Corrigé de Centrale 2016 PC math 1. I Autour de la fonction Gamma d Euler. f(t)dt existe si et seulement si x > 0.

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1 I.A.) ft) = t x e t doc t t x Puisque Corrigé de Cetrle 26 PC mth I Autour de l foctio Gmm d Euler x + tx+ e t =, ft) = t + o t 2 ) doc Le domie de défiitio de Γ est doc D =], + [. ft)dt existe si et seulemet si x >. I.A.2) O itègre pr prties pour x > : Γx + ) = [ e t t x ] + + x etre crochets pour ite e et e +. ft)dt existe pour tout x. O e déduit pr récurrece, pour et x > : Γx + ) = Γx) x + ). Pour x = o obtiet vec Γ) = = t x e t dt = xγx) puisque l expressio e t dt =, Γ + ) = doc Γ) = )! pour. I.A.3) Ds l première itégrle o pose t = u /2 bijectio de clsse C de ], + [ ds lui-même): e t2 dt = e u 2 u /2 du = Γ/2) = Γ3/2). 2 Ds l secode itégrle o pose t = u /4 bijectio de clsse C de ], + [ ds lui-même): e t4 dt = e u 4 u 3/4 du = Γ/4) = Γ5/4). 4 I.B.) Pour t > fixé et x vrit etre et b, e x l t est compris etre e l t et e b l t doc t x mxt, t b ) t + t b. I.B.2) Pour x > et t > posos fx, t) = t x e t = e x ) l t t. O clcule f x x, t) = l t) t x e t. Pour x > fixé: l t) t x e t = o t + t ) puisque 2 t + tx+ l t) e t =. D utre prt l t) t x e t l t t x/2 = o ) qui est itégrble sur ], ] puisque x >. O t t x/2 t t x/2 e déduit que t f x, t) est itégrble sur ], + [. x O peut mitet ppliquer le théorème de dérivtio sous le sige itégrl: Pour tout x ], + [, t fx, t) est cotiue et itégrble sur ], + [ Pour tout t ], + [, x fx, t) est de clsse C sur ], + [ Pour tout x ], + [ et pour tout N, t f x, t) est cotiue sur ], + [ x Pour tout N et pour tout segmet [, b] ], + [ il existe ϕ cotiue et itégrble sur ], + [ telle f x, t) x ϕt): e ppliqut le I.B. o peut predre ϕt) = f, t) x + f b, t) x. O e coclut pour x > : Γ ) x) = l t) t x e t dt. I.C.) Puisque l t) 2 > pour t, o Γ x) > et doc Γ est strictemet croisste sur ], + [. Avec Γ) = )! pour N o déduit que Γ) = Γ2) =. O peut ppliquer le théorème de Rolle à Γ sur [, 2] puisqu elle est de clsse C et que Γ) = Γ2). O e déduit que Γ s ule sur ], 2[, ue seule fois puisque Γ est strictemet croisste. Il existe u uique ξ tel que Γ ξ) = et s prtie etière est égle à. I.C.2) Pour < x < ξ, Γ x) < doc Γ est strictemet décroisste. Pour x > ξ, Γ x) > doc Γ est strictemet croisste. De Γx + ) = xγx) et de Γ) = o déduit pr cotiuité de Γ e que Γx) x u voisige de + et pr suite Γ pour ite + e +. Puisque Γ est croisste pour x > 2 et que Γ) = )! pour N o déduit que Γ pour ite + e +.

2 De Γx + ) = xγx) o déduit Γ x + ) = Γx) + xγ x). Pr cotiuité de Γ e et vec l équivlet obteu pour Γx) e + o déduit que Γ x) x + x 2, doc Γ pour ite e +. Pour x > ξ o Γ x) > et pr suite Γ x + ) = Γx) + xγ x) > Γx): o e déduit que Γ pour ite + e +. L courbe représettive de Γ pour symptote l droite d équtio x =. Qud x ted vers + l croissce vers + est très rpide puisque croît très vite vers +. II.A II Ue trsformée de Fourier Pour x R et t > posos gx, t) = e t t 3/4 e ixt. O clcule g x x, t) = it) e t t 3/4 e ixt. Pour x fixé et N, t g x, t) x = e t t 3/4 est itégrble sur ], + [ puisque Γ + /4) existe. O peut ppliquer le théorème de dérivtio sous le sige itégrl e domit l dérivée -ième pr ϕt) = e t t 3/4. F est doc de clsse C et F ) x) = i e t t 3/4 e ixt dt. F ) = Γ/4). II.B.) E utilist le développemet e série etière de e itx o obtiet: F x) = e t t 3/4 = ixt) dt. Appliquos le théorème d itégrtio terme à terme pour l série de foctio f ) défiie pr f t) = e t 3/4 ixt) t x étt fixé): f est cotiue et itégrble sur ], + [ puisque f t) = x e t t 3/4 et que Γ + /4) existe. L série f ) coverge pour tout t >. Si o choisit x <, l série de terme géérl u = E effet, u = x f t) dt coverge. e t t 3/4 dt = x Γ + /4). Pour 2, pr croissce de l foctio Γ, o obtiet u x Γ + ) = x qui est le terme géérl d ue série géométrique covergete. O obtiet doc pour x < e itégrt terme à terme: F x) = = c ix) Avec le résultt du I.A.2) o déduit: c = c + /4) vec c = Γ/4). L croissce de l foctio Γ pour x > 2 etrîe que Γ) x c ix) x c ix) x. O e déduit que le ryo de covergece est égl à. = vec c = Γ + /4). Γ + ) x et pr suite II.B.2) L iéglité que l o viet de motrer etrîe qu il y ps covergece bsolue pour x = puisque l série ) diverge. II.B.3) Le développemet e série etière de F x) doe so développemet ité e à l ordre 3: F x) = c + c ix + c 2 x2 2 ) + c 3 ix3 6 ) + ox3 ). O e déduit vec c = 4 c, c 2 = 5 6 c et c 3 = c : Rx) = c 5 32 x2 ) + ox 3 ) et Ix) = c x x3 ) + ox 4 ) o obtiet l ordre 4 pour Ix) puisque c est ue foctio impire). II.C.) Itégros pr prties: F x) = i t /4 e ix )t dt = ] + /4 eix )t [it ix ) i 4ix ) t 3/4 e ix )t dt = i F x) puisque les ites e et e + de l expressio etre crochets sot ulles. O doc bie 4ix ) F i + AF = e post Ax) = 4ix ) = 4x + i). 2

3 II.C.2) O obtiet Ax) = x i 4x 2 + ) dot ue primitive est Gx) = 8 l + x2 ) i rct x. 4 O e déduit que F e G ) = F + F G )e G = d où F x) = Ce Gx) vec C = F ) = Γ/4). O obtiet doc F x) = Γ/4) + x 2 ) /8 e i 4 rct x. III.A.) G X t) = t) e = e t ).! = III Autour de l loi de Poisso III.A.2) EX) = G X ) =. VX) = G X ) + G X ) G X ))2 = =. σx) =. III.A.3) Puisque X et Y sot idépedtes o G X+Y t) = G X t)g Y t) = e +µ)t ) doc X + Y pour loi P + µ). III.B.) O motre pr récurrece que S pour loi P). C est vri pour = puisque S = X. Supposos, pour u etier, que S pour loi P). S = X X et X + sot idépedtes doc le III.A.3) motre que S + = S + X + pour loi P + ) = P + )). Le résultt est doc vri pour tout. III.B.2) ES ) = et σs ) =. ET ) = ) =. σt ) = σs ) =. III.B.3) Puisque T possède ue vrice o peut lui ppliquer l iéglité de Bieymé-Tchebychev: P T ET ) c) VT ) c 2 doc P T c) c 2. E choisisst c cε) = ε o obtiet P T c) ε. III.C.) f x) = xe 2 x2 et f x) = x 2 )e 2 x2. Pour x, f x) et f possède u miimum égl à f ) = e /2. Puisque f est impire o e déduit que pour tout x R o f x) M = e /2. Cel etrîe que f est M-lipschitziee. III.C.2) x+h ) Pour x fixé posos gh) = hfx) ft)dt. g h) = fx) fx + h) Mh pour h >. O e x h h h déduit gh) = gh) g) = g t)dt g t) dt Mtdt = M h2 2. xq+, b) fx, ) ft)dt I x p, = q ) fx, ) x+, q ft)dt =p x, M Mq + p) = e 2 2 =p ppliqut le ) pour x = x, et h = cr x +, = x, + h). c) D ue prt o p < + p doc x p, < +. Pr suite x p, =. De même, q + b < q + doc b < x q, b. Pr suite O e déduit puisque f est cotiue: D utre prt q p b ) doc I fx, ) = xq+, xq+, ft)dt = x p, x p, ft)dt = b fx)dx. x q, = b. Mq + p) =. O e déduit vec le b): 2 b fx)dx. ) III.C.3) ) Pr défiitio, x, = doc y, = e. ) O e déduit e =! e =! e!. y, 3

4 Puisque I, o + + b doc pour ite qud ted vers +. Cel etrîe que ted vers + qud ted vers +. D utre prt l équivlet de Stirlig etrîe que e ted vers qud ted vers +. Pr suite,! ) e ted vers qud ted vers +. Il est doc compris etre ε et + ε pour y,! N ε) ce qui démotre le résultt demdé. b) Pour I o x, b doc x, est boré. De plus o motré que pour ite qud ted vers + doc x, = x, ted vers qud ted vers +. O peut doc utiliser le développemet ité l + t) = t 2 t2 + ot 2 ) vec t = x,. O obtiet: ly, ) l fx, ) = l x, ) + x, + 2 x2, = x, 2 x, ) 2 + o x ), ) 2 ) + x, + 2 x2, = 2 x2, ) + o ). Cette expressio pour ite qud ted vers + puisque x, est boré et pour ite. y, O e déduit que fx, ) pour ite et o obtiet l iéglité demdée pour N 2ε). III.C.4) O déduit de l questio précédete que: ε) 2 fx, ) ) e + ε)2 fx, ).! I I I Avec le III.C.2)c) o déduit ) e = b fx)dx.! I III.C.5) P T b) = P + S + b ) = I PS = ) puisque S e pred que des vleurs etières. III.C.6) Puisque S pour loi P), P T b) = ) e doc! P T b) = b I fx)dx. Pour c > o PT ) = P T c) + PT > c). Soit ε >. Avec l questio III.B.3) o peut choisir c tel que pour c > c o it PT > c) P T c) ε. D utre prt, puisque fx) = o x + x ), f est 2 itégrble sur R + + c, doc o peut choisir c 2 tel que pour c > c 2 o it fx)dx fx)dx ε. Pour c > mxc, c 2 ) o PT ) fx)dx 2ε + P T c) c fx)dx 3ε pour. Pr suite PT ) = fx)dx. Pour tout ε >, PT = ) P T + ε) qui ted vers Comme cette itégrle peut être rbitriremet proche de, o e déduit que PT > ) = PT ) = fx)dx. PT b) = PT > b) = fx)dx. b +ε fx)dx qud ted vers +. PT = ) =. III.D.) Avec le III.B.3) o pour b cε): PT b) PT b ) ε. O e déduit vec fx)dx que b fx)dx =. PT b) = 4

5 III.D.2) e A = PS = ) = PS ) puisque S e pred que des vleurs etières. = O doc e A = PT ) qui ted vers fx)dx = pr prité de l foctio f. 2 O doc A 2 e. e ) A + B ) = + e! ) e! + ) e! + ) pour ite e. Pr suite B 2 e. III.D.3) e C = = vec =. Comme < + o : + ) qui ted vers puisque ted vers + qud ted vers + et PS = ) = PS ) = PT ). Pour tout ε > il existe b tel que b O lors e C PT b) qui ted vers fx)dx ε. Puisque >, o b pour. b c est ue probbilité), que e C pour ite si <. e D = qui ted vers + =+ PS = ) = PS > ) = PT > ). fx)dx ε. O e déduit, puisque que e C Pour tout ε > il existe < tel que fx)dx ε. Puisque <, o pour 2. O lors e D PT > ) fx)dx ε. O e déduit, puisque que e D c est ue probbilité), que e D pour ite si >. III.E.) ) t) e t dt = t ) e t dt. Défiissos f t) = t ) e t si t < et f t) = si t et utilisos le théorème de covergece domiée pour clculer l ite de f t)dt. Chque foctio f est cotiue sur R + l ite à guche e t = de f t) est égle à ). t t+ l Pour > t o f t) = e ) qui pour ite ft) = e t ) qud ted vers +, puisque l t ) t. L suite f ) coverge doc simplemet vers l foctio f qui est cotiue sur R +. L mjortio coue l + x) x etrîe pour t < que f t) e t ) = ft). C est ussi vérifié pour t puisque f t) =. L foctio f est itégrble sur [, + [ puisque <. Le théorème de covergece domiée s pplique et doc: ) [ + ) t) e t dt = ft)dt = e t ) ) ] + =. III.E.2) Appliquos l formule de Tylor vec reste itégrl à l ordre pour l foctio exp sur l itervlle [, ]: e ) t) = + e t dt. O e déduit vec le résultt du III.E.):! = D = e = ) =! t) e t dt ) qud <. III.F r t) [ ] r t) Itégros pr prties: e t dt = e t r t) + e t dt. C est légitime: les itégrles )! existet cr r t) e t = o t ) e et l expressio etre crochets ue ite e et e. O obtiet 2 r t) e t dt = r + r t) e t dt. O cotiue à itégrer pr prties et o motre pr récurrece )! sur que: 5

6 r t) e t dt = r r )! + O obtiet filemet pour = : r =. O doc C = ) r t) t ) e t dt. r t) e t dt. )! e t dt = r r ! + Appliquos à ouveu le théorème de covergece domiée pour clculer l ite de t ) e t : Chque foctio g est cotiue sur R. e t dt qui est égl à C si o choisit g t)dt vec g t) = t t+ l Puisque t o peut écrire g t) = e ) qui pour ite ft) = e t ) qud ted vers + comme à l questio III.E.) vec f qui est cotiue sur R. L mjortio coue l+x) x etrîe que g t) e t ) = ft). L foctio f est itégrble sur ], ] puisque >. Le théorème de covergece domiée s pplique et doc: [ ] e t ) g t)dt = ft)dt = ) =. O e déduit que C ) qud >. 6