Amérique du Sud EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Les trois parties suivantes sont indépendantes Partie A Partie B Partie C

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1 Amérique du Sud EXERCICE 6 poits Commu à tous les cadidats Ue etreprise est spécialisée das la fabricatio de ballos de football. Cette etreprise propose deux tailles de ballos : ue petite taille, ue taille stadard. Les trois parties suivates sot idépedates. Partie A U ballo de football est coforme à la réglemetatio s il respecte, suivat sa taille, deux coditios à la fois (sur sa masse et sur sa circoférece). E particulier, u ballo de taille stadard est coforme à la réglemetatio lorsque sa masse, exprimée e grammes, appartiet à l itervalle [40 ; 450] et sa circoférece, exprimée e cetimètres, appartiet à l itervalle [68 ; 70].. O ote X la variable aléatoire qui, à chaque ballo de taille stadard choisi au hasard das l etreprise, associe sa masse e grammes. O admet que X suit la loi ormale d espérace 430 et d écart type 0. Détermier ue valeur approchée à 0 3 près de la probabilité P(40 X 450).. O ote Y la variable aléatoire qui, à chaque ballo de taille stadard choisi au hasard das l etreprise associe sa circoférece e cetimètres. O admet que Y suit la loi ormale d espérace 69 et d écart type s. Détermier la valeur de s, au cetième près, sachat que 97 % des ballos de taille stadard ot ue circoférece coforme à la réglemetatio. O pourra utiliser le résultat suivat : Lorsque Z est ue variable aléatoire qui suit la loi ormale cetrée réduite, alors P( β Z β) = 0,97 pour β,7. Partie B L etreprise affirme que 98 % de ses ballos de taille stadard sot coformes à la réglemetatio. U cotrôle est alors réalisé sur u échatillo de 50 ballos de taille stadard. Il est costaté que 33 d etre eux sot coformes à la réglemetatio. Le résultat de ce cotrôle remet-il e questio l affirmatio de l etreprise? Justifier la répose. (O pourra utiliser l itervalle de fluctuatio) Partie C L etreprise produit 40 % de ballos de football de petite taille et 60 % de ballos de taille stadard. O admet que % des ballos de petite taille et 5 % des ballos de taille stadard e sot pas coformes à la réglemetatio. O choisit u ballo au hasard das l etreprise. O cosidère les évèemets : A : «le ballo de football est de petite taille», B : «le ballo de football est de taille stadard», C : «le ballo de football est coforme à la réglemetatio» et C, l évèemet cotraire de C.. Représeter cette expériece aléatoire à l aide d u arbre de probabilité.. Calculer la probabilité que le ballo de football soit de petite taille et soit coforme à la règlemetatio. 3. Motrer que la probabilité de l évèemet C est égale à 0, Le ballo de football choisi est pas coforme à la réglemetatio. Quelle est la probabilité que ce ballo soit de petite taille? O arrodira le résultat à 0 3. EXERCICE 4 poits Commu à tous les cadidats Cet exercice est u questioaire à choix multiples. Aucue justificatio est demadée. Pour chacue des questios, ue seule des quatre propositios est correcte. Chaque répose correcte rapporte u poit. Ue répose erroée ou ue absece de répose elève pas de poit. O otera sur la copie le uméro de la questio suivi de la lettre correspodat à la propositio choisie.. Das u espace orthoormé de l espace, o cosidère les poits : A( ; 5 ; ), B(3 ; ; ) et C( ; 3 ; ). Le triagle ABC est : a. rectagle et o isocèle b. isocèle et o rectagle c. rectagle et isocèle d. équilatéral. Das u repère orthoormé de l espace, o cosidère le pla P d équatio x y + 3 z = 0 et le poit A( ; 5 ; ). Ue représetatio paramétrique de la droite d, perpediculaire au pla P et passat par A est : a. x t x t y 5 t b. y 5 t z 3 t z 3 t c. x 6 t x t y 3 t d. y 4 t z 5 3 t z 3 t

2 3. Soit A et B deux poits disticts du pla. L esemble des poits M du pla tels que MA. MB = 0 est : a. l esemble vide b. la médiatrice du segmet [AB] c. le cercle de diamètre [AB] d. la droite (AB) 4. La figure ci-cotre représete u cube ABCDEFGH. Les poits I et J sot les milieux respectifs des arêtes [GH] et [FG]. Les poits M et N sot les cetres respectifs des faces ABFE et BCGF. Les droites (IJ) et (MN) sot : a. perpediculaires b. sécates, o perpediculaires c. orthogoales d. parallèles EXERCICE 3 5 poits Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité 3 O cosidère la suite umérique (u ) défiie sur par : u 0 = et pour tout etier aturel, u + = u 3 u. Partie A : Cojecture. Calculer les valeurs exactes, doées e fractios irréductibles, de u et u.. Doer ue valeur approchée à 0 5 près des termes u 3 et u Cojecturer le ses de variatio et la covergece de la suite (u ). Partie B : Validatio des cojectures O cosidère la suite umérique (v ) défiie pour tout etier aturel, par : v = u 3.. Motrer que, pour tout etier aturel, v + = v. Démotrer par récurrece que ; pour tout etier aturel, v a. Démotrer que, pour tout etier aturel, v + v = v v b. E déduire le ses de variatio de la suite (v ). 4. Pourquoi peut-o alors affirmer que la suite (v ) coverge? 5. O ote l limite de la suite (v ). O admet que l appartiet à l itervalle [ ; 0] et vérifie l égalité : l = l. Détermier la valeur de l. 6. Les cojectures faites das la partie A sot-elles validées? EXERCICE 3 5 poits Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité Ue ville possède u réseau de vélos e libre service dot deux statios A et B se situet e haut d ue collie. O admet qu aucu vélo des autres statios arrive e directio des statios A et B. O costate pour chaque heure qu e moyee : 0 % des vélos présets à l heure à la statio A sot toujours à cette statio. 60 % des vélos présets à l heure à la statio A sot à la statio B et les autres sot das d autres statios du réseau ou e circulatio. 0 % des vélos présets à l heure à la statio B sot à la statio A, 30 % sot toujours à la statio B et les autres sot das d autres statios du réseau ou e circulatio. Au début de la jourée, la statio A comporte 50 vélos, la statio B 60 vélos. Partie A Au bout de heures, o ote a le ombre moye de vélos présets à la statio A et b le ombre moye de vélos présets à la statio a 50 B. O ote U la matrice coloe et doc U 0 = b. 60. Détermier la matrice M telle que U + = M U.. Détermier U et U. 3. Au bout de combie d heures reste-t-il u seul vélo das la statio A?

3 Partie B Le service décide d étudier les effets d u approvisioemet des statios A et B cosistat à apporter après chaque heure de foctioemet 30 vélos à la statio A et 0 vélos à la statio 8. Afi de coduire cette étude, il décide de modéliser la situatio présete de la maière suivate : Au bout de heures, o ote α le ombre moye de vélos présets à la statio A et β le ombre moye de vélos présets à la statio 50 B. O ote V la matrice coloe et V 0 = Das ces coditios V + = M V + R avec R = 0 0. O ote I la matrice et N la matrice I M. 0 a. O désige par V ue matrice coloe à deux liges. Motrer que V = M V + R équivaut à N V = R. b. O admet que N est ue matrice iversible et que N, 4 0, =.,, 6 E déduire que V = Pour tout etier aturel, o pose W = V V. a. Motrer que W + = M W. b. O admet que : pour tout etier aturel, W = M W 0, 0, 0, pour tout etier aturel, M =. 0,6 0,3 Calculer, pour tout etier aturel, V e foctio de. c. Le ombre moye de vélos présets das les statios A et B a-t-il tedace à se stabiliser? EXERCICE 4 5 poits Commu à tous les cadidats O désire réaliser u portail comme idiqué à l aexe. Chaque vatail mesure mètres de large. Partie A : modélisatio de la partie supérieure du portail O modélise le bord supérieur au vatail de droite du portail avec ue foctio f défiie sur l itervalle [0 ; ] par : 4 x f ( x) x e b 4 où b est u ombre réel. O ote f ' la foctio dérivée de la foctio f sur l itervalle [0 ; ].. a. Calculer f '(x), pour tout réel x apparteat à l itervalle [0 ; ]. b. E déduire le ses de variatio de la foctio f sur l itervalle [0 ; ].. Détermier le ombre b pour que la hauteur maximale du portail soit égale à,5 m. 4 x 5 Das la suite la foctio f est défiie sur l itervalle [0 ; ] par f ( x) x e x. 4 4 Partie B : détermiatio d ue aire Chaque vatail est réalisé à l aide d ue plaque métallique. O veut calculer l aire de chacue des plaques, sachat que le bord iférieur du vatail est à 0,05 m de hauteur du sol. x 4 x 5. Motrer que la foctio F défiie sur l itervalle [0 ; ] par : F( x) e est ue primitive de la foctio f E déduire l aire e m de chaque vatail. O doera la valeur exacte puis ue valeur approchée à 0 près de cette aire. (O s itéresse ici à l objet «vatail» sas faire référece à so eviroemet). Partie C : utilisatio d u algorithme O désire réaliser u portail de même forme mais à partir de plaches rectagulaires disjoites de largeur 0, m, espacées de 0,05 m. Pour le vatail de droite, le coi supérieur gauche de chaque plache est situé sur le bord supérieur du vatail (voir l aexe de l exercice 4) et le bas de chaque plache à 0,05 m de hauteur. Les plaches sot umérotées à partir de 0 : aisi la première plache à gauche porte le uméro 0.. Doer l aire de la plache uméro k.. Recopier et compléter l algorithme suivat pour qu il calcule la somme des aires des plaches du vatail de droite. Variables Les ombres X et S sot des réels Iitialisatio O affecte à S la valeur 0 O affecte à X la valeur 0 Traitemet Tat Que X + 0,7 < S pred la valeur S + X pred la valeur X + 0,7 Affichage O affiche S 3

4 Aexe de l exercice 4 Aexe de l exercice 4 EXERCICE 6 poits Commu à tous les cadidats Partie A. P(40 X 450) = 0,03 CORRECTION Y 69. Soit Z, Z suit ue loi ormale cetrée réduite s P( 68 Y 70) = P Z s s = 0,97 doc P Z s s = 0,97 soit,7 s doc s soit s 0,46,7 Partie B ( ) ( ) I 50 =,96 p p p ; p,96 p p avec p = 0,98 et = 50 doc I 50 = [ 0,967 ; 0,993 ] Il est costaté que 33 d etre eux sot coformes à la réglemetatio doc la fréquece observée est f = = 0,93 0,93 I 50 doc au risque 5 %, o rejette l affirmatio de l etreprise. 4

5 Partie C.. P(A C) = 0,4 0,98 = 0,39 A 0,98 C 3. P(C) = P(A C) + P(B C) P(B C) = 0,6 0,95 = 0,57 doc P(C) = 0,39 + 0,57 = 0,96 0,4 0,0 C P( A C ) 0, 4 0, P ( A) C P( C ) 0, 96 9 soit eviro 0,. 0,6 C 0,95 B 0,05 C EXERCICE 4 poits Commu à tous les cadidats. Répose b. AB a pour coordoées ( ; 3 ; ) doc AB = = 4 AC a pour coordoées ( ; ; ) doc AC = = 6 BC a pour coordoées ( ; ; 3) doc BC = = 4 Le triagle ABC est isocèle o rectagle.. Répose c U vecteur ormal au pla P est ( ; ; 3), la droite d est perpediculaire au pla P doc a pour vecteur directeur doc a et b sot faux. x 6 t 6 t La droite de représetatio paramétrique y 3 t passe par A si et seulemet si 3 t 5 soit si et seulemet si t =. z 5 3 t 5 3 t 3. Répose c. Soit I le milieu de [AB], MA. MB = ( M I IA ). ( M I IB ) ( M I IA ). ( M I IA ) MA. MB = MI IA doc MA. MB = 0 MI = IA MI = IA L esemble des poits M du pla tels que MA. MB = 0 est le cercle de cetre I de rayo IA doc le cercle de diamètre [AB]. 4. Répose c. Soit K le milieu de [EF] IJ. MN = I J. (M K + K J + J N ) I J. M K + I J. K J + I J. J N La droite (MK) est perpediculaire au pla (EFG) doc orthogoale à (IJ) doc I J. M K = 0 I et J sot les milieux de [HG] et [GF] doc (IJ) est parallèle à (HF) de même (KJ) est parallèle à (EG). Les diagoales d u carré sot perpediculaires doc (HF) et (EG) sot perpediculaires doc (IJ) et (KJ) sot perpediculaires doc IJ. K J = 0 La droite (JN) est perpediculaire au pla (EFG) doc orthogoale à (IJ) doc IJ. J N = 0 doc IJ. MN = 0 Les droites (IJ) et (MN) sot orthogoales 5

6 EXERCICE 3 5 poits Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité Partie A : Cojecture. u = 5 et u = 3 8. u 3 =,999 et u 4 = 3 3. La suite (u ) semble être croissate et coverger vers 3. Partie B : Validatio des cojectures. pour tout etier aturel, v + = u + 3 = 9 u 3 u = ( u 6 u 9) = (u 3) = v. Iitialisatio : v 0 = u 0 3 = 3 = doc v 0 0 Hérédité : Motros que pour tout etier aturel, si v 0 alors v + 0. v + = v or 0 v doc v 0 doc v + 0. Coclusio : La propriété est iitialisée et héréditaire doc pour tout etier aturel, v a. v + = v doc v + v = v + v = v v v v b. pour tout etier aturel, v 0 doc v 0 doc v doc v 0, v 0 doc v v 0 doc v + v 0 doc la suite (v ) est croissate. 4. Pour tout de N, v 0 doc la suite (v ) est majorée par 0, elle est croissate doc la suite (v ) coverge. 5. l vérifie l égalité : l = l doc l = l doc soit l = 0 soit l =, l appartiet à l itervalle [ ; 0] doc l = 0 6. v = u 3, la suite (v ) est croissate doc v + v > 0 or v + v = u + u doc u + u > 0 doc la suite (u ) est croissate. la suite (v ) coverge vers 0 or v = u 3, doc u = v + 3 doc la suite (u ) coverge vers 3. Les cojectures faites das la partie A sot validées. EXERCICE 3 5 poits Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité Partie A. Soit A l évéemet : «le vélo est préset à l heure à la statio A» Soit B l évéemet : «le vélo est préset à l heure à la statio B» Soit R l évéemet : «le vélo est, à l heure, das d autres statios du réseau ou e circulatio.». a + = 0, a + 0, b et b + = 0,6 a + 0,3 b 0, 0, la matrice M telle que U + = M U est M = 0,6 0,3. 0, 0,. U = M U 0 = 0,6 0, = , 0, U = M U = 0,6 0,3 6 8 =

7 0, 0, 3. U 3 = M U = 0,6 0,3 8 4 = 4 0, 0, U 4 = M U 3 = 0,6 0,3 4 = 6 0, 0, U 5 = M U 4 = 0,6 0,3 = 6 3 Au bout de 5 heures, il e reste plus qu u seul vélo das la statio A. Partie B 0. a. I = doc I V = V 0 N V = R (I M) V = R I V M V = R V = M V + R b. N V = R V = N, 4 0, R V =,, V = a. W = V V doc W + = V + V = M V + R (M V + R) W + = M V M V = M (V V) doc W + = M W b. W 0 = V 0 V = doc W 0 = W = M 0, 0, 0, 0, 6 W 0 et M = doc W = 0,6 0,3 0,6 0, W = V V doc V = W + V doc V = V = 44 ou ecore V = doc W = 6 c. doc lim 0 doc lim a 44 et lim b 5 Le ombre moye de vélos présets das les statios A et B a tedace à se stabiliser à log terme autour de 44 vélos à la statio A et 5 à la statio B. EXERCICE 4 5 poits Commu à tous les cadidats Partie A : modélisatio de la partie supérieure du portail u ( x) x u '( x). a. Pour tout réel x apparteat à l itervalle [0 ; ], soit 4 x v ( x) e v '( x) 4e 4 x 4 x 4 x alors f '( x) e 4 x e 4 x e x b. La foctio expoetielle est strictemet positive sur R doc f (x) a le même sige que 4 x doc pour tout réel x apparteat à l itervalle [0 ; ], f (x) 0 f est décroissate sur [0 ; ].. f est décroissate sur [0 ; ] doc so maximum est atteit e 0 et est égal à f (0) or soit b =,5 ou ecore 5 b doc 4 4 x 5 f ( x) x e. 4 4 f (0) b,5 doc b =,5 0,5 4 7

8 Partie B : détermiatio d ue aire x u ( x) u '( x). Pour tout réel x apparteat à l itervalle [0 ; ], soit x v ( x) e v '( x) 4e 4 x x 4 x 5 F '( x) e 4 e x 5 F '( x) x e x 5 F '( x) x e f ( x) doc F est ue primitive de f sur [0 ; ] x alors :. La foctio f est positive sur [0 ; ] doc l aire comprise etre l axe des abscisses et la courbe est A = A = F() F(0) or F() = e et F(0) = doc A = e A = e 8 8 Le bord iférieur du vatail est à 0,05 m de hauteur du sol doc l aire A d u vatail est égale e m à : 5 8 A = A 0,05 soit A = e A = e soit eviro,5 m Partie C : utilisatio d u algorithme. O cosidère la plache uméro k (plache hachurée) : 0 f ( x) d x Sa largeur est : 0, Chaque plache a pour largeur 0, m et il existe u espace etre deux plaches doc les abscisses des poits A k sot espacées de 0,7 doc A k a pour abscisse 0,7 k La plache est à 0,05 du sol doc sa logueur est égale à l ordoée de A k 0,05 soit f (0,7 k) 0,05 So aire est doc égale à 0, [ f (0,7 k) 0,05 ] 0, 68 k 5 A = 0, 0,7 k e , 68 k 6 A = 0, 0,7 k e 4 5. Variables Les ombres X et S sot des réels Iitialisatio O affecte à S la valeur 0 O affecte à X la valeur 0 Traitemet Tat Que X + 0,7 < 4 X 6 S pred la valeur S + 0, X e 4 5 X pred la valeur X + 0,7 Affichage O affiche S 8