Table des matières. Modélisation des transistors bipolaires intégrés... 15

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1 Table des matièes Modélisatio des tasistos biolaies itégés Elémets de hysique des semicoducteus... 5 Philie DOLLFUS, Sylvie GALDIN-RETAILLEAU et Aaud OURNEL.. Les matéiau semicoducteus Gééalités Stuctue cistallie Défiitios Les systèmes cistallis cc et cfc Réseau écioque Vecteus du éseau écioque Zoes de illoui Réseau écioque et emièe Z du éseau cfc Les vibatios du éseau cistalli Modes de vibatio d ue chaîe D à atomes a maille Vibatios d u cistal 3D et à atomes a maille Eegie associée au modes de vibatio Stuctue de bades des semicoducteus ades d'éegie des électos das u cistal afait Descitio de la fomatio des bades a LCAO Schödige, otetiel cistalli et foctios de loch Cistal D Modèle de l'électo esque libe Dyamique de l'électo Imulsio, vitesse Effet d ue foce etéieue, masse effective Classificatio métal/isolat/semicoducteu Notio de tou Cistal 3D - Gééalisatio Stuctue de bade de Si ade de coductio ade de valece Desité d'états das les bades emises Desité d'états das l'esace écioque Desité d'états e éegie (cistal 3D)... 47

2 Modélisatio des tasistos biolaies itégés..7. Niveau d'éegie itoduits a les imefectios du cistal Doage ou u semicoducteu de la coloe IV Réductio de la lageu de bade itedite Niveau ofods Peulemet des iveau d'éegie à l'équilibe themique Pobabilité d'occuatio Cocetatio des oteus das les bades emises Effet des etubatios : tasot et gééatio-ecombiaiso Phéomèes de tasot Les mécaismes de elaatio des oteus : les iteactios Foctio de distibutio Equatio de oltzma Coductio électique e cham faible (E < V.cm - ) Diffusio Equatio de déive-diffusio Cham électo-moteu Coductio e cham fot Céatio de oteus e ecès et ecombiaiso Céatio de oteus e ecès Recombiaiso Equatio de cotiuité Tasot das les disositifs Système à l'équilibe themodyamique Système hos d'équilibe Relatios fodametales de la théoie des disositifs Couats de diffusio et de déive Equatio de cotiuité Equatios à ésoude ou l'étude des disositifs ibliogahie De la joctio PN au tasisto biolaie Sylvie GALDIN-RETAILLEAU, Philie DOLLFUS et Aaud OURNEL.. La joctio PN Réalisatio : ofils de doage Joctio PN à l'équilibe themodyamique Fomatio de la Zoe de Chage d'esace (ZCE) Etude quatitative Joctio PN olaisée e diect Descitio héoméologique Calcul du couat das ue diode éelle Joctio PN olaisée e ivese Descitio héoméologique... 6

3 Elémets de hysique des semicoducteus..4.. Calcul du couat ivese Claquage de la joctio Schémas équivalets de la joctio PN Caacités de tasitio Caacités de diffusio Coductace Schémas équivalets Le tasisto biolaie Effet tasisto (e mode omal diect) ila des couats et calcul des gais ila des couats Calcul des gais Difféets égimes de foctioemet Régime omal diect Régime omal ivesé Régime omal satué... 6

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5 Modélisatio des tasistos biolaies itégés

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7 Elémets de hysique des semicoducteus.. Les cistau semicoducteus... Gééalités D u oit de vue macoscoique élémetaie, les semicoducteus se distiguet des autes solides cistallis (métau et isolats) a leus oiétés électiques tès difféetes : métal : ρ -6 Ω.cm, et à 3 électos libes a cm 3, quel que soit le métal, quelles que soiet sa ueté et sa teméatue ; isolat : ρ 8 Ω.cm (eu modulable), avec tès eu de oteus libes ; semicoducteu : ρ -3 à 3 Ω.cm, et 3 à cm -3, selo la ueté et la teméatue du matéiau. Tout l itéêt des semicoducteus viet du fait que l o sait tès bie e cotôle la ésistivité, otammet a le doage. Tous les atomes de la coloe IV (C, Si, Ge) ot ue couche électoique etee icomlète à 4 électos, c est-à-die s e otatio sectoscoique (au lieu de 8 électos ou ue couche comlète s 6 ). Das le cistal fomé d'atomes de cette famille, l aagemet atomique, schématisé su la figue., est tel que chaque atome est etoué de 4 lus oches voisis avec lesquels il échage 4 liaisos de valece. Les 4 électos de valece de chaque atome sot doc egagés das des liaisos comlètes. Il s esuit que das le cistal u à teméatue ulle, il y a as d électo libe (le cistal est isolat). Chaite édigé a Philie DOLLFUS, Sylvie GALDIN-RETAILLEAU et Aaud OURNEL.

8 6 Modélisatio des tasistos biolaies itégés Si Si Si Si Si Si Figue.. Schéma de liaisos de valece das u cistal de silicium. Il est égalemet ossible d assemble des atomes difféets de la coloe IV ou fome des alliages semicoducteus (Si - Ge, Si -y C y, Si --y Ge C y ). L'assemblage d'u ombe égal d'élémets de la coloe III et d'élémets de la coloe V eut égalemet coduie à la fomatio d'u semicoducteu (GaAs, IP, ). Das la suite de ce chaite, ous e taiteos essetiellemet que du silicium.... Stuctue cistallie... Défiitios L état cistalli coesod à u aagemet comact et éiodique des atomes du solide. U cistal afait est doc costitué a la éétitio d u motif atomique, aelé base, suivat tois vecteus de taslatio ( a, b, c) qui défiisset u éseau. A ati d'ue oigie O, tous les oits A tels que OA a + b + 3 c voiet le même evioemet atomique que O. L esemble des oits A costitue u éseau de oits aelés œuds du éseau. La doée d ue base et d u éseau caactéise doc etièemet la stuctue cistallie. Les vecteus de taslatio sot dits fodametau ou imitifs si ou tous les oits A qui voiet le même evioemet que O, o eut touve des eties,, 3 tels que OA a + b + 3 c. Le aalléléiède défii a a, b et c est aelé maille. Ue maille emet de emli tout l esace e aliquat les oéatios de taslatio coveables. La maille défiie a les vecteus de taslatio fodametau est dite imitive ou élémetaie. C est e fait ue maille de volume miimal.

9 Elémets de hysique des semicoducteus 7... Les systèmes cistallis cubique ceté et cubique faces cetées Das u esace tidimesioel (3D) il y a 4 tyes de systèmes cistallis ossibles, et e aticulie 3 systèmes cubiques : cubique simle, cubique ceté (cc) et cubique faces cetées (cfc). Les lus imotats ou les cistau semicoducteus usuels sot les systèmes cc et cfc.... Le système cfc La maille covetioelle cubique et la maille élémetaie homboédique sot eésetées su la figue.. La maille homboédique est costuite su 3 vecteus C A,, de logueus égales et fomat ete eu des agles de 6. Chacu de ces vecteus joit u coi du cube à u cete de face (figue.). La maille covetioelle cubique cotiet 4 œuds du éseau ; elle est bâtie su les tois vecteus othogoau c b a,, défiis à ati de C A,, a les elatios : C A c C A b C A a et écioquemet ( ) ( ) ( ) / / / b a C c a c b A [.] a b c A C Figue.. Mailles élémetaies cubique et homboédique du éseau cfc. O véifie facilemet que la maille cubique est 4 fois lus volumieuse que la maille homboédique, c est-à-die que ( ) ( ) C A c b a. 4..

10 8 Modélisatio des tasistos biolaies itégés... Le système cc La maille covetioelle cubique et les vecteus fodametau C A,, sot eésetés su la figue.3. Ces vecteus fodametau joiget u coi de cube à u cete de cube et fot ete eu u agle de 9 8. La maille imitive qu ils costuiset est ecoe homboédique. Les vecteus de taslatio c b a,, de la maille cubique, qui cotiet œuds, sot défiis à ati de C A,, a : A c C A b C a et écioquemet ( ) ( ) ( ) / / / c b a C c b a c b a A [.] O véifie facilemet que la maille cubique est fois lus volumieuse que la maille homboédique. A C a b c A C Figue.3. Mailles élémetaies cubique et homboédique du éseau cc Stuctue cistallie «diamat» (Si, C, Ge) Les quate électos de la couche etee de chaque atome sot egagés das des liaisos de valece avec quate atomes voisis (les 4 lus oches voisis). Ces liaisos sot oietées das l esace e ositio tétaédique et fot ete elles u agle α de 9 8 (Figue.4). La éétitio de ce motif avec les boes oietatios emet de costuie le cistal. O obtiet ue stuctue dite diamat, das laquelle les atomes occuet les œuds de éseau cfc décalés l u de l aute d u quat de la diagoale du cube.

11 Elémets de hysique des semicoducteus 9 a a/ a α a Figue.4. Liaisos tétaédiques et stuctue cistallie des éseau «diamat» et «zic-blede». Les atomes gis costituet u éseau cfc ; les atomes ois costituet ue atie d'u secod éseau cfc décalé d'u quat de la diagoale du cube. Remaquos que la stuctue cistallie de GaAs est idetique au diamat mais avec ue alteace d'u éseau cfc de Ga et d'u éseau cfc d'as. C'est la stuctue dite zic-blede. O obseve que les 4 lus oches voisis d u atome, ceu avec lesquels il a des liaisos covaletes, aatieet à l aute éseau cfc. O ed gééalemet comme maille élémetaie le cube coesodat à éseau cfc. La logueu a de l aête du cube est aelée aamète cistalli. O véifie aisémet que : maille cubique (de volume a 3 ) cotiet 8 atomes (4 de chaque éseau cfc) ; maille imitive homboédique (de volume a 3 /4) cotiet atomes ( de chaque éseau cfc) ; la distace ete lus oches voisis (v) est 3 a 4 ; la desité d atomes das le cistal est 8/a 3. Quelques caactéistiques de Ge et Si sot doées das le tableau.. Ge Si Paamète cistalli [Å] 5,658 5,43 Masse atomique 7,6 8,9 Desité d'atomes [cm -3 ] 4,4 5, Masse volumique [g.cm -3 ] 5,33,33 Distace ete v [Å],45,35 Tableau.. Quelques caactéistiques cistallies de Si et Ge.

12 Modélisatio des tasistos biolaies itégés..3. Réseau écioque De même que l esace des féqueces est tès utile ou le taitemet de gadeus (comme le couat électique a eemle) éiodiques das le tems, l esace des vecteus d ode (ou esace écioque) est d u gad itéêt ou décie beaucou de héomèes hysiques (e aticulie les héomèes de oagatio) se oduisat das u esace éiodique tel qu u cistal. O cée doc u ouveau éseau à ati du éseau cistalli et qui e coseve les syméties. O le défiit de faço à ce que les œuds du éseau soiet ceu su lesquels les gadeus hysiques ayat la éiodicité du éseau cistalli se décomoset e séie de Fouie Vecteus du éseau écioque * * * Les vecteus fodametau A,, C du éseau écioque sot costuits à ati des vecteus fodametau A,, C du éseau cistalli. Soit V c A. ( C) le volume de la maille imitive du éseau cistalli, * A π Vc C, π * * C A, C π A Vc Vc [.3] Aisi chaque vecteu imitif du éseau écioque est othogoal à vecteus imitifs du éseau cistalli : * A. A π, * A., * A. C, et emutatios ciculaies [.4] * * * Les vecteus G h A + + l C (h,, l eties) sot aelés vecteus du éseau écioque. O démote facilemet que la séie de Fouie d ue foctio éiodique d u éseau cistalli e cotiet que des temes F G e ( i G. ) où les vecteus G sot des vecteus du éseau écioque. Le volume de la maille élémetaie du éseau écioque est : * V A. * * 3 ( C ) 8π Vc..3.. Zoes de illoui [.5] Ue zoe de illoui (Z) est u sous-esemble de l esace écioque de volume miimal emettat de décie etièemet les foctios éiodiques (a eemle l'éegie des électos) das cet esace.

13 Elémets de hysique des semicoducteus La emièe zoe de illoui est la Z aticulièe admettat l oigie des vecteus d ode comme cete de symétie. C est e fait la maille de l esace écioque costuite de la faço suivate : joide l oigie à tous les oits du éseau (les lus oches suffiset e atique), uis costuie les las médiateus au segmets obteus. La Z est le lus etit olyède limité a ces las médiateus et ceté su l oigie. Das l eemle de la chaîe liéaie d atomes idetiques de éiode a (figue π a, π a..5), la emièe Z est l itevalle [ ] a éseau cistalli A * π a π a π a èe Z π a π a éseau écioque Figue.5. Costuctio de la èe zoe de illoui d ue chaîe liéaie d atomes idetiques Réseau écioque et emièe zoe de illoui du éseau cfc Aliquos la défiitio [.3] des vecteus du éseau écioque au cas du éseau cfc dot les vecteus A,, C qui défiisset la maille imitive (homboédique) sot liés au eèe a, b, c du cube a l'eq. [.]. Le ésultat obteu das le eèe, y, z défii a a a, b a y, et c a z est : othoomé ( ) A 4 a * π 4 a ( + y + z ), ( y + z), C ( + y z ) * π 4 a * π [.6] O ecoaît les vecteus imitifs d u éseau cubique ceté (Eq. [.]) dot l aête du cube élémetaie a ou logueu 4 π a. Le éseau écioque d u éseau cfc est doc u éseau cc (et écioquemet). La costuctio de la emièe zoe de illoui est illustée su la figue.6 :

14 Modélisatio des tasistos biolaies itégés les lus etits G sot les 8 vecteus G π ( ± ± y ± z) a aallèles à [] qui joiget le cete du cube à coi. Leus las médiateus, situés à 3 π a du cete, fomet u octaède ; les G 4π 4π 4π de taille suéieue sot les 6 vecteus ±, ± y, ± z qui a a a joiget cetes de cube. Leus las médiateus, situés à π a du cete, toquet l octaède. Cet octaède toqué costitue la emièe zoe de illoui d u éseau cfc, et doc de tous les semicoducteus usuels. La figue.6 idique de lus cetais oits aticulies et diectios ivilégiées de la èe Z du éseau cfc : les oits Γ (,,), X (,,) et L (,,), et les diectios [], Σ [], et Λ []. 4π/a L X Λ Γ Σ K X Γ Figue.6. Pemièe zoe de illoui du éseau cfc. Poits aticulies et diectios ivilégiées...4. Les vibatios du éseau cistalli Jusque là, ous avos cosidéé le éseau cistalli que sous l agle de la cistallogahie où l o assige au atomes des ositios fies. O les atomes oscillet autou de leu site cistalli, et ce d autat lus que la teméatue est élevée ; des oscillatios cistallies esistet même à teméatue ulle. Ces vibatios, o icohéetes, ot ue gade imotace ou l étude des oiétés électiques des solides ca elles modifiet le otetiel cistalli das lequel évoluet

15 Elémets de hysique des semicoducteus 3 les électos, ce qui etube leu mouvemet. C est a l itemédiaie de ces vibatios que les oteus et le éseau cistalli échaget de l éegie. Nous décios ici les modes de vibatio ω ( ) d u cistal et l éegie de ces modes. La hysique classique suffit à mette e évidece les modes de vibatio ; il s agit e fait d u oblème de essots coulés. Il faut e evache faie ael à la mécaique quatique ou e quatifie l éegie. Ces quata d éegie de vibatio sot assimilés à des aticules aelées hoos Modes de vibatio d ue chaîe liéaie comotat atomes a maille élémetaie Le cas d ue maille élémetaie coteat deu atomes est e fait celui de tous les semicoducteus usuels dot la stuctue cistallie est de tye «diamat» ou «zic-blede». Nous avos vu que das ces stuctues la maille élémetaie homboédique cotiet u atome de chaque éseau cfc. Das le cas «diamat» (Si) les deu atomes sot de même atue, alos que das le cas «zic-blede» (GaAs) ils sot de atue difféete. Nous allos faie les calculs ou ue chaîe et ous gééaliseos les ésultats à u éseau tidimesioel (3D). Cosidéos doc la chaîe eésetée su la figue.7. Sa maille élémetaie, de logueu a, cotiet atomes a ioi de atue difféete et de masse esective M et M. + M M M M M M a a a a Figue.7. Chaîe liéaie à deu atomes a maille élémetaie. O suose qu à l équilibe les atomes de masse M occuet les ositios «aies» d abscisse ()a/, et les atomes de masse M les ositios «imaies» d abscisse (+) a/. Les écats a aot au ositios d'équilibe état de lus suosés faibles, o cosidèe que la foce eecée a u atome su l'u de ses voisis est ootioelle à la vaiatio de distace séaat ces atomes. O ote la costate de ootioalité. Il y a alos deu équatios du mouvemet :

16 4 Modélisatio des tasistos biolaies itégés [ ] [ ] u u u dt u d M u u u dt u d M [.7] O cheche des solutios ou u et u + sous la fome d odes ogessives d'amlitudes A et A, coesodat à des modes de ulsatio ω et de vecteu d'ode K. O aboutit à la elatio de disesio echechée : si 4 a K M M M M M M + ± + ω [.8] la bache iféieue comote des modes de basse féquece ; c est ouquoi o l aelle bache acoustique. Pou ces modes de basse féquece (ω, K ) o a A A, c est-à-die que das chaque maille les atomes se délacet de faço idetique das la même diectio. Ils vibet e hase ; il y a taslatio de toute la maille ; la bache suéieue e comote que des modes de féquece élevée. Aisi ou K : + M M ω et M M A A Les atomes de la maille se délacet e ses cotaie (e oositio de hase) de faço ivesemet ootioelle à leu masse. Le cete de gavité de la maille este doc immobile. Si les atomes sot de chages oosées, o eut ecite ue vibatio de ce tye a le cham électique d ue ode lumieuse. C est ou cela que cette bache est aelée bache otique. À chaque valeu de K coesodet modes de vibatio et la coube de disesio comote doc baches eésetées su la figue.8. Les ulsatios caactéistiques sot ω, ω, ω 3 défiies, si M > M a : M ω ; M ω ; + 3 M M ω

17 Elémets de hysique des semicoducteus 5 ω ω 3 bache otique ω ω bache acoustique K π/a Figue.8. Allue des coubes de disesio des vibatios das u éseau liéaie de atomes a maille imitive Vibatios d u cistal à 3 dimesios et à atomes a maille élémetaie Ce cas est celui des cistau à cfc, c est-à-die de tous les semicoducteus usuels. Das u cistal 3D l esace écioque deviet égalemet 3D et au modes logitudiau (acoustiques et otiques) que l o a e D s ajoutet das chaque cas modes tasveses olaisés à 9 l u de l aute (figue.9). O mote d ue maièe gééale que si la maille élémetaie cotiet atomes, les coubes de disesio sot costituées de 3 baches, dot 3 baches acoustiques et 3-3 baches otiques. Cela doe bie, ou, 3 baches acoustiques et 3 baches otiques. Les coubes de disesio déedet maiteat de la diectio de oagatio. Ue allue tyique est eésetée su la Figue.9 das la diectio []. E aiso de la symétie cistallie das cette diectio (aisi que das la diectio []), les modes tasvesau sot dégééés. Aussi l'o e voit que quate baches : logitudiale otique (LO), tasvese otique (TO), logitudiale acoustique (LA), et tasvese acoustique (TA).

18 6 Modélisatio des tasistos biolaies itégés ω LO TO LA TA K π/a Figue.9. Allue des coubes de disesio das u cistal ou des vibatios se oageat das la diectio [] Eegie associée au modes de vibatio Quatificatio de l éegie d u mode Phoos Pou calcule l éegie associée au modes de vibatio il faut faie le taitemet quatique du éseau d oscillateus hamoiques coulés que costitue le éseau cistalli. Ce taitemet est fait das tous les ouvages de mécaique quatique (a eemle das [COH 73]) ; ous e l abodeos as das ce chaite. Les valeus oes de l hamiltoie du système sot quatifiées et de la fome : E + hω [.9] où,,,, et ω est la ulsatio du mode cosidéé L éegie de chaque mode de vibatio est doc quatifiée ; le quatum d éegie hω qui séae deu iveau cosécutifs est aelé hoo a aalogie avec le hoto qui désige le quatum d éegie lumieuse. U hoo eut ête assimilé à ue aticule d éegie hω et de vecteu d ode K, c est-à-die le vecteu d ode du mode associé. Isistos su le fait qu'u hoo est as ue «vaie» aticule. E effet, il a as d eistece oe : il eiste que ace que le éseau

19 Elémets de hysique des semicoducteus 7 eiste et que les atomes vibet. Toutefois, il se comote à l itéieu du cistal comme ue vaie aticule et o le taite comme tel. Les hoos sot des aticules idisceables o soumises au icie d eclusio de Pauli : ce sot des bosos, auquels o alique la statistique de ose-eistei. La foctio d occuatio du iveau hω est doc : f ( h ω ) [.] hω e T où est la costate de oltzma Iteactio électo-éseau (ou électo - hoo) Comme toutes les aticules, les hoos iteagisset avec les autes aticules ésetes das leu voisiage, e l occuece avec les électos. E fait, c est a l itemédiaie des hoos que les électos «libes» du cistal échaget de l éegie avec le éseau d atomes. Ue iteactio électo-éseau se taduit a le gai ou la ete d u quatum d éegie hω. O dit aussi qu u électo émet ou absobe u hoo. Ce ocessus se fait e cosevat l éegie et le vecteu d ode du système. Si l o désige a E et l éegie et le vecteu d ode de l électo avat iteactio, et a K le vecteu d ode du hoo, o a aès iteactio : E E ± hω ± K + G [.] où G est u vecteu du éseau écioque. E effet, de même que l additio d u tel vecteu e fait que chage le vecteu d ode de la zoe de illoui sas modifie le mode de vibatio, ous veos qu elle e modifie as o lus le vecteu d ode d u électo. Cette iteactio a ue gade ifluece su le mouvemet des électos das le cistal.

20 8 Modélisatio des tasistos biolaies itégés.. Stuctue de bades des semicoducteus... ades d éegie des électos das u cistal afait Le but de cette atie est de décie les iveau d éegie accessibles à u électo das le cistal. Nous défiios esuite le cocet de «tou», aisi que celui, tès imotat ou la dyamique des oteus das le cistal, de masse effective. Pou aéhede les oiétés des iveau d'éegie des électos das u cistal, o distigue essetiellemet deu aoches : imagie la fomatio du cistal à ati d atomes idividuels que l o aoche, ce qui iduit u coulage ete atomes. C est la méthode de «Combiaiso Liéaie d Obitales Atomiques» (LCAO) utilisée e chimie. Nous la décios bièvemet de faço tès qualitative ; cosidée le solide comme ue boîte d électos vide d ios, et itoduie l attactio des ios comme ue etubatio. C est la méthode des électos esque libes. Elle se ête lus facilemet à des calculs simles. Das le emie cas o at de iveau d éegie discets, et das le secod d u cotiuum. Ces deu aoches coduiset à la fomatio de bades d éegie emises séaées a des bades itedites. Nous veos esuite commet la coaissace des bades d'éegie emises emet de défii la otio de masse effective, d'u gad itéêt atique. E effet, e attibuat à l'électo cette masse vituelle, o eut décie so mouvemet das le cistal comme celui d'ue aticule classique das le vide, e "oubliat" l'oigie hysique de cette masse.... Descitio de la fomatio des bades d éegie a LCAO... Atomes isolés : ael su les obitales atomiques Ue obitale atomique est l état oe de l éegie d u électo das le otetiel cetal céé a le oyau et a la distibutio moyee des Z- autes électos. Chaque obitale est défiie a la doée de tois ombes quatiques : ombe quatique icial ( ) ; l ombe quatique obital ( l -) ; m ombe quatique azimutal (-l m l). L éegie associée à ue obitale Ψ lm e déed que de et l. Aisi le iveau E l est dégééé g (l+) fois. Le facteu viet de l idéedace du otetiel a aot au si de l électo ; le facteu l+ taduit l ivaiace a otatio du otetiel cetal.

21 Elémets de hysique des semicoducteus 9 Les états coesodat à ue même valeu de fomet ue couche électoique :,, 3, 4, couches K, L, M, N, Les g états coesodats à ue même éegie fomet ue sous-couche : l,,, 3, sous-couches s,, d, f, (otatios sectoscoiques) Il y a doc laces su ue obitale s, 6 laces su ue obitale, laces su ue obitale d, La cofiguatio électoique de l atome est la liste des couches et sous-couches occuées avec le ombe d électos qui s y touvet. O se limite e atique à la deièe couche. Aisi, tous les atomes de la coloe IV (C, Si, Ge, ) ésetet ue couche etee icomlète s de 4 électos au lieu de 8 ou ue couche comlète s 6. Si l o cosidèe N atomes isolés, il y a alos N obitales Ψ qlm (q,, N) coesodat à la même éegie E l dot le iveau de dégééescece est g N.... Atomes iteagissat Si l o aoche suffisammet atomes, le otetiel global vu a u électo est lus cetal et il y a coulage ete les obitales. Le coulage ete obitales doe lieu à ouvelles obitales. L ue est symétique a échage des atomes (obitale liate), alos que l aute est atisymétique (obitale ati-liate). De lus, si V est le otetiel de coulage, l éegie de ces obitales est modifiée de E <Ψ lm V Ψ lm > (figue.). C est u ésultat gééal : le coulage ete N états idetiques lève la dégééescece d ode N. Ψ lm ati-liate E Ψ lm liate Figue.. Levée de dégééescece des obitales coulées (obitales liate et ati-liate). Le décalage d éegie E (eegy slittig), c est-à-die e fait le coulage ete les deu obitales, est d autat lus gad que, d ue at, les atomes sot oches, et que, d aute at, le ombe quatique icial des obitales est élevé. Les couches itees sot e effet eu affectées a le coulage : les électos de ces couches sot tès fotemet liés à leu atome d oigie. E evache, les électos

22 3 Modélisatio des tasistos biolaies itégés des couches etees e sot lus liés à u atome aticulie mais à la aie d atomes. Su l eemle tyique de la figue., coesodat à des élémets de la coloe IV, les électos issus des obitales etees (s et ) se etouvet su les deu iveau issus des coulages liats ; ces iveau offat 8 laces à eu deu sot etièemet occués, alos que les deu iveau oveat des coulages ati-liats sot etièemet vides. 3N N 3N N bade de coductio (4N laces vides) bade itedite bade de valece (4N laces leies) N N N 4 N gad Figue.. Coulage des obitales s et das le cas d u gad ombe d atomes ; fomatio des bades d'éegie. Le cocet d obitales liates et ati-liates eut ête étedu au cas d u gad ombe d atomes e suosat que les obitales de chaque atome iteagisset avec celles des lus oches voisis. O aive aisi à la fomatio de séies de iveau discets tès aochés que l o eut assimile à des bades (figue.). Les obitales liates offet 4N laces et sot doc etièemet occuées ; elles fomet la bade de valece. Les obitales ati-liates offet égalemet 4N laces qui sot doc etièemet vides ; elles fomet la bade de coductio. ade de coductio et bade de valece sot séaées a ue bade itedite. Das ue telle disositio, les électos de valece e sot lus liés à u atome aticulie mais bie à l esemble du éseau cistalli. D ue maièe gééale, das u solide quelcoque, c est la disositio et le emlissage des bades emises qui détemiet les oiétés électiques du matéiau, et qui emettet de le classe e métal, isolat ou semicoducteu. Cela sea écisé lus loi das ce chaite.

23 Elémets de hysique des semicoducteus 3... Equatio de Schödige ou u électo Potetiel cistalli et foctios de loch Nous allos maiteat cosidée le cistal semicoducteu comme ue boîte d'électos idéedats. V ( ) est le otetiel moye vu a chaque électo. Il a la éiodicité du éseau cistalli et est aelé otetiel cistalli. L équatio de Schödige décivat l état d u électo est fialemet : + V m ( ) ψ ( ) E ψ ( ) Le théoème de loch éoce que les solutios de l équatio [.], où V ( ) éiodique, sot de la fome de foctios de loch : ( ) e( i ) u ( ) [.] ψ [.3] u que ou tout vecteu T où ( ) a la éiodicité de ( ) V, c est-à-die celle du éseau cistalli, c est-à-die a + b c u + T u., ( ) ( ) + 3 Nous admettos ce théoème dot o eut touve ue démostatio das, a eemle, [KIT 83]. Il e este, ou détemie les états oes de l électo das u cistal, qu à coaîte la fome du otetiel cistalli V ( ) das lequel il évolue, uis à ésoude l équatio de Schödige [.] e utilisat des foctios d ode de loch [.3], seules foctios oes ossibles. Les temes de coulage égligés das le otetiel cistalli (coulages électoélecto, électo-hoo, ) sot cosidéés comme de faibles etubatios qui e modifiet as les solutios de l'hamiltoie icial mais iduiset des tasitios ete les états oes. Nous y eviedos das l'étude su le tasot Cistal D Modèle de l'électo esque libe Rael : électo libe das u solide Imagios u électo libe de se mouvoi à l itéieu d ue cuvette vide uidimesioelle de logueu L et de hauteu de otetiel U (Figue.). est

24 3 Modélisatio des tasistos biolaies itégés O s itéesse au états liés de l électo, c est-à-die au cas ε < U. L hamiltoie de l électo de masse m se éduit à : H h m m [.4] V ε U L Figue.. Electo libe das u boîte. Les solutios de l'équatio de Schödige [.] sot des odes laes Ψ de la fome : ψ ( ) e ( i ) [.5] L h avec ε où est le vecteu d ode de l électo. m Aisi toutes les éegies sot a ioi emises et la coube de disesio ε() est ue aabole. O défiit la quatité de mouvemet de l électo mv a : ψ ψ h ψ * ( ) ψ ( ) d h ψ * ( ) ih ψ ( ) La quatité h, qui défiit l état de l électo, est aelée momet cistalli. Elle est doc égale à la quatité de mouvemet ou u électo libe. d

25 Elémets de hysique des semicoducteus Electo esque libe Au otetiel de la cuvette vide o sueose maiteat u otetiel éiodique V() ayat la éiodicité a du éseau cistalli (Figue.3). V ε U L Figue.3. Electo esque libe das ue boîte. V() état éiodique, o eut le déveloe e séie de Fouie : V ( ) V cos ( ) [.6] où π sot les oits du éseau écioque. a O commece a cosidée le cas le lus simle, celui où seul le emie teme de la séie [.6] est o ul. Aisi : V π V V cos [.7] a Suosos que V soit etit devat les éegies ciétiques de l électo et o cosidèe V comme ue etubatio a aot au cas écédet de l électo libe. O alique doc la théoie des etubatios (voi [SAP 9]). Le otetiel etubateu V e coule sesiblemet que les deu états de bod de zoe de illoui π a et π a et a essetiellemet ou effet de leve la dégééescece ete ces deu états. Ue coectio d'éegie au deuième ode au oits ± π a coduit au ouveau états oes d'éegie ε + et ε coesodat au foctios oes ψ + et ψ :

26 34 Modélisatio des tasistos biolaies itégés ε + ε + V ε ε V et ψ + ψ π a π a + π a π i a π cos L a π si L a [.8] Remaquos ue ouvelle fois que, comme das le cas des vibatios des atomes du cistal, o obtiet des odes statioaies e bod de zoe de illoui. La Figue.4 mote schématiquemet la défomatio de la coube de disesio e bod de zoe de illoui (tait éais), a aot au cas o etubé (tait fi) de l électo libe. O emaque la fomatio d ue bade d éegie itedite ete ε et ε +. ε ε ''+ ε '' - ε ' + π a π a π a ε '- π a Figue.4. ades d éegie das u cistal D. La zoe gisée eésete la èe zoe de illoui. Cosidéos maiteat le secod teme de la séie [.6], c est-à-die : π V V V cos [.9] a

27 Elémets de hysique des semicoducteus 35 U calcul similaie au écédet mote que V e coule que les états dégééés π a et π a. La dégééescece ete ces deu états est levée. Le calcul de la coectio d éegie au ème ode coduit au deu iveau ε + et ε : ε + ε + V ε ε V [.] Il y a aisi céatio d ue ouvelle bade d éegie itedite ete ε et ε +, comme cela est schématiquemet eéseté su la Figue.4. O cée doc autat de bades itedites qu il y a de temes das la séie de Fouie [.6] de V. D aès le théoème de loch éocé e..., les foctios d ode solutios de l équatio de Schödige e ésece du otetiel éiodique V() de éiode a sot des foctios de loch, c est-à-die des odes laes modulées a ue foctio éiodique qui a la même éiodicité que celle de V(), e l occuece celle du cistal : ψ ( ) e ( i ) u ( ) avec u ( + a) u ( ) O eut e déduie que les éegies oes ε() sot égalemet éiodiques, de éiode π a. Ce ésultat a deu coséqueces imotates : les otios de bades emises eésetées su la Figue.4 euvet ête ologées de faço à fome des bades cotiues ; o eut ue ouvelle fois, comme das le cas des modes de vibatio des atomes du cistal, esteide l itevalle d étude à la zoe éduite [-π/a, π/a], c està-die à la emièe zoe de illoui. Ces coubes de disesio esteites à la emièe zoe de illoui costituet la eésetatio habituelle du diagamme de bade d u cistal D. Le calcul est bie sû lus comliqué das le cas d u cistal éel 3D, mais les iciales idées hysiques qui emettet de le mee sot effectivemet coteues das l eemle simle que ous avos cosidéé.... Dyamique de l électo... Imulsio, vitesse O se aelle que ou ue ode lae, c est-à-die ou u électo libe, l imulsio mv est égale au momet cistalli h. Ce est lus le cas ou u électo de loch. E effet,

28 36 Modélisatio des tasistos biolaies itégés soit, ψ *( )( i h) ψ ( ) d h i h u *( ) u ( ) d h [.] Das u cistal, il y a as de elatio simle ete l imulsio de l électo das u état de loch et le momet cistalli qui défiit cet état. E fait, le mouvemet de l électo doit ête décit a u aquet d odes de loch ceté autou de. La vitesse de l électo est alos la vitesse de goue du aquet d odes : dω dε v [.] d h d L ifluece du cistal su le mouvemet de l électo est aisi etièemet coteue das la elatio de disesio ε() qui ed doc, o le voit maiteat, toute so imotace ou l étude du tasot.... Effet d ue foce etéieue, masse effective Suosos que l électo soit soumis à ue foce F. La vaiatio de so éegie edat dt est égale au tavail de la foce : d ε F d F v dt. D où, d aès [.] : d F [.3] dt h Remaquos au assage que si la foce F est ulle, le vecteu d ode est costat. E calculat l accéléatio subie a l électo gâce à [.] et [.3], o obtiet : ε h dv F dt

29 Elémets de hysique des semicoducteus 37 O etouve doc la elatio fodametale de la dyamique, à coditio d associe à l électo ue masse effective m * défiie a : ε * m h [.4] Ce ésultat est tès imotat. Notos d ailleus que cette masse effective, qui déed de la coubue de la elatio de disesio ε() eut ête aussi bie égative que ositive. Au voisiage d u etemum ε de bade d éegie situé e (o vea que les etema de bade sot les oits cuciau du comotemet des électos das u semicoducteu), o eut déveloe ε() e séie limitée : h ε ε ± ( ) [.5] m* Au voisiage d u etemum de bade d éegie, la otio de masse effective ed doc tout so itéêt : o etouve la elatio de disesio d u électo libe, mais avec ue masse difféete. C est ouquoi l o ale d électo quasi-libe....3 Classificatio métal/isolat/semicoducteu Nous avos maiteat tous les élémets ou comede ce qui difféecie u semicoducteu d u métal ou d u isolat. Commeços a démote le ésultat imotat suivat : ue bade leie e coduit as le couat. E effet le couat tasoté a les électos d ue bade s écit ou u cistal D de logueu L : q I L v q L h ( ) dε d où la somme ote su tous les états "occués". La bade état leie, à tout oit où la vitesse est v() coesod le oit - de vitesse oosée, de telle sote que I. Aisi, (i) ue bade leie e éagit as au cham électique et e aticie as au couat, et (ii) u cistal dot toutes les bades occuées sot leies est u isolat. La figue.5 eésete schématiquemet le emlissage des bades, comte teu du fait que les électos sot des femios, das le cas d u métal et das celui d u isolat. Das u métal, la deièe bade occuée est as comlètemet emlie. Elle eut doc de faço atuelle aticie au couat ; aussi est-elle

30 38 Modélisatio des tasistos biolaies itégés aelée bade de coductio. Au cotaie, das u isolat, la deièe bade occuée est comlètemet emlie ; c est la bade de valece. Aucue coductio est doc ossible. U semicoducteu est u cistal isolat à teméatue ulle, mais dot la lageu de la bade itedite est suffisammet faible iféieue à evio ev ou que des électos de la bade de valece uisset ête ecités themiquemet ves la bade de coductio. Toute vaiatio de teméatue emet aisi de module le emlissage de la bade de coductio, et doc de module la ésistivité du matéiau. O vea lus avat das ce chaite que l o eut égalemet module la ésistivité d u semicoducteu e y itoduisat des imuetés (doage), de faço à cée des iveau das la bade itedite. Ces iveau sulémetaies modifiet l occuatio des bades et doc les oiétés électiques du matéiau. C C E G V V métal isolat Figues.5. Occuatio des bades das u métal et u isolat...3. Notio de tou Suosos que l o soit à teméatue o ulle et qu u électo soit ecité ves la bade de coductio, ce qui laisse ue lace vide das la bade de valece. Cet électo a doc été détaché d ue liaiso covalete (Figue.6) et il eut tasote u couat, a eemle e ésece d u cham électique, et ce d autat lus facilemet qu il voit beaucou de laces vides d éegie oche autou de lui. L eistece d ue lace vide das la bade de valece sigifie qu il maque u électo das ue liaiso covalete. E ésece d u cham électique cette lace vide eut ête comblée a u électo oveat de la utue d ue aute liaiso

31 Elémets de hysique des semicoducteus 39 covalete. Aisi, la lace vide se délace das le ses du cham électique, comme ue aticule de chage ositive que l o aelle tou. Nous veos que l o eut attibue au tou toutes les caactéistiques d ue vaie aticule que l o taitea effectivemet comme telle. + Figue.6. Illustatio de l'eistece d'u tou. Suosos que l o a etait u électo de vecteu d ode e de la bade de valece (Figue.7). Le vecteu d ode total de la bade de valece est alos - e, que l o attibue au tou : h - e [.6] C ε e h V Figue.7. Vecteu d ode du tou. Si ε tot est l éegie totale de la bade de valece leie, ε tot -ε e ( e ) est l éegie totale de la bade de valece à laquelle il maque u électo d éegie ε e ( e ). O

32 4 Modélisatio des tasistos biolaies itégés eut doc défii l éegie du tou a ε h ( h ) -ε e ( e ) + costate, où la costate déed du choi de l oigie. E atique, o ed comme oigie des éegies d ue bade l etemum de cette bade. Avec ce choi la costate est ulle et l'éegie du tou est ε h, comme cela est eéseté su la Figue.8 : ε h ( h ) -ε e ( e ) [.7] C ε ε h ( h ) ε e ( e ) V Figue.8. Eegie du tou. Pou e détemie la vitesse o alique au tou la elatio [.] et o utilise [.6] et [.7] : c est-à-die: ε d h h vh h dh ( ) d( ε ( )) dε ( ) h e e de h e e de v h v e [.8] O défiit sa masse e aliquat la elatio [.4] au tou : mh h d ε h h dh ( ) d ε ( ) h e e de me c est-à-die: m h -m e [.9]

33 Elémets de hysique des semicoducteus 4 Soit F q h E la foce électostatique essetie a le tou e ésece du cham électique E. O alique au tou la elatio [.3] ou détemie sa chage électique q h : d h h dt F qh E c est-à-die d aès (.6) : d e h dt qh E qe E qe et a coséquet : q h -q e q [.3]..4. Cistal 3D Gééalisatio Tous les ésultats obteus ou u cistal à dimesio se gééaliset aisémet à u cistal à 3 dimesios. Il suffit, das les eessios écédetes, de emlace a (, y, z), a (, y, z ), a, L eessio [.] de la vitesse deviet : ( ) v h ε [.3] L eessio [.3] décivat l effet d ue foce su le vecteu d ode deviet : d F [.3] dt h Calculos la comosate suivat de l accéléatio γ subie a l électo : d v d dε d ε d ε d ε γ + + F Fy Fz dt h dt d h d ddy ddz

34 4 Modélisatio des tasistos biolaies itégés Pou idetifie cette elatio à la elatio fodametale il faut itoduie le teseu de masse effective : * m γ m * F, avec m * ij h ε i j [.33]..5. Stuctue de bade du Si Détemie la stuctue de bade d u cistal, c est touve la coesodace ete éegie et vecteu d ode e tout oit de la emièe zoe de illoui. Plusieus méthodes de calcul, essetiellemet uméiques, ot été déveloées ou les cistau éels : voi a eemle [YU 96]. L aoche théoique de ce oblème sot du cade de ce chaite ; ous e utiliseos les ésultats e eteat que les icies hysiques ivoqués et les ésultats obteus das les aagahes écédets ou u modèle simle D estet valables ou les semicoducteus éels. La descitio des etema des bades de valece et de coductio est ue doée de base ou l étude des oiétés de tasot, mais aussi des oiétés otiques, des semicoducteus. La stuctue de bade schématique et simlifiée du Si est eésetée su la Figue.9. La bade itedite est idiecte : les électos doivet chage de vecteu d ode ou asse de la bade de valece à la bade de coductio.

35 Elémets de hysique des semicoducteus 43,85 π a E XL E XL ev so,44 ev E G, ev so L <> Γ <> X..5. ade de coductio Figue.9. Allue de la stuctue de bade du Si. Qualitativemet, les stuctues de bade des semicoducteus diffèet essetiellemet a la bade de coductio. E effet, tous les semicoducteus ot le maimum de bade de valece au cete de la zoe de illoui, ce qui est as toujous le cas du miimum de bade de coductio. Les miima de bade de coductio se touvet su les aes <>, à 85% du bod de zoe. Il y a doc 6 miima au bas de vallées aelées vallées X (ou afois ). Au-dessus des miima, les sufaces équi-éegie se décomoset e 6 ellisoïdes de évolutio autou des aes <> et cetés su les oits (Figue.). m,85 π a

36 44 Modélisatio des tasistos biolaies itégés [] [] [] Figue.. Sufaces équi-éegie de la bade de coductio du Si. Au voisiage de ces oits, l éegie des électos est doc de la fome : ( ) ( ) z y t m l c m m E h h ε (avec emutatios de, y, z suivat la vallée), et leu éegie ciétique est alos : ( ) z y t l m m + + h h ε [.34] où ml et mt sot les masses effectives logitudiales et tasveses doées a : l m ε h, z y t m ε ε h h Ue meilleue descitio des vallées X est obteue e itoduisat, das la elatio de disesio [.34], u coefficiet de o-aabolicité α : ( ) ( ) z y t l m m h h α ε ε [.35] Das les vallées X de Si : m l,9 m, m t,9 m, α,5.

37 Elémets de hysique des semicoducteus ade de valece Il y a toujous 3 bades de valece dot les maima sot e Γ. Ces bades sot issues des obitales -liates tilemet dégééées. Cette dégééescece est atiellemet levée a l iteactio si-obite : das le mouvemet de l électo, so si, qui est u momet magétique, voit u cham magétique avec lequel il iteagit. La ise e comte de l hamitoie d iteactio si-obite décale de so ue des 3 bades de valece. O l aelle bade slit-off. Les 3 bades ésetet des coubues difféetes, doc des masses difféetes. Les bades qui estet dégééées e sot aelées bade de tous louds et bade de tous léges. Ce sot essetiellemet ces deu bades qui détemiet les oiétés de tasot des tous das le semicoducteu. Quel que soit le semicoducteu, les bades de tous louds et de tous léges sot assez fotemet aisotoes et les sufaces équi-éegie, des «waed shèes», sot décites a la elatio de disesio : 4 ( + C ( + + ) / h ε A ± y z z y [.36] m (+ ou les tous léges, ou les tous louds). A, et C sot des coefficiets caactéistiques du matéiau. Pou les faibles éegies, o utilise afois la fome suivate de la elatio de disesio : h ε g( θ, ϕ ) [.37] m où m (otée m lh ou les tous léges et m hh ou les tous louds) eésete ue masse effective isotoe, et g(θ,ϕ) est u facteu coectif d aisotoie. Pou Si, m lh,66 m et m hh,53 m. La bade slit-off, gééalemet eu eulée, est souvet égligée ou l étude des oiétés de tasot. Les sufaces équi-éegies sot des shèes et la elatio de disesio, caactéisée a ue masse isotoe m so, est doée a : h ε [.38] m so

38 46 Modélisatio des tasistos biolaies itégés..6. Desité d états das les bades emises La otio de desité d états est tès imotate. Elle ous emetta otammet de éati la oulatio d électos das les bades d éegie Desité d états das l esace écioque Quelle que soit la fome de la bade, les dimesios fiies du cistal imoset des coditios au limites qui discétiset les états accessibles et limitet leu ombe. Nous avos déjà obteu u ésultat similaie à oos des modes de vibatios des atomes. Si L, L y, L z sot les dimesios du cistal, les coditios au limites éiodiques (dites de o-vo Kama) imoset : c'est-à-die : (,,) ψ ( L,,) ψ (, L,) ψ (,, L ) ψ ( i L ) e ( i L ) e ( i L ) e y y z z Les valeus emises de, y et z sot doc les valeus discètes : y z π, L π y y, Ly z π z Lz où, y et z sot des eties. O déombe alos le ombe d états accessibles e teat comte du icie d eclusio de Pauli auquel sot soumis les électos, c est-à-die que su chaque état emis, o e eut mette que électos de sis oosés. A chaque volume π π π de l'esace écioque coesodet deu états L Ly Lz ossibles. La desité d états das cet esace est doc (,, ) soit, ou u volume uité du cistal : (, y, z ) 3 L L y Lz y z, π π π [.39] 4π

39 Elémets de hysique des semicoducteus 47 Et le ombe d états coteus das u élémet de volume 3 3 d ( ) d. 3 4π..6.. Desité d états e éegie (cistal 3D) Cas d'ue bade isotoe d 3 est h Das ce cas, la elatio de disesio est de la fome ε ( ) et l élémet m 3 de volume coesodat à u bod de shèe d éaisseu d est d 4π d. Le ombe d états coteus das l itevalle [ε, ε + dε] est doc : et fialemet : 4π d 3 ( ε ) dε ( ) d ( m) 3/ ε dε 4π 3 π h 3 4 π 3 ( ε ) ( ) ε 3 / m [.4] h ade de coductio du Si (bade ellisoïdale) Das ce cas la elatio de disesio est de la fome [.34]. O e déduit a u calcul aalogue au écédet la desité d'états suivate ou l esemble des 6 ellisoïdes : c 4π / ( ε ) 6 ( m m ) 3/ ε h 3 l t O eut écie cette eessio sous ue fome oche de [.4] : 4π c( ε ) ( ) 3/ ε 3 m dc [.4] h où m dc (6m l / m t ) /3 est la masse effective de desité d états de la bade de coductio. Das le Si, o a m dc,6 m.

40 48 Modélisatio des tasistos biolaies itégés ade de valece O églige la cotibutio de la bade slit-off, et o somme les cotibutios des tous louds et des tous léges : 4π v 3 lh + h ( ε ) ( 3/ 3 / ) 3/ m m ε hh E défiissat la masse effective de desité d états de la bade de valece m dv (m 3/ lh + m 3/ hh ) /3, cette eessio se met sous la même fome que l'équatio [.4] c'est-à-die que celle obteue ou ue bade shéique (avec m dv,59 m das le Si) : 4π v( ε ) ( ) 3/ ε 3 m dv [.4] h..7. Niveau d éegie itoduits a les imefectios du cistal Ue imefectio du cistal est ue utue locale de la éiodicité du éseau, et doc du otetiel cistalli. Ue telle utue est due essetiellemet à la ésece, souhaitée ou o, d ue imueté, ou à u défaut d aagemet des atomes. La utue de éiodicité du otetiel cistalli modifie localemet les iveau d éegie qui euvet ête occués a les électos. Aisi, les électos se éatisset o seulemet su les bades d éegie emises du cistal afait, les iveau itisèques, mais aussi su des iveau etisèques localisés itoduits a les imefectios. Les iveau etisèques euvet se touve das les bades emises, mais ils e jouet alos atiquemet aucu ôle, e faisat qu augmete de faço égligeable ue desité d états déjà élevée. Ils euvet aussi se touve das la bade itedite, ce qui modifie sesiblemet la éatitio des électos à l équilibe et eut cofée au semicoducteu des oiétés tès itéessates. C est essetiellemet ace que l o sait cée de tels iveau e cotôlat leu quatité que les semicoducteus ot des alicatios atiques. O distigue, das la bade itedite, deu tyes de iveau etisèques : les iveau voisis des bades emises (shallow levels, voisi sigifiat tyiquemet à mois de, ev) : ces iveau iteagisset facilemet avec la bade emise oche. Ils cotôlet la coductivité etisèque du matéiau e fouissat des électos ou des tous au bades de coductio ou de valece ;

41 Elémets de hysique des semicoducteus 49 les iveau ofods (dee levels) : ils euvet agi idiectemet su la coductivité a comesatio de l effet de iveau oches. E evache, ils agisset diectemet su les oiétés de ecombiaiso, ou laquelle ils euvet sevi d itemédiaie, et doc su la duée de vie des oteus. Il est à ote que les iveau etisèques sot gééalemet discets. Toutefois, si les imuetés sot tès ombeuses et deses, elles euvet se touve suffisammet oches les ues des autes ou iteagi ete elles, ce qui doe lieu à la fomatio de bades d imuetés...7. Niveau associés au imuetés de doage ou u semicoducteu de la coloe IV (Si, Ge, C) Losque des imuetés sot itoduites das le éseau, elles euvet occue des ositios substitutioelles ou itestitielles. U atome e ositio itestitielle itoduit u gad désode das le éseau et costitue gééalemet ue cofiguatio istable. Nous e ous itéessos ici qu au imuetés substitutioelles itoduisat des iveau eu ofods, les seuls suscetibles de «doe» u matéiau Doage de tye N a u élémet de la coloe V (P, As) U atome de la coloe V ossède 5 électos éihéiques. Placé e site substitutioel das u éseau Si, il egage 4 de ces électos das des liaisos de valece avec 4 atomes Si voisis. Ces électos «aticiet» aisi à la bade de valece du semicoducteu. Le 5 ème électo est faiblemet lié ; il occue u iveau E D eu ofod de la bade itedite et eut ête facilemet aaché à l imueté (Figue.). Il alimete aisi la bade de coductio du cistal. Tous les atomes de la coloe V fouisset la bade de coductio de Si e électos ; ce sot des doeus, emettat de doe e électos le semicoducteu qui est alos dit de tye N.

42 5 Modélisatio des tasistos biolaies itégés Si E C E D Si P + Si E V Si (E C - E D ) + P P + + e Figue.. Effet d u atome de hoshoe substitutioel das u éseau Si. Céatio d u iveau doeu E D das la bade itedite. Il suffit de foui l éegie E C - E D ou libée l électo e ecès qui occue ce iveau ves la bade de coductio du cistal Si. Les états de chage d u cete doeu sot : () si le iveau est occué ; (+) si le iveau est vide. Les iveau doeus usuels das Si sot : P E C - E D 45 mev, As E C - E D 54 mev, Sb E C - E D 39 mev Doage de tye P a u élémet de la coloe III (, Ga, I) U atome de la coloe III a 3 électos éihéiques. E ositio substitutioelle das u éseau Si, il e eut egage que 3 liaisos de valece avec 3 des 4 atomes Si voisis. Mais a l itemédiaie d u iveau E A itoduit à oimité de la bade de valece, il eut facilemet catue u électo de valece d u aute atome Si ou fialemet échage ue 4 ème liaiso de valece avec ses voisis (Figue.). Cette catue d u électo de la bade de valece ves le iveau E A cée doc u tou das la bade de valece symbolisé a Si + su la figue. Les atomes de la coloe III, emettat de doe e tous le semicoducteu, qui est alos de tye P, sot dits acceteus. Les états de chage d u cete acceteu sot : ( ) si le iveau est occué ; () si le iveau est vide. Les iveau acceteus usuels das Si sot : Β E A - E V 45 mev, Ga E A - E V 7 mev, I E A - E V 6 mev.

43 Elémets de hysique des semicoducteus 5 Si E C Si Si E A Si Si + E V (E A - E V ) + + Si + Si + Figue.. Effet d u atome de boe substitutioel das u éseau Si. Céatio d u iveau acceteu E A das la bade itedite. Il suffit de foui l éegie E A - E V ou que ce iveau catue u électo de la bade de valece du cistal Si, c est-à-die ou qu il cée u tou Réductio de la lageu de bade itedite (ad ga aowig) A fot doage, le coulage ete les iveau doeus ou acceteus avec, esectivemet, la bade de coductio ou la bade de valece coduit à l'aaitio de iveau d'éegie emis sulémetaies das la bade itedite et doc à la éductio de la lageu de la bade itedite. Ce héomèe est aelé e lague aglaise «bad ga aowig». La figue.3 eésete l'évolutio de la éductio de la lageu de bade itedite E G e foctio du doage, ou le silicium. E G (mev) N (cm -3 ) Figue.3. Vaiatio E G, das Si à 3 K e foctio de la cocetatio N de doats.

44 5 Modélisatio des tasistos biolaies itégés Niveau ofods Das le cas du silicium, les iveau ofods sot essetiellemet céés a des imuetés qui e sot i de la coloe III i de la coloe V. La luat de ces imuetés sot d ailleus multi-valetes, c est-à-die qu elles itoduiset lusieus iveau das la bade itedite. Pa eemle l o cée u iveau acceteu situé à,54 ev sous la bade de coductio de Si et u iveau doeu à,9 ev au-dessus de la bade de valece. Ue telle imueté e eut doc as ête utilisée comme doat ca elle e eut ête facilemet ioisée qu à des teméatues tès élevées. Ces iveau ofods euvet iteagi avec les deu bades emises et doet lieu à de la ecombiaiso idiecte qui sea étudiée lus loi. C'est le mécaisme de ecombiaiso le lus efficace das Si. Pa eemle, u état acceteu ioccué (état ) eut catue u électo libe (il asse à l état ) uis u tou libe (etou à l état ). La catue d u tou libe sigifie que l électo qui occue le iveau etombe su ue lace vide de la bade de valece. L itoductio de tels cetes ecombiats eut ête bééfique ou cetais comosats foctioat e commutatio, e aidat à évacue les chages stocées de oteus libes, mais catastohique ou d autes comosats, tels que les diodes électolumiescetes qui voiet leu edemet lumieu dégadé a la ecombiaiso...8. Peulemet des iveau d éegie à l équilibe themique Das les deu aties écédetes, ous avos détemié u esemble de iveau d éegie accessibles au électos «quasi-libes» du semicoducteu. Cet esemble comed des iveau itisèques, goués e bades emises séaées a ue bade itedite, et des iveau etisèques discets itoduits das la bade itedite a, essetiellemet, des imuetés. Nous allos voi maiteat commet les électos se éatisset su ces iveau. C est u oblème de hysique statistique dot ous admettos le ésultat fodametal suivat : les électos obéisset à la statistique quatique de Femi-Diac Pobabilité d occuatio d u iveau d éegie ε Statistique de Femi-Diac ou les femios Les femios obéisset au icie d eclusio de Pauli, ce qui est as le cas des bosos. Le icie d eclusio de Pauli stiule que () u état quatique e eut as ête occué a deu femios () les iveau d éegie iféieue sot eulés e ioité.