Dynamique des systèmes et automates à états

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1 Chpitre 8 Dynmique des systèmes et utomtes à étts L modélistion sttique s intéresse à ce qu il y dns le système, à s structure, etc. L modélistion de l dynmique trite de l évolution du système dns le temps. Il s git de modéliser les étts possiles du système et les trnsitions d un étt à l utre. Comme pour toute modélistion, le ut est d o rir un outil de risonnement qui soit pproprié pour répondre répondre à certine questions. Dns le cs de l dynmique les questions typiques que l on veut étudier sont : le système peut-il évoluer d un étt initil vers un étt souhité? le système risque-t-il de se loquer? peut-on tteindre certins étts plusieurs fois, ou même utnt de fois que l on veut? certins étts sont ils ou peuvent-ils devenir intteignles? Types de modélistion de systèmes Les vriles qui représentent l étt peuvent prendre des vleurs continues (dns l ensemle R) oudiscrètes(ilyunnomrefiniouinfinidénomrledevleurspossiles). Il en v de même pour le temps. On otient lors qutre types de modélistion : 9

2 8.. AUTOMATES À ÉTATS FINIS # vr.t! continu discret continues systèmes continus systèmes échntillonnés discrètes systèmes discrets systèmes à évènements discrets Notons que dns le cs de vriles continues on forcément un nomre infini d étts. Nous nous intéresserons ici ux systèmes à évènements discrets, pour lesquels nous étudierons deux formlismes de modélistion : les utomtes à étts finis et les rés de Petri. 8. Automtes à étts finis Le formlisme des utomtes à étt représente un système à évènements discrets à l ide. d étts 2. d évènements 3. de trnsitions Une trnsition s e! t signifie : qund on est dns l étt s et que l évènement e de produit on doit psser à l étt t. Onreprésenteengénérll ensemledestrnsitionsprungrphe où les noeuds sont les étts et les rcs les trnsitions, ou pr une tle de trnsition. Exemple 8.. Cycle de vie d un livre c Université de Genève G. Flquet 92

3 8.. AUTOMATES À ÉTATS FINIS commnder en commnde recevoir disponile rendre prêter rendre en prêt constter retrd en retrd Sous forme de tle de trnsition : étt cournt! initil commnde disponile en prêt en retrd é v è n e m e n t # commnder commnde recevoir disponile prêter en prêt rendre disponile disponile constter retrd en retrd Sémntique L sémntique d un utomte est une fonction qui ssocie à une séquence d évènement et à un étt initil une séquence d étts. Étnt donné une séquence d évènements (e,...,e k ), l utomte psser successivement pr les étts (s 0,s,...,s k )sietseulement si s 0 est l étt initil e l utomte possède les trnsitions s! e 0 s,...,s k k! s k. Dns l exemple ci-dessus, l séquence (commnder, recevoir, prêter, rendre, prêter) ur pour e et l séquence d étts (initil, en commnde, disponile, en prêt, disponile, en prêt) Utilistion On voit que l nlyse (humine ou pr un lgorithme) d un utomte permet de répondre isément à des questions telles que. trouver l étt tteint pr une séquence d évènements 2. vérifier si une séquence d évènements tteint un étt souhité 3. définir toutes les séquences qui tteignent un étt souhité 4. vérifier qu un étt peut être tteint plusieurs fois (il doit u moins se trouver dns un circuit du grphe de trnsition). Dns l exemple précédent les étts initil et en commnde ne peuvent être tteints qu une seule fois lors que l on peut psser pr chcun des trois utres étts utnt de fois qu on veut. c Université de Genève G. Flquet 93

4 Limites de l modélistion vec un utomtes à étts On considère le cycle de vie d un livre du point de vue du lecteur oulier sous l pile en lecture à lire commencer retrouver terminer renoncer renoncer lu lu prtiellement Si l on veut cominer cet utomte vec l utomte précédent pour modéliser vec un seul utomte les deux spects de l vie d un livre on ser conduit à définir un grnd nomre d étts, chcun représentnt une cominison de deux spects. Pr exemple (en prêt & en lecture), (en prêt & lu prtiellement), (disponile & à lire), (en prêt & à lire). Dns ce type de sitution on rriver vite à une explosion comintoire du nomre d étts. On peut ussi choisir de modéliser le système vec plusieurs utomtes, mis il fut lors représenter l synchronistion entre utomtes. Pr exemple. L trnsition de à lire à en lecture de l utomte 2 ne peut voir lieu que si l utomte est dns l étt prêt. Ceci n est possile qu en étendnt l notion d utomte. L notions d utomte fini n est ps non plus dptée à l modélistion de processus se déroulnt en prllèle vec des contrintes de synchronistion. Nous verrons plus loin que le formlisme des réseux de Petri permet de surmonter élégmment ces dicultés. 8.2 Automtes et lngges réguliers En plus de fournir un formlisme pour l modélistion de l évolution d un système, les utomtes à étts entretiennent un lien direct vec les lngges réguliers et l nlyse de ces lngges. Commençons pr définir formellement l notion d utomte qui nous intéresse (il s git en fit d une ctégorie d utomtes ppelés ccepteurs) Définition 8.. Un utomte à étts fini déterministe est composé de un ensemle S d étts un étt initil s 0 2 S un ensemle F d étts ccepteurs (étts finls) un lphet d entrée (le voculire d évènements) une fonction de trnsitions : S! S c Université de Genève G. Flquet 94

5 Ensuite il fut définir formellement le fonctionnement d un utomte, c est-à-dire son comportement lorsqu on lui fournit une chine de symoles à nlyser. L utomte git comme un filtre qui ccepte ou rejette les chines en fonction de leur contenu. Définition 8.2. L chine de symoles x...x n 2 est cceptée pr l utomte A = (S, s 0,, )sietseulementsiilexisteuneséquenced étts(s 0,s,...,s n )telleque s 0 est l étt initil (s i,x i )=s i pour i =,...,n s n 2 F L nlyse d une chine consiste à suivre l fonction de trnsition : on prt de l étt s 0 et du premier symole x ; (s 0,x )fournitunnouvelétt,disonss,onseplcedns cet étt et on considère le symole suivnt x 2,ànouveu (s,x 2 )fournitl éttsuivnt, et insi de suite. Lorsqu on épuisé tous les symoles on tteint un certin étt s n,si celui-ci est un étt dit finl, l chine est cceptée. Définition 8.3. L ensemle des chines cceptées pr un utomte A forme un lngge, que l on note L(A). On peut montrer que le lngge d un utomte est toujours régulier tout lngge régulier correspond à un utomte : pour tout lngge régulier L il existe un utomte A tel que L = L(A) Exemple 8.2. L utomte suivnt, représenté grphiquement (le doule cercle indique un étt ccepteur et les flèches forment l fonction de trnsition) ccepte toutes les chines qui commencent pr zéro, un ou plusieurs et se terminent pr un. 2 Son lngge correspond donc à l expression régulière. Exemple 8.3. Cet utomte ccepte les chines qui contiennent des 0 et un nomre pir de q q2 q3 Son lngge est donc 0 (0 ). c Université de Genève G. Flquet 95

6 Exemple 8.4. Automte du lngge ( ) Il est très fcile d écrire un progrmme qui simule le fonctionnement d un utomte à é t t s fi n i e t d e l u t i l i s e r p o u r l n l y s e d e c h i n e s. C e s t c e p r i n c i p e q u u t i l i s e n t de recherche d expressions régulières. Étnt donné une e.r., ils construisent l utomte correspondnt (en utilisnt un lgorithme que nous n vons ps montré ici) puis font fonctionner l utomte sur le texte à nlyser. Exercices. Décrivez les lngges cceptés pr les utomtes à l ide d expressions régulières A S0 S, A2 q0 q, q2 c Université de Genève G. Flquet 96

7 , A3 q0 q q2, c A4 q, c q0, c, c, c,, c A5 q0 q q2 q3 2. Pour chcun des lngges suivnts définissez un utomtes déterministe qui l ccepte. () Les chînes de et de qui commencent pr. () Les chînes de et de qui contiennent u plus qutre. (c) Les chines de et de qui contiennent un nomre pir de. (d) Les chines de qui contiennent un multiple de 6 fois. (e) Les chines de et de qui contiennent exctement 6 symoles dont trois et trois. (f) (plus di cile) Les chines de 0,,..., 9 qui représentent un nomre (déciml) divisile pr 3. (g) Les chînes de et de de l forme n n vec n pple 4. (h) Les chînes de et de de l forme n n vec n pple 20 (que se psse-t-il si l on considère le lngge n n vec n quelconque?) (i) Les chînes sur l lphet {,...,z, A,...,Z, -,., % } qui représentent une dresse courriel vlide. c Université de Genève G. Flquet 97

8 3. Démontrez qu on peut voir plusieurs utomtes di érents qui cceptent le même lngge. 4. Donnez une condition nécessire pour que le lngge ccepté pr un utomte A soit infini. 5. On un deux utomtes : A qui ccepte le lngge L et A 2 qui ccepte L 2. Comment construire, à prtir de A et A 2 () un utomte qui ccepte les chînes de l forme uv où u 2 L et v 2 L 2 (et uniquement celles-ci) () un utomte qui ccepte les chînes w 2 L [ L 2. c Université de Genève G. Flquet 98

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