Chapitre 2 : Statistique descriptive bivariée
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- Marie-Agnès Roux
- il y a 7 ans
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1 Biostatistiques Licece Chapitre 2 : Statistique descriptive bivariée Itroductio Deux variables X et Y mesurées sur u même échatillo : commet mesurer leur relatio? Taille de l échatillo : Doées : (x, y ),, (x, y ) Deux variables qualitatives Applicatio Equête sur les étudiats de L de l UM2 : 2 Distributios Résultat\Absetéisme Rare Moye Fort Admis Recalé Rappel : Distributio = Modalités + Effectifs (ou Fréqueces) associé(e)s 2 Distributio joite Modalités de X : m,, m K Modalités de Y : m,, m L Modalités de (X, Y ) : (m, m ), (m 2, m ),, (m K, m ), (m 2, m ),, (m K, m L ) Effectifs associés : i,j i =,, K, j =,, L Tableau de cotigece : O a = K L j= i,j Fréqueces associées : f i,j = i,j Calculer les fréqueces joites pour l Appli 22 Distributios margiales X \Y m m L m,,l m K K, K,L Distributio joite Distributio de X et Distributio de Y Effectifs margiaux de X : i, = L j= i,j pour tout i =,, K Effectifs margiaux de Y :,j = K i,j pour tout j =,, L Tableau de cotigece : XY m m L Total m,,l, m K K, K,L K, Total,,L
2 O a bie K i, = L j=,j = Fréqueces margiales :f i, = i, et f,j =,j Calculer les fréqueces margiales pour l Appli 23 Distributios coditioelles Distributio coditioelle de Y sachat X Objectif : Tester l ifluece de X sur Y Partitio de l échatillo e sous-échatillos : E m,, E mk coteat respectivemet,,, K, idividus Distributio coditioelle de Y sachat X = m k, otée Y X=mk ou Y mk : Y mk m m L Total Effectifs k, k,l k, Fréqueces k, k, k,l k, Calculer les distributios coditioelles (e fréqueces) de Résultat pour l Appli Distributio coditioelle de X sachat Y Objectif : Tester l ifluece de Y sur X Partitio de l échatillo e sous-échatillos : E m,, E m L coteat respectivemet,,,,l idividus Distributio coditioelle de X sachat Y = m l, otée X Y =m l ou X m l : X m l m m K Total Effectifs,l K,l,l Fréqueces,l,l K,l,l Calculer les distributios coditioelles (e fréqueces) de Absetéisme pour l Appli 3 Mesure d idépedace 3 Vérificatio graphique O a : Ifluece miime de X sur Y Distributios coditioelles de Y e fréqueces semblables à la distributio margiale de Y Idée : représeter les distributios coditioelles et la distributio margiale (e fréqueces) par des diagrammes e bâtos sur u même graphe Représeter graphiquemet les distributios coditioelles et margiale de Résultat pour l Appli 2
3 32 Effectifs théoriques d idépedace O a : Idépedace totale etre X et Y Distributios coditioelles de Y e fréqueces égales à la distributio margiale de Y Effectifs théoriques d idépedace : Pour tout i =,, K et j =,, L : i,j,j = i, Pour tout i =,, K et j =,, L : i,j = i,,j doc ñ i,j = i,,j Idépedace totale etre X et Y Pour tout i =,, K et j =,, L : i,j = ñ i,j Das le cas cotraire, deux possibilités : i,j > ñ i,j phéomèe d attractio etre les modalités m i et m j si i,j < ñ i,j, phéomèe de répulsio etre les modalités m i et m j Calculer les effectifs théoriques d idépedace pour l Appli et commeter La statistique du Khi-deux mesure l écart à l idépedace etre X et Y : et o a : χ 2 = K L j= ( i,j ñ i,j ) 2 ñ i,j Idépedace totale etre X et Y χ 2 = 0 Calculer la statistique du χ 2 pour l Appli 2 Ue variable quatitative, ue qualitative Variable qualitative : X Variable quatitative : Y Questio : Valeurs de Y différetes suivat modalité de X OU idépedace? 2 Applicatio 2 Ours observés aux USA e 2002 : Poids(kg)\Espèce Grizzly Kodiak Ours blac - de de
4 22 Applicatio 3 Echatillo de méages fraçais : 23 Distributios coditioelles Nombre d efats\situatio Locataire Propriétaire Idée : représeter les distributios coditioelles et la distributio margiale de Y Problème : si Y cotiue, plusieurs histogrammes écessaires Représeter les distributios coditioelles et la distributio margiale de Poids pour l Appli 2 24 Moyees et variaces coditioelles Distributios coditioelles de Y : Y X=m,, Y X=mK Moyees coditioelles de Y : ȳ,, ȳ K Variaces coditioelles de Y : s 2,, s2 K Calculer les moyees coditioelles et la moyee globale de Poids pour l Appli 2 Idem pour les variaces 25 Décompositio de la moyee O ote ȳ la moyee globale de Y et o a : ȳ = f i, ȳ i = i, ȳ i La moyee globale est pas égale à la moyee des moyees coditioelles mais à ue moyee podérée par les fréqueces 26 Décompositio de la variace O ote s 2 la variace globale de Y et o a : s 2 = f i, s 2 i + f i, (ȳ i ȳ) 2 = i, s 2 i }{{} variace itra-groupes + i, (ȳ i ȳ) 2 }{{} variace iter-groupes Variace iter grade Disparité importate etre les groupes Mesure de l ifluece de X sur Y : le coefficiet de détermiatio R 2 = variace iter variace globale = Deux cas extrêmes : R 2 = 0 aucue dépedace de Y par rapport à X R 2 = dépedace complète de Y par rapport à X K i,(ȳ i ȳ) 2 K i,[s 2 i + (ȳ i ȳ) 2 ] 4
5 Calculer le coefficiet de détermiatio de Poids e foctio de Espèce pour l Appli 2 L aalyse est idetique lorsque la variable quatitative est discrète Etudier la dépedace de Situatio e foctio de Nombre d efats pour l Appli 3 3 Deux variables quatitatives 3 Applicatio 4 Bébés és le 0/0/200 das la materité de Nîmes (aissaces uiques) : Poids (kg) Taille (cm) Représetatio graphique 32 Nuage de poits Défiitio : Représetatio graphique des poits de coordoées (x i, y i ) Représeter Taille e foctio de Poids pour l Appli Régressio Objectif : trouver, à partir du uage de poits, ue foctio f : R R telle que Y = f(x) + ε où ε : R R est u terme d erreur aussi petit que possible 323 Type de relatios L observatio du uage de poits ous idique trois choses : itesité de la relatio : la relatio est forte si x i proche de x j implique que y i est proche de y j forme de la relatio : o distigue gééralemet les relatios liaires où le uage de poits forme ue droite des relatios o liéaires (expoetielle, quadratiques, siusoïdales ) ses de la relatio : il est positif si la relatio coserve l ordre : x i > x j y i > y j (a) Pas de relatio (b) relatio faible (c) relatio forte 33 Covariace Cov(x, y) = (x i x)(y i ȳ) = xy xȳ où xy = x iy i Covariace positive relatio etre X et Y (globalemet) croissate 5
6 (d) relatio liéaire (e) relatio o liéaire (f) relatio crois-(gsate relatio décroissate Calculer la covariace etre Taille et Poids pour l Appli 4 34 Régressio liéaire Objectif : trouver ue foctio liéaire (ou affie) qui relie X et Y f(x) = ax + b 34 Droite des moidres carrés Méthode des moidres carrés : choisir de miimiser la somme des erreurs quadratiques (y i ax i b) 2 O motre que les valeurs de a et de b qui miimiset cette distace sot respectivemet Cov(x, y) â = s 2 = x iy i xȳ x x2 i et ˆb = ȳ â x x2 La droite y = âx + ˆb, dite de régressio liéaire, passe par le cetre de gravité du uage ( x, ȳ) Tracer la droite des moidres carrés de Taille e foctio de Poids pour l Appli Coefficiet de corrélatio Mesure de l adéquatio de os observatios au modèle liéaire : ρ(x, y) = Cov(x, y) = x iy i xȳ s x s y x2 i x2 y2 i ȳ2 Iterprétatio : ρ(x, y) = ou le uage de poits est ue droite ρ(x, y) = 0 aucue relatio liéaire etre X et Y Calculer le coefficiet de corrélatio liéaire etre Taille et Poids pour l Appli 4 6
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