Septembre 2011 CPI 317. Exercices. Agnès Bachelot

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1 Septembre 2 CPI 37 Exercices Agès Bachelot

2 Table des matières - Séries Numériques Séries à termes positifs Séries quelcoques Autres exercices Espaces Vectoriels Normés Normes Autres exercices Cotiuité Exercices basiques Autres exercices Suites et Séries de Foctios Suites de foctios Séries de foctios Séries Etières Rayo de covergece Foctio somme Développemet e série etière Applicatios Autres exercices Itégrales covergetes et foctios itégrables Aales Lies Rappels : Développemets limités

3 - Séries Numériques Exercice. u diverge. Soit (u ) ue suite de K. Motrer que si u 2p coverge, et u 2p+ diverge, alors p p Exercice 2. Motrer que la série si() diverge. - Séries à termes positifs Exercice 3. Etudier la covergece et calculer la somme des séries : ( + ), 2 l ( ) 2 2, 3 2 ( 3 2 4), Exercice 4. Motrer que = Calculer le réel α = Exercice 5. Etudier la covergece des séries : +, , 3 e a. Exercice 6. Soit f la foctio défiie sur ], + [ par f(x) = l(+x). Ecrire la formule de Mac-Lauri pour f. Etudier la covergece, et calculer évetuellemet la somme de la série ( ). Exercice 7. Etudier la ature de la suite (u ) N, où u = l. Exercice 8. (voir H-Prepa 3) 3 Pour tout etier k o pose : u k = 2 2k+3 + 5k + 2. E majorat u k par le terme gééral d ue série géométrique motrer que u k est covergete. O ote R le reste d ordre de cette série. 2 Trouver tel que R 2. 3 Sas faire les calculs, doer l expressio d ue valeur approchée à 2 près de H-Prépa : Lire exercice 6. H-Prépa : exercice. k= u k. Exercice 9. Séries de Bertrad 3

4 Etat doés deux réels a et b, o cosidère la série 2 a (l ) b. O suppose a =. E utilisat le théorème de comparaiso avec ue itégrale, motrer que la série coverge si et seulemet si b >. 2 O suppose a. E comparat cette série à ue série de Riema, motrer qu elle coverge si et seulemet si a >. Exercice. H-Prepa 2 Motrer que 2 k k= Exercice. Détermier la ature des séries de terme gééral l 3 +, (!) 3, 2 2 ( )!, (!) 2 ( (2)!, ), l Séries quelcoques Exercice 2. O cosidère les séries suivates de terme gééral oté u. Dire, e le justifiat, si elles sot covergetes, divergetes ou si o e peut pas détermier leur ature. u = ( ) 3 u = ( ) ( ) + O 2 ( + O ) 2 u = ( ) ( + o u = ( ) + o ) H-Prépa : exercice 6. Exercice 3. La série ( ) est-elle covergete? absolumet covergete? 2 Pour quelles valeurs du réel a, la série a + est-elle absolumet covergete? covergete? divergete? 3 Pour 2 ( )) α est-elle absolumet covergete? cover- quelles valeurs du réel α >, la série ( ) ( cos gete mais o absolumet covergete? Exercice 4. Exercice 5. l Détermier la ature de la série de terme gééral ) l ( + ( ), α R +. α Détermier la ature des séries de terme gééral ( 2 ) + + 2, + + ( ), ( 3 +, e + ). Exercice 6. ( ) + ( ), Détermier la ature des séries de terme gééral ( ) ( cos, ) ( ) l, ( ) ( ) si, + ( ) 4 ( ) (l + ( ) ) 2, ( ).

5 H-Prépa : 7. Exercice 7. Détermier les réels a et b tels que la série de terme gééral u = ( ) 3 ( 2 + ) b 2 + a + soit covergete. 2 Détermier les polyômes P R[X] tels que u = P 3 () soit le terme gééral d ue série covergete. H-Prépa : Autres exercices Exercice 8. Soit u ue série covergete à termes positifs de la forme u = f() avec f décroissate, cotiue par morceaux. Motrer que N+ N lim f(t) dt R lim f(t) dt N + + N + H-Prépa : 2. Exercice 9. (Exame 28) Pour tout etier o pose : a = 22 (!) 2 (2 + )! Motrer que (a ) est ue suite décroissate., w = ( ) a 2 Quelle est la ature de la série ( ) a v où v = l. E déduire la ature de la suite (l(a )) a puis de la suite (a ). 3 E déduire la ature de w. Exercice 2. (Deug Partie I 24) Etude d ue série dot le terme gééral est le reste d ue série covergete Soit u etier aturel fixé. Soit a ue série umérique covergete. O défiit pour etier aturel supérieur ou égal à, r so reste de rag : r = Cas : O pose pour, a = 2. Calculer r puis motrer que 2 Cas 2 : O pose pour, a = 2. k=+ a k. r coverge et calculer sa somme. a Motrer que pour tout etier aturel o ul o a : + r + + ( + ) 2 b Doer alors u équivalet de (r ) lorsque est au voisiage de +. Que peut-o e coclure sur la ature de la série r. 5

6 3 Cas 3 : O pose pour, a = ( ). a Justifier la covergece de a. b Soit u etier aturel o ul. O défiit la suite (I ) par I = ( ) Motrer que lim I =. + ( ) k Motrer que I = l 2 +. (idicatio : calculer ( x) k ). k + k= k= ( ) k E déduire la valeur, puis exprimer r e foctio de I. k k= c E utilisat ue itégratio par parties, motrer que : où a et α > sot des réels à détermier. d E déduire la ature de la série r. ( ) I = ( ) a( + ) + O α x + x dx. 6

7 2 - Espaces Vectoriels Normés 2 - Normes Exercice 2. Normes sur u produit fii de K-ev. Soiet N, (E k, N k ) k des K-ev, E = E i. Cosidéros pour tout x = (x,, x ) de E les réels x, x 2, x défiis par : [ ] x = N k (x k ), x 2 = (N k (x k )) 2 2, x = max N k(x k ). k k= Motrer que les applicatios.,. 2,. sot des ormes sur E. k= Exercice 22. Les applicatios suivates sot-elles des ormes sur E? E = R 2 : (x, y) 5x + 3y, (x, y) x 2 + xy + 2y 2 2 E = C ([, ]; R) : f f() + k= f (t) dt, g g (t) dt. { } Exercice 23. E = f C ([, ]; R) ; f() =. O ote N (f) = sup f(t) et N (f) = sup f (t). t [,] t [,] Motrer que ce sot des ormes sur E mais pas équivaletes. Exercice 24. Soiet (a, b) R 2 tels que a < b, et E = C([a, b], R). O cosidère les ormes, 2, et défiies par : [ b ] b f = f(t) dt, f 2 = f(t) 2 2 dt, f = sup f(t). a a t [a,b] Motrer que f E f (b a) 2 f 2 et f E f 2 (b a) 2 f. 2 Démotrer que, 2, sot deux à deux o équivaletes. H-Prépa : lire exercice 5. H-Prépa : exercice 6 (derière questio à lire) H-Prépa : exercices 3, Autres exercices Exercice 25. Ouvert ou fermé? (], [) 2 das R 2 a Q das R 2 {(x, y)/xy = } das R 2 Exercice 26. Soit A ue partie o vide majorée de R. Motrer que sup A Ā. H-Prépa : exercices 8,, 2. Exercice 27. (DS 26) Soit E u espace vectoriel sur R ou sur C. Quelle est la défiitio d ue orme N défiie sur E? 7

8 2 Das la suite E = M (R). O cosidère la base caoique B de E formée des matrices B ij e possédat qu u élémet o ul situé sur la i ème lige et la j ème coloe. O ote m ij les composates d ue matrice M das cette base. O cosidère les applicatios N et. défiies sur E par : N(M) = max i,j m ij et M = max i,j m ij. a Motrer que N et. sot des ormes sur E. b Motrer que : A E B E N(AB) N(A) N(B). c N et. sot-elles équivaletes? 3 Soit A ue matrice carrée d ordre à coefficiets réels. O cosidère la suite de matrices ( ) k! Ak k= a Motrer que c est ue suite de Cauchy pour N. b E déduire qu elle coverge pour N. O ote e A sa limite. c Coverge-t-elle pour.? Si oui, quelle est sa limite? d Commet faire pour calculer e A à partir des composates de A? 4 Applicatio : Expliciter e A das le cas A = ( 5 Applicatio 2 : Soit θ u réel fixé. Expliciter e B das le cas B = ) ( θ θ ). 8

9 3 - Cotiuité 3 - Exercices basiques H-Prépa : exercice 2, Applicatio 2. Exercice 28. Etudier la cotiuité de l applicatio g : C C défiie par : g(z) = z Exercice 29. Détermier si les applicatios ( suivates ) sot cotiues sur leur esemble de défiitio : x si y f : R 3 R 2 défiie par : f(x, y, z) =, z + y 2 si y, et f(x,, z) = (x, z). ( y ) x si xy 2 g : R 2 R défiie par : g(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (, ), et g(, ) =. Exercice 3. Motrer que l applicatio h : R 2 R défiie par : h(x, y) = et h(, ) = est pas cotiue e (, ). ( ) ta xy x 2 + y 2 si (x, y) (, ), Exercice 3. Soit u ue applicatio cotiue u : R R. Les esembles suivats sot-ils ouverts? fermés? {(x, y) R 2 / y u(x)}, 2 {(x, y) R 2 / y < u(x)}. Exercice 32. Represeter graphiquemet les parties suivates de R 2 et, pour chacue d elle dire si elle est ouverte, fermée, ou bie i ouverte i fermée. {(x, y) R 2 / x et y }, 2 {(x, y) R 2 / xy > }. Exercice 33. Les esembles suivats sot-ils fermés? borés? {(x, y) R 2 / x 4 + 3y 6 = }, 2 {(x, y) R 2 / x 2 + y 3 = }. H-Prépa : Applicatio 5. Exercices 9, c). H-Prépa : Exercice résolu 2 p. 88 : ) et 2). Exercice 34. (Exame 29) Soit N. Soiet B et C deux élémets de M (R), l esemble des matrices carrées d ordre à coefficiets réels. Motrer que l applicatio g défiie sur M par : g(m) = BMC est cotiue sur M. Das la suite de l exercice o cosidère = 3. 2 Soit k u etier o ul. Soit M k la matrice de M 3 3 défiie par : M k = ( 2) k e 2k Motrer que la suite (M k ) k coverge. Détermier sa limite. 3 Motrer que la suite (BM k C) k coverge. Détermier sa limite. 9

10 Exercice 35. (Exame 28) Motrer que la foctio f : (x, y, z) (x 2 + y 2, si(xyz)) est cotiue sur R 3. 2 Soit A ue matrice carrée d ordre à coefficiets réels. O ote <.,. > le produit scalaire euclidie sur R. Motrer que l applicatio h : R R R défiie par h(u, v) =< Au, v > est cotiue sur R R. Exercice 36. (Exame 28) Soiet E = C([, ]) l espace vectoriel des foctios cotiues sur [, ], à valeurs réelles, et l applicatio de E das R telle que : f E f = sup f(x). x [,] Démotrer (coveablemet) que est ue orme sur E. O muit E de cette orme. Soit φ l applicatio de E das R telle que : f E φ(f) = f(). 2 Démotrer que φ est ue forme liéaire cotiue sur l espace ormé E. 3 Démotrer que Ker φ = {f E ; φ(f) = } est u sous-espace fermé de E. 3-2 Autres exercices Exercice 37. Soiet Φ ue applicatio cotiue de R 3 das R, et u ue applicatio cotiue de R das R. Motrer que y Φ(x, y, u(y)) est cotiue de R das R. Exercice 38. Soiet f : R R et g : R R. O cosidère h : R 2 R l applicatio défiie par : h(x, y) = f(x) + g(y). Soit (a, b) R 2. Motrer que si f est cotiue e a et si g est cotiue e b, alors h est cotiue e (a, b). 2 O suppose que h est cotiue e (a, b). L applicatio f est-elle cotiue e a? g est-elle cotiue e b? H-Prépa : exercice 24. Lire exercices 6 et 23.

11 4 - Suites et Séries de Foctios 4 - Suites de foctios Exercice 39. Soiet (f ) ue suite de foctios croissates covergeat simplemet vers f sur u itervalle I de R. Motrer que la foctio f est croissate sur I. Exercice 4. Soit (f ) ue suite de foctios défiies sur [, 3]. O suppose que le graphe est le suivat : f (x) 2 3 x 2 + Etudier la covergece de cette suite (f ) et la ature de la covergece. Exercice 4. Pour tout etier o ul o cosidère la foctio f de [, + [ das R défiie par : f (x) = ( x ) x [, ] x ], + [ Motrer que la suite de foctios (f ) coverge simplemet sur [, + [ vers ue foctio f que l o détermiera. H-Prépa : exercice 2. Exercice 42. Soit f ue foctio défiie sur R par : f (x) = + (x ) 2. Motrer que (f ) coverge simplemet sur R vers ue foctio f que l o détermiera. 2 Détermier M = sup x R f (x) f(x). 3 La suite (f ) coverge-t-elle uiformémet sur R? a Motrer que (f ) coverge uiformémet sur tout segmet de R. b Que peut-o dire de la cotiuité de f?

12 4-2 Séries de foctios Exercice 43. Soit f des foctios défiies sur R telles que f coverge simplemet sur l itervalle J de R. O pose f = f. Motrer que : = Si, pour tout, les foctios f sot croissates sur J alors f est croissate sur J. 2 O suppose que J est cetré e. Si, pour tout, les foctios f sot paires alors f est paire. 3 O suppose que J = R. Si, pour tout, les foctios f sot périodiques de même période T, alors f est périodique de période T. Exercice 44. Chercher le domaie de défiitio des foctios : f : x = x!, g : x 2 Etudier la covergece ormale de : = x( x), h : x = ( ) 2 + x 2. = 2 + x 2, = x( x), = ( ) 2 + x 2. H-Prépa : exercices,. ( e x ) Exercice 45. Soit f : x = 2. Motrer que f est défiie, cotiue et dérivable sur [ l 2, + [. Détermier sa limite e +. Exercice 46. Etudier D f, cotiuité, limite e + de f : x xe x. = 2x Exercice 47. Etudier le domaie de défiitio de f : x = 2 + x 2. 2 Motrer que f est cotiue sur D f et doer ses limites aux bores de D f. Exercice 48. Etude de la foctio : f : x = sih 2, c est-à-dire domaie de défiitio, ses de (x) variatio, cotiuité, limite aux bores de so domaie de défiitio. Exercice 49. Etude de ζ (foctio de Riema) : ζ : x = x Etudier le domaie de défiitio, la cotiuité, la limite e +. 2 Motrer que ζ est de classe C sur ], + [ et calculer ses dérivées successives. 3 Etude e +. Motrer que : ζ(x) + x H-Prépa : exercices 5, 2. 2

13 5 - Séries Etières 5 - Rayo de covergece Exercice 5. Soit a x ue série etière de rayo R >. Motrer que la série etière a! x coverge pour tout x. 2 Détermier le rayo de covergece de a 2 x. 3 Détermier le rayo de covergece de b x avec, pour tout p, b 2p+ = et b 2p = a p. Exercice 5. Détermier le rayo de covergece des séries etières suivates : z + +, z 4 +, ( )z, ( + ) 3 z, (l ) z, a + b z a R +, b R +, q 2 z, q <, z 2, si( )z z. Exercice 52. Détermier le rayo de covergece des séries etières suivates : z4, 2 + z2, 2 z2, a z 2+,, a C, 2 z 2 (4 3) 2, z 3 8 ( + ), a z, a 2 =, a 2+ =. 5-2 Foctio somme Exercice 53. Détermier le rayo de covergece et calculer à l itérieur du disque ouvert de covergece : x, 2 x,, ( ) 2 x 2, x, x + x!( + 2), ( x) + (2 + )(2 + 3), x 2 (2)!, x 3 (3)! Exercice 54. Détermier le rayo de covergece et la somme à l itérieur du disque ouvert de covergece des séries de terme gééral : (a ) ( x!, ) x, ( + 2! + + ) x! Exercice 55. Soiet a u réel > et (a ) la suite réelle défiie par : a 2p si = 3p, p N a = a 2p+2 si = 3p +, p N si = 3p + 2, p N 3

14 Détermier le rayo de covergece de a x et calculer sa somme à l itérieur du disque ouvert de covergece. H-Prépa : Exercices 2, 6, 4. Exercice 56. Motrer que : l 2 = = ( ) + et π 4 = = ( ) Développemet e série etière Exercice 57. Calculer le DSE (au voisiage de ) des foctios suivates. Preciser l itervalle ouvert sur lequel le résultat est obteu. (x x ) 4, 3 x 2, si 3x + x cos 3x, cos(x + a), sih x, + 7x + e 2 x2, 3 8 x 3, l(2 + x), l(x 2 + 3x + 2), 4 x 4 Exercice 58. Calculer le DSE (au voisiage de ) des foctios suivates. Preciser l itervalle ouvert sur lequel le résultat est obteu. x e t2 dt, x 2 (x )(2 x) 2, x 9 + x 2, l(x + + x 2 ), arcsi x, e x x H-Prépa : Exercices 8. Exercice 59. de f et l itervalle de covergece. Détermier ue équatio différetielle vérifiée par f : x arcsi x. E déduire le DSE x 2! Exercice 6. O ote, pour tout N : a =.3. (2 + ). O cosidère la SE a x 2+, et o ote R so rayo, S sa somme. Détermier R. 2 Motrer que S est solutio d ue équatio différetielle liéaire du premier ordre, et e déduire ue expressio simple de S. 3 Etudier S au bord de l itervalle de covergece. 5-4 Applicatios Exercice 6. Motrer que l applicatio f : R R défiie par f(x) = cos x x = est de classe C sur R. x 2 si x et par 2 si H-Prépa : Lire applicatio 5. Exercice 62. E utilisat des SE, résoudre l équatio différetielle : y (x) 3y(x) =, y() = 4

15 H-Prépa : Exercice 5. Exercice 63. Motrer qu il existe ue solutio uique f, DSE sous la forme f(x) = + l équatio différetielle (E) : 2xy + y y = = a x, de Détermier le rayo de covergece de cette série et calculer sa somme à l aide de foctios usuelles. 2 E déduire l esemble des solutios de E sur R. O pourra effectuer le chagemet de foctio y = zf(x). Quelles sot les solutios cotiues sur R? de classe C sur R? Exercice 64. Soit (s ) la suite défiie par s = s =, et s = s + s 2 pour 2. Motrer que s 2. Motrer que le rayo de covergece R de s x est strictemet positif. 2 Calculer s x pour x < R. 3 Calculer R et s pour tout. 5-5 Autres exercices Exercice 65. Résoudre l équatio = (3 + ) 2 x = d icoue x R. Exercice 66. O cosidère la suite réelle (u ) N défiie par u = u =, et, pour tout N : u +2 = u u. O ote R le rayo de la SE u x, et S sa somme. Motrer : N, u 2. E déduire R. 2 Former ue équatio différetielle liéaire du premier ordre satisfaite par S, et e déduire l expressio de S à l aide de foctios usuelles. 3 E déduire u. H-Prépa : Exercices 4, 8. 5

16 6 - Itégrales covergetes et foctios itégrables Exercice 67. x est itégrable sur ], ]? sur [, + [? Exercice 68. Exercice 69. Soit α u réel. Etudier l itégrabilité de l x est itégrable sur ], 2]? sur [2, + [? sur ]3, + [. (x 3) α Exercice 7. Motrer que la foctio f défiie par f(u) = ue u est itégrable sur ], + [ et calculer + f(u) du ( 2 Motrer que la foctio g défiie par g(u) = cos est itégrable sur ], u) π 2 [. Exercice 7. Etudier l itégrabilité de : x x si x x 2 sur ], 2π]. 2 x x (si x)e x2 sur R. 3 x cos 2 sur ], 2π]. 4 x sur R. t + x2 Exercice 72. Etudier la covergece des itégrales suivates : + t 2 e t dt, + t (e t ) dt, + 3 t + 3 t t dt, dt t 3 dt Exercice 73. Etudier l itégrabilité sur I des foctios suivates : f(t) = t(t + ), I =], + [; g(t) = t a l t b, I = [2, + [, ], 2 ], [, 2], ], + [ 2 f(t) = si 5t si 3t t 5 3, I =], + [; g(t) = si t 2 l( +, I =], + [; h(t) = si(l t), I =], ] t) Exercice 74. O ote I = π 2 l(si x) dx, J = π 2 l(cos x) dx, K = Démotrer que les itégrales I, J, K sot absolumet covergetes. 2 Démotrer que I + J = K π l Démotrer que J = K = I. E déduire la valeur de I. Exercice 75. Existece et calcul de : + π 2 + t t 4 dt x e ax dx (a > ) l(si 2x) dx 6

17 Exercice 76. Démotrer que f(t) = l t t E déduire : + + l t t 2 + a 2 dt = π l a, pour a >. 2a est itégrable sur ], + [, et que f(t) dt = f(t) dt 7

18 7 - Aales Exame 24 Exercice. Etudier la covergece des séries : 4 e 2, 2 ( + ( ) l ). 2 Exercice 2. K désige R ou C. O ote E l espace vectoriel K. Pour tout x = (x,, x ) de E o cosidère les réels N 2 (x) et N (x) défiis par : [ ] N 2 (x) = x k 2 2, N (x) = max x k. k k= Motrer que les applicatios N 2 et N aisi défiies sot des ormes sur E. 2 Quelle est la défiitio de deux ormes équivaletes? 3 N 2 et N sot-elles équivaletes? (vous justifierez votre répose). Exercice 3. Motrer que l applicatio f, défiie sur R 3 par ( x 2 ) + 2y f(x, y, z) = + x 2 + y 2, exz, z y x est cotiue sur R 3. 2 Motrer que l applicatio g, défiie sur R 2 par est cotiue sur R 2. g(x, t) = t 5 e t + 2x 4 + t 4 Exercice 4. Soit (f ) ue suite de foctios défiies sur [, ] par : f (x) = x si x si x Etudier la covergece simple et la covergece uiforme sur [, ] de la suite de foctios (f ). 8

19 Exercice 5. Calculer le DSE (au voisiage de ) de la foctio arcta. Preciser l itervalle ouvert de covergece de la série obteue. ( ) 2 Motrer que 2 + = π 4. = Exercice 6. O cosidère l équatio différetielle E suivate : ( x 2 )y (x) 6xy (x) 4y(x) = Motrer qu il existe ue solutio f, développable e série etière au voisiage de x =, de (E). Preciser u itervalle ouvert sur lequel f est solutio de (E). 2 Ecrire f à l aide de foctios usuelles. 9

20 Exame 25 Exercice. (3 poits) Détermier la ature (covergece ou divergece) des séries suivates : 3 + 3, 2 si(α) 2, (α R), 3 ( ( ) ). 2 + ( ) Exercice 2. (,5 poit) Motrer que l applicatio f, défiie sur R 3 par est cotiue sur R 3. f(x, y, t) = ( x 2 ) + 2y + x 2 + y 2, ext Exercice 3. (,5 poit) Soit (f ) ue suite de foctios défiies sur [, ] par : f (x) = x si x si x Etudier la covergece simple et la covergece uiforme sur [, ] de la suite de foctios (f ). Exercice 4. (8 poits) O cosidère l équatio différetielle E suivate : ( x 2 )y (x) 6xy (x) 4y(x) = O veut détermier les solutios y de E développables e série etière sur u itervalle ouvert I iclus das ], [. O ote = c x ue telle solutio. Détermier la relatio de récurrece vérifiée par c. E déduire l expressio de c 2p e foctio de c, et de c 2p+ e foctio de c. 2 Quels sot les rayos de covergece de E déduire l expressio de y. Préciser I. 3 Ecrire p= c 2p x 2p et p= p= c 2p x 2p et de p= c 2p+ x 2p+ à l aide de foctios usuelles. E déduire ue écriture de y à l aide de foctios usuelles. c 2p+ x 2p+? 2

21 Exercice 5. (6 poits) Calculer le DSE (au voisiage de ) de la foctio arcta. Préciser l itervalle ouvert de covergece de la série etière obteue. 2 Détermier le domaie de défiitio de cette série de foctios. ( ) 3 Doer ue expressio plus simple de (2 + ) Motrer que = ( ) 2 + = π 4. = 2

22 Exame 26 Exercice. ( 6 poits) O cosidère ue suite borée (a ) de ombres complexes. a Démotrer la covergece de la série de terme gééral ( + ) 2 Démotrer la relatio suivate, où les etiers p et q vérifiet < p < q : q ( + ) = p q + =p E déduire la somme de la série de terme gééral ( + ) où décrit N. 3 Das cette questio o pose a = x pour. x a Détermier le rayo de covergece R de la série etière de terme gééral ( + ) b Sur u itervalle ouvert à préciser, exprimer la somme de cette série à l aide de foctios usuelles. ( ) c Calculer ( + ) = Exercice 2. (4 poits) Détermier la ature (covergece ou divergece) des séries suivates : 5 + 5, 2, 3 l ( + ( ) ) Exercice 3. (5 poits) Etude d ue série dot le terme gééral est le reste d ue série covergete. Soit u etier aturel fixé. Soit a ue série covergete. O défiit pour etier aturel supérieur ou égal à, r so reste de rag : r = k=+ O pose pour, a = 2. Calculer r puis motrer que r coverge et calculer sa somme. 2 O pose pour, a = 2. a k. a Motrer que pour tout etier aturel o ul o a : + r + + ( + ) 2 b Doer alors u équivalet de (r ) lorsque est au voisiage de +. Que peut-o e coclure sur la ature de la série r? Exercice 4. (2 poits) 22

23 Motrer que l applicatio f, défiie sur R 3 par f(x, y, t) = ( + x 2 + y 2, e xt) est cotiue sur R 3. 2 O cosidère ue matrice A θ défiie par : A θ = cos θ si θ si θ cos θ Quelle est la limite, quad θ ted vers π 3, de la foctio f : θ A θ? Exercice 5. (3 poits) Développer e série etière sur u itervalle à préciser : 2 Calculer = x e t2 dt. si(θ) 2. O précisera pour quelles valeurs de θ ce calcul est valide. 23

24 Exame 27 Exercice. Détermier, quad cela est possible, la ature (covergece ou divergece) des séries de terme gééral u vérifiat : 3 ( ) ( + o 2 3 ( ) + o ), 2 ( ), 4 ( ) Exercice 2. Motrer que l applicatio f, défiie sur R 2 par : ( ) f(x, y) = x 2 + y 2, cos(xy) 2 3 ( ) ( ) ( + O 3 2 ), ( + o 4 3 ). est cotiue sur R 2. Exercice 3. Développer e série etière sur u voisiage de à préciser les foctios suivates : x x (x 2)(x + ), 2 x si(t 2 ) dt. Exercice 4. Etude de la foctio : f : x = sih(x). Pour > o ote f la foctio défiie sur R par f (x) = Détermier le domaie de défiitio de f. 2 Etudier la parité de f. sih(x). 3 Etudier le mode de covergece de la série de foctios f sur ], + [. 4 Motrer que f est cotiue sur ], + [. 5 Etudier la limite de f e +. 6 Détermier la limite de f e +. 7 Faire le tableau de variatio de f. Exercice 5. Rayo de covergece et somme de la série etière : ( 3 + )x 2 Calculer A = 2 =. Idicatio : o pourra itroduire ue série etière dot o calculera la somme. 24

25 Exercice 6. Hors barème. Soiet x ], [ et N. Soiet f les foctios de la variable réelle t défiies sur [, ] par : f (t) = (tx) + t 2. Motrer que la série de foctios f est défiie sur [, ] et coverge ormalemet sur cet itervalle. 2 Notos a = f (t) dt. A l aide d u ecadremet de a détermier le rayo de covergece R de la série etière a x. 3 Motrer que : x ] R, R[ ( = t + t 2 dt ) x = ( tx) + t 2 dt 25

26 DISVE Pôle Licece ANNEE UNIVERSITAIRE 29/2 SESSION D AUTOMNE PARCOURS : CODE UE : CPI 37 Epreuve : Aalyse Date : 7 Javier 2 Heure : 4h Durée : 3h Documets : No autorisés. Epreuve de : Mme Ag. Bachelot Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio de la rédactio. Le barème est idicatif. Exercice. 5 poits Motrer que la foctio f : (x, y, z) (x 2 + yx, e z ) est cotiue sur R 3. 2 Soit N. Soiet B et C deux élémets de M (R), l esemble des matrices carrées d ordre à coefficiets réels. a Motrer que l applicatio g défiie sur M par : g(m) = BMC est cotiue sur M. Das la suite de l exercice o cosidère = 3. b Soit k u etier o ul. Soit M k la matrice de M 3 3 défiie par : M k = ( 2) k e 2k Motrer que la suite (M k ) k coverge. Détermier sa limite. c Motrer que la suite (BM k C) k coverge. Détermier sa limite. Exercice 2. Cet exercice est que pour les Cocours Chimie. 5 poits Soit α u réel. Démotrer que l itégrale cas calculer dt t α. 2 Motrer que la foctio f défiie sur [, + [ par f(x) = Calculer I = + dt coverge si, et seulemet si, α <. Das ce tα f(x) dx. (O pourra faire u chagemet de variable.) x est itégrable sur [, + [. ( + x) 2 3 Motrer que la foctio g défiie sur ], + [ par g(x) = l x est itégrable sur ], + [. + x2

27 ANNEE UNIVERSITAIRE 29/2 SESSION 2 DE PRINTEMPS DISVE Pôle Licece PARCOURS : CODE UE : CPI37 Date : 6 mars 2 Heure : 8h3 Durée : 3h Epreuve : Aalyse Documets : No autorisés Epreuve de : Mme Ag. Bachelot Exercice. O cosidère les séries suivates de terme gééral oté u. Dire, e le justifiat, si elles sot covergetes, divergetes ou si o e peut pas détermier leur ature. u = ( ) 3 u = ( ) ( ) + O 2 ( + O ) 2 u = ( ) ( + o u = ( ) + o ) Exercice 2. O cosidère l équatio différetielle E suivate : ( x 2 )y (x) 6xy (x) 4y(x) = O veut détermier les solutios y de E développables e série etière sur u itervalle ouvert I iclus das ], [. O ote = c x ue telle solutio. Détermier la relatio de récurrece vérifiée par c. E déduire l expressio de c 2p e foctio de c, et de c 2p+ e foctio de c. 2 Quels sot les rayos de covergece de E déduire l expressio de y. Préciser I. 3 Ecrire p= c 2p x 2p et p= p= c 2p x 2p et de p= c 2p+ x 2p+ à l aide de foctios usuelles. E déduire ue écriture de y à l aide de foctios usuelles. c 2p+ x 2p+? Exercice 3. Calculer le DSE (au voisiage de ) de la foctio l( + x). Préciser l itervalle ouvert de covergece de la série etière obteue. 2 Détermier le domaie de défiitio de cette série de foctios.

28 3 Doer ue expressio plus simple de = ( ) (Pas pour les cocours chimie) Motrer que = ( ) + = l 2. Exercice 4. (Pour les cocours chimie) Détermier si l itégrale suivate est covergete : Si oui la calculer. + + x 2 dx Exercice 5. D après Cocours Deug 27 Partie I Premiers résultats : a Détermier le rayo de la série etière b Motrer que la suite de terme gééral l précisera. E déduire la ature de la série c Détermier la ature de d Calculer b a l t t l x. est mootoe à partir d u certai rag que l o ( ) l. l. La série ( ) l dt où a et b sot des réels strictemet positifs. 2 Soiet u etier et f ue foctio cotiue et décroissate sur [, + [. est-elle absolumet covergete? a Motrer que pour tout etier k [, + [, o a f(k + ) b E déduire u ecadremet de f(k). k= + k+ k f(t) dt f(k). 3 Détermiatio d u équivalet de la somme partielle : a Expliciter cet ecadremet das le cas où f est la foctio x l x (o calculera les x itégrales et o précisera ). l k b Détermier, e justifiat, u équivalet simple de lorsque est au voisiage de + k k= (o l exprimera à l aide de l ). 2

29 DISVE Pôle Scolarité ANNEE UNIVERSITAIRE 2/2 SESSION D AUTOMNE PARCOURS : CODE UE : CPI 37 Epreuve : Aalyse Date : 2 Javier 2 Heure : 4h Durée : 3h Documets : No autorisés. Epreuve de : Mme Ag. Bachelot Le barème est idicatif. Pour tous les étudiats le sujet comporte 7 exercices idépedats. Exercice. (2 poits) Les assertios suivates, das lesquelles u et v désiget deux séries umériques réelles, sot-elles vraies ou fausses? E cas de répose affirmative, vous démotrerez le résultat, et e cas de répose égative, vous doerez u cotre-exemple. (u ) coverge vers = u coverge. 2 u coverge = (u ) coverge vers. 3 u v = u et v sot de même ature. + 4 (Das cette questio, a >.) u coverge = ( ) a+ a coverge vers u réel l <. Exercice 2. (4 poits) Motrer que la foctio f : (x, y, z) (si(x 2 + yx), z 3 ) est cotiue sur R 3. 2 Motrer que la foctio f de R 2 das R défiie par f(x, y) = 3x2 + xy si (x, y) (, ), et par x 2 + y2 f(, ) = est cotiue e (, ). 3 Motrer que la foctio f de R 2 \ {(, )} das R défiie par f(x, y) = 3x2 + xy x 2, est pas + y2 prologeable par cotiuité e (, ). Exercice 3. (3,5 poits) f désige la foctio défiie sur R par f(t) = e t2. O pose I = f(t)dt. Démotrer que la foctio f est développable e série etière (o détermiera la série etière et o précisera so rayo de covergece). ( ) 2 E déduire avec soi que I =! 2 +. = ( ) k 3 Pour N, o pose s = k! 2k +. k= Justifier que pour tout N, o a : s I ( + )!(2 + 3). 4 E déduire u etier N tel que pour N, o a s I 6.

30 Exercice 4. (3 poits) Détermier le rayo de covergece des séries etières suivates et calculer leur somme sur u itervalle à préciser. 2 x 2 2 x!( + 2) Exercice 5. (3,5 poits) O pose, pour tout N : u = C k k=, où C k =! k!( k)!. Calculer 2( + )u + 2( + ). E utilisat le chagemet d idice défii par j = k démotrer que : N, u + = ( + ) u 2 Détermier le rayo de covergece de la série etière u x, où la variable x est réelle. 3 Notos S la somme de la série etière u x. C est-à-dire, x ] R, R[, S(x) = a Que pouvez-vous dire sur la régularité de S? = u x. b Doer e foctio de u l expressio de la dérivée de S sur u itervalle à préciser. c Motrer que S satisfait sur ], [ l équatio différetielle : (2 x)s 2 (x) 2S(x) = ( x) 2. Exercice 6. (3 poits) O cosidère la foctio ζ : x Etudier le domaie de défiitio de ζ. 2 Motrer que ζ est cotiue sur so domaie de défiitio. 3 Calculer la limite e + de ζ. = x. Exercice 7. Pour les Cocours Chimie. (4 poits) Détermier si l itégrale suivate est covergete, et, si oui, la calculer : + + x 2 dx 2 Motrer que la foctio g défiie sur ], + [ par g(t) = t(t + ) est itégrable sur ], + [. Exercice 8. Pas pour les Cocours Chimie. (4 poits) Soit (f ) N la suite de foctios défiies pour a > par : f (x) = + (a + x 2 ), x R. Motrer que pour a >, cette suite coverge simplemet et uiformémet sur R. 2 Pour a =, étudier la covergece simple et uiforme de la suite (f ) N. 2

31 DISVE Pôle Scolarité ANNEE UNIVERSITAIRE 2/2 SESSION 2 DE PRINTEMPS PARCOURS : CODE UE : CPI 37 Epreuve : Aalyse Date : 5 mars 2 Heure : 8h3 Durée : 3h Documets : No autorisés. Epreuve de : Mme Ag. Bachelot Exercice. O cosidère les séries suivates de terme gééral oté u. Dire, e le justifiat, si elles sot covergetes, divergetes ou si o e peut pas détermier leur ature. u = ( ) 3 u = ( ) ( ) + o 2 ( + o ) 2 u = ( ) + o u = 3 2 ( ) + o 2 Exercice 2. Motrer que la foctio f : (x, y, z) (e yx, z 3 ) est cotiue sur R 3. 2 Motrer que la foctio f de R 2 das R défiie par f(x, y) = y 2 si (x, y) (, ), et par x 2 + y2 f(, ) = est cotiue e (, ). 3 Motrer que la foctio f de R 2 \ {(, )} das R défiie par f(x, y) = 3x + y, est pas x 2 + y2 prologeable par cotiuité e (, ). Exercice 3. O cosidère la série umérique de terme gééral u = Démotrer que u est covergete. O ote S la somme de la série u, et R so reste d ordre E majorat u par le terme gééral d ue série géométrique, trouver u etier aturel N tel que R N 2. 3 E déduire l expressio d ue valeur approchée à 2 près de S. Exercice 4. Détermier le rayo de covergece des séries etières suivates et calculer leur somme sur u itervalle à préciser. 3 x 2 x + 2

32 Exercice 5. O cosidère l équatio différetielle E suivate : ( x 2 )y (x) 6xy (x) 4y(x) = O veut détermier les solutios y de E développables e série etière sur u itervalle ouvert I iclus das ], [. O ote = c x ue telle solutio. Détermier la relatio de récurrece vérifiée par c. E déduire l expressio de c 2p e foctio de c, et de c 2p+ e foctio de c. 2 Quels sot les rayos de covergece de E déduire l expressio de y. Préciser I. 3 Ecrire p= c 2p x 2p et p= p= c 2p x 2p et de p= c 2p+ x 2p+ à l aide de foctios usuelles. E déduire ue écriture de y à l aide de foctios usuelles. c 2p+ x 2p+? Exercice 6. Motrer que la foctio arcta est développable e série etière au voisiage de. O ote a x la série etière obteue. 2 Détermier le domaie de défiitio de la série de foctios f, où f : x a x. 3 Doer, e le justifiat, ue expressio plus simple de 4 Pas pour les Cocours Chimie. Motrer que = = ( ) (2 + )2 2+. ( ) 2 + = π 4. Exercice 7. Pour les Cocours Chimie. Détermier si l itégrale suivate est covergete, et, si oui, la calculer : + te t dt 2 La foctio g défiie sur ], + [ par g(t) = si t t 3 2 est-elle itégrable sur ], + [? 2

33 8 - Lies D autres exercices iteractifs de mathématiques : Pour les séries etières : 2Foefseries.fr Pour les séries de Fourier du semestre suivat : 2Foeffourier.fr et : fr Pour les DL : 2Foeftaylor.fr et : fr 33

34 9 - Rappels : Développemets limités Développemets limités de quelques foctios usuelles e : e x = + x! + x2 2! + + x! + o(x ) cosh(x) = + x2 2! + x4 4! + + x2 (2)! + o(x2 ) sih(x) = x + x3 3! + + x2+ (2 + )! + o(x(2+) ) cos(x) = x2 2! + x4 x2 + + ( ) 4! (2)! + o(x2 ) si(x) = x x3 3! ( + x) α = + αx ( ) x2+ (2 + )! + o(x(2+) ) α(α ) x ! x = + x + x2 + + x + o(x ) + x = x + x2 x ( ) x + o(x ) l( x) = x x2 2 x + o(x ) l( + x) = x x2 2 + x3 x + + ( ) 3 + o(x ) α(α )... (α + ) x + o(x )! Opératios sur les développemets limités Soiet f, g deux foctios qui admettet e les développemets limités à l ordre suivats { f(x) = a + a x + a 2 x a x + o(x ) g(x) = b + b x + b 2 x b x + o(x ) O ote P (x) = a + a x + a 2 x a x et Q(x) = b + b x + b 2 x b x f + g admet e u développemet limité à l ordre doé par : (f + g)(x) = f(x) + g(x) = P (x) + Q(x) + o(x ) fg admet e u développemet limité à l ordre doé par : (f.g)(x) = f(x).g(x) = R(x) + o(x ) où R(x) s obtiet e développat le produit des polyômes P (x).q(x) et e e gardat que les termes de degré iférieur ou égaux à. Si b alors f admet e u développemet limité à l ordre que l o obtiet e effectuat g la divisio suivat les puissaces croissates de x jusqu à l ordre de a + a x + a 2 x a x par b + b x + b 2 x b x. Si b = alors f g admet e u développemet limité à l ordre. O a : (f g)(x) = a + a [Q(x)] + a 2 [Q 2 (x)] + + a [Q (x)] + o(x ) 34

35 où [Q k (x)] désige le polyôme obteu e développat le produit Q k (x) et e e gardat que les termes de degré iférieur ou égaux à. Exemple : Développemets limités e à l ordre 5 : f(x) = e x = + x! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! + o(x5 ) g(x) = si x = x x3 3! + x5 5! + o(x5 ) O ote P (x) = + x! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 5! et Q(x) = x x3 3! + x5 5! e x + si x = + 2x + x2 2! + x4 4! + 2x5 5! + o(x5 ) [ e x si x = + x ] [ ]! + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x5 x x3 5! 3! + x5 + o(x 5 ) 5! [ ] [ ] [ ] = x x3 3! + x5 + x x x3 + x2 x x3 + x3 x4 [x] + 5! 3! 2! 3! 3! 4! [x] + o(x5 ) = x + x x3 3 x5 + o(x 5 ) (exp si)x = e si x = e x x3 3! +x5 5! +o(x5 ) [ ] = + x x3 3! + x5 + [ ] 2 x x3 5! 2 3! + x5 + [ 5! 3! + [ ] 4 x x3 4! 3! + x5 + [ ] 5 x x3 5! 5! 3! + x5 + o(x 5 ) 5! [ = + x ] 6 x3 + x5 + [x 2 ] 5! 2 3 x4 + 6 = + x + 2 x2 8 x4 5 x5 + o(x 5 ) x x3 3! + x5 5! ] 3 [x 3 ] 2 x5 + [x 4] + [ x 5] + o(x 5 ) 24 2 Exemple : Obtetio du développemet limité à l ordre 5 de ta x par divisio suivat les puissaces croissates de x jusqu à l ordre 5 de x x3 3! + x5 5! par x2 2! + x4 4! +. = = x x3 6 + x5 2 [ ] x x3 2 + x5 24 x 3 3 x5 [ 3] x 3 3 x5 6 2x 5 5 x2 2 + x4 24 x + x x5 5 D où : ta x = x + x x5 5 + o(x5 ) 35

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