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Jean-Luc Lesage
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1 MOTS BINAIRES Mots biaires de logueur 2 Rappel : le logarithme e base b 3 Le choix de la logueur des mots biaires 4 Calculs avec les mots de logueur 5 Le poids d u mot biaire de logueur 6 La distace de HAMMING 7 Temps moye de lecture par page (exercice compris) : 0 miutes

mots de logueur 5 Le poids d u mot biaire de logueur 6 La distace

2 2 Mots biaires de logueur Défiitio Lorsque m :{,,} B = { 0,} o dit que m est u mot biaire de logueur La logueur du mot biaire est u etier positif o ul m :{,2,3} B = { 0,} avec m() = 0 m(2) = m(3) = est u mot biaire delogueur 3 Ecriture Lorsque m :{,,} B = { 0,}, o écrit souvet m ()m(2)m() Le mot biaire m :{,2,3} B = { 0,} avec m() = 0 m(2) = m(3) = s écrit : 0 Notatio L esemble de tous les mots biaires dot la logueur est est oté B s U élémet de B 8 est u octet U mot de logueur est simplemet u élémet de B = { 0,} Le ombre de mots biaires de logueur Il y a exactemet 2 mots biaires de logueur : le ombre d élémets de B est 2 O dit : «le cardial de B est 2», o écrit : Card B 2 = s ) Il y a 2 = 2 mots biaires de logueur : m 0 :{ } { 0;} tel que m0() = 0 et m :{ } { 0;} tel que m() = 2) Il y a 2 8 = 256 octets ; Exercice Doer la plus petite valeur de pour que Card B 00 2 Doer e foctio de, pour 2, le ombre de mots de logueur qui commecet par et se termiet par 0 3 Pour l etier k tel que 0 < k <, doer e foctio de et k le ombre de 2 mots de logueur tels que m(i) = si i k et m(j) = 0 si k + j Réposes 7;2 2 ;2 2k Rappel Soiet p et q des etiers tels que p q: le ombre des etiers i tels que p i q est q p +

biaires dot la logueur est est oté B s U élémet de B 8 est u octet U mot de logueur est simplemet u élémet de B = { 0,} Le ombre de mots biaires de logueur Il y a exactemet 2 mots biaires de logueur

3 3 Rappel : le logarithme e base b Défiitio Si b est u ombre réel positif différet de 0 et de alors pour tout ombre réel x positif o ul il existe u ombre réel oté logb(x) tel que : b logb(x) = x Le ombre log b(x), c est le «logarithme e base b de x» Le ombre logb(x) est «l exposat qu il faut mettre à b pour obteir x» 0 3 = 000 doc log0(000) = = 8 doc log2(8) = 3 Propriété b 0 = doc log b() = 0 pour ombre réel b positif différet de 0 et de Formule Si ( b' 0,b' 0,b' ) alors : Preuve b' log b' (x) = x = b logb(x) (b) logb' logb(x) = et (x) logb' b = log b() = 0 log b' (x) log b(x) = logb' (b) logb'(b) b' log b (x) b' log b' (b) x: b' log b' (b) logb(x) = x = b' log b' (x) = doc: et logb(x) = doc: logb'(x) log b' (b) Calcul du logarithme e base b de x à l aide d ue calculatrice Les calculatrices doet les valeurs approchées de log 0(x) et loge(x) Log0 est accessible par la touche log, loge par la touche l Pour calculer logb (x) avec ue calculatrice o utilise au choix : log (x) log(b) log (x) log (x) 0 ; log (x) e b = = b = = log0 (b) log(b) loge (b) l(x) l(b) Exercice 2 Soit b 0,b 0,b E utilisat la défiitio de log b, doer e foctio de x la valeur de log x b(b ) Répose x

b() = 0 pour ombre réel b positif différet de 0 et de Formule Si ( b' 0,b' 0,b' ) alors : Preuve b' log b' (x) = x = b logb(x) (b) logb' logb(x) = et (x) logb' b = log b() = 0 log b' (x) log b(x) =

4 4 Le choix de la logueur des mots biaires Questio fodametale O veut désiger chaque objet d u esemble de N objets (N est u etier positif o ul) par u mot biaire de logueur fixée à, quelle doit être la valeur miimum de l etier? Répose La valeur miimum de l etier est le plus petit etier supérieur au ombre réel x qui vérifie : 2 x = N C est doc le plus petit etier tel que : log(n) l(n) log2(n) = = log(2) l(2) Notatio Si u est u ombre réel It(u) désige sa partie etière It (2) = 2, It(2,758475) = 2, It(2,758475) + = 3 Doc le plus petit etier tel que log2(n) est : It(log2(N)) + si It(log2(N)) log2(n) et log2(n) si It (log2(n)) = log2(n) s ) Si l esemble des N objets cosidérés est l esemble des 26 lettres de l alphabet o calcule log(26) l(26) log2(26) = = = 4, log(2) l(2) doc = It(log2(26)) + = 5 2) Si l esemble des N objets cosidérés est l esemble des 65 millios des idividus d ue populatio o calcule : log 6 2(65 0 ) = 25, O choisit = 26 Remarque Avec = 26 o peut désiger 2 26 = idividus mais avec = 25 o e peut désiger que 2 25 = idividus

Répose La valeur miimum de l etier est le plus petit etier supérieur au ombre réel x qui vérifie : 2 x = N C est doc le plus petit etier tel que : log(n) l(n) log2(n) = = log(2) l(2) Notatio Si u est

5 5 Calculs avec les mots de logueur L additio modulo 2 das B 0 0 = 0 B = { 0;} 0 = 0 = = 0 Propriétés très utiles )a 0 = a 2)a b = b a 3)a (b c) = (a b) c 4 )a a = 0 Les propriétés, 2, 3, 4 impliquet la propriété a b = c a = b c c a = b (Tout terme peut chager libremet de côté du sige «=» L additio modulo 2 das B m : k m(k) m m': k m B m' B { 0; } et m': k m' (k) { 0; } m(k) m' (k) = m m' (k) pour k {,, } s 0 0 = 00 0 = 00 = 000 Le mot ul de logueur O peut oter " m0 " ce mot m 0 (k) = 0 pour tout etier k {,,} Remarque Pour chaque valeur de il y a u mot ul de B o devrait le oter m0 Lorsqu il y a pas d ambigüité o ote simplemet " m0 " le mot ul de logueur Propriétés très utiles des mots de logueur )m m0 = m 2 )m m' = m' m 3)m (m' m' ') = (m m' ) m' ' 4) m m = m0 Les propriétés, 2, 3, 4 impliquet la propriété m m' = m' ' m = m' m' ' m' ' m = m' (Tout terme peut chager libremet de côté du sige «=») Exercice 4 O sait que m 0000 = 0000 Trouver m Répose m = puisque m 0000 = 0000 m = =

pour k {,, } s 0 0 = 00 0 = 00 = 000 Le mot ul de logueur O peut oter " m0 " ce mot m 0 (k) = 0 pour tout etier k {,,} Remarque Pour chaque valeur de il y a u mot ul de B o devrait le oter m0 Lorsqu

6 Le poids d u mot biaire de logueur Si m est u mot biaire de logueur so poids est par défiitio : w (m) = i = i= m(i) 6 (la somme est calculée e base 0) [ 0;] w :B Remarque Pour chaque valeur de l etier il correspod ue foctio poids w (qui devrait être otée w ) s w (0000) = 0; w(000) = ; w(000) = ; w(00) = 2;;w() = 4 Remarque Le poids d u mot biaire est égal au ombre de qu il cotiet Le mot de poids ul Il existe u seul mot biaire de poids ul : le mot m 0 qui e cotiet que des 0 Le mot de poids maximum Il existe das B u seul mot de poids maximum : le mot mqui e cotiet que des m(i) = pour tout i { ;; } O devrait écrire par exemple m : m B avec m(i) = pour tout i { ;;} doc: w (m) = La parité du ombre de qui composet u mot Le reste de la divisio de w () par 2 se ote w() mod(2) w (m) mod(2) B = { 0;} Si w (m) mod(2) = 0(w(m) est pair), le ombre de qui compose m est pair Si w (m) mod(2) = (w(m) est impair), le ombre de qui compose m est impair Formule Si m B alors : m() m(2) m() = w(m) mod(2) Le ombre de mots d u poids doé Si k est u etier tel que 0 k il existe exactemet C k mots biaires m de poids k E effet u mot biaire de poids k est défii par le choix de k etiers disticts parmi les etiers {,,} (les places de das le mot) et il y a choix de ce type Exercice 5 Doer ue iterprétatio de la Formule de Pascal k k k C + C = C faisat iterveir le poids des mots Remarque Les mots biaires de poids k de logueurs sot ceux qui se k termiet par (il y e a C ) et ceux qui se termiet par 0 (il y e a C ) k C k

poids ul Il existe u seul mot biaire de poids ul : le mot m 0 qui e cotiet que des 0 Le mot de poids maximum Il existe das B u seul mot de poids maximum : le mot mqui e cotiet que des m(i) = pour

7 La distace de HAMMING Si m et m sot deux mots biaires de logueurs, o sait calculer le mot biaire m m' qui est aussi de logueur La distace de HAMMING etre m et m est le poids du mot m m' O la ote d (m,m') m = 0 0 m' = d(m,m') 7 = w(m m') m m' = d(m, m' ) = w(00000) = 3 Remarques Si m' est ue copie de m alors d(m,m' ) est le ombre de fautes commises pedat la copie Si m B et m' B alors:d(m,m') 2 d (m,m') = lorsque tout est faux( fautes) 3 Si d(m,m') = 0 : m = m'(aucue faute) 4 d(m,m0 ) = w(m) (m0 est le mot ul) 5 d(m,m) = w(m) ( m est le mot de poids qui e cotiet que des ) Propriétés (les propriétés usuelles d ue distace) d(m,m) = 0 et si d(m,m') = 0 alors m = m' 0 d(m,m') d(m,m') = d(m',m) d(m,m'') d(m,m') + d(m',m'') Autres propriétés 0 d(m, m' ) si m B et m' B d(m m' ',m' m' ') = d(m, m' ) puisque: (m m' ') (m' m' ') = (m m' ') (m'' m' ) = (m (m'' m' ')) m' = m m' Exercice 6 m = 0; doer tous les mots m' tels que d(m,m') = ; doer m'' tel que d(m,m'') = 4 Réposes m ' = 00, m' =, m' = 00, m' = 00; m' ' = 000 Remarque Das B Pour obteir le mot m tel que d (m,m') = o défiit m' (i) par m' (i) = m(i) pour tout i,, : m(i) d(m, m' ) m' (i) = w(m m' ) = { } = m(i) (m(i) ) = (m(i) m(i)) = 0 = m = 0 m() = 0 m(2) = m(3) = 0 m(4) = 0 m ' = 000

alors:d(m,m') 2 d (m,m') = lorsque tout est faux( fautes) 3 Si d(m,m') = 0 : m = m'(aucue faute) 4 d(m,m0 ) = w(m) (m0 est le mot ul) 5 d(m,m) = w(m) ( m est le mot de poids qui e cotiet que des )

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