Oscillations libres dans un circuit RLC série

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1 HAPI 8 Oscllatons lbres dans n crct sére r Manel pages 75 à 9 hox pédagoges e chaptre est le trosème et derner chaptre consacré à l évolton des systèmes électres Après avor étdé séparément les dpôles et consant à des évoltons monotones de tenson o d ntensté, l s agt d assocer mantenant les dex «réservors» d énerge e consttent le condensater et la bobne ntérêt de cette assocaton est lé à la complémentarté des dex dpôles la consttent : le condensater assre en effet ne évolton sans dscontnté de la charge d ne de ses armatres et donc de la tenson à ses bornes mas pas de l ntensté corant ; la bobne permet ant à elle ne évolton contne de l ntensté corant mas ne garantt pas celle de la tenson à ses bornes De cette complémentarté, on attend donc, dans n dpôle, ne évolton de tenson o d ntensté dfférente de celle ve précédemment Dans n premer temps, l s agra donc : d observer l évolton de la tenson ax bornes condensater d n crct et d étder l nflence d ne agmentaton de la résstance crct ; de constater e, por de fables s de résstances, l évolton n est pls monotone mas oscllante ; d étder les échanges d énerge entre le condensater et la bobne Dans n dexème temps, comme dans les dex chaptres précédents, nos mènerons ne étde analyte dpôle constté c en établssant : l éaton dfférentelle crct ; l expresson de la pérode des oscllatons à partr d ne solton mathémate proposée por l éaton dfférentelle ; la des constantes, fonctons des condtons ntales a séance de travax prates permettra de rénvestr les connassances cors et de revenr sr le fat e la résstance névtable de la bobne entraîne n amortssement des oscllatons dans le crct e sera alors l occason de montrer l est possble de mantenr l ampltde des oscllatons constante en tlsant n dspostf d entreten et d en étder la foncton d n pont de ve énergéte 8 Oscllatons lbres dans n crct sére 49

2 Décovrr et réfléchr Actvté expérmentale ommentare Por mettre en évdence la dfférence avec n dpôle, nos commençons natrellement ce chaptre par l observaton de la tenson ax bornes condensater d n crct ette actvté expérmentale est le spport essentel de la premère parte cors basée sr l observaton des évoltons temporelles de tenson dans n crct sére lle permet de dégager les dfférents modes de fonctonnement crct (régmes apéroe et psedopéroe) selon la résstance et de montrer l exstence d n régme «lmte» obten lorse la résstance crct tend vers : le régme péroe éponses ax estons Por de fables s de, l évolton de (t) est oscllante et non monotone pse (t) dmne ps agmente sccessvement, a le de décroître (o croître) contnellement Oscllogramme a : devrat être nlle, régme péroe Oscllogramme b : dot être non nlle mas fable, régme psedopéroe Oscllogramme c : dot être élevée, régme apéroe (pas d oscllatons) Por non nlle mas fable, les oscllatons sont : lbres car acn dspostf extérer crct n mpose les oscllatons et notamment ler fréence ; amortes car l ampltde des oscllatons dmne a cors temps Actvté docmentare ommentare ette actvté pet être menée en classe o donner matère à réflexon en traval à la mason lle permet de rénvestr les connassances acses dans les dex chaptres précédents afn, notamment, de fare la lason entre l évolton de la tenson ax bornes d n condensater étdée dans l actvté et l ntensté corant Mas elle permet srtot à l élève de conre sel l étde énergéte dans le bt : de mettre en évdence les échanges d énerge entre le condensater et la bobne donnent le ax oscllatons ; d expler l nflence de la résstance d n pont de ve énergéte éponses ax estons d a (t) (t) ; (t) Ans, (t) [] S (t) est extrémale, sot (t) b es corbes docment sont compatbles avec ce résltat : (t) est extrémale ax nstants de dates t, t et t 4 par exemple, et (t) est nlle à ces mêmes nstants orse (t) décroît (de t à t par exemple), est donc négatve et (t) dot l être ass d après [], ce est en accord avec la corbe correspondante docment De même, lorse (t) croît (de t à t 4 ), est postve et (t) ass élec (t) (t) ; mag (t) (t) 4 date sgne de (t) de (t) sgne de (t) de (t) t t t t t t t s t t t t t t 4 t t t t 4 5 élec dmne ps agmente a cors des oscllatons ette énerge est cédée à la bobne ps resttée par elle a condensater Il y a échange contnel d énerge entre la bobne et le condensater 6 S on ntrot n concter ohme dans le crct, l énerge totale (t) élec (t) + mag (t) crct va dmner par transfert therme dans le concter ohme e phénomène responsable de cette évolton est l effet Jole éfléchr et appler ravax prates MAX c NU c MAX c NU c MAX MAX c NU c MAX c NU c MAX état condensater HAGÉ HAGÉ DÉHAGÉ HAGÉ HAGÉ HAGÉ DÉHAGÉ HAGÉ HAGÉ de élec (t) MAX c NU c MAX c NU c MAX sgne de (t) de (t) NU c MAX c NU c MAX c NU de mag (t) NU c MAX c NU c MAX c NU ommentares Il s agt tot d abord de rénvestr les connassances concernant : la pérode propre des oscllatons (étde préalable) ; les dfférents régmes et l étde de la psedopérode (manplaton ) ; les transferts d énerges (manplaton ) Por compléter l actvté de la parte Décovrr et réfléchr, nos avons chos d tlser, lors cette séance, ne nterface d acston de données relée à n ordnater Il est totefos possble de remplacer celle-c par n osclloscope à mémore en adaptant les s de et Por la manplaton, l fadra alors se mnr d n logcel permettant le transfert des données vers l ordnater o tlser ne felle de calcl déjà préremple avec des s de en foncton temps 5

3 ompte ten de la rée des manplatons et, la manplaton est pltôt menée par le professer lle permet de clôtrer le chaptre en montrant l exstence dspostf d entreten des oscllatons mentonné o pas en cors S l n en a pas été eston en cors, le rôle de ce dspostf d n pont de ve énergéte pet être traté lors de la séance o lors cors svant éponses ax estons a π π 5,, 6 4,4 4 s b 5, ms et 6,6 ms ; t,5 ms permet ne observaton pendant 5 à 6 psedopérodes a cas n n n n 4 régme e régme est psedopéroe dans le cas n car (t) passe réglèrement par mas l ampltde des oscllatons n est pas constante (le régme n est donc pas péroe) mas dmne b Pls agmente, pls l ampltde des oscllatons décroît rapdement amortssement est ben d atant pls mportant e est élevée a (V) t psedopéroe psedopéroe psedopéroe apéroe Por lmter cette dmnton d énerge, l fat dmner la résstance crct, notamment celle concter ohme e l on pet régler à Ω b a résstance non nlle de la bobne nos empêche d obtenr n régme péroe 7 e dspostf d entreten fornt contnellement l énerge dsspée par transfert therme 8 es oscllatons entretenes sont péroes : ler ampltde est constante er forme semble être snsoïdale 9 4,5 4 s ; écart relatf : % omplément Mn-P évalé Matérel : générater de tenson contne 6 V ; boîte de concters ohmes ; concter ohme de résstance Ω ; condensater de capacté nconne ; bobne d nctance notée de 5 mh ; nterrpter à dex postons ; ordnater mn d ne nterface d acston et d n logcel de tratement de données ; mltmètre ayant la foncton capacmètre raval à fare éalser le montage svant t (ms) (, r) Por mesrer avec précson, on mesre la rée correspondant à plsers psedopérodes ( t par t exemple), ps on dét par le calcl ( ) b Mesres possbles dans les cas n, n et n c es écarts obtens sont vosns de % d es résltats sont convenables et les écarts sont lés ax fats e la résstance crct n est pas nlle et l exste des ncerttdes sr et et sr la mesre de t 4 élec (t) dmne and mag (t) agmente et nversement Il y a donc échange contnel d énerge entre le condensater et la bobne 5 (t) dmne a cors temps 6 a effet Jole est responsable de cette varaton : l y a dsspaton d énerge par transfert therme fat de la résstance crct onnecter l nterface d acston afn de vsalser l évolton a cors temps de la tenson eprore le schéma et représenter les branchements réalsés Paramétrer le logcel d acston en adoptant ne rée totale d acston vosne de eles mllsecondes et n nombre de ponts de mesre sffsant Ne pas modfer le mode de synchronsaton Appeler le professer, charger le condensater et réalser l acston de ax cors de la décharge condensater dans la bobne ransférer les résltats vers n logcel de tratement de données Mesrer avec précson la psedopérode des oscllatons en nant la méthode tlsée por réalser cette mesre n spposant l amortssement néglgeable, détermner la de la capacté condensater Appeler le professer et mesrer à l ade d n mltmètre es dex s de sont-elles compatbles? 8 Oscllatons lbres dans n crct sére 5

4 Grlle d évalaton APP représentaton des branchements crct correct branchements corrects de l nterface Paramétrage correct rée de eles mllsecondes nombre de ponts de mesre sffsant xplotaton de 4,4 ms précson de la mesre : mesre d ne rée de plsers psedopérodes π sot, µf 4π APP tlsaton correcte mltmètre comparason à la trée de la mesre de xercces xercces d applcaton 4 a b Vor schéma por les branchements de l osclloscope c d Por fable, le régme est psedopéroe Por élevée, le régme est apéroe 5 (en V) a fable (, r) t (s) voe A b,75 7,5 dv avec b 5 ms/dv ; r' voe (en V) élevée t (s) n H 75,,7 dv ; 75, b n H 4 ms c (t) (t) ; (t) est proportonnelle à (t) avec n coeffcent de proportonnalté postf Ans, l évolton de (t) correspond à celle de (t) a facter près d d e (t) élec (t) + mag (t) (t) + (t) Or (t ) est maxmale, (t ) sot (t ) Ans (t ) (t ) (t ) n V,8 dv avec k VA V/dv ; (t ) k VA n V,8 5,6 V (t ) 6 (5,6),6 4 J 6 orrgé dans le manel 7 es oscllogrammes a et c correspondent à des tensons de même pérode (donc et dentes) mas l amortssement (donc ) est pls mportant dans le cas a a correspond a cople n, b a cople n et c a cople n 8 a À t s : (t ) élec (t ) + mag (t ) (t ) + (t ) +, 6 (6,),8 6 J,8 µj b S mag (t) est maxmale, mag (t) (t ) Alors (t) est nlle c mag (t) est maxmale mple max (t ) sot : max ( t) AN : max 8, 6, 4, A 4 ma 9 a Vra b Fax c Fax : (t ) et (t ) sot NM (corbe ) a Fax b Vra c Fax : (t ) + (t ) +, 6 (4,) 8, µj a Fax b Fax c Vra : 8,4 ms donc 4, ms est la rée séparant des passages conséctfs de (t) par ne nlle, (t) varant dans le même sens 4 a Fax b Fax c Vra : NM t à t,7 ms, (t ) ) 7, 4, 4, ma 5

5 5 a Fax b Vra c Fax : (t ) + (t ), 6 (,7) +,4 (4, ) 5, 6 J 5, µj 6 a Vra b c Fax Fax :, µj D après la lo d addtvté des tensons : (t) + (t) sot t () d t o + Ans d + t () a [ ] [k] [] α [] β () [ Q] d (t) (t) sot [] Or (t) [ U] I Ans [Q] I et donc [] [ U] () (t) d [ U] mple [] I () (), () et () donnent : α I [ U] β [ ] I α β [U] β α α+β [ U] I omme [ ], l vent : α β β α { α + β α β sot { α Ans α β et k k b (t) Q n cos π ; t + ϕ (t) d Q π π m ϕ t À t s, (t ) (t ) et (t ) sot : Q m cosϕ (t ) (4) et π Q m snϕ (5) (5) donne snϕ sot ϕ o π (4) donne, avec ϕ, Q m (t ), µ MAQU : Avec ϕ π, Q m (t ), µ, solton non valable car Q m par défnton a 5,5,5, ms sot, ms b k S alors k sot k AN : k, 6,, 6 c es oscllatons sont amortes fat de la dsspaton d énerge par transfert therme (effet Jole) dans le concter ohme de résstance ampltde des oscllatons décroît en conséence orrgé dans le manel d a (t) lorse le régme statonnare est établ ( est constant) b (t) (t) Or (t) (t) donc (t) d car (t) cte ((t) por tot t) c n régme statonnare, I Or d après la lo des nœds en A : + n régme statonnare, I + I D après la lo d addtvté des tensons : + n régme statonnare : + I sot I,48 A a A B b D après la lo d addtvté des tensons : BA (t) + (t) sot d + (t) d d( d ) d d où + (t) d sot + (t) () c Détermnaton de π π (t) U m ; U m ϕ ; sn t + cos π t + ϕ d K BA U π π m ϕ t + cos A 8 Oscllatons lbres dans n crct sére 5

6 () donne : π π U U m + cos π, t + ϕ m ϕ t cos + π π sot U m cos ϕ por tot t t + + Ans, comme U m et cos π n est pas la fonc- t + ϕ ton nlle, l fat e π +, d où : π Détermnaton de U m et ϕ ondtons ntales : à t s, (t ) et (t ) (t ) I car le sens corant à t s est de A vers B dans la bobne, donc opposé a sens postf chos por (t) π Ans U m cosϕ () et U m sn ϕ () () donne ϕ ± π () donne : avec ϕ π π : U m sot U m : solton nacceptable, car U m par défnton ; avec ϕ + π π : + U m sot U m d π sot 4π Ans 4π AN :,58 H 4 orrgé dans le manel 5 a e régme est psedopéroe pse l ampltde des oscllatons décroît a résstance de la bobne est fable Dans le cas contrare, (t) dmnerat sans forcément oscller b D après la lo d addtvté des tensons : (t) + (t) Ans (t) + d d d Or ce mple : (t) + d o encore : d + (t) c (t) cos π donne : t sot d 4π π t cos π π t sn éaton dfférentelle donne alors : 4π π π cos cos t t + π sot cos por tot t t 4π + e terme en cosns n est pas nl por tot t, ; on dot donc avor 4 π +, ce mpose : π 6 a a grander vsalsée sr la voe est la tenson DM (t) b oscllogramme a correspond à n régme psedopéroe DM (t) effecte des oscllatons mas ler ampltde dmne a cors temps c amortssement des oscllatons est dû à la dsspaton, par effet Jole, d énerge dans le concter ohme de résstance, sos forme d n transfert therme d (t) élec (t) + mag (t) DM(t) + (t) À t s et t, DM (t) est maxmale Avec les orentatons choses : (t) d et (t) DM (t) Ans (t) DM S DM (t) est maxmale, On a donc : K (t ) DM(t ) + { (t ) DM(t ) + énerge dsspée par effet Jole D voe a cors des dex premères psedopérodes est donc : DM (t ) (t ) [DM(t ) DM(t M )] k V/dv DM (t ), dv { DM (t ), dv DM (t ), 4,4 V et DM (t ),,6 V AN :, 6 [4,4,6 ] 6, 6 J 6, µj e Por obtenr a, on ferme K avec K en O por charger le condensater, ps on ovre K et on bascle K en A Por obtenr b, on ferme K avec K en O, ps on ovre K et on bascle K en B f G apporte contnellement l énerge nécessare por compenser les pertes par effet Jole g es oscllatons sont péroes entretenes ampltde des oscllatons reste constante 54

7 h π 4,4 4 s Or 9 dv sot n 4,5 dv n prenant, on a donc kn sot k xercces de synthèse 7 a Voe, on vsalse AB (t) b Voe, on vsalse DB (t) a A AB B, ms/dv D après la lo d addtvté des tensons : AB (t) + (t) t Sot () d d + Or (t) t () d d On a donc + o + t () b π a π, 4, 6 ms De même, 6, ms et ms b Sr le graphe a : 4 5 ms sot a,5 ms Sr le graphe b : b,5 ms également es graphes a et b correspondent donc à o car a b otefos, sr le graphe b, l amortssement est pls mportant e sr le graphe a b correspond donc à où est pls élevée e por et a correspond à Por c, 4 c 5 ms sot c 6,5 ms c correspond à 8 A π [ ] [π] [] / [] / Or (t) (t) et (t) d ce mple : [] [ Q] I[U] [ U] (t) d mpose [] [U ] I Ans : [ ] ([U ] I ) / (I[U] ) / [U ] / I / I / [U ] / [ ] : a ben la dmenson d ne rée et son nté est la seconde π, 9 4,8 s,8 ms B es oscllatons ne sont pas péroes pse ler ampltde dmne n revanche, AB (t) passe par, n dans le même sens, à ntervalles de temps réglers es oscllatons sont donc psedopéroes Graphement, 48 θ donc : 48 θ,,7 ms a f 44 Hz 44 Hz a hater 7, son est celle la b f (la 4 ) f(la ) donc (la 4 ) (la ) sot : π π et ; 4 Por obtenr f 88 Hz, on dot dvser la capacté condensater par 4 c U m (t ) (,77) 5 U m (t ) sot Um( t) Um( t) (,77) 5,7 Graphement : U m (t ),7 cm { Um (t ),45 cm Um( t) 45,,6 Um( t) 7, es s sont compatbles d 4 ms correspondent à envron 8 psedopérodes Por t 8 et t s : Um( ) t (,77) 8 9, Um( t) sot,9 % Ans Um( ) t % Um( t) élec (t) AB(t) et mag (t) (t) ; (t) élec (t) + mag (t) a AB (t ) V ; élec (t ) J ; est prncpalement emmagasnée dans la bobne b AB (t ) est maxmale donc : AB (t ) V s AB et (t ) (t ) A Ans mag (t ) J et est emmagasnée dans le condensater c (t) dmne a cors temps (l ampltde des oscllatons décroît donc élec max décroît et (t) décroît) ec est dû à la dsspaton sos forme de transfert therme par effet Jole à case de la résstance de la bobne 9 A a 74 ms ; 4,7 ms b K (, r) d (t) (t) et (t), donc (t) c ntre les nstants de date t A et t B, (t) et donc (t) dmnent : le condensater se décharge 8 Oscllatons lbres dans n crct sére 55

8 d (t A ) est maxmale donc (t A ) et (t A ), ce e l on pet vérfer sr la corbe f (t) ntre t A et t B, (t) dmne donc sot (t) e corant crcle donc en sens nverse de cel né sr le schéma entre t A et t B a (t) (t) Or à t s, (t ) A, donc (t ) J a corbe est celle de (t) a corbe est celle de (t) et la corbe, celle de (t) b (t) dmne fat de la dsspaton par transfert therme (effet Jole) à case de la résstance nterne de la bobne B π π, ms a (t) (t) U m sn π t + ϕ (t) (t) π π avec (t) U m ϕ t + cos Ans (t) U π π m ϕ t + cos b (t) (t) + (t) U m sn π cos π ϕ ϕ t + + U t + m Avec cos α + sn α, on abott à (t) U m étant ne constante, (t) est constant U m Por aller pls lon a D après la lo d addtvté des tensons : (t) + (t) () avec (t) d d sot (t) + avec (t) d Donc : (t) + b (t) élec (t) + mag (t) élec (t) (t) cos π t + ϕ mag (t) (t) π π avec (t) ϕ sn t + mag (t) π π ϕ t sn + Ans avec π, on abott à : (t) + sn π t + ϕ cos π t + ϕ (t) cos π sn π ϕ ϕ t + t + + et sont des constantes donc (t) est constante d a S r est non nlle, () donne (t) + + r (t) d Ans (t) + r + () b (t) (t) + (t) Or (f ) f f, donc : d d () t + () t d t d () + t t t d d d d t ()+ d Or d après (), (t) + r, donc : d d d d r r r () t d est ben négatve, ce trat e (t) dmne a dmnton de (t) par nté de temps correspond à la pssance dsspée par effet Jole à travers la résstance de la bobne 56