Concours commun Mines-Ponts 2000 Corrigé de la seconde épreuve de mathématiques
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- Danièle Laurin
- il y a 7 ans
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1 Cocours commu Mies-Pots 2 Corrigé de la secode épreuve de mathématiques.a Nous pouvos appliquer le critère de d Alembert : doc le rayo R est égal à /4. C C2 = + 4, 2 +.b O sait que h est de classe C avec h = + + C+ 2+2 pour tout ] R, R[. Nous avos doc : ] R, R[, 4h = = = C 2 + = C C + + C = 2C2 = = 2 h C2 = C2.c La solutio géérale sur ], /4[ de l équatio différetielle est y = h =, ous obteos h = 4 pour tout ] /4, /4[. λ 4 où λ décrit R. Comme 2. O sait que pour tout α R et pour tout ], [, ous avos E particulier : M p = k= p k k = + α = k= k= α k. k p p... p k + k! k = Cp+k k k pour tout ], [. Le coefficiet e k du développemet e série etière de M p est doc égal à C k p+k. k= 3.a Le triôme s aule e 3 8 et La foctio f est doc défiie sur le domaie D f = ], 3 8 [ ] 3 + 8, + [. 3.b Soit D f e particulier,. O a alors : /4 < 2 < /4 + 2 < <
2 La quatité h 2 h est doc bie défiie, sauf quad =, avec : 2 = = f 4 2. Le relatio demadée est doc vérifiée pour D f avec et <, i.e. pour ], 3 8 [ \{ }. E particulier, o peut écrire : f = C2 pour tout ], 3 8 [. Il viet doc f = λ = C 2. 2 = C2 2+ λ M 2+ pour tout ], 3 8 [, e posat 3.c Soit ], 3 8 [. Comme ], [, ous pouvos écrire : + + f = λ C2+k k k = λ k= m= Cm+ m m. Nous devos maiteat échager l ordre des deu sommatios. Notos doc u,m le réel égal à si m < et à λ Cm+ m m sio. Pour ] 3 + 8, 3 8 [, la famille u,m est sommable, puisque pour tout, la série m u,m coverge aisi que la série + m= u,m. Il est doc possible d échager l ordre de sommatio: + + u,m = u,m, ce qui doe : f = m= m= + u,m = m= m= m λ C m m+ pour tout ] 3 + 8, 3 8 [. La foctio f est doc développable e série etière au voisiage de, le m coefficiet a demadé état égal à C2 Cm m+. Nous avos motré précédemmet que la série a était covergete pour < 3 8. Nous e déduisos que le rayo de covergece de la série etière est au mois égal à 3 8. D autre part, la quatité f tedat vers l ifii quad ted vers 3 8, le rayo de covergece est au plus égal à 3 8 : il est doc égal à 3 8. m, 3.d Nous avos f 2 =, d où 6 + 2f ff =, puis 3 + f f = pour tout D f car f e s aule pas. f vérifie doc l équatio différetielle af + bf = avec a = et b = e Comme f = + a et f = + + a + pour tout ] 3 + 8, 3 8 [, ous avos = a a mmm2ca.te - page 2
3 = + a + = 6a + = a 3a + 2a 2 6a 3a + a + = a 3a + = =2 a =2 + a a + a 3a + = a + a + 6a + a 3a + a pour tout ] 3 + 8, 3 8 [. Par uicité du développemet e série etière de la foctio ulle, ous obteos a = 3a et, + a a + a =. Nous avos e particulier : a = f =, a = 3a = 3, a 2 = 9a a 2 = 3, a 3 = 5a 2 2a 3 = a Si la suite b eiste, elle vérifie b =, b = et R. Elle est doc détermiée sas ambiguïté: b =, b =, 2, b = 32 b b 2. Si le rayo R b de la série est o ul, ous avos : g g = b 3b + = + b b + b = pour tout ] R b, R b [. g est doc solutio de l équatio différetielle liéaire o homogèe : y y =. 4.b Nous supposos toujours que la foctio g eiste. Il suffit de vérifier que l applicatio G : f ft dt vérifie les coditios : ag + bg = et G = pour assurer l égalité de g et de G sur ] R b, R b [ ], 3 8[ théorème de Cauchy-Lipschitz : les foctios a et b sot cotiues et a e s aule pas sur le domaie cosidéré. La coditio G = est clairemet vérifiée, puis ag + bg = f ft dt f f = + [ f f ] ft dt =. ft dt 4.c Il est maiteat temps de démotrer que g eiste! Les questios a et b motret qu il eiste au plus ue applicatios g vérifiat les coditios demadées. Soit doc G défiie par G = f ft dt pour tout das ], 3 8[. Comme f est développable e série etière au voisiage de, il e est de même de + ft dt, aisi que de G, par produit de Cauchy. Nous pouvos doc efi poser g = c L éocé est relativemet mal posé, la distictio etre l aalyse et la sythèse état pas faite! mmm2ca.te - page 3
4 avec c = et c = k= k a k a k pour, cette foctio état défiie au mois sur l itervalle ] 3 + 8, 3 8 [. O a évidemmet g = G sur l itersectio de leurs domaies de défiitio. G état solutio de l équatio différetielle y y =, ous e déduisos que c = G =, puis que + c c + c = pour tout. Autremet dit, la suite c est égale à la suite b. Nous avos doc démotré l eistece et l uicité de g : g = b pour < R b, avec R b 3 8 et b = k= k a k a k pour tout. 4.d O a d b = k= pour k. d k a k a k Z, puisque les a i sot etiers d après la formule du 3.c, aisi que d /k 5.a O obtiet directemet u = et u 2 = /2. Pour, ous avos : u + = a b a + b = a b a + + a 32+ b + + b = + u. Nous e déduisos doc que u = / pour tout : la suite est décroissate et positive. Le plus petit de ses majorats est so premier terme : C = u =. 5.b Comme a = m C 2 Cm+ m pour tout, a est u etier aturel o ul. O peut doc défiir la suite b /a N. Posos q = b /a. Nous avos : q q = u, et doc < q q a a a a pour tout. D autre part, la suite a est strictemet croissate. O a e effet a = < 3 = a et si ous supposos que a < a pour u certai, alors a + = 32 + a a + > 32 + a a a a. Comme a = et comme les a sot etiers, ous avos doc a +. Aisi, q q + = + et la série de terme gééral q q est covergete critère de comparaiso des séries à termes positifs. Ceci traduit simplemet la covergece de la suite q vers u certai λ >. 6.a Comme f quad ted vers 3 8 par valeurs iférieures, o e déduit que f ted vers + quad ted vers 3 8 et que l itégrale impropre 3 8 ft dt coverge. Aisi g ted égalemet vers + o peut d ailleurs se coteter de la mioratio: g f, ft dt pour tout compris ere, et 3 8. La foctio f est clairemet croissate au voisiage de 3 8, aisi que la foctio F : ft dt. Comme f et F sot positive au voisiage de 3 8, g est égalemet croissate au voisiage de 3 8. O e déduit que f et g tedet vers + e croissat quad ted vers 3 8 par valeurs iférieures. 6.b Comme les a sot tous positifs, ous avos a λ ε b a λ + ε mmm2ca.te - page 4
5 pour tout N, puis pour tous N et, puis a λ ε b a λ + ε U N λ ε V N U N λ + ε pour tout ], 3 8 [, qui est l ecadremet demadé U N est strictemet positif pour >. 6.c Les foctios f N et g N sot polyomiales, elles sot doc majorées sur le compact [, 3 8] par ue même costate A. O e déduit que f U N et g V N au voisiage de 3 8, puis que g f V N U N au voisiage de 3 8. Il eiste alors u réel strictemet positif η avec η < 3 8 tel que ε g U N f V N + ε pour tout ] 3 8 η, 3 8 [ e supposat que ε est iférieur à. Aisi, ελ ε g + ελ + ε f pour tout ] 3 8 η, 3 8 [. Autremet dit, pour tout ε <, il eiste η > qui e déped que de ε et de N, i.e. qui e déped que de ε tel que λ ε + λ λ ε + λ ε g λ + ε + λ + ε λ + ε2 + λ f pour tout ] 3 8 η, 3 8 [. Aisi, g/f ted vers λ quad ted vers d O a déjà remarqué que g/f = ft dt coverge vers 3 8 ft dt quad ted vers 3 8. Nous avos doc : 3 8 λ = ft dt = l a Pour tout, ous avos : + a a + a =, + + soit v v + v =, + + e posat v k = ka k pour tout k. Autremet dit, v + 6v + v = 6 v + v, + + E posat A = et B = 2, ous avos bie + + v + 6v + v = 2 A v + B v. mmm2ca.te - page 5
6 Il reste à faire u développemet asymptotique pour vérifier que A et B ot ue limite fiie e + : = /2 = o = o, = = o 2 2. O e déduit que A et B tedet respectivemet vers 3 4 et 2 quad ted vers l ifii. 7.b Le polyôme r 2 6r + admet deu racies distictes 3 8 et Il eiste doc α et β tels que, pour tout, w = α3 8 + β Les coditios iitiales doet facilemet : α = et β = Nous avos doc : w = pour tout, puis w c E admettat que v et w sot équivalets, ous obteos directemet : a = v a Posos K = Comme a ted vers quad ted vers l ifii, cette quatité est comprise etre K eu /2 et 2 à partir d u certai rag N. 8.b Nous savos que b a b a a a pour tout. E sommat ces iégalités, ous obteos : k=+ b k a k b k a k k=+ a k a k pour tout. Comme b k /a k ted vers λ quad ted vers l ifii, la première somme est égale à λ b. a Efi, pour N, O a pour q ], [: k=+ k=+ a k a k K 2 k=+ 4 k k 4 eu e2k u kq k = q d + q k = q+ d q q k=+ K 2 k=+ k e 2ku. [ + ], q d où λ b = O e 2u quad ted vers l ifii. Comme pour tout a ], 2[, e 2u est égligeable a devat e au, o e déduit que λ b a = O e au. Il eiste doc ue costate K 2 telle que l ecadremet demadé soit vérifié pour tout. 8.c Notos p i i la suite croissate des ombres premiers. Tout etier k [, ] s écrit d ue uique faço sous la forme k = p vk p v2k 2...p v Nk N mmm2ca.te - page 6
7 avec v k, v 2 k,..., v N k N. Le p.p.c.m. des premiers etiers s écrit doc : d = p v pv pv N N avec v i = ma{v i, v i 2,..., v i } pour tout i compris etre et N. Pour chacu de ces i, ous avos p vi i, puisque p vi i divise l u des etiers compris etre et. O e déduit que d N. Efi, N état équivalet à / l à l ifii, il est majoré par à partir d u certai rag, ce qui doe l d e, pour assez grad. 8.d O peut remarquer que p et q e sot pas e gééral premiers etre eu p 4 = 335 et q 4 = 3852 ot 3 pour p.g.c.d.. Ceci dit, o a λ p q = λ b a. Il suffit doc de démotrer que e au = O au voisiage q r+ de l ifii pour u certai a ], 2[ et pour u certai r > pour prouver l eistece de r, de N 3 et de K 3. Or, pour assez grad :, +u e e u+, e u,6 q 2K = O = O. E choisissat r strictemet compris etre et, 22, ous auros : r+ e r+,6 u = O q r+. O peut efi fier a tel que 2 > a > r +, 6 car 2 > r + et o a bie, 6 e au = O r+ e r+ u,6 = O q r+. 8.e Supposos que λ soit ratioel : λ = p/q avec p et q etier aturels o uls. Alors pour tout ratioel p /q avec q > distict de λ, ous avos : λ p q = pq p q qq qq, puisque pq p q est u etier o ul. Comme la suite b /a croît strictemet vers λ, p /q est pour tout u ratioel distict de λ. O e déduit l iégalité demadée, e posat L = /q. 8.f D après la questio 8.d, la suite q λ p q ted vers quad ted vers + elle est positive et majorée par q r avec q +. λ est doc pas ratioel, car sio, cette même suite serait miorée par ue costate L strictemet positive. O e déduit doc que l 2 = 2 λ est pas ratioel 2. 2 Utiliser le théorème des ombres premiers pour motrer l irratioalité de l 2, il fallait oser le faire! mmm2ca.te - page 7
8 FICHE D ÉVALUATION DES SUJETS DE CONCOURS Libellé complet de l épreuve : Cocours Commu MINES-Pots optio MP, deuième épreuve de Mathématiques Nom : LEGROS Stéphae, professeur de la MP du lycée Pierre CORNEILLE de Roue Adresse : 5, rue de la Briqueterie 76 3 Mt St Aiga Tel : Titre proposé pour l épreuve : Suites d etiers, séries géératrices et propriétés asymptotiques et icidemmet : l 2 est pas ratioel. ÉVALUATION I. Erreurs d éocé - ifluece des calculatrices Il y a trois erreurs das l éocé;, mais aucue e porte à coséquece :. À la questio 6.b, il faut remplacer [, 3 8[ par ], 3 8[ ; 2. À la questio 8.b, il faut lire 5.b au lieu de 5.d erreur sas icidece puisqu il eiste pas de questio 5.d ; 3. À la questio 8.d, l auteur affirme que p et q sot premiers etre eu, ce qui est fau e gééral le p.g.c.d. de p 4 et q 4 est 3, mais l erreur est ecore sas icidece puisque l o a pas à utiliser cette propriété fausse. Les calculatrices étaiet iterdites. II. Coformité au programme Aucue questio est hors programme. L esprit du programme est égalemet respecté, mais o demade des qualités de calculs que peu d élèves possèdet aujourd hui. Le premier tiers du problème est toutefois facilemet traitable. Par cotre, le cours d aalyse est que partiellemet couvert : séries etières, recherche d équivalet du terme gééral d ue suite, équatios différetielles liéaires d ordre et u soupço d arithmétique. Qualités qui me semblet le plus testées : le cours sur les séries etières et le théorème d échage de deu sommes ifiies doivet être parfaitemet cous ; le pb est assez techique, les majoratios demadées demadat beaucoup de calculs ; les méthodes choisies par l éocé e sot d ailleurs pas toujours les plus simples o peut simplifier plusieurs preuves e utilisat des relatios de comparaiso ; pas de difficulté de modélisatio, d imagiatio ou de choi de méthode. u peu d ituitio, certais résultats devat être deviés. Origialité du sujet : sujet classique de maipulatio de suite d etiers par le biais de séries géératrices. Itérêt mathématique du sujet : très limité, le but affiché l 2 Q état pas raisoable e regard des propriétés admises e particulier le th. des ombres premiers!
9 III. Tri, Niveau de difficulté Logueur du sujet : Sujet trop log calculs lourds, cadidats mal guidés. Difficulté et caractère progressif : quelques questios très délicates et techiques ; il était très difficile de sauter ue questio, de ombreu résultats itermédiaires idispesables pour la suite état pas éocés das le tete. Notes sigificatives : oui pour le premier tiers, mais sas doute pas pour les suivats. Par cotre, les très bos cadidats serot facilemet détectés. Autres remarques : l éocé présete quelques maladresses : À la questio 5.a, o étudie la suite u, et o motre facilemet que u = /. L éocé demade esuite d étudier le sige, la croissace et de doer u majorat de u. Ces questios évidetes pousset le cadidat à douter de la validité de la relatio u = /, qu il est laborieu de vérifier sas machie, même pour = 3. O demade esuite e 5.b d e déduire ue majoratio e foctio de, a et a, sas e dire plus. Plusieurs de mes élèves ot alors hésité à se lacer das des calculs lourds, doutat de leur majoratio de départ ; Plusieurs questios sot vagues trouver ue équa. diff. vérifier par g,..., et il est souvet idispesable d éocer les solutios pour résoudre les questios suivates ; La démarche choisie à la questio 6. est très lourde et l utilisatio de relatios de prépodérace était beaucoup plus efficace ; De ombreuses propriétés sot admises : la relatio 3 8 d = l 2 2 est doée par l éocé, et c est très bie : cela évite u calcul u peu fastidieu. Par cotre, o admet das la questio 7.c que le terme w obteu e perturbat la relatio de récurrece défiissat v est équivalet à v au voisiage de + ce qui est pas du tout évidet, et o termie le problème e admettat le théorème des ombres premiers 8.c, uiquemet pour démotrer que l 2 Q! IV. Parties du programmes utilisées 2. Suites et séries umériques ; 5. Séries etières ; 7. Itégrales sur u itervalle quelcoque à peie ; 9. Équatios différetielles. Aucue questio e peut être abordée e première aée. Il est d ailleurs presque impossible sas réécrire le sujet d isoler ue partie du sujet.
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