Modélisation numérique du chauffage par induction : approche éléments finis et calcul parallèle

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1 Modélsaton numéque du chauffage pa nducton : appoche éléments fns et calcul paallèle Valée Labbé To cte ths veson: Valée Labbé. Modélsaton numéque du chauffage pa nducton : appoche éléments fns et calcul paallèle. Mechancs. École Natonale Supéeue des Mnes de Pas, 00. Fench. <NNT : 00NMP085>. <tel > HAL Id: tel Submtted on 4 Jan 00 HAL s a mult-dscplnay open access achve fo the depost and dssemnaton of scentfc eseach documents, whethe they ae publshed o not. The documents may come fom teachng and eseach nsttutons n Fance o aboad, o fom publc o pvate eseach centes. L achve ouvete pludscplnae HAL, est destnée au dépôt et à la dffuson de documents scentfques de nveau echeche, publés ou non, émanant des établssements d ensegnement et de echeche fanças ou étanges, des laboatoes publcs ou pvés.

2 THS pésentée à L COL NATIONAL SUPRIUR DS MINS D PARIS pa Valée Labbé Pou obten le gade de Docteu de l cole des Mnes de Pas Spécalté Mécanque Numéque Modélsaton numéque du chauffage pa nducton Appoche éléments fns et calcul paallèle soutenue le avl 00, devant le juy composé de : P Mchel BRNADOU...Pésdent D Fanços-Xave ROUX...Rappoteu P Rachd TOUZANI...Rappoteu D Fanços BAY...xamnateu D Alan BOSSAVIT...xamnateu P Jean-Loup CHNOT...xamnateu D Sege PIPRNO...xamnateu

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4 Remecements Je emece M. Chenot et la decton de l cole des Mnes de Pas pou m avo donné la possblté et les moyens d effectue ce taval de echeche au sen du cente de mse en fome des matéaux. Je emece les dfféents membes du juy pou avo accepté de consace du temps à la lectue et à l examen mnuteux de ce taval : M. Benadou, qu a accepté de pésde le juy, M. R. Touzan et M. F.X. Roux qu ont accepté d ête appoteus ans que M. A. Bossavt, M. J.L. Chenot et M. S. Ppeno pou leus emaques et analyses ctques. Je souhate emece patculèement mon decteu de thèse Fanços BAY pou son encadement, ses consels, sa dsponblté, son souten. Ca a été un éel plas de tavalle avec lu pendant pès de tos ans et dem, dans une ambance agéable et détendue. Je emece la fench connecton : Fanços Bay, Yann Favennec et Yannck Tlle, pou tous ces bons moments patagés los de nos déplacements. Un gand mec également à mes compagnons de bueau, Jean-Luc et Yann, pou leu bonne humeu pesque quotdenne. Mec Yann de ne pas avo fumé dans le bueau. Mec JL pou toutes les plantes que je dos doénavant aose une fos pa mos.. nfn les ams avec lesquels j a patagé tellement de moments supebes et s sympathques: tételle, manue, gnge, sa, d la-ae, tt, mat, juju, gégé, ben, facasse, manu, juan, dodo, mm

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6 A mes paents n Studel von ne geahnte Selgket hat mch egffen (Klest)

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8 Table des matèes Table des matèes Intoducton...7 Chapte : Les pocédés de chauffage pa nducton et leu modélsaton numéque... Pésentaton généale des pocédés de chauffage pa nducton.... Le pncpe du chauffage pa nducton.... Les applcatons ndustelles L équpement tat de l at de la modélsaton numéque...6 tude bblogaphque des modèles électomagnétques...7. quatons généales...8. Fomulaton mathématque tdmensonnelle Fomulaton mathématque bdmensonnelle Décomposton en modes tansveses Les nconnues du poblème Les appoxmatons standads...4 a/ L appoxmaton des égmes quas pemanents (ARQP)...4 b/ L appoxmaton hamonque...7 c/ Concluson su les appoxmatons standads Les modèles électomagnétques standads en syméte axale Intoducton du teme de couant souce Condtons de contnuté aux ntefaces Méthodes numéques utlsées pou le calcul électomagnétque Le poblème contnu Fomulaton vaatonnelle Fomulaton des équatons ntégales...34 a/ Fomulaton ntégale aux fontèes Relaton de Geen...34 b/ Fomulaton de Bot et Savat Dscétsaton spatale Méthode des éléments fns Méthode des éléments fontèes Les méthodes mxtes...40 a/ léments fns / éléments fontèes...40 b/ léments fns / quatons ntégales Condtons aux lmtes Dscusson...43 Chapte : Modélsaton mathématque et numéque des pocédés de chauffage pa nducton en confguaton axsymétque...45 Le modèle mathématque et sa ésoluton numéque...45 Schéma d ntégaton en temps tude des schémas d ntégaton en temps Intalsaton des schémas d ntégaton en temps Influence du schéma d ntégaton en temps su le calcul themque Chox du pas de temps électomagnétque Cas lnéae Cas non lnéae...03

9 Table des matèes 4 Stockage des données et méthode de ésoluton du système matcel Stockage des données Le solveu téatf Le pécondtonnement Le pécondtonneu dagonal Le pécondtonneu SOR (Successve Ove Relaxaton) Le pécondtonneu SSOR (Symmetc Successve Ove Relaxaton) Le pécondtonneu de Cholesky ncomplet tude de la convegence des dfféents pécondtonneus Dscusson Influence du teme de dévée de la peméablté magnétque léments de valdaton supplémentaes Compaason ente les codes du CMF et de LNMS Compaason avec une soluton analytque Applcatons à un cas ndustel de tatement themque d un leve de boîte de vtesse Concluson...5 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton numéque des pocédés de chauffage pa nducton...7 Généaltés su le calcul paallèle...8. Mesue des pefomances d un code paallèle...8. Achtectue des calculateus paallèles...9 a/ Ganulaté...30 b/ L ogansaton de la mémoe...30 c/ Topologe...3 d/ Ogansaton du taval des pocesseus...3 e/ Pefomances d un calculateu paallèle Potablté et langage de pogammaton Optmsaton du code paallèle...34 Méthodes paallèles Dvse pou égne Méthode de décomposton de domane pou un poblème paabolque Les méthodes de décomposton de domane pmales...39 a/ Appoche avec ecouvement des sous-domanes : méthode altenatve de Schwaz...39 b/ Sans ecouvement : Méthode du complément de Schu pmale...43 c/ Dscusson su les méthodes pmales applquées à un poblème paabolque Méthode de décomposton de domane duale : complément de Schu Méthode de pattonnement de domane Dscusson Statége de paallélsaton SPMD...50 Chapte 4: Calcul paallèle pou l optmsaton du pocédé de chauffage pa nducton...79 Concluson généale et pespectves...05 Réféences bblogaphques...09

10 Index des fgues 3 Index des fgues Fgue : Pncpe du chauffage pa nducton... Fgue : Repésentaton de la pofondeu de peau... Fgue 3: xemples d nducteus à une spe... 3 Fgue 4: voluton de la dstbuton de pussance électomagnétque avec la tempéatue au passage de la tempéatue de Cue pou une bllette d ace de damète 0mm et une féquence d almentaton de 300Hz Fgue 5: Repésentatons des modes T (a) et TM (b) pou une syméte axale.... Fgue 6: Pattonnement du domane ntal en un sous-domane lnéae et un nonlnéae Fgue 7: Condtons aux lmtes standads... 4 Fgue 8: Condtons aux lmtes de note modèle Fgue 9: Inducton heatng setup Fgue 0: Typcal magnetzaton cuve B(H) obtaned wth the Fohlch-Kenelly model. B s expessed n Tesla and H n A/m. Coeffcents α and β ae espectvely.5 and Fgue : xample of mesh fo a smulaton wth a col dsplacement: the aea of dsplacement s delmted and meshed... 7 Fgue : Ogansaton of the couplng pocedue... 8 Fgue 3: Statc long nducto case: geomety and mesh (000 nodes) Fgue 5: lectcal conductvty, specfc heat and themal conductvty vesus Tempeatue Fgue 6: Long nducto case: effectve electc feld sovalues Fgue 8 : a) voluton wth espect to tme of the expemental ntensty n the col ; b) voluton wth espect to tme of the numecally computed electcal feld n the pat Fgue 0: Long nducto case: compason between expemental and computed tempeatue evolutons Fgue : Long nducto case: Tempeatue feld at two gven tme steps Fgue 3: Long nducto case: nodal veloctes n the mesh at a gven tme step Fgue 4: Statc shot nducto case: geomety and mesh Fgue 5 : voluton of the electc feld vesus tme fo a non magnetc mateal at thee gven locatons n the col, the pat and n the space n between. The electcal feld s maxmum n the col... 9 Fgue 6: Statc shot nducto case: effectve electc feld sovalues fo two dffeent pemeabltes of the pat at a fequency of 60 Hz. a) µ elatve b) µ elatve Fgue 7: ffectve electcal feld pofles on the adal axs fo 3 dffeent fequences f700hz, 000Hz and 5000Hz. a)the pat s a non magnetc mateal (elatve magnetc pemeablty of the pat equal ), b). The pat s a feomagnetc mateal (elatve magnetc pemeablty of the pat equal 90)... 9 Fgue 8: Statc shot nducto case at 60Hz: magnetc lnes fo µ and µ Fgue 9: Tempeatue at two tme steps at a fequency of 60 Hz fo a non magnetc pat (µ elatve ); a) t5s b)t5s... 93

11 4 Index des fgues Fgue 30: Tempeatue at two tme steps fo a magnetc pat (µ elatve 90); a) ts b)t5s Fgue 3: nodal veloctes n the wokpece due to dlataton effects fo a fequency of 60 Hz; a) non magnetc mateal (µ elatve ), b) non magnetc mateal (µ elatve 90) Fgue 3: Movng nducto case: geomety and ntal mesh Fgue 33: Movng nducto case: tempeatue sovalues at a gven dsplacement step of the nducto Fgue 34: Géométe et mallage Fgue 35: paamètes pocédés Fgue 36: Données physques des dfféents matéaux : σ, la conductvté électque, µ la peméablté magnétque, ρc la chaleu spécfque et k la conductvté themque Fgue 37 : voluton tempoelle du champ électque en un pont de la suface de la pèce Fgue 38: voluton tempoelle du champ électque calculé à pat de deux ntalsatons dfféentes du schéma d ntégaton de Lees Fgue 39: voluton tempoelle du champ électque calculé à pat de deux ntalsatons dfféentes du schéma d ntégaton de Dupont... 0 Fgue 40 : voluton tempoelle de la tempéatue en suface de la pèce pou dfféents schémas d ntégaton en temps... 0 Fgue 4: voluton tempoelle du champ électque en un pont de la suface de la pèce pou dfféents pas de temps électomagnétque, T étant la péode du sgnal électque Fgue 4 : voluton tempoelle du champ électque en dfféents ponts du domane pou une féquence de 500Hz, un pas de temps dtt/8, avec la péode T0.00s Fgue 43 : Modfcaton du pofl électque avec le pas de temps à l ntéeu de la pèce Fgue 44 : Pofls adaux de champ électque calculés à pat de modèles consdéant le teme volumque supplémentae ou non... 3 Fgue 45 : volutons de la tempéatue en suface de la pèce calculées à pat de modèles consdéant le teme volumque supplémentae ou non... 4 Fgue 46 : Vaaton du pofl du champ électque calculé avec le modèle complet pou dfféentes peméabltés magnétques elatves... 5 Fgue 47 : Compaason des pofls du champ électque effectf (code du Cemef) et de la nome du champ électque complexe (code de LNMS). Les pofls sont tacés dans la pèce de ayon 0mm... 6 Fgue 48 : volutons tempoelles de la tempéatue en suface de la pèce, su l axe de syméte et ente les deux. a) soluton analytque tée de l atcle de Wang [55] ; b) soluton numéque... 8 Fgue 49 : cette photo monte la pèce avant tatement themque (pèce de dote) et apès (pèce de gauche)... 9 Fgue 50 : Géométe du leve de boîte de vtesse. Les zones en ouge epésentent les zones subssant un tatement de suface. Les zones de déplacement de l nducteu sont également epésentées Fgue 5: Iso valeus du champ électque effectf pou deux postons de l nducteu... 3 Fgue 5: Iso-valeus des tempéatues au cous du temps Fgue 53: Achtectue à mémoe patagée su un calculateu à quate pocesseus... 30

12 Index des fgues 5 Fgue 54: Achtectue à mémoe dstbuée su un calculateu à quate pocesseus Fgue 55: Achtectue à mémoe héachque su un calculateu à quate pocesseus... 3 Fgue 56: Décomposton du domane Ω en deux sous-domanes avec ecouvement Ω sans ecouvement Fgue 58: Pesentaton of the doman of study Ω and ts boundaes Fgue 59: Flow chat of the nducton heatng code... 6 Fgue 60 : Pattonng method stategy Fgue 6: xemple of dstance value between two elements Fgue 6: Splttng of an ntal mult-mateal mesh of 74 elements n thee submeshes of 40, 36 and 38 elements Fgue 63: The doman pattonng algothm Fgue 64: Geneal fom of the paallel matx-vecto poduct... 7 Fgue 65: geomety and pocess paametes Fgue 66: ffectve electcal feld (V.m-) computatons on 4 pocessos fo a mesh of 804 elements Fgue 67: ffcency of the paallel code wth the paallel dagonal pecondtone wth a mesh of 804 nodes on the 3 b-pocessos cluste Fgue 68: ffcency of the paallel code fo 0 themal teatons on a shot nducto case on a mesh of 9966 nodes on the 3 b-pocessos cluste Fgue 69: ffcency of the paallel code fo 0 themal teatons on a shot nducto case on a mesh of 9966 nodes on the 3 b-pocessos cluste Fgue 70: Computatonal tme vesus the numbe of pocessos fo thee dffeent mesh szes Fgue 7: ffcency vesus the numbe of pocessos fo dffeent mesh szes Fgue 7: Handlng of the electo-themal couplng Fgue 73: Algothm of the dect model Fgue 74: Geneal algothm fo the optmzaton pocedue coupled to the nducton heatng model... 9 Fgue 75: The doman pattonng algothm Fgue 76: Geneal oganzaton of the paallel optmzaton algothm Fgue 77: Geomety of the gas bottle and of the ten nductos Fgue 78: volutons of the cuent denstes and of the cost functon vesus the numbe of teatons Fgue 79: ISO cuves of the effectve electcal feld on a patton nto 8 sub-meshes fom the ntal mesh of sze nodes Fgue 80: ISO cuves of tempeatue feld on a patton nto 8 sub-meshes fom the ntal mesh of sze nodes. The coloed egons ae pats of the gas contane Fgue 8: ffcency of the paallel optmzaton code wth a mesh of 9834 nodes on the 3 b-pocessos cluste... 0 Fgue 8: ffcency of the paallel optmzaton code wth a mesh of 7784 nodes on the 3 b-pocessos cluste... 0 Fgue 83 : voluton of the CPU tme wth espect to the numbe of pocessos fo a mesh of about 0000 and 8000 nodes... 0 Fgue 57: Décomposton du domane Ω en deux sous-domanes { },Ω

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14 Intoducton 7 Intoducton Les objectfs pncpaux de ce taval ont été le développement et la mse au pont d un modèle numéque et sa veson paallèle pou la modélsaton des pocédés de chauffage pa nducton. Ce logcel s nsèe au sen du code éléments fns Foge développé au Cemef pou l nduste de la foge et commecalsé pa la socété Tansvalo. Son ntéêt est mpotant et se stue à deux nveaux : d une pat, l appote une melleue maîtse du chauffage de pèces métallques en amont de leu mse en fome, et d aute pat un moyen de meux compende et de meux contôle, en aval, la fnton de la pèce pa des tatements themques métallugques appopés: l va pemette une smulaton globale d un pocédé de mse en fome. Le chauffage peut ête supefcel (tatement themque) ou dans la masse (mse en fome) avec une echeche sot de champs ou de gadents de tempéatue les plus homogènes possbles, sot d une évoluton donnée de tempéatue dans le temps, cec dans une zone localsée ou dans l ensemble de la pèce. Le pocédé de chauffage pa nducton est couamment utlsé dans l nduste. Ses avantages sont nombeux, ente autes : Montée en tempéatue apde de la pèce, Contôle pécs de la zone de chauffe, Bonne epoductblté. La mse au pont d un pocédé utlse tadtonnellement le savo-fae ndustel, basé su des campagnes d essas expémentaux. Néanmons dès los que l on tate des géométes complexes ou ben que l on dot satsfae des exgences ndustelles pécses en temes de tempéatue fnale ou d évoluton de tempéatue, l devent mpotant de ben connaîte et compende les phénomènes physques entant en jeu. Une ade mpotante dans la compéhenson et dans l améloaton d un pocédé de chauffage pa nducton peut ête appotée pa un outl de smulaton numéque. Dans cette optque, le pojet scentfque euopéen HATMASTR, au sen duquel s est déoulé ce taval de thèse, a été ms en place afn de pemette le développement d un outl complet de smulaton

15 8 Intoducton electo-themomécanque. Ce pojet a mplqué le Cemef, le laboatoe Lnms de l unvesté de Ljubljana, le cente de echeche anglas A-Technology, Tansvalo ans qu un fogeon anglas:uf Chestefeld Cylndes, un goupe ndustel talen SIAP-TQT et une PM danose BL-Masknfabk. Ce pojet a compoté quate gands axes de echeche : Modélsaton decte des pocédés de chauffage pa nducton afn de epodue le plus fablement possble les champs électques et themomécanques à pat de paamètes pocédés donnés, Identfcaton des paamètes physques pa analyse nvese : une modélsaton éalste nécesste en entée des paamètes physques de bonnes qualtés. Des mesues fnes de caactésaton physque ont été éalsées en Angletee chez A-Technology. Néanmons, cetans paamètes comme la peméablté magnétque sont dffcles à mesue, notamment pou des tempéatues élevées. Ans une pocédue d dentfcaton des paamètes physques pa analyse nvese à été développée conjontement au Cemef et au Lnms, Optmsaton automatque des pocédés : un algothme d optmsaton automatque des pocédés de chauffage pa nducton a été étudé et mplémenté au Cemef. Il utlse une méthodologe de type contôle optmal couplé à un algothme de type gadent conjugué, Calcul paallèle : le modèle dect et l algothme d optmsaton ont été paallélsés afn de édue les temps de smulaton ou pemette des calculs su des mallages de gandes talles. Les développements ont été effectués au Cemef. Les patenaes ndustels ont appoté leus expéences dans le domane afn de mette au pont un modèle numéque adapté, qu éponde effcacement aux besons des utlsateus. Nous effectuons, en peme leu, une analyse bblogaphque des dfféents modèles mathématques exstants pou modélse les phénomènes électomagnétques avec les dfféentes appoxmatons, plus ou mons fotes, couamment utlsées. Le domane d étude de ces phénomènes électomagnétques étant pa natue non boné, nous avons étudé les méthodes numéques employées et posé les chox statégques en vue d obten un modèle pefomant. Nous décvons dans le deuxème chapte les modèles mathématques électomagnétques, themques et mécanques que nous utlsons ans que leus couplages. Des éléments de valdaton du modèle sont pésentés.

16 Intoducton 9 Le tosème chapte déct la statége employée pou paallélse le modèle dect. Il débute pa une étude bblogaphque des dfféentes méthodes exstantes. La méthode de pattonnement de mallage ans que la méthode paallèle et son mplémentaton sont déctes. Des mesues de pefomance en temes de temps de temps de calcul sont pésentées. nfn la quatème et denèe pate tate de la méthode de paallélsaton de l algothme d optmsaton, pésenté bèvement. Un cas d optmsaton des denstés de couants pou des nducteus fxes est pésenté afn de sev de base à des mesues de pefomances en temes d effcacté et d accéléatons pa appot à la veson séquentelle. Au cous de cette thèse, tos atcles ont été édgés. Ils sont actuellement en cous d évaluaton pa les comtés de lectue. Nous avons nséé ces communcatons dans ce manusct dans l état où elles étaent los de l envo. Ans cetanes pates sont édgées en langue anglase. Nous nous sommes effocés d nsée hamoneusement les publcatons dans le manusct.

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18 Chapte : tude bblogaphque Chapte Les pocédés de chauffage pa nducton et leu modélsaton numéque Pésentaton généale des pocédés de chauffage pa nducton. Le pncpe du chauffage pa nducton Le chauffage pa nducton est une applcaton decte de deux los physques, la lo de Lenz et l'effet Joule. Tout matéau conducteu de l'électcté plongé dans un champ magnétque vaable (céé pa une bobne nductce ou nducteu) est le sège de couants électques nduts ou couant de Foucault. Ces couants dsspent de la chaleu pa effet Joule dans le matéau où ls ont ps nassance. n effet, un mleu conducteu, en l occuence un nducteu, pacouu pa un couant contnu ou altenatf, génèe un champ électomagnétque dans l espace envonnant. Ce champ électomagnétque pénète dans la pèce à pat de la suface su une pofondeu plus ou mons mpotante suvant la féquence du champ électomagnétque et les popétés du matéau consdéé. S mantenant un couant altenatf almente note nducteu, le champ électomagnétque va osclle exactement ou sensblement à la même féquence que le couant mposé suvant que le matéau consttutf de la pèce est magnétque, amagnétque ou damagnétque. Ces oscllatons apdes du champ électomagnétque ndusent des couants de Foucault dans la pèce. La decton et le sens de déplacement des couants obéssent à la lo de Lenz qu stpule que «les couants nduts s opposent à la cause qu leu a donné nassance». Ans les couants nduts dans la pèce vont ccule dans la même decton mas dans le sens opposé au couant mposé dans l nducteu. La égon pacouue pa les couants est une zone de dsspaton de chaleu pa effet Joule. nfn la chaleu se popage ves le cente de la pèce pa dffuson themque, Fgue.

19 Chapte : tude bblogaphque Fgue : Pncpe du chauffage pa nducton La zone de poducton de la chaleu est concentée dans une fne couche sous la suface de la pèce. n effet, la densté des couants nduts décoît de manèe exponentelle ves le cente de la pèce avec la dstance à la suface : c est l effet de peau. La pofondeu de pénétaton δ est défne de manèe usuelle comme la pofondeu où le champ magnétque dmnue de fos sa valeu en suface, Fgue. La fomule théoque () pemet de connaîte l ode de gandeu de l épasseu de peau. e δ, () π f σ µ où f est la féquence du couant mposé dans l nducteu, σ la conductvté électque de la pèce consdéée et µ sa peméablté magnétque. J (en A.m - ) 0 Densté de couant en suface passeu de peau Densté de couant Suface de la pèce Dstance à la suface Fgue : Repésentaton de la pofondeu de peau

20 Chapte : tude bblogaphque 3 Afn de tansmette la plus gande pate de l'énege à la pèce à tate, pluseus paamètes sont à pende en consdéaton: - la dsposton elatve des nducteus et de la pèce (couplage, longueus espectves), - la féquence d'almentaton et l'effet de peau qu caactésent la épatton des couants nduts dans la pèce : plus la féquence augmente, plus les couants nduts se concentent en suface Cette noton fondamentale est détemnée pa la pofondeu de pénétaton encoe appelée épasseu de peau. Typquement, les nducteus sont almentés pa des couants altenatfs de féquence vaant de quelques dzanes de Hetz à pluseus centanes de mlles de Hetz, - les popétés magnétques (peméablté elatve), électques (ésstvté) et themques (conductblté) des pèces à chauffe, vaant pou la plupat avec la tempéatue, - le type d'nducteu (géométe, natue du conducteu, technologe). Les géométes d nducteus peuvent ête tès vaées, allant de la smple spe à des nducteus mult-spes de fomes complexes, Fgue 3. Fgue 3 : xemples d nducteus à une spe

21 4 Chapte : tude bblogaphque. Les applcatons ndustelles Le pocédé de chauffage pa nducton est de plus en plus utlsé et cec de manèe cossante dans les mleux ndustels pou la péchauffe de pèces avant mse en fome à chaud (fogeage, matçage, lamnage, basage), pou les tatements themques (tempe) ou encoe pou des opéatons de soudue ente pèces métallques. Les tatements de suface ecouvent des opéatons tès dveses : - dégassage, décapage, séchage, - galvansaton et étamage, - cusson de vens et pentues, plastfcaton. Dans le cas de l'utlsaton du chauffage pa nducton, le tansfet themque du evêtement s'opèe du suppot ves l'extéeu, ce qu est favoable aux opéatons de séchage et de cusson (évacuaton des solvants et vapeus). Ce mode de chauffage pemet donc d'obten : - une melleue adhéence, - un melleu aspect de suface, - une bonne epoductblté, ctèe mpotant pou le séchage des pentues coloées, - une gande souplesse d'utlsaton pa le chox des tempéatues de tatement, - enfn, une lgne de poducton plus compacte et susceptble de fonctonne de façon dscontnue, en l'absence de toute nete themque. Les applcatons dans ce domane sont tès vastes. Pa exemple, on peut cte : - la polymésaton de vens ntéeu su tubes aéosols, - la cusson de jonts d'étanchété, - la polymésaton de vens su fls et méplats de cuve, - le evêtement, - la lgne de galvansaton, - le ecut. Un aute type d applcaton qu tend à se développe écemment au sen des ndustes veèes, chmques, céamques, envonnementales et chez les éfactostes est la fuson de vee et d oxydes pa nducton en autoceuset. n effet, la ésstvté électque des oxydes ( à 0 Ω.cm à 500 C) due à une conducton onque est compatble avec la fuson pa

22 Chapte : tude bblogaphque 5 nducton. Leu fable conducton themque aux basses tempéatues et une ésstvté décossante avec la tempéatue pemet d utlse la technque de l nducton decte en autoceuset avec une pofondeu de peau égale au ayon de la chage. Cet autoceuset consttué du même matéau solde que l on cheche à fonde, se fome gâce au efodssement optmal de l nducteu (mono-spe) et pemet d attende des tempéatues supéeues à 500 C sans contact du ban avec l nducteu (pas de polluton du podut). Les applcatons sont les suvantes : - Fuson de cstal, - Fuson de vees spécaux ou technques, - Fuson d oxydes éfactaes, - laboaton de phosphates, - Vtfcaton de déchets. Quelle que sot la natue des applcatons ndustelles, le chauffage pa nducton pésente un cetan nombe d'avantages ntnsèques qu explquent son développement cossant : - apdté de chauffage lée à la possblté d'obten des denstés de pussance tès élevées, - localsaton pécse de l'effet themque gâce à une concepton d'nducteu et une féquence de fonctonnement adaptée à la pèce à chauffe, - possblté de chauffe à des tempéatues tès élevées avec un endement patquement ndépendant de la tempéatue. Ce pocédé épondant pafatement aux exgences ndustelles de la moyenne et gande sée : - faclté d'automatsaton des équpements, - absence d'nete themque (démaage apde), - bonne epoductblté des opéatons effectuées, - endement de chauffage souvent tès élevé, - absence de polluton pa la souce de chaleu (souce fode), - bonnes condtons de taval.

23 6 Chapte : tude bblogaphque.3 L équpement Un équpement de chauffage pa nducton compend généalement: - un ou pluseus nducteus de chauffage, - une souce à basse ou moyenne féquence assocant un convetsseu de féquence (généateu ou onduleu) à un coffet d'adaptaton d'mpédance et de compensaton pa battee de condensateus, - un système de efodssement pa eau de la souce de pussance, du coffet d'adaptaton et éventuellement de l'nducteu, - un système de pésentaton ou de manutenton des pèces à chauffe, - un ensemble de commande-contôle de l'nstallaton..4 tat de l at de la modélsaton numéque Les phénomènes physques égssant le pocédé de chauffage pa nducton sont ben connus. Les chauffagstes utlsant ce pocédé s appochent du ésultat escompté de manèe empque, en utlsant leu expéence et le passage oblgatoe pa de nombeux essas éels. Néanmons, cette méthode d opée est coûteuse en temps, en moyens humans et matéels. Souvent les essas nécesstent même l aêt de la chaîne de poducton et engendent donc des petes mpotantes pou l entepse. D aute pat, même s les bases physques du pocédé sont elatvement connues, l est dffcle de détemne leus effets pou des géométes de pèces ou d nducteus complexes. La modélsaton du pocédé est un outl ndspensable aujoud hu pou attende des objectfs pécs en temes de épattons de tempéatue et de couants, tant spatales que tempoelles. lle appote également une bonne compéhenson des phénomènes physques et donc leu maîtse, le but étant de détemne la féquence, la pussance électque ou la géométe de l nducteu optmales pou avo la melleue montée en tempéatue de la pèce possble (pa appot à un objectf ndustel donné). La modélsaton de ces pocédés de chauffage et de tatements de suface est complexe à mette en œuve, de pa la natue mult-physque du pocédé. Il s agt de couple les

24 Chapte : tude bblogaphque 7 phénomènes électomagnétques, la dffuson de la chaleu, ans que le compotement mécanque du matéau chauffé ou taté. Les études potées su le sujet d un pont de vue numéque sont nombeuses. Des logcels commecaux de smulaton du pocédé exstent. Flux D, commecalsé pa Cedat utlse une méthode éléments fns pou l analyse des phénomènes themques et électomagnétques. Calcomag commecalsé pa Calcom s appue su des méthodes mxtes éléments fnséléments fontèes avec une ésoluton themque su la pèce unquement. Le goupe DF a également développé un logcel de calcul électomagnétque Tfou, basé su également su un couplage éléments fns / méthodes ntégales. FMLAB popose un ensemble de solveus d'équatons aux dévées patelles pa une méthode éléments fns, pouvant smule les aspects électomagnétques et themques et leu couplage. nfn le code Defom développé pa Scentfc Fomng Technologes Copoaton popose un module de calcul en chauffage pa nducton couplé à une analyse mcostuctuale pou la modélsaton de tatements de suface. tude bblogaphque des modèles électomagnétques La modélsaton numéque des pocédés de chauffage pa nducton nécesste au mnmum un couplage mult-physque ente un solveu électomagnétque et themque. Pa alleus un couplage supplémentae themo-mécanque pemet de smule la défomaton de la pèce pa dlataton themque. L établssement du modèle électomagnétque peut souleve quelques questons comme le chox des nconnues du poblème ou le chox des appoxmatons plus ou mons fotes qu peuvent ête utlsées, ans que leu domane de valdté. Le chox d un modèle électomagnétque pou la modélsaton des couants de Foucault est tès mpotant. Ce chox va condtonne la flexblté du code (possblté de tate des matéaux feomagnétques non lnéaes), sa fablté et l mpotance des calculs (pécson des ésultats). Nous allons passe en evue les dfféentes appoxmatons qu peuvent ête fates, ans que les modes de ésoluton et le chox des nconnues.

25 8 Chapte : tude bblogaphque. quatons généales Les équatons de Maxwell pemettent de déce tous phénomènes électomagnétques. lles sont au nombe de quate et sont applcables sans aucune estcton à tous les mleux matéels : Équaton du flux magnétque: B 0, () Équaton de Maxwell-Gauss: ε ) ρ ( ρ + ρ ) (, (3) total lé lbe Équaton de Maxwell-Faaday: B, (4) t Équaton de Maxwell-Ampee: H J (ε ) +, (5) t où B est l nducton magnétque, est le champ électque, H est le champ magnétque, J est la densté de couant électque assocée aux chages lbes et ρ total est la densté de chage totale egoupant les chages lées et les chages lbes. Les paamètes physques sont µ, la peméablté magnétque, et ε, la pemttvté du mleu au pont consdéé. n patcule pou les métaux, les chages lbes sont les électons de conducton et les chages lées sont epésentées pa les catons du éseau cstalln. n égme pemanent ou dans tout le domane des féquences hetzennes, on estme qu l n y a pas d excédent local de chage et donc la densté totale de chage est consdéée comme étant nulle. On peut alos ééce l équaton de Maxwell-Gauss (3) : ( ε ) 0. (6) Pou des mleux sotopes, l exctaton magnétque H est elé à l nducton magnétque B pa la elaton consttutve: B µ H. (7) Il est couant de décompose la peméablté magnétque pa :

26 Chapte : tude bblogaphque 9 µ µ µ 0, (8) où µ est sans dmenson et epésente la peméablté magnétque elatve. Pou des mleux paamagnétques et damagnétques, µ est une constante tès poche. n evanche, pou des mleux feomagnétques, la elaton lant les champs B et H n est plus lnéae : la peméablté magnétque elatve µ est foncton de la nome de H et de la tempéatue T : B 0 µ ( H, T) µ H. (9) La dépendance de la peméablté magnétque pou un feomagnétque pa appot à la tempéatue est mpotante, notamment los de la tanston de Cue : le matéau devent amagnétque avec une peméablté elatve constante et poche de un. Les pofls électomagnétques dans la pèce vont ête consdéablement modfés, vo la Fgue 4. Fgue 4 : voluton de la dstbuton de pussance électomagnétque avec la tempéatue au passage de la tempéatue de Cue pou une bllette d ace de damète 0mm et une féquence d almentaton de 300Hz. S on applque un champ électomagnétque de féquence fxée aux fontèes d un matéau paamagnétque ou damagnétque, donc lnéae, la éponse du mleu sea lnéae et les champs électomagnétques ntenes au matéau osclleont à la même féquence ben que pouvant ête déphasés. n evanche, pou des matéaux feomagnétques, des hamonques secondaes de féquence nouvelles sont généés défomant la fome de l onde

27 0 Chapte : tude bblogaphque électomagnétque : ces matéaux sont non lnéaes. Cette non-lnéaté se tadut mathématquement pa une dépendance de la peméablté magnétque pa appot à H. La denèe équaton nécessae est la lo d Ohm : J σ, (0) où σ est la conductvté électque dépendante de la tempéatue. Fnalement le système d équatons ntales s éct: équaton du flux magnétque B 0, () équaton de Maxwell-Gauss ( ε ) 0, () équaton de Maxwell-Faaday B, (3) t équaton de Maxwell-Ampee H J + ε, (4) t elaton ntnsèque au matéau B µ H, (5) lo d Ohm J σ. (6). Fomulaton mathématque tdmensonnelle La pocédue standad consste à emplace le système d équatons dfféentelles du peme ode ()-(6) pa une équaton dfféentelle du second ode de type équaton de popagaton des ondes. Pa élmnaton de l nducton magnétque B dans l équaton de Maxwell-Faaday (3) à l ade des équatons (4) à (6) et en supposant le matéau sotope, on obtent l équaton vectoelle suvante pou le champ électque :

28 Chapte : tude bblogaphque ε + σ + ( ) 0. (7) t t µ De la même manèe, on déct le champ magnétque H pa une équaton de popagaton des ondes : e t H + s H t + ( µ H ) 0. (8) Ans nous avons une équaton vectoelle à ésoude d nconnues les vecteus électques ou magnétques H à laquelle l faut ajoute les condtons de dvegence nulle ( ε ) 0 ou B 0..3 Fomulaton mathématque bdmensonnelle.3. Décomposton en modes tansveses Dans une confguaton bdmensonnelle, les équatons de Maxwell se décompose en deux sous-ensembles ndépendants d équatons avec des solutons ndépendantes. Le mode T (pou tansvese electc mode) qu consste à touve un champ H soluton, pependculae au plan pou lequel le champ électque est tansvesal, Fgue 5. Invesement, le mode TM (pou tansvese magnetc mode) consste à touve un champ soluton tel qu l sot pependculae au plan pou lequel le champ magnétque H est tansvesal. H θθ ˆ θ θˆ ˆ + z zˆ H H ˆ + H z zˆ (a) (b) Fgue 5 :Repésentatons des modes T (a) et TM (b) pou une syméte axale.

29 Chapte : tude bblogaphque Décomposton en modes T et TM pou un poblème axsymétque Dans un système de coodonnées cylndques [,θ, z], de pat la syméte axale, les champs électques et magnétques ne dépendent pas de la coodonnée angulae θ : z z z z z ˆ ), ( ˆ ), ( ˆ ), ( + + θ θ, (9) z z H z H z H H z ˆ ), ( ˆ ), ( )ˆ, ( + + θ θ. (0) S on emplace les champs et H pa leus expessons (9) et (0) dans les équatons de Maxwell (), () qu epésentent les équatons (3) et (4) modfées à l ade des elatons (5) et (6), t H µ, () t H + ε σ, () on obtent : t H z µ θ, (3) t H z z θ µ, (4) t H z µ θ ) (, (5) t z H ε σ θ, (6)

30 Chapte : tude bblogaphque 3 H z H z θ ω θ + ε, (7) t ( H θ ) σ z + ε t z. (8) Les équatons (3), (5) et (7) sont découplées des équatons (4), (6) et (8). D aute pat, l n est pas nécessae d ntodue les condtons de dvegences nulles ca elles sont déjà pses en compte ndépendamment. Ans les champs [, H, H θ z θ z ] sont ndépendants des champs [ H,, ] dans une confguaton bdmensonnelle. Les systèmes d équatons peuvent donc ête ésolus ndépendamment et leus solutons ajoutées. L ensemble de solutons [, H, H z ] chauffage pa nducton avec une syméte axale. Les champs [ H,, ] θ consttue le mode TM, epésentatf et adapté à un poblème de θ z epésentent le mode T et sont adaptés à la descpton d un poblème de conducton électque ou chauffage pa effet Joule, [3]..3. Les nconnues du poblème Pou une confguaton bdmensonnelle à syméte axale, l est natuel de déce le pocédé de chauffage pa nducton avec le champ électque θ en élmnant les champs H, H dans les équatons (3), (5) et (7). Fnalement, l équaton décvant le champ électomagnétque peut ête édute à une équaton scalae pou le champ (, z) (0, (, z),0) : θ z e t + s t + ( µ ) 0. (9) Néanmons une fomulaton en champ électque se enconte aement dans la lttéatue. La ason pncpale, ms à pat des asons hstoques, povent cetanement du fat que le teme souce, pa exemple un champ mposé ou une densté de couant souce, n appaaît pas explctement dans l équaton (9). Le teme souce dot ête ntodut manuellement en décomposant le champ électque en une contbuton pa couant ndut et une contbuton pa couant souce mposé, ce qu pemet d ntodue un teme supplémentae. Un aute moyen de fae consste smplement à mpose des condtons aux lmtes spécfques su la suface de la pèce ou de l nducteu.

31 4 Chapte : tude bblogaphque Plus communément dans la lttéatue, on enconte plutôt le potentel magnétque A 0, A,0) ca dans ce cas le teme souce est ntodut de manèe natuelle comme nous ( θ allons le vo au paagaphe.5. : A A ε + σ + ( A) σ V J t s. (30) t µ Dans une confguaton plane avec une syméte de tanslaton, le mode T est meux adapté pou déce les phénomènes électomagnétques et dans ce cas l nconnue du poblème est édute à la composante othogonale du champ magnétque H ( 0,0, H ( x, y) ). z D aute pat, de pa sa complexté, l équaton (9) ou (30) n est jamas gadée telle quelle dans la lttéatue. Les appoxmatons utlsées sont déctes dans la secton suvante..3.3 Les appoxmatons standads a/ L appoxmaton des égmes quas pemanents (ARQP) Une appoxmaton standad et couamment utlsée est de néglge les couants de déplacement (3) dans l équaton de Maxwell-Ampèe [9], [48], [55]. Cette appoxmaton des los généales de l électomagnétsme est valde pou des dstbutons ne vaant pas top apdement dans le temps. J D ε (3) t Domane de valdté de l ARQP Nous allons ntodue les potentels électques et magnétques obtenus à pat des équatons de Maxwell () et (3) : - un champ vectoel A(, t) appelé potentel vecteu magnétque B A, (3)

32 Chapte : tude bblogaphque 5 - un potentel scalae électque V tel que A V. (33) t Pou plus de détal, vo les manuels de base su l électomagnétsme (pa exemple [3]). n emplaçant dans les équatons (3) et (5) les champs et B pa leus expessons (3) et (33) et en utlsant la jauge de Loenz : V v. A + 0, (34) c t où c est la vtesse des ondes dans le vde, on ave aux équatons de Posson : A v A + µ 0 j 0, (35) c t V ρ V + 0, (36) c t ε 0 dont une soluton physquement acceptable pou une dstbuton de dmenson fne est la soluton des potentels etadés : V(M,t)?(t ) c dv 4pe, (37) 0 A(M,t) µ 4p j(t c ) 0 d v. (38) De même, dans le cade de l ARQP, on obtent de la même manèe avec les équatons édutes les solutons : V ( M, t) 4πε 0 ρ( t) ds, (39)

33 6 Chapte : tude bblogaphque A( M, t) µ 0 4π j( t) ds. (40) n compaant, les deux ensembles de solutons (37), (38) et (39), (40), on s apeçot que l ARQP event notamment à néglge les etads t /c qu fguent dans les expessons des potentels etadés (37), (38). Ans l ARQP este valde tant que le etad t /c este pett devant le temps de popagaton, sot devant la longueu d onde T de l onde. Cec event à de que la dstance ente la dstbuton souce et le pont M où est calculé le champ dot este pett devant la longueu d onde λ ct de l onde électomagnétque de péode T : << λ. Les féquences utlsées pou les applcatons ndustelles du pocédé de chauffage pa nducton étant en généal nféeues au mégahetz, on ave à des talles d nstallaton ndustelles devant ête nféeue à 300m ce qu justfe pafatement l emplo de l ARQP pou des nstallatons de talle usuelle. Fnalement sous cette hypothèse lagement épandue, on ave au système d équatons de Maxwell smplfé, encoe appelé équatons de Maxwell à basses féquences, pont de dépat de la majoté des modèles numéques ms en place pou modélse les pocédés de chauffage pa nducton : équaton du flux magnétque B 0, (4) équaton de Maxwell-Gauss ( ε ) 0, (4) équaton de Maxwell-Faaday équaton de Maxwell-Ampee elaton ntnsèque au matéau lo d Ohm B, (43) t H J lbe, (44) B µ H, (45) J σ. (46)

34 Chapte : tude bblogaphque 7 Pa élmnaton successve des champs magnétques dans les équatons (43)-(46), on ave à l équaton smplfée pou le champ électque (48), dentque à l équaton complète (9) mas sans le teme de popagaton (47): θ ε. (47) t s t + ( µ ) 0 (48) Cette appoxmaton mène à une équaton de type paabolque alos que pécédemment nous avons une équaton de type hypebolque. b/l appoxmaton hamonque Une seconde appoxmaton, l appoxmaton hamonque, est communément employée dans la lttéatue. lle est basée su le fat que pou un matéau non magnétque, pa exemple un allage non feque, soums à un champ électomagnétque extéeu oscllant snusoïdalement, les champs électomagnétques généés dans la pèce vont également osclle de manèe snusoïdale. S on applque l appoxmaton hamonque au chauffage pa nducton, cela suppose que l nducteu est pacouu pa un couant souce snusoïdal. Tous les champs, électques et magnétques décvant les couants souces et nduts, oscllent à la même féquence. n evanche, ls peuvent ête déphasés. Ans s un couant péodque snusoïdal de féquence f et de pulsaton ω π f est applqué aux bones de l nducteu : I ω t I 0 e, l appoxmaton hamonque pemet de découple les dépendances spatales et tempoelles. Les champs électomagnétques peuvent s éce :

35 8 Chapte : tude bblogaphque où B ~ ~, H, ~, t ( B ~ ω ( ) e ) B(, t) Re, (49) ~ ω t ( H( ) e ) H(, t) Re, (50) t ( ~ ω ( ) e ) (, t) Re, (5) t ( A ~ ω ( ) e ) A(, t) Re, (5) ~ A epésentent les champs électomagnétques complexes et Re(.) la pate éelle. De cette manèe, le poblème est édut à une équaton statonnae. Les modules des champs complexes calculés epésentent les ampltudes effcaces des champs snusoïdaux éelles et la phase des champs complexes donne la dfféence de phase avec le sgnal péodque souce mposé aux bones de l nducteu. Cette appoxmaton devent nadaptée s: - la souce de couant applquée aux bones de l nducteu n est plus de fome snusoïdale ca dans ce cas les champs électomagnétques eux-mêmes sont de natue dfféente, - le matéau employé a un compotement magnétque non lnéae ca dans ce cas, une souce de couant, même snusoïdale, donne nassance à des champs électomagnétques non snusoïdaux. Néanmons, malgé ces lmtatons mpotantes, la gande majoté des auteus ont utlsé cette appoche et ont favosé, pa une appoche statonnae, la éducton des temps de calcul. c/ Concluson su les appoxmatons standads La quas-totalté des modèles mathématques utlsés pou modélse le chauffage pa nducton néglgent les couants de déplacement, appoxmaton asonnable dans le domane de féquence employé typquement su les nstallatons ndustelles. Une lage majoté des auteus a également chos d applque en plus l appoxmaton hamonque malgé le fat qu elle sot mal adaptée aux matéaux feomagnétques. n effet pou ces matéaux, les hamonques secondaes des champs électomagnétques, de féquences dfféentes, ne sont

36 Chapte : tude bblogaphque 9 pas calculées et donc n appaaîtont pas au nveau du calcul de la pussance Joule njectée dans le calcul themque. Ben sû, pou des matéaux non magnétques et une souce snusoïdale, cette appoche est de lon la melleue ca elle amène des éductons sgnfcatves en teme de temps de calcul..4 Les modèles électomagnétques standads en syméte axale Les dfféentes équatons que l on peut touve dans la lttéatue pou déce le champ électomagnétque au cous d un pocédé de chauffage pa nducton axsymétque ont été épetoées. Tous les modèles sont fondés su le calcul du potentel vecteu magnétque édut dans ce cas à une composante scalae pependculae au domane d étude : A ( 0, A (, z),0). n emplaçant B pa son expesson B ota dans l équaton (44) et en θ utlsant la lo d Ohm (46) on obtent : ( A) J σ. (53) µ La densté de couant J epésente la contbuton des couants souces, auss ben que la contbuton des couants nduts. Il est mpotant de note que des couants sont nduts auss ben dans la pèce que dans l nducteu. Il sufft alos de emplace pa son expesson en teme de potentel (33) pou obten l équaton vectoelle : A σ + ( A) σ V J t µ s, (54) où J S σ V epésente la densté de couant mposée dans l nducteu. n coodonnées cylndques, l équaton (54) devent : σ A t θ µ A z z µ θ ( A ) θ J s. (55) Au leu de développe l équaton (54) en coodonnées cylndques, de nombeux auteus [7], [34], [4], [48], [55] utlsent la fomule vectoelle : ( A) ( A) ( A). (56) µ µ µ

37 30 Chapte : tude bblogaphque Assocée à la condton de jauge de Coulomb A 0, (54) devent une équaton de type dffuson : A σ ( A) J t µ s. (57) S on ééct l équaton (57) en coodonnées cylndques et que l on compae avec l équaton (55), on touve qu l manque deux temes dans l équaton (57) : A θ µ, (58) Aθ µ. (59) Le teme (59) peut ête sgnfcatf pou des matéaux feomagnétques sous la tempéatue de Cue ou en pésence de gadents de tempéatue locaux. Cependant ce teme est toujous néglgé dans les modèles mathématques pouvant ête touvé dans la lttéatue. De même, peu d auteus pennent en compte le teme supplémentae (58), [36]. Il seat ntéessant d évalue l mpotance de ce teme dans le calcul du potentel magnétque. L appoxmaton hamonque L nducteu est pacouue pa un couant snusoïdal de pulsaton ω. La fomulaton hamonque consste à emplace le potentel magnétque pa son expesson complexe (5) dans l équaton électomagnétque (57). La dévée en temps du potentel magnétque est emplacée pa le podut du potentel pa j ω. On obtent les équatons statonnaes suvantes où le teme supplémentae (58) est pésent ou non suvant les auteus [36] : jsω A ( A) J, (60) µ S A j σω A ( A) + J s. (6) µ µ Une équaton smlae peut ête développée pou le champ électque édut à sa composante othoadale scalae.

38 Chapte : tude bblogaphque 3.5 Intoducton du teme de couant souce Il exste tos égons dstnctes à pende en compte en teme de modélsaton : la pèce à chauffe, le ou les nducteu(s) et l a envonnant. S on consdèe un nducteu, l équaton électomagnétque possède un teme supplémentae povenant du couant mposé aux bones de l nducteu. Dans ce cas, la densté de couant qu le pacout content une contbuton due aux couants mposés et une contbuton due aux couants nduts : J J eˆ + J ˆ, (6) souce θ ndut e θ où la densté souce J potentel électque V : souce J eˆ est défne de manèe généale comme le gadent du souce θ J souce ê θ σ V. (63) tant donné que le potentel électque local n est pas connu, l est péféable de se amene à la tenson totale aux bones de l nducteu. n syméte axale, l vent : J souce ê σ V σ θ V π ê θ, (64) où V est la tenson totale mposée aux bones de l nducteu. La densté ndute J ndute J ˆ coespond à la vaaton du potentel magnétque : ndute e θ J ndut Aθ σ. (65) t.6 Condtons de contnuté aux ntefaces n l absence de couants de suface, la composante nomale de l nducton magnétque B, ans que la composante tangentelle du champ magnétque H dovent ête contnues [3] : B. n B. n, (66) ( H H ). t j suface n 0, (67)

39 3 Chapte : tude bblogaphque qu se ééct : [ n] 0 H, (68) où la notaton [ f ] désgne le saut de la foncton f à l nteface, n + n e nze z et t epésentent espectvement la nomale et la tangente à l nteface. S on applque ces condtons de passage au potentel vecteu, l vent : [ A] 0 Aθ µ n Aθ µ n (69) 3 Méthodes numéques utlsées pou le calcul électomagnétque Dfféentes appoches numéques utlsées pou ésoude le poblème magnétque peuvent ête encontées dans la lttéatue et ont été utlsées avec plus ou mons de succès. lles possèdent toutes des avantages et des nconvénents dstncts. n effet, l faut pouvo smule un espace nfn, en l occuence l a envonnant une nstallaton ndustelle (dans l hypothèse qu elle ne sot pas enfemée) avec la condton que le champ électomagnétque s annule à l nfn. Dfféentes appoches numéques exstent. Cetanes vont ben pende en compte un domane ouvet, d autes vont ête meux adaptées pou tate des matéaux non lnéaes. 3. Le poblème contnu Les méthodes numéques les plus utlsées peuvent ête dvsées en deux goupes pncpaux suvants qu elles sont basées : - su une fomulaton vaatonnelle, - su une fomulaton ntégale.

40 Chapte : tude bblogaphque Fomulaton vaatonnelle Deux pocédues dstnctes pemettent d obten une fomulaton fable pou le poblème électomagnétque. La pemèe utlse la méthode des ésdus pondéés, la deuxème est basée su la mnmsaton d une foncton vaatonnelle. Nous allons monte l applcaton de la fomulaton fable su l équaton dépendante du temps (6) qu compend le teme supplémentae (58). Les autes appoxmatons, hamonques ou sans le teme (58) en sont unquement des cas patcules. Sot l équaton généale: S J A A t A + µ µ σ θ θ θ, (70) où le Laplacen s éct en coodonnés cylndques: ) ( θ µ A ) ( ) ( θ θ µ µ A z z A +. On défnt l espace V pa : Ω Ω 0 v ), ( L v ), ( H v V θ. La fomulaton fable de l équaton (70) s éct, V w : v v v v d w J w d A d A w w d t A S Ω Ω Ω Ω + µ µ σ θ θ θ, (7) où l élément de volume dv s éct dvπddz. n ntégant pa pate le second teme de l équaton (7) su le domane Ω, nous obtenons la fomulaton fable du poblème électomagnétque [34], [55]: G 0 O ds µ dv dv dv w n A w J A w. µ ) w µ A t A (s? S O? O??, (7)

41 34 Chapte : tude bblogaphque où Γ est la fontèe du domane femé Ω, µ 0 est la peméablté magnétque su la fontèe extéeue Γ, sot celle de l a. Le dene teme dans le second membe dspaaît s des condtons aux lmtes de Neumann nulles ou de Dchlet sont applquées. Il est ntéessant de monte que dans le cade de l appoxmaton hamonque, la fonctonnelle I à mnmse est complexe : I A * θ * * * Aθ Aθ ( Aθ + ) ds ( J s A + J s A ) ds ( A + A ) ds θ θ θ θ. (73) µ µ n n Ω Ω 0 Γ Cette fonctonnelle dot ête mnmsée elatvement au complexe conjugué l équaton égssant le potentel vecteu magnétque, [38]. * A θ pou obten 3.. Fomulaton des équatons ntégales Une aute altenatve à l appoche vaatonnelle consste à fomule le poblème électomagnétque en temes d ntégales su des sous-domanes femés du domane d étude ou ben su les fontèes de ces sous-domanes. Il exste pncpalement deux méthodes ntégales pou note poblème électomagnétque. La plus épandue dans la lttéatue s appue su l applcaton de la seconde elaton de Geen et condut à une fomulaton ntégales su les contous fontèes, [3], [4]. La deuxème méthode consste à calcule le champ magnétque à l ade de la lo ntégale de Bot et Savat. a/ Fomulaton ntégale aux fontèes Relaton de Geen Un poblème électomagnétque où les phénomènes physques peuvent ête décts pa un potentel scalae φ sont généalement gouvenés pa une équaton de type Laplace (74) ou pa une équaton de type Helmholtz (75) : φ Ts, (74) f + ß f Ts, (75) où Ts epésente le teme souce mposé. Pou la modélsaton des pocédés de chauffage pa nducton, l équaton de Laplace gouvene généalement le compotement du potentel φ dans l a alos que l équaton de Helmholtz déct le compotement du potentel φ avec une

42 Chapte : tude bblogaphque 35 dépendance en temps hamonque dans des matéaux lnéaes avec une conductvté électque σ (T ) et une peméablté magnétque µ (T ) constantes ou dépendantes de la tempéatue. Une fomulaton ntégale aux fontèes est obtenue en ntodusant le noyau de Geen et en utlsant le théoème de Geen. L équaton de Helmholtz dans le cade de l appoxmaton hamonque pou le potentel magnétque et pou un matéau lnéae s éct : A (a + )A µj,? (76)? s où le nombe complexe (matéau lnéae) et S α jωσµ, µ et σ dépendent unquement de la tempéatue J est la densté de couant souce dans l nducteu ( J 0 hos de l nducteu). Nous ntodusons la foncton de Geen G ax (, z) qu epésentent le potentel vecteu généé pa une lgne de couant localsée dans le plan d étude au pont, ). Cette foncton est défne pa l équaton suvante : S ( 0 z0 G ax ( α + ) G ( 0, z z0 ) ax δ. (77) La soluton analytque pou la foncton de Geen en confguaton axsymétque s éct : 0 k G ax (, 0, z, z0) ( ) K( m) ( m) k, (78) π avec k 4 0, (79) ( 0 ) + ( z z0) m k, (80) où K (m) et (m) epésentent les ntégales ellptques du peme et second degé. Les valeus de la foncton de Geen et de son gadent dépendent unquement des paamètes géométques et leus calculs sont apdes. n applquant la seconde dentté de Geen (8) à l équaton (76), on ave à l équaton (8) : Ω G A ( A G G A) dv ( A G ) ds, (8) n n δω

43 36 Chapte : tude bblogaphque α Aθ G Aθ ( 0, z 0 ) µ J sg ax ds +. G ax dl A n θ. n S C C ax dl, (8) S est le domane d étude, C est sa fontèe undmensonnelle et le paamète α est défn pa : a s s (, z (, z 0 ) ) C C j j Losque le pont d étude, ) appatent à la fontèe, on a une sngulaté dans le sens où ( 0 z0 la foncton de Geen n est plus défne. Ce poblème est élmné en ntégant su un demcecle centé au pont, ) et de ayon nfnment pett pus pa passage à la lmte losque ( 0 z0 le ayon du cecle tend ves zéo. Ans le calcul du potentel magnétque dans la pèce event à calcule les valeus de A θ et de A θ n pondéées pa les coeffcents géométques Gax et Gax / n su les contous de la pèce. La même démache dot ête effectuée pou les autes sous-domanes, les nducteus et l a. Su chaque sous-domane Ω j, qu l s agsse d un matéau lnéae, d un nducteu ou du domane a, le calcul d une soluton pou le potentel magnétque fat nteven deux étapes: - calcul des valeus manquantes du potentel ou de la dévée nomale du potentel su tous les contous C j du domane, - calcul des valeus du potentel magnétque à l ntéeu du domane d étude pa combnasons lnéaes des valeus pécédemment évaluées. La contnuté de la soluton globale au taves des ntefaces est assuée pa les condtons de contnuté aux ntefaces. b/ Fomulaton de Bot et Savat Le potentel magnétque est calculé à la suface des matéaux conducteu à pat de la lo ntégale de Bot et Savat qu s appue su des dstbutons femées de densté de couant : A θ µ J col dv + 4π s J col pece s nduced dv. (83)

44 Chapte : tude bblogaphque Dscétsaton spatale Tos méthodes numéques sont couamment utlsées pou dscétse le poblème ouvet non lnéae électomagnétque. Chacune possède ses avantages et nconvénents. Nous allons commence pa déce succnctement la méthode des éléments fns (pou plus de détals, se éfée à [43]). La méthode des éléments de fontèe pésente une soluton altenatve mas peu adaptée aux matéaux non lnéaes. nfn les méthodes mxtes en egoupant les avantages des éléments fns et des éléments fontèes pemettent de palle cetanes nsuffsances de la méthode des éléments fontèes. 3.. Méthode des éléments fns n généal, on enconte une fomulaton de Galekne couplée avec une dscétsaton tangulae pa éléments fns P, pa exemple [0], [35], [38], [55] et plus aement P, [36]. Ce constat est assez étonnant ca la fomulaton P peut se évéle top pauve, sutout s le mallage n est pas assez affné dans l épasseu de peau. Le domane d étude est femé pa une fontèe atfcelle et des condtons de Dchlet et Neumann sont mposées. Le potentel magnétque est appoché pa la foncton dscète (84) où les A sont les valeus nodales et les N sont les fonctons d ntepolaton globale. ~ A A N (84) La fomulaton fable (3) se ééct : A t + [ L ] [ M ] [ A] [ S], (85) Lj σ NN j ds, (86) Ω M σ ds, (87) j ( N N j + N N j ) Ω µ µ

45 38 Chapte : tude bblogaphque S J N ds. (88) j 0 Ω Dans le cade d une appoxmaton hamonque, le système dscétsé devent : [ ][ A] [ S] j K, (89) K ω ds. (90) j (( j + ) σ N N j + N N j ) Ω µ µ Une dscétsaton spatale ntéessante a été poposée pa Machand et Fogga [35], basée su une patton pus un couplage ente les domanes lnéaes et non-lnéaes. Le domane global Ω est dvsé en un domane lnéae compenant l a et le ou les nducteu(s) et un domane consttué de la pèce. Ce dene sea non lnéae pou des métaux feomagnétques. Ces deux sous-domanes sont ésolus sépaément de manèe ndépendante. Le couplage est éalsé pa une condton de contnuté de la dévée (9) su l nteface commune aux sousdomanes. A ) ( θ n (9) Inducteu Pèce Domane lnéae Non-lnéae lnéae Inteface commune Fgue 6: Pattonnement du domane ntal en un sous-domane lnéae et un non-lnéae La méthode des éléments fns pemet de modélse le poblème électomagnétque de manèe pécse notamment pa une bonne pse en compte du compotement non lnéae du champ électomagnétque dans la pèce s le matéau est feomagnétque. Une lmtaton de la méthode povent du fat que le domane natuel d étude est nfn. Feme le domane pa une fontèe abtae peut condue à l appaton d ondes éfléches su les fontèes ce qu va modfe le ésultat du calcul. Pou que cette méthode este fable,

46 Chapte : tude bblogaphque 39 l faut que le domane sot ps assez gand. D aute pat, étant donné que tout le domane -y comps l a- est mallé, le nombe d éléments nécessaes peut faclement coîte, ce qu va entaîne des besons en stockage et en temps de calcul mpotants. De plus, pou modélse le déplacement de l nducteu, de nombeux emallages vont ête nécessaes. 3.. Méthode des éléments fontèes La dscétsaton des équatons ntégales de fontèe utlse les technques classques de dscétsaton. Les domanes pèce et nducteu unquement sont dscétsés. Le potentel au nœud P, z ) du contou c est la somme des ntégales de chaque élément fontèe : ( P A θ A A NelΩ nbnoeω NelC nbnoc f k NelC nbnocf m θ θ µ J s Gax ds + Gax dl e m f k n Ωe C f f k A k θ C f G ax n dl, (9) où Nel Ω est le nombe d éléments du domane Ω, Nel C le nombe d éléments de la fontèe c du domane Ω, nbnoe Ω le nombe de nœuds du domane Ω et Nbno e C le nombe de nœuds du contou c. La dffculté avec cette méthode povent des ntégales sngulèes losque le pont p où le potentel est calculé appatent à l élément fontèe où l on cheche à évalue l ntégale. n effet la foncton de Geen n est alos pas défne. Cette dffculté est contounée en calculant numéquement ces ntégales à l ade de fonctons logathmques pondéées [3]. La pésence de sngulatés géométques, tels des angles, complque également substantellement l évaluaton des ntégales, [9]. Fnalement, on ave au système suvant : avec A [ M ] { A} [ N ] + { T}, (93) n M j δ j Gax + n C j dl, (94) N j G dl, C j ax (95)

47 40 Chapte : tude bblogaphque T j µ J O j 0 s G ax ds s O j snon. nducteu, (96) La méthode des éléments de fontèe pésente de nombeux avantages : pse en compte natuelle du domane ouvet nfn, seuls les contous du domane sont dscétsés. Les nconnues du poblème sont unquement calculées su les fontèes. Ans on passe d un poblème à nconnues à un poblème à n nconnues, le potentel en chaque pont ntene du domane est ensute calculé apdement pa smple ntégaton numéque, pse en compte asée du déplacement des nducteus. n Néanmons, les désavantages sont lon d ête néglgeable: les matéaux magnétques ne sont pas ps en compte ca seul les mleux lnéaes peuvent ête tatés, la matce généée pa la dscétsaton spatale est plene, l faut calcule des ntégales sngulèes. On vot que l nconvénent pncpal povent de l ncapacté de la méthode à tate les matéaux non lnéaes. C est ce pont essentel qu a motvé l ntéêt pou les méthodes mxtes Les méthodes mxtes a/ léments fns / éléments fontèes Cette fomulaton egoupe une fomulaton vaatonnelle su les domanes femés, epésentant les matéaux métallques, allée à une fomulaton ntégale du champ électomagnétque dans l a. Les pncpes généaux sont décts notamment pa Salon [46], [47], Zenkewcz [57] ou Bebba [3]. La méthode des éléments de fontèe pemet de

48 Chapte : tude bblogaphque 4 couple les nducteus et la pèce étudée pa le calcul des valeus mposées du potentel magnétque su le contou des nducteus et pèces. La épatton des champs électomagnétques à l ntéeu d un domane est ensute calculée pa une fomulaton vaatonnelle. Ce couplage dépend : des condtons de contnuté aux ntefaces qu dovent ête espectées pa le champ ntene ssu d un calcul éléments fns et pa le champ extene ssu de la méthode des équatons ntégales de fontèe, de l ode de dscétsaton de chaque méthode. Cette méthode mxte possède l avantage : de ben pende en compte le domane ouvet, de édue consdéablement le nombe d éléments du mallage (étant donné que l a n est pas mallé et donc le nombe d nconnues), de pemette le déplacement de l nducteu sans emallage, de ben pende en compte les effets non lnéaes des pèces magnétques. L nconvénent majeu povent du fat que la matce du système est plene ce qu entaîne des besons en mémoe mpotants et la ésoluton du système lnéae peut ête coûteuse en temps. b/ léments fns / quatons ntégales La méthode des éléments fns est employée dans les mleux conducteus et nécesste la connassance du potentel magnétque su les contous des pèces et nducteus. La lo de Bot et Savat peut ête utlsée à cette fn [39], [8]. A s µ 4π Jdv µ + 4π Inducteu s Conducteu Jdv s (97) Néanmons, étant donné que la épatton de densté de couant dans les conducteus dépend du champ électomagnétque envonnant et donc de ses valeus su les contous, une ésoluton téatve est nécessae pou éactualse les condtons aux lmtes su les contous apès qu une nouvelle épatton de densté de couant at été obtenue. Cette méthode est peu pefomante en temes de apdté de calcul ca elle nécesste de nombeuses téatons pou convege.

49 4 Chapte : tude bblogaphque 3.3 Condtons aux lmtes Physquement, l ampltude des champs électomagnétques dmnue comme l nvese de la dstance à la souce de couant. Ils s annulent à l nfn. Pou une méthode éléments fns, le domane d étude dot ête femé pa une fontèe atfcelle. L mposton de condtons aux lmtes pou les champs électomagnétques su la fontèe extéeue est focée. Les condtons aux lmtes dovent ête ben adaptées sous pene de top nfluence le calcul et défome la soluton. Les condtons aux lmtes couantes, [35], [48], [4], sont (Fgue 7) : - Champ électomagnétque mposé nul su les fontèes, - Dévé du champ mposée nulle su les fontèes. A θ ( A ) 0 0 ou θ Condton de syméte su l axe : A 0 ou ( A ) 0 θ θ A θ ( A ) 0 0 ou z θ Fgue 7 : Condtons aux lmtes standads La condton natuelle est A 0 à l nfn. tant donné qu l faut consdée un domane fn θ avec des fontèes à une dstance fne de l nducteu, les condtons de Neumann semblent meux adaptées que des condtons de Dchlet. De plus, les fontèes du domane dovent ête choses assez lon de l nstallaton afn d évte que l mposton de condtons aux lmtes atfcelles ne génèe en quelques sotes des souces magnétques vtuelles su la fontèe, povoquant ans des poblèmes de éflexon aux fontèes. Des condtons aux lmtes absobantes de type condtons aux lmtes de Robn peuvent également effcace pou édue les poblèmes de éflexon, Fgue 8.

50 Chapte : tude bblogaphque 43 Condtons de syméte A 0 θ Condton aux lmtes de type Robn : Aθ + Aθ 0 A θ 0 z Fgue 8 : Condtons aux lmtes de note modèle 3.4 Dscusson Nous avons vu qu l exste dfféents chox de vaables d état et d appoxmatons possbles pou la ésoluton du modèle électomagnétque. Il est nutle, dans la gamme de féquence utlsée pa le pocédé, de ésoude les équatons de Maxwell complètes, top complexes. Nous avons décdé de pende en compte l appoxmaton des égmes quas-pemanents qu pemet de passe d une équaton de type popagaton des ondes à une équaton de type dffuson. Cette appoxmaton est quasment toujous pésente dans tous les modèles encontés dans la lttéatue. n evanche, l appoxmaton hamonque se base su des hypothèses fotes étant donné qu elle n est éellement valde que pou des matéaux lnéaes et donc non feomagnétques. lle est cependant lagement utlsée pa de nombeux auteus ca elle appote un gan de temps de calcul tès mpotant, du fat que l on obtent au fnal une équaton statonnae complexe modélsant le compotement de l ampltude du champ électomagnétque. Nous avons chos de consdée une équaton dépendante en temps, beaucoup plus che, qu pend en compte tous les phénomènes non lnéaes et notamment la généaton d hamonques secondaes pou les feomagnétques. Cependant, ce modèle est plus complexe à ésoude. Au nveau du chox de la vaable d état, nous avons vu que le champ électque et le potentel magnétque sont éduts à une unque composante othoadale. Les fomulatons avec l une ou l aute vaable sont quasment équvalentes. Néanmons, nous n avons pas vu de modèle ésolu en champ électque dans la lttéatue, cec cetanement pou des asons hstoques. Les pncpales dfféences ente les deux fomulatons se ésument pemèement à la pse en compte de la non-lnéaté dans l équaton, due à la dépendance de la peméablté magnétque avec le champ magnétque, lu même calculé (de manèe dfféente) à pat du champ

51 44 Chapte : tude bblogaphque électque ou du potentel magnétque. Une deuxème dfféence ésde dans la pse en compte de la densté de couant souce. Cette denèe est sot ntodute dectement dans l équaton en potentel magnétque, sot pse en compte à taves sa dévée pou l équaton en champ électque. nfn, le teme souce pou l équaton de la chaleu (ssu de la pussance joule) est sot obtenu dectement dans le cas d une ésoluton en champ électque (ca popotonnel au caé du champ électque), sot dévé numéquement pa appot au temps dans le cas d une ésoluton en potentel magnétque. Dans l un ou l aute cas, nous avons des mpécsons dues aux dévées tempoelles numéques. Cependant, étant donné que la densté de couant souce est souvent ntodute de manèe analytque (pa exemple sous la fome d une snusoïde), sa dévée va ête exacte, ce qu favose une ésoluton en champ électque. D aute pat, nous touvons qu elle appote une epésentaton physque plus ntutve. Concenant le chox de la méthode numéque, nous avons vu que la méthode éléments fns état nécessae pou tate des matéaux non lnéaes. D aute pat, le chox du modèle électomagnétque tenant compte des non-lnéatés est édhbtoe pou une méthode basée unquement su les ntégales de fontèe. Les méthodes mxtes possèdent des qualtés cetanes avec une bonne pse en compte du domane ouvet, des matéaux non lnéaes et un déplacement asé de l nducteu. Néanmons, la ésoluton de la matce du système, plene, peut s avée extêmement coûteuse suvant la talle des mallages tatés. D aute pat, dans une optque de calcul paallèle, ndspensable pou la smulaton de cas éels conséquents, la paallélsaton d une méthode mxte va ête dffcle à mette en place. Pou ces dfféentes asons, nous nous sommes oentés ves une méthode numéque tout éléments fns.

52 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 45 Chapte Modélsaton mathématque et numéque des pocédés de chauffage pa nducton en confguaton axsymétque Nous pésentons dans ce chapte la statége de modélsaton des pocédés de chauffage pa nducton développée au cente de Mse en Fome des Matéaux. Les modèles physques, électomagnétque, themque et mécanque sont décts. Pus nous veons comment les systèmes d équatons aux dévées patelles ssus de ces modèles sont dscétsés d abod spatalement pus tempoellement. Les phénomènes électomagnétques et themques pésentent des échelles de temps fondamentalement dfféentes. Le couplage mult-physque va devo ten compte de ces caactéstques popes. Ces dfféents ponts font l objet de la publcaton nséée c apès qu va également pésente les pemes éléments de valdaton du logcel face à des publcatons ou à des mesues expémentales effectuées su ste ndustel. Sute à la publcaton nséée, des études complémentaes su le chox du schéma d ntégaton optmal sont déctes. nfn le mode de stockage utlsé ans que le solveu utlsé pou ésoude les systèmes matcels sont détallés. Le modèle mathématque et sa ésoluton numéque Le modèle mathématque du pocédé de chauffage pa nducton et les méthodes de ésoluton numéque sont pésentés dans l atcle suvant, soums à l Intenatonal Jounal fo Numecal Methods n ngneeng (IJNM)

53 46 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton A numecal model fo nducton heatng pocesses couplng electomagnetsm and themomechancs F. Bay, V. Labbe, Y. Favennec And J.L. Chenot Cente de Mse en Fome des Matéaux, cole des Mnes de Pas UMR 7635 CNRS, BP 07, Sopha-Antpols Cedex, Fance [email protected], [email protected] Summay: Ths pape pesents a mathematcal and numecal model developed fo couplng the vaous physcal phenomena (electomagnetc, themal and mechancal) takng place n axsymmetcal nducton heatng pocesses. All thee electomagnetc, themal and mechancal models ae tme dependent and take full account of the electomagnetc and themal non-lnea effects especally wth magnetc mateals. The numecal method whch has been used to dscetze and solve the electomagnetc poblem s based on a fnte element appoxmaton n the wokpece, a and nductos. The heat tansfe equaton and the mechancal equlbum equatons ae solved n the wokpece usng a fnte element method. The mechancal model can take nto account themoelastc-vscoplastc behavo fo the pat. The model has been appled successfully to seveal cases of nducton heatng. Compason between numecal and expemental esults shows an excellent ageement. Keywods: Inducton heatng; lectomagnetc modelng; Heat Tansfe computatons; Mechancal modelng; Multphyscs couplng, Fnte lements. Intoducton. The nducton heatng pocess Inducton heatng has become nceasngly used n these last yeas fo vaous ndustalmanufactung pocesses. It can be used as well at low cuent fequences (~50 Hz ) fo ntal peheatng befoe defomaton, o at hghe fequences ( ~ Hz ) fo pocesses nvolvng metallugcal heat teatment, (such as quenchng, hadenng, bazng), suface coatng o meltng n electomagnetc cucbles [3]. Its man advantages ae the fast heatng ate, geat pecson n heatng localzaton (supefcal heatng wth hgh fequency powe

54 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 47 supples fo suface teatment pocess), nstant stat/stop (no wam up equed fo each cycle) and ts good epoducblty. Fgue 9: Inducton heatng setup The basc nducton setup conssts n one o seveal nductos and metallc wokpeces to be heated (see Fgue 9). The nductos ae suppled wth altenatng cuent wth fequences angng fom ffty to seveal hunded thousand cycles pe second. A apdly oscllatng magnetc feld s geneated and n tun nduces eddy cuents n the wokpece due to the Joule effect. These cuents geneate ohmc heat losses nsde the wokpece. Moeove, fo feomagnetc mateals, magnetc hysteess effect also contbutes to heat geneaton, but n a much smalle amount. Most of the dsspated heat s poduced n a thn laye unde the suface of the wokpece; the skn depth δ defned as the depth at whch the magntude of the feld dops to a value equal to ts suface value multpled by e - : d, (98) p f s µ whee f s the fequency, σ the electcal conductvty and µ the magnetc pemeablty. Fo nstance fo a typcal steel at 0 C, the skn depth may ange fom 3mm at a fequency of 50 Hz down to 0.04mm at 0 5 Hz. It s clea fom equaton (98) that hgh fequences ae used to acheve suface heatng, whle low fequences ae favoued fo ntal unfom pe-heatng.

55 48 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton. Potental applcatons of a numecal model Industal use of nducton heatng pocesses ams at achevng vaous objectves. We can name, among othes: - eachng a unfom pescbed tempeatue, - achevng contol of the gan sze, - gettng a cetan hadness level at the suface, -. Industals ty to each most of these goals by tal-and-eo pocedues. But these pocedues cannot most of the tme acheve fne and accuate contol of these goals and ae futhemoe tme consumng. It s clea that, snce nducton heatng pocesses nvolves and couples vaous physcal phenomena, the goals wll be acheved only though an n-depth undestandng of the ndustal pocess, and theefoe though numecal modelng. The numecal model pesented hee has been developed havng n mnd the fact that a fne and effcent numecal model coupled wth optmzaton technques [] could be a majo step n detemnng optmal pocess paametes (fequency, cuent densty, col geomety, ) sutable to each the ndustal objectves pevously mentoned. The fequency s an mpotant contol paamete to acheve ethe suface heatng (hgh fequences) o a athe unfom heatng n the wokpece wth a skn depth of about the same ode of magntude o slghtly lage than the geometc depth (low fequences)..3 The vaous numecal models Seveal numecal models have been developed up to ths day n ode to model the nducton heatng pocess. These models cay out a smulaton of the nducton heatng pocess but wth vaous estctons. Some models do not cay out full couplng between electomagnetsm, heat tansfe and sold mechancs, but focus only on the electomagnetsm/heat tansfe couplng. Most numecal models use a hamonc appoxmaton to evaluate the electomagnetc feld n the wokpece. Ths appoxmaton s vald fo lnea magnetc mateals but can become naccuate when dealng wth non-lnea magnetc mateals [0], [44]. Couplng between nducto and wokpece s caed ethe though the use of a bounday element method [47], [0] o though fnte elements [43]. In ths last method, the a doman s also meshed and the electomagnetc equaton s solved on the global doman made out of the a, the nducto and the wokpece.

56 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 49. The mathematcal model As we have stated pevously, nducton heatng pocesses nvolve thee man dffeent physcal phenomena, whch ae elated to: - electomagnetsm, - heat tansfe, - sold mechancs. A complete mathematcal model fo nducton heatng pocesses theefoe needs to consde and tghtly couple the equatons modelng these phenomena. We pesent hee a geneal mathematcal model whch couples: - the Maxwell equatons - n ode to access the electc feld n the wokpece, - the heat tansfe equaton - the heat dsspated n the pat by the eddy cuents beng the man souce of tempeatue evoluton n the wokpece, - the mechancal equlbum equatons - whch wll enable us to access the stess and stan ates n the wokpece... The electomagnetc model... The Maxwell equatons The global system of equatons modelng electomagnetc wave popagaton and any knd of electomagnetc phenomena was establshed by Maxwell moe than a centuy ago. Ths system s made up of the fou followng equatons: Magnetc flux equaton:. B 0, (99) Maxwell-Gauss equaton:

57 50 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton. 0, (00) Maxwell-Faaday equaton: B, (0) t Maxwell-Ampee equaton: H j + D, (0) t whee H s the magnetc feld, B the magnetc nducton, the electc feld, D the electc flux densty, j the electc cuent densty assocated wth fee chages, and x denotes the vecto poduct - thus s the cul vecto of. Ths system of equatons needs to be completed by elatons whch take nto account mateal popetes (magnetc pemeablty µ, electcal conductvty σ, delectc constant ε). These elatons ae the thee followng ones: D ε, (03) B µ( T, H ) H, (04) s(t) n the conductos, j, (05) 0 n the a. elaton (05) beng commonly known as the Ohm law. It should be ponted out hee that the magnetc pemeablty µ, and the electcal conductvty σ do stongly depend on tempeatue. Futhemoe, fo non-lnea feomagnetc mateals, the magnetc pemeablty µ may also depend on the magnetc feld stength H. quatons, (99) - (05) ae vald fo any ange of fequences and fo any knd of geometc confguaton.

58 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 5... The magneto-quas-statc appoxmaton In nducton heatng pocesses, the ange of fequences dealt wth can go fom 50 Hz (low fequency fo homogeneous heatng) to seveal hundeds of MHz (hgh fequency fo heat teatment applcatons). The magneto-quas-statc appoxmaton conssts n neglectng the dsplacement cuents D t n the Maxwell-Ampee equaton (0). Ths appoxmaton theefoe leads to neglectng the popagaton phenomena. Ths hypothess s acceptable f the dstances between the ponts whee the electomagnetc feld s computed and the souce locatons ae smalle than the wave length, whch s the case fo the doman of fequences typcally used n ndustals set-up, snce fequences ae smalle than 0 9 Hz. We can theefoe use ths appoxmaton hee; the Maxwell-Ampee equaton (0) thus gets modfed and becomes: H j. (06) Let us now dvde equaton (0) by the magnetc pemeablty and take the otatonal on both sdes of ths equaton, we get: µ t ( H), (07) fom whch we can elmnate the magnetc feld by usng equaton (06), whch leads to: µ j t, (08) The total cuent densty beng the sum of the nduced cuent densty and of the pescbed one J : S j j + J, (09) nduced S and the nduced cuent densty beng elated to the electc feld though the Ohm law: j nduced s, (0) we fnally get:

59 5 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton t S J µ t s +. () The electc feld s soluton n 3D computatons of equaton (), coupled wth equaton (00) and wth ntal and bounday condtons...3. Axsymmetcal confguatons When dealng wth axsymmetcal confguatons, the electc feld can be expessed n cylndcal coodnates wth a non-zeo component only n the θ decton: ) (,z),?, ( 0 0. () Ths confguaton s a tansvese magnetc mode one, whee the electc feld s dected n the θ-decton, whee as the magnetc feld H popagates n the (,z) dectons, see [3]. quatons () and (00) can then be educed to a sngle one: t S J? µ? µ?. t? s + µ, (3) whee the tem (4) s usually neglected n the electomagnetc model [55]. Howeve fo feomagnetc mateals, the nfluence of the devatve of the magnetc feld can be stong and neglectng t consequently affects the numecal esults. θ µ. (4)..4. Axsymmetcal confguaton wth a movng nducto If the col s movng wth a constant velocty v, the Ohm equaton becomes: )), ( ), ( ), ( ( ), ( t B t v t t j v v v + σ. (5) If we ntoduce ths geneal law n the Maxwell-Ampee equaton (06), the electomagnetc equaton () becomes:

60 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 53 t S J v t + σ µ σ, (6) o n cylndcal coodnates: t S J? z. z sv? µ? µ? µ. t? s +. (7) As the nducto s movng n paallel wth the axs of symmety, ts velocty wtes )), ( (0,0, ), ( t v t v Z. Indeed, a component n the axal decton of the velocty would mply a tansfomaton of the nducto sze and geomety, whch s not meanngful n ndustal nducton heatng applcatons. If t c s the chaactestc tme of the electomagnetc phenomena s T t C / << fo f 50Hz, the chaactestc electcal feld value, C L s the chaactestc length, 0 µ µ µ whee µ s the non-dmensonal elatve pemeablty and 0 µ s the magnetc pemeablty of the a. By eplacng n elaton (7), C L C t t t ~, ~, ~ θ whee t ~, ~, ~ ae non dmensonal, we get the non-dmensonal equaton: t J c t J z c L z v c L c L c L t c t ~ ~ ~ ~. ~ ~ ~ 0 ~ ~ 0 ~ ~. ~ 0 ~ ~ + σ µ µ µ µ µ µ σ (8) whch becomes t J J z c L z v c t c L c t c L c t c L c t t ~ ~ ~ ~. ~ ~ ~ 0 ~ ~ 0 ~ ~. ~ 0 ~ ~ + σ µ σ µ µ σ µ µ σ µ (9)

61 54 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton If we compae the two non dmensonal numbes t c µ 0 σ L c and t c v z L c, (0) we have: v µ σ L >> z 0 c () as v z 0.05m. s and L C m typcally. Hence the tem due to the col velocty may be neglected n a fst appoxmaton...5. The souce tem The tanslaton of expemental measuements of the powe o cuent ntensty nto numecal nput data s one of the most complex tasks n the smulaton of nducton heatng pocesses. Thee ae bascally two ways to ente the nput fo the electomagnetc equaton ethe by enteng a cuent densty o a tenson. a) The cuent densty souce tem The electomagnetc equaton wth J (, z, t) (0, J (, z, t),0) S Sθ wtes: s? t. µ? +? µ µ? J S? t. () The vaaton wth tme of the cuent ntensty may be of any shape (snusodal o moe complex shapes). Fo a snusodal souce cuent, we get:

62 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 55 J S (, z, t) J O (, z) cos( wt + ϕ), (3) wth the pulsaton ω π f. b) The tenson souce tem At a local pont, the total cuent densty wtes whee j nduced A j (,z,t) s(,z) s(,z) V, (4) t σ A t denotes the nduced cuent densty, J s σ V the mposed cuent densty and V the electc scala potental. As we do not know the local potental value of the gadent V, we athe use a unfom gadent ove the col secton. Ths unfom gadent equals the total voltage appled at both ends of the col dvded by the total length of the col: J S Vtot σ Vtot σ. (5) L π * numbe _ of _ tuns col col..6. The bounday condtons The choce of bounday condtons when cayng out a global fnte element smulaton needs to be caed out caefully. Fnte element computaton of electomagnetc feld n the a can be alteed by atfcal eflectons on the bounday of the a doman. Hence the oute boundaes need to be fa enough fom the nducton heatng set-up to educe the appoxmatons. A faly good appoxmaton can be obtaned f a Robn bounday condton s appled on an enclosng box fo the suoundng a. The dmensons of the box beng lage enough n ode not to petub the magnetc feld lnes. Ths Robn lke condton wtes n ou case:

63 56 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton θ n + θ e. n 0, (6) whee θ n means the devatve of θ along the unt outwad nomal decton n and e s the unt adal decton. In axsymmetcal cases, a null Dchlet bounday condton fo the θ vaable s pescbed on the axs of symmety...7. The physcal paamete The physcal paamete nvolved n the electomagnetc model ae the magnetc pemeablty and the electcal conductvty. They both depend on tempeatue. We would lke to stess hee the fact that the magnetc pemeablty needs to be pecsely known f one wshes to get accuate numecal modelng especally the dependence on tempeatue as t gets close to the Cue pont. Indeed, aound the Cue tempeatue, the elatve magnetc pemeablty can suddenly dop fom seveal hundeds (o even thousands) down to unty. Moeove, snce we have chosen, fo accuacy easons, to solve a tme dependent electomagnetc model, the magnetc pemeablty can also depend on magnetc feld stength. Although t s commonly ageed that magnetc pemeablty s deved fom the magnetzaton cuve (magnetc nducton vs. Magnetc feld stength), one can fnd, n lteatue, seveal defntons of the magnetc pemeablty. In the feld of electomagnetc modelng, two defntons ae commonly used: the exact devatve of the magnetc nducton wth espect to the total magnetc feld stength µ B H. Ths latte defnton whch has been used fo nstance by [0] and [4] seems to be much moe adequate fo numecal modelng snce govenng laws ae taken locally n space as well as n tme. The numecal computaton of the coupled electomagnetc-themal model leads us to use two dstnct fomulatons fo the magnetc pemeablty. The fst one s used n the tme-doman electomagnetc computaton. Thee, the magnetc pemeablty, whch s a functon of both the magnetc feld stength as well as tempeatue, s evaluated at each electomagnetc tme step. The second fomulaton s used n the heat tansfe cycle when paametes vaatons ae calculated (test whethe o not to un agan the electomagnetc cycle). Hee, thee s no moe tme doman decomposton, a lnea magnetc pemeablty fomulaton s deved fom the magnetc pemeablty fomulaton used n the tme doman computaton. The elated devaton eles on some magnetc enegy equvalence consdeatons.

64 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Fomulaton n H n the tme doman decomposton A typcal magnetzaton cuve may be dvded n thee man pats. In the fst pat, the cuve stats fom the ogn wth a fnte slope and ses so that t s concave upwads, followng the Raylegh elaton, [7]. The second pat of the cuve has the geatest slope whch s geatly dmnshed fom satuaton onwads. B Fgue 0: Typcal magnetzaton cuve B(H) obtaned wth the Fohlch-Kenelly model. B s expessed n Tesla and H n A/m. Coeffcents α and β ae espectvely.5 and The last two pats ae usually modeled by the Fohlch-Kenelly elaton: H B µ 0 + β α + H H, (7) whee α and β ae two constant coeffcents. Snce most of the lecto-themal poblems take place at hgh felds, at least fom the satuaton bendng, the Fohlch-Kenelly s a good appoxmaton of the global magnetzaton cuve. [0] and [7] do use anothe fomulaton that has been valdated fo a gven magnetc wok-pece. The gan of usng elaton (7) s that t can be used fo any mateal (magnetc o not). The geneal Fohlch-Kenelly has been used by [6] and [3]. Followng the Fohlch fomulaton, the magnetc pemeablty becomes smply: α α H µ ( H, T ) µ 0 + ( + ) ( + ). (8) µ 0 β H µ 0 β H

65 58 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Ths elaton woks well when one knows the magnetc feld H and needs smply to compute µ H,T o the magnetc nducton feld B. Convesely, to the magnetc pemeablty ( ) compute the H feld one needs to have an equvalent elaton: B H. (9) µ ( B,T ) Ths elaton s obtaned fom the fst ode Fohlch-Kenelly elaton (30) by seekng the physcally ealstc soluton of the second ode equaton (3) n H : ( H T ) α, µ +, (30) µ 0 ( β + H ) B α µ 0 + H ( H ). (3) β + Hence we get: H ( α + µ 0β B ) + 4µ 0β B α µ 0β + B µ 0. (3)..7. Fomulaton n H and T n the tme doman decomposton The Fohlch-Kenelly fomulaton s stll a good appoxmaton when tempeatue dependency s added. In ths case, coeffcents α and β ae no longe constant, they ae tempeatue-dependent, [5]. In ode to use an easly mplementable fomulaton, one would athe sepaate the tempeatue dependency fom the magnetc feld dependency. Ths dependency sepaaton has been used by vaous authos. Lstng [0], [49] and [7] gvng the followng geneal fom: H α α µ ( H, T ) µ 0 +. f ( T ). (33) β + H ( β + H )

66 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 59 Seveal fomulatons f(t) can be found n lteatue. We have chosen to use the followng fomulaton whch has been used fo nstance by []: f ( T )? T, (34) T c whee T C s the Cue tempeatue and γ s the tempeatue sensblty paamete. Relaton (3) becomes wth the tempeatue dependency: H ( α f + µ 0β B ) + 4µ 0β B α f µ 0β + B µ 0. (35)..7.3 Fomulaton n the heat tansfe cycle As wll be explaned n the couplng stategy paagaph, at the end of each heat tansfe tmestep solvng, dffeences between the electomagnetc paametes used to compute the electc feld and the ones calculated usng the newly calculated tempeatue maps ae evaluated. If these dffeences exceed a gven theshold, a new cycle of electomagnetc computatons s pefomed; f not, the heat tansfe solvng goes on. Indeed, the magnetc feld s no moe evaluated at each electomagnetc tme step. The magnetc pemeablty has theefoe to be defned as n hamonc models. A few authos dealng wth hamonc models take nto account the non-lneaty of the magnetzaton cuve. [4] gves a wde bblogaphcal eseach on the best way to handle ths non-lneaty. [] and [5] use a mean magnetc pemeablty that can be defned as the hamonc mean value ove one peod. The man poblem wth the tme-aveaged value s the lack of physcal meanng. To ovecome ths lack, [6] and [54] calculate an equvalent magnetzaton cuve usng some enegy equvalency methods. Usng enegy equvalency methods, assumng that the magnetc feld s snusodal, and seachng a lnea equvalent magnetc pemeablty that nduces, ove one peod, the same magnetc enegy yelds to: µ eq p 4 f H m pf B( t) 0 0 HdBdt, (36) whee f s the electomagnetc fequency and H m the maxmum value of the snusodal magnetc feld. Snce we use a tme doman decomposton, the electomagnetc felds may be non-snusodal. Usng Fohlch-Kenelly elaton and the same appoach than n [3] - except

67 60 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton that tme s no longe taken nto account, we have found that the equvalent magnetc pemeablty becomes, wth espect to tempeatue and the maxmal magnetc feld : µ ln γ α αβ β T H max µ ln. β+ (37) Hmax Hmax H TC (,T)..8 Computaton of the magnetc feld H The magnetc feld values need to be detemned when dealng wth the heatng of non-lnea magnetc mateals, snce the magnetc pemeablty depends n that case on the stength of the magnetc feld. The magnetc nducton feld s computed fom the electc feld values by usng the elaton B. (38) t Usng an explct tme ntegaton scheme, the magnetc nducton feld at tme t can be deved fom the one at tme t-δt wtes: B(, z, t) B (t) B (t) z B (t B z (t? t)? t) +?t. z?t (.?? ) B (t z? t) +? t?? (39) The magnetc feld H s then computed fom elaton (3) o (35).. The themal model Modelng of nducton heatng pocesses nvolves modelng of heat tansfe - whch s manly govened by the heat dsspated by eddy cuents n the wokpece - and heat fluxes at the nteface between the wokpece and the a. The model wll have theefoe to nclude the heat tansfe equaton, the heat souce tem due to eddy cuents, as well as appopate bounday condtons.

68 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 6.. The heat tansfe equaton Tempeatue evoluton n the wokpece s govened by the classcal heat tansfe equaton: T?C dv(k T) Q& t em, (40) whee ρ s the wokpece densty, C the specfc heat, k the themal conductvty, and Q & the heat souce tem due to eddy cuents. The specfc heat and themal conductvty ae also tempeatue-dependent. em... The heat souce tem due to eddy cuents Q & em s local heat densty ate suppled by the eddy cuent deved fom the mean electomagnetc soluton: Q& em σ θ, wth ( n+ ) T σ θ t t dt T σ( ) θ ( ), (4) nt T beng the peod of the electomagnetc souce tem. Takng ths aveage value s justfed when one compaes the scale of the electomagnetc tme step (less than 0.00 s.) wth the aveage nducton heatng tme scale (of the ode of seconds)...3. The bounday condtons Inducton heatng can nvolve dffeent knds of heat fluxes at nteface: convecton and adaton at the nteface between the wokpece and the a, pescbed heat flux o tempeatue on the nne suface of the nducto to take nto account the effect of coolng by wate. A geneal model needs theefoe to consde all these condtons, whch ae summazed hee: Convecton/adaton: k T.n h(t T ext ) + e em s Ste (T 4 T 4 ext ), (4) whee h denotes the convecton coeffcent, T ext the oom tempeatue (n Kelvn), ε em the mateal emssvty, and σ the Stefan constant, Ste

69 6 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Pescbed heat flux: k T.n F pescbed, (43) Pescbed tempeatue: T T. pescbed (44)..4. The physcal paametes As fo the electomagnetc equaton, two physcal paametes have to be taken nto account n the govenng heat tansfe equaton. Thee ae the themal conductvty and the heat capacty. Just lke the electcal conductvty, the themal conductvty deceases smoothly wth espect to tempeatue. It s vey common to appoxmate ts behavo usng lnea fomulatons. The heat capacty can vay shaply wth the tempeatue especally dung metallugcal phase tanstons and at Cue tempeatue. In ou model, one can ethe use tabulated data o analytcal expessons appoachng physcal phenomena. The man gan of usng analytcal fomulatons ae the egulaty (dffeentablty), whch makes them well suted fo numecal calculatons; one can theefoe use, fo nstance, exponental o gaussan fomulatons assocated wth any polynomal functon..3. The mechancal model Inducton heatng can geneate - especally fo heat teatment applcatons - mechancal stesses and stans n wokpeces. We have theefoe chosen to nclude a mechancal model whch can take nto account themal, elastc and vscoplastc behavo fo the mateal beng heated. The model s based on the classcal vtual wok pncple - whch expesses the equlbum of the wokpece undegong themo-mechancal loads -, as well as on a geneal consttutve law - based on the mateal mechancal popetes..3.. The equlbum equatons

70 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 63 The classcal equlbum equatons fo a sold undegong mechancal loads can be expessed n a local fom by: dv(s +?f ) 0, (45) whee σ denotes the stess feld n the sold and f the body foces pe mass unt. It needs to be noted that the mateal behavo s not taken nto account at ths stage..3. The consttutve law The mateal behavo s assumed to obey a themo-elastc-vscoplastc consttutve law. The mateal stan ate ε& s decomposed as the sum of thee factons namely, the elastc facton el ε&, the plastc facton pl ε&, and the themal one th ε& : el pl th & & & &. (46) ε ε + ε + ε The elastc facton el ε& s elated to the stess feld tenso σ& though the Hooke law : e& el j +?? s& s& d, j (47) kk j whee and ν espectvely denote the Young modulus and the Posson coeffcent. It should be noted hee that we do not need to use a Jaumann devaton fo σ& snce the otatons nvolved ae qute small. The defomaton expessed as: th ε& due to themal expanson can be & th e & a T d, j j (48) whee α denotes the volume themal expanson coeffcent. The equvalent stess s defned though the Von Mses yeld cteon: eq (s ) s s s s s s + 3(s + s xx yy yy zz xx zz xy yz s xz ). (49) The equvalent stess σ eq needs to comply wth the mateal yeld stess R e :

71 64 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton eq s R. (50) e In case the equvalent stess s equal to the mateal yeld stess R e, plastc defomaton wll occu. The elaton between the plastc stan ate and the stess feld s govened by the plastc flow law: f e& pl? (s ),? 0, (5) s whee f denotes the yeld cteon and λ the plastc multple. The model can nclude stanhadenng, by usng a powe law: s eq s 0 K e s n, (5) whee n denotes the stan-hadenng exponent and ε the equvalent defomaton defned by: e ( e ). (53) 3 j,j In ode to have a geneal descpton whch can ft mateal behavo at all tempeatue anges, the model has been genealzed nto an elastc-vscoplastc model, by ncludng mateal stan ate senstvty though a Noton-Hoff powe law. We theefoe ntoduce ths new tem n equaton (5) whch then becomes: s 0 K e s n. e m, (54) whee ε & denotes the stan ate and m the stan ate senstvty The physcal paametes The mateal paametes nvolved n the mechancal model nclude Young s modulus and Posson coeffcent, the yeld stess and the stan-hadenng coeffcent, as well as the mateal consstency and stan ate senstvty. All these paametes depend on tempeatue and need to be well detemned, especally when dealng wth heat teatment applcatons whee the hghly localzed heat souce can nduce stesses and dstoton that can nteact wth metallugy. The evoluton of these paametes can hee agan be povded n two ways: ethe though the use of constant values o tabulated values of the paametes at some gven

72 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 65 tempeatues, o by usng analytcal expessons defnng the evoluton of these paametes wth espect to tempeatue. 3. The numecal methods Up to ths day, most numecal methods fo nducton heatng pocess modelng have manly focused on the electomagnetc and themal computatons. Most of these methods ae based on one of the thee followng appoaches: - fnte elements method, - bounday element method, - mxed fnte elements/ bounday elements method. We wsh hee to cay out n a coupled way electomagnetc, themal and mechancal computatons. Moe specfcally, we need to cay out the followng computatons: - n the pat, electomagnetc, themal and mechancal, - n the nducto and n the a, electomagnetc and themal. We have chosen to cay out a complete fnte element appoach usng sx-nodes quadatc tangles - fo these thee knd of computatons. Ths means that the couplng between the pat and the nducto fo the electomagnetc computatons s caed out though the computaton of the electomagnetc feld n the a. We detal n the followng subsectons the specfctes and mplementaton detals n each case of ou appoach. Fo each of the thee poblems, we shall buld the weak fomulaton whch we need to have n ode to use fnte elements, and then space and tme dscetzaton. 3.. The electomagnetc poblem 3... The weak fomulaton We consde the doman Ω as beng:

73 66 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton O O O O. (55) pat nducto a We defne Γ (esp. Γ 0 ) as beng the oute bounday of the Ω doman (esp. pat of the oute bounday whee the unknown s pescbed). We need to establsh a weak fomulaton of equaton (3). In ode to do so, we fst need to defne the functonal space V n whch we ae seachng the soluton. Ths functonal space s defned n accodance wth the egulaty of the soluton. We choose hee to defne V as: V ψ ψ ψ H ( Ω), L ( Ω), 0. (56) θ H (Ω) s a Sobolev space: H (O)? L (O),? L (O). (57) We then multply equaton (3) by a test functon ψ belongng to the functonal space V and we ntegate on the whole doman. Afte usng the Geen theoem, we get: O s? t +?? dv +?. dv + µ? µ G O µ?.n? ds + G µ O?dv + e.n? ds,? O µ? (?)d v? V, O J S t?dv (58) whee d v π d dz. Ths poblem can now be seen as: a ( θ, ψ ) + b ( θ, ψ ) l ( ψ ψ V t ) (59)

74 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 67?? a(,?) s?dv t t O b(,?).? dv +? µ? l(?( O O J s?dv + t G G 0 O? µ n.? ds + µ? +? O e.n.? ds µ (?) dv? The ntegal tem (60) depends on the bounday condtons and wll vansh wth the Robnlke bounday condtons we mpose, see..6. G G 0?? + e n.? ds. µ n (60) If we assume σ and µ to be ndependent on the unknown feld, ths poblem belongs to the class of paabolc poblems, snce: - the blnea fom a(.,.) s contnuous and postve defnte, - the lnea fom l(.) s contnuous, - the blnea fom b(.,.) s contnuous and V-ellptc. Such evoluton poblems wth mxed bounday condtons ae sometmes called Cauchy- Dchlet-Neumann poblems and the exstence and unqueness of a soluton θ (t,x) belongng to L ([0,t];V) can be poven [45] Space dscetsaton Havng establshed a weak fomulaton, we can now cay out the fnte element space dscetzaton of equaton (59). We classcally appoach the functonal space V by a dscetzed space V h, the test functons ψ by ψ h and the unknown θ by h (fo the sake of claty, we wll not cay on usng θ fo the unknown). The dscetzed veson of equaton (59) s then: h nb.nodes nb.nodes h h h h h a( (t),? ) + b( (t),? ) l(? )? j t j V h. (6)

75 68 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton A bass of the dscetsed space s povded by the shape functons N assocated to each node of the mesh: N (node j) j, 0 othewse. (6) Ths means that equaton (6) needs only to be vefed fo all shape functons N, and that the unknown h can be expessed as: h nb. nodes quaton (6) thus becomes: nb. nodes h h ( x) ( node j). N ( x). N ( x). (63) j j j j j a( nb.nodes j h j (t).n t j,n ) + b( nb.nodes j h j (t).n j,n ) l(n ), nb.nodes, (64) whch can be ewtten: nb.nodes j h j (t).a(n t j,n ) + nb.nodes j h j (t).b(n j,n ) l(n ), nb.nodes, (65) whch s equvalent to the followng lnea system: Wth C (t) + K (t) t em em em [ ] [ ]{ } { } B, (66) em [ C ] j em [ K ] j a(n, N ) nb.elts em { B } l(n ) j b(n, N ) j elt elt nb.elts elt J s t elt elt elt nb.elts sn µ j N dv N j.n dv. N dv + elt µ N j N dv + elt µ (N N )dv j (67) We wsh to daw attenton hee to the fact that usng fnte elements fo electomagnetc computatons n the a eques to mesh a lage enough doman to avod any atfcal

76 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 69 eflecton poblems. It wll be shown n the numecal esult secton that a good qualty computaton must dsplay magnetc feld lnes that do not ntesect the bounday of the global doman. Anothe pont whch helps avod atfcal eflecton poblems s to have well-suted bounday condtons fo the a doman Tme dscetzaton Snce we have chosen to solve the tme-dependent model, we now need to ntegate numecally n tme the space-dscetzed electomagnetc equaton (66). Fo accuacy puposes, we have selected and mplemented a second-ode two tme step fnte dffeence scheme detaled hee. In a fst stage, the system s solved at tme t* such that t < t* < t+δ t : t * a (t dt ) + a t + a (t + dt ) wth a + a + a 3 3 0, (68) whee δt denotes the pevous tme step and δt the cuent one. The electc feld * at tme t* and ts tme devatve wte: * t dt t t + dt a + a + a, (69) 3 t t+ dt t t dt *? dt + (? ) dt t. (70) System (66) s wtten at tme t*. * and ts devatve ae eplaced by expessons (69) and (70). The system s solved fo the unknown vaable * :? a dt 3 c c em * em * * em * em * t em [ C ] + [ K ] { B } + c [ C ] + c [ C ]? dt?a 3 a dt??a + + dt a dt? dt 3 0 * t dt (7)

77 70 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton The two-tme step scheme we have used needs to solve a non-lnea equaton, as the matx [C em ] s dependant on the magnetc feld. In ode to avod an teatve pocedue of esoluton of the system, the matx ae lneazed [58] n ode to depend only on the values at tme t and t-δt : dt dt 3 dt 3 dt. (7) * [ C] (a a )[ C] t dt + (a + a ( + ))[ C] t The second and last stage conssts n the computaton of {} at tme t+δt : t+ dt * t dt t { } ({ } a { } a { } ) a. (73) 3 We have chosen hee to have δt δt δt em fo the electomagnetc tme step. The choce of a good value fo δt em s not obvous; howeve, a value of aound (T/3) o (T/64) - whee T stands fo the peod of the powe cuent supply - seems to be a good compomse between computaton tme costs and esults pecson. We now have a complete numecal scheme whch enables us to compute the esponse n tems of electc feld fo a gven cuent powe supply. As the matx of the lnea system (7) s symmetc and postve defnte, we can solve the lnea system by usng an teatve pe-condtoned conjugate gadent solve; we wll use hee a dagonal pecondtone The movng nducto case In heat teatment applcatons, we ae often faced wth the case of nductos movng contnuously along the z axs. In the matx system (7), the [K em ] matx s modfed wth the supplementay tem σ v due to the dsplacement of the nducto as follows: nb.elts em [ K ] j b(n,n ) j elt elt elt N µ µ j. N (N j N dv + )dv elt µ elt v z N N dv + j N j N dv z (74)

78 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 7 The matx of the system may no longe be symmetc o postve defnte. The teatve conjugate gadent s no longe adapted, we then use nstead a B-GC solve. Howeve n the ange of nducto s velocty one deals wth n the nducton heatng pocesses, usually the supplemental non symmetc tem n the matx of the system s small compaed to the othe tems of the system matx and hence may be neglected, see paagaph..4. When cayng out a global fnte element smulaton, ths could be dealt wth by movng the nducto outlnes and mesh n the global mesh. Howeve, ths can lead qute apdly to lage dstotons of the mesh n the a. and may nduce seveal tme-consumng emeshng of the ente doman. We have adopted hee anothe stategy: - the aea whee the nducto wll move though s ntally defned and meshed sepaately - the electomagnetc popetes of ths aea ae moved back and foth fom a popetes to nducto mateal popetes. The nductos ae moved vtually though a contnuous change of popetes and locaton of souce tems. Ths enables an accuate smulaton of the pocess wthout any mesh dstotons, and thus avods emeshng poblems. Fgue : xample of mesh fo a smulaton wth a col dsplacement: the aea of dsplacement s delmted and meshed

79 7 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Numecal computaton of the electomagnetc powe (Joule effect) The electc feld s not the fnal am of ou model; t s only a stage towads gettng the heat souce tem due to eddy cuent densty. The heat souce ate Q & em - whch wll be used late on n the heat tansfe equaton - needs to be evaluated at evey ntegaton pont of each mesh element of the pat and the nducto. As the electomagnetc chaactestc tme step δt em - s fa smalle than the themal one - δt the -, we ae not nteested n gettng the nstantaneous Joule powe, but athe a mean Joule powe aveaged ove one o seveal peods of the electomagnetc feld. The mean heat souce ate Q & em between tme (n-)t and tme nt s expessed by: nt Q& (nt, nt ) s( nt,t)( nt,t) dt em T, (75) (n )T whee nt s the consdeed ntegaton pont, T s the peod of the powe supply cuent, n s the numbe of peods consdeed and θ (nt, t) s the value at tme t of the electc feld ntepolated at the ntegaton pont nt. At the end of each powe supply cuent peod, the newly calculated mean powe s compaed to the one calculated at the pevous peod and new peods ae computed untl the value of Q & stablzes. In fact, the followng convegence test s conducted at each ntegaton pont: em Q& em ((n + )T, nt ) Q& Q& (nt, nt ) em em (nt, nt ) < e, (76) whee ε s the magnetc convegence paamete. If the cteon (76) s vald fo all ntegaton ponts of the wokpece mesh, themal computatons ae stated wth the stablzed themal souce powe calculated at (n+)t. lectomagnetc computatons wll only be pefomed agan f the electomagnetc paametes have changed wth espect to tempeatue. It s clea that, when dealng wth lnea magnetc mateals and snusodal powe cuent supples, the pevous pocedue conveges n few peods dependng on the value of the magnetc convegence paamete. 3.. The themal poblem

80 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton The ntegal fomulaton The basc appoach wll be the same as fo the electomagnetc poblem. We consde the doman Ω ΤΗ as beng: Ω Ω Ω. (77) TH pat nducto We defne the followng boundaes: - Γ ΤΗ as beng the oute bounday of the Ω ΤΗ doman, - Γ 0 ΤΗ pat of the oute bounday whee the tempeatue s pescbed Dchlet bounday condton, - Γ ΤΗ pat of the oute bounday whee the heat flux s pescbed Neumann bounday condton, - Γ ΤΗ pat of the oute bounday whee thee s a convecton-adaton bounday condton. We need to establsh a weak fomulaton of equaton (40) along wth the bounday condtons specfed n equatons (4)-(44). The functonal space V s defned hee as: V ψ ψ H ( Ω), 0, ψ 0 on Γ. (78) θ 0 TH Afte multplyng equaton (40) by a test functon ψ belongng to the functonal space V, ntegatng on the whole doman, and usng the Geen theoem, we get: O T?C? dv+ t whch wtes: O k T.? dv + GTH ht.? ds O Q&? dv+ em GTH F pescbed.? ds + GTH ht.? ds,? ext V, (79)

81 74 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton T a( t T a( t,?) + b(t,?) l( ψ),? V,,?) O b(t,?) l(?( Q& O em O T?C t? dv, k T.? dv +? dv + F GTH GTH ht.? ds, pescbed.? ds + GTH ht ext.? ds. (80) Hee agan, f we assume ρc and k to be ndependent on tempeatue, ths poblem belongs to the class of paabolc poblems, snce: - the blnea fom a(.,.) s contnuous and postve defnte, - the lnea fom l(.) s contnuous, - the blnea fom b(.,.) s contnuous and V-ellptc. Ths poblem s also a Cauchy-Dchlet-Neumann poblem and the exstence and unqueness of a soluton T(t,x) belongng to L ([0,t];V) can be poven, [43] Fnte element space dscetzaton We use the same mesh fo the pat and nducto as the one used fo electomagnetc computatons. The functonal space V s appoxmated by the dscetzed space V h, the test functons ψ by ψ h and the unknown T by T h. The dscetzed veson of equaton (80) s then: T h nb.nodes nb.nodes h h h h h a( (t),? ) + b( T (t),? ) l(? )? j t j V h. (8) quaton (8) needng only to be vefed fo all shape functons N, and the unknown T h beng expessed as:

82 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 75 T h nb. nodes nb. nodes h h ( x) T ( node j). N ( x) T. N ( x). (8) j quaton (8) thus becomes: j j j j a( nb.nodes j h T j (t).n t j,n ) + b( nb.nodes j T j h (t).n j,n ) l(n ), nb.nodes, (83) whch can be ewtten: nb.nodes j h T j (t).a(n t j,n ) + nb.nodes j T h j (t).b(n j,n ) l(n ), nb.nodes. (84) We then get the followng equatons dscetzed n space: Wth th T th th [ C ] (t) + [ K ]{ T(t) } { B } t, (85) th [ C ] j a(n j, N ) nb.elts elt elt?cn j N dv, th [ K ] j th { B } b(n, N ) l(n j ) nb.elts nb.elts Q& k N. N dv + j elt elt elt G.N dv + F hn N ds, j em pescbed j elt elt elt G elt G N ds + ht ext N ds. j (86) Tme dscetsaton We now need to ntegate numecally n tme the space-dscetzed themal equaton (85). We use the same second-ode two-tme step fnte dffeence scheme as fo the tme ntegaton of the electomagnetc poblem. Ths leads us agan to a two-stage solvng pocedue: Stage : We defne tme t* as:

83 76 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton t * a (t dt ) + a t + a (t + dt ) wth a + a + a (87) The tempeatue feld T* at tme t* and ts tme devatve ae appoxmated by: T * t dt t t + dt a T + a T + a T, (88) 3 T t t+ dt t t dt * T T T? dt + (? ) dt T t. (89) System (85) s solved at tme t* fo T* wth:? a dt 3 c c th * th * * th * th * t th * [ C ] + [ K ] { T } { B } + c [ C ] { T } + c [ C ]? dt?a 3 a dt??a + + dt a dt? dt 3 0 T t dt (90) Matces ae lneazed and do only depend on the values at tme t and t-δt : δt δt. (9) δt δt * [ C] ( α α 3 )[ C] t δt + ( α + α 3( + ))[ C] t δt Stage : The tempeatue feld at tme t+δt s computed: 3.3. The mechancal poblem t + dt * t dt t { T} ({ T} a { T} a { T} ) a. (9) The ntegal fomulaton The basc appoach wll be hee agan the same as fo the electomagnetc and themal poblems. The unknown feld s the dsplacement feld u; we consde the doman Ω M as beng:

84 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 77 We defne the followng boundaes: Ω Ω M pat. (93) - Γ M as beng the oute bounday of the Ω M doman, - Γ 0 M pat of the bounday whee the dsplacement s pescbed Dchlet bounday condton; ths s n fact the symmety axs: u 0 on Γ 0 M, - on Γ M : pat of the bounday whee the extenal stess s pescbed Neumann bounday condton; ths s n fact (Γ ΜΕ - Γ 0 ΜΕ ) and ths s a stess-fee suface: σ.n 0 on Γ ΜΕ. We need to establsh a weak fomulaton of equaton (45) ncludng the specfed bounday condtons. The functonal space V s defned hee as: V v v H ( Ω), θ 0, v 0 on Γ 0 M. (94) Afte multplyng equaton (45) by a test functon - known as an admssble cnematcally dsplacement feld - v* belongng to the functonal space V, ntegatng on the whole doman, and usng the Geen theoem, we get: O s:e( v*)dv O f. v* dv v * V. (95) quaton (95) s often known as the vtual wok pncple. The mateal behavo now needs to be ncluded though ts consttutve law. In the end, we get:

85 78 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton a(u, v*) l( v*)? V wth a(u, v*) l( v*) O O s:e( v*) dv f. v* dv (96) The exstence and unqueness of a soluton u(x) s poven classcally when the mateal behavo s lnea elastc; when the mateal behavo becomes non-lnea, ths ases moe questons whch we wll not detal hee Fnte element space dscetsaton We use the same mesh fo the pat as the one used fo electomagnetc and themal computatons. The functonal space V s appoxmated by the dscetzed space V h, the test functons v* by v* h and the unknown dsplacement feld v by v h. The dscetzed veson of equaton (96) s then: a( nb.nodes j v h h h (t), v* ) l(v * ) v* h V h. (97) quaton (97) needng only to be vefed fo all shape functons N, and the unknown v h beng expessed as: v h (x) nb.nodes nb.nodes h h v (node j).n (x) v.n (x), (98) j j j j j equaton (97) thus becomes: a( nb.nodes j v h j (t).n,n ) l(n ) j, nb.nodes, (99) whch can be ewtten: nb.nodes j v h j (t).a(n j, N ) l(n ), nb.nodes. (00) We then get the followng equatons dscetzed n space:

86 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 79 wth me me [ K ]{ v(t) } { B }, (0) me [ K ] j a(n j me { B } l(n ), N ) (0) In case of non-lnea mechancal behavo, the matx K M n system (0) depends on the soluton. A Newton-Raphson algothm s used n that case to convege towads the soluton Tme ntegaton At each tme step, system (0) povdes us wth the velocty feld. The geomety of the pat s then updated usng an explct tme ntegaton pocedue: t + dt t + dt t { X } { X } + { V }. δ t. (03) 3.4. The couplng pocedue As we have sad pevously, numecal modelng of the nducton heatng pocedue eques the development of a couplng pocedue between: - electomagnetc computatons - themal computatons - mechancal computatons We detal hee the stategy whch we have selected n ode to cay out ths couplng. The computaton takes place n an ncemental way. Two tme steps have been defned: - one tme step δt em fo electomagnetc computatons - one tme step δt th fo themal and mechancal computatons At each tme step, the electomagnetc feld dstbuton and thus the nduced cuents depend explctly on the themal feld of the body, uled by the heat tansfe equaton. Invesely, the

87 80 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton eddy cuents calculated fom the electomagnetc soluton ae used as the themal souces fo the themal fnte element analyss. The handlng of the couplng s caed out n two dffeent stages: The cteon fom electomagnetc to themal calculatons elyng on the stablzaton of the mean heat souce tem ove the electomagnetc peods. Once the electomagnetc feld has been calculated, the ate of heat geneaton Q & em fo the heat equaton needs to be evaluated at evey ntegaton ponts. As the electomagnetc tme step s fa smalle than the themal one, we do not consde the nstantaneous Joule powe calculated at a gven tme at evey ntegaton ponts. We athe consde a mean Joule powe aveaged ove one o seveal peods of the electomagnetc feld: Q em nt ( nt, nt) t t dt T σ (nt, ) θ (nt, ), (04) ( n ) T whee nt s the consdeed ntegaton pont, T s the peod of the powe supply cuents, n s numbe of peods consdeed and θ (nt, t) s the value at tme t of the electc feld ntepolated at the ntegaton pont nt. At the end of each electomagnetc peod, the newly calculated mean powe s compaed to the one calculated at the pevous peod untl t stablzes. The followng convegence test s conducted at evey ntegaton ponts Q em (( n + ) T) Q Q em ( nt) em ( nt) <ε. (05) If (05)s vefed then themal computatons ae stated wth the stablzed themal souce powe calculated at (n+)t, whee ε s the magnetc convegence paamete. The cteon fom themal calculatons back to electomagnetc calculatons s based on the vaatons of the magnetc and electc paametes wth tempeatue. Themal computatons can use the same souce tem deved fom the electomagnetc computatons as long as the physcal magnetc paametes such as the magnetc

88 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 8 pemeablty and the electc conductvty do not change too much. The vaatons wth tempeatue ae tested afte each new themal computatons. The followng ctea ae used fo each mesh element: n σ ( Τ + max ) σ ( Τ σ ( Τ ) n max n max ) < 5% and µ ( n Τ + max ) µ ( Τ µ ( Τ n max ) n max ) < 5%, (06) + Τ n max whee s the maxmum value of the tempeatue feld n the mesh element at tme t + dt and Τ s the maxmum value of the tempeatue feld n the same the n max element at the cuent tme t. When the maxmum elatve vaatons each a gven theshold (5% n ou case), the pevously calculated mean heat powe s assumed to be elevant. A new electomagnetc calculaton s then theefoe caed out.

89 8 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Fgue : Ogansaton of the couplng pocedue 4. Results and dscusson Ths pat s devoted to the pesentaton of some numecal esults and numecal studes. Thee dffeent cases ae pesented hee: - a case wth a statc long (about the same sze as the wokpece) nducto - a case wth a shot (compaed to the sze of the wokpece) nducto - a case wth a movng shot nducto typcal of a heat teatment pocess These cases have been used to check the valdty of the numecal computatons wth espect to expemental data o othe numecal esults. The numecal esults pesented hee enable to bette undestand the behavo of the tempeatue and electc feld wth espect to the physcal and numecal paametes. Results ae also pesented fo the themo-mechancal couplng stage. The computatons of the cases wee un on a sngle pocesso pentum 3 and took maxmum two hous computatonal tme fo the non lnea cases on meshes of aound 0000 nodes. 4.. A statc long jont spes nducto case 4... Descpton of the case The case deals wth a pat n feomagnetc N3 mld steel annealed at 930 C. In ths case, the wokpece s heated by an nducto of the same length as the wokpece. The geomety conssts n a cylndcal N3 pat suounded wth Kaowool nsulaton, a ceamc tube and fnally a thee-layes col. The geomety and the mesh used fo ths case ae dsplayed n Fgue 3. The mult-tun col s modeled as a contnuous sngle col wth a unfom ntal cuent densty.

90 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 83 Bllet heght 0mm Bllet damete 44mm Bllet cente hole damete 3mm Thckness of Kaowool nsulaton 3mm Heght of ceamc fome 0mm Intenal damete of ceamc fome 50mm xtenal damete of ceamc fome 60mm Ceamc mateal Fused Alumna Numbe of layes fo coppe wndngs 3 Numbe of tuns on nne laye 55 Numbe of tuns on mddle laye 54 Numbe of tuns on oute laye 55 Damete of coppe we mm Length of col on fome 7mm Two themocouples have been placed: the fst one on the suface on the mddle of the pat and the second one n a hole boed n the cente of the pat so to measue tempeatue nsde the pat.

91 84 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Fgue 3: Statc long nducto case: geomety and mesh (000 nodes) 4... Magnetc and themal data of the N3 steel The physcal data ae gven by a set of physcal values fo dffeent tempeatues and computed at a gven tempeatue by lnea ntepolaton Themal conductvty lectcal conductvty Specfc heat Tempeatue ( C) Tempeatue ( C) Fgue 4: lectcal conductvty, specfc heat and themal conductvty vesus Tempeatue

92 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 85 The magnetc pemeablty of the N3 steel s dependent on the magntude of the magnetc feld and follows the law: α α H µ ( T, H ) µ 0 +, β + H ( β + H ) whee H s the magntude of the magnetc feld, α and β ae Fohlch coeffcents (α.3695 and β ), and µ 0 s the magnetc pemeablty of the a. The data we get on the N3 steel fo the magnetc pemeablty dd not take nto account the tempeatue dependency of the magnetc pemeablty Pocess paametes Fequency (Hz) 500 Cuent densty (Amps/m ) lectomagnetc tme step (s) T/64 Themal tme step (s) Results and valdaton In ode to enable a vsualzaton of the joule powe, souce tem fo the themal computatons, an effectve electcal feld was defned at a gven node as the ntegaton ove an electomagnetc peod of the squae of the eal nstantaneous electcal feld: eff T (n+ )T n T (t) * dt

93 86 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton whee T s the electomagnetc peod and dt the electomagnetc tme step. Futhemoe ths effectve electcal feld s equvalent to the ampltude of the electc feld n a hamonc complex fomulaton. Fgue 5 shows the effectve electc felds sovalues fo ths case. Due to the hgh value of the pemeablty, we can notce the concentaton of the magnetc feld along the wokpece suface; ths s a well-known physcal effect snce magnetc feld lnes tend to concentate on mateal suface when the magnetc pemeablty gets hgh. It s ndeed a stong pont of ou model that t can take nto account non-lnea magnetc effects. Fgue 5: Long nducto case: effectve electc feld sovalues The non-lnea magnetc electomagnetc popetes of steel tend to dstot the shape of the cuent o voltage wavefoms. Both have been measued n the col. Whethe t s the voltage that becomes dstoted o the cuent depends on the natue of the powe supply. Fgue 6 dsplays the evoluton wth espect to tme of the expemental ntensty measued n the col

94 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 87 and of the electc feld n the pat. The wave s shapes show the same tendences wth smla bumps afte the maxmum and mnmum peaks. Wavefom Analyss fo Small Bllet TQT test bllet, test 7, feq0hz, Mod40, nt temp05c, VA.678kW, Pow.35kW, Amps3.8, Volts83. Voltage Volts SneWave Tme (Seconds) Cuent SneWave Cuent (amps) lectcal feld (V/m) tme (s) a) b) Fgue 6 : a) voluton wth espect to tme of the expemental ntensty n the col ; b) voluton wth espect to tme of the numecally computed electcal feld n the pat. Fgue 7 shows esults obtaned wth the themal couplng pocedue. It shows the excellent ageement between expemental and computed tempeatues on the suface and nsde the wokpece. On one hand, the computed tempeatues on the suface povde a good way to valdate the dsspated heat due to eddy cuents nsde the wokpece and thus the electc feld computaton and the whole electomagnetc pocedue. On the othe hand, the good ageement obseved between the expemental and numecally computed delay on heat popagaton to the ntenal pat of the wokpece valdates the themal couplng pocedue.

95 88 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton xpemental suface Tempeatues Tempeatue ( C) xpemental heat Tempeatues Numecal suface tempeatue numecal heat tempeatue Tme (s) Fgue 7: Long nducto case: compason between expemental and computed tempeatue evolutons Fgue 8 shows the tempeatue esults at two gven tme steps. Heat popagates hee athe unfomly fom the suface towads the cente. Ths s typcal of a global homogeneous heatng applcaton. tme6 s tme40 s

96 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 89 Fgue 8: Long nducto case: Tempeatue feld at two gven tme steps Fgue 9 shows the esults obtaned n tems of velocty feld fo the coupled mechancal computaton. One can obseve the dlataton effects takng place n the wokpece whle t s beng heated. Fgue 9: Long nducto case: nodal veloctes n the mesh at a gven tme step 4.. A statc shot nducto case 4... Descpton of the case The geomety of the case studed hee has been pesented n a pape by Wang [55], whch detals the analytcal solutons fo two dffeent constant magnetc pemeablty of the pat: µ µ 0 and 90 * µ 0 µ. Only the analytcal expesson fo a elatve magnetc pemeablty of one s vald. Fo a elatve magnetc pemeablty geate than, a supplementay due to the

97 90 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton adal devatve of the magnetc pemeablty tem and whch s mssng n the pevously cted atcle, needs to be added, especally on the nteface between the pat and the a, and consdeably modfes the electomagnetc feld. The electomagnetc and tempeatue felds ae shown as well as the mechancal defomatons. Fgue 0 shows the mesh whch has been efned along the wokpece suface n ode to have seveal elements wthn the electomagnetc skn-depth. Fgue 0: Statc shot nducto case: geomety and mesh The physcal and numecal paametes ae summazed n the followng tables: Pocess paametes Cuent densty (A.m - ) lectomagnetc tme step (s) T/3 (T peod) Themal tme step (s) Magnetc and themal data The physcal popetes ae gven fo steel and coppe (espectvely pat and nducto). In ths case, the popetes ae constant n tme. STL (PART) COPPR (COIL) AIR σ (Ω -.m - )

98 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 9 µ elatve o 90 ρc (J.Kg -.K - ) k (W.m -.K - ) dlataton Results and valdaton The electomagnetc feld conveges n thee peods (µ elatve ) o n 8 peods (µ elatve 90) wth a magnetc convegence paamete of 0.000%. The maxmum of the effectve electc feld s located on the suface of the pat fo a magnetc pat. Fgue shows the tme evoluton of the electcal feld fo a non-magnetc mateal at thee dffeent locatons of the ente doman. We can see that the feld s maxmum n the col. A slght delay exsts between the feld n the pat and those n the a o n the col. Fgue : voluton of the electc feld vesus tme fo a non magnetc mateal at thee gven locatons n the col, the pat and n the space n between. The electcal feld s maxmum n the col. We can obseve on Fgue the dsplacement of the maxmum value of the effectve electc feld towads the suface when the pat becomes magnetc.

99 9 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton a) b) Fgue : Statc shot nducto case: effectve electc feld sovalues fo two dffeent pemeabltes of the pat at a fequency of 60 Hz. a) µ elatve b) µ elatve 90 Fgue 3 shows hee agan, that whateve the natue of the mateal magnetc o not-, the electc feld tends to concentate on the suface as the fequency nceases. Ths well-known effect s used fo nstance n heat teatment applcatons whee vey hgh fequences ae used. ffectve electcal feld (V/m) adal coodnate (m) a) f700hz f000hz f5000hz ffectve lectcal feld (V/m) f700hz f000hz f5000hz adal coodnate (m) Fgue 3: ffectve electcal feld pofles on the adal axs fo 3 dffeent fequences f700hz, 000Hz and 5000Hz. a)the pat s a non magnetc mateal (elatve magnetc pemeablty of the pat equal ), b). The pat s a feomagnetc mateal (elatve magnetc pemeablty of the pat equal 90). b)

100 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 93 Fgue 4 povdes us wth a dsplay of magnetc feld lnes fo a magnetc and non-magnetc mateal. Fgue 4: Statc shot nducto case at 60Hz: magnetc lnes fo µ and µ 90 The tempeatue computatons ae caed ove the whole doman. Heat popagates fom the suface cente towads the est of the wokpece and s also conducted n the a. Fgue 5 and Fgue 6 show that fo a gven fequency, tempeatue dstbutons can be totally dffeent dependng on the natue of the mateal. Fgue 5: Tempeatue at two tme steps at a fequency of 60 Hz fo a non magnetc pat (µ elatve ); a) t5s b)t5s

101 94 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Fgue 6: Tempeatue at two tme steps fo a magnetc pat (µ elatve 90); a) ts b)t5s A themo-mechancal coupled analyss has been caed out. As t can be expected, the plot of the nodal velocty feld shows dlataton of the pat n the heated egons and contacton on both edges. a) Fgue 7: Nodal veloctes n the wokpece due to dlataton effects fo a fequency of 60Hz; a) non magnetc mateal (µ elatve ), b) non magnetc mateal (µ elatve 90)

102 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton A movng shot nducto case Ths case deals wth a movng shot nducto - a case epesentatve of what takes place n an nducton heat teatment pocess. As explaned pevously, the dsplacement of the nducto s modeled though a contnuous vaaton of physcal popetes of the mesh. Fgue 8 shows the geomety and the ntal locaton of the nducto n the mesh. Fgue 8: Movng nducto case: geomety and ntal mesh Fgue 9 shows the tempeatue dstbuton at a gven tme step; one can notce the nfluence of the nducto dsplacement on the tempeatue feld n the wokpece. Fgue 9: Movng nducto case: tempeatue sovalues at a gven dsplacement step of the nducto

103 96 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Concluson The stategy developed n ths pape fo couplng electomagnetc and themo-mechancal computatons has poven to be vey effectve n tems of pecson on esults and computatonal effcency. It has enabled us to model nducton heatng pocesses fo vaous anges of fequences low fequency applcatons fo ntal heatng as well as hghe fequences fo heat teatment applcatons. The solvng pocedue fo the electomagnetc poblem has enabled us to consde and model pecsely the case of non-lnea magnetc mateals. Thee s an excellent ageement between numecal and expemental esults. Moeove, the stategy developed has two othe man advantages: - t s well suted fo ntegaton n global optmzaton pocedues. - t enables the use of effcent paallel computaton technques based on a global doman pattonng pocedue. Development of a paallel veson to deal wth lage cases has been caed out. Ths stategy has also been used wth an optmal contol appoach n ode to ensue that some ndustal goals ae eached (eachng a pescbed homogeneous tempeatue, o a cetan level of hadness,.) Futhe developments wll deal wth the extenson of ths stategy to the modelng of theedmensonal poblems. Acknowledgements The authos would lke to thank the uopean Communty fo the fnancal suppot povded fo ths wok (spt poject N 883 ).

104 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 97 Schéma d ntégaton en temps. tude des schémas d ntégaton en temps Un schéma d ntégaton en temps en dfféences fnes du second ode à un pas de temps encoe appelé schéma de Cank-Ncolson (se éfée au paagaphe ( P 3.. 3) de la publcaton pécédente) a été ntalement mplémenté pou ésoude le système ssu de la dscétsaton spatale du poblème électomagnétque. n lançant un calcul électomagnétque su pluseus péodes jusqu à convegence de la pussance électomagnétque ( Publcaton P - 3.4) et en egadant en un nœud donné l évoluton tempoelle du champ électque, on a pu s apecevo de la pésence de fotes oscllatons paastes. Ces oscllatons, vétable atefact numéque, avaent tendance à dmnue en ampltude au fu et à mesue des péodes électomagnétques. Leu pésence allongeat consdéablement le nombe de péodes et donc les temps de calcul nécessaes pou ave à convege. Le schéma d ntégaton tempoel de Cank-Ncolson s est avéé peu adapté à une ésoluton effcace du poblème électomagnétque. Nous avons décdé de teste dfféents schémas d ntégaton du second ode mas à deux pas de temps et nous les avons confontés au schéma de Cank-Ncolson. Ces schémas espectent les condtons de consstance et de stablté (nous envoyons le lecteu à [50] pou plus de détals [5]). Les schémas en temps que nous utlsons sont défns à pat des coeffcents α,α,α 3 et γ : t * * t α (t d t ) + α t + α (t + d t ) avec α + α + α α * t δt? + α t t + α 3 t+ δ t + dt t t dt dt 3, + (? ) dt t. 3 0, Les pncpaux schémas testés sont pésentés dans le Tableau. Schéma de Lees α 3 α 3 α 3 γ 3 Schéma de Dupont α α 4 0 α γ Schéma mplcte α 0 α 0 α 3 3 γ Schéma de Cank-Ncolson α 0 α α 3 γ Tableau : Paamétage des dfféents schémas d ntégaton testés

105 98 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Les calculs ont été effectués su la géométe du cas pésenté dans l atcle de Wang [55] : Fgue 30: Géométe et mallage Le mallage est composé d éléments quadatques à 6 nœuds et est composé de 3556 nœuds. Les paamètes pocédé sont les suvants : Féquence 60 Hz Densté de couant souce A.m - Pas de temps électomagnétque T/3 (T : péode) Pas de temps themque 0.5 s Fgue 3: les paamètes pocédés Les données physques, magnétques et themques, sont données pou un ace type et pou le cuve qu composent espectvement la pèce et l nducteu. Dans ce cas déalsé, les popétés physques ne dépendent pas de la tempéatue. Ace Cuve A σ (Ω -.m - ) µ ρc (J.Kg -.K - ) k (W.m -.K - ) Fgue 3: Données physques des dfféents matéaux : σ est la conductvté électque, µ la peméablté magnétque, ρc la chaleu spécfque et k la conductvté themque.

106 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 99 Un couant snusoïdal est njecté dans l nducteu. tant donné que la pèce est non feomagnétque, le champ électomagnétque obtenu pa un calcul lnéae, devat avo la même confguaton snusoïdale avec toutefos un déphasage possble. Ce déphasage est de l ode de π / 4 pa appot à la souce de couant. Nous avons testé les dfféents types de schéma d ntégaton en temps. Le champ électque monte des oscllatons paastes de gande ampltude pou des schémas plutôt explctes (Cank-Ncolson ou Lees) et ont tendance à dmnue, vo à complètement dspaaîte avec un schéma de Dupont ou complètement mplcte, Fgue 33. Ans un calcul électomagnétque, demandé avec une pécson de % ente deux péodes électomagnétques consécutves, va convege en 6 péodes avec un schéma de Cank Ncolson et va nécesste plus de 60 péodes avec un schéma de Lees! lectcal feld (V/m) CN LS DUPONT mplcte tme (s) Fgue 33 : voluton tempoelle du champ électque en un pont de la suface de la pèce. Ces oscllatons paastes sont dues en pate à une estmaton exagéée de l ampltude du champ électque aux pas de temps de la pemèe péode. Le schéma de Dupont et le schéma mplcte se montent stables et le calcul va convege en 3 péodes.

107 00 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton. Intalsaton des schémas d ntégaton en temps Un aute pont mpotant concene l ntalsaton du schéma d ntégaton en temps. n effet, le schéma d ntégaton à deux pas de temps nécesste de connaîte les valeus du champ t0 électque mposé θ au temps ntal t0 mas auss au temps t t t. Une pemèe t t soluton consste à ntalse le champ électque θ au temps t t t aux mêmes t valeus que le champ θ. Une aute soluton est d utlse un schéma de Cank-Ncolson pou le peme pas de temps. Les Fgue 34 et Fgue 35 montent l nfluence du type d ntalsaton su les schémas d ntégaton en temps de Lees et de Dupont. Pou un schéma de Lees, une ntalsaton pa un calcul de Cank-Ncolson donne un melleu ésultat en édusant l ampltude des oscllatons. n evanche pou le schéma de Dupont, une ntalsaton decte des champs donne un melleu ésultat en ne suestmant pas l ampltude du champ électque au peme pas de temps. Intalsaton pa Cank-Ncholson 50 Intalsatons pa valeus mposées Champ électque (V/m) ,005 0,0 0,05 0,0 0,05 0,03 0,035 0,04 0,045 0, Temps (s) Fgue 34: volutons tempoelles du champ électque calculées pou deux ntalsatons dfféentes du schéma d ntégaton de Lees.

108 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Champ électque (V/m) Intalsaton pa Cank- Ncholson Intalsaton du pas de temps pécédent Oscllatons Temps (s) Fgue 35: volutons tempoelles du champ électque calculées pou deux ntalsatons dfféentes du schéma d ntégaton de Dupont..3 Influence du schéma d ntégaton en temps su le calcul themque L nfluence du schéma d ntégaton en temps su le calcul themque n est pas peceptble dectement dans le sens où on n obseve pas d oscllatons paastes. L absence de choc themque povent du fat que la souce est volumque. La fable dffusvté themque dans la pèce, compaée à la dffusvté électomagnétque (égale à /σµ) de la pèce, ans que le fable pas de temps themque utlsé explquent cette absence d oscllatons. La dfféence de montée en tempéatue povent smplement du fat que l ampltude du champ électque calculé avec un schéma mplcte est légèement plus fable que pou les autes schémas.

109 0 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Tempeatue ( C) Tme (s) CN CN+dupont CN+mplcte dupont mplcte Fgue 36 : voluton tempoelle de la tempéatue en suface de la pèce pou dfféents schémas d ntégaton en temps Ans nous avons vu qu un chox appopé du schéma d ntégaton en temps pou le calcul électomagnétque et themque est fondamental en temes de temps de calcul et de fablté des ésultats. Nous avons décdé de base les calculs électomagnétques et themques su un schéma de Dupont avec ntalsaton des deux pemes pas de temps aux mêmes valeus ntales des champs électques et des tempéatues. 3 Chox du pas de temps électomagnétque Nous avons essayé d analyse qualtatvement l mpotance du chox du pas de temps électomagnétque dans le cas lnéae et non lnéae. Nous avons étudé son nfluence su la pécson des solutons pou le champ électomagnétque.

110 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Cas lnéae Dfféents pas de temps, défns comme des factons de la péode ont été testés. Un pas de temps de l ode de T/0 est le mnmum suffsant pou commence à avo des ésultats fables. Un pas de temps top gand va avo tendance à exagée l ampltude. Le sgnal est de plus en plus déphasé au cous du temps pa appot aux solutons éelles, ce qu monte ben que la féquence elle-même est mal epodute Champ électque (V/m) Temps (s) dtt/0 dtt/0 dtt/50 dtt/00 Fgue 37: voluton tempoelle du champ électque en un pont de la suface de la pèce pou dfféents pas de temps électomagnétque, T étant la péode du sgnal électque. 3. Cas non lnéae Le chox du pas de temps est pmodal. Un pas de temps top sous-estmé va complètement modfe la soluton du calcul, voe même entaîne un poblème de convegence. n effet, l nducton magnétque B est calculée de manèe explcte à pat du champ électque. Une bonne estmaton du champ B est nécessae ca sa nome va pemette le calcul de la nome du champ magnétque H dont va ensute dépende le calcul de la peméablté magnétque µ ( H, T ) pou le calcul du nouveau champ électque. Un pas de temps assez

111 04 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton pett est ndspensable. n evanche un pas de temps excessf va consdéablement aloud les temps de calculs en etadant la convegence des calculs et peut condue à une pete de pécson. Nous avons testé dfféents pas de temps et leu nfluence su le calcul électomagnétque et themque. Il est dffcle d établ une ègle pécse pou le chox du pas de temps, ce dene dépenda de la féquence, de l ntensté du couant applqué à l nducteu mas également de la valeu de peméablté magnétque du matéau de la pèce. Une valeu top gande, en généal supéeue à dtt/64 va génée une nstablté numéque apès quelques pas de temps électomagnétques. Cec se tadut pa une augmentaton tès mpotante du nombe d téatons du solveu, voe même une dvegence. Le cas test utlsé est celu déct dans la publcaton, 4.., se éfée à la Fgue Champ électque (V/m) suface nducteu a suface de la pèce champ ntene à la pèce Temps (seconde) Fgue 38 : voluton tempoelle du champ électque en dfféents ponts du domane pou une féquence de 500Hz, un pas de temps dtt/8, avec la péode T0.00s. Le champ électomagnétque se défome et ne s appaente plus à une snusoïde. L ampltude maxmum du champ électque se stue au nveau de la suface de la pèce et non plus dans

112 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 05 l nducteu comme pou un matéau lnéae. Les défomatons estent néanmons de fable ampltude dans l a et dans l nducteu..5 champ électque (V/m) dtt/8 dtt/ temps (seconde) Fgue 39 : Modfcaton du pofl électque avec le pas de temps à l ntéeu de la pèce 4 Stockage des données et méthode de ésoluton du système matcel La ésoluton numéque des systèmes matcels ésultants des calculs électomagnétque et themque est effectuée pa un solveu téatf. Le chox d une méthode téatve plutôt que decte est justfé d abod pa un gan en temps de calcul mas également pa un gan mpotant en temes de stockage de données, les solveus téatfs ne fasant appel qu à des poduts matce-vecteu. nfn, ce chox nous a pems de nous oente ves une statége de type pattonnement de domane pou le développement de la veson paallèle. La matce du système lnéae ésultant du modèle électomagnétque ou themque étant symétque et défne postve, nous nous sommes natuellement oentés ves un solveu de type gadent conjugué pécondtonné. Concenant le mode de stockage des données, étant donné que le solveu téatf utlse des poduts matce-vecteu, nous avons pu utlse un stockage compact de type Mose pou la matce du système.

113 06 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 4. Stockage des données Il exste dfféents types de stockage possbles pou la matce. Le chox d une méthode va dépende dectement de la natue de la matce (plene ou ceuse) mas également du solveu lu-même, à savo dect ou téatf. Les pncpaux modes de stockage pou les matces ceuses sont le stockage bande, en pofl ou enfn le stockage Mose. Ce dene est le plus économque ca unquement les coeffcents non nuls de la matce du système sont stockés en mémoe. On consdèe c des poblèmes à un degé de lbeté pa nœud (tempéatue ou champ électomagnétque othoadal). Le nombe d nconnues est donc égal au nombe de nœuds. Descpton du stockage mose Dans cette méthode, seul les coeffcents non nuls de la matce sont gadés et stockés dans un vecteu, dt compact. La dffculté pncpale est d avo accès aux coeffcents A j dans le vecteu compact. Cette stuctue de données mplque : un stockage pmae matéalsé pa un vecteu V A de longueu le nombe de coeffcents non nuls de la matce. Pou une matce symétque, unquement les coeffcents non nuls de la pate nféeue de la matce et les coeffcents dagonaux vont ête stockés. un stockage secondae consttué de deux vecteus supplémentaes : un vecteu lgne PL: sa talle est égale au nombe d nconnues nbnoe du poblème et donc au nombe de lgnes de la matce système A. La ème composante du vecteu PL pontant ves le vecteu V A de telle sote que PL() donne l adesse dans le vecteu V A du ème teme dagonal de la matce A. un vecteu colonne PC, de même talle que le vecteu V A de telle sote que PC(j) donne pou le j ème coeffcent du vecteu V A son numéo de colonne dans la matce A. Les vecteus secondaes sont constuts ntalement, avant toute outne d assemblage de la matce, à pat de la topologe du mallage. n effet, les seuls coeffcents non nuls de la matce A sont ceux ésultant des ntégales fasant nteven des nœuds d un même élément ou ben des nœuds d éléments vosns, ayant au mons un coté en commun.

114 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 07 L encombement mémoe pou stocke la matce A est de l ode de n * nbnoe où n est le nombe moyen de nœuds vosns pou un nœud donné et nbnoe est le nombe total de nœuds ou d nconnues du système. Pa exemple, pou le type d élément que nous utlsons, sot des tangles 6 nœuds, le nombe moyen de vosns est égal à 3, sot une capacté de stockage equse de 3*nbnoe. On peut compae cet ode de gandeu avec le stockage bande, couamment utlsé, notamment pou les méthodes de ésolutons dectes. Ce dene equet ldb*nbnoe avec ldb, la lageu de bande de la matce A. Le gan en place mémoe est mpotant. Pa exemple, pou le mallage de pette talle (3556 nœuds) pésentés su la Fgue 30, la talle du vecteu de stockage pmae V A est de talle pou le stockage bande et de talle pou le stockage mose. 4. Le solveu téatf Une méthode téatve de ésoluton du système lnéae est en généal plutôt applquée à des systèmes pésentant un bon condtonnement sous pene d avo des dffcultés, voe une mpossblté de convegence. Nous allons déce l algothme du gadent conjugué, utlsé pou la ésoluton des poblèmes électomagnétques et themques. Apès assemblage des matces pa dscétsaton spatale et tempoelle, nous avons au système matcel suvant: A x b, avec A R n n, matce symétque et défne postve, b n R le second membe et n le nombe de degés de lbeté. Dans note cas, le vecteu des nconnues X epésente sot la composante othoadale du champ électque, sot le champ de tempéatue. Nous ntodusons la fonctonnelle J(x) défne pa : J : R n R, telle que la soluton chechée x mnmse n ( Ax, x) x R J( x) ( b, x). n ( A b, b) (.,.) epésentant le podut scalae dans R. Ans la valeu mnmum de J est, obtenue pou la soluton x A b. Il est équvalent de mnmse J ou de mnmse défn pa n x R ( x) ( ( x), A ( x)),

115 08 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton où ( x) b Ax Ax Ax est le ésdu. La fonctonnelle est mnmsée pa une méthode de descente qu event à détemne, à la k ème téaton, la decton de descente p k 0 et un scalae α k telle que : avec ( xk+ ) < ( xk ), x * k+ xk + α k pk, p β. k k + k * pk Nous pésentons c l algothme de gadent conjugué pécondtonné. Il convege théoquement en au plus n téatons, où n est le nombe d téatons.

116 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 09 Algothme du gadent conjugué pécondtonné Intalsatons X 0 donné 0 b-a x 0 C p 0 0 z 0 p 0 Mnmsaton de J(x k+ ) k k k k k k k k k k k k k p A a p a x x ) p, p (A ) z, ( a kk+ Calcul de la nouvelle decton k k k k k k k k k k k p ß z p ) z, ( ) z, ( ß C z Ctèe d aêt ε + k?? NON OUI FIN

117 0 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Les pefomances de l algothme de gadent conjugué dépendent du condtonnement de la matce du système. Plus cond (A) est poche de, plus vte convegea l algothme. Pou un système mal condtonné ; l est nécessae d utlse un pécondtonneu C, matce nonsngulèe, symétque et défne postve. On consdèe alos le système suvant : C Ax C b. 4.3 Le pécondtonnement Un bon pécondtonneu possède les popétés suvantes : Cond ( C A) < Cond ( A) : en théoe, le chox optmal pou la matce C seat CA de telle manèe que Cond ( C A). Il faut détemne C - auss poche de A - que possble pou que Cond( C A) sot auss poche que possble de. C dot ête auss ceuse que A pou ne pas top aloud les talles de stockage. C dot ête faclement calculable et nvesble pou ne pas top aloud les temps de calculs. n patque, l s agt de touve le bon compoms ente des calculs de C pas top coûteux. C le plus poche possble de A et Il exste pluseus types de pécondtonneus, que l on va déce c-dessous Le pécondtonneu dagonal Ce pecondtonneu consste smplement à epende les temes dagonaux de la matce A : C dag( A). Il est patculèement ntéessant en temes de stockage, en temps et coût de calcul.

118 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 4.3. Le pécondtonneu SOR (Successve Ove Relaxaton) La méthode SOR a été ntodute à l ogne pou accélée la convegence de la méthode de ésoluton téatve de Gauss-Sedel, basée su la décomposton suvante de la matce A : A D - L - U, avec D, la dagonale de A, L la matce tangulae nféeue de A et U la matce tangulae supéeue de A.La matce téaton M de la méthode SOR ésulte d une combnason ente les matces D et L : M D + ω L, avec le facteu de elaxaton 0<ω<. Le pécondtonneu SOR est né de l dée d utlse la même matce M. L avantage d une telle méthode ésde dans le fat que le temps de calcul este elatvement fable, de même que l encombement mémoe. La seule dffculté povent de la détemnaton d une valeu optmale pou ω Le pécondtonneu SSOR (Symmetc Successve Ove Relaxaton) De même que pou le pécondtonneu SOR, le pécondtonneu SSOR a été céé dans le but d accélée la convegence de la méthode de Gauss-Sedel, [8], l s éct : M [ ω ( - ω ) ] ( D + ω L ) D ( D + ω L ) t, avec 0<ω< Le pécondtonneu de Cholesky ncomplet Il est constut à pat de la décomposton de Cholesky de la matce A : A L D L t, avec D, la dagonale de A et L la matce tangulae nféeue de A. La matce L possède des coeffcents non nuls L j 0 alos que les coeffcents de A coespondant aux mêmes couples d ndce (,j) vont ête nuls : A j 0. Ce pont est pénalsant pou un stockage compact de type Mose. Il s agt alos d mpose à la matce L la même stuctue que pou A et ans de néglge des coeffcents de L, [37]. Néanmons, cette décomposton est coûteuse tude de la convegence des dfféents pécondtonneus Nous avons étudé l nfluence des dfféents pécondtonneus décts c dessus su la convegence du gadent conjugué pou la ésoluton des poblèmes themques et

119 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton électomagnétques. Le cas test utlsé est dentque à celu utlsé pécédemment pou l étude des schémas d ntégatons, (Fgue 30), avec les mêmes paamètes physques et pocédés. Le Tableau ésume le nombe d téatons et le temps de calcul nécessaes à l algothme de gadent conjugué pou convege, compaés à un solveu dect de type Cout. GC DIAG SOR SSOR Dect (Cout method) Nombe d téatons pou le calcul électomagnétque XXX Temps (s) 5, Nombe d téatons pou le calcul themque XXX Temps (s) Tableau : Compaason des temps CPU de la méthode de ésoluton du gadent conjugué pou dfféents pécondtonneus et pou le solveu dect de Cout pou un mallage de 3556 nœuds. Le gadent conjugué non pécondtonné va convege pou le calcul themque en un nombe d téatons supéeues au nombe de nœuds. Ce poblème est dû au tès mauvas condtonnement de la matce, dû à la fable dffusvté de l a. S pa exemple, on emplace la dffusvté de l a pa celle du cuve, l algothme de gadent conjugué va convege beaucoup plus apdement, en à peu pès 350 téatons. Cette étude compaatve nous monte l mpotance de l utlsaton d un pécondtonnement pou nos systèmes matcels. Ce pécondtonnement s avèe ête même nécessae pou le calcul themque qu autement ne convege plus. Les dfféents pécondtonneus affchent des pefomances smlaes. Ils édusent le nombe d téatons et le temps CPU pa deux pou un calcul électomagnétque. Ce gan en temps de calcul s accoît avec la talle du mallage. Les pécondtonneus SOR et SSOR ont des pefomances dentques. Le désavantage pncpal este le chox optmal du paamète de elaxaton ω opt dont la valeu peut vae avec la talle de malle, ou ben avec les défomatons du mallage. Nous avons utlsé des valeus de ω compses ente.5 et.5.

120 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Dscusson Un solveu téatf a été mplémenté et testé avec succès su les systèmes matcels électomagnétques et themques. Il a pems de gagne en temps de calcul CPU mas également en place mémoe, étant donné que lu est assocé un stockage compact de type Mose. Pa alleus, au vu des pefomances des dfféents pécondtonneus, nous avons décdé d utlse un pécondtonneu dagonal. 5 Influence du teme de dévée de la peméablté magnétque Le teme de dévée adale (59) de la peméablté magnétque est aement ps en compte dans les modèles électomagnétques vus dans la lttéatue. Néanmons l peut change consdéablement la fome de la soluton. Repenons le cas test pésenté Fgue 30 avec smplement la peméablté magnétque elatve de la pèce qu est mantenant égale à 50. On lance deux calculs s appuyant su deux modèles dfféents : le peme pend en compte le teme supplémentae et le deuxème le néglge. On tace le pofl adal du champ électque dans le domane 60 Pèce Inducteu Champ électque (V/m) avec le teme volumque sans le teme volumque coodonnée adale (mète) Fgue 40 : Pofls adaux de champ électque calculés à pat de modèles consdéant le teme volumque supplémentae ou non

121 4 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton La Fgue 4 monte la dfféence de montée en tempéatue que cela mplque en suface de la pèce. C est en effet en suface de la pèce que la dfféence de tempéatue, due à la pse en compte de ce teme, est la plus exacebée (pa appot aux zones ntenes) Tempeatue ( C) sans le teme volumque avec le teme volumque Temps (seconde) Fgue 4 : volutons de la tempéatue en suface de la pèce calculées à pat de modèles consdéant le teme volumque supplémentae ou non nfn la Fgue 4 nous monte l évoluton du pofl adal du champ électque calculé avec le modèle complet pou dfféentes peméabltés. On emaque que dès que note matéau devent magnétque, l ampltude maxmum du champ électque dans tout le domane se etouve su la suface de la pèce.

122 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton mu mu50 mu90 40 champ électque (V/m) Pèce coodonée adale (mète) Inducteu Fgue 4 : Vaaton du pofl du champ électque calculé avec le modèle complet pou dfféentes peméabltés magnétques elatves 6 léments de valdaton supplémentaes La publcaton pécédente donne des exemples de valdaton de note modèle pa appot à des mesues expémentales. Des études de valdaton supplémentaes ont été menées d une pat pa compaason avec le code de nos patenaes slovènes et d aute pat pa compaason avec une soluton analytque, tée de l atcle de Wang [55]. 6. Compaason ente les codes du CMF et de LNMS Nous avons compaé des ésultats de smulaton ente les codes de CMF et de LNMS (Laboatoy fo Numecal Modelng and Smulaton) de l unvesté de Ljubljana. Le code développé pa LNMS ésout le poblème électomagnétque en s appuyant su une fomulaton hamonque. La méthode de ésoluton est une méthode mxte éléments fns éléments fontèes. Les codes sont compaés su un cas lnéae avec une pèce non magnétque. n effet dans ce cas, la fomulaton hamonque est tout à fat valable et les deux codes sont censés donne exactement les mêmes ésultats.

123 6 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton La cas test utlsé a été défn au paagaphe., Fgue 30. La géométe, les paamètes d entés et les paamètes physques sont dentques. Seule la féquence vae, penant les valeus f0.7 khz, khz et 5kHz. Afn de pouvo compae le champ électque complexe, ésultant du modèle hamonque (LNMS) et le champ électque éel nstantané (CMF), un champ électque effectf a été défn, calculé à pat des valeus de champ nstantané (t) moyenné su une péode électomagnétque. Ce champ électque effectf eff est équvalent à la nome du champ électque complexe ~ à un facteu pès : (n+ )T ~?? eff (t)* dt, T où T est la péode électomagnétque et dt le pas de temps électomagnétque. La Fgue 43 monte les pofls de champ électque obtenus à pat des dfféents codes pou tos féquences dfféentes. nt 80 f700 CMF f000 CMF f5000 CMF f700 LNMS f000 LNMS f5000 LNMS 70 Champ électque (V/m) ayon (mm) Fgue 43 : Compaason des pofls du champ électque effectf (code du Cemef) et de la nome du champ électque complexe (code de LNMS). Les pofls sont tacés dans la pèce de ayon 0mm.

124 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 7 Les pofls obtenus se supeposent quasment avec un tès lége écat pou la féquence la plus élevée (5000 Hz). Cet écat est dû au mallage assez gosse utlsé, sutout dans l épasseu de peau. Ans les deux codes donnent des ésultats smlaes pou un matéau lnéae, non feomagnétque. Un aute pont mpotant concene les condtons aux lmtes utlsées. n effet, nous avons vu qu une fomulaton éléments fns oblge à feme atfcellement le domane d étude et le chox des condtons aux lmtes n est pas focément évdent. n evanche, le domane ouvet est ben ps en compte dans la fomulaton mxte éléments fns / éléments fontèes. Ces compaasons nous pemettent également de valde le chox des condtons aux lmtes de type Robn : θ n + θ e. n 0, (07) du mons pou cette talle de domane chos. Il est cetan qu un domane a top pett va consdéablement dmnue la qualté des ésultats. 6. Compaason avec une soluton analytque Nous avons compaé les solutons numéques avec les solutons analytques fomulables pou le cas smple que nous avons pésenté au paagaphe., Fgue 30. Nous ne consdéons néanmons que la fomulaton étable pou un matéau de peméablté elatve égale à. L aute fomulaton, étable pou un matéau de peméablté elatve égale à 90, se évélant ête nexacte du fat de l absence du teme de dévé adale de la peméablté magnétque à l nteface pèce-a. La féquence utlsée est de 60 Hz. La Fgue 44 nous monte l évoluton tempoelle de la tempéatue en tos dfféents ponts de la pèce: en suface, su l axe et en un pont stué à égale dstance des deux ponts pécédents. Nous voyons une bonne adéquaton ente les ésultats analytques et numéques.

125 8 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Tempeatue ( C) pont en suface pont au mleu pont su axe de symete Temps (s) a) b) Fgue 44 : voluton tempoelle de la tempéatue en suface de la pèce, su l axe de syméte et ente les deux. a) soluton analytque tée de l atcle de Wang [55] ; b) soluton numéque 7 Applcatons à un cas ndustel de tatement themque d un leve de boîte de vtesse Le cas ndustel que nous pésentons concene le tatement themque d un leve de boîte de vtesse. Ce test nous a été poposé pa le goupe talen TQT-SIAP, patenae du pojet euopéen Heatmaste. Le chauffage pa nducton est c utlsé pou duc pa tatement themque cetanes zones de la pèce (Fgue 45) afn d augmente la dueté en suface, la ésstance à la fatgue et à l usue. Les zones tatées dovent sub des évolutons tempoelles pécses de tempéatues, ces denèes étant dctées pa les coubes de tansfomaton sotheme ou coubes TTT. Les féquences couamment utlsées pa TQT sont de l ode de 0kHz. Les zones tatées, ntalement de stuctues austéntques, sont chauffées apdement à une tempéatue compse ente 900 C 950 C pus efodes busquement afn d obten une stuctue matenstque.

126 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 9 Fgue 45 : cette photo monte la pèce avant tatement themque (pèce de dote) et apès (pèce de gauche) Les caactéstques géométques, ans que les zones à tate et les zones de déplacement des nducteus sont epésentées su la Fgue 46. Les deux zones en bas de pèce sont tatées l une apès l aute successvement, pus l nducteu est eté, la pèce est etounée automatquement et le tatement de la denèe zone s effectue.

127 0 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Fgue 46 : Géométe du leve de boîte de vtesse. Les zones en ouge epésentent les zones subssant un tatement de suface. Les zones de déplacement de l nducteu sont également epésentées.

128 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Le leve de vtesse est fabqué à pat d un ace avec les popétés électomagnétques et themques suvantes : Chaleu spécfque :.4+07 Ace NCMo5 Chaleu spécfque.+07 Chaleu spécfque (W/mK) Tempeatue (C) Conductvté themque 50.0 Conductvté themque du NCMo Conductvté themque Tempeatue

129 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Conductvté électque Conductvté électque du NCMo Conductvté électque (S/m) Tempeatue (C) La peméablté magnétque est décte pa le modèle de Fohlch avec les valeus suvantes pou les coeffcents : α.3695 et β µ ( T, H ) µ 0 α + β + H α H ( β + H ) La tempéatue ntale de la pèce est de 0 C. La vtesse de déplacement de l nducteu est de cm/s. Fgue 47 monte les ISO valeus du champ électque effectf et de tempéatue obtenues au cous du déplacement de l nducteu pou la modélsaton de la pate haute de la pèce.

130 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 3 Fgue 47 : Iso valeus du champ électque effectf pou deux postons de l nducteu. La Fgue 48 monte l évoluton des so de tempéatue au cous du déplacement de l nducteu.

131 4 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton Fgue 48 : Iso-valeus des tempéatues au cous du temps. La smulaton pemet alos de modfe les dfféents paamètes pocédés, afn de se appoche des objectfs en temes d évolutons tempoelles de tempéatue. L épasseu de la couche matenstque peut ans ête calculée à pat d un dagamme TTT.

132 Chapte : Modélsaton du chauffage pa nducton 5 8 Concluson Dans ce chapte, nous avons pésenté les modèles électomagnétques, themo-mécanques, ans que leus dscétsatons tempoelles et spatales. La statége de couplage a été décte ans que le chox du solveu, en l occuence un gadent conjugué avec un pécondtonneu dagonal. Des études complémentaes su les pas de temps, les schémas en temps ans que des tests de valdaton ont été nécessae afn d obten un modèle dect fable et obuste. Ces qualtés sont essentelles pou l optmsaton du pocédé pa analyse nvese, []. Ce modèle s avèe ête tès souple, pouvant tate n mpote quel matéau et n mpote quelle ntensté d entée dans l nducteu. Néanmons, l peut se évéle coûteux en temps de calcul, notamment au nveau de la ésoluton magnétque qu peut nécesste un nombe mpotant de péodes avant de convege, ou ben dès los que l on pend en compte un déplacement de l nducteu. La pochane étape nécesste la paallélsaton du code afn de édue les temps de calcul et de pemette l étude d applcatons avec des talles de mallage mpotantes.

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134 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 7 Chapte 3 Calcul paallèle en modélsaton numéque des pocédés de chauffage pa nducton Dans le cade du pojet euopéen Heatmaste, un des objectfs a été la paallélsaton du modèle de smulaton numéque du pocédé de chauffage pa nducton. Les avantages d une veson paallèle d un code de smulaton sont pncpalement de deux odes - D une pat, en temes de temps de calcul, la veson paallèle pemet d améloe les pefomances du modèle couplé électomagnétque - themomécanque en édusant de manèe notable les temps de calcul. Los d une étude, les temps de éponse sont ans beaucoup plus couts et vont pemette une plus gande éactvté des bueaux d étude. Le nombe de smulatons possble dans un temps asonnable s en touve lagement augmenté, améloant de façon notoe la qualté généale de l étude. - D aute pat, en temes de besons en mémoe, l utlsaton d une veson paallèle pemet de dvse la chage de taval ntale pa le nombe de pocesseus utlsés. Ans des mallages éléments fns ne pouvant ête tatés en séquentel dûs aux lmtatons des capactés mémoes des calculateus vont pouvo ête consdéés avec un code paallèle. Ces mallages de beaucoup plus gande talle pemettent d améloe la pécson de l étude de cas éels ndustels en autosant un affnement mpotant dans les pèces et les nducteus mas également la modélsaton d nstallatons de talles mpotantes, pa exemple avec des nducteus longs ou en sée, nécesstant des mallages avec un nombe tès mpotant d éléments fns. Il exste une gande vaété de calculateus paallèles avec des achtectues dfféentes, chacun caactésé pa sa ganulaté, sa topologe ans que le mode de contôle des données.

135 8 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton Les chox du nveau de paallélsaton d un code séquentel et d une méthode de paallélsaton vont ête dctés pa - le type d achtectue de la machne paallèle (paallélsme massf ou à gans moyens ou gosses) - la méthode numéque employée (éléments fns, méthode des ntégales de fontèe) ans que la natue du système matcel ssu des dscétsatons spatale et tempoelle du modèle physque Le but est d obten les melleues pefomances possbles. n effet un même code paallèle peut se monte effcace su un calculateu paallèle donné mas ête complètement nadapté à un aute confguaton de machne. D aute pat, une qualté essentelle d un code commecal dot ête sa potablté, c est à de sa capacté à este effcace d une achtectue à l aute ou du mons su des types ou famlle de calculateus donnés. Nous allons commence pa passe en evue dans un peme paagaphe les notons de base en calcul paallèle, les types d achtectue des calculateus paallèles ans que les caactéstques pmodales d un logcel paallèle pefomant en temes de gan en temps de calcul. Comme nous le veons, nous avons décdé de nous oente ves une statége de pogammaton de type «Message Passng» éellement adaptée aux méthodes éléments fns mplctes, qu sont celles qu nous concenent. Nous détallons, dans le second paagaphe, les dfféentes méthodes exstantes basée su le paadgme de pattonnement de mallage et de pogammaton pa échange de messages. La méthode utlsée est ensute exposée dans la publcaton que nous avons nséé et les ésultats en temes de mesue de pefomances sont détallés. Généaltés su le calcul paallèle. Mesue des pefomances d un code paallèle Pou estme les pefomances et donc la qualté d un code paallèle, l faut quantfe les gans en temps de calcul du code paallèle pa appot au code séquentel. Ces mesues de pefomances peuvent vae suvant le nombe de pocesseus et la talle du domane étudé en temes de nombe de nœuds. n effet un algothme paallèle donné peut s avée mons effcace s le nombe de pocesseus utlsés devent top mpotant, cec notamment à cause des coûts de communcatons.

136 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 9 Deux gandeus sont communément utlsées pou quantfe les pefomances d une mplémentaton paallèle : l accéléaton ou speed-up C est le appot ente le temps d exécuton t séq du code séquentel et le temps t Np d exécuton du code paallèle su N p pocesseus t seq S (08) t Np Le but est d obten un code paallèle offant un facteu d accéléaton maxmal. n patcule, pou un calcul lancé su N p pocesseus, l déal seat d obten un algothme s exécutant N fos plus vte que le melleu algothme séquentel. Quand de telles p pefomances sont attentes, S N p ou du mons S de l ode de paallèle attent un facteu d accéléaton lnéae. N p, on dt que l algothme - l effcacté C est le appot de l accéléaton su le nombe N p de pocesseus utlsés S (%) 00 (09) N p L effcacté d un code paallèle peut chute assez apdement avec le nombe de pocesseus, on dt dans ce cas que l algothme n est pas extensble ( ou encoe scalable).. Achtectue des calculateus paallèles Il exste une gande vaété de calculateus paallèles, egoupant dans la même catégoe auss ben des supecalculateus vectoels que des éseaux de statons de taval. Chaque type de calculateu possède une achtectue dfféente qu va ête caactésée pa l ogansaton de sa mémoe, sa ganulaté, la topologe des connectons ente les pocesseus et pa le mode d ogansaton des tâches des pocesseus.

137 30 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton a/ Ganulaté La ganulaté d une machne est le appot ente la pussance totale de calcul et le nombe de pocesseus. Un calculateu de ganulaté fne (élevée) va posséde un gand nombe de pocesseus à fable pussance de calcul. Ce type de machne va pemette de fae du paallélsme massf. Les calculateus à gan moyen ou gosse possèdent nvesement un pett nombe de pocesseus à fote pussance de calculs. b/ L ogansaton de la mémoe On dt que la mémoe est patagée s tous les pocesseus accèdent à une mémoe commune (Fgue 49) et ne dsposent pas de mémoe locale. MMOIR P P P3 P4 Fgue 49 : Achtectue à mémoe patagée su un calculateu à quate pocesseus Invesement, la mémoe est dte dstbuée s chaque pocesseu dspose d une mémoe locale (Fgue 50) M M M3 M4 P P P3 P4 Fgue 50 : Achtectue à mémoe dstbuée su un calculateu à quate pocesseus Des ogansatons ntemédaes, dtes à mémoe héachque (Fgue 5), exstent. Les pocesseus ont accès à une mémoe patagée et possèdent chacun une mémoe locale qu leu est pope. Cette denèe catégoe egoupe la plupat des calculateus paallèles, la mémoe locale étant au mnmum la mémoe cache.

138 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 3 MMOIR M M M3 M4 P P P3 P4 Fgue 5 : Achtectue à mémoe héachque su un calculateu à quate pocesseus c/ Topologe Le éseau d nteconnectons ente les dfféents pocesseus peut evêt des fomes vaées : lnéae, glles, abes, hypecubes sont les plus populaes. Réseau lnéae de 5 pocesseus Réseau en anneau de 6 pocesseus Réseau en hypecube de 8 pocesseus Réseau en glle de 0 pocesseus L hypecube est, pam les éseaux connus, un des plus emaquables et des plus effcaces pou la pogammaton paallèle. Il s adapte auss ben à des tâches spécfques qu à la mse

139 3 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton en œuve de calculs généalstes et peut smule effcacement tout aute éseau de même talle. L hypecube est un chox excellent de base achtectuale et est souvent adopté pou une machne paallèle généalste. d/ Ogansaton du taval des pocesseus Il exste deux modes d ogansaton des pocesseus : - Les pocesseus peuvent sot tavalle tous ensembles de manèe dentque et synchone. Seules les données tatées dffèent. Le calculateu est de type SIMD (Sngle Instucton flow Multple Data flow). - Les pocesseus tavallent de manèe asynchone su des tâches dfféentes. Ils ont chacun leus popes nstuctons. Le calculateu est de type MIMD (Multple Instucton flow Multple Data flow). Chaque mode est plus ou mons assocé au type de ganulaté du calculateu paallèle. Des calculateus à ganulaté fne sont en généal SIMD. Une ganulaté gossèe est typquement utlsée en MIMD. e/ Pefomances d un calculateu paallèle Les pefomances d un calculateu paallèle sont évaluées pa sa vtesse de cête en Mflops (mllon floatng pont opeatons pe second). lle est obtenue en multplant la vtesse de cête d une unté, consttué d un pocesseu et d une mémoe, pa le nombe de pocesseus. Néanmons, cette donnée este appoxmatve ca elle ne pend pas en compte les temps d accès à la mémoe ou les temps de communcaton..3 Potablté et langage de pogammaton La potablté d un code paallèle va dépende dectement de la statége de paallélsaton mas également du type de langage utlsé et des lbaes de communcaton.

140 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 33 Il exste pncpalement deux nveaux de langage de pogammaton paallèle : - Langage à paallélsme de données «data paallel» : ce langage est adapté à des calculateus SIMD à gans fns et à mémoe patagée. Le paallélsme est géé automatquement dès la complaton, la mémoe centale est patagée vtuellement pa le complateu. Le pogammeu dot oganse la séquence d exécutons de manèe à ce que les données appatenant à une même zone mémoe ne soent pas modfées smultanément. On peut cte le langage HPF (Hgh Pefomance Fotan) ou OpenMP. Le lecteu peut se éfée à [56] pou une pésentaton complète de ce langage. - «Message passng» : les communcatons et échanges de données ente pocesseus sont géés pa le développeu qu va utlse des fonctons de base, pou ntalse le éseau, envoye et éceptonne des messages de manèe synchone ou asynchone. Ce mode de pogammaton est tès épandu su les machnes MIMD à mémoe dstbuée, mas peut auss ben ête utlsé su les machnes à mémoe patagée. Dans ce cas, les messages ne sont pas explctement envoyés, la lbae géant alos smplement l accès à la mémoe. Deux lbaes sont majotaement utlsées : PVM (Paallel Vtual Machne) et MPI (Message Passng Inteface). Le pogammeu a le chox ente pluseus statéges de pogammaton : - MIMD (Multple Instucton Multple Data) : les séquences de code sont développés dfféemment pou chaque pocesseu qu effectue des tâches dfféentes - Maîte-sclave : un pocesseu maîte dstbue les tâches aux pocesseus esclaves - SPMD (Sngle Pogam Multple Data) : tous les pocesseus exécutent le même pogamme. Une pogammaton basée su les lbaes standads explctes PVM ou MPI va génée un code faclement potable su dfféent types d achtectues. n evanche un code généé spécfquement pa un langage à paallélsme de données va se évéle plus effcace su une machne à mémoe patagée mas va ête dffclement potable.

141 34 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton.4 Optmsaton du code paallèle Les ègles d o pou pouvo lmte au maxmum les petes de pefomances consstent à : a/ paallélse au maxmum le code : n effet, la lo d Amdhal () monte que l accéléaton maxmum pouvant ête attente pa un code paallèle est lmtée pa la facton de temps de calcul effectuée en séquentel, [56]. Pou démonte cette lo, on peut décompose le temps d exécuton d un code séquentel en une pate séquentelle et en une pate paallélsable : t t + t, seq seq seq // seq seq // où t seq est le temps d exécuton séquentel de la facton de code non paallélsable et t seq est le temps d exécuton séquentel de la facton de code paallélsable. De même, on peut décompose le temps d exécuton de code paallèle su Np pocesseus en une pate séquentelle et une pate paallèle : t t + t, Np seq Np seq // où t Np est le temps d exécuton paallèle de la facton de code non paallélsable et t Np est le temps d exécuton paallèle de la facton de code paallélsable. On a égalté ente les temps d exécuton séquentels accéléaton lnéae : seq t seq et // Np seq t Np. D aute pat, pou un code paallèle déal, on auat une t // Np // t seq. Np On ntodut λ, la popoton de calcul paallélsable : t // seq λ. (0) t seq L accéléaton (08) devent : S ( λ ) + λ N P. ()

142 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 35 S λ, le code est complètement paallélsable et S Np. S λ0, le code n est pas du tout paallélsable et S. Ans une paallélsaton patelle d un code séquentel n est pas une bonne appoche. Cette facton de temps séquentelle se tadut sot pa un calcul edondant su tous les pocesseus (la tâche séquentelle est effectuée pa tous les pocesseus sans communcaton), sot le calcul est effectué su un pocesseu, les autes étant en attente jusqu à ce que le ésultat de la tâche séquentelle leu sot communqué. On s apeçot que dans l une ou l aute méthode, la pete d effcacté va dépende dectement du nombe de tâches à effectue en séquentel. n conséquence, l s agt de mnmse au maxmum la facton non paallélsable d un code séquentel. b/ Mnmse les temps de communcatons : le temps de tansfet des données d un pocesseu ves un aute se décompose classquement de la manèe suvante : t t + t + N t, () communcaton nt tampon octet Avec t communcaton : temps de tansfet du message de talle N octets, t nt : temps d ntalsaton de la communcaton, t tampon : temps d affectaton des données dans une mémoe tampon, t octet : temps de tansmsson d un octet. Ces temps d ntalsaton et de débt vont dépende des caactéstques ntnsèques du calculateu. S le temps d ntalsaton est mpotant, on aua ntéêt à condense les communcatons pou envoye un mnmum de messages longs plutôt que beaucoup de messages couts. Le débt des données va dépende de la topologe du éseau. Un éseau en coss-ba va tansfée smultanément les données ves tous les pocesseus alos qu un éseau en anneau va tansfée les données de manèes séquentelles avec un temps de latence non néglgeable. c/ épat unfomément les chages de taval ente les dfféents pocesseus : Les pocesseus mons sollctés, une fos leu tâche mmédate temnée vont devo attende passvement le dene pocesseu actf. Un déséqulbe des chages se tadut claement pa

143 36 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton une utlsaton non optmale des essouces nfomatques et engende donc une pete d effcacté du logcel. D aute pat, l mplémentaton paallèle va fae appel à des pocédues supplémentaes pa appot au code séquentel, pa exemple pou l ntalsaton de l envonnement paallèle ou la geston des ntefaces ente sous-domanes paallèles, ce qu nécesste des tableaux de stockage supplémentaes et donc un coût addtonnel en place mémoe et en temps de calcul compaé à la veson séquentelle. Ans les tos ponts pécédemment ctés sont pmodaux et nous avons vellé à ben les pende en compte los du chox de la méthode de paallélsaton et los de l mplémentaton des algothmes. Méthodes paallèles Dvse pou égne Les méthodes de patage ou de sous-stuctuaton sont effcaces pou édue la place mémoe equse pou stocke le système d équatons aux dévées patelles, obtenu apès dscétsaton pa une méthode éléments fns du poblème physque. Cette éducton sgnfcatve des besons en stockage et du nombe de données à tate pa entté de calcul va consdéablement augmente la vtesse de la pocédue de ésoluton. Nous allons nous ntéesse pncpalement à l appoche dvse pou égne qu egoupe des méthodes de type décomposton de domane et de type pattonnement de domane. n effet ces méthodes sont patculèement ben adaptées pou des calculateus à gans gosses ou moyens, qu demandent pou ête pefomant une ésoluton au nveau de sous-domanes du mallage, contaement au paallélsme massf qu utlse généalement une appoche dfféente avec une ésoluton se stuant plutôt au nveau des nœuds ou des degés de lbetés, [56], [53]. La méthode de ésoluton téatve pou obten une soluton globale se stue à des nveaux dfféents suvant que l on utlse une méthode de décomposton de domane ou une méthode de pattonnement de domane - méthode de décomposton de domane : le poblème mathématque ntal global est dvsé en un nombe de sous poblèmes locaux ésolus su chaque sous-domanes et en un poblème aux ntefaces. Les sous poblèmes locaux sont complétés avec des condtons de Dchlet ou de Neumann su les ntefaces ssus sot du calcul pécédent su le domane adjacent, sot pa la ésoluton d un poblème condensé aux ntefaces, pus sont

144 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 37 ésolus localement pa un solveu téatf ou dect. La soluton globale est sot constute pa téaton successve su les dfféents sous-domanes pa une méthode du pont fxe (méthode altenatve de Schwaz), sot pa la ésoluton téatve d un poblème condensé aux ntefaces des sous-domanes (méthode du complément de Schu). Cette méthode est sutout utlsé pou des systèmes globaux mal condtonnés suppotant mal un solveu téatf. n evanche, elle nécesste une mplémentaton spécfque pou la ésoluton téatve et peut s avée peu scalable. - méthode de pattonnement de domane : les matces locales sont constutes su chaque sous-domane. Pus la soluton globale est obtenue pa une ésoluton téatve globale à pat d un solveu téatf péalablement paallélsé.. Méthode de décomposton de domane pou un poblème paabolque Les méthodes de décomposton de domanes pemettent de ésoude un système d équatons aux dévées patelles su des sous-domanes plus petts obtenus en pattonnant le domane d étude ntal. Chaque pocesseu va constue localement su le sous-domane qu lu est alloué le système matcel coespondant mas avec des condtons aux lmtes patculèes su les ntefaces des domanes, cec de manèe concuentelle ente les dfféents pocesseus. Les sous poblèmes ans généés sont ésolus localement. Les technques pmales consstent à ésoude des sous-poblèmes su les dfféents sous-domanes en espectant des condtons de contnuté su les nconnues elles-mêmes aux fontèes des sous poblèmes adjacents, jusqu à convegence des solutons locales à chaque sous-domane. Ces méthodes evennent à ésoude des sous poblèmes locaux avec des condtons aux lmtes de Dchlet aux ntefaces (valeus des nconnues fxées, obtenues pa le calcul pécédent). Les méthodes duales, en evanche, mposent des condtons aux ntefaces de type Neumann su les nconnues. La condton de contnuté su les valeus, au passage de l nteface, est quand à elle mposée pa des multplcateus de Lagange. Une soluton globale est obtenue pa une ésoluton decte [4] ou téatve du ou des systèmes lnéaes. Nous allons nous estende c à la descpton des algothmes de décomposton de domane téatfs. n effet, les méthodes de décomposton de domane téatves pésentent dans la majoté des cas un avantage cetan su les méthodes dectes en teme de temps de calcul et de stockage des données.

145 38 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton Nous allons spécfquement nous ntéesse à l applcaton de ces méthodes à un poblème de type paabolque. Pou des poblèmes de type ellptques, nous envoyons le lecteu aux thèses de. Pechat [40], S Mae [33] et à l atcle de Chan and al []. Nous allons déce les algothmes de décomposton de domane applqués à la ésoluton du système d équatons obtenu pa une dscétsaton mplcte du poblème paabolque ntal suvant pou (, t) Ω [0, T ] : u L u g su t 0 u (,0) u ( ) u(, t) 0 Ω [0, T ] su Ω su Ω [0, T ] (3) où g g( t, ), u 0 ( ) sont donnés et L est un opéateu ellptque. Ben que les méthodes pésentées s applquent à un opéateu ellptque L quelconque, nous allons nous ntéesse plus spécfquement à la ésoluton du système paabolque suvant (4) avec L de la fome L ( a.), le paamète a epésentant sot le coeffcent de tansfet themque k dans le cade de la themque, sot a/µ avec µ la peméablté magnétque dans le cade de la ésoluton électomagnétque. On pécse que pou le modèle électomagnétque, des temes supplémentaes, de type b.u vennent s ajoute. Leu pésence ne modfant pas la méthode décte, nous ne les mentonnons pas c dans un souc de claté. u (a u) t 0 u (,0) u () u(, t) 0 g su su O su O O [0, T] [0, T] (4) On consdèe une dscétsaton éléments fns en espace et en dfféences fnes en temps. Pa exemple avec un schéma d ule mplcte, on obtent le système lnéae : n+ n n+ ({ u} { u} )/ dt M{ u} + { g} n { u} 0 { u} 0 n+, (5)

146 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 39 où M est la matce ceuse, symétque et défne postve ssue de la dscétsaton éléments fns de ( a u), et dt est le pas de temps. Des équatons smlaes sont obtenues avec un schéma de Cank-Ncolson ou à deux pas temps. A chaque téaton, le système lnéae suvant dot ête ésolu : n+ { } n n+ u { u} + dt { g} ( I + dt M ), (6) où I est la matce dentté. Pou des asons de smplcté d éctue, nous allons consdée le système lnéae : avec A ( I + dt M ) n { } + n u { f } + n et { } n n { } { } + f + u + A, (7) dt g, A est une matce ceuse, symétque. Il exste pncpalement tos types de méthodes de décomposton de domane que nous allons passe en evue : deux méthodes pmales et une méthode duale Méthode altenatve de Schwaz Méthode du complément de Schu pmale Méthode du complément de Schu duale La descpton des ces méthodes est llustée su une patton du domane ntal en deux sous-domanes pou faclté la compéhenson. Une extenson de ces méthodes à un nombe plus mpotant de sous-domanes est mmédate. Nous veons les poblèmes qu elle engende... Les méthodes de décomposton de domane pmales Schwaz a/ Appoche avec ecouvement des sous-domanes : méthode altenatve de Le domane Ω est décomposé en pluseus sous-domanes se ecouvant patellement. Pa exemple, sot deux sous-domanes { Ω,Ω } ecouvant Ω, Fgue 5.

147 40 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton δ Ω Ω Ω Γ Γ Ω δ Ω Γ Fgue 5 : Décomposton du domane Ω en deux sous-domanes avec ecouvement Avec δ Ω,, epésentant la fontèe du sous-domane Ω et Γ,, la fontèe du sous-domane Ω ntéeue au domane Ω. La méthode de Schwaz consste à découple les poblèmes locaux su chaque sous-domane et à effectue un pont fxe su le ecouvement. Les condtons aux lmtes su les fontèes extéeues δ Ω \ Γ sont les mêmes que celles du poblème global su ces mêmes fontèes. n evanche, su les fontèes ntenes Γ,,, on mpose des condtons de Dchlet où u pend les valeus en fontèe du calcul pécédemment effectué su le sous-domane adjacent. La ésoluton du poblème global s effectue pa une méthode téatve su les sous-domanes de type Gauss- Sedel pa blocs (méthode multplcatve de Schwaz), ou de type Jacob pa blocs (méthode addtve de Schwaz). L éctue de la fome dscétsée des algothmes nécesste l ntoducton pou le domane de la matce R, consttuée de et de 0, qu va tansfome un vecteu { } T étant le nombe d nconnus du domane Ω x de talle n ( n Ω ) en un vecteu de talle n, où n est le nombe d nconnues du domane ntal global Ω, en complétant pa des zéos : T { R x } { x } s k est unnoeud deω k aveck n. 0 s k n' est pas unnoeud deω k, Invesement, la matce x de talle n du domane ntal Ω, en un vecteu de talle n, gadant unquement les ndces des nœuds appatenant au domane Ω. R va édue un vecteu { }

148 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 4 Les sous-matces s écvent : Le vecteu { k + + } n T T A RAR, A R AR. u au temps (n+)dt est calculé de la manèe suvante : k+ { u } n+ k+ { u } k+ { u } n+ n+ su su Ω Ω \ Ω Dans la sute de cette secton, afn de ne pas aloud l éctue, nous allons suppme la n+ notaton {}., tout en gadant à l espt que l on cheche la soluton { u } n+ au temps (t+dt), connassant la soluton { u } n au temps dt. Nous allons pésente les schémas téatfs des deux vesons de la méthode de ésoluton de Schwaz : Méthode multplcatve de Schwaz au temps (n+)dt { u 0 } ntal 0 { u } { u } 0 { u } { u } su Ω su Ω/ Ω Tant que non convegence k+ { k T k Calcul de u } { u } + R A R ( { f } A { u }) (8) k+ k + k+ T Calcul de { } { u } + R A R ( { f } A { u } ) fn u (9) k + n élmnant { } l algothme du pont fxe : u et en ntodusant la soluton dscétsée : A{u}{b}, on obtent k+ k { u } { u} ) ( I P )( I P ) ({ u } { u}) (, où on défnt l opéateu T P R A R A.

149 4 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton La fome de la matce d téaton, donnée pa I P )( I ), explque le nom de méthode ( P multplcatve de Schwaz. Avec un ecouvement des sous-domanes suffsant, la vtesse de convegence de l algothme devent ndépendante de la talle de malle h, ce qu n est pas le cas pou l algothme de Gauss-Sedel classque, su lequel s appue cette méthode. D aute pat, s la matce A est symétque, alos l en est ans pou P et P. n evanche, la matce d téaton I P )( I ) ped la syméte. Une veson symétsée de l algothme est ( P obtenue en téant une dem fos supplémentae l équaton (8). La matce d téaton s éct I P )( I P )( I ) ce qu faclte la ésoluton de système. ( P Méthode addtve de Schwaz { u 0 } ntal 0 { u } { u } 0 { u } { u } su su Ω Ω/ Ω Tant que non convegence k { + (0) k T k Calcul de u } { u } + R A R ({ f } A { u }) fn k+ { k T k Calcul de u } { u } + R A R ( { f } A { u }) + () Cette méthode condut à l algothme du pont fxe : k+ k { u } u) ( I P P )({ u } u) ( avec une matce d téaton symétque I P P ) d où le nom de : méthode addtve de ( Schwaz. Cet algothme, dévé de la méthode téatve de Jacob, pésente un caactèe paallèle beaucoup plus pononcé que la méthode multplcatve de Schwaz. n effet, les ésolutons des poblèmes locaux à chaque sous-domane sont ndépendantes, ca unquement dépendante de { u k } et peuvent donc ête calculées ndépendamment., La convegence de ces méthodes est au plus lnéae mas elle peut ête accéléée en utlsant un gadent conjugué pécondtonné. On défnt le pécondtonneu de Schwaz

150 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 43 P add Np R T A R () b/ Sans ecouvement : Méthode du complément de Schu pmale Le domane ntal Ω est dvsé en deux sous-domanes { Ω,Ω } sans ecouvement, Fgue 53, tel que Ω Ω Ω et Ω Ω 0. sot Γ δω δω, l nteface ente les deux sousdomanes { Ω,Ω }. / δ Ω Ω Γ Ω δ Ω Γ Fgue 53 : Décomposton du domane Ω en deux sous-domanes { Ω,Ω } sans ecouvement La soluton u du poblème contnu global se décompose en u ( u u, u ) Ω, Ω Γ avec u Ω (espectvement u Ω pus u Γ ) epésentant la estcton de u à Ω (espectvement à Ω et à Γ). Ans le poblème ntal contnu peut se décompose en deux sous poblèmes locaux su { Ω,Ω }

151 44 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton pou, u O (a u t 0 u u O O u 0 O u u O G O ) su su su g O su ( O G \ O [0, T] [0, T] G) [0, T] (3) auquel l faut ajoute une condton de contnuté au passage de l nteface Γ. Dans le cas spécfque de l équaton de dffuson de la chaleu ou ben du modèle électomagnétque, cette condton de contnuté s éct : n (a u O ) n (a u O ) su Γ, (4) avec n la nomal extéeue su Γ au domane. S on suppose alos les systèmes locaux (3) à chaque sous-domanes u Γ connu su l nteface Γ, Ω peuvent ête ésolus complètement et ce, de manèe ndépendante. Le pont mpotant à ésoude este la détemnaton des valeus de u su l nteface Γ en s appuyant su la condton de contnuté (4). La fomulaton dscète de la méthode du complément de Schu s obtent en décomposant note système matcel (7) suvant les contbutons des deux sous-domanes ndépendamment et de l nteface : { u} { f } A devent A A 0 T 3 A A 0 T 3 A A A u u u Ω Ω Γ f f f Ω Ω Γ (5) où l on a supposé que les nœuds nteface étaent numéotés en dene, A étant les estctons de la matce système aux sous-domanes Ω et à l nteface Γ. Les contbutons A et T A s annulent étant donné qu l n exste pas de couplage dect ente les nœuds des domanes Ω et Ω avec une méthode éléments fns. Les estctons du vecteu { } Ω sont obtenus tès faclement, à pat du moment où { } domanes Ω et aux deux pemèes lgnes du système : Γ u aux u est fxé, gâce

152 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 45 { u } A { f } A { u }) et { } A { f } A { u }) Ω ( Ω 3 Γ u. (6) Ω ( Ω 3 Γ A pat de la tosème lgne, et en substtuant { u Ω } et { Ω } avec la matce S défne pa : ~ { u } { f3 } u pa les elatons (6), l vent : S Γ, (7) ~ et le second membe { } 3 S A, (8) f s éct : T T 33 A3 A A3 A3A A3 ~ T T { f } { f } A A { f } A A { f } 3. (9) 3 3 La matce S est généalement appelée complément de Schu de la matce A 33 dans A. La ésoluton du système (7) peut s effectue sot à pat d une méthode decte mas qu peut se évéle tès coûteuse de pat la natue dense de la matce S, sot pa une méthode téatve. Ans, généalement, une méthode de type gadent conjugué pécondtonné est utlsée. Le poblème condensé, meux condtonné que le poblème global, convege plus apdement. L une ou l aute méthode vont nécesste la ésoluton des deux sous poblèmes locaux, ésoluton pouvant ête effectuée en paallèle. Cette étape est oblgatoe pou pemette sot l assemblage patel de S (méthode decte), sot l accès aux poduts matce S - vecteu pésents dans un méthode téatve. 3 c/ Dscusson su les méthodes pmales applquées à un poblème paabolque Les algothmes des méthodes de décomposton de domane pmales pésentés c pou une patton du domane ntal en deux sous-domanes, peuvent ête utlsés dentquement pou un gand nombe de pattons, seulement la geston des ecouvements s avèe plus délcate. Note poblème paabolque pésente un condtonnement cond(a) boné pa Ο( dt h ). L applcaton des méthodes de décomposton de domane à un poblème de natue paabolque s en touve smplfée su deux ponts : Pou un pas de temps de dscétsaton dt assez pett, l n est pas nécessae d utlse une méthode de sous stuctuaton pou le tanst des nfomatons, quas oblgatoe pou les poblèmes ellptques. n effet, dès que le pas de temps de dscétsaton tempoel devent

153 46 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton top mpotant, l effcacté de ces algothmes va pésente une détéoaton mpotante avec le nombe de pocesseus : ces méthodes vont ête peu scalable. Cec est du à la dépendance global du système au domane o le tansfet d nfomatons d un domane à l aute est éalsé de manèe locale à taves les zones de ecouvement ou à taves les ntefaces. Dans ce cas, l devent nécessae de passe pa des méthodes de sous stuctuaton, qu pemettent de communque les nfomatons à tout le domane. La méthode de sous stuctuaton péconse l utlsaton de pécondtonneus à deux nveaux constuts à la fos su le mallage classque mas également su un mallage gosse, pemettant ans le tanst des nfomatons de manèe globale à fable coût. Ces pécondtonneus vont ête de type pécondtonneu addtfs de Schwaz () pou les méthodes avec ecouvement et de type pécondtonneu de Jacob pou les méthodes sans ecouvement, vo [], [5] pou plus de détals. Pou le pecondtonneu addtf de Schwaz, on peut monte [8] que l utlsaton d un pecondtonneu sous-stuctué (constut su le mallage gosse) est unquement nécessae s dt CH avec H la talle de malle du mallage gosse et C une constante ndépendante de dt, h et H. D aute pat, la soluton numéque { u } d un système paabolque peut ête appochée pa une soluton { w }, avec une eeu de O (ε ), en seulement une téaton de la méthode de décomposton de domane utlsée, que ce sot pa une méthode de Schwaz ou de Schu pmale. Ce gan de temps mpose néanmons des contantes. Une méthode avec ecouvement va nécesste l utlsaton de pattons avec une talle de ecouvement au mons égale à O ( dt log( ε )), vo [30]. Pou une méthode sans ecouvement, les valeus { u } su l nteface sont calculées à pat d un schéma explcte su une égon Γ poche de l nteface ou pa l utlsaton de fonctons spécfques défns dans un pett cylnde autou des ntefaces. Cec nécesste la ésoluton supplémentae d un pett système. Pus la soluton { u } est calculée à l ntéeu des sous-domanes à pat de ces condtons de Dchlet. Cette méthode est ntéessante pou des mallages pésentant des zones tès affnées, Kuznetsov [30], Dawson et Dudd [5]... Méthode de décomposton de domane duale : complément de Schu Les méthodes pmales ntodusent la condton de contnuté aux ntefaces pa des condtons aux lmtes de Dchlet su les ntefaces des dfféents sous-domanes. La convegence est attente en mnmsant le ésdu de la condton de contnuté (4). Les méthodes dtes duales vont nvesement ntodue la condton de contnuté des gadents

154 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 47 (4) comme des condtons aux lmtes de Neumann aux ntefaces des sous-domanes (vo Le Tallec [5] pou plus de détals). Le système à ésoude est (30) avec n la nomale sotante au domane Ω. pou, u Ω ( a u t 0 uω uω uω 0 uω λ n Ω ) g su su su su Ω [0, T ] Ω ( Ω Γ [0, T ] \ Γ) [0, T ] (30) La condton de contnuté des valeus (3) est ntodute comme une contante pa l ajout de multplcateus de Lagange. u Ω u Ω su Γ (3) La méthode FTI (Fnte lement Teang and Inteconnectng), ntodute pa C. Fahat et F. X. Roux [9], en s appuyant su le pncpe vaatonnel, monte que ésoude le poblème (30) sous la contante (3) event à ésoude un poblème de pont-selle assocé au Langangen L: L (v, v, γ ) J ( v ) + J ( v ) + ( v v, γ ), (3) O Ω Ω O Ω O O O Γ où γ est un paamète de Lagange et (30) pou le sous-domane Ω : J Ω epésente la fonctonnelle assocé au système J Ω (v Ω ) ( Lv Ω, v Ω ) - (g, v Ω ), (33) où v sont des fonctons tests appatenant à V L ( Ω ), V est l espace fonctonnelle Ω V Ω des solutons admssbles et L ( Ω ) l espace de Lebesgue des fonctons de caé sommable, assocé au podut scalae (.,.). Ω

155 48 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton Il s agt de touve ( u, u, λ ) V V L ( ) solutons de : Ω Ω Ω Ω Ω nf (v v ) O O sup γ L (v, v ; γ ). (34) Ω Ω La fomulaton dscète du Lagangen pa une méthode de dscétsaton de Galekne s éct : L T T (v v ; γ ) (v A v v b ) + O, O O O O O? T (R v T O - R v T O ), (35) où R est la matce de estcton à l nteface du domane T { R x } k { x } Ω : s k est un noeud de Γ k avec k, n. 0 s k n'est pas un noeud de Γ T T T De manèe équvalente à (34) en fomulaton dscète, { u },{ u },{ λ} ) système d équatons : A A R T { u } { b } R { λ} Ω T { u } { b } R { λ} Ω { u } R { u } 0 Ω Ω ( Ω Ω est soluton du (36) n emplaçant dans la tosème lgne les { u Ω } pa leus expessons défnes dans les pemèes lgnes, on ave fnalement au système ( ) T { uω } A { b} R { λ} T { uω} A ({ b} R { λ} ) D{ λ} R A { b } R A { b } (37) Avec la matce T T D R A R + RA R. Le système est ésolu de manèe téatve en applquant pa exemple une méthode de type gadent conjugué pou obten la soluton dscète { λ } et nécesste à chaque téaton la ésoluton des sous poblèmes locaux. La méthode FTI pésente des bonnes popétés de convegence et peut ête utlsée avec des pécondtonneus mons coûteux que ceux nécessaes aux méthodes pmales (C. Fahat et F. X. Roux, [0]).

156 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 49. Méthode de pattonnement de domane Cette méthode consste à constue localement su chaque sous-domanes les sous systèmes matcels locaux. Pus la soluton globale est obtenue pa une ésoluton téatve du système matcel global à l ade d un solveu téatf paallèle. La matce du système global n est pas explctement constute. Le système matcel global dot ête suffsamment ben condtonné pou pouvo ête ésolu à l ade d un solveu téatf. Cette méthode modfe peu la veson séquentelle du code d ogne, smplement au leu de tavalle su le domane global, elle va ête estente aux pattons pou l assemblage des matces et la constucton du second membe du système. L effot paallèle va se concente au nveau du solveu téatf. Les opéatons de bases, (podut scalae, podut matcevecteu,..) vont ans ête modfées pou pemette une ésoluton globale. La même séquence de code toune su les dfféents pocesseus smplement su des données dfféentes : c est une pogammaton de type SPMD (Sngle Pogam Multple Data). La méthode de pattonnement de domane pésente deux vaantes : Méthode SPMD pa éléments : Un élément appatent à un sous-domane et à un seul. La méthode pa éléments étant celle que nous avons utlsée pou la paallélsaton du code éléments fns de smulaton des pocédés de chauffage, nous envoyons le lecteu à la publcaton qu sut pou sa descpton. Méthode SPMD pa nœuds : n théoe, un nœud appatent à un sous-domane et à un seul. n patque cependant, la mallage ntal est dvsé pa élément, comme pou la méthode SPMD pa élément, avec un ecouvement d une bande d elements (se éfée à A. Issman et G. Degez [6] pou plus de détals)..3 Dscusson Nous avons vu que les méthodes pmales et duales consttuent une méthode de ésoluton effcace pou les poblèmes mal condtonnés qu suppote mal un solveu téatf. Néanmons, elles mposent une condton su le pas de temps dscétsé pou este pefomantes et sutout scalables sans passe pa des méthodes de sous stuctuatons, dffcles à mette en place pou des mallages non stuctués. D aute pat, elles nécesstent des pécondtonneus de type

157 50 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton Schwaz pa exemple, souvent coûteux en temps de calcul et en communcatons ente les pocesseus. Concenant les méthodes de pattonnement de domane, elles sont unquement envsageables pou des systèmes assez ben condtonnés suppotant une ésoluton téatve. lles donnent en généal de bons ésultats. Leu scalablté va dépende du chox du pécondtonneu. S un pécondtonneu dagonal accélèe suffsamment la vtesse de convegence de l algothme téatf de ésoluton, alos la scalablté sea théoquement excellente pusque alos le coût d assemblage est mnme et sutout est ndépendant du nombe de pattons. Nous avons testé avec succès et donc applqué un solveu de type gadent conjugué pécondtonné à la ésoluton de nos systèmes paabolques ssus des dscétsatons spatales et tempoelles des équatons électomagnétques et themques. Une appoche de type pattonnement de domane état alos envsageable pou la paallélsaton du modèle. 3 Statége de paallélsaton SPMD Concenant le type de calculateus vsés, nous nous sommes placés dans le cade le plus généal : machnes de type MIMD à gans moyens ou gosses et à mémoe dstbuée. Une achtectue à mémoe dstbuée est plus dffcle à pende en compte qu une achtectue à mémoe patagée. n effet elle nécesste de épat les données et les tâches ente les dfféents pocesseus et ce de manèe équlbée afn d avo la même chage de taval su tous les pocesseus. Au nveau du pattonneu de mallage, un pattonneu exstant, développé pa T. Coupez au Cente de Mse en Fome de Matéaux de l cole des Mnes de Pas, a été adapté à note code multmatéaux, nécesstant des développements conséquents. Un mallage ntal multmatéau en tangle 6 nœuds obtenu pa une méthode de Delaunay est pattonné en Np domanes. Ce mallage possédant une spécfcté multmatéau, est plus che qu un mallage typque P de Foge. Oute les données élémentaes comme : le nombe de nœuds le nombe d éléments le nombe de nœuds fontèes

158 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 5 le nombe de cotés fontèes les coodonnées des nœuds la topologe la connexon des nœuds fontèes et des cotés l nteconnexon ente les cotés fontèes et les éléments la connexon ente la numéotaton des nœuds fontèes et des nœuds ntenes les axes de symétes Ce mallage utlsé pou note code multmatéau possède des ntefaces ntenes défnssant les dfféents consttuants ou des tous de matèe. Cette spécfcté nécesste la connassance : du nombe de contous et de leus caactéstques (femés, ouvets, nombe de nœuds locaux,..) de la tansfomaton ente la numéotaton locale à un contou et la numéotaton globale des noeuds du nombe de ponts multples (ponts appatenant à pluseus contous) et de leus coodonnés et elatons avec la numéotaton globale des noeuds des numéos du sous-domanes matéau auquel appatent chaque élément O en sote du pattonneu, les données communquées pou chaque sous mallage sont unquement le nombe de nœuds, le nombe d éléments, les coodonnées et la topologe ntale. Toutes les nfomatons su les connexons et les ntefaces sont pedues. Il a donc fallu développe une pocédue pou econstue un mallage complet multmatéaux ndépendant, se suffsant à lu-même avec une geston supplémentae des nœuds ntefaces aux dfféents sous-domanes. Nous détallons dans la publcaton nséée c apès la statége de paallélsaton développée à pat d une méthode de pattonnement de domane pa éléments applquée aux pocédés de chauffage pa nducton. Cet atcle a été soums au jounal of engneeng computatons.

159 5 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton Numecal modelng of heat teatment and nducton heatng pocesses usng a SPMD paallel computatonal method V. Labbe, Y. Favennec And F. Bay Cente de Mse en Fome des Matéaux, cole des Mnes de Pas, UMR 7635 CNRS, BP 07, Sopha-Antpols Cedex, FRANC [email protected] Abstact Inducton heatng s beng nceasngly used n ndustal manufactung pocesses, especally fo heat teatment at hgh fequences. The electomagnetc nducton phenomena ae manly located n a egon of small skn depth unde the suface of the wokpece. An accuate modelng eques a vey fne mesh n these egons. Paallel computatons can theefoe enable ealstc smulaton by consdeng lage model wth hgh numbe of nodes wthn a easonable computatonal tme. A FM based coupled wth a SPMD pattonng method has been mplemented n ode to solve the set of tghtly coupled electomagnetc and themal equatons fo axsymmetcal confguatons. Keywods : paallel, doman pattonng, nducton heatng, fnte elements, heat teatment 0. Intoducton Heat teatments by nducton heatng ae beng nceasngly used n ndustal pocesses as the heatng ates can be fast and the skn depth can be pecsely contolled. The basc nducton setup conssts n one o seveal nductos suoundng a metal wokpece to be heated. The nductos ae suppled wth altenatng cuent wth fequences angng fom ffty to seveal hunded thousand cycles pe second. A apdly oscllatng magnetc feld s geneated and n tun nduces eddy cuents n the wokpece. These cuents geneate ohmc heat losses nsde the wokpece. Heat aftewads dffuses towads the cente of the pat. The electomagnetc feld nduced by the col appeas only n a thn laye unde the suface of the pat, whch s known as the skn depth. Hence most of the dsspated heat s poduced n a thn laye unde the suface of the wokpece. The skn depth δ defned as the depth at whch the magntude of the electomagnetc feld dops to a value equal to ts suface value multpled by e - s gven by :

160 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 53 d, (38) p f s µ whee f s the fequency, σ the electcal conductvty and µ the magnetc pemeablty. Fo nstance fo a typcal steel at 0 C, the skn depth may ange fom 3mm at a fequency of 50 Hz down to 0.04mm at 0 5 Hz. It s clea fom equaton () to see why hgh fequences ae used to acheve suface heatng, whle low fequences ae favoed fo ntal unfom peheatng. The accuacy of the smulaton of heat teatment o of homogeneous nducton heatng wll depend on the qualty of the electomagnetc computatons n the skn depth, whch can be vey small fo hgh fequences and fo a magnetc mateal. The mesh needs to be extemely efned locally on the suface of the pat n ode to have enough elements n the wdth of the skn depth, so as to descbe popely the electomagnetc feld. Ths condton mposes the use of lage meshes, whch can be hghly consumng n tems of memoy stoage and computatonal tme. Paallel computaton, by dvdng the memoy needs between the pocessos and the educng the CPU tme bngs a soluton to enable pecse modelng of ealstc ndustal cases.. The sequental model Inducton heatng pocesses couple electomagnetc nducton and themal dffuson phenomena, [3]. We fst pesent the electomagnetc model and ts dscetzaton. The themal poblem and the couplng pocedue ae then descbed.. The electomagnetc poblem The electomagnetc model s based on smplfed Maxwell s equatons, whee the dsplacement cuent tem D t has been neglected n the Maxwell-Ampee equaton (4). Ths s known as the magneto-quas-statc appoxmaton. The Maxwell equaton system wtes Magnetc flux equaton. B 0 (39) Maxwell-Gauss equaton. 0 (40) Maxwell-Faaday equaton B (4) t Maxwell-Ampee equaton D H J + (4) t

161 54 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton whee H s the magnetc feld, B the magnetc nducton, the electc feld, D the electc flux densty, J the electc cuent densty assocated wth fee chages, and x denotes the vecto poduct - thus s the cul vecto of. Ths system of equatons needs to be completed by elatons whch take nto account mateal popetes (magnetc pemeablty µ, electcal conductvty σ, delectc constant ε). These elatons ae the thee followng ones: D e, (43) B µ( T, H ) H, (44) σ ( T ) n the conductos J. (45) 0 n the a By combnng equatons (4) (4) (44) and (45), we get µ J t. (46) The total cuent densty s decomposed nto the sum of the nduced cuent densty and of the pescbed one: J J + J. (47) nduced S Fnally we get n cylndcal coodnates the electomagnetc model : σ θ t J S + θ. θ. (48) µ θ µ µ t The choce of bounday condtons when cayng out a global fnte element smulaton needs to be caed out caefully. Fnte element computaton of electomagnetc feld n the a can be alteed by atfcal eflectons on the bounday of the a doman. We defne Ω as the enclosed doman of study, ncludng the pat to be heated, the nducto and the a gap. Γ 0 s the axs of symmety such that 0 and Γ the oute bounday, see Fgue 54. A faly good appoxmaton can be obtaned f a Robn bounday condton (49) s pescbed on the enclosng box fo the suoundng a. θ n denotes the devatve of θ along the unt outwad nomal decton n and e s the unt adal decton. A null Dchlet bounday condton fo the θ vaable s pescbed on the axs of symmety.

162 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 55? n +? e.n 0 on G (49) 0 on G (50) θ 0 Γ Γ Ω A Γ Inducto Chapte Pat Fgue 54: Pesentaton of the doman of study Ω and ts boundaes. The functonal space V n whch we ae seachng the soluton s defned by (5),whee H (Ω) s a Sobolev space (5) : V ψ ψ ψ H ( Ω), L ( Ω), 0, (5) θ { ψ L ( Ω), ψ L ( Ω) } H ( Ω ). (5) We then multply equaton (6) by a test functon Ψ belongng to the functonal space V and we ntegate on the whole doman. Afte usng the Geen theoem, we get the weak fomulaton : s O? t? dv +?. dv µ O? +??dv + µ O µ O +? + G G µ n 0 (?)dv?? J O e n?dg S t?dv ψ V (53)

163 56 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton The ntegal tem ove the boundaes vanshes wth the Robn-lke bounday condtons we mpose. Ths poblem s oughly analog to a paabolc poblem. Havng establshed a weak fomulaton, we can now cay out the fnte element space dscetzaton of equaton (53). We classcally appoach the functonal space V by a dscetzed space V h, the test functons ψ by ψ h wth and the unknown Ε θ by h θ. We obtan the followng dffeental equatons: C (t) + K (t) t em em em [ ] [ ]{ } { } B, (54) em [ C ] j em [ K ] j a(n,n ) j b(n,n ) nb.elts em { B } l(n ) j nb.elts elt elt nb.elts elt elt elt sn j N dv N. N dv µ j elt J s.n dv t + elt µ N j N dv + elt µ (N N )dv j (55) Snce we have chosen to solve the tme-dependent model, we now need to ntegate numecally n tme the space dscetzed electomagnetc system (54). We have mplemented a second-ode two tme step fnte dffeence scheme detaled n []. In a fst stage, the system s solved at tme t* such that t < t* < t+δ t : t * a (t dt ) + a t + a (t + dt ) wth a + a + a 3 3 0, (56) whee δt denotes the pevous tme step and δt the cuent one. The electc feld * at tme t* and ts tme devatve wte: * t δt t t+ δt { } α { } + α { } + α { } 3, (57) t γ t δt + ) * t+ δ t t δ ( γ t δt t. (58) System (55) s wtten at tme t*. * and ts devatve ae eplaced by expessons (57) and (58). The system s solved fo the unknown vaable * :

164 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 57 γ α3δt γ c δt c em * em * * em * em * t em * t δt [ C ] + [ K ] { } { B } + c [ C ] { } + c [ C ] { } γα α δt 3 γ γα + + δt α δt γ δt 3 0 (59) The two-tme step scheme we have used needs to solve a non-lnea equaton, as the matx [C em ] s dependant on the magnetc feld. In ode to avod an teatve pocedue of esoluton of the system, the matx s lneazed n ode to depend only on ts values at tme t and t-δt : δt δt. (60) δt δt * [ C ] ( α α 3 )[ C] t δ t + ( α + α 3( + ))[ C] t The second and last stage conssts n the computaton of {} at tme t+δt : t+ dt * t dt t { } ({ } a { } a { } ) a. (6) 3. The themal model Modelng of heat tansfe s manly govened by the heat dsspated by eddy cuents n the wokpece, dffuson towads the cente of the pat and heat fluxes at the nteface between the wokpece and the a. The model wll have theefoe to nclude the heat tansfe equaton (6), the heat souce tem due to eddy cuents, as well as appopate bounday condtons. T ρ C ( T ) dv ( k( T ) T ) Q& em, (6) t whee ρ s the wokpece densty, C the specfc heat, k the themal conductvty, and the local heat densty ate due to eddy cuents: Q & em (n + )T Q& em σ θ wth s s(t) (t) dt θ T θ nt, (63)

165 58 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton T beng the peod of the electomagnetc souce tem. Takng ths aveage value s justfed when one compaes the scale of the electomagnetc tme step (less than 0.00 s.) wth the aveage nducton heatng tme scale (of the ode of seconds). Bounday condtons may be convecton and adaton at the nteface between the wokpece and the a, (64) whee h denotes the convecton coeffcent, T ext the oom tempeatue (n Kelvn), ε em the mateal emssvty, and σ the Stefan constant, o pescbed heat flux o pescbed tempeatue. Ste 4 4 Radaton and convecton k T.n h(t T ) + ε σ (T T ) ext em Ste ext (64) Pescbed heat flux k T.n Φ pescbed (65) Pescbed tempeatue T Tpescbed (66) The numecal appoach wll be the same as fo the electomagnetc poblem. We consde the doman Ω ΤΗ as beng: Ω Ω Ω. (67) TH pat nducto We defne the followng boundaes: - Γ ΤΗ as beng the oute bounday of the Ω ΤΗ doman, - Γ 0 ΤΗ pat of the oute bounday whee the tempeatue s pescbed Dchlet bounday condton, - Γ ΤΗ pat of the oute bounday whee the heat flux s pescbed Neumann bounday condton, - Γ ΤΗ pat of the oute bounday whee thee s a convecton-adaton bounday condton. We need to establsh a weak fomulaton of equaton (6) along wth the bounday condtons (64)-(66). The functonal space V s defned hee as: V ψ ψ H ( Ω), 0, ψ 0 on Γ. (68) θ 0 TH Afte multplyng equaton (6) by a test functon ψ belongng to the functonal space V, ntegatng on the whole doman, and usng the Geen theoem, we get the weak fomulaton :

166 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 59 O T?C? dv+ t O k T.? dv + GTH ht.? ds O Q&? dv+ em GTH F pescbed.? ds + GTH ht.? ds,? ext V,. (69) We use the same mesh fo the pat and nducto as the one used fo electomagnetc computatons. The functonal space V s appoxmated by the dscetzed space V h, the test functons ψ by ψ h and the unknown T by T h. The dscetzed veson of equaton (69) wtes : th T th th [ C ] t) + [ K ]{ T( t) } { B } t (, (70) th [ C ] j th [ K ] j nb.elts elt elt nb.elts j elt elt elt G nb.elts th { B } Q&.N dv + F N ds +?CN j k N N dv. N dv + em pescbed j elt elt elt G elt G hn N ds j ht ext N ds j (7) The tme dscetzaton s dentcal as fo the electomagnetc poblem. We obtan the followng pocedue : - Stage : system (7) s solved at tme t* fo T* γ α3δt γ c δt c th * th * * th * th * t th [ C ] + [ K ] { T } { B } + c [ C ] { T } + c [ C ] γα α δt 3 γ γα + + δt α δt γ δt 3 0 * T t δt (7) Matces ae lneazed and do only depend on the values at tme t and t-δt :

167 60 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton dt dt 3 dt 3 dt, * [ C] (a a )[ C] t dt + (a + a ( + ))[ C] t dt dt dt * [ K ] (a a )[ K] t dt + (a + a ( + ))[ K ] t dt. 3 dt 3 dt (73) - Stage : The tempeatue feld at tme t+δt s computed: t + dt * t dt t { T} ({ T} a { T} a { T} ) a 3. (74).3 lectomagnetc and themal couplng Due to the dffeence of tme scale between the electomagnetc and themal phenomena, a stong couplng between both models s not appopate. At each tme step, the electomagnetc feld dstbuton and thus the nduced cuents depend explctly on the themal feld n the wokpece, uled by the heat tansfe equaton. Invesely, the eddy cuents calculated fom the electomagnetc soluton ae used as the heat souces fo the themal fnte element analyss. The handlng of the couplng s caed out n two dffeent stages: - The cteon fom electomagnetc to themal calculatons elyng on the stablzaton of the mean heat souce tem ove the electomagnetc peods. Once the electomagnetc feld has been calculated, the ate of heat geneaton Q & em fo the heat equaton needs to be evaluated at evey ntegaton pont. As the electomagnetc tme step s fa smalle than the themal one, we do not consde the nstantaneous Joule powe calculated at a gven tme at evey ntegaton ponts. We athe consde a mean Joule powe aveaged ove one o seveal peods of the electomagnetc feld: Q em nt ( nt, nt) t t dt T σ (nt, ) θ (nt, ), (75) ( n ) T whee nt s the consdeed ntegaton pont, T s the peod of the powe supply cuents, n s numbe of peods consdeed and θ (nt, t) s the value at tme t of

168 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 6 the electc feld ntepolated at the ntegaton pont nt. At the end of each electomagnetc peod, the newly calculated mean powe s compaed to the one calculated at the pevous peod untl t conveges. - The cteon fom themal calculatons back to electomagnetc calculatons s based on the vaatons of the magnetc and electc paametes wth tempeatue. Themal computatons can use the same souce tem deved fom the electomagnetc computatons as long as the vaatons of the magnetc paametes wth espect to tempeatue do not exceed a gven theshold, we have chosen hee 5% max elements t t ( Τ + δ σ max ) σ ( Τ t σ ( Τmax ) t max ) < 5% o t ( Τ + δt µ max max elements µ ) µ ( Τ ( Τ t max ) t max ) < 5%, (76) t+ δt whee Τ max s the maxmum value of the tempeatue feld of one element of the t mesh at tme t + dtthe and Τ max s the maxmum value of the tempeatue feld n the same element at the cuent tme t. When the maxmum elatve vaatons ove all elements of the mesh each a gven theshold (5% n ou case), the pevously calculated mean heat powe s assumed to be elevant. A new electomagnetc calculaton s then theefoe caed out, Fgue 55. Fgue 55: Flow chat of the nducton heatng code

169 6 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton The ente doman of study whch ncludes the pat to be heated, the nductos and the suoundng a, s meshed wth quadatc tangula elements. ach mateal sub-doman keeps ts specfcatons. The mult-mateals mesh we use s moe complex than a typcal quadatc tangula non stuctued mesh as t takes nto account the ntefaces and boundaes between the dffeent mateals wth local node numbeng, the multple ponts located on seveal mateal outlnes and the mateal sub domans numbeng. ach element s pat of one sub-doman, nteface nodes belong to two o moe mateal sub-domans..4 Iteatve solve An teatve method has been mplemented to solve the matx system n the electcal and n the themal computatons. Ths teatve method was set up n ode to educe the memoy stoage of the matx and to speed up the softwae and futhemoe t wll well ft the fame of a paallel veson of the softwae. We have chosen a conjugate gadent method as t s the most effectve method fo solvng a system whose matx s symmetc and defnte postve. Ths teatve method uses only scala poducts and data addtons, hence a compessed data stoage method can be appled on ou spase matx. We have mplemented the compact stoage whch stoes only the non-zeo coeffcents of the matx. The system we need to solve fo the themal o electcal computatons wtes: wth A n n R symmetc and defnte postve matx and A x b, (77) n b R a vecto and n s the numbe of nodes of the mesh as we have only one degee of feedom pe node, the unknown vecto x beng ethe the othoadal component of the electcal feld o the tempeatue value. We ntoduce the functonal the poblem: J : R n R that s mnmzed fo x unque soluton of n ( Ax, x) x R J( x) ( b, x), (78) whee (.,.) epesents the usual scala poduct of obtaned fo x A b. n R. Indeed the mnmum value (79) of J s

170 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 63 ( A b, b) (79) It s equvalent to mnmze J o to mnmze defned by: n x R ( x) ( ( x), A ( x)), (80) whee ( x) b Ax Ax Ax s the esdual vecto. In ode to mnmze the functonal, the descent method ae constucted by choosng at the k th teaton a descent decton p k 0 and a scala α such that ( xk+ ) < ( xk ) wth xk+ xk + α k pk and pk k + β k pk. k The pefomance of the teatve method may stongly beneft fom a low condton numbe of the system matx. In ode to lowe the condton numbe of the system matx, we may use a pecondtone,.e., a non-sngula, symmetc and postve defnte matx C and consde the equvalent system: C Ax C b.

171 64 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton The pecondtoned conjugate algothm wtes : Intalzatons Intal guess x 0 Resdual 0 b-a x 0 Descent decton p0 C 0 Auxlay vecto z 0 p0 Upgade of Upgade of Mnmzaton of J(x k+ ) ( k, zk ) α k A p, p x k+ k+ ( ) x k k k + α α Upgade of z k + C k+ k k k p k A p k kk+ valuaton of the new decton ( k +, z k+ ) β k+, z Upgade of ( ) k k pk + z k+ + β k + p k NO Stoppng cteon ε?? k YS XIT whee (..,..) means the scala poduct. A compact stoage s used fo the symmetc matx. The dagonal pecondtoned conjugate gadent shows a elatve good behavo wth a fast convegence ate fo both the electomagnetc and themal systems. In theoy, ths savng of tme should become even moe mpotant wth the ncease of numbe of nodes n the mesh. The detal of the conjugate gadent solve shows that only scala and Matx-vecto poducts ae needed to convege to the soluton. These mathematcal opeatons may be easly tansfomed to local opeatons by addng of the dffeent contbutons at specfc locatons. Ths s the foundaton of the paallel stategy. Futhemoe a dagonal pecondtone s well adapted to a paallel method as t s evaluated locally.

172 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 65. SPMD paallel method A lage panel of paallel computes ae avalable today, angng fom supe computes to staton netwoks. These dffeent types of paallel computes ae chaactezed by dffeent achtectues dependng on the memoy locaton (dstbuted o shaed o heachcal), on the numbe of pocesso and the computatonal powe, and on the topology of the connectons between the pocessos. An mpotant noton fo the choce of an adapted paallel stategy s the noton of ganulaty defned by the ato of the pocesso numbes ove the powe. Ganulaty dffeentates massve paallel computes (vey lage numbe of low powe pocessos) fom coase gan machnes (small numbe of hgh powe pocessos). The level of paallelzaton and hence the paallel method stategy wll be dffeent dependng on the type of compute consdeed. We have decded to focus hee on a dvde and conque stategy adapted to coase gan computes wth dstbuted memoy and based on the message-passng paadgm. In that feld, seveal doman decomposton methods ae avalable, among them the altenatve Schwaz method, the Schu complement method [] o the FTI method [0]. Futhemoe fo wellcondtoned global poblem that can be solved wth an teatve solve, a doman pattonng method can be appled whch offes the advantage of beng easly potable whch s a nonneglgble aspect fo a commecal code. We have consdeed ths last method to paallelse the fnte element code descbed n the pevous secton. It conssts n sepaatng an ntal lage mesh n sepaated non-ovelappng sub-meshes. The local sub-system contbutons ae bult and ae used wthn the paallel teatve solve to obtan the global soluton feld, see Fgue 56. We stat by descbng the mesh pattonng algothm and ts adaptaton wth ou mult-mateal popetes. The paallel method and the pecondtonng stategy ae then pesented. Fnally numecal esults and pefomance measuements ae shown.

173 66 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton Sequental code Pocesso Sequental code Pocesso Sequental code Pocesso 3 Communcatons Global paallel teatve solve - Paallel Matx-vecto poduct - Paallel scala poduct - Vecto actualsaton - Paallel pecondtone Fgue 56 : Pattonng method stategy. Mesh pattonng Fo a gven paallel code, the best pefomances ae obtaned fo a smulaton f all pocessos have appoxmately the same amount of wok. Ths wll educe the wasted synchonzaton tme fo one pocesso to wat fo the othes. Hence the sub-domans allocated to each pocesso should be as much as possble of the same sze. Anothe tme consumng pont concens the communcatons between the pocessos, whch should be mnmzed n tem of numbe and length. Its consequence s that the numbe and sze of the ntefaces between the dffeent sub-meshes has to eman as low as possble. The lnea mesh pattone, developed at ou laboatoy by T. Coupez and optmzed by H. Dgonnet [4] and. Pechat [40], has been adapted to the quadatc mult-mateal meshe. The pattone s based on a geedy algothm whch uses only the topology of the ntal

174 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 67 lnea tangula mesh. Bascally, t goes though thee steps to patton a mesh nto N submeshes:. Selecton of N gem elements N elements ae selected wth the condton that the espectve dstance s maxmzed. Supposng that k gem elements,..., k have aleady been selected, the k+ gem element wll be selected so that t vefes : maxmzes d k +, ) fo j, k, (8) k+ ( j whee d(.,. ) s the mnmum dstance between the consdeed elements. Ths dstance s defned by : d (, ) f the two consdeed elements have a node n common d (, ) f d (, ) and f t exsts at least one element such that d (, ) d (, ) and so on. Fo nstance, Fgue 57 shows the dstance between two elements and Fgue 57: xemple of dstance value between two elements. Hee d, ) 4. ( Ths step uses an teatve pocedue that modfes and optmzes the poston of the (k-) pevously selected gems each tme a new gem k+ s chosen n ode to maxmze agan all the dstances.

175 68 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton. The geedy algothm A dffeent colo s allocated to each gem. At each teaton, all the non coloed elements at a dstance equal to to one colo, do take ths colo, and so on untl all elements ae coloed.. Optmzaton of the sub-meshes Ths step conssts of mnmzng the ntefaces sze by changng locally the colos of one element so to mnmze a cost functon that takes nto account the numbe of elements n each colo (load pa pocesso) and the numbe of edges shaed by elements of dffeent colos whch epesent the ntefaces. An element s hence vsted, ts colo s changed o not, n ode to optmze the nteface s sze. Fo moe detals, see [6]. Ths pattone acts on a lnea mesh. Once the topology of the non-stuctued sub-meshes ae obtaned, the lnea elements ae conveted nto quadatc tangula elements and the ntefaces node local numbeng ae ecomposed along wth the mult-mateal specfcatons. The man dffeence of the sub-meshes wth a non pattoned mesh concens the extenal boundaes whch ae consdeed as global only f they ae boundaes of the ntal mesh. Othewse they ae consdeed as doman ntefaces. Fo each doman, the numbe of ntefaces s gven along wth the nodes global numbeng fom the ntal mesh. Fgue 58 llustates an optmzed pattonng of a mesh. Fgue 58: Splttng of an ntal mult-mateal mesh of 74 elements n thee sub-meshes of 40, 36 and 38 elements.

176 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 69 Fo each sub-doman, a fle descbng the ntefaces and the nodes s also ceated. The majo aspect to be caeful wth s that the nodes allocated on a common nteface of two subdomans need to be descbed n the two coespondng fles n exactly the same ode.. SPMD paallel stategy The nducton heatng code has been paallelzed wth a SPMD doman pattonng method n connecton wth the MPI (Message Passng Inteface) lbay. The teatve dagonal pecondtoned conjugate gadent solve has been appled wth success on the global esoluton of both paabolc equatons descbng the electomagnetc and themal phenomena. Iteatve solves lke the conjugate gadent only use matx-vecto poducts and scala poducts, f we neglect n a fst place the pecondtonng pocedue. Those mathematcal opeatons can be un locally on each pattoned mesh and the scala o vecto values smply need to be actualzed o added at the nteface nodes. The SPMD (Sngle Pogam Multple Data) appoach conssts n unnng the same sequental code on all the dffeent pocessos, but wth dffeent data. Data actualzatons ae needed at dffeent steps of the code and especally n the matx system esoluton pocedue. The doman pattonng method bascally emans to paallelzed the teatve solve. Wth espect to the sequental code, two data stuctues specfc to the paallel veson wee added. The fst data stuctue concens the numbe of pocessos, the name and the coespondence between the numbe and the subdoman allocated to each one and nvesely. The second data stuctue handles fo each subdoman - The numbe of neghbo sub-domans whch coespond to the numbe of ntefaces - The numbe of each neghbo sub-doman - The numbe of nodes pe nteface - The numbeng of the nteface nodes In a detaled manne, a local matx system wth the bounday condtons of the global poblem s bult on each sub-domans by the allocated pocesso. At the end of ths step, the local matces and local load vectos ae avalable. The paallel teatve solve algothm s descbed wth u k beng ethe the electc feld o the tempeatue feld at teaton k dependng on whethe the electomagnetc o the themal system s beng solved.

177 70 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton Fgue 59: The doman pattonng algothm Developments specfc to the paallel code (wth espect to the sequental code) ae put n talc. We wll know descbe moe patculaly the thee paallel opeatons. Vecto feld actualzaton We consde the vecto V that needs to be actualzed. On the nteo and on the global boundaes of each local subdoman, the values of V ae dentcal to the global sequental vecto V. Howeve, they ae dffeent on the ntefaces between two o moe subdomans, whee the dffeent contbutons need to be added. We wll llustate ths pocedue wth the MPI lbay. - Openng of the ecepton ode on all pocessos wth a non blockng MPI- IRCV pocedue. ach pocesso wats fo ncomng nput vectos fom all neghbo pocesso wth the sze of the common nteface. - Fo all pocessos, sendng of the local nteface values to all the pocessos whch shae the same nteface. The MPI_ISND pocedue s used. - Synchonzaton of all pocessos wth the pocedue MPI_WAITALL - On all pocessos, summaton on all nteface nodes of the local vecto values wth the eceved values

178 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 7. Scala poduct (x, y) W The scala poduct of two global vectos ae computed locally on each subdoman. The dffeent contbutons ae then added and the global scala poduct value s sent back to all pocessos. Howeve, ths way, the contbuton of one nteface node s added twce o moe when the consdeed node s shaed by two sub-domans o moe. To avod ths, a weghtng facto s ntoduced - fo an ntenal node, t s equal to one - fo an nteface node, t s equal to the nvese of the numbe of domans ownng the consdeed node Hence the scala poducts between two global vecto x and y wtes : N N PROCSSOR NOD Ω Ω Ω Ω ( x, y) x ( node). y ( node). weght ( node), (8) node wth weght ( node) numbe _ of _ doman( node) Fo an ntenal node fo an nteface node (83). Matx-vecto poduct Ax The global matx A s the sum of the local matces A Ω (extended to the sze of the global poblem). On the nteface nodes, the value of the global matx A coesponds to the sum of the contbutons of the local values on all domans whch shae the gven nteface node. Hence the local matx-vecto poduct s done on all sub-domans, followed by an actualzaton of the esultng vecto at the nteface nodes. Fgue 60: Geneal fom of the paallel matx-vecto poduct

179 7 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton All these opeatons do need, as we have seen, synchonzaton steps between the pocessos. Ths s a tme consumng pocedue f the load of wok between all pocessos s not popely balanced. The othe opeatons needed by the teatve solve, lke the sum of two global vectos o the multplcaton of a global vecto by a scala, ae un locally and ndependently on each pocesso. No communcatons ae needed as the consdeed vecto s global and hence t has the same values on the same nteface shaed by dffeent sub-domans. These opeatons wll of couse be edundant at the nteface nodes, as they ae computed on two o moe sub-domans. Howeve ths tme cost s neglgble compaed to the communcaton and synchonzaton tme consumpton that would ase othewse. Pocesso communcatons ae also needed to test the convegence of the aveaged Joule powe ove one electomagnetc peod, so that all pocessos do tansfe to a themal esoluton, but also to test the vaatons of the electomagnetc paametes wth espect to tempeatue changes, to tansfe back to electomagnetc computatons. The dagonal pecondtone s easy to compute and s ndependent of the numbe of sub-domans, whch enfoces the scalablty of the code. 3. Measuements of pefomance We pesent esults n tem of speed up obtaned on paallel computes wth a dstbuted achtectue. The paallel platfom avalable at ou laboatoy and whch we have used fo CPU measuements s a cluste of 3 b-pocessos Pentum III at GHz and 5 Mo of RAM. The data tansfe velocty s Go/s. The case conssts of a 40mm damete cylnde to be heated by a sngle tun col. The pocess paametes and physcal popetes taken fo the smulaton ae gven n the followng tables: Pocess paametes Fequency (Hz) 50 Cuent densty lectomagnetc tme step (s) T/3 Themal tme step (s) 0.5

180 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 73 Pocess paametes Fequency (Hz) 50 Cuent densty lectomagnetc tme step (s) T/3 Themal tme step (s) 0.5 Magnetc paametes Steel (pat) Coppe (col) a σ (Ω -.m - ) µ elatve Fgue 6: geomety and pocess paametes The physcal popetes ae gven fo steel and coppe (espectvely pat and nducto) and the a. In ths case, the popetes ae not tempeatue dependent. Dffeent meshes have been consdeed wth a numbe of nodes angng fom 804 to nodes. The lmtaton came fom the memoy avalable to un the sequental code whch has lmted us to meshes lowe than appoxmately nodes. The meshes have been pattoned nto two, fou and up to twenty submeshes. Fo example, Fgue 6 shows the ISO values of the effectve electc feld ove a patton nto 4 submeshes of the 804-nodes mesh. The effectve electcal feld gves a good epesentaton of the joule powe dsspated n the pat and s defned at a gven node as the ntegaton ove an electomagnetc peod of the squae of the eal nstantaneous electcal feld: eff ( node) T ( n+ ) T nt ( node, t) * dt

181 74 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton Fgue 6: ffectve electcal feld (V.m-) computatons on 4 pocessos fo a mesh of 804 elements. The code uns a complete electomagnetc computaton and 0 themal tme step computatons. The coespondng CPU tme has been measued fo each case. Sequental Pocessos 4 Pocessos 0 Pocessos 0 Pocessos Numbe of 804 nodes 440 nodes n 735 nodes n 90 nodes n 50 nodes n nodes aveage aveage aveage aveage CPU s s 4. s 47.49s 4.5s Speed Up ffcency 00 % 5 % 34% % 6.6% Fgue 63: ffcency of the paallel code wth the paallel dagonal pecondtone wth a mesh of 804 nodes on the 3 b-pocessos cluste. Sequental pocessos 4 pocessos 0 pocessos 0 pocessos

182 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 75 Numbe of 9966 nodes 9990 nodes n 5000 nodes n 000 nodes n 000 nodes n nodes aveage aveage aveage aveage CPU s s s 47.5s 97s Speed Up ffcency 00 % 75 % 75 % 75 % 6 % Fgue 64 : ffcency of the paallel code fo 0 themal teatons on a shot nducto case on a mesh of 9966 nodes on the 3 b-pocessos cluste. Wang case Sequental pocessos 4 pocessos 0 pocessos 0 pocessos Numbe of 9966 nodes 5000 nodes 7900 nodes n 3070 nodes n 500 nodes n nodes n aveage aveage aveage aveage CPU 077.s 377.6s 708.s s Speed Up ffcency 00% 76% 74% 79% 09% Fgue 65: ffcency of the paallel code fo 0 themal teatons on a shot nducto case on a mesh of 9966 nodes on the 3 b-pocessos cluste. The Speed up and effcency ae qute lmted fo the small mesh of 804 nodes, see Fgue 63. Fo a lage mesh, the speed up and effcency become fa moe nteestng, as showed n Fgue 64 and Fgue 65 The paallel code wll become eally useful fo lage mesh wth a numbe of degee of feedom geate than As no emeshng pocedues ae needed dung the computaton even wth a non statc nducto, the sequental pat of the code s educed to the ts mnmum and conssts smply of one pocesso gettng the data fle names and sendng them to the othe pocessos. Tme measuements wth a non pecondtoned conjugate gadent algothm was not done as the themal poblem has eal dffcultes to convege wthout the dagonal pecondtone due to ts bad condtonng numbe. In Fgue 65, the effcency fo 0 pocessos s extemely good, ove 00%. Ths phenomenon can be explaned wth the fact that the sequental model wth nodes eaches the lmt of the hadwae of n tem of vtual and local memoes, whch s qute a dsadvantage n tem of computatonal tme. Fo the same ntal mesh szes and fo the same numbe of patton, the paallel pefomance can be qute dffeent, as t depends n a lage extent on the qualty of the mesh and of the submeshes.

183 76 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 000 Computatonal tme (seconds) nodes 9966 nodes 9966 nodes Numbe of pocessos Fgue 66 : Computatonal tme vesus the numbe of pocessos fo thee dffeent mesh szes ffcency (%) nodes 9966 nodes 9966 nodes Numbe of pocessos Fgue 67 : ffcency vesus the numbe of pocessos fo dffeent mesh szes Fgue 66 show the quck decease of the CPU tme wth the numbe of pocessos. Ths decease s eally sgnfcant when the numbe of nodes becomes lage enough. We can see

184 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton du chauffage pa nducton 77 that the CPU tme measued on 0 pocessos fo the mesh of 9966 nodes becomes lowe than fo the mesh of 9966 nodes. Ths s due to the dffeence n qualty between the dffeent mesh pattons. 4. Concluson As the speed-up and effcency measues have shown, the SPMD stategy s well adapted to a system of paabolc dffeental equatons, as obtaned n the case of the smulaton of nducton heatng pocesses. The lnea systems obtaned fom both the electomagnetc and the themal systems ae well condtoned enough to enable an teatve esoluton wth a dagonal pecondtoned conjugate gadent method. Ths has motvated the choce of the doman pattonng method, athe than a doman decomposton method (Schwaz method, FTI method,..). The method s optmal, n the sense that the numbe of teatons of the solve s ndependent of the numbe of pattons and hence of the numbe of pocessos. Ths method does not mply lage changes n the algothm achtectue, the mplementaton wok s easonable as the sequental stuctue s oughly kept: Futhemoe, ths method s based on a message-passng lbay (fo nstance the MPI lbay). Hence the wok needed to adapt the softwae fom one compute to anothe s educed: ths method s easly potable. The paallel code becomes eally effcent fo a numbe of nodes hghe than about 5000 nodes. Fo smalle meshes, the speed-up s athe unnteestng. In that case, the communcatons costs needed fo the scala o matx-vecto poducts become athe consumng n compasons to the tme gan dung the assemblng pocedues on smalle pattoned meshes. Hence the scalablty s of bad qualty. Howeve the pefomances and scalablty ae vey good up to 0 pocessos fo meshes lage than 5000 nodes. The paallelzaton of the nducton heatng code extends n a lage manne the smulaton to athe lage eal confguatons o to hghly non-lnea modelng as, n ths case, the CPU tme needed to each the soluton s eally loweed.

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186 Chapte 4: Calcul paallèle en optmsaton 79 Chapte 4 Calcul paallèle pou l optmsaton du pocédé de chauffage pa nducton Ce chapte concene la paallélsaton d une pocédue d optmsaton automatque des paamètes contôle des pocédés de chauffage pa nducton mse au pont pa Yann Favennec [] su la base du modèle dect pésenté dans le chapte. L objectf d un code de smulaton numéque est de déce de manèe auss pécse et fable que possble les phénomènes physques entant en compte dans le pocédé smulé dans une optque de concepton ou ben d améloaton du pocédé. La méthode tadtonnelle qu consste à teste de nombeux jeux de paamètes et à quantfe leus effets su les champs fnaux peut se évéle fastdeuse, consommatce de temps, de moyens humans et nfomatques. Des méthodes plus écentes sont basées su une optmsaton automatque des paamètes de contôle. Dfféents objectfs d optmsaton sont possbles, comme pa exemple édue les temps de chauffe ou ben l énege consommée duant le pocédé. Dans le cade du pojet euopéen, nous avons plutôt cheché à améloe la qualté du chauffage: obten un jeu de paamète de contôle afn que les évolutons de tempéatue soent auss poches que possbles d évolutons de tempéatue optmales pesctes pa l utlsateu en vue ente aute de contôle la métalluge fnale du podut. L algothme utlsé est un algothme de gadent conjugué pou lequel les sensblté sont calculées à pat d une méthode adjonte dscète. L algothme complet d optmsaton nécesste de lance de nombeuses fos le modèle dect et de ésoude pluseus fos les systèmes électomagnétques et themques adjonts. Ces opéatons sont coûteuses en temps de calculs. La paallélsaton de la pocédue d optmsaton pemet de dmnue consdéablement les temps de calcul, notamment pou des domanes d étude de gandes talles, qu d alleus seaent nenvsageables en séquentel pou des asons de capacté mémoe.

187 80 Chapte 4: Calcul paallèle en optmsaton Ce chapte est pésenté sous la fome d une publcaton, soumse au jounal of paallel and dstbuted computng. Le modèle dect electo-themque est bèvement déct, pus la méthode et l algothme d optmsaton sont détallés (se éfée également à l annexe ). Pus la statége de paallélsaton, basée su celle développée pou le modèle dect, est explquée. nfn des mesues de speed-up et d effcacté pemettent de mesue les pefomances du code paallèle pa appot au code séquentel en temes de temps de calcul.

188 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton 8 A Paallel computng stategy of an optmzaton pocedue desgned fo electothemal applcatons Valée Labbé, Yann Favennec, Fanços Bay Cente de Mse en Fome des Matéaux, cole des Mnes de Pas B.P Sopha Antpols Cedex - FRANC [email protected] Abstact: A paallel computaton stategy fo a geneal automatc optmzaton pocedue coupled to a fnte element nducton heatng pocess smulaton has been developed and tested. The am s to detemne the optmal pocess o contol paametes (cuent ntensty, fequency,..) n ode to get a tempeatue feld o tempeatue evolutons as close as possble to gven tempeatue equements o objectves. The optmzaton pocedue woks on top of a dect nducton heatng model, whch s based on coupled electomagnetc and themomechancal esolutons. The optmzaton pocedue uses an adjont method to compute tempeatue senstvtes wth espect to the pocess paametes and a lnea descent algothm to detemne the paametes whch wll mnmze the cost functon. Ths complete pocedue has been paallelzed wth a SPMD doman pattonng method. Pefomance measuements n tem of CPU tme wee pefomed on an ndustal applcaton. Key wods : Paallel, Doman pattonng, Optmzaton, Invese Analyss, Fnte lements, Inducton Heatng, Multphyscs Couplng 0. Intoducton An electo-themal dect model enablng a pecse fnte elements modelng of nducton heatng and heat teatment pocesses has been developed at Cemef. The usual way to optmze numecally a pocess s based on a ty and see pocedue ove a lage ange of pocess paametes. Ths can become eally tme consumng and s usually not easy to pefom, especally when the numbe of paametes to optmze gows. Thus the am of pefectly contollng ndustal themal pocesses though the heatng ate o the tempeatue feld n the pat has motvated the development of an automatc optmzaton pocedue whch delves a set of optmzed pocess paametes, such as the fequency, the nput cuent densty o the nducto velocty to match ndustal equements. The modelng of eal cases whch eques lage meshes and easonable computatonal tme shows the need of a paallel veson of the

189 8 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton optmzaton pocedue. The dect electo-themal model s fst descbed. The optmzaton algothm s then detaled. Ths algothm ams to mnmze a cost functon, whch quantfes the dffeences between the computed tempeatues and the tempeatue objectves n tems of themal goals (pescbed fnal tempeatues n the pat) o n tems of themal evolutons at dffeent locatons (heat teatng pocesses). Once ths cost functon has been computed, a sensblty analyss s pefomed, based on an adjont method, n ode to compute the cost functon gadents wth espect to the pocess paametes. Aftewads a mnmzaton step of the cost functon can be pefomed though the detemnaton of a descent decton computed fom a conjugate gadent algothm. Ths s done teatvely untl the cost functon becomes small enough. Snce ths pocedue needs seveal computatons of the dect and adjont models (the latte also called sensblty model), the CPU tme needed can be eally lage. Futhemoe, some objectves may need a vey efned mesh, and hence meshes wth a consequent numbe of nodes. Both equements have shown the need of a paallelzed optmzaton code. So n the thd pat, the paallel stategy s detaled and pefomance measuements n tem of Speed Up and ffcency on an ndustal case ae pesented.. The dect electo-themal model In ode to be elable, an automatc optmzaton pocedue must be coupled to a obust and valdated dect model. The dect model used to model nducton heatng pocesses couples both electomagnetc and themal patal dffeental equatons. Both models and the dscetzaton ae befly evewed. The mechancal poblem s not seen hee, fo moe detals see []. The couplng pocedue between the electomagnetc and themal systems s then detaled. a/ The electomagnetc model The model s deved fom the Maxwell equatons, togethe wth Ohm s law fo electcal conductve mateals. The man appoxmaton that has been consdeed s the magneto-quasstatc appoxmaton, whch conssts n neglectng the dsplacement cuents D t n the Maxwell-Ampee equaton [3]. Ths appoxmaton leads to neglectng the popagaton phenomena. By combnng the Maxwell equaton, the ntnsc laws and Ohm s law, the followng fomulaton fo the electcal feld s obtaned fo axsymmetcal confguatons []:

190 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton 83 s t. µ + µ µ J S t on Ω [t, t ], (84) 0 f (0, t) 0 on the axs of symmety, (, t) 0 fo 0 (,0) on Ω, and t [t 0, t f ], whee s the othoadal component of the electcal feld, σ s the electcal conductvty, µ s the magnetc pemeablty and weak fomulaton of equaton, element method [43]. J S, the nput cuent densty (may be of any shape). The (84) s dscetzed spatally wth a Galekn fnte [ C ] (t) + [ K ]{ (t) } { B } t whth {} the vecto of unknowns {}{,, n } and:, (85) [ C ] j [ K ] j nb.elts elt nb.elts elt elt elt s N j N N µ j ds. N ds + elt µ N j N ds + elt µ (N j N ) ds J nb.elts s { B }.N ds elt elt t The tme dscetzaton uses a second-ode two tme step fnte dffeence scheme. Fnally we end wth a matx system to solve: Fnd ( t, x) such that R ( u,, T) 0 t [t, t ], (86) 0 f whee u ae the pocess paametes (fo nstance the cuent densty J S ). b/ The themal model We consde the doman Ω wth the followng boundaes: Γ as beng the oute bounday of the Ω doman, Γ 0 pat of the oute bounday whee the tempeatue s pescbed (Dchlet bounday condton), Γ pat of the oute bounday whee the heat flux s pescbed

191 84 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton (Neumann bounday condton) and Γ pat of the oute bounday whee thee s a convecton-adaton bounday condton. Tempeatue evoluton n the wokpece s govened by the classcal heat tansfe equaton: T?C dv(k T) Q& t em on Ω [t, t ], (87) 0 f T T pescbed on Γ 0, k T.n Φ pescbed on Γ, 4 4 k T.n h (T T ) + e s (T T ) on Γ, cv ext em whee ρ s the wokpece densty, C the specfc heat, k the themal conductvty, (both C and k beng tempeatue-dependent). h cv denotes the convecton coeffcent, T ext the oom tempeatue (n Kelvn), ε em the mateal emssvty, and σ Ste the Stefan constant. Q & em s the local heat densty ate geneated by the Joule losses due to eddy cuents: Ste ext Q & (n+ )P em σ wth s s(t) (t) P dt np, wth P beng the peod of the electomagnetc souce tem. Gong though the weak fomulaton and the spatal dscetsaton, one ends wth the followng lnea matx system to solve wth T T T T [ C ] (t) + [ K ]{ T(t) } { B } t, (88) T [ C ] j T [ K ] j nb.elts elt nb.elts elt nb.elts T { B } Q&.N + F N + em elt elt elt elt?cn k N j j N. N + elt G elt G hn j pescbed N j elt G ht ext N j

192 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton 85 The tme dscetzaton uses a second-ode two tme step fnte dffeence scheme. We fnally end wth a matx system to solve: Fnd T T T ( t, x) such that : R (, T ) 0 t t 0, t f. (89) c/ The electo-themal couplng pocedue The electomagnetc and themal model ae tghtly coupled. The handlng of the couplng s caed out by checkng two dffeent stages: Stablzaton of the mean heat souce tem ove the electomagnetc peods. The mean Joule heatng ate s computed ove one peod P of the electomagnetc feld at evey ntegaton ponts: Q em np (np) s(t) (t) dt P. (n )P lectomagnetc computatons ae un untl the heat souce tem conveges to a stablzed value: Q em ((n + )P) Q Q em (np) em (np) < e. Stablzatons of the magnetc and electc paametes values wth espect to tempeatue : Themal computatons can use the same souce tem deved fom the electomagnetc computatons as long as the physcal magnetc paametes such as the magnetc pemeablty and the electc conductvty do not change too much. The vaatons wth tempeatue ae tested afte each new themal computaton. The followng ctea ae used fo each mesh element: n σ ( Τ + max ) σ ( Τ σ ( Τ ) n max n max ) < 5% and µ ( n Τ + max ) µ ( Τ µ ( Τ n max ) n max ) < 5%, whee + Τ n max s the maxmum value of the tempeatue feld n the mesh element at n tme t + dtthe and Τ max s the maxmum value of the tempeatue feld n the same element at the cuent tme t.

193 86 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton Ths s summazed n the followng fgue M esoluton Vaaton of the magnetc popetes stablsaton of the Joule powe Themal esoluton Fgue 68 : Handlng of the electo-themal couplng The geneal algothm ulng the dect model s shown n Fgue 69. Sgnfcant vaaton of an electomagnetc paamete wth espect to tempeatue Fgue 69: Algothm of the dect model

194 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton 87. The optmzaton model The dect nducton heatng model descbed n the pevous secton encompasses two dscetzed coupled equatons. These equatons ae the electomagnetc equaton and the themal equaton. The state vaables nvolved n the mathematcal model ae the electcal feld and the tempeatue feld. Fo the sake of claty, the global poblem s ewtten n the followng condensed fom: Fnd ( t, x), T T( t, x) such that : R R T ( u,, T ) (, T ) 0 0 t t t 0 t 0, t, t f f (90) whee u denotes the electomagnetc contol paametes and whee all explct dependences ae gven. Ths system of equatons needs an ntal condton. One classcally wtes: 0 ( 0, x) ( x) 0 T ( 0, x) T ( x) 0 (9) Optmzng nducton heatng pocesses conssts n fndng the best electomagnetc contol paametes such that the calculated tempeatues ae as close as possble to optmal tempeatue opt T. Optmal tempeatue data ae dectly elated to the nducton heatng pocess use am. One may, fo nstance, deal wth pe-heatng a bllet befoe any fomng pocess. In ths case, optmal tempeatue data ae defned at the fnal tme. One may also, fo nstance, deal wth gettng a pecse tempeatue path n tme at gven locatons. In ths case, the objectve functon s defned thoughout the whole heatng tme ange. The followng objectve functon takes nto account all specfctes, as long as the state vaable of concen s tempeatue: j ( u) J ( T( t) ) J T ( t) t f ( ) + J ( T ( t ) g( T ( t) ) dt + h( T ( t ) f f, (9) t0 whee functons g and h ae chosen so that J s as convex as possble, fo nstance:

195 88 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton opt g( T ) h( T ) T ( x, t) T, (93) O whee the opeato. s a nom. Hence, the optmzaton poblem wtes: Fnd u U such that j( u ) mn j( u). (94) ad u U ad R ( u,, T) 0 T R (,T) 0, lectomagnetc contol paametes u ae the pescbed exctng fequency and the cuent nput cculatng wthn the cols. The velocty of nductos wth espect to the bllet to be heated s also a paamete that can be contolled. The contol space U ad s then to be defned. Ths depends on the knd of the optmzaton poblem dealt wth. Fo the eal optmzaton case dealt wth n the last secton of the pape, the pope contol space U ad s gven. Seveal mnmzaton methods can be used to solve the optmzaton poblem (94). They ae detaled and compaed n []. In the geneal case, when the functonal j s dffeentable, a necessay condton fo u to be soluton of (94) s gven by: The detemnaton of ( u )(. u u ) 0 u U ad j'. (95) J, gadent of J wth espect to all contols u k, k enables to use gadent type mnmzaton methods. The optmal contol appoach s used hee. The fst step s to ntoduce the Lagangan L gven n (96). T T T (,, T,, λ ) J ( T ) + R ( u,, T ), λ + R (, T ), λ Ω [ t t ] Ω [ t t ] L u λ, (96) 0, f 0, f whee whee: λ and T λ ae adjont vaables elated to electomagnetc and themal poblems, and t f Ω [ ] t0 t f, t0 Ω u, v uvdx dt. (97) The second step s to deve the Lagangan wth espect to contols u k and ntegate by pats all scala poducts. It can be shown that f poblem: T λ and λ ae soluton of the evese adjont

196 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton 89 C T C? C C? T T? t T t f? t t f + + K nbelts elt K 0 T?? T elt nbelts T T elt elt opt T T N T B T? opt N t t 0 t, t f t 0, t f (98) the objectve functon gadents dj du k dj du k ae gven by: ( u,, T ) R, λ (99) u k Ω [ t t ] 0, f When dealng wth fequency and cuent ampltude as contol paametes, the fst tem of the scala poduct nvolved n (99) s calculated devng analytcally the dect electomagnetc poblem. The choce fo the petubaton s not tval. xpeence has shown that the petubaton depends, among othe thngs, on the element sze of the fnte element mesh. As fo the dect nducton heatng model, a tme ntegaton of the adjont poblem (98) wthn the whole tme ange [ t 0,t f ] s not pactcally possble. Theefoe a weak couplng stategy has been developed (see [] fo moe detals). Once the objectve functon gadent has been calculated, the detemnaton of u s done usng a gadent type method. A fst choce u O beng gven, one bulds the sees defned as: u n u + α D, (300) n n n whee D n s the descent decton calculated usng, n the pesent case, the conjugate gadent method, and α n s the descent step defned by: n mn j n ( u α D ) α ag +. (30) n The global couplng pocedue, encompassng the dect and the evese model s schematcally shown n Fgue 70.

197 90 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton Intal guessed contols Input physcal data, geomety Intalzaton ofλ, λ T Intalzaton of,h, B, T Devaton of costfunc. wt temp.m. computaton Themal adjont computaton NO Peod completed?.m. adjont computaton NO Convegence? Peod completed? NO Themal computaton Convegence? NO NO Fnshed? Fnshed? NO nd dect model nd adjont model Paabolc ntepolaton eseach algothm Contol stablzed? nd Fgue 70: Geneal algothm fo the optmzaton pocedue coupled to the nducton heatng model. 3. The paallel stategy The method employed to paallelze the global optmzaton pocedue s based on a doman pattonng method whch has been aleady successfully appled fo the paallelzaton of the dect nducton heatng model, [3]. The global SPMD (Sngle Pogam Multple Data) appoach based on a doman pattonng method tends to solve dectly the global lnea systems wth the contbuton of all pocessos. Ths stategy s only usable f the dffeent matx systems constucted dung the

198 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton 9 optmzaton pocedue ae well condtoned enough to be solved wth an teatve solve. Indeed an teatve solve wll buld the soluton by usng basc opeatons, such as scala poducts o matx-vecto poducts, whch may be computed locally and then added ove the dffeent subdomans. Ths s the pncple of the doman pattonng method. As the matces of the dffeent dect and adjont systems ae symmetc and postve defnte, a gadent conjugate method has been successfully appled on the esoluton of the matx systems. It has showed a easonable convegence ate fo the electomagnetc esolutons but the convegence was hadly eached fo the themal computatons due to ll-condtonng themal dffusvty. The use of a dagonal pecondtone has solved ths poblem and has notceably mpoved the convegence ate fo both the electomagnetc and themal systems. The method s based on a mesh patton, hence the ntal global mesh s dvded nto N subdomans whee N s the numbe of pocessos. A patton s of good qualty f: all the subdoman have oughly the same sze (the same numbe of elements) the nteface szes (the numbe of common nodes) between two o moe subdomans ae mnmzed Ths aspect s eally mpotant snce t has an mpotant mpact on the pefomance of the paallel code. The best pefomances ae obtaned fo a smulaton f all pocessos have appoxmately the same computng load. Ths wll educe the wasted synchonzaton tme when one pocesso needs to wat fo the othes. Anothe tme-consumng pont concens the communcatons between the pocessos, whch should be mnmzed n tem of numbe and length. Its consequence s that the numbe and sze of the ntefaces between the dffeent submeshes has to eman as low as possble. The SPMD stategy conssts n unnng the same pogam nstuctons on all the pocessos, each one on a dffeent sub-doman of the mesh. On the oute boundaes, the same global bounday condtons as the ones used fo the sequental pogam ae pescbed. ach pocesso bulds the local system matx and ght hand sde system vecto coespondng to the submesh whch t has been attbuted. The global soluton s obtaned though the use of a paallel teatve solve. Hence, the man paallelzaton effot conssts n modfyng the sequental teatve solve nto a paallel teatve solve by modfyng the followng algothms:

199 9 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton vecto actualzaton Matx vecto poduct Scala poduct Pecondtonng Ths method offes a good scalablty and s elatvely convenent to mplement as t does not nduce specfc paallel system esolutons (the global stuctue of the code emans unchanged). Futhemoe, a paallel code based on a SPMD method needs to lmt as much as possble the sequental non paallelzed tasks of the code to be effcent. We have seen n the pevous paagaph that the optmzaton pocedue fst uns the dect electo-themal model followed by both themal and electomagnetc adjonts models. At ths step, the gadent of the objectve functon wth espect to the contol paametes can be computed fom the adjont vaables. Hence the new descent decton s evaluated fom a conjugate gadent method (the gadent tself s taken at the fst teaton). The lnea eseach algothm s then un n ode to fnd the mnmum of the objectve functon along the gven descent decton. Ths eques to un seveal tmes the dect model each tme wth a dffeent descent step. The whole pocedue s then epeated untl the cost functon becomes small enough. All these steps ae fully paallelzable, asde fom the descent decton computaton. Ths task s whethe computed ndependently on all computes, o computed on one compute and the esult beng sent to all the othe ones. As ths opeaton s less tme consumng than a global communcaton, we have selected the fst soluton. Hence the global optmzaton pocedue s almost completely paallelzed. So n fact, the total effot has been focused on paallelzng the dect and adjont, themal and electomagnetc system esolutons and to update the global cost functon evaluatons. The paallel teatve conjugate gadent method A local matx system wth the bounday condtons of the global poblem s bult on each sub-doman by the allocated pocesso. At the end of ths step, the local matces and local load vectos ae avalable. The paallel teatve solve algothm s descbed wth u k beng ethe the electc feld o the tempeatue feld at teaton k dependng on whethe the electomagnetc o the themal system s beng solved.

200 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton 93 Fgue 7: The doman pattonng algothm The paallelzaton of the opeatons, such as scala o matx-vecto poducts, ae detaled n [3]:. Vecto feld actualzaton We consde the vecto V that needs to be actualzed. On the nteo and on the global boundaes of each local subdoman, the values of V ae dentcal to the global sequental vecto V. Howeve, they ae dffeent on the ntefaces between two o moe subdomans, whee the dffeent contbutons need to be added. We wll llustate ths pocedue wth the MPI lbay. - Openng of the ecepton ode on all pocessos wth a non blockng MPI- IRCV pocedue. ach pocesso wats fo ncomng nput vectos fom all neghbo pocesso wth the sze of the common nteface. - Fo all pocessos, sendng of the local nteface values to all the pocessos whch shae the same nteface. The MPI_ISND pocedue s used.

201 94 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton - Synchonzaton of all pocessos wth the pocedue MPI_WAITALL - On all pocessos, summaton on all nteface nodes of the local vecto values wth the eceved values. Scala poduct (x, y) W The scala poduct of two global vectos ae computed locally on each subdoman. The dffeent contbutons ae then added and the global scala poduct value s sent back to all pocessos. Howeve, ths way, the contbuton of one nteface node s added twce o moe when the consdeed node s shaed by two sub-domans o moe. To avod ths, a weghtng facto s ntoduced - fo an ntenal node, t s equal to one - fo an nteface node, t s equal to the nvese of the numbe of domans ownng the consdeed node Hence the scala poducts between two global vecto x and y wtes: N N PROCSSOR NOD Ω Ω Ω Ω ( x, y) x ( node). y ( node). weght ( node), (30) node wth weght ( node) numbe _ of _ doman( node) Fo an ntenal node fo an nteface node (303) 3. Matx-vecto poduct Ax The global matx A s the sum of the local matces A Ω (extended to the sze of the global poblem). On the nteface nodes, the value of the global matx A coesponds to the sum of the contbutons of the local values on all domans whch shae the gven nteface node. Hence the local matx-vecto poduct s done on all sub-domans, followed by an actualzaton of the esultng vecto at the nteface nodes.

202 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton 95 The geneal oganzaton of the paallel optmzaton algothm s descbed n Fgue 7. The paallel tasks ae n blue. Dect model Dect model Dect model Iteatve paallel solve Computaton of the cost functon Adjont models Adjont models Adjont models Iteatve paallel solve Computaton of the cost functon gadent Descent decton Descent decton Descent decton Lnea eseach algothm Dect model Dect model Dect model Iteatve paallel solve Fgue 7 : Geneal oganzaton of the paallel optmzaton algothm.

203 96 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton 4. Industal case optmzaton pefomance measuement The test case deals wth oganc suface cleanng. The gease o the lubcant emanng on the poduct afte ts fomng gve a dty aspect to ts suface. Hence, afte the last heat teatment, all the sufaces ae cleaned, by heatng homogeneously the wokpece at a tempeatue hghe than 50 C. Futhemoe, the pat must not be heated too much locally n ode to avod any metallugcal phase tansfomatons. The cleanng opeatons deals hee wth a hgh pessue gas contane. Ths contane s 850mm long, fo an extenal damete of 50mm and a thckness of appoxmately 0mm. Seveal nductos may be dsposed aound the pat, each wth ts own cuent ntensty. No constants ae mposed on the geomety o locatons of the cols. We have chosen to use ten nductos wth a squae secton whose epatton s shown on Fgue 73. The fequency s mposed at 50Hz and the heatng tme should be about 40 seconds. The optmzaton objectves ae the detemnaton of the optmal cuent denstes needed n the dffeent nductos. Th objectve functon s computed ove the ente optmzaton doman, consttuted of the gas contane. The optmal tempeatue amed at should unfom and equal to 300 C. R50 mm 850 mm 40 mm 50 mm Fgue 73 : Geomety of the gas bottle and of the ten nductos

204 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton 97 The cost functon wtes: The optmzaton poblem wtes: j cal ( u) J ( T ( t f ) ( T ( 40) 573) 40 dx. Ω Fnd u U such that j( u) mn j( u). ad u U ad whee U ad s defned by: U + 0 {( J,..0) R } ad. In ode to test the optmzaton algothm unde sevee condtons, the ntal cuent denstes, fom the top nducto to the lowe one, have been taken equal to 0 8,.0 8, 3.0 8, 4.0 8, 5.0 8, 6.0 8, 7.0 8, 8.0 8, and 0 9 A/m. Fgue 74 shows the evoluton of the ten cuent densty values and of the cost functon wth espect to the optmzaton teatons. Fgue 74 : volutons of the cuent denstes and of the cost functon vesus the numbe of teatons

205 98 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton 35 esolutons of the dect model and 5 esolutons of the adjont model have been necessay to detemne the optmal cuent denstes. The cost functon has deceased by a facto of 60 between the fst and the last teatons. We see that the cuent denstes of the eght cente cols ae qute dentcal. Howeve the two exteme cols do have qute dffeent cuent denstes, whch have been only slghtly modfed dung the teatons. The explanaton s that they ae futhe away and thus the contbutons n tem of heatng ate ae less sgnfcant. Hence the devatve of the cost functon wth espect to the cuent denstes ae small. Fgue 75 : ISO cuves of the effectve electcal feld on a patton nto 8 sub-meshes fom the ntal mesh of sze nodes. Fgue 75 shows the so values of the effectve electcal feld defned by: eff T (n+ )T n T (t) * dt As the suface of the pat and the nductos wee meshed wth a vey efned mesh, the pattons ae eally nhomogeneous n sze thus havng the numbe of fnte elements.

206 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton 99 Fgue 76 : ISO cuves of tempeatue feld on a patton nto 8 sub-meshes fom the ntal mesh of sze nodes. The coloed egons ae pats of the gas contane. Fgue 76 shows the tempeatue feld. Ths tme the elatve sze of the dffeent submeshes ae not eal. We can see that the tempeatues ae qute homogenous n the pat. The test descbed above has been computed on a mesh of nodes fo pecson puposes; ths mesh has been pattoned nto eght meshes of sze slghtly less than 0000 nodes, see Fgue 75. The total computaton has lasted moe than 4 hous. Pefomance measuements wee un on meshes of about 0000 and 8000 nodes to enable compasons n tem of CPU tme wth the sequental code, as the sequental code could not un wth meshes lage than 8000 nodes. We pesent esults n tem of speed up obtaned on paallel computes wth a dstbuted achtectue. The paallel platfom avalable at ou laboatoy and whch we have used fo CPU measuements s a cluste of 3 b-pocessos Pentum III at GHz and 5 Mo of RAM. The data tansfe velocty s Go/s.

207 00 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton The measuement have been made only ove one complete optmzaton teaton, whch has uns both the electomagnetc and themal adjont computatons and nne tme the dect electomagnetc and themal models. Sequental Pocessos 4 Pocessos 0 Pocessos 0 Pocessos Numbe of n 4990 n 000 n 000 n nodes aveage aveage aveage aveage CPU(s) Speed Up ffcency 00% 70% 5% 39% 35% Fgue 77: ffcency of the paallel optmzaton code wth a mesh of 9834 nodes on the 3 b-pocessos cluste nodes Sequental Pocessos 4 Pocessos 0 Pocessos 0 Pocessos CPU(s) Speed Up ffcency 00% 7% 60% 55% 48% Fgue 78: ffcency of the paallel optmzaton code wth a mesh of 7784 nodes on the 3 b-pocessos cluste. The pefomances n tems of computatonal tme estcton ae good. Yet, the effcency s athe dsappontng when the numbe of pocessos nceases. Ths s due to the fact that a computaton of the electomagnetc o themal adjont model eques to stoe all the nodal values at all the dect model teatons of the coespondng feld. Hence those feld values ae wtten n data fles afte each teaton of the dect model and then ead once befoe the adjont model esoluton. The length of these fles s popotonal to the numbe of nodes of the consdeed mesh. Those fles become smalle when the numbe of submeshes nceases. Although the tme needed fo these opeatons gets lagely educed when the numbe of pattons nceases, the tme consumpton due to the openng and closng of the fles added to the tme needed to ntalze wtng and eadng pocedues emans the same and s

208 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton 0 ndependent of the sze of the meshes. Hence anothe way of poceedng should studed to keep the data n memoy wthout nceasng too much the memoy equements CPU tme (s) nodes 8000 nodes Numbe of pocessos Fgue 79 : voluton of the CPU tme wth espect to the numbe of pocessos fo a mesh of about 0000 and 8000 nodes The pefomances of the paallel code gow wth the sze of the mesh. Fo a mesh of 8000 nodes the tme needed fo one teaton of the optmzaton pocedue s dvded by a facto of 9.6 on twenty pocessos. The ameloaton of the data handlng should boost the effcency but although the scalablty when the numbe of pocessos gows. Concluson The paallelzaton of an optmzaton pocedue coupled to an nducton heatng code has been pesented. The optmzaton code has been completely paallelzed wth a doman pattonng method. Ths educes consdeably the computatonal tme needed fo a smulaton. It also enables the smulaton ove lage meshes. We have seen that the pefomances n tem of speed up and effcency ae qute good. The advantage of a pattonng method s ts hgh potablty fom one coase compute to anothe. Futhemoe, t does not mply lage changes n the stuctue of the code compaed fo nstance to doman

209 0 Chapte 4: Paallélsaton de la pocédue d optmsaton decomposton methods. Its mplementaton s thus athe fast. The man dsadvantage s that ths method s not applcable to ll-condtoned systems whch can not be solved usng an teatve solve. The optmzaton algothm pesents a coect convegence ate ove the pecondtoned conjugate gadent esolutons when a dagonal pecondtone s appled. The use of ths pecondtone s also eally favoable snce ts numecal computaton s nstantaneous and the memoy equements ae low. We have seen that the athe low scalablty eques to wok on the data savng system that should encompass the use of data fles. Ths s due to the hgh level of stoage equed when solvng back and foth the dect and evese adjont poblems. To conclude ths SPMD doman pattonng paallel method apples well on an optmzaton pocedues coupled to an nducton heatng model. The method has shown good educton n the computatonal tme, though bette esults may be obtaned on the scalablty.

210 Concluson généale et pespectves 03 Concluson généale et pespectves La pemèe étape de ce taval a conssté à établ, développe et valde un modèle pefomant pou modélse les pocédés de chauffage pa nducton, que ce sot en péchauffe ou pou des tatements themques. Ce pocédé est complexe de pa sa natue mult-physque et nécesste le couplage ente des modèles : - électomagnétque, - themque, - éventuellement themo-mécanque. Le chox du modèle électomagnétque est pmodal. De nombeuses appoxmatons basées su des hypothèses plus ou mons fotes exstent. Nous avons seulement utlsé l appoxmaton des égmes quas-pemanents. Nous avons vu que cette pemèe appoxmaton, qu event à néglge le phénomène de popagaton des ondes, est valable dans la gamme de féquences utlsée los des pocédés de chauffage pa nducton, les plus hautes féquences étant lagement nféeues au mégahetz. La popagaton des ondes est alos consdéée comme nstantanée, ce qu au vu de la talle caactéstque des nstallatons (quelques mètes) pa appot à la célété de la lumèe (3.0 5 m/s) est tout à fat asonnable. n evanche, nous avons chos d écate l appoxmaton hamonque des champs électomagnétques. Cette appoxmaton découple les évolutons spatales et tempoelles du champ et event à calcule une ampltude complexe pou le champ électomagnétque à pat d une équaton statonnae. L avantage d une telle appoxmaton est le gan souvent mpotant en temps de calcul. Seulement, on ped une pécson mpotante su l évoluton tempoelle et su la défomaton des champs électomagnétques losqu l s agt d un matéau feomagnétque. n effet, les hamonques secondaes ne sont pas pses en compte. Afn de pouvo epésente les phénomènes physques le plus éellement possble, le modèle électomagnétque utlsé est dépendant du temps. Néanmons, afn de n ête pas top pénalsant en temps de calcul, des compoms ente la pécson des calculs et le temps de calcul nécessae ont été étudés. Ils se stuent au nveau : - du nombe de calculs électomagnétques nécessaes pou ben déce l évoluton tempoelle d une péode électomagnétque,

211 04 Concluson généale et pespectves - du nombe de péodes électomagnétques nécessaes pou ave à une soluton stable, - du nombe de calculs électomagnétques complets nécessaes au cous de l évoluton du champ de tempéatue. Ces ponts mpotants, ans que des échelles de temps caactéstques électomagnétques et themques pésentant un appot allant de 0 - à 0-6 ont nécessté la mse en place d un couplage fable, basé su la stablsaton du teme de pussance Joule moyennée su une péode électomagnétque ans que su la stablsaton des paamètes électomagnétques au cous de la montée en tempéatue. La méthode numéque employée, de type éléments fns, est fable et obuste. Néanmons, elle nécesste une bonne compéhenson des phénomènes physques électomagnétques nhéents au pocédé. n effet, modélse un espace ouvet pa une méthode éléments fns nécesste la femetue du domane et l mposton de condtons aux lmtes atfcelles. L utlsateu dot estme la talle du domane étudé qu dot ête assez gand pou ne pas ven tonque les lgnes du champ électomagnétque et ans les modfe. Son avantage pa appot à une méthode mxte est que la matce du système est ceuse et symétque. La ésoluton du poblème est facltée et se pête meux à des développements en calcul paallèle. nfn, une nouvelle statége a été développée pou smule le déplacement de l nducteu: ses popétés se déplacent vtuellement dans l a. Cette méthode a donné de tès bons ésultats et ne nécesste aucun emallage. Les pespectves de echeche sont multples. Au nveau des données, le modèle accepte actuellement une tenson ou une densté de couant souce unfome dans l nducteu. Sute à un calcul électomagnétque complet, la épatton de couants est connue dans l nducteu et pemet une évaluaton de l ntensté éelle cculant dans les spes. Il seat ntéessant de mette au pont un outl de tansfet des données électotechnques ves nos paamètes d entées. Un aute pont, plus académque, seat d effectue des compaasons pou des matéaux feomagnétques ente un modèle hamonque et le nôte, dépendant en temps. n effet nous avons vu que ces deux modèles donnent des solutons dentques pou des matéaux amagnétques. Tout l ntéêt de note modèle dépendant en temps appaaît pa son analyse beaucoup plus che des matéaux non lnéaes. Nous avons vu que le sgnal péodque peut ête gandement défomé et ne essemble alos plus du tout à une snusoïde. Néanmons, l

212 Concluson généale et pespectves 05 n est pas focément évdent que la pussance Joule, ssue du calcul électomagnétque et obtenue pa ntégaton su une péode électomagnétque, sot tès dfféente de celle obtenue pa une analyse hamonque. Cette dfféence seat tès ntéessante à quantfe. nfn des compaasons ente les méthodes numéques tout éléments fns et mxtes pemettaent de quantfe la pécson des méthodes suvant les talles des éléments fns, les talles du domane de femetue, ans que les dfféences en temps de calculs. Un aute axe de ce taval a conssté à étude et à mplémente une statége de paallélsaton du modèle dect et de la pocédue d optmsaton. Nous avons commencé pa teste des solveus téatfs pécondtonnés su nos dfféents modèles de type paabolque. Ceux c donnant des ésultats satsfasants pa appot notamment à un solveu dect, nous avons pu nous oente ves une méthode de paallélsaton SPMD de type pattonnement de domane. Cette méthode, smple et effcace, donne de tès bons ésultats au nveau du modèle dect, avec une bonne effcacté et une bonne scalablté. La paallélsaton de l optmsaton monte une effcacté convenable su deux et quate pocesseus mas qu tend à chute apdement avec le nombe de pocesseus: la scalablté est elatvement moyenne. Ce poblème fat appaaîte une thématque de echeche ntéessante en calcul paallèle applqué aux méthodes adjontes: améloe la scalablté de l optmsaton paallèle en développant une melleue statége d accès aux données, en ééqulbant les données stockées et les données à ecalcule. nfn les pespectves à plus long teme conssteaent à développe un modèle analogue tdmensonnel.

213

214 Réféences bblogaphques 07 Réféences bblogaphques [] Bay F., Labbé V., Favennec Y., Chenot J. L., A numecal model fo nducton heatng pocesses couplng electomagnetsm and themomechancs, submtted to Intenatonal Jounal fo Numecal Methods n ngneeng, 00. [] Bleuvn H., Analyse pa la méthode des éléments fns des phénomènes magnétothemques. Applcaton aux systèmes de chauffage pa nducton, Thèse de Docteu- Ingéneu, INPG, 984. [3] Bebba C. A., The bounday element method fo engnees, Pentech Pess, 978. [4] Bonnet M., quatons ntégales et éléments de fontèe, Scences et technque de l ngéneu, CNRS édtons/ yolles, 995. [5] Bossavt A., Chauffage d un cylnde d ace pa nducton. Modèles numéques, Note DF/DR, code: HI85-0, 978. [6] Bossavt A., Vete J.C., The Tfou code : solvng the 3-D eddy-cuents poblem by usng H as state vaable, I. Tans. Magn., Vol. 9, No. 6, pp , 983. [7] Bozoth, lectcal and Magnetc Popetes of Mateals, Atech House Inc., 988. [8] Ca X. C., Addtve Schwaz algothms fo paabolc convecton-dffuson equatons, Nume. Math. 60(), 4-6, 99. [9] Chaboudez C., Clan S., Gladon R., Rappaz J., Swekosz M., Touzan R., Numecal modelng n nducton heatng of long wokpeces, I Tans. Magn., Vol. 30, No. 6, pp , Nov. 994.

215 08 Réféences bblogaphques [0] Chaboudez C., Clan S., Gladon R., Ma D., Rappaz J., Swekosz M., Numecal modelng n nducton heatng fo axsymmetc geometes, I Tans. Magn., Vol. 33, No., pp , Jan [] Chan T. F., Mathew T. P., Doman decomposton algothms, Acta Numeca, pp.6-43, 994. [] Clan S., Rappaz J., Swekosz M., Touzan R., Numecal modellng of nducton heatng fo two-dmensonal geometes, Mathematcal models and methods n appled scences, Vol. 3, No. 6, pp , 993. [3] Daves. J., Conducton and Inducton heatng, London:P. Peegnus Ltd, 990. [4] Dgonnet H., Repattonnement dynamque, malleu paallèle et leus applcatons à la mse en fome des matéaux, Thèse de l cole des Mnes de Pas, 00. [5] Dawson C. N. and Dudd Q., A doman decomposton method fo paabolc equatons based on fnte elements, n 4 th Int Symp. On Doman Decomposton Methods fo patal dffeental quatons, SIAM, Phladelpha, PA, 99. [6] DRAMA Consotum, Fnal DRAMA Cost Model. Delveable D.b, DRAMA Poject, 999. [7] gan L. R., Fulan. P., A compute smulaton of an nducton heatng system, I Tans. Magn., Vol. 7, No. 5, pp , 99. [8] vans D. J., The use of pecondtonng n teatve methods fo solvng lnea equatons wth symmetc postve defnte matces, J. Inst. Maths Applcs, Vol 4, pp [9] Fahat C.et Roux F. X., A method of fnte element teang and nteconnectng and ts paallel soluton algothm, J. Comput. Systems ng., :49-56, 99.

216 Réféences bblogaphques 09 [0] C. Fahat et F. X. Roux, Implct paallel pocessng n stuctual mechancs, Comp. Mechan. Advances, :-4, 994. [] Favennec Y., Labbé V., Bay F., Inducton heatng pocesses optmsaton A Geneal Optmal Contol Appoach, submtted to Jounal of comput. Phys.l, 00. [] Favennec Y., Modelsaton numeque en chauffage pa nducton. Analyse nvese et optmsaton, Thèse de Doctoat, cole Natonale Supéeue des Mnes de Pas, 00. [3] Ge H., J. P. Samant, lectomagnetsme, Volumes et, collecton des scences physques, Technque et documentaton, Lavose, 985. [4] Guen C., Détemnaton des petes pa couants de Foucault dans les cuves de tansfomateu, Thèse de Docteu-Ingéneu, INP Genoble, 9/994. [5] Hogge M. A., A compason of two and thee level ntegaton schemes fo non-lnea heat conducton, Numecal Methods n heat tansfe, d. R. W. Lews, K. Mogan, O. C. Zenkewcz, John Wley and sons, pp , 98. [6] Issman. and Degez G., Non ovelappng pecondtones fo a paallel mplct Nave Stokes solve, Futue Geneaton compute Systems, 3: , 998. [7] Jufe M., Radulescu M., Incluson of magnetc hysteess losses and eddy cuent dynamc losses n the modellng of nducton heatng fo axsymmetc geometes, Intenatonal epot LM, cole Polytechnque Fédéale de Lausanne, 994. [8] l-kaddah N., Caen R., Loue W.,A mathematcal model of nducton heatng of thxofomable alumnum bllets, Lght metals 998: Poc. of the techncal sessons of the 7 th TMS annual meetng, San Antono, Feb 5-9,998.

217 0 Réféences bblogaphques [9] Kähenbühl N., Ncolas A., Méthode des équatons ntégales de fontèes, développement des technques et fomulaton axsymétques, RG Mach, pp. -6, 985. [30] Kuznetsov Y. A., New algothms fo appoxmate ealzaton of mplct dffeence schemes, Sov. J. Nume. Anal.Math. Modell. 3, 99-4, 988. [3] Labbé V., Favennec Y., Bay F., Numecal modelng of heat teatment and nducton heatng pocesses usng a SPMD paallel computatonal method, Soums à ngneeng Computatons, Int. J. Compute-Aded ngneeng and Softwae, Féve 00. [3] Labds D., Dokopoulos P., Calculaton of eddy cuent losses n nonlnea feomagnetc mateals., I Tans. Magn., Vol. 5, No. 3, pp , 989. [33] Mae S., Un modèle de paallélsaton SPMD pou la smulaton numéque de pocédés de mse en fome des matéaux, Thèse de Doctoat, cole Natonale Supéeue des Mnes de Pas, 997. [34] Te Maten.J.W., Melssen J.B.M., Smulaton of nductve heatng., I Tans. Magn., vol. 8, No., pp , 99. [35] Machand C., Fogga A., -D fnte element pogam fo magnetc nducton heatng., I Tans. Magn., Vol. 9, No. 6, pp , 983. [36] Masse Ph., Moel B., Bevlle T., A fnte element pedcton coecton scheme fo magnetothemal coupled poblem dung Cue tanston, I Tans. Magn., Vol., No. 5, pp. 8-83, 985. [37] Mejek J.A., Van De Vost H., An teatve soluton method fo lnea systems of whch the matx s a symmetc matx, Math. Comp., Vol 3, n 37, pp.48-6.

218 Réféences bblogaphques [38] Myosh T., Sumya M., Omo H., Analyss of an nducton heatng system by the fnte element method combned wth the bounday ntegal equaton, I Tans. Magn., Vol. 3, No., pp , 987. [39] Nataajan T.T., l-kaddah N., Poc. of Int l conf. on Magnetohydodynamcs n pocess Metallugy, TMS, Waendale,PA,USA, pp. 3-9, 99. [40] Pechat., MINI-lément et factosatons ncomplètes pou la paallélsaton d un solveu de Stokes D, Applcaton au fogeage, Thèse de l cole des Mnes de Pas, 000. [4] Pham T. H., HoolesS. R. H., Unconstaned optmzaton of coupled magneto-themal poblems, I Tansactons on magnetcs, Vol. 3, No. 3, pp , May 995. [4] Pzemeneck J. S., Matx stuctual analyss of substuctues, Ame. Inst. Aeo. Asto. J. (), [43] Quateon A., Vall A., Numecal appoxmaton of patal dffeental equatons, Spnge Sees n computatonal mathematcs 3, Beln: Spnge-Velag, 994. [44] Rappaz J., Swekosz M., Mathematcal Modellng and Smulaton of Inducton Heatng Pocesses, Appl/. Math. And Comp. Sc., Vol. 6, No., pp. 07-, 996. [45] Ravat P.A., Thomas J.M., Intoducton à l Analyse numéque des équatons aux dévées patelles, Masson, 983. [46] Salon S. J., Schnede J. M., A hybd fnte element-bounday ntegal fomulaton of Posson s equaton, I Tans. Magn., Vol. MAG-7, pp , Nov. 98. [47] Salon S. J., Schnede J. M., A hybd fnte element-bounday ntegal fomulaton of eddy cuent poblem, I Tans. Magn., Vol. MAG-8, pp , Ma. 98.

219 Réféences bblogaphques [48] C. Saltel, M. Leon, Themal and stess analyss dung dffuson bondng of metal dum oto dsks usng electomagnetc heatng, Numecal Heat Tansfe, Pat A, pp , 996. [49] Skoczkowsk T.P., Kalus M.F., The mathematcal model of nducton heatng of feomagnetc ppes, I Tans. Magn., vol. 5, No.3, pp , 989. [50] Soys N., Modélsaton tdmensonnelle du couplage themque en fogeage à chaud, Thèse de Doctoat, cole Natonale Supéeue des Mnes depas, 990. [5] Le Tallec P., Doman Decomposton methods n computatonal mechancs., Computatonal mechances advances, : pp. -0, 994. [5] Du Teal Y., Sabonnadee J. C., Masse P., Coulomb J. L., Nonlnea complex fnte elements analyss of electomagnetc feld n steady-state ac devces, I Tans. Magn., Vol. MAG-0, pp , July 984. [53] F. Thomson Leghton, Intoducton aux algothmes et achtectues paallèles, Intenatonal Thomson Publshng Fance, Pas, 995. [54] Vassent., Contbuton à la modélsaton des moteus asynchones pa la méthode des éléments fns, Thèse de l'inpg, 990. [55] K. F. Wang, S. Chandaseka, H. T. Y. Yang, Fnte element smulaton of nducton heat teatment, J. Mat. ng. Pef., Vol, No, Feb. 99. [56] C. Wel-Duflos, Optmsaton de méthodes de ésoluton téatve de gands systèmes lnéaes ceux su machnes massvement paallèles. Thèse de l unvesté de Pas 6, 994. [57] Zenkewcz O. C., The fnte element method, McGaw-Hll (UK) Lmted, Madenhead, ngland, 977.

220 Réféences bblogaphques 3 [58] Zlamal M., Fnte element methods fo nonlnea paabolc equatons, RAIRO Numecal Analyss, Vol., No., 977.