Circuits linéaires du premier ordre

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1 Électrcté - haptre 2 rcuts lnéares du premer ordre Introducton... 2 I Étude d un dpôle sére omportements lmtes d un condensateur harge d un condensateur : réponse d un dpôle à un échelon de tenson Décharge d un condensateur régme lbre...4 II Étude d un dpôle L sére omportements lmtes d une bobne tablssement du courant dans un crcut comportant une bobne upture du courant dans un crcut comportant une bobne...6 III Aspect énergétque as du dpôle as du dpôle L...7 IV xercces ondtons aux lmtes : cas où t ondtons aux lmtes : cas où t = harge d un condensateur tude d un dpôle L tude d un dpôle...8 ANNXS quaton dfférentelle du premer ordre ésumé du cours (à compléter)...9 Photo d une carte électronque consttuée d'un contrôleur (1), de transstors (2), de bobnes (3) et de condensateurs (4) 1 / 10

2 Électrcté - haptre 2 Introducton Dans le chaptre précédent, nous avons étudé des régmes contnus : I et U étaent ndépendants du temps. e n est le cas que s les générateurs sont des almentatons contnues et s l n y a que des résstances : u( = U = ( = I. ec est ben évdemment très lmtatf des problèmes rencontrés en électrcté : s, dans le crcut, l y a des bobnes et des condensateurs, les relatons entre et u sont des équatons dfférentelles et et u sont alors des fonctons du temps. Dans des réseaux lnéares smples comportant générateurs, résstances, bobnes et condensateurs, les grandeurs électrques vérfent des équatons dfférentelles du type : 2 d y( dy( a b c y( e( où e( = exctaton (dépendant du temps, due à l almentaton. 2 dt dt L objectf de ce chaptre et du suvant est d établr et de résoudre ce type d équatons dfférentelles, en fasant ntervenr les condtons ntales pour détermner les constantes d ntégraton (vor annexe). égme lbre (ou régme propre) : e( = 0 Toutes les sources sont étentes ; on a juste des condtons ntales (ex : condensateur chargé ntalement dont on étude la décharge dans une résstance sur le graphe de gauche et dans une résstance et une bobne sur graphe de drote). est le régme lbre (ou régme propre). q ondensateur chargé égme transtore égme permanent égme transtore égme permanent Analoge avec la mécanque : consdérons une masse attachée à un ressort ; on écarte la masse de sa poston d équlbre (condton ntale) pus on la lâche et on étude comment elle revent lbrement à sa poston d équlbre (oscllatons à la pérode propre T 0 ). xctaton e( 0 τ L équaton dfférentelle possède donc un second membre. Vous avez vu en mathématques que la soluton est donc du type : soluton générale de l équaton dfférentelle homogène assocée (sans second membre) S amortt dans le temps avec une durée caractérstque du crcut. ette parte de la soluton correspond au régme.. + T 0 soluton partculère de l équaton dfférentelle avec 2 nd membre Parfos constante, parfos snusoïdale. (type de soluton mposée par l'almentaton) ette parte de la soluton correspond au régme.. t Analoge avec la mécanque : consdérons une moto tout-terran avec amortsseurs qu roule à vtesse constante sur un chemn accdenté consttuée d une alternance régulère de bosses et de trous ; la moto est alors soumse à une exctaton snusoïdale. Après un régme transtore, la moto va oscller pérodquement avec la même fréquence que celle de l exctaton et une ampltude plus ou mons grande selon les paramètres de l expérence (vor chaptre suvan. Dans ce chaptre nous allons nous lmter au cas des équatons dfférentelles du premer ordre (coeffcent a = 0) et au cas d une exctaton e( nulle ou constante. Par la sute, nous nous ntéresserons aux équatons dfférentelles du second ordre (avec un coeffcent a 0 ; vor H3) pus au cas d une exctaton e( snusoïdale (vor H4). 2 / 10

3 Électrcté - haptre 2 I Étude d un dpôle sére 1 omportements lmtes d un condensateur 1.1 Au moment du basculement d un nterrupteur (à t 0 = 0) onsdérons un condensateur ntalement déchargé auquel on mpose un échelon de tenson à un nstant donné t 0. omme la tenson à ses bornes est contnue, on dot avor à cet nstant : u (t 0 +) = u (t 0 -) = 0. n conséquence : à l nstant où l on mpose un échelon de tenson à un condensateur ntalement déchargé, le condensateur est équvalent à... (tenson nulle, quel que sot le courant qu y crcule). 1.2 n régme permanent (à t ) Une fos que l on a attent le régme permanent fnal constant (ce qu suppose que générateur sot contnu et que l on attende un temps long par rapport à ), on sat que la tenson aux bornes du dq du condensateur sera constante u = cste. Donc 0. dt dt n conséquence : en régme permanent, le condensateur est équvalent à.. (courant nul, quelle que sot la tenson à ses bornes). 1.3 Portrat de phase On appelle portrat de phase du dt c u c A Dans le cas de la charge : - l état ntal correspond au pont - l état fnal correspond au pont D B u c Dans le cas de la décharge : - l état ntal correspond au pont - l état fnal correspond au pont Nous prouverons dans la sute du chaptre que les évolutons dans le portrat de phase du pont A au pont B et du pont au pont D sont rectlgnes car du c/dt est du type a.u c + b 2 harge d un condensateur : réponse d un dpôle à un échelon de tenson 2.1 ondton ntale = u AM A M A M t A t = 0 l nterrupteur passe de la poston 1 à la poston 2 ; donc e( = u AM passe de la valeur 0 à la valeur 3 / 10

4 Électrcté - haptre xpresson de u ( à la charge 2.3 xpressons de ( à la charge 2.4 onstante de temps La constante de temps d un dpôle est par défnton égale à τ = lle peut-être détermnée graphquement car elle est - (1) égale à l abscsse du pont d ntersecton de la à la courbe, u ( ou (, et de l asymptote à cette même courbe quand t + - (2) égale à l abscsse du pont de la courbe u ( ayant pour ordonnée U max lors de la charge du condensateur - (3) égale à l abscsse du pont de la courbe ( ayant pour ordonnée I max lors de la charge du condensateur. emarque : le régme permanent (ou forcé contnu) est attent au bout d une durée envron égale à... u c état fnal = régme permanent (1-1/e) régme transtore état ntal I 0 = / I 0 /e régme transtore état ntal 3 Décharge d un condensateur régme lbre emarque : le régme lbre caractérse l évoluton du crcut en l absence de source. 3.1 ondton ntale A M A t = 0 l nterrupteur passe de la poston 2 à la poston 1 ; donc e( = u AM passe de la valeur à la valeur 0 4 / 10

5 Électrcté - haptre xpresson de u ( à la décharge Afn de changer, c est cette fos l équaton dfférentelle en q( pus l expresson de q( qu sera détermnée en premer pus u c ( sera dédut de q(. dq q u dq q Pour t > 0, dt sot : u q u dt On reconnaît une équaton dfférentelle du 1 er ordre, lnéare, à coeffcents constants, sans dq q second membre, dont la forme canonque est : 0 dt t l faut donc poser : = et la soluton est : q( A exp Pour détermner la constante, on utlse le fat qu l y a nécessarement contnuté de la tenson aux bornes du condensateur et de la charge qu'l porte : à t = 0, q(t = 0 + ) = q(t = 0 - ) = q 0. dq dt q 0 D autre part, Fnalement, q( t 0 ) A exp(0 ) A donc : A = q 0 = t q t 0, q( q0 exp et : 0 t t t 0, u ( exp exp q u c 3.3 xpressons de ( I 0 /e I 0 = -/ pour t > 0 : dq dt q 0 t exp t exp emarque : l y a dscontnuté de ( ; mas pas de q( n de u c (. 3.1 onstante de temps emarque : la constante de temps d un dpôle est - (1) égale à l abscsse du pont d ntersecton de la tangente à l orgne à la courbe, u ( ou (, et de l asymptote à cette même courbe quand t + - (4) égale à l abscsse du pont de la courbe u ( ayant pour ordonnée U max lors de la décharge du condensateur 5 / 10

6 Électrcté - haptre 2 II Étude d un dpôle L sére 1 omportements lmtes d une bobne 1.1 Au moment du basculement d un nterrupteur (à t 0 = 0) onsdérons une bobne, où ne crcule ntalement aucune ntensté, à laquelle on mpose un échelon de courant à un nstant donné t 0. omme l ntensté dans la bobne est contnue, on dot avor à cet nstant : L (t 0 +) = L (t 0 -) = 0. n conséquence : à l nstant où l on mpose un échelon de courant à une bobne où ne crcule ntalement aucune ntensté, la bobne est équvalente à.. (courant nul, quelle que sot la tenson à ses bornes). 1.2 n régme permanent (à t ) Une fos que l on a attent le régme permanent fnal constant (ce qu suppose que le générateur sot contnu et que l on attende un temps long par rapport à ), on sat que l ntensté dans la dl bobne sera constante L = cste. Donc u L L 0. n conséquence : en régme permanent, dt la bobne est équvalente à... (tenson nulle, quel que sot le courant qu y crcule). 1.3 Portrat de phase d dt D A B Dans le cas de l établssement du courant dans la bobne : - l état ntal correspond au pont - l état fnal correspond au pont Dans le cas de la rupture du courant : - l état ntal correspond au pont - l état fnal correspond au pont Nous prouverons dans la sute du chaptre que les évolutons dans le portrat de phase du pont A au pont B et du pont au pont D sont rectlgnes car d/dt est du type a. + b 2 tablssement du courant dans un crcut comportant une bobne 2.1 ondton ntale À t = 0, on ferme l nterrupteur ; l ntensté état donc nulle à t = 0 - ; l ntensté traversant une bobne étant une foncton contnue, (t = 0 + ) = (t = 0 - ) = xpresson de ( lors de l établssement du courant 2.3 xpressons de u L ( 2.4 onstante de temps 3 upture du courant dans un crcut comportant une bobne Vor l exercce sur l étncelle de rupture au prochan chaptre. 6 / 10

7 Électrcté - haptre 2 III Aspect énergétque 1 as du dpôle 2 as du dpôle L IV xercces 1 ondtons aux lmtes : cas où t + On consdère les crcuts suvants, dans lesquels le régme contnu (permanen est établ. Détermner les schémas équvalents en régme permanent pus les expressons des grandeurs, u et u'. η L 1 2 u u' u 1 u 2 u' r ' r 2 ondtons aux lmtes : cas où t = 0 + Dans les quatre crcuts c-dessous, juste avant la fermeture des nterrupteurs K, tous les courants traversant les bobnes sont nuls et tous les condensateurs sont déchargés. Détermner les expressons de, ', '', u, u' (suvant les cas), juste après la fermeture de l'nterrupteur (à t = 0 + ). K '' ' ' ' K '' ' η u L K ' ' u 3 harge d un condensateur 2 L nterrupteur est ouvert pour tout t < 0. Le régme permanent est établ. A t = 0 on ferme l'nterrupteur. 1 u 1- Établr 5 équatons ndépendantes contenant les 5 varables 1, 2,, et u. 2- n dédure l équaton dfférentelle vérfée par u( pour t supéreur ou égal à Établr l expresson de la tenson u( aux bornes du condensateur pus tracer u = f(. Applcaton numérque : = 5,0 kω ; = 100µF ; 1 = 15 V ; 2 = 15 V 7 / 10

8 Électrcté - haptre 2 4 tude d un dpôle L A la date t = 0, on ferme l'nterrupteur dans le crcut suvant. 1- Détermner la valeur de s(0 + ) et de s(+ ). 2- Établr l'équaton dfférentelle vérfée par s( pour t Détermner l'expresson de s(. 4- Tracer l'allure de s(. xprmer en foncton de et L la date t 0 à laquelle s(t 0 ) = s(0 + )/10. K L /2 s( 5- On mesure expérmentalement t 0 = 3,0 ms. On donne = 1kΩ. alculer L. 5 tude d un dpôle Dans le montage suvant, à t = 0, on ferme l'nterrupteur (le condensateur est ntalement déchargé). ' 1- Détermner les expressons de q(, ( et '(. 2- Quelle est la constante de temps qu apparaît? Montrer qu elle est homogène à un temps. η q η 3- Tracer l'allure des graphes. ANNXS 1 quaton dfférentelle du premer ordre La soluton d une équaton dfférentelle lnéare du premer ordre à coeffcents constants avec second membre écrte sous la forme canonque : est la somme d une soluton partculère constante: y = et de la soluton générale sans second membre : y ( = D où la soluton y( = nsute, et seulement ensute, on utlse la condton ntale y(0) = y 0 afn de détermner la constante λ 8 / 10

9 Électrcté - haptre 2 2 ésumé du cours (à compléter) Le dpôle sére (constante de temps τ = ) harge du condensateur Décharge du condensateur rcut (basculement de l nterrupteur à t = 0) Équaton dfférentelle vérfée par u c ( chargé sous la tenson à t = 0 ondton ntale u c ( ( omportement asymptotque Lorsque t tend vers l nfn, en régme permanent, le condensateur est chargé : u c ( est donc constante (noté U c ) et l ntensté ( = u c ( est donc nulle. n applquant la lo des malles en régme permanent (u = étant nulle), on obtent u c ( = U c = Allure de u c ( Blan énergétque 9 / 10

10 Électrcté - haptre 2 Le dpôle L sére (constante de temps τ = ) Établssement du courant fermeture à t = 0 rcut (basculement de l nterrupteur à t = 0) Équaton dfférentelle vérfée par ( ondton ntale ( u L ( Allure de ( Blan énergétque 10 / 10