Modélisation numérique du chauffage par induction : approche éléments finis et calcul parallèle

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1 Modélsaton numéque du chauffage pa nducton : appoche éléments fns et calcul paallèle Valée Labbé To cte ths veson: Valée Labbé. Modélsaton numéque du chauffage pa nducton : appoche éléments fns et calcul paallèle. Mechancs. École Natonale Supéeue des Mnes de Pas, 00. Fench. <NNT : 00NMP085>. <tel > HAL Id: tel Submtted on 4 Jan 00 HAL s a mult-dscplnay open access achve fo the depost and dssemnaton of scentfc eseach documents, whethe they ae publshed o not. The documents may come fom teachng and eseach nsttutons n Fance o aboad, o fom publc o pvate eseach centes. L achve ouvete pludscplnae HAL, est destnée au dépôt et à la dffuson de documents scentfques de nveau echeche, publés ou non, émanant des établssements d ensegnement et de echeche fanças ou étanges, des laboatoes publcs ou pvés.

2 THS pésentée à L COL NATIONAL SUPRIUR DS MINS D PARIS pa Valée Labbé Pou obten le gade de Docteu de l cole des Mnes de Pas Spécalté Mécanque Numéque Modélsaton numéque du chauffage pa nducton Appoche éléments fns et calcul paallèle soutenue le avl 00, devant le juy composé de : P Mchel BRNADOU...Pésdent D Fanços-Xave ROUX...Rappoteu P Rachd TOUZANI...Rappoteu D Fanços BAY...xamnateu D Alan BOSSAVIT...xamnateu P Jean-Loup CHNOT...xamnateu D Sege PIPRNO...xamnateu

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4 Remecements Je emece M. Chenot et la decton de l cole des Mnes de Pas pou m avo donné la possblté et les moyens d effectue ce taval de echeche au sen du cente de mse en fome des matéaux. Je emece les dfféents membes du juy pou avo accepté de consace du temps à la lectue et à l examen mnuteux de ce taval : M. Benadou, qu a accepté de pésde le juy, M. R. Touzan et M. F.X. Roux qu ont accepté d ête appoteus ans que M. A. Bossavt, M. J.L. Chenot et M. S. Ppeno pou leus emaques et analyses ctques. Je souhate emece patculèement mon decteu de thèse Fanços BAY pou son encadement, ses consels, sa dsponblté, son souten. Ca a été un éel plas de tavalle avec lu pendant pès de tos ans et dem, dans une ambance agéable et détendue. Je emece la fench connecton : Fanços Bay, Yann Favennec et Yannck Tlle, pou tous ces bons moments patagés los de nos déplacements. Un gand mec également à mes compagnons de bueau, Jean-Luc et Yann, pou leu bonne humeu pesque quotdenne. Mec Yann de ne pas avo fumé dans le bueau. Mec JL pou toutes les plantes que je dos doénavant aose une fos pa mos.. nfn les ams avec lesquels j a patagé tellement de moments supebes et s sympathques: tételle, manue, gnge, sa, d la-ae, tt, mat, juju, gégé, ben, facasse, manu, juan, dodo, mm

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6 A mes paents n Studel von ne geahnte Selgket hat mch egffen (Klest)

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8 Table des matèes Table des matèes Intoducton...7 Chapte : Les pocédés de chauffage pa nducton et leu modélsaton numéque... Pésentaton généale des pocédés de chauffage pa nducton.... Le pncpe du chauffage pa nducton.... Les applcatons ndustelles L équpement tat de l at de la modélsaton numéque...6 tude bblogaphque des modèles électomagnétques...7. quatons généales...8. Fomulaton mathématque tdmensonnelle Fomulaton mathématque bdmensonnelle Décomposton en modes tansveses Les nconnues du poblème Les appoxmatons standads...4 a/ L appoxmaton des égmes quas pemanents (ARQP)...4 b/ L appoxmaton hamonque...7 c/ Concluson su les appoxmatons standads Les modèles électomagnétques standads en syméte axale Intoducton du teme de couant souce Condtons de contnuté aux ntefaces Méthodes numéques utlsées pou le calcul électomagnétque Le poblème contnu Fomulaton vaatonnelle Fomulaton des équatons ntégales...34 a/ Fomulaton ntégale aux fontèes Relaton de Geen...34 b/ Fomulaton de Bot et Savat Dscétsaton spatale Méthode des éléments fns Méthode des éléments fontèes Les méthodes mxtes...40 a/ léments fns / éléments fontèes...40 b/ léments fns / quatons ntégales Condtons aux lmtes Dscusson...43 Chapte : Modélsaton mathématque et numéque des pocédés de chauffage pa nducton en confguaton axsymétque...45 Le modèle mathématque et sa ésoluton numéque...45 Schéma d ntégaton en temps tude des schémas d ntégaton en temps Intalsaton des schémas d ntégaton en temps Influence du schéma d ntégaton en temps su le calcul themque Chox du pas de temps électomagnétque Cas lnéae Cas non lnéae...03

9 Table des matèes 4 Stockage des données et méthode de ésoluton du système matcel Stockage des données Le solveu téatf Le pécondtonnement Le pécondtonneu dagonal Le pécondtonneu SOR (Successve Ove Relaxaton) Le pécondtonneu SSOR (Symmetc Successve Ove Relaxaton) Le pécondtonneu de Cholesky ncomplet tude de la convegence des dfféents pécondtonneus Dscusson Influence du teme de dévée de la peméablté magnétque léments de valdaton supplémentaes Compaason ente les codes du CMF et de LNMS Compaason avec une soluton analytque Applcatons à un cas ndustel de tatement themque d un leve de boîte de vtesse Concluson...5 Chapte 3: Calcul paallèle en modélsaton numéque des pocédés de chauffage pa nducton...7 Généaltés su le calcul paallèle...8. Mesue des pefomances d un code paallèle...8. Achtectue des calculateus paallèles...9 a/ Ganulaté...30 b/ L ogansaton de la mémoe...30 c/ Topologe...3 d/ Ogansaton du taval des pocesseus...3 e/ Pefomances d un calculateu paallèle Potablté et langage de pogammaton Optmsaton du code paallèle...34 Méthodes paallèles Dvse pou égne Méthode de décomposton de domane pou un poblème paabolque Les méthodes de décomposton de domane pmales...39 a/ Appoche avec ecouvement des sous-domanes : méthode altenatve de Schwaz...39 b/ Sans ecouvement : Méthode du complément de Schu pmale...43 c/ Dscusson su les méthodes pmales applquées à un poblème paabolque Méthode de décomposton de domane duale : complément de Schu Méthode de pattonnement de domane Dscusson Statége de paallélsaton SPMD...50 Chapte 4: Calcul paallèle pou l optmsaton du pocédé de chauffage pa nducton...79 Concluson généale et pespectves...05 Réféences bblogaphques...09

10 Index des fgues 3 Index des fgues Fgue : Pncpe du chauffage pa nducton... Fgue : Repésentaton de la pofondeu de peau... Fgue 3: xemples d nducteus à une spe... 3 Fgue 4: voluton de la dstbuton de pussance électomagnétque avec la tempéatue au passage de la tempéatue de Cue pou une bllette d ace de damète 0mm et une féquence d almentaton de 300Hz Fgue 5: Repésentatons des modes T (a) et TM (b) pou une syméte axale.... Fgue 6: Pattonnement du domane ntal en un sous-domane lnéae et un nonlnéae Fgue 7: Condtons aux lmtes standads... 4 Fgue 8: Condtons aux lmtes de note modèle Fgue 9: Inducton heatng setup Fgue 0: Typcal magnetzaton cuve B(H) obtaned wth the Fohlch-Kenelly model. B s expessed n Tesla and H n A/m. Coeffcents α and β ae espectvely.5 and Fgue : xample of mesh fo a smulaton wth a col dsplacement: the aea of dsplacement s delmted and meshed... 7 Fgue : Ogansaton of the couplng pocedue... 8 Fgue 3: Statc long nducto case: geomety and mesh (000 nodes) Fgue 5: lectcal conductvty, specfc heat and themal conductvty vesus Tempeatue Fgue 6: Long nducto case: effectve electc feld sovalues Fgue 8 : a) voluton wth espect to tme of the expemental ntensty n the col ; b) voluton wth espect to tme of the numecally computed electcal feld n the pat Fgue 0: Long nducto case: compason between expemental and computed tempeatue evolutons Fgue : Long nducto case: Tempeatue feld at two gven tme steps Fgue 3: Long nducto case: nodal veloctes n the mesh at a gven tme step Fgue 4: Statc shot nducto case: geomety and mesh Fgue 5 : voluton of the electc feld vesus tme fo a non magnetc mateal at thee gven locatons n the col, the pat and n the space n between. The electcal feld s maxmum n the col... 9 Fgue 6: Statc shot nducto case: effectve electc feld sovalues fo two dffeent pemeabltes of the pat at a fequency of 60 Hz. a) µ elatve b) µ elatve Fgue 7: ffectve electcal feld pofles on the adal axs fo 3 dffeent fequences f700hz, 000Hz and 5000Hz. a)the pat s a non magnetc mateal (elatve magnetc pemeablty of the pat equal ), b). The pat s a feomagnetc mateal (elatve magnetc pemeablty of the pat equal 90)... 9 Fgue 8: Statc shot nducto case at 60Hz: magnetc lnes fo µ and µ Fgue 9: Tempeatue at two tme steps at a fequency of 60 Hz fo a non magnetc pat (µ elatve ); a) t5s b)t5s... 93

11 4 Index des fgues Fgue 30: Tempeatue at two tme steps fo a magnetc pat (µ elatve 90); a) ts b)t5s Fgue 3: nodal veloctes n the wokpece due to dlataton effects fo a fequency of 60 Hz; a) non magnetc mateal (µ elatve ), b) non magnetc mateal (µ elatve 90) Fgue 3: Movng nducto case: geomety and ntal mesh Fgue 33: Movng nducto case: tempeatue sovalues at a gven dsplacement step of the nducto Fgue 34: Géométe et mallage Fgue 35: paamètes pocédés Fgue 36: Données physques des dfféents matéaux : σ, la conductvté électque, µ la peméablté magnétque, ρc la chaleu spécfque et k la conductvté themque Fgue 37 : voluton tempoelle du champ électque en un pont de la suface de la pèce Fgue 38: voluton tempoelle du champ électque calculé à pat de deux ntalsatons dfféentes du schéma d ntégaton de Lees Fgue 39: voluton tempoelle du champ électque calculé à pat de deux ntalsatons dfféentes du schéma d ntégaton de Dupont... 0 Fgue 40 : voluton tempoelle de la tempéatue en suface de la pèce pou dfféents schémas d ntégaton en temps... 0 Fgue 4: voluton tempoelle du champ électque en un pont de la suface de la pèce pou dfféents pas de temps électomagnétque, T étant la péode du sgnal électque Fgue 4 : voluton tempoelle du champ électque en dfféents ponts du domane pou une féquence de 500Hz, un pas de temps dtt/8, avec la péode T0.00s Fgue 43 : Modfcaton du pofl électque avec le pas de temps à l ntéeu de la pèce Fgue 44 : Pofls adaux de champ électque calculés à pat de modèles consdéant le teme volumque supplémentae ou non... 3 Fgue 45 : volutons de la tempéatue en suface de la pèce calculées à pat de modèles consdéant le teme volumque supplémentae ou non... 4 Fgue 46 : Vaaton du pofl du champ électque calculé avec le modèle complet pou dfféentes peméabltés magnétques elatves... 5 Fgue 47 : Compaason des pofls du champ électque effectf (code du Cemef) et de la nome du champ électque complexe (code de LNMS). Les pofls sont tacés dans la pèce de ayon 0mm... 6 Fgue 48 : volutons tempoelles de la tempéatue en suface de la pèce, su l axe de syméte et ente les deux. a) soluton analytque tée de l atcle de Wang [55] ; b) soluton numéque... 8 Fgue 49 : cette photo monte la pèce avant tatement themque (pèce de dote) et apès (pèce de gauche)... 9 Fgue 50 : Géométe du leve de boîte de vtesse. Les zones en ouge epésentent les zones subssant un tatement de suface. Les zones de déplacement de l nducteu sont également epésentées Fgue 5: Iso valeus du champ électque effectf pou deux postons de l nducteu... 3 Fgue 5: Iso-valeus des tempéatues au cous du temps Fgue 53: Achtectue à mémoe patagée su un calculateu à quate pocesseus... 30

12 Index des fgues 5 Fgue 54: Achtectue à mémoe dstbuée su un calculateu à quate pocesseus Fgue 55: Achtectue à mémoe héachque su un calculateu à quate pocesseus... 3 Fgue 56: Décomposton du domane Ω en deux sous-domanes avec ecouvement Ω sans ecouvement Fgue 58: Pesentaton of the doman of study Ω and ts boundaes Fgue 59: Flow chat of the nducton heatng code... 6 Fgue 60 : Pattonng method stategy Fgue 6: xemple of dstance value between two elements Fgue 6: Splttng of an ntal mult-mateal mesh of 74 elements n thee submeshes of 40, 36 and 38 elements Fgue 63: The doman pattonng algothm Fgue 64: Geneal fom of the paallel matx-vecto poduct... 7 Fgue 65: geomety and pocess paametes Fgue 66: ffectve electcal feld (V.m-) computatons on 4 pocessos fo a mesh of 804 elements Fgue 67: ffcency of the paallel code wth the paallel dagonal pecondtone wth a mesh of 804 nodes on the 3 b-pocessos cluste Fgue 68: ffcency of the paallel code fo 0 themal teatons on a shot nducto case on a mesh of 9966 nodes on the 3 b-pocessos cluste Fgue 69: ffcency of the paallel code fo 0 themal teatons on a shot nducto case on a mesh of 9966 nodes on the 3 b-pocessos cluste Fgue 70: Computatonal tme vesus the numbe of pocessos fo thee dffeent mesh szes Fgue 7: ffcency vesus the numbe of pocessos fo dffeent mesh szes Fgue 7: Handlng of the electo-themal couplng Fgue 73: Algothm of the dect model Fgue 74: Geneal algothm fo the optmzaton pocedue coupled to the nducton heatng model... 9 Fgue 75: The doman pattonng algothm Fgue 76: Geneal oganzaton of the paallel optmzaton algothm Fgue 77: Geomety of the gas bottle and of the ten nductos Fgue 78: volutons of the cuent denstes and of the cost functon vesus the numbe of teatons Fgue 79: ISO cuves of the effectve electcal feld on a patton nto 8 sub-meshes fom the ntal mesh of sze nodes Fgue 80: ISO cuves of tempeatue feld on a patton nto 8 sub-meshes fom the ntal mesh of sze nodes. The coloed egons ae pats of the gas contane Fgue 8: ffcency of the paallel optmzaton code wth a mesh of 9834 nodes on the 3 b-pocessos cluste... 0 Fgue 8: ffcency of the paallel optmzaton code wth a mesh of 7784 nodes on the 3 b-pocessos cluste... 0 Fgue 83 : voluton of the CPU tme wth espect to the numbe of pocessos fo a mesh of about 0000 and 8000 nodes... 0 Fgue 57: Décomposton du domane Ω en deux sous-domanes { },Ω

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14 Intoducton 7 Intoducton Les objectfs pncpaux de ce taval ont été le développement et la mse au pont d un modèle numéque et sa veson paallèle pou la modélsaton des pocédés de chauffage pa nducton. Ce logcel s nsèe au sen du code éléments fns Foge développé au Cemef pou l nduste de la foge et commecalsé pa la socété Tansvalo. Son ntéêt est mpotant et se stue à deux nveaux : d une pat, l appote une melleue maîtse du chauffage de pèces métallques en amont de leu mse en fome, et d aute pat un moyen de meux compende et de meux contôle, en aval, la fnton de la pèce pa des tatements themques métallugques appopés: l va pemette une smulaton globale d un pocédé de mse en fome. Le chauffage peut ête supefcel (tatement themque) ou dans la masse (mse en fome) avec une echeche sot de champs ou de gadents de tempéatue les plus homogènes possbles, sot d une évoluton donnée de tempéatue dans le temps, cec dans une zone localsée ou dans l ensemble de la pèce. Le pocédé de chauffage pa nducton est couamment utlsé dans l nduste. Ses avantages sont nombeux, ente autes : Montée en tempéatue apde de la pèce, Contôle pécs de la zone de chauffe, Bonne epoductblté. La mse au pont d un pocédé utlse tadtonnellement le savo-fae ndustel, basé su des campagnes d essas expémentaux. Néanmons dès los que l on tate des géométes complexes ou ben que l on dot satsfae des exgences ndustelles pécses en temes de tempéatue fnale ou d évoluton de tempéatue, l devent mpotant de ben connaîte et compende les phénomènes physques entant en jeu. Une ade mpotante dans la compéhenson et dans l améloaton d un pocédé de chauffage pa nducton peut ête appotée pa un outl de smulaton numéque. Dans cette optque, le pojet scentfque euopéen HATMASTR, au sen duquel s est déoulé ce taval de thèse, a été ms en place afn de pemette le développement d un outl complet de smulaton

15 8 Intoducton electo-themomécanque. Ce pojet a mplqué le Cemef, le laboatoe Lnms de l unvesté de Ljubljana, le cente de echeche anglas A-Technology, Tansvalo ans qu un fogeon anglas:uf Chestefeld Cylndes, un goupe ndustel talen SIAP-TQT et une PM danose BL-Masknfabk. Ce pojet a compoté quate gands axes de echeche : Modélsaton decte des pocédés de chauffage pa nducton afn de epodue le plus fablement possble les champs électques et themomécanques à pat de paamètes pocédés donnés, Identfcaton des paamètes physques pa analyse nvese : une modélsaton éalste nécesste en entée des paamètes physques de bonnes qualtés. Des mesues fnes de caactésaton physque ont été éalsées en Angletee chez A-Technology. Néanmons, cetans paamètes comme la peméablté magnétque sont dffcles à mesue, notamment pou des tempéatues élevées. Ans une pocédue d dentfcaton des paamètes physques pa analyse nvese à été développée conjontement au Cemef et au Lnms, Optmsaton automatque des pocédés : un algothme d optmsaton automatque des pocédés de chauffage pa nducton a été étudé et mplémenté au Cemef. Il utlse une méthodologe de type contôle optmal couplé à un algothme de type gadent conjugué, Calcul paallèle : le modèle dect et l algothme d optmsaton ont été paallélsés afn de édue les temps de smulaton ou pemette des calculs su des mallages de gandes talles. Les développements ont été effectués au Cemef. Les patenaes ndustels ont appoté leus expéences dans le domane afn de mette au pont un modèle numéque adapté, qu éponde effcacement aux besons des utlsateus. Nous effectuons, en peme leu, une analyse bblogaphque des dfféents modèles mathématques exstants pou modélse les phénomènes électomagnétques avec les dfféentes appoxmatons, plus ou mons fotes, couamment utlsées. Le domane d étude de ces phénomènes électomagnétques étant pa natue non boné, nous avons étudé les méthodes numéques employées et posé les chox statégques en vue d obten un modèle pefomant. Nous décvons dans le deuxème chapte les modèles mathématques électomagnétques, themques et mécanques que nous utlsons ans que leus couplages. Des éléments de valdaton du modèle sont pésentés.

16 Intoducton 9 Le tosème chapte déct la statége employée pou paallélse le modèle dect. Il débute pa une étude bblogaphque des dfféentes méthodes exstantes. La méthode de pattonnement de mallage ans que la méthode paallèle et son mplémentaton sont déctes. Des mesues de pefomance en temes de temps de temps de calcul sont pésentées. nfn la quatème et denèe pate tate de la méthode de paallélsaton de l algothme d optmsaton, pésenté bèvement. Un cas d optmsaton des denstés de couants pou des nducteus fxes est pésenté afn de sev de base à des mesues de pefomances en temes d effcacté et d accéléatons pa appot à la veson séquentelle. Au cous de cette thèse, tos atcles ont été édgés. Ils sont actuellement en cous d évaluaton pa les comtés de lectue. Nous avons nséé ces communcatons dans ce manusct dans l état où elles étaent los de l envo. Ans cetanes pates sont édgées en langue anglase. Nous nous sommes effocés d nsée hamoneusement les publcatons dans le manusct.

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18 Chapte : tude bblogaphque Chapte Les pocédés de chauffage pa nducton et leu modélsaton numéque Pésentaton généale des pocédés de chauffage pa nducton. Le pncpe du chauffage pa nducton Le chauffage pa nducton est une applcaton decte de deux los physques, la lo de Lenz et l'effet Joule. Tout matéau conducteu de l'électcté plongé dans un champ magnétque vaable (céé pa une bobne nductce ou nducteu) est le sège de couants électques nduts ou couant de Foucault. Ces couants dsspent de la chaleu pa effet Joule dans le matéau où ls ont ps nassance. n effet, un mleu conducteu, en l occuence un nducteu, pacouu pa un couant contnu ou altenatf, génèe un champ électomagnétque dans l espace envonnant. Ce champ électomagnétque pénète dans la pèce à pat de la suface su une pofondeu plus ou mons mpotante suvant la féquence du champ électomagnétque et les popétés du matéau consdéé. S mantenant un couant altenatf almente note nducteu, le champ électomagnétque va osclle exactement ou sensblement à la même féquence que le couant mposé suvant que le matéau consttutf de la pèce est magnétque, amagnétque ou damagnétque. Ces oscllatons apdes du champ électomagnétque ndusent des couants de Foucault dans la pèce. La decton et le sens de déplacement des couants obéssent à la lo de Lenz qu stpule que «les couants nduts s opposent à la cause qu leu a donné nassance». Ans les couants nduts dans la pèce vont ccule dans la même decton mas dans le sens opposé au couant mposé dans l nducteu. La égon pacouue pa les couants est une zone de dsspaton de chaleu pa effet Joule. nfn la chaleu se popage ves le cente de la pèce pa dffuson themque, Fgue.

19 Chapte : tude bblogaphque Fgue : Pncpe du chauffage pa nducton La zone de poducton de la chaleu est concentée dans une fne couche sous la suface de la pèce. n effet, la densté des couants nduts décoît de manèe exponentelle ves le cente de la pèce avec la dstance à la suface : c est l effet de peau. La pofondeu de pénétaton δ est défne de manèe usuelle comme la pofondeu où le champ magnétque dmnue de fos sa valeu en suface, Fgue. La fomule théoque () pemet de connaîte l ode de gandeu de l épasseu de peau. e δ, () π f σ µ où f est la féquence du couant mposé dans l nducteu, σ la conductvté électque de la pèce consdéée et µ sa peméablté magnétque. J (en A.m - ) 0 Densté de couant en suface passeu de peau Densté de couant Suface de la pèce Dstance à la suface Fgue : Repésentaton de la pofondeu de peau

20 Chapte : tude bblogaphque 3 Afn de tansmette la plus gande pate de l'énege à la pèce à tate, pluseus paamètes sont à pende en consdéaton: - la dsposton elatve des nducteus et de la pèce (couplage, longueus espectves), - la féquence d'almentaton et l'effet de peau qu caactésent la épatton des couants nduts dans la pèce : plus la féquence augmente, plus les couants nduts se concentent en suface Cette noton fondamentale est détemnée pa la pofondeu de pénétaton encoe appelée épasseu de peau. Typquement, les nducteus sont almentés pa des couants altenatfs de féquence vaant de quelques dzanes de Hetz à pluseus centanes de mlles de Hetz, - les popétés magnétques (peméablté elatve), électques (ésstvté) et themques (conductblté) des pèces à chauffe, vaant pou la plupat avec la tempéatue, - le type d'nducteu (géométe, natue du conducteu, technologe). Les géométes d nducteus peuvent ête tès vaées, allant de la smple spe à des nducteus mult-spes de fomes complexes, Fgue 3. Fgue 3 : xemples d nducteus à une spe

21 4 Chapte : tude bblogaphque. Les applcatons ndustelles Le pocédé de chauffage pa nducton est de plus en plus utlsé et cec de manèe cossante dans les mleux ndustels pou la péchauffe de pèces avant mse en fome à chaud (fogeage, matçage, lamnage, basage), pou les tatements themques (tempe) ou encoe pou des opéatons de soudue ente pèces métallques. Les tatements de suface ecouvent des opéatons tès dveses : - dégassage, décapage, séchage, - galvansaton et étamage, - cusson de vens et pentues, plastfcaton. Dans le cas de l'utlsaton du chauffage pa nducton, le tansfet themque du evêtement s'opèe du suppot ves l'extéeu, ce qu est favoable aux opéatons de séchage et de cusson (évacuaton des solvants et vapeus). Ce mode de chauffage pemet donc d'obten : - une melleue adhéence, - un melleu aspect de suface, - une bonne epoductblté, ctèe mpotant pou le séchage des pentues coloées, - une gande souplesse d'utlsaton pa le chox des tempéatues de tatement, - enfn, une lgne de poducton plus compacte et susceptble de fonctonne de façon dscontnue, en l'absence de toute nete themque. Les applcatons dans ce domane sont tès vastes. Pa exemple, on peut cte : - la polymésaton de vens ntéeu su tubes aéosols, - la cusson de jonts d'étanchété, - la polymésaton de vens su fls et méplats de cuve, - le evêtement, - la lgne de galvansaton, - le ecut. Un aute type d applcaton qu tend à se développe écemment au sen des ndustes veèes, chmques, céamques, envonnementales et chez les éfactostes est la fuson de vee et d oxydes pa nducton en autoceuset. n effet, la ésstvté électque des oxydes ( à 0 Ω.cm à 500 C) due à une conducton onque est compatble avec la fuson pa

22 Chapte : tude bblogaphque 5 nducton. Leu fable conducton themque aux basses tempéatues et une ésstvté décossante avec la tempéatue pemet d utlse la technque de l nducton decte en autoceuset avec une pofondeu de peau égale au ayon de la chage. Cet autoceuset consttué du même matéau solde que l on cheche à fonde, se fome gâce au efodssement optmal de l nducteu (mono-spe) et pemet d attende des tempéatues supéeues à 500 C sans contact du ban avec l nducteu (pas de polluton du podut). Les applcatons sont les suvantes : - Fuson de cstal, - Fuson de vees spécaux ou technques, - Fuson d oxydes éfactaes, - laboaton de phosphates, - Vtfcaton de déchets. Quelle que sot la natue des applcatons ndustelles, le chauffage pa nducton pésente un cetan nombe d'avantages ntnsèques qu explquent son développement cossant : - apdté de chauffage lée à la possblté d'obten des denstés de pussance tès élevées, - localsaton pécse de l'effet themque gâce à une concepton d'nducteu et une féquence de fonctonnement adaptée à la pèce à chauffe, - possblté de chauffe à des tempéatues tès élevées avec un endement patquement ndépendant de la tempéatue. Ce pocédé épondant pafatement aux exgences ndustelles de la moyenne et gande sée : - faclté d'automatsaton des équpements, - absence d'nete themque (démaage apde), - bonne epoductblté des opéatons effectuées, - endement de chauffage souvent tès élevé, - absence de polluton pa la souce de chaleu (souce fode), - bonnes condtons de taval.

23 6 Chapte : tude bblogaphque.3 L équpement Un équpement de chauffage pa nducton compend généalement: - un ou pluseus nducteus de chauffage, - une souce à basse ou moyenne féquence assocant un convetsseu de féquence (généateu ou onduleu) à un coffet d'adaptaton d'mpédance et de compensaton pa battee de condensateus, - un système de efodssement pa eau de la souce de pussance, du coffet d'adaptaton et éventuellement de l'nducteu, - un système de pésentaton ou de manutenton des pèces à chauffe, - un ensemble de commande-contôle de l'nstallaton..4 tat de l at de la modélsaton numéque Les phénomènes physques égssant le pocédé de chauffage pa nducton sont ben connus. Les chauffagstes utlsant ce pocédé s appochent du ésultat escompté de manèe empque, en utlsant leu expéence et le passage oblgatoe pa de nombeux essas éels. Néanmons, cette méthode d opée est coûteuse en temps, en moyens humans et matéels. Souvent les essas nécesstent même l aêt de la chaîne de poducton et engendent donc des petes mpotantes pou l entepse. D aute pat, même s les bases physques du pocédé sont elatvement connues, l est dffcle de détemne leus effets pou des géométes de pèces ou d nducteus complexes. La modélsaton du pocédé est un outl ndspensable aujoud hu pou attende des objectfs pécs en temes de épattons de tempéatue et de couants, tant spatales que tempoelles. lle appote également une bonne compéhenson des phénomènes physques et donc leu maîtse, le but étant de détemne la féquence, la pussance électque ou la géométe de l nducteu optmales pou avo la melleue montée en tempéatue de la pèce possble (pa appot à un objectf ndustel donné). La modélsaton de ces pocédés de chauffage et de tatements de suface est complexe à mette en œuve, de pa la natue mult-physque du pocédé. Il s agt de couple les

24 Chapte : tude bblogaphque 7 phénomènes électomagnétques, la dffuson de la chaleu, ans que le compotement mécanque du matéau chauffé ou taté. Les études potées su le sujet d un pont de vue numéque sont nombeuses. Des logcels commecaux de smulaton du pocédé exstent. Flux D, commecalsé pa Cedat utlse une méthode éléments fns pou l analyse des phénomènes themques et électomagnétques. Calcomag commecalsé pa Calcom s appue su des méthodes mxtes éléments fnséléments fontèes avec une ésoluton themque su la pèce unquement. Le goupe DF a également développé un logcel de calcul électomagnétque Tfou, basé su également su un couplage éléments fns / méthodes ntégales. FMLAB popose un ensemble de solveus d'équatons aux dévées patelles pa une méthode éléments fns, pouvant smule les aspects électomagnétques et themques et leu couplage. nfn le code Defom développé pa Scentfc Fomng Technologes Copoaton popose un module de calcul en chauffage pa nducton couplé à une analyse mcostuctuale pou la modélsaton de tatements de suface. tude bblogaphque des modèles électomagnétques La modélsaton numéque des pocédés de chauffage pa nducton nécesste au mnmum un couplage mult-physque ente un solveu électomagnétque et themque. Pa alleus un couplage supplémentae themo-mécanque pemet de smule la défomaton de la pèce pa dlataton themque. L établssement du modèle électomagnétque peut souleve quelques questons comme le chox des nconnues du poblème ou le chox des appoxmatons plus ou mons fotes qu peuvent ête utlsées, ans que leu domane de valdté. Le chox d un modèle électomagnétque pou la modélsaton des couants de Foucault est tès mpotant. Ce chox va condtonne la flexblté du code (possblté de tate des matéaux feomagnétques non lnéaes), sa fablté et l mpotance des calculs (pécson des ésultats). Nous allons passe en evue les dfféentes appoxmatons qu peuvent ête fates, ans que les modes de ésoluton et le chox des nconnues.

25 8 Chapte : tude bblogaphque. quatons généales Les équatons de Maxwell pemettent de déce tous phénomènes électomagnétques. lles sont au nombe de quate et sont applcables sans aucune estcton à tous les mleux matéels : Équaton du flux magnétque: B 0, () Équaton de Maxwell-Gauss: ε ) ρ ( ρ + ρ ) (, (3) total lé lbe Équaton de Maxwell-Faaday: B, (4) t Équaton de Maxwell-Ampee: H J (ε ) +, (5) t où B est l nducton magnétque, est le champ électque, H est le champ magnétque, J est la densté de couant électque assocée aux chages lbes et ρ total est la densté de chage totale egoupant les chages lées et les chages lbes. Les paamètes physques sont µ, la peméablté magnétque, et ε, la pemttvté du mleu au pont consdéé. n patcule pou les métaux, les chages lbes sont les électons de conducton et les chages lées sont epésentées pa les catons du éseau cstalln. n égme pemanent ou dans tout le domane des féquences hetzennes, on estme qu l n y a pas d excédent local de chage et donc la densté totale de chage est consdéée comme étant nulle. On peut alos ééce l équaton de Maxwell-Gauss (3) : ( ε ) 0. (6) Pou des mleux sotopes, l exctaton magnétque H est elé à l nducton magnétque B pa la elaton consttutve: B µ H. (7) Il est couant de décompose la peméablté magnétque pa :

26 Chapte : tude bblogaphque 9 µ µ µ 0, (8) où µ est sans dmenson et epésente la peméablté magnétque elatve. Pou des mleux paamagnétques et damagnétques, µ est une constante tès poche. n evanche, pou des mleux feomagnétques, la elaton lant les champs B et H n est plus lnéae : la peméablté magnétque elatve µ est foncton de la nome de H et de la tempéatue T : B 0 µ ( H, T) µ H. (9) La dépendance de la peméablté magnétque pou un feomagnétque pa appot à la tempéatue est mpotante, notamment los de la tanston de Cue : le matéau devent amagnétque avec une peméablté elatve constante et poche de un. Les pofls électomagnétques dans la pèce vont ête consdéablement modfés, vo la Fgue 4. Fgue 4 : voluton de la dstbuton de pussance électomagnétque avec la tempéatue au passage de la tempéatue de Cue pou une bllette d ace de damète 0mm et une féquence d almentaton de 300Hz. S on applque un champ électomagnétque de féquence fxée aux fontèes d un matéau paamagnétque ou damagnétque, donc lnéae, la éponse du mleu sea lnéae et les champs électomagnétques ntenes au matéau osclleont à la même féquence ben que pouvant ête déphasés. n evanche, pou des matéaux feomagnétques, des hamonques secondaes de féquence nouvelles sont généés défomant la fome de l onde

27 0 Chapte : tude bblogaphque électomagnétque : ces matéaux sont non lnéaes. Cette non-lnéaté se tadut mathématquement pa une dépendance de la peméablté magnétque pa appot à H. La denèe équaton nécessae est la lo d Ohm : J σ, (0) où σ est la conductvté électque dépendante de la tempéatue. Fnalement le système d équatons ntales s éct: équaton du flux magnétque B 0, () équaton de Maxwell-Gauss ( ε ) 0, () équaton de Maxwell-Faaday B, (3) t équaton de Maxwell-Ampee H J + ε, (4) t elaton ntnsèque au matéau B µ H, (5) lo d Ohm J σ. (6). Fomulaton mathématque tdmensonnelle La pocédue standad consste à emplace le système d équatons dfféentelles du peme ode ()-(6) pa une équaton dfféentelle du second ode de type équaton de popagaton des ondes. Pa élmnaton de l nducton magnétque B dans l équaton de Maxwell-Faaday (3) à l ade des équatons (4) à (6) et en supposant le matéau sotope, on obtent l équaton vectoelle suvante pou le champ électque :

28 Chapte : tude bblogaphque ε + σ + ( ) 0. (7) t t µ De la même manèe, on déct le champ magnétque H pa une équaton de popagaton des ondes : e t H + s H t + ( µ H ) 0. (8) Ans nous avons une équaton vectoelle à ésoude d nconnues les vecteus électques ou magnétques H à laquelle l faut ajoute les condtons de dvegence nulle ( ε ) 0 ou B 0..3 Fomulaton mathématque bdmensonnelle.3. Décomposton en modes tansveses Dans une confguaton bdmensonnelle, les équatons de Maxwell se décompose en deux sous-ensembles ndépendants d équatons avec des solutons ndépendantes. Le mode T (pou tansvese electc mode) qu consste à touve un champ H soluton, pependculae au plan pou lequel le champ électque est tansvesal, Fgue 5. Invesement, le mode TM (pou tansvese magnetc mode) consste à touve un champ soluton tel qu l sot pependculae au plan pou lequel le champ magnétque H est tansvesal. H θθ ˆ θ θˆ ˆ + z zˆ H H ˆ + H z zˆ (a) (b) Fgue 5 :Repésentatons des modes T (a) et TM (b) pou une syméte axale.

29 Chapte : tude bblogaphque Décomposton en modes T et TM pou un poblème axsymétque Dans un système de coodonnées cylndques [,θ, z], de pat la syméte axale, les champs électques et magnétques ne dépendent pas de la coodonnée angulae θ : z z z z z ˆ ), ( ˆ ), ( ˆ ), ( + + θ θ, (9) z z H z H z H H z ˆ ), ( ˆ ), ( )ˆ, ( + + θ θ. (0) S on emplace les champs et H pa leus expessons (9) et (0) dans les équatons de Maxwell (), () qu epésentent les équatons (3) et (4) modfées à l ade des elatons (5) et (6), t H µ, () t H + ε σ, () on obtent : t H z µ θ, (3) t H z z θ µ, (4) t H z µ θ ) (, (5) t z H ε σ θ, (6)

30 Chapte : tude bblogaphque 3 H z H z θ ω θ + ε, (7) t ( H θ ) σ z + ε t z. (8) Les équatons (3), (5) et (7) sont découplées des équatons (4), (6) et (8). D aute pat, l n est pas nécessae d ntodue les condtons de dvegences nulles ca elles sont déjà pses en compte ndépendamment. Ans les champs [, H, H θ z θ z ] sont ndépendants des champs [ H,, ] dans une confguaton bdmensonnelle. Les systèmes d équatons peuvent donc ête ésolus ndépendamment et leus solutons ajoutées. L ensemble de solutons [, H, H z ] chauffage pa nducton avec une syméte axale. Les champs [ H,, ] θ consttue le mode TM, epésentatf et adapté à un poblème de θ z epésentent le mode T et sont adaptés à la descpton d un poblème de conducton électque ou chauffage pa effet Joule, [3]..3. Les nconnues du poblème Pou une confguaton bdmensonnelle à syméte axale, l est natuel de déce le pocédé de chauffage pa nducton avec le champ électque θ en élmnant les champs H, H dans les équatons (3), (5) et (7). Fnalement, l équaton décvant le champ électomagnétque peut ête édute à une équaton scalae pou le champ (, z) (0, (, z),0) : θ z e t + s t + ( µ ) 0. (9) Néanmons une fomulaton en champ électque se enconte aement dans la lttéatue. La ason pncpale, ms à pat des asons hstoques, povent cetanement du fat que le teme souce, pa exemple un champ mposé ou une densté de couant souce, n appaaît pas explctement dans l équaton (9). Le teme souce dot ête ntodut manuellement en décomposant le champ électque en une contbuton pa couant ndut et une contbuton pa couant souce mposé, ce qu pemet d ntodue un teme supplémentae. Un aute moyen de fae consste smplement à mpose des condtons aux lmtes spécfques su la suface de la pèce ou de l nducteu.

31 4 Chapte : tude bblogaphque Plus communément dans la lttéatue, on enconte plutôt le potentel magnétque A 0, A,0) ca dans ce cas le teme souce est ntodut de manèe natuelle comme nous ( θ allons le vo au paagaphe.5. : A A ε + σ + ( A) σ V J t s. (30) t µ Dans une confguaton plane avec une syméte de tanslaton, le mode T est meux adapté pou déce les phénomènes électomagnétques et dans ce cas l nconnue du poblème est édute à la composante othogonale du champ magnétque H ( 0,0, H ( x, y) ). z D aute pat, de pa sa complexté, l équaton (9) ou (30) n est jamas gadée telle quelle dans la lttéatue. Les appoxmatons utlsées sont déctes dans la secton suvante..3.3 Les appoxmatons standads a/ L appoxmaton des égmes quas pemanents (ARQP) Une appoxmaton standad et couamment utlsée est de néglge les couants de déplacement (3) dans l équaton de Maxwell-Ampèe [9], [48], [55]. Cette appoxmaton des los généales de l électomagnétsme est valde pou des dstbutons ne vaant pas top apdement dans le temps. J D ε (3) t Domane de valdté de l ARQP Nous allons ntodue les potentels électques et magnétques obtenus à pat des équatons de Maxwell () et (3) : - un champ vectoel A(, t) appelé potentel vecteu magnétque B A, (3)

32 Chapte : tude bblogaphque 5 - un potentel scalae électque V tel que A V. (33) t Pou plus de détal, vo les manuels de base su l électomagnétsme (pa exemple [3]). n emplaçant dans les équatons (3) et (5) les champs et B pa leus expessons (3) et (33) et en utlsant la jauge de Loenz : V v. A + 0, (34) c t où c est la vtesse des ondes dans le vde, on ave aux équatons de Posson : A v A + µ 0 j 0, (35) c t V ρ V + 0, (36) c t ε 0 dont une soluton physquement acceptable pou une dstbuton de dmenson fne est la soluton des potentels etadés : V(M,t)?(t ) c dv 4pe, (37) 0 A(M,t) µ 4p j(t c ) 0 d v. (38) De même, dans le cade de l ARQP, on obtent de la même manèe avec les équatons édutes les solutons : V ( M, t) 4πε 0 ρ( t) ds, (39)

33 6 Chapte : tude bblogaphque A( M, t) µ 0 4π j( t) ds. (40) n compaant, les deux ensembles de solutons (37), (38) et (39), (40), on s apeçot que l ARQP event notamment à néglge les etads t /c qu fguent dans les expessons des potentels etadés (37), (38). Ans l ARQP este valde tant que le etad t /c este pett devant le temps de popagaton, sot devant la longueu d onde T de l onde. Cec event à de que la dstance ente la dstbuton souce et le pont M où est calculé le champ dot este pett devant la longueu d onde λ ct de l onde électomagnétque de péode T : << λ. Les féquences utlsées pou les applcatons ndustelles du pocédé de chauffage pa nducton étant en généal nféeues au mégahetz, on ave à des talles d nstallaton ndustelles devant ête nféeue à 300m ce qu justfe pafatement l emplo de l ARQP pou des nstallatons de talle usuelle. Fnalement sous cette hypothèse lagement épandue, on ave au système d équatons de Maxwell smplfé, encoe appelé équatons de Maxwell à basses féquences, pont de dépat de la majoté des modèles numéques ms en place pou modélse les pocédés de chauffage pa nducton : équaton du flux magnétque B 0, (4) équaton de Maxwell-Gauss ( ε ) 0, (4) équaton de Maxwell-Faaday équaton de Maxwell-Ampee elaton ntnsèque au matéau lo d Ohm B, (43) t H J lbe, (44) B µ H, (45) J σ. (46)

34 Chapte : tude bblogaphque 7 Pa élmnaton successve des champs magnétques dans les équatons (43)-(46), on ave à l équaton smplfée pou le champ électque (48), dentque à l équaton complète (9) mas sans le teme de popagaton (47): θ ε. (47) t s t + ( µ ) 0 (48) Cette appoxmaton mène à une équaton de type paabolque alos que pécédemment nous avons une équaton de type hypebolque. b/l appoxmaton hamonque Une seconde appoxmaton, l appoxmaton hamonque, est communément employée dans la lttéatue. lle est basée su le fat que pou un matéau non magnétque, pa exemple un allage non feque, soums à un champ électomagnétque extéeu oscllant snusoïdalement, les champs électomagnétques généés dans la pèce vont également osclle de manèe snusoïdale. S on applque l appoxmaton hamonque au chauffage pa nducton, cela suppose que l nducteu est pacouu pa un couant souce snusoïdal. Tous les champs, électques et magnétques décvant les couants souces et nduts, oscllent à la même féquence. n evanche, ls peuvent ête déphasés. Ans s un couant péodque snusoïdal de féquence f et de pulsaton ω π f est applqué aux bones de l nducteu : I ω t I 0 e, l appoxmaton hamonque pemet de découple les dépendances spatales et tempoelles. Les champs électomagnétques peuvent s éce :

35 8 Chapte : tude bblogaphque où B ~ ~, H, ~, t ( B ~ ω ( ) e ) B(, t) Re, (49) ~ ω t ( H( ) e ) H(, t) Re, (50) t ( ~ ω ( ) e ) (, t) Re, (5) t ( A ~ ω ( ) e ) A(, t) Re, (5) ~ A epésentent les champs électomagnétques complexes et Re(.) la pate éelle. De cette manèe, le poblème est édut à une équaton statonnae. Les modules des champs complexes calculés epésentent les ampltudes effcaces des champs snusoïdaux éelles et la phase des champs complexes donne la dfféence de phase avec le sgnal péodque souce mposé aux bones de l nducteu. Cette appoxmaton devent nadaptée s: - la souce de couant applquée aux bones de l nducteu n est plus de fome snusoïdale ca dans ce cas les champs électomagnétques eux-mêmes sont de natue dfféente, - le matéau employé a un compotement magnétque non lnéae ca dans ce cas, une souce de couant, même snusoïdale, donne nassance à des champs électomagnétques non snusoïdaux. Néanmons, malgé ces lmtatons mpotantes, la gande majoté des auteus ont utlsé cette appoche et ont favosé, pa une appoche statonnae, la éducton des temps de calcul. c/ Concluson su les appoxmatons standads La quas-totalté des modèles mathématques utlsés pou modélse le chauffage pa nducton néglgent les couants de déplacement, appoxmaton asonnable dans le domane de féquence employé typquement su les nstallatons ndustelles. Une lage majoté des auteus a également chos d applque en plus l appoxmaton hamonque malgé le fat qu elle sot mal adaptée aux matéaux feomagnétques. n effet pou ces matéaux, les hamonques secondaes des champs électomagnétques, de féquences dfféentes, ne sont

36 Chapte : tude bblogaphque 9 pas calculées et donc n appaaîtont pas au nveau du calcul de la pussance Joule njectée dans le calcul themque. Ben sû, pou des matéaux non magnétques et une souce snusoïdale, cette appoche est de lon la melleue ca elle amène des éductons sgnfcatves en teme de temps de calcul..4 Les modèles électomagnétques standads en syméte axale Les dfféentes équatons que l on peut touve dans la lttéatue pou déce le champ électomagnétque au cous d un pocédé de chauffage pa nducton axsymétque ont été épetoées. Tous les modèles sont fondés su le calcul du potentel vecteu magnétque édut dans ce cas à une composante scalae pependculae au domane d étude : A ( 0, A (, z),0). n emplaçant B pa son expesson B ota dans l équaton (44) et en θ utlsant la lo d Ohm (46) on obtent : ( A) J σ. (53) µ La densté de couant J epésente la contbuton des couants souces, auss ben que la contbuton des couants nduts. Il est mpotant de note que des couants sont nduts auss ben dans la pèce que dans l nducteu. Il sufft alos de emplace pa son expesson en teme de potentel (33) pou obten l équaton vectoelle : A σ + ( A) σ V J t µ s, (54) où J S σ V epésente la densté de couant mposée dans l nducteu. n coodonnées cylndques, l équaton (54) devent : σ A t θ µ A z z µ θ ( A ) θ J s. (55) Au leu de développe l équaton (54) en coodonnées cylndques, de nombeux auteus [7], [34], [4], [48], [55] utlsent la fomule vectoelle : ( A) ( A) ( A). (56) µ µ µ

37 30 Chapte : tude bblogaphque Assocée à la condton de jauge de Coulomb A 0, (54) devent une équaton de type dffuson : A σ ( A) J t µ s. (57) S on ééct l équaton (57) en coodonnées cylndques et que l on compae avec l équaton (55), on touve qu l manque deux temes dans l équaton (57) : A θ µ, (58) Aθ µ. (59) Le teme (59) peut ête sgnfcatf pou des matéaux feomagnétques sous la tempéatue de Cue ou en pésence de gadents de tempéatue locaux. Cependant ce teme est toujous néglgé dans les modèles mathématques pouvant ête touvé dans la lttéatue. De même, peu d auteus pennent en compte le teme supplémentae (58), [36]. Il seat ntéessant d évalue l mpotance de ce teme dans le calcul du potentel magnétque. L appoxmaton hamonque L nducteu est pacouue pa un couant snusoïdal de pulsaton ω. La fomulaton hamonque consste à emplace le potentel magnétque pa son expesson complexe (5) dans l équaton électomagnétque (57). La dévée en temps du potentel magnétque est emplacée pa le podut du potentel pa j ω. On obtent les équatons statonnaes suvantes où le teme supplémentae (58) est pésent ou non suvant les auteus [36] : jsω A ( A) J, (60) µ S A j σω A ( A) + J s. (6) µ µ Une équaton smlae peut ête développée pou le champ électque édut à sa composante othoadale scalae.

38 Chapte : tude bblogaphque 3.5 Intoducton du teme de couant souce Il exste tos égons dstnctes à pende en compte en teme de modélsaton : la pèce à chauffe, le ou les nducteu(s) et l a envonnant. S on consdèe un nducteu, l équaton électomagnétque possède un teme supplémentae povenant du couant mposé aux bones de l nducteu. Dans ce cas, la densté de couant qu le pacout content une contbuton due aux couants mposés et une contbuton due aux couants nduts : J J eˆ + J ˆ, (6) souce θ ndut e θ où la densté souce J potentel électque V : souce J eˆ est défne de manèe généale comme le gadent du souce θ J souce ê θ σ V. (63) tant donné que le potentel électque local n est pas connu, l est péféable de se amene à la tenson totale aux bones de l nducteu. n syméte axale, l vent : J souce ê σ V σ θ V π ê θ, (64) où V est la tenson totale mposée aux bones de l nducteu. La densté ndute J ndute J ˆ coespond à la vaaton du potentel magnétque : ndute e θ J ndut Aθ σ. (65) t.6 Condtons de contnuté aux ntefaces n l absence de couants de suface, la composante nomale de l nducton magnétque B, ans que la composante tangentelle du champ magnétque H dovent ête contnues [3] : B. n B. n, (66) ( H H ). t j suface n 0, (67)

39 3 Chapte : tude bblogaphque qu se ééct : [ n] 0 H, (68) où la notaton [ f ] désgne le saut de la foncton f à l nteface, n + n e nze z et t epésentent espectvement la nomale et la tangente à l nteface. S on applque ces condtons de passage au potentel vecteu, l vent : [ A] 0 Aθ µ n Aθ µ n (69) 3 Méthodes numéques utlsées pou le calcul électomagnétque Dfféentes appoches numéques utlsées pou ésoude le poblème magnétque peuvent ête encontées dans la lttéatue et ont été utlsées avec plus ou mons de succès. lles possèdent toutes des avantages et des nconvénents dstncts. n effet, l faut pouvo smule un espace nfn, en l occuence l a envonnant une nstallaton ndustelle (dans l hypothèse qu elle ne sot pas enfemée) avec la condton que le champ électomagnétque s annule à l nfn. Dfféentes appoches numéques exstent. Cetanes vont ben pende en compte un domane ouvet, d autes vont ête meux adaptées pou tate des matéaux non lnéaes. 3. Le poblème contnu Les méthodes numéques les plus utlsées peuvent ête dvsées en deux goupes pncpaux suvants qu elles sont basées : - su une fomulaton vaatonnelle, - su une fomulaton ntégale.

40 Chapte : tude bblogaphque Fomulaton vaatonnelle Deux pocédues dstnctes pemettent d obten une fomulaton fable pou le poblème électomagnétque. La pemèe utlse la méthode des ésdus pondéés, la deuxème est basée su la mnmsaton d une foncton vaatonnelle. Nous allons monte l applcaton de la fomulaton fable su l équaton dépendante du temps (6) qu compend le teme supplémentae (58). Les autes appoxmatons, hamonques ou sans le teme (58) en sont unquement des cas patcules. Sot l équaton généale: S J A A t A + µ µ σ θ θ θ, (70) où le Laplacen s éct en coodonnés cylndques: ) ( θ µ A ) ( ) ( θ θ µ µ A z z A +. On défnt l espace V pa : Ω Ω 0 v ), ( L v ), ( H v V θ. La fomulaton fable de l équaton (70) s éct, V w : v v v v d w J w d A d A w w d t A S Ω Ω Ω Ω + µ µ σ θ θ θ, (7) où l élément de volume dv s éct dvπddz. n ntégant pa pate le second teme de l équaton (7) su le domane Ω, nous obtenons la fomulaton fable du poblème électomagnétque [34], [55]: G 0 O ds µ dv dv dv w n A w J A w. µ ) w µ A t A (s? S O? O??, (7)

41 34 Chapte : tude bblogaphque où Γ est la fontèe du domane femé Ω, µ 0 est la peméablté magnétque su la fontèe extéeue Γ, sot celle de l a. Le dene teme dans le second membe dspaaît s des condtons aux lmtes de Neumann nulles ou de Dchlet sont applquées. Il est ntéessant de monte que dans le cade de l appoxmaton hamonque, la fonctonnelle I à mnmse est complexe : I A * θ * * * Aθ Aθ ( Aθ + ) ds ( J s A + J s A ) ds ( A + A ) ds θ θ θ θ. (73) µ µ n n Ω Ω 0 Γ Cette fonctonnelle dot ête mnmsée elatvement au complexe conjugué l équaton égssant le potentel vecteu magnétque, [38]. * A θ pou obten 3.. Fomulaton des équatons ntégales Une aute altenatve à l appoche vaatonnelle consste à fomule le poblème électomagnétque en temes d ntégales su des sous-domanes femés du domane d étude ou ben su les fontèes de ces sous-domanes. Il exste pncpalement deux méthodes ntégales pou note poblème électomagnétque. La plus épandue dans la lttéatue s appue su l applcaton de la seconde elaton de Geen et condut à une fomulaton ntégales su les contous fontèes, [3], [4]. La deuxème méthode consste à calcule le champ magnétque à l ade de la lo ntégale de Bot et Savat. a/ Fomulaton ntégale aux fontèes Relaton de Geen Un poblème électomagnétque où les phénomènes physques peuvent ête décts pa un potentel scalae φ sont généalement gouvenés pa une équaton de type Laplace (74) ou pa une équaton de type Helmholtz (75) : φ Ts, (74) f + ß f Ts, (75) où Ts epésente le teme souce mposé. Pou la modélsaton des pocédés de chauffage pa nducton, l équaton de Laplace gouvene généalement le compotement du potentel φ dans l a alos que l équaton de Helmholtz déct le compotement du potentel φ avec une

42 Chapte : tude bblogaphque 35 dépendance en temps hamonque dans des matéaux lnéaes avec une conductvté électque σ (T ) et une peméablté magnétque µ (T ) constantes ou dépendantes de la tempéatue. Une fomulaton ntégale aux fontèes est obtenue en ntodusant le noyau de Geen et en utlsant le théoème de Geen. L équaton de Helmholtz dans le cade de l appoxmaton hamonque pou le potentel magnétque et pou un matéau lnéae s éct : A (a + )A µj,? (76)? s où le nombe complexe (matéau lnéae) et S α jωσµ, µ et σ dépendent unquement de la tempéatue J est la densté de couant souce dans l nducteu ( J 0 hos de l nducteu). Nous ntodusons la foncton de Geen G ax (, z) qu epésentent le potentel vecteu généé pa une lgne de couant localsée dans le plan d étude au pont, ). Cette foncton est défne pa l équaton suvante : S ( 0 z0 G ax ( α + ) G ( 0, z z0 ) ax δ. (77) La soluton analytque pou la foncton de Geen en confguaton axsymétque s éct : 0 k G ax (, 0, z, z0) ( ) K( m) ( m) k, (78) π avec k 4 0, (79) ( 0 ) + ( z z0) m k, (80) où K (m) et (m) epésentent les ntégales ellptques du peme et second degé. Les valeus de la foncton de Geen et de son gadent dépendent unquement des paamètes géométques et leus calculs sont apdes. n applquant la seconde dentté de Geen (8) à l équaton (76), on ave à l équaton (8) : Ω G A ( A G G A) dv ( A G ) ds, (8) n n δω