Séquence 5. 1 ère partie : 2 e partie : Suites numériques (1) Produit scalaire (1) Séquence 5 MA12. Cned - Académie en ligne

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1 Séquece 5 1 ère partie : Produit scalaire (1) e partie : Suites umériques (1) Séquece 5 MA1 1

2 1ère partie Produit scalaire (1) Sommaire 1 Pré-requis Produit scalaire de deux vecteurs 3 Sythèse de la partie 1 de la séquece 4 Exercices d approfodissemet Séquece 5 MA1

3 1 Pré-requis A Théorème de Pythagore Théorème 1 Théorème de Pythagore Vous coaissez bie sûr ce théorème Le triagle ABC est rectagle e A si et seulemet si AB + AC = BC C B A B Vecteurs et calcul vectoriel 1 Vecteurs Das la séquece 1 ous avos vu Défiitio U vecteur est u «objet mathématique» qui caractérise ue traslatio S il est pas ul, il est défii par la doée : d ue directio, d u ses, et d ue logueur (o dit aussi ue orme) Propriétés Soiet A, B, C et D quatre poits du pla O a : AB = CD si et seulemet si les segmets [AD] et [BC] ot le même milieu (c est-à-dire si et seulemet si ABDC est u parallélogramme, évetuellemet aplati ou réduit à u poit) Commetaire O peut aussi remarquer que cela sigifie que, s ils e sot pas uls, les vecteurs AB et CD ot la même directio (puisque (AB) et (CD) sot parallèles), le même ses (o va das le même ses de A vers B et de C vers D) et la même logueur ( AB = CD ) Séquece 5 MA1 3

4 Propriétés Soiet u et v deux vecteurs o uls du pla O a : u = v si et seulemet si u et v ot la même directio, le même ses et la même orme Remarque Lorsqu u vecteur est défii à l aide de deux poits, AB, sa orme (c est-à-dire sa logueur) peut se oter AB, puisque c est aussi la distace etre les deux poits A et B Mais lorsqu u vecteur est pas défii à l aide de poits, u, et que l o veut écrire sa orme, o utilise la otatio u Pour u vecteur AB o peut alors écrire aussi AB, de sorte que : AB = AB Défiitio Coordoées d u vecteur Soit u u vecteur du pla Les coordoées du vecteur u das u repère O; i, j coordoées du poit M tel que : OM = u Si l o a M x; y = OM = + ( ) o a alors u xi yj ( ) sot les Propriétés Si le repère O; i, j ( ) est orthoormé, et si le vecteur u a pour coordoées u x; y u = OM = x + y ( ) o a : Propriétés Les coordoées du vecteur AB sot : AB ( xb xa ; yb ya ) où A x A ; y A O retrouve alors : AB = AB = ( xb xa) + ( yb ya) ( ) et B ( x ; y ) B B Propriétés Soiet ux; y ( ) et v( x'; y' ) deux vecteurs et k u réel + v sot ( x + x'; y + y' ) Les coordoées de u Celles de ku sot ( kx ; ky ) 4 Séquece 5 MA1

5 C Projectio orthogoale d u poit, d u vecteur 1 Projectio orthogoale d u poit A B H C A H B C Das de ombreuses situatios géométriques (par exemple das la figure ci-cotre pour calculer l aire du triagle ABC), à partir d u poit doé (ici A), o a besoi de costruire u poit (ici H), situé sur ue droite doée (ici (BC)), et tel que (AH) soit perpediculaire à la droite doée Ce poit est uique, et pour le costruire à partir de A o dit que l o fait ue projectio orthogoale sur la droite (BC) Défiitio Soit d ue droite doée du pla et A u poit du pla apparteat pas à d O appelle projeté orthogoal de A sur la droite d l uique poit H de d tel que (AH) soit perpediculaire à d Si A appartiet à la droite d, il est so propre projeté orthogoal sur d Projectio orthogoale d u vecteur O cosidère ue droite d doée Si u vecteur v est défii à l aide de deux poits, v = AB, o peut projeter les poits A et B orthogoalemet sur la droite d v O obtiet les poits H et K O dit que le vecteur HK est le projeté orthogoal de A v sur la droite d O peut vérifier (voir figure ci-cotre) que si l o défiit le vecteur v à l aide de deux autres poits, v = CD, de faço que C soit sur la droite (AH), o a : H projeté orthogoal de C sur d (évidet) et K projeté orthogoal de D sur d C H B K D d Séquece 5 MA1 5

6 E effet l égalité AB = CD implique que ABDC est u parallélogramme O a alors (AC) parallèle à (BD) et doc (BD) perpediculaire à d Cette droite (BD) est alors cofodue avec (BK) et K est bie le projeté orthogoal de D sur d O voit aisi que le projeté orthogoal de v sur la droite d est idépedat du choix des poits qui le défiisset ( AB ou CD ), e tout cas lorsque (AC) est perpediculaire à d Sur la figure suivate, regardos ce A v qui se passe si l o défiit le vecteur v à l aide de deux poits, v = CD, sas que C soit sur la droite (AH) B O costruit le poit C de la droite (AH) tel que (CC ) soit parallèle à d Puis o costruit D tel que v = C'D' H K d H K C C O sait, voir explicatio précédete, que H est le projeté orthogoal de C sur d et K le projeté orthogoal de D sur d D D O sait aussi que CDD C est u parallélogramme puisque CD = C'D' Doc CC' = DD' Costruisos les poits H et K projetés orthogoaux respectifs de C et D sur d O a (CC ) parallèle à (HH ) et (C H) parallèle à (CH ) par costructio (perpediculaires à d) Doc HH CC est u parallélogramme Doc CC' = H'H O fait le même raisoemet avec KK DD O obtiet DD' = K'K O a alors : H'K' = H'H + HK + KK' = CC' + HK + D'D = HK car CC' = DD' Puisque H'K' = HK o voit que le projeté orthogoal de v sur la droite d est idépedat du choix des poits qui le défiisset ( AB ou CD ), même si C est pas sur la droite (AH) Propriétés Soit d ue droite doée du pla et v u vecteur de ce pla Si l o défiit le vecteur v à l aide de deux poits, v = AB, et si l o cosidère les poits H et K, projetés orthogoaux respectifs de A et B sur d, alors le vecteur HK est idépedat du choix des poits A et B Il e déped que de v Défiitio Cet uique vecteur HK est appelé projeté orthogoal de v sur la droite d 6 Séquece 5 MA1

7 Remarque Si l o projette le vecteur v sur ue autre droite parallèle à d, o obtiet le même projeté orthogoal Autremet dit le projeté orthogoal d u vecteur sur ue droite e déped pas réellemet de la droite, mais uiquemet de sa directio Cela ous permet de défiir le projeté orthogoal d u vecteur v sur u autre vecteur u o ul Il suffit de le projeter sur importe quelle droite dot u est u vecteur directeur (voir figure ci-dessous) d v v u u Séquece 5 MA1 7

8 Produit A scalaire de deux vecteurs Activités 1 Triagle rectagle? Das la figure cicotre, dire si le triagle ABC est rectagle e A A Das le pla rapporté 10 8 à u repère orthoormé O ; i, j, ( ) o doe les ( ) B( 3; 1) ( 4; 3) poits A 1; 3, et C C 13 B Faire ue figure Dire si le triagle ABC est rectagle e A Expressio de AB + AC BC avec des logueurs et u agle A partir de l activité précédete, o peut remarquer que le ombre AB + AC BC permet de savoir si le triagle ABC est rectagle e A ou o : «le triagle ABC est rectagle e A si et seulemet si AB + AC BC = 0», ce qui est ue autre forme du théorème de Pythagore O va doc s itéresser à ce ombre, AB + AC BC, ou plutôt à sa moitié (o verra pourquoi plus loi) e particulier lorsqu il est o ul O cosidère u triagle ABC, o rectagle e A et le poit H projeté orthogoal de B sur la droite (AC) Trois cas peuvet se préseter : soit H appartiet au segmet [AC], soit il est à l extérieur de ce segmet et du côté de A, soit il est à l extérieur du segmet [AC] du côté de C Faire trois figures correspodat à ces trois cas Motrer que l o a toujours : HB + HC = BC Détermier ue égalité aalogue pour AB 8 Séquece 5 MA1

9 E déduire que : AB + AC BC = HA + AC HC a) Das le premier cas de figure, quelle relatio a-t-o etre HC, AC et AH? b) E déduire que l o a : AB + AC BC = AC AH a) Das le deuxième cas de figure, quelle relatio a-t-o etre HC, AC et AH? b) E déduire que l o a : AB + AC BC = AC AH a) Das le troisième cas de figure, quelle relatio a-t-o etre HC, AC et AH? b) E déduire que l o a : AB + AC BC = AC AH Das les trois cas de figure, motrer que l o a : AB + AC BC = AB AC cos ( AB, AC ) Attetio à être bie rigoureux das le calcul trigoométrique 3 Expressio de AB + AC BC avec des ormes de vecteurs O garde la situatio précédete et o défiit les vecteurs u Exprimer le vecteur BC e foctio de u et v E déduire que : AB AC BC + = u + v u v = AB et v = AC 4 Expressio de AB + AC BC avec des coordoées de vecteurs O garde ecore la situatio précédete et o défiit les vecteurs de u et v par leurs coordoées das u repère orthoormé ( O ; i, j) : u( x; y) et v( x'; y' ) Motrer que l o a : AB + AC BC = xx ' + yy ' ( ) Coclusio O viet aisi de voir, das les activités précédetes, que le ombre AB + AC BC peut s exprimer de différetes maières suivat le type de doées dot o dispose, ou le type de résultat que l o veut obteir Vous avez aussi sas doute remarqué, das les activités et que les expressios obteues pour ce ombre étaiet factorisées par ( ) C est pourquoi o s itéressera, das le cours, au ombre 1 AB + AC BC dot o sait déjà qu il vérifie : 1 AB + AC BC AB AC AB AC, ( ) = cos (, ) 1 1 ( AB + AC BC ) =, + u v u v 1 AB + AC BC ( ) = xx ' + yy ' Séquece 5 MA1 9

10 B Cours 1 Produit scalaire de deux vecteurs Comme o l a vu à la fi des activités, état doés deux vecteurs u et v, ous allos ous itéresser au ombre 1 u + v u v Défiitio 1 État doés deux vecteurs u et v, o appelle produit scalaire des vecteurs u et v le ombre réel oté u v et défii par : u 1 v u = + v u v O le lit «u scalaire v» Cette défiitio ous doe immédiatemet les propriétés suivates Propriété 1 a Reteos tout d abord que le produit scalaire de deux vecteurs est u ombre réel b Si l u des vecteurs u ou v est ul, o a : u v =0 c Quad o calcule u produit scalaire, l ordre des vecteurs a pas d importace et o a : u v = v u d Si v = u, autremet dit si l o calcule le produit scalaire de u par lui-même, o a : u u = u O a l habitude de dire que c est le carré scalaire de u et o le ote : u O a doc : u = u u = u Remarques Si l o cosidère trois poits A, B et C tels que u = AB et v = AC, o a : 1 AB AC = ( AB + AC BC ) O recoaît l expressio étudiée das les activités Si l o cosidère deux poits A et B tels que u = AB o a : AB = AB = AB Cette égalité est assez importate car elle permet, das certais calculs, de passer des logueurs (AB, BC, ) aux vecteurs ( AB, BC, ) Or o e sait pas facilemet additioer ou soustraire des logueurs (que vaut AB + BC?) alors que l o sait mieux additioer ou soustraire des vecteurs ( AB + BC = AC ) Défiitio O dit que deux vecteurs o uls u et π v sot orthogoaux si ( u, v) = + kπ avec k Z Par covetio o cosidère aussi que le vecteur ul est orthogoal à tout autre vecteur 10 Séquece 5 MA1

11 Théorème 1 Deux vecteurs u et v sot orthogoaux si et seulemet si u v = 0 Démostratio Rappel Rappel Cosidéros deux vecteurs u et v et trois poits A, B et C tels que u = AB et v = AC a Supposos que u et v soiet orthogoaux Si u = 0 o a : u v = 0 1 v = + v v v v 0 0 = = 0 Car v = v Si v = 0 o motre de la même faço que : u v = u 0= 0 Si u et v sot o uls o a : u v π (, ) = ( AB, AC) = + kπ avec k Z Le triagle ABC est alors rectagle e A et o a : AB + AC = BC (théorème de Pythagore) O a alors : 1 u v = AB AC = AB + AC AB AC = 1 + AB AC CB ( ) = 1 = AB + AC CB 0 O a doc bie das tous les cas : si u et v sot orthogoaux, alors u v =0 ( ) ( = ) Implicatio que l o peut oter : u et v orthogoaux u v 0 b Réciproquemet, supposos que u v =0 Si u = 0 ou v = 0 les vecteurs u et v sot orthogoaux 1 S ils sot tous deux o uls, o a : u v = AB AC = ( AB + AC CB ) = 0 Doc AB + AC = BC O e déduit que le triagle ABC est rectagle e A Doc u v π (, ) = ( AB, AC) = + kπ avec k Z Les vecteurs u et v sot orthogoaux O a doc bie das tous les cas : si u v =0 alors u et v sot orthogoaux Implicatio que l o peut oter : ( u v = 0) ( u et v orthogoaux ) L équivalece est doc démotrée : u et v orthogoaux u v 0 ( ) ( = ) Séquece 5 MA1 11

12 Expressio aalytique du produit scalaire Das tout ce paragraphe, o suppose que le pla est rapporté à u repère orthoormé O ; i, j ( ) Les calculs de l activité 4 ous permettet d éocer le théorème suivat Théorème Soiet u (x ; y ) et v (x ; y ) deux vecteurs O a : u v = xx ' + yy ' Démostratio Remarque Cosidéros deux vecteurs u et v de coordoées u x; y u repère orthoormé ( O ; i, j ) O a alors : u = x + y, v = ( x' ) + ( y' ) et, comme les coordoées de u v sot x x'; y y' o a u v = x x' y y' ( ) ( ) + ( ) ( ) et v( x'; y' ) das Doc : u 1 v u v u = + v x y x y = ( ') + ( ') ( ) ( ) x x' y y' 1 Soit : u v = ( xx + yy ) = xx + yy ' ' ' ' Il est idispesable que l o soit das u repère orthoormé Propriété a Quels que soiet les vecteurs u, v et w o a : u ( v + w) = u v + u w b Quels que soiet les vecteurs u et v et le ombre réel λ o a : ( λu) v = λ ( u v) Démostratio a Cosidéros les vecteurs u, v et w de coordoées u( x; y), v( x'; y' ) et w( x"; y" ) das u repère orthoormé ( O ; i, j ) O a alors : ( v + w )( x' + x"; y' + y" ) Doc : u ( v + w) = x( x' + x" )+ y( y' + y" ) = xx' + xx" + yy' + yy" et u v + u w = xx' + yy' + xx" + yy" O a doc bie : u v + w u v u w ( ) = + b Cosidéros les vecteurs u et v de coordoées u x; y u repère orthoormé O ; i, j, ( ) et v( x'; y' ) das u( x; y) ( ) et λ u ombre réel O a alors : λ λ λ 1 Séquece 5 MA1

13 Remarques Coséquece Exemple 1 Doc : ( λu) v =( λx) x' + ( λy) y' = λxx' + λyy' et λ ( u v ) = λ ( xx' + yy' ) = λxx' + λyy' O a doc bie : ( λu) v = λ ( u v) Si l o utilise l égalité u v = v u, o peut démotrer que l o a égalemet les propriétés suivates : a Quels que soiet les vecteurs u, v et w o a : ( u+ v) w = u w + v w b Quels que soiet les vecteurs u et v et le ombre réel λ o a : u λv λ u v ( ) = ( ) Les quatre propriétés de calcul vues ci-dessus, même si o les a démotrées à l aide des coordoées des vecteurs das u repère orthoormé, sot éamois toujours vraies, idépedammet du mode d expressio du produit scalaire Si deux vecteurs u et v sot coliéaires, o a : u v si u et v sot de même ses ; u v = u v si u et v sot de ses cotraire E effet si u et v sot coliéaires, il existe u réel λ tel que : v =λ u O a alors : u v = u ( λu) = λ ( u u) = λ u D autre part : u v = u λu = u λ u = λ u Doc si u et v sot de même ses, λ>0, doc λ= λ et doc u v = u v Si u et v sot de ses cotraire, λ<0, doc λ= λ et doc u v = u v Ces propriétés de calcul sot aalogues à celles que l o a pour les calculs algébriques, à ceci près que l o «mélage» ici ombres et vecteurs O va doc pouvoir «développer» les calculs de produit scalaire comme l o «développe» les calculs algébriques, e faisat cepedat très attetio à ce que l o maipule, ombre ou vecteur Par exemple : produits scalaires ( λ u ) v = λ ( u v)= λ( u v) produit d u produit vecteur par u réel de deux réels Exprimer e foctio de u, v et u v les produits scalaires suivats : a 3u ( v), b ( 3u+ v) ( u v), c ( u+ v) ( u v), d u+ v Séquece 5 MA1 13

14 Réposes a 3u ( v) = 3 ( u ( v) ) = 3 ( ) ( u v) = ( 6) ( u v ) b ( 3u+ v) ( u v)= ( 3u+ v) u ( 3u+ v) ( v)= 3u u v u 3u v v v = ( ) + ( ) ( ) ( ) Doc : ( 3u+ v) ( u v) = 3 ( u u)+ v u 6 u v v v = 3 u 5 u v v c ( u+ v) ( u v) = u ( u v)+ v ( u v) = u u v + v u v = u v d Ne pas oublier que : u+ v = ( u+ v) ( u+ v) Ce qui ous doe : u+ v = ( u+ v) ( u+ v) = u ( u+ v)+ v ( u+ v) = u + u v + v u+ v Et doc : u+ v = u + u v + v Comme les deux deriers calculs ous le motret, ous avos, avec le produit scalaire des «idetités remarquables» aalogues à celles que l o a avec le calcul sur les ombres réels Propriété 3 Quels que soiet les vecteurs u et v o a : a u+ v = ( u+ v) = u + u v + v b u v = ( u v) = u u v + v c ( u+ v) ( u v) = u v Démostratio Exemple a et c sot démotrées das l exemple 1 b O a : u v = ( u v) ( u v) = u ( u v) v ( u v) = u u v v u+ v Mais v = v Et doc : u v = u u v + v O cosidère u carré ABCD de cetre O et tel que AB = O appelle E le milieu de [BC] et F le milieu de [CD] 14 Séquece 5 MA1

15 Calculer les produits scalaires suivats : a AB BC, b AB CD, c AB AC, d AB BO Motrer que les droites (AE) et (BF) sot perpediculaires Réposes a Comme ABCD est u carré, les vecteurs AB et BC sot orthogoaux Doc : AB BC =0 b Comme ABCD est u carré, o a CD = AB Doc : AB CD AB AB AB = ( ) = = AB = 4 c O a : AB AC AB AB BC AB AB = + BC = AB + 0= 4 ( ) = + ( ) d O a : BO 1 BD 1 = = BC + CD Par coséquet : AB BO = AB ( BC + CD) = AB BC + AB CD = Pour motrer que les droites (AE) et (BF) sot perpediculaires, motros que les vecteurs AE et BF sot orthogoaux Pour cela calculos leur produit scalaire O a : AE BF = ( AB + BE) ( BC + CF) = AB BC+ AB CF + BE BC + BE CF Soit : AE BF = 0 + AB CD + BC BC + BC = ( )+ ( )+ = CD Le produit scalaire est ul Les vecteurs sot orthogoaux, et doc les droites perpediculaires 3 Autres expressios du produit scalaire Nous avos défii le produit scalaire de deux vecteurs à l aide de ormes (ou de distaces si les vecteurs sot défiis avec des poits) puis, si l o est das u repère orthoormé, à l aide des coordoées Comme ous l avos aperçu das les activités iitiales, ous pouvos égalemet défiir u produit scalaire de deux vecteurs e projetat orthogoalemet l u sur l autre, ou e utilisat leurs ormes et l agle qu ils formet C est d ailleurs cette richesse d expressios possibles pour le même calcul qui doe tout so itérêt à la otio, comme ous le verros e exercice Commeços par l utilisatio du projeté orthogoal Théorème 3 Si u est u vecteur o ul, et v u vecteur quelcoque, o a : u v = u v' où v ' est le projeté orthogoal de v sur u Séquece 5 MA1 15

16 Démostratio Par défiitio du projeté orthogoal d u vecteur sur u autre, le vecteur v v' est orthogoal à u O a doc : u ( v v' ) = 0 Ce qui ous doe : u v u v' = 0 Et doc : u v = u v' v v v v u Remarque O e déduit que deux vecteurs ayat même projeté orthogoal sur u ot même produit scalaire par u v 1 Sur la figure ci-cotre o a : u v1= u v = u v3 = u v' v v u Exemple 3 v 3 O cosidère u carré ABCD de cetre O et tel que AB = a O appelle E le milieu de [BC] et F le milieu de [AD] Calculer les produits scalaires suivats : a AB AC, b AB AE, c AB DB Calculer les produits scalaires suivats : a AE EB, b FC EB, c AO EB Réposes a Comme ABCD est u carré, le projeté orthogoal de AC sur AB est AB Doc : AB AC = AB AB = AB =a b Comme ABCD est u carré et E le milieu de [BC], le projeté orthogoal de AE sur AB est AB Doc : AB AE = AB AB =a c Comme ABCD est u carré, le projeté orthogoal de DB sur AB est AB Doc : AB DB = AB AB =a a Comme ABCD est u carré et E le milieu de [BC], le projeté orthogoal de AE sur EB est BE Doc : AE EB = BE EB = BE BE = BE = a b Comme ABCD est u carré et F le milieu de [AD], le projeté orthogoal de FC sur EB est EC = BE Doc : FC EB = BE EB = a 16 Séquece 5 MA1

17 c Comme ABCD est u carré et O le cetre de ce carré, le projeté orthogoal de AO sur EB est BE Doc : AO EB = BE EB = a Passos maiteat aux ormes et au cosius Théorème 4 Si u et v sot deux vecteurs o uls, o a : u v u v cos u, v = ( ) Démostratio Pour démotrer ce théorème, il faut être attetif aux différets cas de figures possibles (o va doc faire ue démostratio par «disjoctio des cas») L agle ( uv, ) peut être aigu (sa mesure pricipale est das l itervalle π π,, droit ou obtus Das le premier cas (figure 1), le projeté v orthogoal v ' de v sur u est coliéaire à u et de même ses, doc : u, v u u v = u v' = u v' v figure 1 D autre part le cosius de ( u, v) est positif, doc v' = v cos ( v', v) = v cos ( u, v) O a doc bie : u v u v' u v cos u, v = = ( ) Das le deuxième cas (agle ( u, v) droit) le produit scalaire est ul (vecteurs orthogoaux) et o a cos ( uv, ) = 0 O a doc bie : u v u v' u v cos u, v 0 = = ( ) = Das le troisième cas (figure ), le projeté orthogoal v ' de v sur u est coliéaire à u et de ses cotraire, doc : u v = u v' = u v' D autre part le cosius de ( uv, ) est égatif, doc v' = v cos ( v', v) = v cos ( u, v) O a doc bie : u v u v' u v cos u, v = = ( ) Das tous les cas de figures o a démotré le théorème v v u, v figure u Séquece 5 MA1 17

18 Remarque Exemple 4 Remarque Comme c est le cosius de l agle des deux vecteurs qui iterviet das le calcul du produit scalaire, et que cos( α) = cos ( α), o remarque que le produit scalaire e déped pas de l orietatio de l agle des vecteurs D ailleurs o le savait déjà puisque u v = v u Das u repère orthoormé ( O ; i, j ), o doe les poits A ( ; ), B( 3; 1) et C ( 1; ) Calculer le produit scalaire : AB AC E déduire ue valeur exacte de l agle AB, AC ( ) Réposes O a : AB ( 3 ; 1 + ), soit AB ( 5; 3) De même : AC ( 1 ; + ), soit AC ( 1; 4) Comme le repère est orthoormé, o a : AB AC = ( 5) ( 1)+ 3 4= 17 Calculos les ormes des vecteurs AB et AC O a : AB = AB = ( 5) + 3 = 34 et AC = AC = ( 1) + 4 = 17 Or o sait que : AB AC = AB AC cos ( AB, AC ) O e déduit que : cos AB AB AC, AC 17 ( ) = = AB AC Soit : cos AB, AC 1 ( ) = = O e déduire qu ue mesure pricipale de l agle AB, AC ( ) est soit π 4, soit π 4 Ue figure ous permet de préciser que l o a : AB AC π (, ) = + k π 4 O voit sur cet exemple l itérêt de passer d ue forme de calcul d u produit scalaire à ue autre C Exercices d appretissage Exercice 1 O cosidère u triagle ABC tel que : AB = 3, BC = 4 et CA = 6 Calculer les produits scalaires : AB AC ; BC BA ; CA CB 18 Séquece 5 MA1

19 Exercice Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 ( ) o doe les poits A Das u repère orthoormé O ; i, j, ; B 3; 1, les vecteurs u 1 ;, v ( 30 ; ), w = i + 4 j et z = i +3 j ( ) ( ) Calculer les produits scalaires : a OA OB ; b u v ; c w z Calculer le produit scalaire : BA u ( ) et O cosidère deux vecteurs u et v tels que : u = 4, v = 3 et u v = 6 Calculer les produits scalaires : u ( u v) ; ( 3 u+ 5 v) v ; ( u 3v) ( u+ v) ; ( u+ 3v) Das la figure ci-cotre, ABC est u triagle isocèle e A, ABEF u parallélogramme et les droites (AH) et (BF) sot perpediculaires à (BC) O doe : BC = a Exprimer e foctio de a les produits scalaires : BC BA ; BC FC ; BC AE ; BC BA + HF ( ) ( ) = 3 O cosidère deux vecteurs u et v tels que : u = 4, v = 3 et uv, Calculer le produit scalaire u v E F B A H π C O cosidère deux vecteurs w et z tels que : w =, z = 4 et ( w, z) = π 4 Calculer le produit scalaire w z Exercice 6 O cosidère deux vecteurs u et v tels que : u = 4, v = 5+ 1 et u v =4 Détermier ue valeur approchée de la mesure e radias de l agle ( uv, ) Das u repère orthoormé ( O ; i, j ), o cosidère deux vecteurs w et z tels que : w = 3i 4 j et z = 1i + 5 j Détermier ue valeur approchée à 0,01 rad près de la mesure de l agle ( w, z) Séquece 5 MA1 19

20 Exercice 7 Das u repère orthoormé O ; i, j, ( ) o doe les poits A1; ( ) et B ( 3; ) a Détermier ue équatio de la droite (OB) b E déduire les coordoées du poit H, projeté orthogoal de A sur (OB) c Détermier les coordoées du poit K, projeté orthogoal de B sur (OA) Calculer les produits scalaires : a OA OK ; b OB OH ; c OA OB Doer ue explicatio du résultat trouvé à la questio Exercice 8 O cosidère u triagle ABC et les poits I, J et K milieux respectifs des segmets [BC], [CA] et [AB] Motrer que : AB CK + BC AI+ CA BJ =0 Exercice 9 Sur la figure ci-après, o doe deux vecteurs u et v et u poit A (le quadrillage est là que pour aider au dessi) v A u a Costruire les poits B, C et D tels que : AB = u, AC = v et AD = u+ v b Défiir le vecteur BC e foctio des vecteurs u et v Motrer que : u v u + + v = u + v E déduire ue propriété des diagoales d u parallélogramme Exercice 10 O cosidère u rectagle ABCD tel que : AB = a et BC = b avec b > a>0 Le poit H est le projeté orthogoal de A sur (BD) et le poit K celui de C sur la même droite a Faire ue figure b Calculer, e foctio de a et b, le produit scalaire : AC BD 0 Séquece 5 MA1

21 E exprimat autremet ce produit scalaire, calculer, e foctio de a et b, la distace HK Exercice 11 O cosidère u carré ABCD et M u poit de la diagoale [AC] Le poit H est le projeté orthogoal de M sur (AB) et le poit K le projeté orthogoal de M sur (BC) a Faire u figure b Justifier la ature des triagles AHM et CKM c Motrer que AH = BK et que HB = KC Exprimer, uiquemet par des logueurs, le produit scalaire : DM HB E déduire que les droites (DM) et (HK) sot perpediculaires Séquece 5 MA1 1

22 3 Sythèse de la partie 1 de la séquece 1 Produit scalaire de deux vecteurs Défiitio État doés deux vecteurs u et v, o appelle produit scalaire des vecteurs u et v le ombre réel oté u v et défii par : u 1 v u = + v u v O le lit «u scalaire v» Propriété 1 a Reteos tout d abord que le produit scalaire de deux vecteurs est u ombre réel b Si l u des vecteurs u ou v est ul, o a : u v =0 c Quad o calcule u produit scalaire, l ordre des vecteurs a pas d importace et o a : u v = v u d Si v = u, autremet dit si l o calcule le produit scalaire de u par lui-même, o a : u u = u O a l habitude de dire que c est le carré scalaire de u et o le ote : u O a doc : u = u u = u Théorème 1 Deux vecteurs u et v sot orthogoaux si et seulemet si u v = 0 Expressio aalytique du produit scalaire Das tout ce paragraphe, o suppose que le pla est rapporté à u repère orthoormé O ; i, j ( ) Séquece 5 MA1

23 Théorème Si les coordoées des vecteurs u et v das u repère orthoormé O ; i, j, et v( x'; y' ), o a : u v = xx ' + yy ' ( ) sot ux; y ( ) Propriété a Quels que soiet les vecteurs u, v et w o a : u ( v + w) = u v + u w b Quels que soiet les vecteurs u et v et le ombre réel λ o a : ( λu) v = λ ( u v) Propriété 3 Quels que soiet les vecteurs u et v o a : a u+ v = ( u+ v) = u + u v + v b u v = ( u v) = u u v + v c ( u+ v) ( u v) = u v 3 Autres expressios du produit scalaire Théorème 3 Si u est u vecteur o ul, et v u vecteur quelcoque, o a : u v = u v' où v ' est le projeté orthogoal de v sur u Théorème 4 Si u et v sot deux vecteurs o uls, o a : u v u v cos u, v = ( ) Séquece 5 MA1 3

24 4 Exercices d approfodissemet Exercice I O cosidère u triagle ABC et u poit M quelcoque Démotrer que l o a : MA BC + MB CA + MC AB =0 O choisit le poit M tel que (MA) soit perpediculaire à (BC) et (MB) perpediculaire à (CA) a) Que sot alors les droites (MA) et (MB) pour le triagle ABC? b) Déduire de l égalité iitiale que (MC) est écessairemet perpediculaire à (AB) c) Quelle propriété bie coue viet-o de démotrer? Exercice II Exercice III Remarque Exercice IV O cosidère deux vecteurs u et v a) Motrer que u = v si et seulemet si u+ v et u v sot orthogoaux b) E déduire qu u parallélogramme est u losage si et seulemet si ses diagoales sot perpediculaires (voir exercice 9) a) Motrer que u+ v = u v si et seulemet si u est orthogoal à v b) E déduire qu u parallélogramme est u rectagle si et seulemet si ses diagoales sot de même logueur Soiet A et B deux poits tels que AB = 3 Détermier l esemble des poits M du pla tels que : AM AB =0 a) Détermier le ou les poits K de la droite (AB) tel(s) que : AK AB =6 b) E déduire l esemble des poits N du pla tels que : AN AB =6 O cosidère le poit C tel que : AB = 3 CA Détermier l esemble des poits P du pla tels que : AP AB = 3 Lorsque l o cherche u esemble de poits vérifiat ue certaie propriété, o dit souvet que l o cherche le «lieu» des poits tels que O cosidère u carré ABCD de cetre I et tel que AB = 3 Quel est le lieu des poits M tels que : AM CM = 0? O veut trouver le lieu des poits M tels que : AM CM = 18 a) Motrer que : AM CM = AC IM b) E déduire le lieu recherché 4 Séquece 5 MA1

25 Exercice V Exercice VI Exercice VII Remarque Les triagles ABC et AEF sot rectagles isocèles e A et de ses direct I est le milieu de [CE] 1 Motrer que : AI = ( AC + AE ) a) Motrer que : AC AF = AB AE b) E déduire que les droites (AI) et (BF) sot perpediculaires O cosidère u triagle ABC rectagle e A O costruit, à l extérieur de ce triagle, les carrés ABDE et AGFC et le rectagle AEKG Faire ue figure Démotrer que les segmets [AK] et [BC] sot perpediculaires et de même logueur Démotrer que les segmets [CD] et [KB] sot perpediculaires et de même logueur Démotrer que les droites (AK), (CD) et (BF) sot cocourates O cosidère u triagle quelcoque ABC et I le milieu de [BC] BC Démotrer que : AB AC = AI 4 Démotrer que : AB AC = IA BC BC Démotrer que : AB + AC = AI + Ces résultats sot cous sous l appellatio «théorème de la médiae» Séquece 5 MA1 5

26 e partie Suites umériques (1) Sommaire 1 Pré-requis Suites umériques : défiitios, modes de géératio 3 Variatios des suites 4 Exemples de suites : suites arithmétiques et suites géométriques 5 Sythèse de la séquece 6 Exercices d approfodissemet 6 Séquece 5 MA1

27 1 Pré-requis A Utilisatio du tableur Ecritures de formules, foctios préprogrammées Recopie de formules, référeces relatives et absolues Foctios logiques : SI, ALORS, ET, OU, B Algorithmique 1 Les listes Remarque Cosidéros u algorithme où iterviet ue variable A Lorsque l o affecte à A ue ouvelle valeur, l aciee valeur est effacée Pour pouvoir coserver différetes valeurs prises par ue variable, o peut cosidérer ue variable de type Liste (1) Attetio, l ordre est importat Les listes (a ; b) et (b ; a) sot différetes () Au lieu de oter ( ) la liste vide, o peut la oter (symbole qui désige aussi l évéemet impossible e probabilité) (3) Nous oteros, comme pour les calculatrices, L[] le ième élémet de la liste L Par exemple, pour la liste L = (1 ; -3 ; ), ous avos : L[1] = 1, L[] = -3 et L[3] = Les boucles a) Boucles «POUR» La foctio f est prédéfiie O veut créer ue liste coteat les ombres f (1), f (),, f (100) O peut utiliser l algorithme suivat (sytaxe Algobox) POUR I allat de 1 à 100 DANS L[I] METTRE F(I) Fi de la boucle pour O peut programmer cet algorithme sur calculatrice de la faço suivate Sur Ti-8, la foctio f état etré das Y1 Séquece 5 MA1 7

28 Remarque PROGRAM:LISTE : FOR(I,1,100) : Y1(I) L 1 [I] : END La Casio Graph 5 permet de programmer directemet cet algorithme e utilisat la séquece : Seq(Y1(I),I,1,100,1) (le derier 1 représete le pas, o obtiet Seq par : OPTN, LIST, ) Le END du précédet programme pour Ti8 représete la fi de la boucle et o la fi du programme La variable I qui pred ici les valeurs de 1 à 100 s appelle parfois l icrémet La valeur fiale de I est, ici, le ombre de boucles effectuées (o peut remarquer das ce cas que c est u «compteur») Sytaxe Ti-8 Casio Graph 5 For(Variable,début,fi,pas) ou For(Variable,début,fi) si pas = 1 For début variable To fi Step pas END Next Remarque b) Boucles Tat que O cherche à écrire u algorithme, ous doat la liste des chiffres composat l écriture décimale d u etier aturel p (etrée) O admet que le chiffre des uités d u etier aturel N est N 10 et (N/10) où et est la foctio partie etière (si x est u réel positif, sa partie etière et(x) est le plus grad etier iférieur ou égal à x) Par exemple, si N = 567, o a : et(567/10) = et(56,7) = 56 et et(567/10) = = 7 L algorithme correspodat est le suivat Etrée ENTRER P Iitialisatio L liste vide DANS N METTRE P DANS A METTRE N Traitemet TANT QUE A 0 FAIRE DANS A METTRE et(n/10) DANS C METTRE N-10*A DANS L AJOUTER e début de liste C DANS N METTRE A Fi de la boucle «TANT QUE» Sortie AFFICHER L La coditio «A = 0» est la coditio d arrêt de la boucle «TANT QUE» Pour les calculatrices, o utilise l istructio suivate Algorithme Ti-8 Casio Graph 5 WHILE Whle TANT QUE Ed WEd 8 Séquece 5 MA1

29 Suites A umériques : défiitios, modes de géératio Activités 1 Exemples de suites «Suites logiques» Pour chacue des listes suivates, découvrir ue «logique» das l echaîemet des ombres et cotiuer O suppose que chacue de ces suites peut être prologées aussi loi que l o veut a) 1 ; 4 ; 7 ; ; ; 5 ; b) ; -4 ; 8 ; -16 ; c) 1 ; 4 ; 9 ; ; 5 ; ; 49 ; ; 100 d) 4 ; 6 ; 3 ; e) U petit casse-tête (questio facultative) pour termier cette questio 1 ; 11 ; 1 ; 111 ; 1111 ; 3111 ; Remarque Il faut bie faire la différece etre liste (l ordre compte) et esemble (l ordre e compte pas) O utilisera des parethèses pour ue liste et des accolades pour u esemble O appelle ecore liste de élémets u -uplet U couple (a ; b) est ue liste de élémets Ue paire {a ; b} est u esemble à élémets Chacue des listes précédetes peut être prologée idéfiimet O appelle «suites» de telles listes Pour chacue des suites précédetes, o umérote les élémets de la faço suivate u 1 est le premier élémet de la suite (par exemple, pour la suite du 1d), o a : u 1 = 4 ), u est le ème terme de la suite Plus gééralemet, das cet exercice, u est le ième terme de la liste Quelques exemples si l o choisit la suite du 1c) : u 3 = 9 et u 7 = 49 Cosidéros ue des suites précédetes Si est u etier quelcoque Le terme qui suit u est u +1 et celui qui le précède est u 1 Séquece 5 MA1 9

30 Pour défiir ue suite, o peut : u est le ième ombre pair o ul ous doe la suite ; 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; (soit u = ) (forme 1) ; triple du précédet (soit u = 3 u 1 ) Pour éumérer tous les termes de la suite, il ous faut alors so 1 er terme! Si u 1 =, o obtiet la suite : ; 6 ; 18 ; 54 ; 16 ; (forme ) O dit que l égalité u = 3 u 1 (où 1) est ue relatio de récurrece Pour chacue des suites a, b, c et d, proposer ue descriptio de la forme (1) ou de la forme () Doer les 10 premiers termes des suites défiies ci-dessous Forme (1) a) u = 1 b) u = 1 c) u est le -ième chiffre après la virgule de Forme () u d) u = u 1 1(où 1) et u 1 = e) u = 1 u 1+ 1 (où 1) et u 1 = 1 f) u est le double du chiffre des uités de u 1 et u 1 = 1 B Cours 1 Défiitio Défiitio 1 Ue suite umérique est ue foctio défiie sur N (ou sur ue partie de N coteat tous N R les etiers aturels à partir d u certai rag 0 ) : u Le ombre u est appelé le terme gééral de la suite Remarque ( ) 0 si le premier terme est u 0 O ote parfois simple- La suite se ote u met ( u ) 30 Séquece 5 MA1

31 Exemple 1 u désige doc le -ième de la suite u ( ) 0 u O cosidère les suites u ( ) 1 mais le (+1) ième de la suite ( ) et v 0 ( ) Le ombre u 1 0 est doc le 1 er terme ( ) et v 0 1 le 1 er terme de la suite ( v ) 1 ( )? Le 00 ème terme de la suite ( 0 v )? 1 ( ), se trouve u 0 117? A quelle positio das la suite ( v ), se trouve v 0 117? ( ), e commeçat 0 par u 17 et e termiat par u 100 Combie a-t-o écrit de termes? de la suite u Quel est le 100 ème terme de la suite u A quelle positio das la suite u O écrit, das l ordre, tous les termes de la suite u Solutio Le 100 ème terme de la suite u ( v ) est v 1 00 ( ) 0 est u 99 et le 00 ème terme de la suite Le ombre u 117 est le 118 ème terme de la suite u le 117 ème terme de la suite ( v ) 0 ( ) 0 et le ombre v 117 Il y a = 84 termes etre u 17 et u 100 (u 17 et u 100 iclus) Exemple Plus gééralemet, o pourra reteir qu etre u p et u q (p q), il y a (u p et u q iclus) q p+1 termes ( ) Le terme gééral de cette suite Par exemple si l o cosidère la suite 0 est, so premier terme est u 0 = 0 et so dixième 9 = 81 Le terme de rag 1, c est-à-dire u 1 (=1), est le ème terme de la suite Petites maipulatios avec les suites ( ) est défiie pour tout de N par : u La suite u Exprimer e foctio de : = ( + 1) a) u +1 b) u+ 1 u c) u + 3 Solutio ( a) u+ = + 1) = ( + 1) b) u+ u = ( + + 1) ( + 1) ( + ) 1 = = ( + 1)( + ) = = ( + 1)( + ) ( + 1)( + ) (remarque : pourquoi e pas développer le déomiateur? l expériece ous prouve qu e gééral, o a plus souvet besoi d ue forme factorisée que d ue forme développée) Séquece 5 MA1 31

32 Remarques ( ) c) u + 3 = = ( + 3) ( ) à la liste (u u u Das la pratique, o assimile souvet la suite u 0, 1,, O retiedra qu ue suite est ue liste ifiie (elle e s arrête pas!) Modes de géératio Exemple A Exemple B ( ) la suite défiie pour tout de N par : u Soit u = 1 Cette suite est + 1 défiie par ue relatio de la forme u = f( ) où f est la foctio défiie sur 1 1; + par f( x)= Pour calculer f (10) par exemple, il suffit alors de x + 1 remplacer x par 10 : 1 1 u10 = f ( 10 ) = = 11 v Soit ( v ) la suite défiie pour tout de N par : v 0 = 1 et v + 1 = v + 1 Cette suite est défiie par ue relatio dite de récurrece (u terme est défii à partir du précédet) O e peut pas obteir immédiatemet v 10 sas avoir, au préalable, calculé v 9, qu o e peut obteir sas avoir au préalable calculé v 8, v O obtiet ici : v = v0 + 1 = 1+ 1 = (car v 0 = 1) De même : 1 1 v v v = v = / / = = ; = = = 1 1 3/ / 3 4 ; + + Défiitio O dit d ue suite défiie par so 1 er terme et par ue relatio du type u+ 1 = f( u) où f est ue foctio est ue suite défiie par récurrece L égalité u+ 1 = f( u) est ue relatio de récurrece Cela se gééralise et la relatio de récurrece peut dépedre aussi de l idice comme pour les relatios suivates (où itervieet pas de foctios f ) : u+ = 1 u + ou u+ = u O appellera aussi relatio de récurrece de telles relatios et ue propriété aalogue à la suivate est vraie 3 Séquece 5 MA1

33 Remarques ( ) vérifie u f u Si ue suite u + 1 = ( ), alors, o a : u1= f( u0), u = f( u1), u3 = f( u), ; ces ombres sot tous détermiés de faço uique O admettra doc la propriété qui suit Propriété 1 Le ombre u 0 et la foctio f état doés, la suite défiie par u 0 et u+ 1 = f( u) est etièremet détermiée Remarque Autremet dit, si deux suites vérifiet la même relatio de récurrece et admettet le même 1 er terme u 0 alors les deux suites sot égales Exemple 3 ( ) est la suite défiie à l exemple A et la suite ( v ) est la suite dé- La suite u fiie à l exemple B Motrer que pour tout de N, u = v Solutio ( ) est défiie pour tout de N par : v 0 1 La suite v v récurrecev + 1 = v + 1 La suite u O a doc : u 0 = 1 et pour tout de N, ( ) est défiie pour tout de N par : u = et par la relatio de = u u + = = = = (car u ( 1) u u = doc 1 + 1= ) u 1 u u Les deux suites admettat le même 1 er terme et la même relatio de récurrece sot doc égales Remarques Attetio e écrivat!! O doit pouvoir distiguer clairemet ce qui est e idice et ce qui e l est pas Il faut, par exemple, bie faire la distictio etre u +1 et u +1 Défiitio 3 Ue suite u ( ) est costate si pour tout de N, u u = 0 Séquece 5 MA1 33

34 3 Représetatios graphiques Cas où u = f( ) La représetatio de u ( ) est l esemble des poits de coordoées ( u ), a) Pour u = 1+ 1 ; il s agit des poits d abscisses etières sur la courbe d équatio y = 1+ 1 Les x poits A ot pour coordoées (, u ) A 1 A A 3 A4 A 5 A6 A 7 O Ou si l o e représete que les poits ( u, ) : A 1 A A 3 A4 A 5 A6 A 7 O Séquece 5 MA1

35 b) Pour u = 1 + ; il s agit des poits d abscisses etières sur la courbe d équatio y = 1 + x Les poits A ot pour coordoées ( u, ) A 1 A A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 0 O Ou si l o e représete que les poits ( u, ) : A 1 A A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 0 O Cas où u+ 1 = f( u) Ici o va costruire les poits d abscisse ( u ) sur l axe des abscisses Séquece 5 MA1 35

36 a) Pour u 1 f u et u 0 = 1 avec f( x)= 1+ 1 x + = ( ) A 0 A' 1 A A' 3 A' A 3 A 1 j O i u 0 u u 3 u 1 b) Pour u 1 f u et u 0 = 0 avec f( x)= 1 + x + = ( ) A 0 A A 3 A 1 A' 1 A' A' 3 j u 0 i u 1 u u 3 Commet a-t-o costruit ces deux graphiques? O commece avec la courbe (C) représetative de f et la droite (D) d équatio y = x, puis o place u 0 sur l axe des abscisses Pour costruire u 1, o pred d abord le poit A 0 de (C) dot l abscisse est u 0 ; so ordoée est doc f( u0 ), c est-à- 36 Séquece 5 MA1

37 dire u 1 La parallèle à l axe des abscisses passat par A 0 coupe (D) e A' 1 dot les coordoées sot ( u1, u1 ) car l équatio de (D) est y = x La parallèle à l axe des ordoées passat par A' 1 coupe l axe des abscisses au poit d abscisse u 1 Puis o cotiue de la même maière : A 1 est sur (C) et so abscisse est u 1 O e déduit que so ordoée est f( u1) = u 4 Autres faços de défiir ue suite Exemple 4 (Récurrece double) La suite u ( ) est défiie par u = u u + + 1,u 0 = 4 et u 1 = Calculer les valeurs de u k pour toutes valeurs de k comprises etre et 8 A l aide du tableur ou de la calculatrice, doer ue valeur approchée de u 100 Solutio O a : u = u u = 4= 4 (Formule de récurrece appliquée à = 0) ; 1 0 u3 = u u1= ( 4) = 1 (Formule de récurrece appliquée à = 1) ; u4 = u3 u = ( 1) ( 4) = 16 (Formule de récurrece appliquée à = ) ; u5 = u4 u3 = ( 16) ( 1) = 8 (Formule de récurrece appliquée à = 3) ; u6 = u5 u4 = ( 8) ( 16) = 16 (Formule de récurrece appliquée à = 4) ; u7 = u6 u5 = ( 16) ( 8) = 48 (Formule de récurrece appliquée à = 5) ; u = u u = = 64 (Formule de récurrece appliquée à = 6) O peut utiliser le tableur de la faço suivate Das A1 :, titre de la coloe Das A : =0 Das A3 : =A+1 et o éted jusqu à la cellule A10 Das B1 : «U», titre de la coloe Das B : =4 Das B : = Das B3 : =*B-*B1 et o éted jusqu à la cellule B O trouve : u 100 = 45, 10 à10 près Séquece 5 MA1 37

38 O pouvait aussi utiliser le programme suivat Das U mettre 4 Das V mettre Pour I de 0 à 98 Das W mettre *V *U Das U mettre V Das V mettre W Fi de la boucle «Pour» Afficher V Ti Casio Algobox Exemple 5 (ue somme) ( ) est défiie pour tout de N par : La suite u u = = k k = 1 Calculer u1, u, u3 et u4 A l aide d u programme, calculer u 100 à 10 3 près Solutio O a : u = = +, u = = = 1, u 3 = + + = + + = = et u 4 = = = Utilisos le programme suivat Das S mettre 0 Pour I de 1 à 100 Das S mettre S+1/(100+I) Fi de la boucle Pour Afficher S = Séquece 5 MA1

39 Ti Casio Algobox C Exercice 1 Exercice Exercice 3 Exercice 4 Exercices d appretissage Maipulatios sur les suites O cosidère la suite u a) Calculer u0, u1, u, u3, u4, et u5 b) Quel est le 17 ème terme de cette suite? c) Exprimer e foctio de, u et u ( ) défiie pour tout de N par : u O cosidère la suite u u+ = 1 u u a) Calculer u0, u1, u, u3, u4 et u5 b) Motrer que pour tout de N : u+ = 4 u 3 u + u = ( ) défiie pour tout de N, par : u 0 = + et A l aide de la calculatrice ou du tableur, détermier das chaque cas, les 0 premiers termes de la suite u u u 0 = 1et u + 1 = 1+ u u0 = et u+ 1= 1 u u u u + 1 = si > 10 u0 = 1et u 1 = u + +0,9 sio ( ) (o cherchera des valeurs approchées à 10-3 près) A l aide de la calculatrice ou du tableur, détermier das chaque cas, les 0 premiers termes de la suite ( u ) u = = k = 0 ( k + 1) 1 ( + 1) u = = (plus difficile) k = 0 + k ( ) est défiie par u 0 = 7 et u +1 = u 6 pour tout, La suite u Représeter graphiquemet la suite ( u ) O cosidère la suite (v ) défiie pout tout par v = 6 + Motrer que pour tout, u = v Sachat que 10 = 104 > 10 3, détermier u etier p tel que u p > 10 6 Séquece 5 MA1 39

40 3 Variatios des suites A Activités Activité 1 O cosidère les suites ( u ) et ( v ) défiies pour tout etier aturel par u = et v = Comparer u et u +1 Sot-ils das le même ordre pour tout? Même questio pour ( v ) Activité Soit f la foctio défiie sur ]0, + [ par f( x) = 1+ 1, et soit ( u ) x la suite défiie par u+ 1 = f( u) pour tout etier et u 0 = 5 O admet que la suite ( u ) est bie défiie et que tous les termes de cette suite soit strictemet positifs Etudier le ses de variatio de f Supposos que u > u+1 Comparer u +1 et u + Que se passe-t-il si o suppose que u < u+1 B Cours 1 Ses de variatios Défiitio 4 Soit u ( ) ue suite ( ) est croissate si pour tout etier, u+ 1 u ( ) est strictemet croissate si pour tout etier, u+ 1 > u ( ) est décroissate si pour tout etier, u+ 1 u ( ) est strictemet décroissate si pour tout etier, u+ < u ( ) est mootoe si elle est croissate ou décroissate La suite u La suite u La suite u La suite u La suite u 1 40 Séquece 5 MA1

41 Exemple 6 Soit u ( ) la suite défiie pour tout de N par : u = ( ) (la suite est-elle croissate? décroissate?) Etudier le ses de variatio de u ( ) la suite défiie pour tout de N par : u = ( ) Soit u de variatio de ( u ) Etudier le ses Solutio O a successivemet pour tout de N : 1 1 < +1 ; (+1) < (+1)+1 ; ( + 1) + 1 < (la foctio iverse est décroissate sur R +* ) soit + 1 : u 1 u La suite u + ( ) est doc décroissate Les premiers termes de la suite sot : u 0 = 1, u 1 = et u = 4 O a : u > u et u1< u La suite u 0 1 ( ) est doc i croissate, i décroissate Propriété ( ) la suite défiie pour tout Soiet f ue foctio défiie sur u itervalle coteat N et u de N par : u = f ( ) Si f est croissate (resp strictemet croissate, décroissate, strictemet décroissate) sur [ 0 ; + [ alors il e est de même de la suite ( u ) 0 Exemple 7 Motrer que la suite u est croissate à partir d u certai rag ( ) défiie pour tout de N par : u = Solutio La suite ( u ) défiie pour tout de N par : u = est croissate à partir d u certai rag E effet, o a : u = f( ) où f est la foctio triôme du secod degré défiie par : f( x)= x 0x + 10 O a (forme caoique) : f( x) = ( x 10) + ce qui prouve (ses de variatio des foctios de référece) que f est croissate sur 10;+ La suite ( u ) est doc croissate à partir d u certai rag (à partir du rag 10) Exemple 8 ( ) défiie par récurrece par u 0 1 Motrer que la suite u u+ = u + 1 est croissate à partir d u certai rag = et pour tout de N, O veut comparer u et u +1, o peut, pour cela, étudier le sige de la différece : u+ u = u + 1 u 0 pour tout de N doc ( ) = Séquece 5 MA1 41

42 u+ 1 u pour tout de N La suite u rag 1) ( ) est doc croissate (et même strictemet croissate à partir du Méthode pour détermier le ses de variatio d ue suite ( ) est défiie par ue relatio du type u f Si u de la foctio f = ( ), o peut étudier le ses de variatio Suites défiies par ue relatio de récurrece u+ 1 = f( u) Il y a pas de lie évidet etre le ses de variatio de f et le ses de variatio de la suite ( u ) ( ) O peut étudier le sige de u+ 1 u Si tous les termes de la suite sot strictemet positifs, o peut comparer u +1 et 1 E effet : u si pour tout de N, u + 1 1, la suite est croissate ; u si pour tout de N, u u + 1 1, la suite est décroissate Justificatio du 3 ème poit Si ( u ) est ue suite de réels strictemet positifs telle que, pour tout de N, u+ 1 1 alors (o multiplie les deux membres de l iégalité par le ombre strictemet positif u ) : u+ 1 u ce qui prouve bie que la suite est u croissate Si ( u ) est ue suite de réels strictemet positifs telle que, pour tout de N, u+ 1 1 alors (o multiplie les deux membres de l iégalité par le ombre strictemet positif u ) : u+ 1 u ce qui prouve bie que la suite est u décroissate Coséquece q < 1 alors la suite (q ) est strictemet décroissate q > 1 alors la suite (q ) est strictemet croissate E effet, si q > 0 alors tous les termes de la suite sot strictemet positifs et, de plus, q + 1 = q q Propriété 3 ( ) ue suite croissate (resp strictemet croissate, décroissate, strictemet décrois- Soit u sate) alors pour tous m, de N, si m < alors um u (resp um < u, um u, um > u) 4 Séquece 5 MA1

43 Majorats, miorats Défiitio Soiet u La suite u de la suite La suite u de la suite ( ) ue suite, m et M deux réels ( ) est miorée par m si pour tout de N, u m La suite u La suite u La suite u ( ) est majorée par M si pour tout de N, u M ( ) est miorée si elle admet u miorat ( ) est majorée si elle admet u majorat ( ) est borée si elle est à la fois majorée et miorée O dit que m est u miorat O dit que M est u majorat Remarque Exemple 9 Ue suite majorée admet pas u mais ue ifiité de majorat E effet, si 1,3, par exemple, est u majorat de la suite ( u ) alors (ou 3 ou ) est aussi u majorat de la suite ; e effet, si pour tout de N, u 13, alors pour tout de N, u! ( ) la suite défiie pour tout de N par : u Soit u = + 1 Calculer les 10 premiers termes de la suite ( u ) Cojecturer u majorat M de la suite Démotrer que M est bie u majorat de la suite ( u ) Solutio O a : u ,8 3 0,6 4 0, , , ,8 8 0, ,1951 La suite semble décroissate à partir du rag 1 et u 1 = 1 O peut doc cojecturer que 1 est u majorat de la suite ( u ) Séquece 5 MA1 43

44 Pour tout de N, u = ( 1) 1 1= = = ( ) + > (car 1 0 et 1 0 ) Aisi, pour tout de N, u 1 Le réel 1 est doc u majorat de la suite ( u ) O aurait pu aussi motrer que la suite est majorée par 1,1 ou importe quel autre réel supérieur ou égal à 1 (si M est u majorat de la suite ( u ) alors tout réel M supérieur ou égal à M est aussi u majorat de la suite) C Exercices d appretissage Exercice 5 ( ) das les cas suivats Etudier le ses de variatio de la suite u u = u = 1 u + 1 = ( 4) u u = + = u + u u = 3 1+ u + 1 u = 0 u = 0 (O admettra que cette derière suite est strictemet positive) Exercice 6 Soit f défiie sur R +* par : f (x) = x x + Motrer que f est strictemet croissate ( ) et ( v ) les suites défiies pour tout de N par : Soiet u u = f ( ) et v+ 1 = f( v) v = 0 16 Les suites ( u ) et v ( ) sot-elles strictemet croissates? Exercice 7 Motrer que les suites suivates sot majorées a) ( u ) défiie par : u = ( ) défiie par : v = ( 1 ) + 0, ( ) défiie par : w = 5 w = b) v c) w et + 3+ w 0 1 Trouver u réel M majorat à la fois de ces trois suites 44 Séquece 5 MA1

45 Exercice 8 Exercice 9 ( ) la suite défiie pour tout de N \{ ; } 1 Soit u 01 par : u = ( + 1 ) 1 Calculer u, u3 et u4 Etudier le ses de variatios de la suite ( u ) 3 E déduire le sige de u selo les valeurs de O cosidère la suite ( u ) défiie par u o = 1 et u+ = 1 u u Calculer u 1, u, u 3 sous forme de fractio Das u repère ( O ; i, j ), représeter la foctio f défiie par f ( x x ) 1 = + x Costruire la droite D d équatio y = x das le même repère Costruire sur l axe des abscisses les premiers termes de la suite (u ) Que peut-o cojecturer cocerat cette suite lorsque va gradir? Costruire das ue liste de la calculatrice les 0 premiers termes de cette suite Exercice 10 O cosidère la suite ( u ) défiie par u 0 = 5 et u+ = 1 u u + 1 Calculer les premiers termes de cette suite et étudier so ses de variatio Exercice 11 O cosidère la suite ( u ) défiie par so premier terme u 0 et par la relatio de récurrece u+ 1 = f( u) Etudier le ses de variatio de la suite das les deux cas suivats : Pour tout x de R, f( x) x Pour tout x de R, f( x) x 3 x + x 1 Applicatio : u 0 = 5 et f( x) = 1+ x Séquece 5 MA1 45

46 4 Exemples A de suites : suites arithmétiques et suites géométriques Activités Activité 1 Soit f la foctio défiie sur R par f (x) = x + 1 et soit ( u ) la suite défiie par u = f ( ) a) Représeter graphiquemet la foctio f ; marquer les poits de coordoées ( ; ) u b) Exprimer u +1 e foctio de u c) Calculer ( u up) Soit f la foctio défiie sur R par f (x) = ax + b et soit la suite défiie par u = f ( ) a) Calculer u+ 1 u ; e déduire la relatio de récurrece qui défiit ( u ) b) Calculer ( u up) c) Trouver ue relatio etre u d ue part, u +1 + u 1 d autre part Activité Ue persoe place à la baque u capital de euros au taux d itérêt composé auel de 5 % Cela sigifie que les itérêts acquis à la fi de chaque aée sot itégrés au capital (et produiset doc à leur tour des itérêts) O ote C le capital acquis à la fi de la ième aée et C 0 = Calculer C 1 et C Motrer que C+ 1 = 105, C E déduire ue relatio etre C et C 0, etre C 3 et C 0 Doer sas démostratio C e foctio de C 0 Quel sera le capital acquis au bout de 10 as? Au bout de combie d aées le capital aura-t-il doublé? triplé? (procéder par tâtoemet avec la calculatrice) 46 Séquece 5 MA1