Tests d hypothèses via une Approche Expérimentale des Probabilités

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1 Tests d hypothèses via ue Approche Expérimale des Probabilités CQLS : cqls@upmf-greoblefr Itroductio gééralités Cadre d estimatio à u échatillo Das ce cadre, tout problème pratique doit se rameer à l étude d ue uique variable d itérêt otée ici Y pouvat aussi être vue comme ue future uique doée E pratique, ous disposeros d u jeu de doées y = y,, y ie u vecteur ou paqu de observatios idépedates de Y qui peut par coséqu être vu comme u résultat possible d u futur jeu de doées Y = Y,, Y Afi d expliciter le paramètre d itérêt itimem lié das les problématiques du cours à la variable d itérêt Y, ous imagieros disposer d ue ifiité de doées virtuelles y [],, y [m], dot la otatio e idice re croch ie [ ] ous rappelle qu il e faut pas les cofodre avec le jeu des doées y,, y qui serot bie réelles Rappelos aussi que das ce cours les tailles des doées réelles m des doées virtuelles ot a priori des ordres de gradeur complètem différs, à savoir plutôt raisoablem grad m aussi grad que possible voire ifii Paramètres proportio moyee La moyee otée µ Y ou plus simplem µ plutôt appelée espérace de Y das l Approche Mathématique des Probabilités otée EY s exprime via l Approche Expérimale des Probabilités par : y[ ] = m y m [k] y [ ] m = µ Y = E Y k= Souligos toutefois que si les doées sot exclusivem à valeurs 0 ou, la moyee devi ue proportio ou probabilité sera otée p plutôt que µ Rappelos qu ue future estimatio µ Y Y de µ Y est tout simplem Y = Y i otée aussi Y Paramètre variace La variace otée σ Y ou plus simplem σ coservat la même déomiatio das l AMP otée VarY s exprime via l AEP par : m y[ ] m = y [k] y [ ] m m y[ ] = σ Y = Var Y = σy k= Das le cadre de grads échatillos voir plus loi, il est plus qu itéressat de oter que la variace est aussi ue moyee E eff, ous pouvos écrire σ Y = µ Ÿ puisque VarY = EY µ Y = EŸ où Ÿ = Y µ Y est le carré de la variable aléatoire Y préalablem crée Le vecteur des futures doées Y µ Y,, Y µ Y état iaccessible puisque µ Y est icou, ous le remplaceros par Ÿ = Y Y,, Y Y Aisi, ous pourrios aussi proposer µÿ Ÿ comme future estimatio de σ Y = µ Ÿ plutôt lorsque la taille des doées sera suffisamm grade

2 Cadre d estimatio à deux échatillos idépedats ll y a das ce cadre deux variables d itérêts Y Y idépedates dot o cherche soit à comparer les moyees soit les variaces à partir de deux échatillos, l u y = y,, y de taille l autre y = y,, y de taille Il e découle deux futurs jeux de doées Y = Y,, Y Y = Y,, Y Pour homogééiser ce cas avec celui à u seul échatillo, ous oteros Y, le vecteur aggrégé de toutes les futures doées Y = Y, Y de taille = + De maière aalogue au cas d u seul échatillo, ous imagios disposer de deux ifiités de doées virtuelles, l ue y [],, y [m], relative à Y l autre y [],, y [m], relative à Y Pour j = ou j =, o peut alors exprimer : la moyee µ Y j ou plus simplem µ j par y j [ ] m y j [ ] = µ j la variace σ ou plus simplem σ Y j j défiie par y j [ ] m y j [ ] = σ Nous sommes alors e mesure d itroduire les paramètres servat à comparer respectivem les moyees les variaces comparaiso de moyees s étudiat soit à partir de la différece de moyees d µ = µ µ soit à partir du rapport de moyees r µ = µ /µ si µ 0 comparaiso de variaces s étudiat soit à partir de la différece de variaces d σ = σ σ soit à partir du rapport de variaces r σ = σ /σ si σ 0 Isistos sur le fait que les utilisatios d ue différece ou d u rapport e sot pas aodies puisqu elles permt de traiter des assertios d itérêt différes 3 Les deux cadres usuels : asymptotique gaussie Cadre asymptotique ou grads échatillos : par grad échatillo, o ed das ce cours ue taille de doées 30 pour le cas u seul échatillo des tailles pour celui de deux échatillos Cadre gaussie : si ue variable d itérêt est supposée suivre ue loi Normale o dit que l échatillo associé est gaussie Ce cadre d étude est a priori itéressat que s il est possible de vérifier évuellem à partir d u outil statistique cte hypothèse de Normalité de la variable d itérêt Alors qu il faudrait disposer d u grad échatillo pour cte vérificatio, l usage das la littérature statistique est d utiliser ce cadre d étude même pour des pits échatillos Les résultats repos alors sur la validité de l a priori que la variable d itérêt suit ue loi Normale Cepedat, certais phéomèes étudiés peuv laisser peser que cte hypothèse sur la ou les variables d itérêt e doit pas être aberrate 4 Comparaiso re AMP, AEP Pratique Das le tableau suivat, le jour J désige le jour où les doées sot réellem récoltées Idic : voir fi de docum pour les différes otatios j

3 Avat le jour J θ fixé évuellem à ue valeur arbitraire pour l expérimatio Mathématique Y Y θy ou Θ ty ou T y [] y [] Expérimal y [] y [m] θy[] ou θ [] ty [] ou t [] y [] y [+] θy[] ou θ [] ty [] ou t [] y [] y [m +] Moyee = µ := y [ ] = E Y Ecart-Type = σ := y [ ] = σy θy[m] ou θ [m] ty [m] ou t [m] y [m ] = Var Y θ y[ ] = E θ Y ty [ ] = E ty σ θ := θ y[ ] = σ θ Y = Var θ Y ty [ ] = σty = Var ty Proportio das [a, b[ = y[ ] [a, b[ θ y[ ] [a, b[ ty [ ] [a, b[ = PY [a, b[ = P θ Y [a, b[ = PtY [a, b[ Histogramme à pas zéro = f Y f θy ou f Θ f gy ou f T Surface brique m fii = m m Après le jour J θ est égal à θ qui est toujours icou y Pratique y θy ou θ ty ou t y Le jour J θ = θ, si o essaye d associer des temps de cojugaiso aux différs cocepts, ous pouvos dire : le jeu de doées réel y représe le prés le jeu de doées aléatoire Y représe le futur o pourra alors aussi l appeler futur jeu de doées les jeux de doées virtuels y [j] représ le coditioel ils représ ue ifiité de jeux de doées que l o aurait pu avoir à la place de y m 3

4 Test d hypothèses De maière géérale, la rédactio stadard d u test d hypothèses s écrit toujours de la même faço Elle est décrite ci-dessous pour u paramètre θ qui devra être remplacé par p pour ue proportio, µ pour ue moyee, σ pour ue variace, d µ resp r µ pour ue différece resp rapport de moyees efi d σ resp r σ pour ue différece resp rapport de variaces La valeur de référece θ 0 la loi L 0 devrot être adaptée selo la problématique Rédactio stadard d u test d hypothèses paramétrique Hypothèses de test : θ > θ 0 H 0 : θ = θ 0 cotre H : θ < θ 0 θ θ 0 cas a : test uilatéral droit cas b : test uilatéral gauche cas c : test bilatéral Statistique de test sous H 0 : δ θ,θ0 Y L 0 où L 0 est ue loi stadard à préciser selo la problématique evisagée Règle de décisio : o accepte H si p valeur < α ou de maière équivale δ θ,θ0 y > δ + lim,α δ θ,θ0 y < δ lim,α δ θ,θ0 y < δ lim,α/ ou δ θ,θ0 y > δ + lim,α/ où δ lim,α = q α δ + lim,α = q α désig respectivem les quatiles d ordre α α associés à la loi L 0 où la p valeur est défiie mathématiquem par : P θ=θ0 δθ,θ0 Y > δ θ,θ0 y a : p-valeur droite p-valeur = P θ=θ0 δθ,θ0 Y < δ θ,θ0 y b : p-valeur gauche mip θ=θ0 δ θ,θ0 Y < δ θ,θ0 y,p θ=θ0 δ θ,θ0 Y > δ θ,θ0 y c : p-valeur bilatérale a b c Coclusio : Applicatio de la règle de décisio au vu des doées y Propriétés : La somme des p-valeur gauche p-valeur droite est égale à La p-valeur bilatérale est égale à deux fois la plus pite des p-valeurs gauche droite Tableaux récapitulatifs : Il sera aussi supposé que les doées ot été saisies das le logiciel R soit sous le om y pour u uique échatillo soit sous les oms y y pour deux échatillos idépedats 4

5 σ Y θ θ Y θ y e R σ θ σ θ Y σ θ y e R p p Y = Y = p p p Y p Y Yi meay σ p = semeay µ µ Y = Y = Yi meay σ µ = σ Y semeay σ σ σ Y = σ σ Ÿ Yi Y Ÿ Ÿ vary = σ σ sevary Y dµ =µ µ dµ Y = µ Y µ Y meay-meay d σ =σ σ dσ Y = σ rµ = µ µ rµ Y = r σ = σ σ r σ Y = Y σ µ Y σ dµ = σ + σ σ Y vary-vary σ = Ÿ dσ + σ Ÿ µ Y meay/meay σ rµ = µ σ Y σ vary/vary σ rσ = σ Y σ Cas Gaussie σ = σ = σ : σ Y = σ σ + r µ σ Y µ σ σ Ÿ +r Ÿ σ σ Y + σ Ÿ Ÿ σ σ Ÿ + Y sedmeay,y Y + σ Y sedmeagy,y + σÿ Ÿ + rµ Y Ÿ + r σ Y sedvary,y σ σ Ÿ Y sermeay,y Ÿ servary,y θ θ0 σ θ sous H0 δθ,θ0 = θ θ 0/σ θ p 0 p0 δp,p0 = p p 0 p0 p0 p p0 µ µ 0 σ µ δµ,µ 0 = µ µ 0 σ µ Cadre Asymptotique Cadre Gaussie δθ,θ0 Y sa loi sous H 0 δθ,θ0 δp,p0 Y = p Y p 0 p0 p0 δµ,µ 0 Y = µ Y µ 0 σ µ Y approx N 0, approx N 0, δµ,µ 0 = µ µ 0 σ µ δθ,θ0 Y sa loi sous H 0 δµ,µ 0 Y = µ Y µ 0 σ µ Y St σ σ 0 σ σ δ σ,σ 0 = σ σ 0 σ σ dµ =µ µ d0 σ dµ δdµ,d0 = d µ d0 δ σ,σ 0 Y = σ Y σ 0 σ σ Y σ dµ δdµ,d0 Y = dµ Y d0 σ dµ Y approx N 0, δ σ,σ 0 = σ σ 0 approx N 0, δdµ,d0 = d µ d0 δ σ,σ 0 Y = σ Y σ 0 δdµ,d0 Y = dµy d0 σ dµ Y σ dµ χ St + d σ =σ σ d0 σ dσ δd σ,d0 = d σ d 0 σ dσ rµ = µ µ r0 σ rµ δrµ,r0 = r µ r0 δd σ,d0 Y = d σ Y d0 approx σ Y N 0, dσ σ rµ δrµ,r0 Y = r µ Y r0 σ rµ Y approx N 0, r σ = σ σ r0 σ rσ δr σ,r0 = r σ r 0 σ rσ δr Y = r σ Y r 0 approx σ,r0 σ rσ Y N 0, δr = r σ σ,r0 r0 δr σ,r0 Y = r σ Y r0 F, 5

6 3 Itervalle de cofiace 3 Gééralités Le cocept d itervalle de cofiace d u paramètre quelcoque θ cosiste à proposer u ecadrem ou ue fourchte représé par u itervalle de variables aléatoires [ θif Y, θ sup Y ] de sorte que le paramètre d itérêt θ icou ait u iveau de cofiace α plutôt élevé si α raisoablem pit d être à l itérieur de c itervalle Mathématiquem cela s exprime par : P θ [ θif Y, θ sup Y ] = α Par l approche expérimale, si ous pouvios imagier répéter autat de fois que possible la coceptio d itervalles de cofiace [ θif ] y[], θsup y[],, [ θif ] y[m], θsup y[m], obteus respectivem sur ue ifiité de jeux de doées virtuels y [],, y [m],, ous costaterios alors qu il y e aurait qu ue proportio α qui cotiedrai le paramètre d itérêt θ icou La costructio de ces itervalles déped e gééral de la caractérisatio du comportem aléatoire de la mesure d écart stadardisée δ θ,θ Y proposée das toutes les problématiques das le tableau suivat : Cadre Asymptotique Cadre Gaussie θ δ θ,θ Y δ θ,θ Y p p Y p approx δ p,p Y = N 0, σ p Y µ µ Y µ approx µ Y µ δ µ,µ Y = N 0, δ µ,µ Y = St σ µ Y σ µ Y σ δ σ Y = σ Y σ approx N 0,,σ Y Y = σ Y,σ σ σ σ χ d µ =µ µ δ dµ,d µ Y = d µ Y d µ σ dµ Y approx N 0, δ dµ,d µ Y = d µ Y d µ St + Y σ dµ d σ =σ σ δ dσ,d σ Y = d σ Y d σ σ dσ Y approx N 0, r µ = µ µ δ rµ,r µ Y = r µ Y r µ approx N 0, σ rµ Y r σ = σ σ δ rσ,r σ Y = r σ Y r σ σ rσ Y 3 Cadre asymptotique approx N 0, δ rσ,r Y = r σ Y σ F, r σ Tous les itervalles de cofiace relatifs à toutes les problématiques du cours s obtie das le cadre de grads échatillos par la même méthode Après substitutio du paramètre d itérêt de votre problématique au choix parmi p, µ, σ, d µ, d σ, r µ r σ otée ici de maière géérale θ, ous allos aturellem utiliser la caractérisatio du comportem aléatoire de l écart re θ Y θ exprimée via la mesure d écart stadardisée δ θ,θ Y suivat approximativem ue loi Normale N 0, Très facilem, ous pouvos affirmer que : α P δ θ,θ Y < δ + lim, α = P θ Y δ + lim, α } {{ } θify σ θ Y < θ < θ Y + δ + lim, α σ θ Y } {{ } θsupy où δ + lim, α est le quatile d ordre α de la loi N 0, 33 Cadre gaussie Pour costruire u itervalle de cofiace das u cadre gaussie du paramètre θ au choix µ, σ, d µ ou r σ, ous allos aturellem utiliser la caractérisatio du comportem aléatoire de 6

7 l écart re θ Y θ exprimée via la mesure d écart stadardisée δ θ,θ Y Il s agit alors de trouver θif Y θ sup Y tels que α = P θif Y < θ < θ sup Y e utilisat le fait que α = P q α < δ θ,θ Y < q α où q α est le quatile d ordre α de la loi de la mesure d écart stadardisée δ θ,θ Y L exercice est plus difficile que das le cadre asymptotique d ue part parce que la mesure d écart stadardisée δ θ,θ Y θ état au choix µ, σ, d µ ou r σ e se déclie pas toujours sur le même schéma de costructio d autre part parce que la loi de δ θ,θ Y est plus ue loi Normale stadard Sas trop ous attarder, voici les différs itervalles de cofiace pour les différs choix de θ : θ = µ : µ if Y = µ Y q α où q α est le quatile d ordre α θ = σ : σ Y σ if Y = σ Y q α de la loi St µ sup Y = µ Y + q α σ sup Y = σ Y q α où q α resp q α est le quatile d ordre α resp α de la loi χ θ = d µ : d µif Y = d µ Y q α d µsup Y = d µ Y + q α σ Y + σ Y + σ Y où q α est le quatile d ordre α de la loi St + La quatité σ Y est défiie comme das le tableau récapitulatif des tests d hypothèses partie cadre gaussie θ = r σ : r σ if Y = r σ Y q α r σ sup Y = r σ Y q α où q α resp q α est le quatile d ordre α resp α de la loi F, 4 Lagage mathématique Systèmes de otatio Das ce cours, deux systèmes de otatio sot utilisés pour décrire des expressios mathématiques dédiées à la statistique Le premier, appelé Norme CQLS ou Norme CQLS Stadard cosiste e u système de otatio riche peut-être u peu lourde dot le pricipal avatage est qu il est taillé sur mesure pour être traduisible das le lagage littéral Le deuxième système, appelé Norme SSE ou Norme CQLS Simplifié, a pour vocatio à être Simple, Sythétique Explicite ou du mois le plus possible Il demade cepedat das so utilisatio u meilleur iveau d expertise essiellem dû au fait que sa traductio das le lagage littéral est mois explicite que celle pour la Norme CQLS Notre coseil est de commecer par l utilisatio de la Norme CQLS pour, au fur à mesure du cours, passer à la Norme SSE Covios commues aux deux Normes CQLS SSE : Majuscule versus Miuscule : ue variable aléatoire ou susceptible de l être est otée e majuscule quad ue variable dot o sait qu elle est détermiiste ie o aléatoire est oté e miuscule Le Chapeau au dessus d ue quatité par exemple, θ désige gééralem u remplaçat appelé plus commuém estimatio das le cas où la quatité est u paramètre ici θ 3 U vecteur est oté e caractères gras Remarque : ue expressio écrite sur u docum imprimé e caractères gras ex : expressio e gras est subtituée sur u tableau ou sur ue feuille papier par sa versio souligée ex : expressio e gras 7

8 4 Delta δ e miuscule e majuscule est utilisé pour désiger u écart le plus souv additif ie ue soustractio mais parfois multiplicatif ie ue divisio La Norme CQLS a été itroduite pour décrire le plus précisém possible l Approche Expérimale des Probabilités AEP L AEP s articulat sur ue distictio des différs jeux de doées, la Norme CQLS repose sur la covio suivate : Toute statistique ie va dépedat d u jeu de doées s écrit comme ue foctio du jeu de doées Il y a pas vraim de covio propre à la Norme SSE So objectif est cepedat de e pas respecter la covio spécifique ci-dessus à la Norme CQLS das le but de redre plus sythétique les otatios mathématiques Le tableau ci-dessous exprime plus clairem la spécificité des Normes CQLS SSE e proposat les pricipales expressios utilisées e statistique das les ormes Statistique Aléatoire ou futur Réalisé ou prés Réalisable ou coditioel va foctio de l échatillo CQLS SSE CQLS SSE CQLS SSE Estimatio de θ θ Y Θ θ y θ θ y [k] θ [k] Estimatio de p p Y P p y p p y [k] Estimatio de µ µ Y M µ y µ µ y [k] Estimatio de σ σ Y Σ σ y σ Erreur stadard de θ σ θ Y Σθ σ θ y σ θ σ θ σ y [k] y [k] p [k] µ [k] σ,[k] σ θ,[k] Ecart re θ θ δ θ Y,θ θ δ θ y δ,θ θ δ θ y,θ [k] δ θ,[k] Estimatio de δ θ,θ 0 ou δ θ0 δ θ,θ 0 Y θ0 δ θ,θ 0 y δθ0 δ θ,θ 0 y [k] δθ0,[k] Le tableau ci-dessous illustre comm covertir ue otatio e sa défiitio littérale ou mathématique pour des cocepts de base de la statistique La coversio das le lagage R y est aussi proposée permtat à l utilisateur de savoir comm obteir ces quatités e Pratique : Notatio Défiitio littérale Défiitio mathématique y Vecteur des réels y,, y y,, y ou y y i est la ième composate de y e R : y <- cy,,y #y Nombre de composates de y = R legthy R y ou y Moyee empirique de y y i = meay y = a Proportio des y,, y R ou yi=a = meay==a y = a égaux à a a y b Proportio des y,, y ou a y b das [a, b] avec a b y ou y y ou y Ecart-type empirique de y Variace empirique de y [a,b] y i R = meaa<= y & y<= b y i y R = sdy y i y = R vary q α y Quatile d ordre α de y y [α]+ impair y [α]++y [α]+ pair R ou q α y 0 < α < = quatiley,alpha 5 Quelques istructios R Istructios de base par l exemple : des exemples commés val peut-être mieux que de logs discours! > c-, # Créatio du vecteur -, [] - 3 > 4+*c-,0, # Trasformatio 4+*x appliqué pour chaque composate de y 4 [] > y<-c,3,,4,7,6 8

9 6 > y 7 [] > 4+*y 9 [] > meay # Moyee de y [] > sdy # Ecart-type de y 3 [] > yc <- y-meay # yc correspod au vecteur y cré 5 > yc 6 [] > meayc # Moyee ulle 8 [] e-6 9 > sdyc # Idem que l écart-type de y 0 [] > ycr <- y-meay/sdy # ycr correspod au vecteur y cré réduit > meaycr # Moyee ulle 3 [] e-7 4 > sdycr # Ecart-type à 5 [] 6 > vary # Variace de y 7 [] > sqrtvary # Ecart-type = racie carrée de variace 9 [] > sdy^ # Variace = carré de l écart-type 3 [] Quatiles foctios de répartitio avec R : Soit p u réel apparteat à ]0, [, o défiit le quatile d ordre p associée à ue loi de probabilité le réel qui via l approche expérimale peut être vu comme le réel qui sépare l ifiité des observatios associée à la loi de probabilité e deux, ue proportio p à gauche ue proportio p à droite O défiit égalem la foctio de répartitio e u réel q, la proportio parmi l ifiité des observatios qui se situ avat q Ces deux otios sot illustrées das la figure Figure Si X loi va cotiue, alors f x R = dloi x, représe sa desité de probabilité, p = F q = P X q R = ploi q, sa foctio de répartitio q = F p R = qloi p, so quatile d ordre p Le tableau suivat résume les différes lois de probabilités cosidérées das ce cours de deuxième aée aisi que les istructios R permtat d évaluer les quatiles foctios de répartitios associés à ces lois de probabilités 9

10 Applicatio : lois de probabilités loi R quatile d ordre p foctio de répartitio e q Normale N µ, σ orm qormp, µ, σ pormq,µ, σ Normale N 0, orm qormp pormq Chisquare χ chisq qchisqp, pchisqq, Fisher F, f qfp,, pfq,, Stud St t qtp, ptq, > porm6449 # proba N0, plus pit que 6449 [] > qorm095 # quatile N0, d ordre 95% proche de [] > -porm96 # proba N0, plus grad que 96 proche de 5% 6 [] > qormc95,975,99 # quatiles N0, d ordre 95%, 975% 99% 8 [] > qtc95,975,99,0 # quatiles St0 d ordre 95%, 975% 99% 0 [] > ptc846,839,763769,0 # les probas correspodates [] > qchisqc95,975,99,0 # quatiles Khi0 d ordre 95%, 975% 99% 4 [] > pchisqc830704,04838,3095,0 # les probas correspodates 6 [] > qfc95,975,99,0,0 # quatiles F0,0 d ordre 95%, 975% 99% 8 [] > pfc347878,77367,336886,0,0 # les probas correspodates 0 [] Illustratio du lie re AEP AMP : Ue istructio rloi, du même type que les itructios ploiq, qloip, présées précédemm perm de géérer simultaém réalisatios y := y,, y d ue va Y ayat pour loi loi Illustros-le sur ue vérificatio expérimale AEP d obtio de probabilité, quatile, moyee variace relatifs à ue loi N, > yy<-rorm0000,, # les m=0000 réalisatios ot stockées das le vecteur yy > yy # les 0 premières 0 derières composates de yy 3 [] 4634e e e e e+00 4 [6] 6705e e e e e [999] e e e e e+00 7 [9996] e e e e e+00 8 > meayy<05 # proportio des m=0000 composates strictem iférieur à 05 9 [] > porm05,, # idem si m=ifii [] > meayy==05 # proportio des m=0000 composates égale à 05 =0 si m=ifii 3 [] 0 4 > mea05<=yy && yy<=3 # proportio des m=0000 composates compris re [] 0 6 > porm3,,-porm5,, # idem si m=ifii 7 [] > quatileyy,95 # quatile d ordre 95% des m=0000 composates 9 95% > qorm95,, # idem si m=ifii [] > meayy # moyee des m=0000 composates = si m=ifii 4 []

11 5 > varyy # variace des m=0000 composates =^=4 si m=ifii 6 []

12 Tables de lois usuelles de variables aléatoires cotiues pour la statistique Nom Graphe Desité de probabilité Espérace Variace Remarques Uiforme X U [a, b] a < b f x = si x [a, b] b a 0 sio E X = a + b V ar X = b a La desité de probabilité d ue loi uiforme est u histogramme à classe U [0, ] U [, 4] Normale X N µ, σ µ réel σ réel > 0 f x = σ π e x µ σ E X = µ V ar X = σ Si X N µ, σ alors X µ σ N 0, Si X N µ X, σx Y N µ Y, σy sot des va idépedates alors X + Y N µ X + µ Y, σ X + σ Y N, 05, N 0, puis N 4, Chisquare X χ ν ν ier > 0 f x = e x x ν ν Γ si x > 0 ν 0 sio E X = ν V ar X = ν Si X,, X sot lois N 0, idépedates alors Y = Xi χ ν = 3, ν = 6 puis ν = 9 Stud X St ν ν ier > 0 f x = + x ν β, ν ν+ E X = 0 si ν ν V ar X = ν ν si ν 3 Si X N 0, Y χ ν sot idépedates alors Z = X Y ν St ν ν = ν = 30 Fisher X F ν, ν ν, ν iers > 0 F 5, 00, F 00, 5 puis F 30, 30 f x = si x > 0 ν ν ν ν x ν νx+ν ν +ν β ν, ν f x = 0 sio { E X = ν si ν 3 ν V ar X = ν ν +ν νν ν 4 si ν 5 Si X χ ν X χ ν sot idépedates alors Y = X/ν X/ν F ν, ν