Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples

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1 2 Groupes moogèes, groupes cycliques. Exemples Les otios de base sur les groupes sot supposées coues. E particulier, les esembles et groupes quotiets sot supposés cous. Pour des rappels, o pourra cosulter le chapitre 1. Les groupes et la foctio idicatrice d'euler sot égalemet supposés cous (voir le chapitre 9). Pour ce chapitre, o se doe u groupe multiplicatif (G, ). 2.1 Sous-groupe egedré par ue partie d'u groupe Théorème 2.1 L'itersectio d'ue famille quelcoque (H i ) i I sous-groupe de G. de sous-groupes de G est u Démostratio. Soit H = i I H i. Comme l'élémet eutre 1 est das tous les H i, il est aussi das H et H. Si g 1, g 2 sot das H, ils sot alors das tous les H i, doc g 1 g 1 2 H i pour tout i I, ce qui sigie que g 1 g 1 2 H. O a doc motré que H u sous-groupe de G. Corollaire 2.1 Si X est ue partie de (G, ), l'itersectio de tous les sous-groupes de G qui cotieet X est u sous-groupe de G. Démostratio. L'esemble des sous-groupes de G qui cotieet X est o vide puisque G e fait partie et le théorème précédet ous dit que l'itersectio de tous ces sous-groupes est u sous-groupe de G. Déitio 2.1 Si X est ue partie de (G, ), le sous-groupe de G egedré par X est l'itersectio de tous les sous-groupes de G qui cotieet X. O ote X le sous-groupe de G egedré par X et ce sous-groupe X est le plus petit (pour l'ordre de l'iclusio) des sous-groupes de G qui cotieet X. Das le cas où X est l'esemble vide, o a X = {1. Si X est ue partie o vide de G formée d'u ombre i d'élémets, x 1,, x, o ote X = x 1,, x le groupe egedré par X. Déitio 2.2 Si X est ue partie de (G, ), o dit que X egedre G (ou que X est ue partie géératrice de G), si G = X. 31

2 32 Groupes moogèes, groupes cycliques. Exemples Déitio 2.3 O dit que G est de type i s'il admet ue partie géératrice ie. Théorème 2.2 Soiet X, Y deux parties de G. 1. O a X X et l'égalité est réalisée si, et seulemet si X est u sous-groupe de G. 2. Si X Y, o a alors X Y. 3. E otat, pour X o vide, X 1 l'esemble formé des symétriques des élémets de X, soit X 1 = {x 1 x X, les élémets de X sot de la forme x 1 x r où r N et les x k sot das X X 1 pour tout k compris etre 1 et r. Démostratio. Les poits 1. et 2. se déduiset immédiatemet des déitios. Pour le poit 3. o motre tout d'abord que l'esemble : H = { x 1 x r r N et x k X X 1 pour 1 k r est u sous-groupe de G. Pour x 1 X, o a 1 = x 1 x 1 1 H et pour x = x 1 x r, y = y 1 y s das H, o a : x y 1 = x 1 x r y 1 s y 1 1 H Doc H est bie u sous-groupe de G. Comme H est u sous-groupe de G qui cotiet X, o a X H. Réciproquemet, tout élémet h = x 1 x r de H est u produit d'élémets de X X 1 X, doc das X et o a bie X = H. Remarque 2.1 Le poit 3. du théorème précédet ous dit aussi que X = X 1 = X X 1. Remarque 2.2 O a aussi : { r X = x ε k r N, x k X et ε k { 1, 1 pour 1 k r k Das le cas où les élémets de X sot e ombre i et commutet, o a le résultat suivat. Théorème 2.3 Pour tout -uplet (g 1,, g p ) d'élémets de G qui commutet deux à deux (où p 1), o a : { p g 1,, g p = g α k k (α 1,, α p ) p et ce groupe g 1,, g p est commutatif. Démostratio. E otat X = {g 1,, g p, o a X 1 = { g1 1,, gp 1 et comme les g k commutet, o déduit que : { m g 1,, g p = h k m N et h k X X 1 pour 1 k m = { p g α k k (α 1,, α p ) p (g k g j = g j g k etraîe g 1 j g k = g 1 j g k g j g 1 j commutet). = g 1 j g j g k g 1 j = g k g 1 j et les élémets de X X 1

3 Groupes moogèes, groupes cycliques 33 Comme les g k commutet, ce groupe est commutatif. Pour ue loi de groupe otée additivemet, o a das le cas où G est commutatif : { p g 1,, g p = Par exemple pour le groupe additif G =, o a : α k g k (α 1,, α p ) p g 1,, g p = p g k = δ où δ N est pgcd de g 1,, g p. 2.2 Groupes moogèes, groupes cycliques Déitio 2.4 O dit que G est moogèe s'il existe g G tel que G = g. Si de plus, G est i, o dit alors qu'il est cyclique. Le théorème 2.3, ous dit e particulier que : { r g = g ε k r N, ε k = ±1 pour 1 k r = {g Pour u groupe additif, o a : g = {g O rappelle qu'u élémet g G est dit d'ordre i si le groupe g est i et l'ordre de g est alors le cardial de g. O ote θ (g) cet ordre et o a : (θ (g) = N ) ( g = {g r 0 r 1) ( k et g k = 1 équivaut à k 0 mod () ) = θ (g) est le plus petit etier aturel o ul tel que g = 1 (ou g = 0 pour u groupe additif). Le théorème de Lagrage ous dit que si G est i, alors l'ordre de g G divise l'ordre de G. Remarque 2.3 U groupe cyclique est écessairemet commutatif. Remarque 2.4 U groupe cyclique egedré par u élémet g 1 a au mois deux élémet, 1 et g. Exemple 2.1 (, +) est moogèe egedré par 1. Les sous-groupes de (, +) qui sot de la forme avec 0 sot tous moogèes. Exemple 2.2 Si G est le groupe additif, o sait alors que ces sous-groupes sot les où est u etier aturel et comme (, +) est commutatif, l'esemble quotiet est aturellemet mui d'ue structure de groupe. D'autre part, le théorème de divisio euclidiee ous permet d'écrire tout etier relatif k sous la forme k = q + r avec 0 r 1, ce qui etraîe k r et k = r. Et comme r s

4 34 Groupes moogèes, groupes cycliques. Exemples pour 0 r s 1 (o a 0 < r s < et r s e peut être multiple de ), o e déduit que : = { 0, 1,, 1 a élémets. Ce groupe est cyclique d'ordre egedré par 1. Les groupes cycliques sot étudiés plus e détail au chapitre 9. Exercice 2.1 Soit X = {r 1,, r ue partie ie de Q et G = X le sous-groupe de (Q, +) egedré par X. Motrer que G est moogèe ii. Solutio 2.1 E désigat par µ le ppcm des déomiateurs de r 1,, r, il existe des etiers relatifs a 1,, a tels que r k = a k pour tout k compris etre 1 et et e désigat par δ le µ pgcd de a 1,, a, o a : { a k G = α k µ (α 1,, α ) { δ = α k b k (α 1,, α ) µ où b 1,, b sot des etiers relatifs premiers etre eux das leur esemble. O a doc G = δ µ, ce qui sigie que G est moogèe egedré par δ µ. Théorème 2.4 Soit G u groupe moogèe. S'il est ii, il est alors isomorphe à. S'il est cyclique d'ordre, il est alors isomorphe au groupe Démostratio. Si G = g est moogèe, l'applicatio φ g : k g k est alors u morphisme de groupes surjectif de (, +) sur G et so oyau est u sous-groupe additif de, doc de la forme ker (φ g ) = avec N. Pour = 0, φ g est ijectif et G est ii isomorphe à. Pour 1, le théorème d'isomorphisme ous dit que est isomorphe à G et G = g est cyclique d'ordre. Remarque 2.5 Dire que G est cyclique d'ordre, sigie que G est de cardial égal à et qu'il existe das G au mois u élémet g d'ordre. Das ce cas, o a : G = g = { 1, g,, g 1 Théorème 2.5 Soit G = g u groupe cyclique d'ordre. Les géérateurs de G sot les g k, où k est u etier compris etre 1 et 1 premier avec. Démostratio. Si k {1,, 1 est premier avec, le théorème de Bézout ous dit qu'il existe deux etiers relatifs u, v tels que uk + v = 1, ce qui etraîe g = ( g k) u g k et G = g k..

5 Groupes moogèes, groupes cycliques 35 Réciproquemet si k {1,, 1 est tel que G = g k, il existe u etier relatif u tel que g = ( g k) u = g ku, ce qui s'écrit aussi g 1 ku = 1 et divise ku (puisque est l'ordre de g), ce qui sigie qu'il existe u etier relatif v tel que 1 ku = v, doc uk + v = 1 et k est premier avec. O rappelle que la foctio idicatrice d'euler est la foctio qui associe à tout etier aturel o ul, le ombre, oté φ (), d'etiers compris etre 1 et qui sot premiers avec (pour = 1, o a φ (1) = 1). Le ombre de géérateurs d'u groupe cyclique G d'ordre est doc égal à φ (). O pourra cosulter le paragraphe 9.3 pour ue étude plus détaillée de cette foctio d'euler. Théorème 2.6 Si 2 est u etier premier avec φ (), alors tout groupe commutatif d'ordre est cyclique. Démostratio. Comme m = ppcm {θ (g) g G = θ (g 0 ) et ot les mêmes facteurs premiers (théorème 1.15), o a les décompositios e facteurs premiers m = r r p α k k et = p β k k, où les p k sot premiers deux à deux disticts et 1 α k β k pour tout k compris etre 1 et. Sachat que : φ () = r p β k 1 k (p k 1) o déduit que si φ () est premier avec, alors tous les β k valet 1 (sio p k divise φ () et ) et les α k valet aussi 1, ce qui doe = m et G est cyclique puisque g 0 est d'ordre = card (G). Réciproquemet, o peut motrer que la réciproque est vrai, c'est-à-dire qu'u etier 2 est premier avec φ (), si, et seulemet si, tout groupe commutatif d'ordre est cyclique (voir [40]). Exemple 2.3 Le groupe multiplicatif Γ des racies -èmes de l'uité, qui est cyclique d'ordre, est isomorphe à par l'applicatio k e 2ikπ. Exercice 2.2 Motrer que, pour tout etier 1, il existe u uique sous-groupe de (Q/, +) d'ordre et que ce groupe est cyclique. Solutio 2.2 Supposos que G soit u sous-groupe de (Q/, +) d'ordre. Tout r G a u ordre qui divise (théorème de Lagrage), doc r = 0, c'est-à-dire qu'il existe q tel que r = q et r = q. O a doc r = q = q et G. Comme 1 est d'ordre das Q/ (o a k 1 = k = 0 si, et seulemet si, k 1 de ), o a écessairemet G = 1 (c'est )., ce qui équivaut à dire que k est multiple. D'où l'uicité d'u groupe d'ordre et ce groupe existe Le théorème qui suit ous dit qu'à isomorphisme près, il y a u seul groupe d'ordre p premier, à savoir p.

6 36 Groupes moogèes, groupes cycliques. Exemples Théorème 2.7 U groupe de cardial premier est cyclique (doc commutatif et isomorphe à p ). Démostratio. Soit (G, ) u groupe de cardial premier p 2. Si g G \ {1, il est d'ordre diéret de 1 qui divise p, doc cet ordre est p et G est cyclique egedré par g. L'applicatio [k] = k + p ( ) p gk réalise alors u isomorphisme du groupe p, + sur (G, ). Si p et q sot deux ombres premiers, u groupe d'ordre pq 'est pas écessairemet cyclique comme le motre l'exemple du groupe symétrique S 3 qui est d'ordre 6 o commutatif et doc o cyclique. Mais pour G commutatif d'ordre pq avec p q, o a le résultat suivat. Théorème 2.8 U groupe commutatif d'ordre pq, où p et q sot deux ombres premiers disticts, est cyclique. Il est doc commutatif et isomorphe à pq. Démostratio. Soit G commutatif d'ordre pq avec 2 p < q premiers. S'il existe das G u élémet g d'ordre p et u élémet h d'ordre q, alors gh est d'ordre pq (théorème 1.12 pour G commutatif) et G est cyclique. Sio les élémets de G \ {1 sot tous d'ordre p ou tous d'ordre q. Supposos les tous d'ordre p. Si g G est d'ordre p, alors le groupe quotiet G/ g est d'ordre q premier, doc cyclique, il est doc egedré par g 0 d'ordre q das G/ g, ce qui etraîe que θ (g 0 ) = p divise q, ce qui est impossible pour p q premiers. Le théorème de Cauchy (voir le paragraphe 1.5) ous doe ue démostratio plus rapide. Ce théorème ous dit qu'il existe das G commutatif u groupe d'ordre p et u d'ordre q, ces groupes sot cycliques et o a aisi u élémet d'ordre p et u élémet d'ordre q. Le théorème précédet ous dit que pour p, q premiers disticts, il existe à isomorphisme près, u seul groupe d'ordre pq, à savoir pq. ( ) 2 Pour p = q premier, le théorème précédet est faux comme le motre l'exemple de p qui est d'ordre p 2 o cyclique puisque tous ses élémets disticts du eutre sot d'ordre p. E utilisat le théorème 2.7 et les actios de groupe (paragraphe 4), o peut motrer qu'u ou au p 2 groupe d'ordre p 2 avec p premier est commutatif isomorphe au groupe cyclique ( ) 2 groupe o cyclique (théorème 4.5). p Théorème 2.9 (chiois) Le groupe p q q sot premiers etre eux. Das ce cas p q est cyclique si, et seulemet si, les etiers p et est isomorphe à pq. Démostratio. Le groupe p est commutatif et pour p, q premiers etre eux, le q théorème précédet ous dit qu'il est cyclique. Si p et q e sot pas premiers etre eux les groupes additifs pq et p e peuvet être q isomorphes puisque 1 est d'ordre pq das pq et tous les élémets de p ot u ordre q qui divise le ppcm de p et q qui est strictemet iférieur à pq.

7 Sous-groupes d'u groupe cyclique Sous-groupes d'u groupe cyclique Le théorème qui suit ous dit que les sous-groupes d'u groupe cyclique sot cycliques et que pour tout diviseur d de, il existe u sous-groupe de G d'ordre d. Ce résultat 'est pas vrai pour u groupe i quelcoque comme ous le verros avec l'étude du groupe symétrique au chapitre 3 (A 4 qui est d'ordre 12 'a pas de sous-groupes d'ordre 6). Théorème 2.10 Soit G = g u groupe cyclique d'ordre 2. Pour tout diviseur d de, il existe u uique sous-groupe d'ordre d de G, c'est le groupe cyclique H = g d. Démostratio. Pour tout diviseur d de, H = g d est u sous-groupe cyclique de G et le théorème 1.12 ous dit qu'il est d'ordre θ ( ) g d = = d. d Réciproquemet soit H u sous-groupe de G d'ordre d, u diviseur de. Si d = 1, o a alors H = {1 = g. Si d 2, H 'est pas réduit à {1, doc il existe u etier k compris etre 1 et 1 tel que g k H et o peut poser : p = mi { k {1,, 1 g k H. E écrivat, pour tout h = g k H, k = pq + r avec 0 r p 1 (divisio euclidiee par p), o a g r = g k (g pq ) 1 H et écessairemet r = 0. O a doc H g p H, soit H = g p. Avec g = 1 H, o déduit que est multiple de p et l'ordre de H est d = p = p, c'est-à-dire que H = g d. U tel sous-groupe d'ordre d est doc uique. Réciproquemet, o peut motrer qu'u groupe i ayat la propriété du théorème précédet est écessairemet cyclique (voir [26], exercice ). Pour G =, d diviseur de, l'uique sous-groupe d'ordre d de G est H = d 1 = m, où m = d. Ce sous-groupe est isomorphe à et il y e a autat de sous-groupes de d de diviseurs de. Ce résultat est e fait u cas particulier du suivat. que Théorème 2.11 Soiet G u groupe et H u sous-groupe distigué de G. Les sous-groupes du groupe quotiet G/H sot de la forme K/H où K est u sous-groupe de G qui cotiet H. Démostratio. Soit K u sous-groupe de G qui cotiet H. Comme H est distigué das G, il l'est aussi das K et : K/H = {gh g K G/H = {gh g G est u sous-groupe de G/H. Réciproquemet soit L u sous-groupe de G/H et : K = {g G gh L O a H L (pour g H, o a gh = H = 1 L puisque L est u groupe) et K est u sous-groupe de G (si g K, o a gh = g L, doc g 1 H = g 1 = g 1 L et pour g 1, g 2 das K, o a g 1 g 2 H = g 1 g 2 L). Comme H est distigué das G, il l'est das K et K/H = {gh g K = L par costructio. Le théorème précédet ous dit que si H est u sous-groupe distigué de G, o a alors ue bijectio etre les sous groupes de G/H et les sous-groupes de G qui cotieet H.

8 38 Groupes moogèes, groupes cycliques. Exemples Exemple 2.4 Les sous-groupes de Γ = {z C z = 1 = e 2iπ sot les e 2iπ d = Γ d où d est u diviseur de et il y e a autat que de diviseurs de. Corollaire 2.2 Pour tout etier 2, o a : = d D φ (d) où D est l'esemble des diviseurs strictemet positifs de (formule de Möbius). ( e 2iπ ) d Démostratio. Pour tout d D, o ote ψ (d) le ombre d'élémets d'ordre d das le groupe. Comme l'ordre d'u élémet divise l'ordre du groupe, o a = motrer que ψ (d) = φ (d) pour tout d D. Dire que ψ (d) > 0 équivaut à dire qu'il existe das et le groupe H = {0, x,, (d 1) x est alors u sous-groupe d'ordre d de = d D ψ (d) et il ous sut de au mois u élémet x d'ordre d, c'est doc l'uique sous-groupe d'ordre d de et il cyclique isomorphe à, il est doc équivalet de d dire que x est u géérateur de H et comme il y a φ (d) tels géérateurs, o a ψ (d) = φ (d). Au paragraphe 9.4 ous doos deux autre démostratios de la formule de Möbius. Le théorème 2.10 ous permet de motrer le théorème de Cauchy das le cas commutatif. Théorème 2.12 (Cauchy) Soit G u groupe commutatif i d'ordre 2. Pour tout diviseur premier p de il existe das G u élémet d'ordre p. Démostratio. O procède par récurrece sur l'ordre 2 de G. Pour = 2, c'est clair puisque G = {1, g est le seul sous-groupe d'ordre 2. Supposos le acquis pour les groupes commutatifs d'ordre m <, où 3. O se doe u groupe commutatif G d'ordre, u diviseur premier p de et u élémet g G \ {1. Si G = g, alors G est cyclique et g est d'ordre. Pour tout diviseur premier p de, l'élémet h = g p est d'ordre p das G. Si G g et p divise m = card ( g ) <, alors l'hypothèse de récurrece ous assure de l'existece d'u élémet h das g qui est d'ordre p. Supposos e que G g et p e divise pas m = card ( g ). Comme p est premier e divisat pas m, il est premier avec m et le groupe quotiet G/ g est commutatif d'ordre r = < divisible par p (p divise = rm et p est premier avec m, le théorème de Gauss m ous dit alors que p divise r). L'hypothèse de récurrece ous assure alors de l'existece d'u élémet h d'ordre p das G/ g. Comme l'ordre s de h est multiple de θ ( h ) = p (exercice 1.14), k = h s p est d'ordre p das G. Remarque 2.6 Pour G commutatif o cyclique et d diviseur ( quelcoque ) de, il 'existe pas 3 écessairemet d'élémet d'ordre d das G. Par exemple, G = est d'ordre 8 avec tous 2 ses élémets disticts du eutre d'ordre 2 et il 'existe pas d'élémet d'ordre 4. Ou plus simplemet, pour G o cyclique et d =, il 'existe pas d'élémet d'ordre.

9 Sous-groupes multiplicatifs d'u corps commutatif Sous-groupes multiplicatifs d'u corps commutatif Das ce paragraphe, ous allos vérier que, pour tout corps commutatif K, les sous-groupes is du groupe multiplicatif K sot cycliques. Exercice 2.3 Motrer que, pour tout etier 1, il existe u uique sous-groupe de (C, ) d'ordre et que ce groupe est cyclique. Solutio 2.3 Si G est u sous-groupe d'ordre 1 de (C, ), o a alors z = 1 pour tout z G (théorème de Lagrage), doc G est coteu das le groupe Γ des racies -èmes de l'uité et G = Γ puisque ces esembles sot de même cardial. Exercice 2.4 Détermier les sous-groupes is du groupe multiplicatif R. Solutio 2.4 Si G R est u groupe d'ordre 1, o a alors x = 1 pour x G et G est coteu das l'esemble : { { 1, 1 si est pair = {x R x = 1 = {1 si est impair O a doc écessairemet = 1 et G = {1 ou = 2 et G = { 1, 1. Exercice 2.5 Motrer que tout sous-groupe d'ordre 1 du groupe( O 2 + (R) ) des matrices de 2π rotatios du pla vectoriel euclidie R 2 est cyclique egedré par R (rotatio d'agle 2π ). Solutio 2.5 Le groupe O 2 + (R) est isomorphe au groupe multiplicatif Γ des ombres complexes de module égal à 1, u isomorphisme état déi par l'applicatio : ( ) cos (θ) si (θ) R (θ) = e iθ. si (θ) cos (θ) U sous-groupe i de O 2 + (R) est doc idetié ( ) à u sous-groupe i de Γ, doc de C, et e 2π coséquece il est cyclique egedré par R. Théorème 2.13 Tout sous-groupe i du groupe multiplicatif K = K \ {0 d'u corps commutatif K est cyclique. Démostratio. Soit (G, ) u sous-groupe d'ordre de K. Il existe das le groupe i commutatif G u élémet g 0 d'ordre m égal au ppcm des ordres des élémets de G (théorème 1.13). L'ordre de tout élémet de G divisat m, o déduit que tout g G est racie du polyôme P (X) = X m 1, ce qui doe racies distictes de P das K, mais sur u corps commutatif u polyôme de degré m a au plus m racies 1, o a doc m et m =. Le groupe G d'ordre ayat u élémet d'ordre est cyclique. Si K est u corps i, il est alors commutatif (démostratio o évidete) et e coséquece K est cyclique. E particulier, pour p 2 premier le groupe p = p \{0 est cyclique d'ordre p 1. De maière plus géérale, o peut motrer le résultat suivat. 1. Ce résultat est faux sur u corps o commutatif, voir par exemple le corps des quaterios.

10 40 Groupes moogèes, groupes cycliques. Exemples Théorème 2.14 Si p ( est u ) ombre premier impair et α u etier supérieur ou égal à 2, alors le groupe multiplicatif des élémets iversibles de est cyclique. p α p α ( ) Pour p = 2, le groupe multiplicatif est cyclique pour α = 1, α = 2 et o cyclique 2 α pour α 3. Démostratio. Voir le paragraphe 9.6.