Exemple de corrigé du CAPES de mathématiques

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1 Exemple de corrigé du CAPES de mathématiques épreuve 2, sessio 215 athalie DAVAL ESPE-IEM éuio

2 Problème 1 ( Partie A I. O cosidère deux etiers relatifs a et b o uls. 1. O suppose qu il existe des etiers relatifs u et v tels que au + bv 1. Soit d u diviseur de a et de b, alors d divise importe quelle combiaiso liéaire de a et b, e particulier d divise au + bv, doc d divise 1. O obtiet d 1 ou d 1. Les seuls diviseurs commus à a et à b sot 1 et 1, doc : S il existe des etiers relatifs u et v tels que au + bv 1, alors a et b sot premiers etre eux. 2. O suppose cette fois que a et b sot premiers etre eux et o cosidère l esemble E suivat : E {z Z, z au + bv, (u, v Z 2 } a. L esemble E est ue partie o vide (il cotiet a si a est positif ou a si a est égatif de, doc il admet u miimum. L esemble E admet u plus petit élémet. b. D après la questio A.I.2.a., (u, v Z 2, au + bv. Soit (q, r Z 2 respectivemet le quotiet et le reste de la divisio euclidiee de a par, o a : a q + r avec r <. d où : r a q a (au + bv q r a(1 u q + b( v q Doc, r est u élémet de l esemble E iférieur à ce qui est pas possible s il est pas ul e vertu du statut de comme le plus petit élémet de E. O e déduit alors que r. U raisoemet aalogue pour b ous doe égalemet u reste ul. Le reste de la divisio euclidiee de a (respectivemet de b par vaut. c. D après la questio A.I.2.b., divise à la fois a et b. Or, a et b sot premiers etre eux, ce qui sigifie que ±1. Soit au + bv 1 ou au + bv 1 a( u + b( v 1. Si a et b premiers etre eux, alors : (u, v Z 2, au + bv Il s agit du théorème de Bézout : Soiet a et b deux etiers relatifs o uls. a et b sot premiers etre eux si, et seulemet si, il existe deux etiers relatifs u et v tels que au + bv 1.. DAVAL 2/18 ESPE-IEM éuio

3 II. O cosidère trois etiers relatifs o uls a, b et c. Si a divise bc, alors : Z, a bc ; de plus, si a et b sot premiers etre eux, d après la questio A.I.3, (u, v Z 2, au + bv 1, soit : acu + bcv c acu + av c a(cu + v c a divise c car bc a O obtiet le théorème de Gauss : Soit a, b et c trois etiers relatifs o uls, si a divise bc et si a et b sot premiers etre eux, alors a divise c. III. 1. a. O a respectivemet : lettre claire rag x 58x++ divisio euclidiee reste y G x y 348 A x y U x y 53 S x y 36 Le codage de GAUSS doe 348 ; ; 53 ; 36 ; 36. b. Das la lige 1, o idique les 26 lettres de l alphabet. Das la lige 2, o idique le rag x. Pour cela, o pourra expliquer la foctio CODE(caractère qui revoie le code ASI d u caractère. Celui-ci état compris etre 65 (pour A et 9 (pour Z, pour obteir le rag des lettres, il faudra doc etrer das la cellule B2 la formule : CODE(B1-65 puis la recopier vers la droite. Das la lige 3, o itroduira la formule MOD( ; p qui revoie le reste de la divisio euclidiee de par p. Il faudra doc etrer das la cellule B3 la formule : MOD(58*B2 ; 369 puis la recopier vers la droite. Il suffira esuite de repérer das la lige 3 le ombre codé puis de lire das la même coloe et sur la lige 1 la lettre recherchée. 2. a. et e sot premiers etre eux et ce sot des etiers aturels o uls ; d après le théorème de Bézout, il existe deux etiers relatifs u et v tels que ue + v 1, soit, modulo : ue 1 (mod. Il suffit de predre pour f, par exemple, le reste de la divisio euclidiee de u par pour obteir u etier aturel. Pour tout couple doé (, e, il existe u etier aturel f tel que fe 1 (mod.. DAVAL 3/18 ESPE-IEM éuio

4 b. Si x est la lettre à coder, y est le reste de la divisio euclidiee de ex par, doc : q, ex q + y fex fq + fy x f y (mod d après la questio A.III.2.a. La coaissace de f permet de retrouver x à partir de y. 3. a. O a a 3, b 3, c 3 et d 3. doc : M ab ; e cm + a ; f dm + b ; ef 1 M (cm + a(dm + b 1 M cdm 2 + cmb + adm + ab 1 M cdm + cb + ad + 1 car ab 1 M Doc, est u etier supérieur à 26. De plus : ef 1 M M ef 1 e(f + ( M 1 D après le théorème de Bézout, les etiers et e sot premiers etre eux. Efi, o a e(f + ( M 1, doc fe 1 (mod, et f est ue clé de décodage associée. Le couple d etiers (, e est ue clé de codage dot f est ue clé de décodage associé. b. Pour a 3, b 4, c 5 et d 6, o a : M ; e ; f ; Avec a 3, b 4, c 5 et d 6, la clé de codage est (, e (369, 58 et ue clé de décodage est f 7. c. D après la questio A.III.2.b., o a x fy (mod : y f y rag x lettre claire F E M A T. DAVAL 4/18 ESPE-IEM éuio

5 4. a. r est le derier reste o ul das l algorithme d Euclide, il s agit du PGCD de et e. Or, et e sot premiers etre eux, leur PGCD vaut 1. r 1. b. Soit (H l hypothèse : il existe des etiers relatifs u et v tels que r u + ev. Iitialisatio : r 1 + e, soit u 1 et v. r 1 e + e 1, soit u 1 et v 1 1. Hérédité : Supposos l hypothèse vraie aux rags et 1, avec <. r +1 r 1 r q u 1 + ev 1 (u + ev q (u 1 u q + e(v 1 v q E choisissat u +1 u 1 u q et v +1 v 1 v q, o a bie r +1 u +1 +ev +1. L hypothèse est doc ecore vraie aux rags et + 1. Il existe deux suites d etiers relatifs (u, et (v, vérifiat, pour tout, : r u + ev. c. D après les questios A.III.4.a et b., r 1 et r u + ev, soit u + ev 1. Doc, ev 1 (mod. Comme das la questio A.III.2.a., il suffit de predre comme clé de décodage le reste de la divisio euclidiee de v par. Ue clé de décodage associée à la clé de codage (, e est l etier f défii comme le reste de la divisio euclidiee de v par. d. D après la questio A.III.4.b., les suites (u, et (v, sot défiies pour tout, par u +1 u 1 u q et v +1 v 1 v q. Doc : La formule à etrer das la cellule C4 puis à tirer vers le bas et vers la droite est : C2-C3*$B3. e. O obtiet le tableau suivat : Avec, par exemple, das les cellules : A4, la formule MOD(A2 ;A3 B4, la formule ET(A3/A4 Le calcul à la mai se fait de la même maière, e utilisat les formules défiies auparavat. O a alors 5, et r ( , soit u 11 et v 7. v (mod 369, soit f 7. O trouve (u, v ( 11, 7 et ue clé de décodage associée à (369, 58 est f 7.. DAVAL 5/18 ESPE-IEM éuio

6 f. { O a, d après la questio précédete : 369 ( soit 369(u (v u + 58 v 1 369(u (7 v. Doc, 369 divise 58(7 v et 369 est premier avec 58. D après le théorème de Gauss, 369 divise 7 v : Z, 7 v 369, soit v Mais alors 369(u u , soit u De plus, 369u + 58v 1 doc, v 58 1 (mod 369. L esemble des clés de décodage est doc l esemble des etiers v détermiés par v avec v >, soit. L esemble des couples d etiers relatifs (u, v tels que 369u + 58v 1 est l esemble des couples de la forme ( , où est u etier relatif. L esemble des clés de décodage est l esemble { l, l }. ( Partie B I. 1. Ue matrice carrée M d ordre est iversible si, et seulemet si, il existe ue matrice carrée d ordre telle que M M I. So iverse se ote M 1. Supposos que P soit ue autre matrice iverse de M, alors MP PM I, et : I MP I P P L iverse d ue matrice iversible est uique. ( 2 ( ( a b a b 1 2. A 2 (a + da + (ad bci 2 (a + d + (ad bc c d c d 1 ( a 2 ( + bc ab + bd a ca + dc cb + d 2 2 ( + da ab + db ad bc ac + dc ad + d 2 + ad bc ( A 2 (a + da + (ad bci 2 A 2 (a + da + (ad bci 2 O A 2 (a + da + (ad bci 2 O 2 A (A (a + di 2 (ad bci 2 (A (a + di 2 A (ad bci 2 si ad bc est o ul, o a A 1 ad bc [(a + di 1 2 A] ad bc [(a + di 2 A A I 2. si ad bc, supposos A iversible, o a : A 2 (a + da A 2 A 1 (a + daa 1 A (a + di 2 ( ( a b a + d c d a + d a b c d A O 2 est pas iversible, o aboutit à ue cotradictio. La matrice A est iversible si, et seulemet si, ad bc. Das ce cas, A 1 1 ad bc [(a + di 2 A].. DAVAL 6/18 ESPE-IEM éuio

7 ( 2 II. 1. La matrice M est iversible car ad bc So iverse est M 1 1 [ ( ( ] ( ( ( 2 La matrice M est ue matrice iversible à coefficiets das Z dot l iverse 1 a pas tous ses coefficiets das Z. 2. La coditio ad bc 1 est ue coditio suffisate pour que A soit iversible das Z car das ce cas, A 1 ±[(a + di 2 A]. Cette matrice est clairemet à coefficiets das Z. Ue coditio suffisate pour que A soit iversible et d iverse à coefficiets das Z est : ad bc Motros que la coditio est écessaire : o suppose que A est iversible et que A et A 1 sot à coefficiets das Z. O a alors det(a et det(a 1 des élémets de Z. A iversible A A 1 A 1 A I 2 det(a A 1 det(a 1 A det(i 2 det(a det ( A 1 det(a 1 det(a 1 Or, l équatio XY 1, das Z a comme solutios X Y 1 ou X Y 1. Doc : det(a det ( A 1 1 ou det(a det ( A 1 1 Le détermiat permet de motrer que la coditio suffisate ad bc 1 est aussi ue coditio écessaire. { x III. 1. O a le système suivat : ( ( ax + by x y cx + dy, soit a b y c d Compte teu des otatios du préambule de la partie B : (S se traduit par l équatio matricielle X AX. ( x y. 2. a. Avec a 4, b 3, c 5 et d 4, o obtiet : { x 4x + 3y y 5x + 4y. lettre claire rag codage rag codé lettre codée B Q E V Z M O Z U H T U Avec ce chiffremet de Hill, le mot BEZOUT est codé QVMZHU.. DAVAL 7/18 ESPE-IEM éuio

8 b. Pour le décodage, ous ( avos x et y et il ous faut retrouver x et y. 4 3 Or, la matrice A est iversible puisque ad bc De plus, cette matrice est à coefficiets das Z d après la questio B.II.2. O peut alors écrire X AX X A 1 X avec Soit A [(4 + 4I 2 A] 8I A ( A { x 4x 3y y 5x + 4y. O obtiet alors : Lettre codée rag système rag décodé lettre claire S F F I X E M L O D J S Avec ce chiffremet de Hill, le mot SFXMOJ est décodé FIELDS. 3. a. Solutios de l équatio (E : 7u 1 (mod 26 par l algorithme d Euclide étedu : ( ( est ue solutio particulière de (E, détermios toutes les solutios : { 7 ( ( 3 7(u ( u divise 7(u + 11 et 26 et 7 état premiers etre eux, d après le théorème de Gauss, 26 divise u + 11, doc Z, u u Or, u est u etier, il vaut doc 1 et u C est la seule solutio possible etre et 25. Il existe u uique etier u compris etre et 25 tel que 7u 1 (mod 26.. DAVAL 8/18 ESPE-IEM éuio

9 b. Das cette questio, o a A D où : ( 3 2, soit 1 3 A [(3 + 3I 2 A] 1 [( ( ] A 1 1 ( uba I 2 (mod 26 7uBA 7I 2 (mod 26 BA 7I 2 (mod 26 d après la questio B.III.3.a. B 7A 1 (mod 26 B 7 1 ( 3 2 (mod ( 3 2 B (mod ( 3 2 La matrice B est ue matrice à coefficiets etiers relatifs telle que 1 3 uba I 2 (mod 26. c. U bloc de deux lettres est codé par la formule X AX et peut être décodé grâce à la formule X A 1 X. Cepedat, das otre cas, la matrice A 1 est pas à coefficiets das Z. O a, d après la questio précédete : X A 1 X ubax ubaa 1 X (mod 26 I 2 X ubx (mod 26 X ubx (mod 26 ( 3 2 X ( 45 3 X X (mod 26 avec u 15 X (mod 26 ( ( ( 45 3 Pour le premier bloc ( A ; K, X, soit X (mod ( 3 X (mod ( 12 X (mod 26 8 x 12 correspod à la lettre M et y 8 correspod à la lettre I. ( ( ( Pour le bloc ( X ; O, X, soit X (mod ( 17 X (mod x 17 correspod à la lettre et y 21 correspod à la lettre Z.. DAVAL 9/18 ESPE-IEM éuio

10 ( ( ( Pour le bloc ( U ; E, X, soit X (mod ( X (mod 26 1 x correspod à la lettre A et y 1 correspod à la lettre K. ( ( ( Pour le bloc ( V ; H, X, soit X (mod ( 7 X (mod 26 x 7 correspod à la lettre K et y correspod à la lettre A. ( ( ( Pour le bloc ( D ; L, X, soit X (mod ( 13 X (mod 26 8 x 13 correspod à la lettre et y 8 correspod à la lettre I. Le décodage de AKXOUEVHDL doe MIZAKHAI U bloc de deux lettres est codé par la formule X AX et peut être décodé grâce à la formule X A 1 X. Pour déchiffrer le message, il s agit doc d iverser la matrice A modulo 26. Cela peut se faire si, et seulemet si, le détermiat de cette matrice possède u iverse modulo 26, c est-à-dire, d après le théorème de Bézout, si det(a est premier avec 26. Tout mot comportat u ombre pair de lettres peut-être décodé par la méthode de Hill si, et seulemet si, le détermiat ad bc est premier avec La médaille Fields est la plus prestigieuse récompese pour la recoaissace de travaux e mathématiques, souvet cosidérée comme u équivalet du prix obel. Elle est attribuée tous les quatre as. Maryam Mirzahai est ue mathématiciee iraiee brillate, première femme à obteir la médaille Fields e DAVAL 1/18 ESPE-IEM éuio

11 Problème 2 ( Partie A I. 1. Costruisos l arbre correspodat à 4 : E suivat les braches de cet arbre de haut e bas, o obtiet la liste des 16 chemis : (,,, - (,,,1 - (,,1, - (,,1,1 - (,1,, - (,1,,1 - (,1,1, - (,1,1,1 (1,,, -(1,,,1 - (1,,1, - (1,,1,1 - (1,1,, - (1,1,,1 - (1,1,1, - (1,1,1,1 2. Parmi ces 16 chemis, 6 cotieet exactemet 2 fois l élémet II. 1. Parmi ces 6 chemis, il y a à chaque fois 3 chemis coteat u 1 respectivemet à la première, deuxième, troisième et quatrième place. est le ombre de chemis de l arbre correspodat à tirages réalisat exactemet succès, et doc échecs. Par symétrie de l arbre et le caractère biaire des évéemets (o a soit, soit 1, celui-ci ( correspod égalemet au ombre de chemis réalisat succès et échecs, c est-à-dire. Doc : ( (, [, ],.. DAVAL 11/18 ESPE-IEM éuio

12 2. L esemble E des ( + 1-uplets coteat fois l élémet 1 est de cardial Il peut être partitioé e deux esembles : + 1. l esemble E 1 des ( + 1-uplets coteat l élémet 1 e première place. Cet élémet ( état fixé, le ombre de -uplets coteat exactemet 1 fois l élémet 1 est de ; 1 l esemble E 2 des ( + 1-uplets coteat l élémet e première place. Cet ( élémet état fixé, le ombre de -uplets coteat exactemet fois l élémet 1 est de. Les esembles E 1 et E 2 état complémetaires das E, o a : card(e card(e 1 + card(e 2 :, [1, ], a. Chaque lige de la matrice A est l u des chemis coduisat à succès et échecs. Cette lige comporte doc fois le ombre 1 et fois le ombre. La somme de ses élémets vaut 1 + (. La somme des élémets d ue lige de la matrice A vaut. b. À chaque 1 de la j-ième coloe de la matrice A, o associe le ( 1-uplet coteat 1 ombres 1 obteu e preat la i-ième lige correspodate et e supprimat le j- ième coefficiet. O a doc ue bijectio etre les ( 1-uplets ayat exactemet 1 composates égales à 1 et les liges de la matrice ayat la j-ème composate égale à 1. D où, Pour j compris( etre 1 et, la somme des élémets de la j-ème coloe de la 1 matrice A vaut. 1 c. O peut effectuer la somme S des coefficiets de la matrice de deux maières différetes : ( ( par lige, il y a liges dot la somme des coefficiets vaut, soit S ; 1 par coloe, il y a coloes dot la somme des coefficiets vaut, soit 1 1 S. Doc : 1, [1, ], ( ( a. O cosidère E {e 1, e 2,..., e } u esemble ordoé à élémets. À toute partie P de E, o associe u -uplet (p 1, p 2,... p tel que pour tout i allat de 1 à, p i 1 si e i P et p i sio. L applicatio aisi costruite défiit ue bijectio de l esemble des parties de E vers l esemble des -uplets défiis comme ci-dessus. Doc, le ombre d élémets d ue partie de E est égal au ombre de composates égales à 1 du -uplet correspodat. Aisi, le ombre des parties à p élémets d u esemble à élémets est égal au ombre des -uplets ayat exactemet p fois 1, doc au ombre de chemis de logueur réalisat p succès. Les défiitios du coefficiet biomial doées das le supérieur et au lycée sot cohéretes etre elles puisqu elles défiisset le même ombre.. DAVAL 12/18 ESPE-IEM éuio

13 b. Détermios das u premier temps le ombre d esembles ordoés à élémets d u esemble à élémets : il y a! faço de choisir so premier élémet. Cet élémet état choisi, il y a ( 1! faço de choisir so deuxième élémet, aisi de suite jusqu au -ième élémet pour lequel il y a ( + 1! faço de le choisir. Doc, il y a! ( 1! ( +1!! faços de choisir élémets ordoés (! parmi. Pour chacue de ces faços, il faut élimier celles qui cotieet les mêmes élémets, mais das u ordre différet. Il y a! maières d ordoer les élémets, d où : [, ],!!(!. c. ésultat de la questio A.II.2 :, [, ] : , [, ] :! ( 1!( + 1! +!!(!!( + + 1!( + 1! ( + 1!!( + 1! ésultat de la questio A.II.3 :, [1, ] : 1 ( 1! 1 ( 1!( 1 + 1!! ( 1!(! 1 1!!(!, [1, ] : 1 1. III. O cosidère l expériece suivate : o tire ue boule das ue ure, o ote sa couleur, puis o la remet das l ure. U succès correspod à l obtetio d ue boule rouge, e proportio θ das l ure. Il s agit d ue expériece de Beroulli de paramètre p θ. O réitère cette expériece fois, de maière idépedate. O obtiet doc la loi biomiale de paramètres (, θ. Le ombre de résultats ( meat à boules rouges correspod au ombre de parties à élémets parmi, il y e a. La probabilité d obteir boules rouges (et doc boules oires das u ordre doé est de θ (1 θ. O a alors P(X θ (1 θ.. DAVAL 13/18 ESPE-IEM éuio

14 Calculos l expériece mathématique de la loi de X pour tout : E(X ( ( 1 θ 1 1 θ E(X θ θ (1 θ θ (1 θ ( 1 1 θ 1 (1 θ 1 θ (1 θ 1 d après la questio A.II.3.c. θ (θ + 1 θ 1 formule du biôme de ewto X suit ue loi biomiale B(, θ avec P(X θ (1 θ et E(X θ. ( Partie B I. 1. eprésetos par u arbre la situatio. Les ombres correspodet à l abscisse du poit à chaque étape DAVAL 14/18 ESPE-IEM éuio

15 La pièce état équilibrée, ous sommes das ue situatio d équiprobabilité, doc chaque brache de l arbre est équiprobable. Pour détermier la loi de X 4, il suffit doc de compter, pour chaque élémet de l uivers, le ombre de possibilités. Ω { 4, 2,, 2, 4} et o obtiet la loi suivate : P(X D est le ombre de fois où la pièce est tombée sur au cours des premiers lacers. C est la somme de expérieces de Beroulli idépedates cosistat à jeter ue pièce de moaie équilibrée dot le succès : «obteir u» est de probabilité 1 2. Doc : D est la variable aléatoire suivat la loi biomiale de paramètres et X + D 1 + ( D ( 1 D + D 2D. X 2D. 4. L espérace mathématique état liéaire, o a : E(X E(2D E(X 2E(D E( 2 1 d après la questio A.III. 2 L espérace de X est ulle, ce qui sigifie que, e moyee, au bout de lacers, le poit est reveu à l origie. II. 1. Pour [, ], o cosidère ue issue correspodat à l obtetio de et de. O a alors X ( ( 1 2. Si est impair, X est u ombre impair comme somme d u ombre pair et d u ombre impair, doc l évetualité {X } est impossible. Lorsque est impair, P(X. 2. X 2 lorsqu o a obteu autat de que de. Il( s agit doc de détermier le 2 ombre de 2-uplets comportat exactemet. Il y e a. Or, le ombre d élémets de l uivers de cette expériece aléatoire est de 2 2. Doc, ( 2 P(X puisqu il y a équiprobabilité P(X 2 2!!! 1 4 P(X 2 2! 4 (! 2.. DAVAL 15/18 ESPE-IEM éuio

16 III. 1. L algorithme doe, pour allat de 1 à, u ombre aléatoire compris etre et 1. Pour chaque valeur de, si ce ombre est supérieur à, 5 (qui correspod au tirage d u x est icrémeté de 1. Si le ombre est iférieur à, 5 (qui correspod au tirage d u x est dimiué de 1. La valeur x retourée correspod à l abscisse du poit après déplacemets. 2. Voici, par exemple, u deuxième algorithme écrit e Pytho : Cet algorithme itroduit ue compteur i qui compte le ombre de fois où x pred la valeur. 3. Voici, par exemple, u troisième algorithme écrit e Pytho : Cette fois, le compteur i compte le ombre de fois où x pred la valeur à la fi des lacers. La fréquece est calculée e effectuat le quotiet de i par 1, le ombre de séries. 4. Ces trois algorithmes peuvet permettre de cojecturer certaies propriétés : le premier algorithme permet de cojecturer les valeurs possibles pour X ; le secod le ombre de fois où le poit est passé par l origie ; le troisième permet d effectuer de multiples simulatios. O pourra égalemet modifier la valeur de pour cojecturer le fait que, plus o effectue des lacers, plus le résultat obteu (la fréquece d apparitio de l évéemet X, c est à dire de l espérace mathématique, se rapproche de la probabilité P(X.. DAVAL 16/18 ESPE-IEM éuio

17 IV. 1. Pour et [, 2], o cosidère ue issue correspodat à l obtetio de fois et de 2 fois. O a alors X (2 ( X 2 2( qui est u etier relatif pair. De plus, D où : À l issue de ces 2 lacers, l abscisse du poit est u etier relatif pair compris etre 2 et Pour, o a X 2 2D 2 2 d après la questio B.I.3. Soit [, ], P(X 2 2 P(2D ( P D 2 2 P(D 2 + ( ( ( 1 2 D + 2 B( 2, ( ( P(X Soit et [, ], ( la probabilité qu à l issue de ces 2 lacers, l abscisse du 2 poit soit égale à 2 est de Soit C la valeur aléatoire égale au ombre de passages à l origie etre le premier et le 2-ième lacer. C pred des valeurs etières etre et. Soit Ω la variable aléatoire égale à 1 si l abscisse du poit à l issue du -ième lacer est ulle et égale à sio. O a : C C 2 Ω 1 1 Ω Ω 2 1 Ω 2 puisque l abscisse du poit e peut être ulle lorsque le ombre de lacers est impair, d après la questio B.II.1. Doc, [, 1], Ω 2+1. O peut alors calculer l espérace de C, par liéarité, sachat que la variable aléatoire Ω suit ue loi de Beroulli preat les valeurs 1 et :. DAVAL 17/18 ESPE-IEM éuio

18 ( E(C E Ω 2 E(C 1 E(Ω P(Ω P(Ω 2 1 P(Ω P(X ( L espérace mathématique de C se calcule grâce à la formule E(C Soit (H l hypothèse : Iitialisatio : pour 1, D autre part, H 1 est doc vraie. 4 1 ( ( ( 2 ( ( Hérédité : supposos l hypothèse vraie au rag. +1 ( 1 2 ( ( ( ( ( [ ] ( ( + 1( ( 2 + 1( ( [ ] ( ( [ ] ( ( L hypothèse est ecore vraie au rag + 1. L hypothèse de récurrece (H est doc vraie pour tout supérieur ou égal à 1. 1, E(C ( 2 1. (H. DAVAL 18/18 ESPE-IEM éuio