Π Simulations. 8.1 Introduction

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1 8 -Simulatio 8. Simulatio 8. Itroductio E géotatitique, le domaie de recherche le plu actif au cour de derière aée fut a cotredit celui de imulatio géotatitique. Le imulatio ot éceaire pour tout problème impliquat de traformatio o-liéaire de variable meurée. O recoaît 3 grad type d applicatio: Le problème o-liéaire de chagemet d échelle. La coductivité hydraulique ou la tramiivité e ot de exemple courat. Ici l échelle varie e foctio du tet utilié et e foctio de déciio arbitraire reliée à l utiliatio de imulateur d écoulemet (taille de élémet, taille de cellule, coditio frotière). Le problème impliquat de relatio o-liéaire etre différete variable. La charge hydraulique et la tramiivité e ot u exemple; le champ gravimétrique et le deité e ot u autre exemple. Le problème impliquat de foctio de trafert o-liéaire ou liéaire mai dot le équatio aalytique ot iextricable. Ex. deig de pile d homogééiatio; variabilité de teeur au cocetrateur pour u chéma X d exploitatio; temp de traport d u cotamiat, etc. Pour certai problème, il et pa uffiat de coaître la cocetratio de teeur da u domaie doé pour pouvoir prédire le comportemet de ce domaie. La ditributio patiale de valeur poctuelle à l itérieur du domaie doé et tout aui importate que la valeur moyee. Ex. Pour coaître le profit gééré par u bloc, il et uffiat de coaître la teeur moyee du bloc et le coût pour exploiter ce bloc. Il agit là d u problème où la ditributio exacte du miéral écoomique da le bloc a pa d importace. Pour détermier, la coductivité hydraulique d u bloc cotitué de deux phae (argile et able), il et pa uffiat de coaître la proportio de able. Il faut coaître commet ce able e ditribue à l itérieur du bloc. able + argile able able argile mélagé argile argile able bloc bloc 2 bloc3 Suppoo que la coductivité hydraulique du able et de x -3 cm/ et celle de l argile de x -7 cm/. O obtiedrait alor le réultat uivat: / Π bloc : k hor = k vert = x -5 cm/ (moyee géométrique: m= Zi ) i= bloc 2: k hor =.5 x -3 cm/ (moyee arithmétique) k vert =2 x -7 cm/ (moyee harmoique m = i= Z i )

2 8 -Simulatio 2 bloc 3: k hor = k vert = 2 x -7 cm/ (i o uppoe que l écoulemet et trictemet horizotal ou trictemet vertical; e réalité, ue coexio effectuera probablemet par le ommet et le réultat dépedra de l importace relative de cette coexio). Note: Pour le 3 bloc ci-haut, o a exactemet la même proportio de able et d argile, pourtat le valeur de coductivité variet coidérablemet et même de aiotropie du teeur de coductivité apparaiet. Toutefoi, le 3 bloc ci-haut e préeteraiet pa le même variogramme. Celui de gauche erait le moi tructuré, celui du cetre erait aiotrope et celui de droite motrerait ue tructure patiale iotrope. 8. Objectif de imulatio et type de imulatio Ue méthode de imulatio o-coditioelle vie à produire de champ motrat la même tructure patiale (variogramme) et le même hitogramme que ceux iféré à partir de doée obervée. Lorqu o applique l algorithme de imulatio correpodat à ue méthode doée, o obtiet ue réaliatio. O peut appliquer l algorithme autat de foi que l o veut et obteir aii pluieur réaliatio. Le réaliatio ot idépedate le ue de autre. Ue méthode de imulatio coditioelle vie le même objectif que la imulatio o-coditioelle mai, e plu, elle doit aurer que chaque réaliatio oit compatible avec le valeur obervée aux poit échatillo. Aii, i o imule ue valeur e u poit coïcidat avec ue obervatio, il faut que la valeur imulée oit égale à la valeur réellemet obervée. Exemple de imulatio e D 5 3 imulatio o-coditioelle e d valeur imulée coordoée imulatio coditioelle e d

3 8 -Simulatio 3 Note: Pour répodre à de problème cocret, le imulatio coditioelle ot habituellemet plu appropriée puiqu elle utiliet l iformatio coue. Le imulatio o-coditioelle ot urtout utiliée pour teter de méthode, de modèle, de algorithme. Le méthode de imulatio permettet de reproduire le tatitique d ordre (hitogramme) et 2 (variogramme). Le tatitique d ordre upérieure e peuvet gééralemet pa être pécifiée et dépedet de la méthode de imulatio choiie et, da le ca de imulatio coditioelle, de doée coditioate. Ue exceptio à cette règle et la méthode du recuit imulé qui permet d iclure de tatitique d ordre upérieur. Le doée coditioate ot ue forte ifluece ur le caractéritique tatitique de réaliatio même pour le deux premier ordre. O e peut pa, par exemple, imuler u modèle de variogramme qui erait totalemet icompatible avec la tructure patiale de doée coditioate. De même, le doée coditioate cofèret ue certaie robutee de réultat face à la méthode choiie pour effectuer le imulatio. Nou e coidéro ici que la imulatio d ue variable cotiue da u domaie défii. Parfoi, le problème et d abord de imuler de objet (ex. letille, cheaux, etc.) da lequel, euite, o imule de variable quatitative. Égalemet, o peut vouloir imuler de variable dicrète (ex. type de roche). Nou abordero pa ce méthode de imulatio. 8.2 Méthode de imulatio Il exite ue paoplie de méthode de imulatio géotatitique. Si o cherche à regrouper ce méthode, ue ubdiviio poible et la uivate: le méthode gauiee méthode matricielle baée ur ue décompoitio de la matrice de covariace méthode gauiee équetielle moyee mobile bade tourate méthode autorégreive méthode fréquetielle etc. le méthode o-gauiee recuit imulé imulatio équetielle d idicatrice méthode utiliat de champ de probabilité ( p-field ) etc. Da ce qui uit, ou examio quelque ue de ce méthode. 8.3 Méthode de imulatio matricielle (LU, décompoitio de Choleky) Cette méthode et la plu imple à programmer et a doute la plu efficace lorqu o doit imuler de petit champ. Cette méthode permet de réalier preque aui aiémet de imulatio coditioelle que o-coditioelle.

4 8 -Simulatio Simulatio o-coditioelle Soit poit à imuler motrat ue covariace C(h). O cotruit la matrice de covariace K x (c et la même matrice que celle utiliée pour u krigeage imple. O décompoe cette matrice par K=LU, avec L=U. O tire valeur, aléatoiremet, d ue N(,): y i, i=... O poe z=ly; z et alor ue réaliatio de Z ayat le bo covariogramme. E effet, Cov[LY,LY]=E[LYY L ]=LE[YY ]L =LL =LU=K Simulatio coditioelle La démarche et trè imilaire au ca précédet. Soit N poit coditioat et poit à imuler. O place da u vecteur le N poit coditioat uivi de poit à imuler. La matrice K (N+)(N+) et décompoée comme auparavat e LU. O partitioe L e 4 bloc ditict: L L = L L 2 22 Le bloc L correpod aux poit coditioat, le bloc L 22 aux poit à imuler, le bloc L 2 met e relatio le poit à imuler et le poit coditioat. O forme u vecteur y (N+) de valeur N(,). O a alor: d où o tire: Z L Y Z 2 = L2 L 22 Y 2 Z =L Y Z 2 =L 2 Y +L 22 Y 2 O a obervé Z =z. Il faut doc impoer y =L - z. Coaiat y, il e rete qu à tirer aléatoiremet valeur d ue N(,) pour former y 2 et euite calculer z 2 e utiliat l expreio ci-haut (otez que L 2 y et cotat et a pa beoi d être recalculé pour chaque ouvelle réaliatio).. Note: Cette méthode de imulatio et extrêmemet efficace et rapide car ue eule iverio de matrice et requie. De réaliatio additioelle peuvet être obteue aiémet à trè faible coût. La pricipale limitatio e et ue de mémoire. E effet, (N+) e peut excéder quelque millier car alor la matrice K deviet trop large et e peut être tockée e mémoire. Il faut que K oit o-igulière pour pouvoir effectuer la décompoitio de Choleky. Ceci implique que l o e doit pa faire coïcider u poit à imuler avec u poit obervé.

5 8 -Simulatio 5 Il exite d autre décompoitio poible de K Aii, o peut utilier ue décompoitio e vecteur propre, valeur propre de K. 8.4 Méthode de imulatio équetielle gauiee (SGS) Le fodemet théorique de cette méthode remotet à Paul Levy (937). Nou la préeto pour le ca coditioel car le ca o-coditioel et qu u ca particulier de celui-ci. O a N valeur coditioate ormale de covariace C(h) (i N=, c et le ca o-coditioel) et poit à imuler. O géère d abord u chemi aléatoire permettat de viiter à tour de rôle chacu de poit à imuler. Pour chaque poit, à tour de rôle, o effectue le krigeage imple de ce poit e utiliat l eemble de N poit coditioat et tou le poit ayat déjà été imulé. Puiqu o et da u cotexte gauie, la valeur krigée et la variace de krigeage correpodet repectivemet à l epérace coditioelle et à la variace coditioelle de la v.a. au poit viité. O tire aléatoiremet ue valeur d ue N(Z *,σ k 2 ) et o ajoute le ouveau poit imulé à l eemble de poit cou (icluat poit coditioat et poit déjà imulé). O viite le poit uivat et aii de uite juqu à ce qu o ait viité tou le poit à imuler. Note: Théoriquemet, cette méthode e permet de imuler que de champ de faible taille car, e fi d algorithme, le ytème de krigeage imple ot de la taille du ombre total de poit. E pratique, o peut limiter la taille de ytème de krigeage imple, comme o le fait habituellemet, e raio de l effet d écra du krigeage. (Plu la covariace et markoviee, plu la reproductio era fidèle). Si o a u effet de pépite da le modèle, pour le ca o-coditioel, il et préférable de imuler l effet de pépite à poteriori, e ajoutat ue erreur aléatoire de variace égale à C. E effet, l effet de pépite dimiue l effet d écra du krigeage. Si o a de doée coditioate, ce et pa poible car le valeur ot obervée avec l ifluece de l effet de pépite. Certaie tructure ot difficile à reproduire parfaitemet par cet algorithme (ex. gauie, phérique). Da le ca du gauie, ceci peut être relié au faible effet d écra de cette covariace. Da le ca phérique, c et a doute à caue de la portée fiie, mai o e compred pa parfaitemet le phéomèe. La tratégie de viite de poit à imuler peut ifluer ur le réultat. Il faut éviter tout déplacemet ytématique elo ue directio. Certai auteur recommadet d adopter ue viite e 2 temp: ue première viite aléatoire ur ue maille trè large pour aurer la reproductio de tructure de grade échelle uivi d ue viite aléatoire ur ue maille plu fie pour compléter la grille. O peut évidemmet adopter ue tratégie du même type mai e pluieur temp Démotratio que la méthode SGS fourit le bo variogramme (ou covariogramme) O ivoque u argumet iductif. Nou uppoo que poit ot été imulé par SGS et qu il ot la boe tructure. Nou démotro que ceci implique qu à l étape +, le + poit imulé aurot égalemet la boe tructure. Suppoo, Cov( Z, Z ') = Cov( Z, Z') = K

6 8 -Simulatio 6 où Z et u vecteur x coteat le v.a. correpodat aux poit déjà imulé. à l étape +, la valeur krigée au poit + 'écrit: Z * + = Z ' λ où λ = K k k = Cov( Z,Z + ) L algorithme SGS permet de repréeter la prochaie valeur imulée comme: où e et ue erreur de moyee et de variace O calcule alor: Z + = Z + + e 2 σ k * + + Cov( Z, Z ) = Cov( Z, Z ) = Cov( Z, Z ') K k = k ce qui motre que la covariace etre le + ème poit imulé et le précédet et bie doée par le covariogramme que l'o veut imuler. Pour la variace de Z + o a: Var( Z ) = Var( Z ) + σ * * k = σ ce derier réultat découlat de équatio du krigeage imple (relatio de liage, voir chap. 5). Note: L algorithme et baé au départ ur le ditributio coditioelle. Il faudrait doc que Z oit gauie io le réultat du KS e correpodet pa aux paramètre d ue loi coditioelle. Toutefoi, la preuve précédete exige aucue ditributio particulière pour le valeur Z. E effet, l argumet iductif employé demeure valide peu importe la ditributio puique eule le équatio de krigeage imple ot utiliée da la preuve et le fait que le KS coïcide ou o avec le paramètre coditioel et pa utilié. Bref, o pourrait imuler ue réidu "e" de moyee et de 2 variace a qu'il oit ormal et o reproduirait ecore le bo variogramme. Toutefoi, o e σ k erait pa auré de reproduire l'hitogramme de doée (l hitogramme de valeur imulée tedrait davatage ver ue loi ormale que le valeur origiale). Ceci et dû au fait que l o utilie la valeur krigée (par KS) da la imulatio et que celle-ci et ue combiaio liéaire de valeur obervée (coéquece que l o peut déduire, par aalogie, du théorème de la limite cetrale pour de doée idépedate. O peut trè facilemet combier cet algorithme à l algorithme LU précédet, oit pour imuler imultaémet ue variable e pluieur poit, oit pour imuler imultaémet pluieur variable e u même poit ou pluieur variable e pluieur poit.

7 8 -Simulatio Méthode de recuit imulé 8.5 Méthode de recuit imulé Cette méthode de imulatio et, de fait, baée ur ue techique d optimiatio: le recuit imulé ("imulated aealig"). Cette méthode et d ue grade flexibilité. Brièvemet, il agit de défiir ue foctio objectif à optimier. Cette foctio objectif peut être la différece etre le variogramme expérimetal de doée imulée et le variogramme théorique que l o déire reproduire. O peut aui iclure pluieur autre terme da la foctio objectif à miimier pour icorporer divere cotraite géologique, le repect d ue courbe toage-teeur coue, de relatio détermiite, etc. Il exite pluieur variate du recuit imulé. O amorce la imulatio e tirat au haard, pour chaque poit à imuler, ue valeur et e aurat que l hitogramme et bie reproduit par ce tirage. O place euite le valeur coditioate da le champ et o calcule le variogramme expérimetal avec tou ce poit et o défiit la foctio objectif combie ue meure de la ditace etre le variogramme expérimetal et le modèle ouhaité et etre l'hitogramme imulé et celui déiré. Euite o applique l algorithme uivat: i) O tire au haard u poit da le champ. Si le poit et u poit coditioat, o e fait rie. Sio, o tire ue valeur d ue ditributio globale et o évalue la valeur de la foctio objectif. ii) Si la valeur de la foctio objectif a dimiué, o coerve la valeur tirée. Si la foctio objectif a augmeté, o coerve la valeur tirée avec probabilité : p a = e ( O O + / t i i ) (et doc o replace le poit à leur poitio origiale avec probabilité -p a ). Da cette équatio, O i -O i+ et éceairemet égatif et t et ue température que l o fait décroître letemet tout au log de l applicatio de l algorithme. Le but et de permettre à la foctio objectif, urtout au début de l algorithme, de croître afi de échapper d optima trè locaux et d atteidre u optimum plu global. iii) O détermie i la ouvelle valeur de la foctio objectif recotre u certai critère de covergece. Si oui, o arrête, io, o retoure à l étape i). O peut aui amorcer l algorithme avec ue réaliatio obteue d ue autre méthode de imulatio plutôt que par tirage aléatoire. Évidemmet o peut iclure d'autre cotraite da la foctio objectif Exemple de recuit imulé i. Simuler ue matrice de taille x e impoat de omme égale pour chaque lige et chaque coloe.

8 8 -Simulatio 8 Recuit imulé doée ormale, x, moyee lige et coloe égale Doée iitiale Doée aprè recuit Foctio objective v itératio Moyee avat et aprè recuit.6.5 b j. o.4 e F oṫ.2 M oye # itératio Moyee -: coloe, -2:lige

9 8 -Simulatio 9 ii. Même exemple, cette foi impoat ue moyee de 2 pour chaque lige et chaque coloe. Recuit imulé doée ormale, x, moyee lige et coloe égale à 2 Doée iitiale Doée aprè recuit Foctio objective v itératio Moyee avat et aprè recuit b j. o 4 e F oṫ 2 M oye 2 # itératio 3 4 x Moyee -: coloe, -2:lige iii. Simulatio d'u variogramme phérique avec a=3, C=, C=, 2 doée e D, foctio objectif calculée ur le 5 premier lag. Simulatio d'u variogramme ophérique C=,C=,a=3; 2 doée D; 5 lag da foctio objective.4.2 modèle # # 8 m e m a g r o V ari.8.6 # 6 # # ditace

10 8 -Simulatio 8.6 Exemple d applicatio de imulatio coditioelle. Hydrogéologie Domigue (994, mémoire de maîtrie) a évalué l efficacité du piège hydraulique de Ville-Mercier pour cofier le cotamiat préet da le roc fracturé. Pour ce faire, il a utilié le meure de capacité pécifique (tirée de l auaire de puit et forage du Québec) pour etimer le tramiivité. Ce tramiivité ot ervi de poit coditioat pour de imulatio de champ de tramiivité. Ce champ ot été utilié, cojoitemet avec le charge coue et le coditio aux limite, pour imuler le réeau d écoulemet. Domigue a pu aii défiir la zoe de cofiemet aocié au piège hydraulique pour 3 réaliatio différete du champ de tramiivité. Pour au moi ue de réaliatio, la zoe cotamiée était pa iclue totalemet da la zoe de captage. Coéquemmet, le piège hydraulique pourrait être iefficace. Gutjahr et al. (995), ot utilié le imulatio coditioelle afi de comparer le pouvoir coditioat de charge et de la tramiivité pour détermier le trajet d u cotamiat et le temp de déplacemet avat d arriver à la frotière du champ étudié. Il a motré, etre autre, que le charge poédaiet u fort pouvoir coditioat pour le trajet uivi par le cotamiat mai u trè faible pouvoir coditioat pour le temp de parcour (et doc le vitee). Au cotraire, le tramiivité ot u faible pouvoir coditioat pour le trajet, mai u fort pouvoir pour le temp de parcour. Toutefoi, c et la combiaio de deux iformatio (charge+tramiivité) qui coditioe le mieux le temp de parcour. Gomez-Heradez (993) a utilié le imulatio coditioelle pour effectuer le chagemet d échelle de tramiivité à partir de la meure quai-poctuelle ver de bloc de la taille de ceux utilié da la imulatio d écoulemet. Il a défii u champ de la taille du bloc déiré et a imulé le tramiivité ur de upport comparable aux doée obervée. Il a impoé de frotière imperméable d abord ur le côté ord et ud de bloc pour détermier la tramiivité et-ouet, pui ur le côté et et ouet pour détermier le tramiivité ord-ud. Il a euite déduit le modèle de covariace croiée liat le tramiivité poctuelle aux tramiivité de bloc (ord-ud et etouet) et le covariace imple et croiée de tramiivité de bloc. Il a utilié ce modèle de covariace da ue imulatio coditioelle pour produire de champ de tramiivité de bloc partat de valeur poctuelle de tramiivité. Gomez-Heradez (996) a utilié le imulatio coditioelle comme champ iitiaux pour olutioer le problème ivere e hydrogéologie. Il obtiet pluieur champ de tramiivité différet, tou atifaiat le charge obervée. Ce champ pourraiet être utilié pour modélier le redemet d u aquifère, l efficacité d u piège hydraulique, la eibilité à la cotamiatio, etc. Mie Naraghi et Marcotte (996) ot utilié le imulatio coditioelle pour détermier le ombre (et l épaieur) de couche à utilier da ue pile d homogééiatio pour obteir le degré d homogééité déiré. Marcotte et al. (996) a utilié le imulatio coditioelle pour décrire l impact du biai coditioel de etimateur ur le profit d ue mie type. Il ot étudié l ifluece de diver facteur ur ce profit, e particulier de la quatité d obervatio dipoible lor de l etimatio fiale meat à la électio de bloc. Froideveaux (984) a utilié le imulatio coditioelle pour modélier le préciio ur le etimatio de réerve récupérable (i.e. aprè applicatio d ue teeur de coupure).

11 8 -Simulatio Pétrole Le exemple d applicatio e pétrole ot le plu ombreux mai aui le plu complexe. La complexité proviet e premier lieu de la complexité géologique de réervoir (faille, paléocheaux, type de roche, etc.), du peu de doée directe (forer u puit coûte extrêmemet cher) et de l abodace de doée idirecte (relevé de imique réflexio, diagraphie, obervatio de champ pétrolier comparable, doée de productio (débit, preio, etc.), expertie géologique, etc. La plupart de étude combiet pluieur méthode de imulatio (méthode booléee, poit marqué, imulatio géotatitique). Haa et Dubrule(994) ot utilié le imulatio coditioelle équetielle pour effectuer l iverio 3D de impédace acoutique. Leur approche coite à géérer u vecteur (vertical) d impédace, de covertir la coordoée z e coordoée t, de calculer l amplitude imique théorique correpodate et de comparer la trace ythétique aii obteue à la trace meurée. Si le 2 trace ot aez emblable, le vecteur d impédace et accepté et o pae à u autre vecteur vertical. Sio, o reimule au même poit u autre vecteur vertical et aii de uite. Autre applicatio poible O pourrait utilier le imulatio coditioelle pour: calculer la préciio pour l etimatio de volume cotamié au delà d ue certaie orme. modélier la variabilité de teeur obervée au cocetrateur et étudier l impact de modificatio au pla de miage ur cette variabilité. étudier différet céario pour le deig d ue foe à ciel ouvert et détermier le emplacemet optimaux pour le équipemet. O pourrait eviager la même choe pour le exploitatio outerraie mai le problème et beaucoup plu complexe. pour ue cimeterie, fourir ue bae de doée de carrière poible ur lequelle o peut teter l effet d homogééiatio de différet procédé (autage, récupératio et chargemet, broyage, etc.) e vue d optimier le mode d exploitatio. e eviroemet, pour l emmagaiage de déchet ucléaire, fourir de bae de doée permettat d étudier le probabilité d occurrece de céario peimite. e eviroemet ou e hydrogéologie, idetifier le emplacemet évralgique où de échatillo upplémetaire devraiet être prélevé. etc Ue remarque à propo de la ormalité de obervatio Comme metioé précédemmet, le méthode gauiee éceitet que le doée coditioate uivat ue ditributio multiormale. O e peut jamai être certai que cette hypothèe et réalite. O peut toutefoi aurer que la ditributio de valeur oit ormale par ue traformatio appropriée. O peut aui teter e partie i la ditributio et biormale, mai guère plu. E pratique, il faut doc gééralemet : - Traformer le doée ver ue ditributio ormale. Ceci peut être fait par ue traformatio graphique ou autre. 2- Calculer et modélier le variogramme de valeur traformée. 3- Effectuer la imulatio da le domaie ormal. 4- Effectuer la traformatio ivere pour reveir au domaie origial.

12 8 -Simulatio 2 O otera que cette procédure aure la reproductio du variogramme de la variable traformée, o celui de la variable origiale. La qualité de la reproductio du variogramme origial dépedra largemet du caractère réalite, face au comportemet de doée, de hypothèe de tatioarité et de multiormalité de méthode de imulatio. Toutefoi, comme metioé précédemmet, le coditioemet par de doée libère e quelque orte le modèle de ce cotraite puique le caractéritique implicitemet coteue da le doée erot préervée et propagée aux autre doée da ue certaie meure. Remarque: Il faut aui garder à l'eprit que l'hitogramme et le variogramme e ot que le deux premier momet du proceu. Il et poible de géérer pluieur proceu ayat même hitogramme et même variogramme et pourtat préetat ue apparece trè différete. 8.7 Exteio au ca multivariable La imulatio de doée multivariable e poe pa de problème particulier et et immédiate da le ca de la méthode LU. Pour la méthode SGS, il uffit de ubtituer au krigeage imple u cokrigeage imple et de détermier la ditributio multivariable coditioelle à partir de propriété de la loi multiormale (le valeur impliquée 'obtieet du cokrigeage). 8.8 Pot-coditioemet Certaie méthode e permettet pa de réalier directemet de imulatio coditioelle. Da ce ca, o peut effectuer u pot-coditioemet de la imulatio. Le pricipe et le uivat (o uppoe Z(x) gauie et de moyee ): i. Réalier ue imulatio o-coditioelle aux poit déiré pour la imulatio et aux poit échatillo. Soit Z g et Z i le valeur imulée aux poit de imulatio et aux poit échatillo repectivemet. ii. Effectuer u krigeage (imple ou ordiaire) aux poit que l'o veut imuler e utiliat le valeur obervée pour obteir Z * g. Faire de même avec le valeur imulée aux poit échatillo pour * obteir Z g. c * * iii. Former: Z g = Z g + ( Z g Z g ) pour obteir la imulatio coditioelle. Note : * i. Si u poit à imuler coïcide avec u poit échatillo, o aura Z g. = Z * g = Z i., Z g. = Z g =Z i et doc Z c * g =Z g =Z i, i.e. o reproduit le doée obervée. Trè loi de doée, o aura Z g. = Z * c g = et doc Z g. = Z g, i.e. o retrouve ue imulatio o-coditioelle. c 2 ii. O peut motrer que Var(Z g. -Z g )=2, i.e. ue imulatio coditioelle et 2 foi moi iii. σ k précie qu'ue etimatio par krigeage imple (ou ordiaire). Il faut doc éviter d'utilier ue réaliatio uique d'ue imulatio coditioelle comme etimateur. Si l o effectue u grad ombre de réaliatio aii coditioée et que l'o e fait la moyee, o retrouvera l'etimateur de krigeage imple (ordiaire). La variace d'etimatio obteue e preat cette moyee comme etimatio et doc la variace de krigeage imple (ordiaire). La variace de différete réaliatio autour de cette moyee et aui la variace de krigeage imple (ordiaire).