Electrocinétique : régime permanent (Corrigé) Ex 0 : application des lois de Kirchoff.

Transcription

1 lectrocnétqe : régme permanent (Corrgé) x : applcaton des los de Krchoff. Posons d'abord les éqatons électrqes : lo de nœd : = (1) (attenton à l'orentaton des condcters). los de malles : = (2) = (3) Utlsons (2) por élmner 2 : et de même (3) por élmner 3 : n njectant ces expressons dans (1), l vent : d'où on tre fnalement : ssocaton de résstors. Vsalsaton d n résea. (a) Procédons par assocatons sccessves. les résstances (1) et (2) sont en sére, et éqvalent à ne résstance de 2. L ensemble est en dérvaton sr ne trosème résstance (3), et a donc ne résstance éqvalente entre et C valant.2 2 C = 2 (1) (4) (3) (2) 2/3 (6) (5) C D C emarqons qe la résstance (4) n est pas en dérvaton sr la résstance (3), n en sére avec les résstances (5) o (6). On rétère ne démarche analoge (assocaton sére ps en dérvaton) amenant ne résstance ve 5. 5 entre et D valant D = /3 3 (le pont C n est pls présent dans le schéma). Il vent fnalement, entre et : = 13 8 (b) Même méthode. éalsons d abord ne premère sére d assocatons évdentes, en sére o en dérvaton. D 2 /2 2 3

2 Ps dans ne seconde étape : Ps enste : 3/2 q mène fnalement à 2 3/4 6/7 3/4 éq (c) La staton (c) demande la mse en éqaton d crct por accéder à éq = /, après élmnaton de 1 et 2. n tlsant la lo des nœds, on explcte (sr le schéma) les ntenstés dans les dfférentes branches. Notons la tenson entre et. =.(3 1 2 ) crvons les los de malles. Sr la premère malle : ( 1 ) = (résstance en conventon générater por le derner terme) Sr la seconde malle : 2-2( 1 2 ) ( 1 2 ) = (résstances en conventon générater por le second et le trosème terme) près smplfcaton, ces dex los mènent à dex éqatons ndépendantes sr 1 et 2 : = et 2 = Système dont on tre : 2 = -/5 et 1 = 6/15. D où : = (7/5). et donc ne résstance éqvalente ve de et valant : éq = 7/5. x 2 : Dvser potentométrqe. 1 ) ssocer en dérvaton 2 et S, globalement traversées par l'ntensté cherchée. La lo de malle donne alors : e = r s 2 e ( S. 2 /( S + 2 )). d'où : ' s ' 2 s 2 en notant ' = r + 1. r e 1 2 s s 2 ) On a n dvser de corant : S = 2. /( 2 + S ). 2e d'où : S ' s ' 2 s 2 3 ) P g = e. r.², qe l'on pet explcter s on le sohate. P S = S. S ², qe l'on pet explcter s on le sohate. N : = 6,9 m ; S = 3,4 m ; P g = 35 mw ; P S = 12 mw ; = P S / P g =,34. x 3 : caractérstqe d ne assocaton de dpôles. ddtonner graphqement les tensons por ne ntensté donnée por l'assocaton dode et résstor en sére ; ps addtonner graphqement ntenstés les por ne tenson -U S pente 1/ donnée por l'assocaton des dex branches en dérvaton. U S On obtent fnalement : pente 1/2 L'ntérêt de se montage est de se comporter pratqement comme n résstor q offrrat ne résstance dfférente selon qe l'ntensté d corant q la traverse est postve o négatve (on porra néglger le segment horontal sté por les valers U S < <U S s ce dpôle est tlsé dans n montage mettant en je des tensons sffsamment mportantes).

3 x 4 : éalsaton d'n générater de tenson o de corant. 1 ) = c et = e o r o. on tre de ce système : = e o / ( c + r) et = c.e o / ( c + r) e o, r o c.n. : Por c = 22 ; = 6,8 m et = 1,5 V e o Por c = 5, ; =,25 et = 1,25 V n modélsant la ple comme n générater déal de tenson, on arat : = e o = 1,5 V et =,3. e o, r o c 2 ) crct éqvalent : On reconnaît n pont dvser de corant. e o ro r o r o c e o / (r o + ) + r o c S >> c, alors (r o étant néglgeable): e o /. x 5 : Génératers de tenson o de corant. Pont de fonctonnement. ) qeston d'applcaton drecte d cors. a) e éq = e 1 + e 2 ; r éq = r 1 + r 2 b) passer les dpôles (e 1, r 1 ) et (e 2, r 2 ) e représentaton de Norton. Les caractérstqes éqvalentes de ces dpôles vont enste s'addtonner : éq = (e 1 /r 1 ) + (e 2 /r 2 ) et g éq = (1/r 1 ) + (1/r 2 ) on dédt enste e éq = g éq. éq. b) Passer le générater (e 3, r 3 ) en représentaton de Norton, son assocaton en dérvaton avec r' 3 amène n générater de Norton por l'ensemble de éq = e 3 /r 3 et de g éq = 1/r 3 + 1/r' 3. On repasse enste ce dpôle en représentaton de Thévenn, qe l'on assoce en sére avec r 4. Il vent donc fnalement por le dpôle '' : e éq('') = r' 3.e 3 /(r 3 + r' 3 ) et r éq('') = r 4 + r' 3.r 3 /(r 3 + r' 3 ). La détermnaton de la représentaton de Norton de ce dpôle '' ne pose pas de dffclté : éq('') = e éq('') / r éq('') = r' 3.e 3 /(r 3.r' 3 +r 3.r 4 +r' 3. r 4 ) et r éq('') = r 4 + r' 3.r 3 /(r 3 + r' 3 ). C) n tlsant le modèle de Thévenn obten en a) ps en ) b), on calcle I et U dans le montage : Ce calcl est tot smple s l'on remplace le dpôle '' l ass par sa propre représentaton de Thévenn : e 3 e éq r éq r 3 r 4 U r éq e éq r éq ('') e éq ('') I r' 3 partr de la lo de malle on tre : I = (e éq e éq('') )/(r éq +r éq('') ) et : U = e éq r éq.i = (r éq('').e éq + r éq.e éq('') )/(r éq +r éq('') ) x 6 : stablsaton de tenson par ne dode ener a) emplaçons dans le schéma la dode ener par sa représentaton sr la branche sohatée : elle est alors éqvalente à ne sorce de tenson de fém U. Cec ne pet être réalsé qe s l ntensté

4 traversant cette dode est postve. (vor schéma) -Us U U' ' U U U Par la lo des nœds, l ntensté traversant la résstance est + et d après la lo d Ohm : + = (U U )/ ; avec ne tenson U mpose ax bornes de la dode ener comme ax bornes de la résstance. Donc = U /. U ' U U D où ' U ' La condton > explctée sr U amène fnalement : ' 1 U Physqement, étant nécessarement postve, cela mplqe d avor U > U por qe la condton psse être réalsable. La staton la pls défavorable concerne le cas où U = 1 V. Il fat alors < 61. b) La pssance maxmale débtée dans la dode sera a contrare attente por ne valer maxmale de la tenson U (15 V). D après a) l ntensté vadra alors, en prenant = 61 : max =,82, ce q amène ne pssance reçe P = U. =,58 W <,7 W. La pssance reste nférere à la valer maxmale acceptable. x 7 : tlsaton des représentatons de Thévenn et Norton. xercce q sera résol assocant progressvement les dfférents dpôles consttant le crct. On procèdera en passant les dpôles en représentaton de Norton lorsqe l'on vet les assocer en dérvaton avec n atre dpôle, et en passant les dpôles en représentaton de Thévenn lorsqe l'on vet les assocer en sére avec n atre dpôle /2 2 2 etc x 8 : Dode à vde et en charge. ) a) emplacer la dode par sa représentaton de Thévenn lorsq'elle est sr sa branche passante (branche drecte). On calcle enste à partr de la lo de malle : d U I F = ( U )/( + d ) et U F, d b) dfférenter U F : U = d./( + d ) d'où : f o = /U = 1 + / d. Le tax d'ondlaton est = U/U F. U F I F d U o

5 ) Calcler le modèle de Thévenn de caractérstqes th et th éqvalent à l'assocaton d générater (, ) en dérvaton avec c. th = c./( + c ) et th = c./( + c ). On se ramène alors a cas précédent. C) La dode sera passante à condton qe th > U o. L'ntensté I F dot être nférere à I max. n explotant ces négaltés : U U c ( U d I U ( max d ) ) I max x 9 : Stablsaton par dode ener. Le montage proposé pet être redessné comme c-contre. Le dpôle (, ) étant assocé en dérvaton avec le dpôle, on a proft à le représenter selon Norton. L assocaton en dérvaton de et q apparaît alors pet être remplacée par le résstor éqvalent, de condctance G éq = (1/) + (1/ ) / La relaton corant-tenson por le dpôle générater ans constté s écrt : = (/) - G éq (1) sot encore : = = éq - éq pente 1/ Le pont de fonctonnement obten en branchant la dode ener correspond a graphe c-contre : où la drote de charge, dont l éqaton est = (/) - G éq vendra coper la caractérstqe de la dode ener sr la branche vole à condton d avor éq > U ce q se tradt par > ( + ).(U / ). -U s U Dans ces condtons, la dode fonctonnant sr la branche ener, elle ara por éqaton caractérstqe : = ( U )/ (2) Il reste à explcter et d n système formé des éqatons (1) et (2). On tre après calcls et smplfcatons : x 1 : 1. Le tracé de la caractérstqe a por allre : U ; U On dstnge dex domanes de fonctonnement : por < 6, V, = et por > 6, V, on ara ne varaton pratqement lnéare de avec. Par ne régresson lnéare, on obtent l éqaton de la corbe = f() a-delà de = 6, V : = α. + β α =,2499 et β = -1,498 avec n coeffcent de corrélaton : r =,99966

6 On en dédt = f -1 () = (1/α). β/α qe l on pet dentfer à n modèle de Thévenn de caractérstqes (U, ) mposant : = U +. por le dpôle dans ce domane de fonctonnement. Il vent : = 1/α = 4, et U = -β/α = 6, V. emarqe : on povat ass fare la régresson drectement sr la foncton = f -1 () q mène mmédatement ax valers de et U. o o U 3. On remplace le dpôle par sa représentaton de Thévenn dans le domane de fonctonnement. La lo de malle amène : = o U U dont on tre : La résstance nterne d générater est néglgée ve sa fable valer o devant celle de o. 4. Montage dvser de tenson.. o o 5. eprendre le schéma en remplaçant le dpôle (dode ener) par sa représentaton de Thévenn dans le domane de fonctonnement. On pet enste transformer le dpôle (, o ) en sa représentaton de Norton, fare de même sr le dpôle représentant la dode, ps procéder à l addton des cém respectves / o et U /. La résstance éqvalente à l addton des dex dpôles sera o. / ( o + ). On repasse l ensemble en n modèle de Thévenn ( th, th ) almentant la résstance, avec après calcls et smplfcatons : ou th = et th = o. / ( o + ) o On tre alors, par la formle d dvser de tenson :. th ou sot après calcls (. / ) th o o 6. On dfférente les expressons de avec comme sele varable (la fém d générater vare de Δ =,5 V). Por le montage d 4) :. ; por le montage d 5) : o ( o. / ) o N : Δ (4),5 V et Δ (5),5 V. La dode régle la tenson. x 11 : ssocaton de génératers, optmsaton. ) p branches avec q dpôles génératers par branche : n = p.q 1) ddtonner les caractérstqes sr chaqe branche : on a alors p dpôles en dérvaton, de fém q.e et de résstance q.r. Passer chacn de ces dpôles en représentaton de Norton : cém e/r et résstance q.r, donc condctance g = 1/q.r. Sommer alors les caractérstqes de ces dpôles, assocé en dérvaton : on arrve à n dpôle de Norton de cém p.e/r et de condctance p/q.r. D'où fnalement éq = q.e et éq = q.r/p. 2) a) vec ce modèle on trove faclement : I = éq /( + éq ) = p.q.e/(q.r +p.) sot avec q = p/n, I(p) = ne/(n.r/p + p.). b) On trove l'extrémm par di(p)/dp = q donne : 3) Pmax = ne2 ; η = 5 %. 4r nr p. q = n r ; c) eq = ;