie à pati de qelle aée o pet pévoi qe la capacité modiale de podctio d éegie éoliee dépassea MW O étdie ici l évoltio d capital placé à itéêts composés, selo le ta d itéêt d placemet O place capital iitial C selo le picipe des itéêts composés aels à t % : à la fi de chaqe aée, le capital est agmeté de t %, et la totalité d capital podit des itéêts l aée sivate O appelle ^C h la site des capita aels, désigat le ombe d aées de placemet Démote qe la site ^C h est e site géométiqe de aiso b t l O appelle p le pocetage d agmetatio d capital placé apès aées de placemet Pa eemple, po ta ael de % et de aées de placemet, le capital obte est : C C # ^, h, C et aisi : p % Po tot etie, epime p e foctio de et t Qel est le ses de vaiatio de la site ^p h? Le temps écessaie avat de doble le capital iitial dépedil de C? À l aide d table o d e calclatice, compléte le tablea sivat, doat le ombe d aées écessaies a doblemet d capital iitial e foctio d ta de placemet Ta de placemet (e %) Nombe d aées O défiit la site pa et, po tot etie atel, b l La site estelle géométiqe? Étdie les vaiatios de la site O pose, po tot! N, v Démote qe la site v est e site géométiqe de aiso Calcle S v v v f v e foctio de E dédie l epessio de pis de e foctio de U paysagiste doit cée das jadi e spiale platée d abstes Il vet coaîte la loge de cette spiale po évale le ombe d abstes à plate Voici le schéma q il desse : A A A A A Cette spiale est costitée de demicecles costits de la maièe sivate : A d demicecle a po milie A ; d demicecle a po milie A Aisi de site, o costit les demicecles ( est etie atel) L ité de loge est le mète O doe AA O ote, la loge d demicecle a Calcle,,,,, b Epime, e foctio de, c Mote qe la site, est e site géométiqe dot o doea la aiso d Epime, e foctio de Le paysagiste décide de e tace qe les hit demicecles,,,,, 7 O appelle L la loge de la spiale obtee avec ces hit demicecles Calcle L,,, f, 7 Aodi le ésltat à Sites aithmétiqes et géométiqes Sites aithmétiqes et géométiqes