ELECTROTECHNIQUE. Chapitre 4 Inductances et bobines. Électromagnétisme. Michel PIOU. Édition 29/05/2010

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1 ELECTROTECHNIQUE Électromagnétsme Mchel PIOU Chaptre 4 Inductances et bobnes Édton 9/05/010 Extrat de la ressource en lgne MagnElecPro sur le ste Internet

2 Table des matères 1 POURQUOI ET COMMENT?... 1 INDUCTANCES ET BOBINES Inductance (ou auto-nductance ou self-nductance ou nductance propre)..... Dfférents modèles pour une bobne à noyau ferromagnétque Bobne avec composante contnue de la tenson ou du courant CE QUE J AI RETENU DE CE CHAPITRE PROBLEMES ET EXERCICES Chap 4. Exercce 1 : Inductance propre Chap 4. Exercce : Calcul d une nductance de lssage Chap 4. Exercce 3 : Energe emmagasnée dans un crcut magnétque Chap 4. Exercce 4 : Justfcaton de la consttuton d une nductance de lssage REPONSES DU CHAPITRE INDUCTANCES ET BOBINES... 0 Copyrght : drots et oblgatons des utlsateurs Ce document est extrat de la ressource MagnElecPro qu est dsponble en verson numérque sur le ste Internet IUT en lgne Je ne renonce pas à ma qualté d'auteur et aux drots moraux qu s'y rapportent du fat de la publcaton de mon document. Les utlsateurs sont autorsés à fare un usage non commercal, personnel ou collectf, de ce document et de la ressource MagnElecPro, notamment dans les actvtés d'ensegnement, de formaton ou de losrs. Tout ou parte de cette ressource ne dot pas fare l'objet d'une vente - en tout état de cause, une cope ne peut pas être facturée à un montant supéreur à celu de son support. Pour tout extrat de ce document, l'utlsateur dot mantenr de façon lsble le nom de l auteur Mchel Pou, la référence à MagnElecPro et au ste Internet IUT en lgne. Mchel PIOU - Agrégé de géne électrque IUT de Nantes - FRANCE

3 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes POURQUOI ET COMMENT? Dans les deux premers chaptres nous avons abordé les notons théorques ndspensables pour parvenr aux applcatons concrètes. Il s agssat prncpalement de la conservaton du flux du champ d nducton magnétque, de la lo de Faraday, du théorème d Ampère et des règles d orentaton assocées. Nous allons mantenant étuder dverses façons de décrre le comportement d un bobnage ( 1 ). On trouve des bobnages dans les nductances, les transformateurs ou les moteurs électrques. Prérequs : La maîtrse des chaptres 1 et est ndspensable. Objectfs : Les bobnages, assocés ou non à des crcuts magnétques sont des objets dont le comportement peut être complqué. Notre objectf va être d assocer à ces objets des modèles décrvant ce comportement. Un modèle est une descrpton plus ou mons smplfée du comportement réel d un objet. Ce chaptre présente les modélsatons les plus couramment assocées aux bobnages. Le terme nductance désgne le modèle le plus smple qu on assoce à une bobne. Méthode de traval : La noton de «modèle» sera au cœur de ce chaptre. La modélsaton par «nductance» qu sera suve dans le chaptre suvant par la noton «d nductances mutuelles» nous condura ensute à la modélsaton des transformateurs et des moteurs électrques. Elle ne consttue donc pas un gadget qu ne servrat à ren, mas, ben au contrare, un élément essentel de notre progresson. Il ne faudra donc pas se contenter «d avor entendu parler de». En fn de chaptre, le paragraphe nttulé ce que j a retenu de ce chaptre permettra de vérfer ndvduellement que les connassances essentelles ont ben été acquses. Traval en autonome : Pour permettre une étude du cours de façon autonome, les réponses aux questons du cours sont données en fn de document. (1)Le terme bobne ou bobnage désgne l objet technque (enroulement d un fl conducteur qu consttue une ou pluseurs spres).

4 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes - INDUCTANCES ET BOBINES..1 Inductance (ou auto-nductance ou self-nductance ou nductance propre).1.1 Défnton d une nductance propre. * Sot une bobne de N spres parcourue par un courant. Ce courant engendre une nducton, et donc un flux dans les spres de cette bobne. S on retent les hypothèses smplfcatrces suvantes: Absence de tout champ d nducton magnétque d orgne extéreure à la bobne. Pas de phénomène de saturaton magnétque. Le crcut magnétque éventuel est tel qu on pourra lu applquer l hypothèse lnéare ( B r = µ. H r ). Dans ces condtons, l'nducton magnétque en tout pont de l'envronnement de la bobne (et donc le flux dans celle-c) est proportonnelle au courant qu la traverse. φ = L. = flux total dans les N spres de la bobne ( ). L est un coeffcent de proportonnalté entre le flux total φ et le courant. Il est appelé "nductance propre". ( 3 ) L'unté d'nductance est le Henry (symbole H) Exemple de calcul d une nductance propre: Sot un bobnage de 5 spres carrées de 4 cm de côté parcouru par un courant de 15 A et placé dans l ar en dehors de toute nfluence magnétque extéreure. Le comportement magnétque de celu-c a été smulé afn de calculer le flux dans chacune de ses spres. (Les spres étant proches les unes des autres, chacune d elles consttue presque une boucle fermée. On peut donc calculer le flux qu la traverse). ( )Dans ce cours: ϕ désgnera toujours pour nous le flux dans 1 spre du bobnage (ou le flux dans une secton du crcut magnétque) et φ le flux total dans le bobnage. ( 3 ) «propre» dans le sens de «par elle-même». En anglas : «self»

5 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes - 3 La smulaton a perms d obtenr la valeur du flux dans chacune des 5 spres (numérotées c-contre de 1 à 5) pour un courant de 15 A dans celles-c: 15 A ϕ ϕ = 1, Wb, ϕ = 1, = 18710,. Wb... 6 Wb.1.3 em exemple de calcul d une nductance propre: En rasonnant sur la symétre du montage, détermner ϕ 4 et ϕ 5. En dédure le flux total dans le bobnage. Calculer l nductance propre de ce bobnage. (Réponse 1:) 15 A Le bobnage précédent a été monté sur un crcut magnétque qu, malgré un pett entrefer, canalse assez ben les lgnes de champ. Comme précédemment, la smulaton a perms d obtenr la valeur du flux dans chacune des 5 spres pour un courant de 15 A: ϕ = ϕ = ϕ = ϕ = ϕ = 47510,. Wb On constate que dans ce cas partculer, le flux total est égal au flux dans une spre multplé par le nombre de spres. Calculer la nouvelle nductance propre du bobnage. (Réponse :).1.4 Relaton tenson courant dans une nductance. S les hypothèses suvantes sont vérfées: Absence de tout champ d nducton magnétque d orgne extéreure à la bobne. Le crcut magnétque éventuel est tel qu on pourra lu applquer l hypothèse lnéare ( B r = µ. H r ). Crcut magnétque ndéformable ( l nductance du bobnage est constante). * n u Pour une bobne de résstance nterne r, orentée en conventon récepteur. La lo de Faraday permet d écrre: dφ( t) ut ( ) r.( t) et ( ) r.( t) r t L d (.( ). t ) = = + = + d( t ) S on néglge la résstance ut ( ) = L. Attenton : Cette dernère relaton n est vrae que s toutes les hypothèses précédentes sont vérfées!

6 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes - 4 Une bobne ndéformable solée de toute nfluence magnétque extéreure, présentant une résstance nterne néglgeable et telle qu on pusse applquer à son crcut magnétque l hypothèse lnéare peut donc être modélsée par une nductance L..1.5 Exemple de calcul à la man B Le crcut magnétque c-contre est consttué d'un tore de matérau ferromagnétque sotrope non saturé de perméablté magnétque absolue µ supposée constante. N spres s Il présente une secton drote S, traversée par un flux ϕ. La longueur de sa fbre moyenne est : l. u l Il est équpé d'un bobnage de N spres parcourues par un courant. Ce bobnage est supposé "sans futes", c'est à dre que tout le flux créé par celu-c passe dans le tore. L ensemble est ndéformable. La résstance du fl est néglgée. Avec les hypothèses smplfcatrces usuelles: Exprmer le flux ϕ(t) dans une secton S en foncton de (t) et des paramètres du montage. En dédure l'nductance L de ce bobnage. (Réponse 3:). Dfférents modèles pour une bobne à noyau ferromagnétque. Dans les chaptres précédents, nous avons toujours consdéré les bobnes sans tenr compte de leurs mperfectons (résstance des conducteurs, fute d'nducton dans le crcut magnétque, non-lnéartés dues à la saturaton ou nfluence des pertes fer). L'objectf de ce paragraphe est donc d'étuder les bobnages en prenant en compte tout cela. On ntrodura dfférents modèles plus ou mons précs, car plus ou mons proches de la réalté, mas auss plus ou mons dffcles à élaborer et à manpuler.

7 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes Flux de fute, nductance de fute. Consdérons une smple bobne montée sur un crcut magnétque. Avec un logcel de smulaton, nous avons établ une carte des lgnes de champ dans ce crcut pour dfférentes valeurs de la perméablté magnétque de celu-c. Pour µ r = 1, le crcut magnétque se comporte comme de l ar. Les lgnes de champ ne sont pas canalsées. Pour µ r = 50, l essentel des lgnes de champ se referme dans le crcut magnétque. µ r = 1 µ r = 5 µ r = 10 Chaque spre de la bobne est traversée par un flux dt prncpal ϕ c (qu prend en compte les lgnes de champ d nducton qu se referment ntégralement dans le crcut magnétque) et par un flux de fute (qu prend en compte les lgnes de champ d nducton qu se referment au mons partellement dans l ar). µ r = 50 Le flux prncpal ϕ c est commun à toutes les spres. Lorsque µ r est grand (Les valeurs courantes vont de 500 à !), on peut consdérer que le flux prncpal occupe quasment tout le crcut magnétque. On pourra le calculer avec les méthodes déjà rencontrées. Le flux de fute consttue le pett reste; l est dffcle à calculer à la man. Il n est pas nécessarement le même dans toutes les spres de la bobne.

8 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes - 6 Parce que le flux de fute de chaque spre prend en compte des lgnes de champ qu se referment partellement dans l ar, on peut consdérer qu l est proportonnel au courant dans la bobne quel que sot l état de saturaton du crcut magnétque. ϕ c Sot par exemple le crcut magnétque c-contre. La bobne est consttuée de N spres, sa résstance est r. u futes Le flux prncpal commun à toutes les spres est noté ϕ c (flux commun). Le flux dans une spre de la bobne est donc ϕ c + un flux de fute. La somme des flux de fute de toutes les spres de la bobne est notée φ f. Sot φ le flux total dans la bobne (c est-à-dre la somme des flux dans chaque spre de la bobne). On a donc φ = N. ϕ + φ c f en général N. ϕ >> φ. c f S comme c est le cas c-dessus, le crcut magnétque présente un pett entrefer, on consdère que celu-c est traversé par le flux ϕ c et que l entrefer fat parte du crcut magnétque. De ce paragraphe, on retendra que le flux qu on prend en compte dans un calcul à la man d un crcut magnétque (avec le théorème d Ampère et la lo de conservaton du flux) néglge un pett reste appelé flux de fute. (Ce derner prendra toute son mportance dans l étude du transformateur). Dès mantenant on dot se famlarser avec ce vocabulare de façon à comprendre ce que sgnfe l hypothèse smplfcatrce crcut magnétque sans futes qu sera adoptée dans les exercces de ce chaptre.

9 .. Modélsaton d une bobne. MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes - 7 Le flux total φ f est proportonnel à la force magnétomotrce N qu le produt (pas de saturaton en l'are) φ f est proportonnel à. φ f = L f.. Le coeffcent de proportonnalté L f est appelé "nductance de fute". u( t ) = r.( t ) + dφ = r.( t ) + d ( φ + N. ϕ ) f c dφ f dϕc = r.( t ) + + N. { 1 3 d( t ) e L f. * r dφ f L f Il est donc mantenant possble d'établr un premer schéma équvalent d'une bobne: La relaton entre e et peut être complexe. Nous ne l'envsagerons que dans tros cas partculers d où découleront tros modèles assocés à ceux-c: u dϕ e = N. c Crcut magnétque complètement saturé. Crcut magnétque lnéare. Crcut magnétque saturable en régme permanent alternatf snusoïdal....1 Modèle s le crcut magnétque est complètement saturé: B B = constante B dans le crcut magnétque = constante H ϕ c = constante e(t) = 0 0 H Le schéma équvalent de la bobne est alors: r * S le crcut magnétque est très saturé, le L f dpôle «bobne» se comporte comme sa résstance nterne en sére avec une pette nductance (de fute) u Lorsque le crcut magnétque est saturé, s la résstance nterne et l nductance de fute sont fables, la bobne se comporte presque comme un court-crcut!

10 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes Modèle s le crcut magnétque est non saturé avec l'approxmaton lnéare. B = µ.h B S le cycle d'hystéréss du matérau peut être rédut à une drote (B = µ.h) avec µ = constante ( 4 ) H Dans ce cas le flux ϕ(t) est proportonnel au courant (t) N. ϕ L.( t ). Le coeffcent de proportonnalté L H est appelé c = H "nductance prncpale" (ou "nductance de magnétsaton"). e( t dϕc ) = N. = L H d( t ). Le schéma équvalent de la bobne est alors: * u r L f L H dϕ e = N. c L f est appelée "nductance de fute. On reconnaît dans L f + LH l nductance propre L du paragraphe précédent : ( L = L f + L H ). Ce modèle néglge les pertes fer dans le crcut magnétque car l are du cycle d hystéréss du matérau ferromagnétque est consdérée nulle....3 Modèle s le crcut magnétque est saturable et le régme permanent alternatf snusoïdal. S la bobne est ndéformable et soumse à une tenson u(t) alternatve snusoïdale. S sa résstance "r" est fable, et s le flux prncpal commun N. ϕ c est très supéreur au flux de fute φ f, l est possble d'affner le modèle: (En général, r est fable de façon à mnmser les pertes Joule dans le bobnage. Dans un crcut magnétque sans entrefer ou avec un fable entrefer, φ f est généralement très fable devant le flux prncpal N. ϕ c ) e( t dϕc( t ) ) = N. >> dφ f ( t ) = L f d( t ) d( t ) dϕc En conséquence u( t ) = = r.( t ) + L f. + N. e( t ) 13 e Donc e(t) est "vosn" de u(t). S u(t) est alternatf snusoïdal e(t) est sensblement alternatf snusoïdal. ( 4 ) Cette approxmaton est souvent fate pour modélser les phénomènes en évtant une approche trop complquée.

11 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes - 9 Sot, par exemple, e(t) = E max.cos(ωt) avec un crcut magnétque de secton drote S et sans entrefer. Le flux ϕ c(t) est la prmtve de e( t ) Emax ϕ c ( t ) =.sn( ωt ) + constante. N N. ω ϕc( t ) Emax constante B fer ( t ) = =. sn( ωt ) + = Bmax.sn( ωt ) + Bo S N. ω.s S En régme permanent, cette constante d ntégraton Bo est nécessarement nulle car l n exste aucune source d exctaton contnue susceptble de mantenr une composante contnue du champ d nducton magnétque (La tenson d almentaton est alternatve snusoïdale). E ϕ ( ) max c t =.sn( ωt) B fer ( t) = N. ω Emax.sn( ωt) N. ω. S ( Connassant la relaton B fer ( H fer ) dans le crcut magnétque (cycle d'hystéréss c-après), on en H fer. l dédut H fer (t) et donc (t) qu est égal à ( t) =. (avec l : longueur de la fbre moyenne). N B fer B fer 0 e t 0 ( t) = H fer. l N (t) n'est pas alternatf snusodal. Toutefos, lorsque le cycle d hystéréss n attent pas trop la saturaton, on peut approxmer (t) à une snusoïde. Cette snusoïde peut, elle-même être décomposée en la somme d un cosnus (a(t)) et d un snus (r(t)) a r Vor l anmaton : t

12 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes - 10 Donc s l nfluence de r et de Lf est fable, s la tenson u(t) est alternatve snusoïdale, s le crcut magnétque n est pas soums à une trop forte saturaton et s le régme est permanent: le courant (t) consommé par la bobne est approxmatvement snusoïdal, consttué d une composante actve et d une composante réactve. La pussance actve perdue par les pertes fer dans la bobne correspond à la pussance actve absorbée par le bobnage mons les pertes joule dans r. Elle s'exprme par : P fer =[ e(t).(t)] moy = { e(t).[a(t) + r(t)]} moy = [ e(t).a(t)] moy + [ e(t).r(t)] moy P fer =E eff.ia eff cos(0) + E eff.ir eff cos(π/) = E eff.ia eff La valeur effcace de a sera donc chose de façon à rendre compte de la pussance actve perdue sous forme de pertes fer. On en dédut le schéma équvalent d'une bobne (avec les hypothèses précédentes). * u r L f R f L H Modèle en régme permanent alternatf snusoïdal s -e est vosn de u a r dϕ e = N. c r: résstance du bobnage. L f: nductance de fute du bobnage. R f: La pussance dsspée dans R f est égale aux pertes fer dans le crcut magnétque. (R f vare avec la fréquence et peut varer avec l ampltude B max de l nducton). L H: nductance prncpale ou nductance de magnétsaton.( L H: vare avec la fréquence et peut varer avec l ampltude B max de l nducton).

13 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes Bobne avec composante contnue de la tenson ou du courant. S on applque au bobnage une tenson u(t) qu présente une composante contnue U moy. On a alors U moy = r.i moy ; (la valeur moyenne de la tenson aux bornes de l'nductance L f est nulle ans que e moy ). En effet, en régme pérodque: ( e( t )) to+ T d( ϕ( t )) 1 d( ϕ( t )) 1 moy = N. = N.. = N. = moy T T to.[ ϕ( to+ T ) ϕ( to )] 0 La composante contnue de (t) n'est lmtée que par la résstance r du bobnage U moy Imoy =. La résstance r est généralement fable; I moy rsque donc d'être élevé et d'engendrer R des pertes Joule mportantes dans la bobne DANGER s l n y a pas de contrôle du courant! S on applque au bobnage un courant (t) présente une composante contnue I moy. la f.m.m. présente une composante contnue le champ magnétque H dans le crcut N.I moy magnétque présente une composante contnue le flux ϕc dans une secton du crcut magnétque présente une composante contnue. La composante contnue du flux n'engendre pas de f.e.m. dans le bobnage, en effet: sot ϕc( t ) = ϕc moy + ϕc a( t ) dϕc( t ) dϕc a( t ) e( t ) = N. = N. ( avec ϕc : composante alternatve ) a Mas la composante contnue du flux peut saturer le crcut magnétque et donc modfer la relaton B(H) augmentaton des pertes fer et dmnuton de l'nductance prncpale L H.

14 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes CE QUE J AI RETENU DE CE CHAPITRE Dans l hypothèse d un crcut magnétque lnéare, qu est-ce qu une nductance propre? En excluant un fonctonnement à haute fréquence (où l faudrat fare ntervenr l effet de peau et les capactés parastes), on peut consdérer la bobne comme un dpôle obéssant à la lo dφ ut ( ) = r.( t) +. Est-ce que je connas chaque terme de cette équaton ans que les conventons d orentaton qu y sont assocées? Nous avons établ tros modèles dfférents pour la bobne. Chacun de ces modèles est une vson smplfée de la réalté dans un contexte partculer. Sus-je capable de représenter ces tros modèles avec les hypothèses qu les accompagnent? (La démonstraton un peu longue du trosème modèle est à comprendre mas l n est pas ndspensable de la retenr). Est-ce que je maîtrse les termes: Inductance propre? Inductance prncpale? Inductance de fute? Est-ce que je comprends l équaton L H + L f = L? Comment se comporte une bobne en régme permanent vs à vs de la composante contnue de son courant ou de sa tenson? Au résumé du chaptre, on peut mantenant ajouter la noton d nductance. A-je mémorsé le résumé suvant? orentaton borne * lo de Lenz conservaton du flux fem «e» φ ϕ B H fmm N d e = φ * Lo de Faraday u dφ( t) u( t) = r. + ar: B = µo.h ferromagnétque lnéare: B = µ.h B=µο.µr.H lnéare Théorème d Ampère nductance (en lnéare) réluctance (en lnéare) ferromagnétque cas général: B H nonlnéare

15 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes PROBLEMES ET EXERCICES. Chap 4. Exercce 1 : Inductance propre. Sot le tore c-contre dont les caractérstques sont les suvants: Nombre de spres: N Longueur de la fbre moyenne: l Perméablté magnétque absolue: µ = constante Secton drote du tore: S La résstance du fl sera néglgée. Le bobnage de N spres est supposé "sans futes"; c'est-à-dre que tout le flux créé par celu-c passe dans le tore. traverser celu-c par le chemn le plus court. La largeur de l'entrefer est e << l. e étant fable, les lgnes d nducton sont supposées a) Placer la borne de polarté "*" cohérente avec l'orentaton de la normale aux spres n chose. b) Exprmer l'nducton magnétque B(t) dans le tore en foncton du courant (t) dans le bobnage et des paramètres du crcut magnétque. c) Exprmer ϕ(t) dans le crcut magnétque en foncton de (t) et des paramètres du crcut magnétque. d) En dédure l'nductance propre «L» du dpôle "bobnage". e) S (t)=imax.sn(ωt), exprmer u(t). f) Détermner la relaton qu le Ueff à Bmax et à la fréquence en régme alternatf snusoïdal. g) S (t) = Io = constante, exprmer u(t). h) S u(t) = Uo = constante et (0) = I, exprmer (t).

16 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes - 14 ϕ a 3a Chap 4. Exercce : Calcul d une nductance de lssage. 1) Sot la bobne à noyau ferromagnétque c-contre. Le bobnage est consttué de N1 Spres. Le crcut magnétque est supposé sans fute. Sa perméablté magnétque absolue µ est constante. Ses dmensons géométrques sont données en foncton d un paramètre «a». a a a a a a) Orenter le courant 1 dans ce bobnage ans que la borne de polarté de façon cohérente avec le sens chos pour le flux ϕ dans le crcut magnétque. b) Défnr l nductance propre L1 du bobnage en foncton de 1, ϕ et des constantes de la bobne. c) Détermner la longueur de la fbre moyenne en foncton de a. d) Etablr le schéma électrque équvalent au crcut magnétque. Calculer la réluctance équvalente R en foncton de µ et a e) Calculer l nductance propre L1 du bobnage en foncton des paramètres N1, µ et a de la bobne à noyau ferromagnétque. Calculer sa valeur numérque sachant que a = 185 mm, µ = 1, SI et N1 = 59 spres. Calculer la valeur du champ d nducton dans le crcut magnétque s 1 = 0 A. La densté de courant dans le cuvre est de 5 A.mm - de secton, avec un coeffcent de fosonnement de,95 ( 5 ). De façon à détermner s l encombrement de la bobne est compatble avec la talle de la fenêtre au centre du crcut magnétque, calculer la secton totale (cuvre + solants) de la bobne. Conclure. ϕ a e 3a ) Sot la bobne à noyau ferromagnétque c-contre. Le bobnage est consttué de N = 707 Spres. Le crcut magnétque est supposé sans futes. Sa perméablté magnétque absolue est µ = 1, SI. Ses dmensons géométrques sont données en foncton d un paramètre a = 53 mm et d une épasseur de chacun de ses 4 entrefers : e = 4,3 mm. a) Calculer la valeur numérque de son nductance propre L. (On rappelle que µ = 4π.10 SI ) e a b) Calculer la valeur du champ d nducton dans le crcut magnétque s = 0 A. a a a a c) La densté de courant dans le cuvre est de 5 A.mm - avec un coeffcent de fosonnement de,95. Calculer la secton totale (cuvre + solants) de la bobne. Conclure. o 7 ( 5 ) Rapport entre la secton du bobnage et la secton du cuvre (prenant en compte les vdes d ar entre les conducteurs et l encombrement des solants).

17 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes ) Avec une même échelle, représenter la vue de face des deux bobnes précédentes (crcut magnétque et encombrement du bobnage). Conclure sur l ntérêt d un entrefer. Chap 4. Exercce 3 : Energe emmagasnée dans un crcut magnétque 1) Sot la bobne à noyau ferromagnétque c-dessous. Le bobnage est consttué de N = 100 spres. * u ϕ 1,1 B (T) La bobne comporte N = 100 spres. De façon à smplfer les calculs, le cycle d hystéréss du crcut magnétque est modélsé par les deux segments de drote c-contre H (A/m) La résstance nterne de la bobne ans que les futes magnétques sont néglgées. Secton drote du crcut magnétque : S = 4cm. Longueur de la fbre moyenne : l = 5 cm. 1-a) Avec la modélsaton retenue, que peut-on dre des pertes joule et des pertes fer? 1-b) Calculer la valeur du courant I sat au delà de laquelle le crcut magnétque est saturé? A 1 A 1-c) Etablr la relaton entre la tenson u( t ) aux bornes de la bobne et le courant (t) dans celle-c lorsque le crcut magnétque n est pas saturé, pus lorsque le crcut magnétque est saturé. En dédure le graphe de u ( t ) 0 0,5 ms u t 1-d) Représenter le graphe de la pussance nstantanée. En dédure l énerge maxmum qu peut être stockée dans l'ensemble bobne + crcut magnétque. 0 p t 1-e) Montrer que, lorsque le crcut magnétque est en régme lnéare ( B = µ. H ), l'énerge W emmagasnée dans l'ensemble bobne + crcut V.B magnétque est exprmée par : W = avec :.µ * V : volume du crcut magnétque V = S. l * B : valeur de l'nducton magnétque * µ : perméablté absolue du crcut magnétque. 0 t

18 ( W( t )) MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes - 16 d ( Partr de = u( t ). ( t ) pus, en utlsant la lo de Faraday et le Théorème d'ampère, d( W( t )) d( B( t )) exprmer en foncton de V, B( t ), µ et ). Intégrer ensute en posant que pour B = 0 ( crcut magnétque désamanté ), l énerge magnétque est nulle. En dédure que l'énerge maxmale W max que peut emmagasner l'ensemble bobne + crcut V.Bmax magnétque est : Wmax = avec B max : valeur maxmale de l'nducton magnétque..µ Fare l applcaton numérque pour B max = 1,1 T u -a) On réalse mantenant dans le crcut magnétque un entrefer d'épasseur e On supposera que cet entrefer est suffsamment étrot pour n'occasonner aucune fute magnétque. ( 6 ) Dans ce cas, détermner l expresson lttérale de l expresson du courant magnétque est saturé. I sat W max et au delà de laquelle le crcut -b) Pour une valeur varable de e (0 < e < 1mm), représenter en foncton de e : le graphe de et le graphe de l'ntensté I sat (en lmte de saturaton). W max -c) Exprmer l'nductance L ( 7 ) du bobnage. Pour une valeur varable de e, représenter le graphe de L en foncton de e : (0 < e < 1mm). ( 6 ) Cela sgnfe qu on néglge le flux de fute qu ne traverse pas l entrefer et qu on néglge l épanoussement des lgnes d nducton (vsble au nveau de l entrefer). Le calcul sera condut comme s toutes les lgnes d nducton traversaent l entrefer perpendcularement aux faces de celu-c. ( 7 ) nductance du bobnage lorsque le crcut magnétque n est pas saturé.

19 Chap 4. Exercce 4 : MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes - 17 Justfcaton de la consttuton d une nductance de lssage D après un extrat du concours externe CAPLP 1998 Géne Electrque opton électrotechnque et énerge Données : Inductance 4,4 mh ; Courant : valeur moyenne : I moy = 410 A. Ondulaton alternatve snusoïdale d ampltude 65 A Inducton maxmale : B max = 1,5 T ( 8) 7 Rappel de la perméablté magnétque du vde : µ o = 4. π.10 SI Perméablté magnétque relatve du crcut magnétque : r = 1500 µ (Saturaton magnétque néglgée). On néglge l épanoussement polare des lgnes de champ. Secton du bobnage Coeffcent de fosonnement du bobnage ( 9 ) : K b = = 3 Secton du cuvre Densté de courant maxmum dans le cuvre : J = 5 A / mm ( 10) Secton du fl de cuvre : S = 95 mm. Nombre de spres : N = 6 cu max Entrefer : e = x 1 mm Longueur moyenne du crcut magnétque : l f = 0,98 m Crcut magnétque de la bobne Toutes les dmensons sont en mm Bobnage sur la colonne centrale a) Détermner d après la fgure la valeur de la surface de fer «S». Justfer la valeur de S en supposant que le matérau est utlsé jusqu à son nducton maxmum. b) Calculer la valeur effcace du courant I eff. Justfer la secton utlsée pour les conducteurs. fer fer c) Justfer la surface S b du bobnage. ( 8 ) Lmtée par la saturaton qu augmente les pertes fer. ( 9 ) Les solants et les vdes entre les spres occupent les /3 de la secton totale du bobnage. ( 10 ) Lmtaton due à l échauffement lé à l effet Joule.

20 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes - 18 d) Calculer les réluctances du «fer» et de «l ar» vues par le bobnage. En dédure la valeur effectve de l nductance du bobnage. e) L énerge magnétque stockée dans un matérau de volume «v» s exprme, en régme lnéare, B.v par la relaton : Wm =. Calculer l énerge magnétque maxmale W f stockée dans le.µ max «fer» du crcut magnétque et l énerge magnétque maxmale stockée dans l ensemble des entrefers. W e max Sachant que l énerge magnétque stockée dans l ar envronnant la bobne (en dehors des entrefers) est néglgeable, en dédure l énerge magnétque maxmale stockée par le crcut magnétque (fer + entrefers) W t max A partr de l expresson de l énerge stockée dans une nductance, vérfer la valeur de l nductance de la bobne.

21 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes - 19 Complément au sujet de CAPLP 1998 : Dmensonnement d une nductance Avec les courbes obtenues en -b) et -c) de l exercce Energe emmagasnée dans un crcut magnétque page 15, on constate qu en présence d un entrefer de 1 mm, l nductance L, le courant lmte de saturaton I sat et l énerge magnétque maxmum stockée Wmax sont détermné à plus de 75% par l entrefer. On se propose donc d étuder le dmensonnement du crcut magnétque en néglgeant le «fer» par rapport à l entrefer. On néglge également les futes. Cette démarche permet de fare un premer chox de crcut magnétque pour construre une nductance. Pour des consdératons thermques, la secton du conducteur consttuant la bobne est détermnée par le courant effcace qu dot le traverser. (On retendra une valeur typque de densté de courant Ieff J max = 5 A / mm ). La secton du fl de cuvre est donc Scu (en prenant la valeur J max mmédatement supéreure dsponble chez les fabrcants de fl conducteur). Sot Sb la secton du bobnage avec un coeffcent de fosonnement du bobnage ( 11) : Secton du bobnage Ieff J. Sb Ieff K b = N.. Kb = Sb, I eff =. (avec J J max Secton du cuvre J N.K = b S ) cu On appelle facteur de crête le rapport F = c I I max eff -a) En adoptant les hypothèses c-dessus : exprmer l nductance L en foncton de N, et e. S fer exprmer le courant dans le bobnage en foncton de B, e, et N. En dédure foncton de B, e et N. max.i max exprmer L sous la forme L.I.F. I. max c eff I max en En dédure que max L. I = B max J. S. fer K. S b b.f c Vor le corrgé de cet exercce dans MagnElecPro pour l applcaton de ce résultat au chox du crcut magnétque et du bobnage. ( 11 ) Les solants et les vdes entre les spres occupent usuellement envron les /3 de la secton totale du bobnage.

22 MagnElecPro Chaptre 4 :Inductances et bobnes REPONSES DU CHAPITRE INDUCTANCES ET BOBINES. Réponse 1: φ ϕ 4 = ϕ et ϕ 5 = ϕ1. φ = ϕ 1 + ϕ + ϕ 3 + ϕ 4 + ϕ 5 L = = Retour 057, µ H Réponse : φ 5. ϕ L = = = 15, 8 µ H Retour Réponse 3: En supposant le champ d nducton unforme sur une secton drote (et en applquant le théorème d Ampère sur la fbre moyenne) : H = N. l B = µ. H N. = µ. l ϕ = B. S N. = µ.. S l φ = N. ϕ = N. N N µ.. S =.. =. l l R µ. S. = L. N L = (On en dédut que la réluctance peut s exprmer en (Henry) -1 : R H 1 RetourT