Sommets du graphe Degré du

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1 Chapitre 2 : Résolutio de problèmes à l aide de graphes. Thème. Graphes o orietés & Matrices associées. Exemples de situatios et vocabulaire de base. Défiitios - U «graphe» est u schéma costitué de poits (appelés sommets) Certais de ces sommets sot reliés etre eux par des segmets (appelés arêtes). - «l ordre du graphe» est le ombre de sommets. - Dire que deux sommets sot «adjacets» sigifie qu ils sot reliés par ue arête. - Le «degré» d u sommet est le ombre d arêtes dot ce sommet est ue extrémité..2 Exemple : Réseau routier Le graphe ci-cotre représete certaies routes d u secteur. Chaque lieu du secteur est représeté par u sommet du graphe. a) Quel est l ordre de ce graphe? b) Combie ce graphe a-t-il d arêtes? c) Citer des sommets d ordre ;2 ;3 ;4 d) Citer deux sommets adjacets, puis deux sommets o adjacets. e) Calculer la somme des degrés des sommets du graphe (o pourra compléter le tableau ci-cotre). Comparer cette somme et le ombre d arêtes du graphe. Sommets du graphe Degré du sommet Premier Derier sommet sommet??? Propriété : Das u graphe o orieté, la somme des degrés des sommets est égale au double du ombre d arêtes..3 Plusieurs situatios représetées par u même graphe.3. Situatio Le cube. Dessier u cube. Tracer u graphe dot les sommets représetet les faces du cube. Deux sommets du graphe serot adjacets, lorsque les faces du cube qu ils représetet ot u côté commu. Quel est l ordre du graphe obteu. Quel est le ombre d arêtes du graphe obteu? Quel est le degré de chacu des sommets du graphe obteu?.3.2 Situatio 2 Les espios. Trois pays evoiet chacu à ue coférece deux espios. Chaque espio doit espioer tous les espios des autres pays. Représeter cette situatio par u graphe, dot les sommets sot les espios, et les arêtes les surveillaces etre espios..3.3 Situatio 3 U octaèdre régulier. U octaèdre régulier est u solide à 8 faces, chacue de ces faces état u triagle équilatéral. Tracer u octaèdre régulier. Tracer u graphe dot les sommets représetet les sommets de l octaèdre. Lycée Berthelot L.Gulli Page sur 8 T ES Spé chapitre2

2 Deux sommets du graphe serot adjacets lorsque les sommets de l octaèdre qu ils représetet formet u côté de cet octaèdre. Pour chacue des 3 situatios précédetes, dresser le tableau Sommets/Degrés du sommet E comparat les trois tableaux, que pouvez vous e déduire?.4 Orgaisatio d u touroi. Au cours d u week-ed, o orgaise u touroi de football. Les orgaisateurs prévoiet de pouvoir egager 4 ou 5 équipes. Ils doivet élaborer u plaig des recotres das chacue de ces hypothèses..4. Plaig pour quatre équipes : O ote A,B,C,D les 4 équipes, et o représete le touroi par le graphe G ci-cotre a) Combie de matchs devra disputer chaque équipe? b) Combie de matchs serot disputés au cours de ce week-ed? c) quelle relatio y-a-t-il etre les deux ombres précédets? d) pour ce plaig existe-t-il des sommets o adjacets. Défiitio : u graphe est complet lorsque tous ses sommets sot reliés deux à deux adjacets. Exemple G est complet..4.2 Plaig pour 5 équipes. O ote A,B,C,D,E les 5 équipes. Représeter par u graphe G 2, le plaig pour lequel chaque équipe recotre les quatre G est-il complet? autres équipes. 2 Combie de recotre disputera chaque équipe? Combie de recotres serot disputés pour ce plaig? Aurait-o pu orgaiser u plaig das lequel chaque équipe e dispute que 3 recotres?.4 Sous graphe et sous graphe stable d u graphe doé. Touroi etre 6 équipes : Le graphe G ci-cotre idique les recotres à disputer etre six équipes, A,B,C,D,E,F. O se propose de répartir ces recotres sur 4 Demi jourées du week-ed de faço que chaque équipe e dispute qu ue seule recotre par demi jourée. a) Costruire u ouveau grapheg, dot les sommets serot les arêtes du grapheg (doc représetet les recotres à disputer etre deux équipes AB par exemple) et les arêtes du graphe G idiquet que les recotres e peuvet se dérouler simultaémet. b) Choisir u sous esemble G' de sommets de G et les arêtes les reliat. G ' est appelé sous graphe de G c) Doer u sous esemble G" de sommets de G dot les sommets e sot reliés par aucue arête. G" est appelé sous graphe stable de G.Doer deux autres Lycée Berthelot L.Gulli Page 2 sur 8 T ES Spé chapitre2

3 sous graphes stables de G d) Trouver ue partitio de G e quatre sous graphes stables. E déduire ue solutio du problème posé..6 Matrice associée à u graphe o orieté : Défiitio : La matrice associée à u graphe d ordre dot les sommets sot umérotés de à, est la matrice carrée de dimesio x, où le terme figurat à la lige i et coloe j est égal au ombre d arêtes reliat i et j. Exemple : Le grapheg ci-cotre représete les liaisos ferroviaires existat etre 5 villes ommées A,A2,A3,A4,A5. a) Compléter le tableau ci-cotre e iscrivat das chaque case le ombre d arêtes qui reliet deux villes. la matrice obteue est la Matrice associée au graphe G. b) observer la symétrie das cette matrice. Que traduit cette symétrie? Thème 2. Circuits das u graphe. 2.. Rappel sur le produit de deux matrices A A2 A3 A4 A5 A 0 A2 A3 A4 A5 3 / A = ; B = calculer les produits A B et B A 2 / 3 2 / 3 résultats obteus. Vérificatio du calcul à la calculatrice TI 82 Stats O défiit la matrice A Touche «MATRIX» Puis EDIT A Défiir l ordre de la matrice A : 2x2, puis etrée. Défiir les coefficiets de A : x=3 x2=/2 2x=2 2x2=/3 Défiir B Pour faire afficher les résultats sous mode fractioaire : MATH FRAC Pour faire le produit AxB Taper MATRIX, NAME A, * MATRIX, NAME B ENTER Faire calculer A*B Puis B*A comparer. 2.2 Logueur d u chemi., comparer les Lycée Berthelot L.Gulli Page 3 sur 8 T ES Spé chapitre2

4 O repred le Graphe G de l activité Précédete qui représete les liges ferroviaires existat etre différetes villes ommées A,A2,A3,A4,A5. 2. Ue chaîe est ue liste ordoée de sommets reliés deux à deux par ue arête. Le ombre d arêtes qui composet ue chaîe est appelé logueur de la chaîe. Ue chaîe est fermée lorsque so origie et so extrémité sot cofodues. Pour le graphe G détermier les chaîes : a) de logueur 2 reliat A à A b) de logueur 2 reliat A à A4 c) de logueur 3 reliat A à A5 d) de logueur 3 reliat A à A2 M et les chaîes de logueur 2.3 Lie etre la matrice O se propose de détermier le ombre de chaîes de logueur 5 reliat A à A5, e utilisat la matrice M associée au graphe G. a) Calculer M², vérifier que le coefficiet a de la matrice M² est égal au ombre de chaîes de logueur 2 qui reliet A à A Vérifier sur le graphe que la matrice M² doe le ombre de chaîes de logueur 2 reliat A et A4 ; A et A5 ; A3 et A4. Nous admettros que le ombre de chaîes de logueur reliat Ai et Aj est égal au coefficiet a de la matrice M ij Avec la calculatrice Calculer la matrice reliat A et A Distace, diamètre. U port est costitué de plusieurs bassis reliés les us aux autres par des passerelles. Das le graphe G ci-cotre les sommets représetet les bassis du port et les arêtes représetet les passerelles qui les reliet. 5 M et e déduire le ombre de chaîes de logueur 5 Compléter le tableau ci cotre qui doe le ombre miimal de passerelles à frachir pour relier deux bassis. Par exemple, le ombre miimal de passerelles à frachir pour relier les sommets C et D est égal à 2 ( ous diros que la distace de C à D est 2). A B C D E F A 0 B C 2 D E F Lycée Berthelot L.Gulli Page 4 sur 8 T ES Spé chapitre2

5 Quelle est la plus grade distace trouvée etre deux sommets? Ce ombre est appelé le diamètre du graphe. Commet modifier le graphe G pour obteir u graphe de diamètre 2? 2.5 Graphe coexe. Défiitio : Dire qu u graphe est coexe sigifie qu il existe toujours ue chaîe reliat deux sommets quelcoques, mais disticts du graphe. a) Le graphe G est-il coexe? b) Commet vérifier sur le tableau précédet que le graphe est coexe ou o? Que traduit cocrètemet la coexité pour les bassis? c) Dessier u graphe o coexe d ordre Trajets Euléries. Le dessi ci-cotre représete la partie cetrale des liges d u terrai de teis sur terre battue qu il faut régulièremet balayer. Leurs itersectios sot les sommets d u graphe G, qu o souhaiterait parcourir e emprutat qu ue fois et ue seule chaque arête. Peut-o obteir u tel parcours e partat d u sommet de degré pair? Décrire ue chaîe correspodat à u tel parcours Partat d u sommet de degré impair Défiitios : Ue chaîe Eulériee est ue chaîe qui cotiet chaque arête du graphe ue et ue seule fois. U cycle eulérie est ue chaîe eulériee dot les sommets de départ et d arrivée sot cofodus. L existece de chaîes eulériees ou de cycle euléries das u graphe est doée par le théorème suivat : Théorème d Euler (admis) U graphe coexeg admet ue chaîe eulériee si et seulemet si le ombre de sommets de degrés impairs de G est 0 ou 2, et das le cas où ce ombre vaut 0, il s agit d u cycle eulérie Exemples : Das chacu des cas ci-dessous est-il possible de parcourir ue fois et ue seule toutes les arêtes du graphe sas lever le crayo? Si oui, reviet-o au poit de départ? a) b) c) Algorithme d Euler. Le théorème d Euler permet de dire si ue chaîe eulériee existe ou o. Lycée Berthelot L.Gulli Page 5 sur 8 T ES Spé chapitre2

6 L algorithme d Euler que ous allos exposer ci-dessous sur les deux exemples b) et c) Permet de costruire ces chaîes et cycles euléries. Etape : S il y a deux sommets de degrés impairs, o costruit ue chaîe quelcoque joigat ces deux sommets. Si tous les sommets sot de degré pair o costruit u cycle à partir d u sommet quelcoque. Das les deux cas, si toutes les arêtes sot utilisées, la chaîe est eulériee, o s arrête, Sio o passe à l étape 2. Etape 2 : O choisit u sommet X de la chaîe précédete et o isère ue chaîe fermée X,,X Ne coteat pas deux fois la même arête, et e coteat aucue des arêtes utilisées das les étapes précédetes. Si toutes les arêtes sot utilisées, la chaîe est eulériee, o s arrête, Sio o recommece l étape 2. Etude de l exemple b) Il y a 2 sommets de degrés impairs les sommets 3 et 4 O costruit ue chaîe quelcoque joigat ces deux sommets. Par exemple Il reste des arêtes o utilisées les arêtes 2/3 ;3/4 ;4 /2 o passe à l étape 2 : O choisit u sommet X de la chaîe précédete et o isère ue chaîe fermée X,,X Ne coteat pas deux fois la même arête, et e coteat aucue des arêtes utilisées das les étapes précédetes. Preos X=2 et Iséros la chaîe , à la chaîe de l étape précédete : 3 5 2{ la ouvelle chaîe est eulériee, o s arrête. Etude de l exemple c) tous les sommets sot de degrés pairs (cycle eulérie) Etape : o costruit u cycle à partir d u sommet quelcoque. Exemple : Il reste des arêtes o utilisées les arêtes 3/5 ;5/4 ;4 /2 ;2/3 o passe à l étape 2 : O choisit u sommet X de la chaîe précédete et o isère ue chaîe fermée X,,X Ne coteat pas deux fois la même arête, et e coteat aucue des arêtes utilisées das les étapes précédetes. Preos X=3 et Iséros la chaîe , à la chaîe de l étape précédete : { la ouvelle chaîe est u cycle eulérie, o s arrête. Thème 3. Coloratio d u graphe. 3. Orgaisatio d u exame Problème (P) : O veut orgaiser u exame comportat, outre les matières commues, six matières d optios : Fraçais, Aglais, Mécaique, Dessi idustriel, Iteret, Sport. Les profils des cadidats à optios multiples sot : {Fraçais, Aglais, Mécaique} ; {Dessi idustriel, Sport} ; {Iteret, Sport} ; {Iteret, Mécaique}. Ue épreuve occupe ue demi-jourée ; Quel est le ombre miimal de demi-jourées écessaires pour ces optios? Lycée Berthelot L.Gulli Page 6 sur 8 T ES Spé chapitre2

7 Coveos :. De représeter par u poit chaque matière d optio : F pour fraçais A pour Aglais, M pour Mécaique, D pour dessi idustriel, I pour Iteret, S pour Sport 2. De relier deux matières si elles ot été choisies par u même cadidat. Nous obteos alors le graphe G suivat : a) Questio ( à e pas résoudre tout de suite) Quel est le ombre miimal de couleurs écessaires pour colorer les six sommets de ce graphe de sorte que deux sommets adjacets e soiet jamais de la même couleur. Quel rapport y-a-t-il etre la questio précédete et le problème (P) posé? b) Les trois sommets A,F,M sot deux à deux adjacets, e déduire qu il faut au mois trois couleurs c) vérifier que trois couleurs suffiset d) Résoudre le problème (P) 3.2 Défiitios : Colorer u graphe cosiste à affecter ue couleur à chacu de ses sommets de sorte que deux sommets adjacets e portet pas la même couleur. Le ombre chromatique d u grapheg, oté e gééral χ ( G), est le plus petit ombre de couleurs permettat de colorer u graphe. Quel est le ombre chromatique χ ( G) du graphe précédet? Idiquer u sous-graphe complet G du graphe G, justifier que χ( G ) χ( G) Représeter des graphes complets d ordre 2 ;3 ;4 préciser pour chaque cas le degré des sommets. Quel est le degré de chacu des sommets d u graphe complet d ordre? Quel est le ombre chromatique d u graphe complet d ordre 3? d ordre 4? d ordre? 3.3 Propriété du ombre chromatique. Si m est l ordre du plus grad sous graphe complet de G et si est le plus grad degré de G alors m χ( G) + Pour colorer les graphes, surtout lorsque l ordre est grad il est préférable d utiliser u algorithme de coloriage. 3.4 Algorithme de Welch-Powel Etape N Tâche à effectuer Rager les sommets du graphe das l ordre décroissat de leurs degrés ( pour les ex-aequo faire u choix arbitraire) 2 Choisir ue ouvelle couleur dite «courate» et colorer aisi le premier sommet de la liste o coloré 3 Das la liste des sommets, colorer avec la couleur courat, tous les sommets o adjacets à u sommet coloré avec la couleur courate. 4 Si tous les sommets e sot pas colorés reveir à l étape 2 Lycée Berthelot L.Gulli Page 7 sur 8 T ES Spé chapitre2

8 Applicatio de l algorithme à l exemple Etape M ;A ;F ;I ;S ;D Etape 2 Choix de la couleur courate Coloriage de M e couleur Etape 3 Coloriage de S e couleur Etape 4 il reste A ;F ;I ;S Retour à l étape 2 Choix de la couleur 2 Coloriage de A e couleur 2 Etape 3 Coloriage de I e couleur 2 Etape 4 il reste F ;D ( o adjacets) Que l o colorie e couleur 3 Fi Remarque Nous avos vu que le ombre chromatique du graphe est 3 doc pour cet exemple l algorithme de Welch-Powel a doé le coloriage e u miimum de couleurs, cepedat, Das le cas gééral, cet algorithme e permet pas d obteir ue coloratio utilisat le ombre miimal de couleurs Exemple Pour le graphe ci cotre, combie de couleurs sot écessaires e utilisat l algorithme de Welch? Démotrer que le ombre chromatique de ce graphe est égal à 2 Coclure. Thème 4 : Graphes orietés : Défiitio U graphe orieté est u graphe dot les arêtes sot orietées ; elle e peuvet être parcourues que das u seul ses. 4. Exemple Circuits touristiques : Pour traverser ue chaîe de motages, il faut passer par plusieurs sommets, reliés etre eux par des voies e pouvat être frachies que das u seul ses. O a représeté ci-cotre le graphe orieté associé à cette situatio. L office de tourisme cherche toutes les traversées de E à S, e 4, 5 ou 8 étapes. Ue étape est le passage de E à u sommet ou d u sommet à u sommet à u sommet, ou d u sommet à S. Lycée Berthelot L.Gulli Page 8 sur 8 T ES Spé chapitre2

9 a) Recopier et compléter le tableau ci-cotre das la case (i ;j) o ote si ue flèche relie E M M2 M3 M4 S i à j, sio 0. E b) la matrice A de dimesio 6x6 aisi M 0 obteue est la matrice associée au graphe M2 orieté. M3 Cette matrice est-elle symétrique? M Avec la calculatrice, calculer A, A et A S Déombrer les traversées de logueur 4,5 et 8 et les décrire. 4.2 Boucle das u graphe orieté. Défiitio : Ue flèche qui part d u sommet et qui arrive sur ce même sommet est appelée ue boucle. 0 A = est la matrice d u graphe orieté G. a) Costruire ce graphe. b) détermier toutes les chaîes de logueur 3 de ce grapheg. Thème 5 Graphes étiquetés ; Graphes podérés. 5. Graphes étiquetés 5.. Défiitio : U graphe étiqueté est u graphe orieté dot les arêtes sot affectées d étiquettes Exemple : Accès à u réseau iformatique : L accès au réseau iformatique d ue société est régi par l u des deux graphes étiquetés cidessous: U mot est accepté comme code d accès ( ou recou) si ce mot est ue liste de lettres commeçat par d et se termiat par f, associé à ue chaîe du graphe cosidéré. Pour chacu des deux graphes G et G2 a) les mots «decif» et «daaeebiif» sot-ils des codes d accès? b) doer la liste des codes d accès à 5 lettres recous par chacu des graphes? Avec les lettres a,b,c,d,e,f et i, o souhaite réaliser des codes d accès pour 6 persoes, Lycée Berthelot L.Gulli Page 9 sur 8 T ES Spé chapitre2

10 O choisit les coditios suivates : Chaque code cotiet 5 lettres das l ordre alphabétique. Chaque code commece par a et se fiit par i Seule les lettres b et f peuvet être répétées. Réaliser u graphe étiqueté pour faire ce travail et doer ue liste des 6 codes d accès. 5.2 Graphes podérés 5.2. Défiitios : U graphe podéré est u graphe étiqueté dot toutes les étiquettes sot des ombres positifs. Le poids d ue chaîe das u graphe podéré est la somme des poids des arêtes qui composet la chaîe. Ue plus courte chaîe etre deux sommets est, parmi toutes les chaîes qui reliet ces sommets, ue chaîe de poids miimal 5.2. Exemple Le graphe ci-cotre résume les distaces reliat ue ville D à ue ville A. Plusieurs trajets sot possibles e passat par deux autres villes B ou C Quel est le poids des chaîes DBA DCA DCBA Quelle est la plus courte chaîe reliat D à A? 5.3 Algorithme de Dijkstra Lorsque l ordre d u graphe podéré et le ombre de ses arêtes deviet trop importat, il est impossible de détermier «à la mai» ue plus courte chaîe reliat deux sommets. O dispose alors d u algorithme, appelé algorithme de Djikstra pour résoudre ce problème. Nous allos décrire l algorithme et l appliquer à u exemple U livreur prépare sa tourée. Il doit visiter u certai ombre de ses cliets ommés A,B,C,D,Fet G, e partat de E pour arriver à S. Les liaisos possibles sot représetées sur le graphe ci-cotre. Ce graphe est podéré par la durée e miutes des trajets. Lycée Berthelot L.Gulli Page 0 sur 8 T ES Spé chapitre2

11 Descriptio de l algorithme de Djikstra : Etape Tâche à effectuer Placer tous les sommets das la première lige d u tableau ; Sur la deuxième lige du tableau, écrire le coefficiet 0 sous le poit de départ et le coefficiet sous les autres sommets. 2 Sélectioer le sommet X de coefficiet miimal ; Commecer ue ouvelle lige et rayer toutes les cases vides sous X 3 Pour chaque sommet Y adjacet à X, calculer la somme p du coefficiet de X et du poids de l arête reliat X à Y si p est strictemet iférieur au coefficiet de Y, iscrire px, das la case correspodate de la coloe «Y» ; Sio iscrire le coefficiet de Y et compléter la lige par les coefficiets de la lige précédete. 4 S il existe des sommets o sélectioés, retourer à l étape 2 Sio passer à l étape 5 5 La logueur miimale est le ombre lu sur la derière lige du tableau Ue plus courte chaîe reliat E à S est obteue e remotat les trajets pour arriver à S Applicatio à l exemple du livreur : A B C D E F G S 0 6E 2E 8E 6E 8E 3B 5D 8E D 2D 7A 9A 2D 9A 2D 4C 0F 4C 2G durée miimale 2 miutes trajet à l evers : S-G-F-A-D-B-E, Trajet E-B-D-A-F-G-S. Thème 6 Graphes probabilistes : 6. Défiitios : U graphe probabiliste est u graphe orieté et podéré dot la somme des poids des arêtes issue de chaque sommet vaut La matrice d u graphe probabiliste est appelée la matrice de trasitio. 6.2 Exemple : Evolutio d u électorat : Das u pays imagiaire, à chaque électio, deux partis politiques X et Y s affrotet. O costate que régulièremet 30% des électeurs ayat choisi X à ue électio restet fidèles à X à l électio suivate et 5% de ceux qui ot choisi Y restet fidèles à Y, les autres votet pour le cadidat du parti opposé. Les électios ot lieu tous les 5 as. est u etier aturel, o ote X l évéemet «u électeur vote pour le parti X l aée » Y l évéemet «u électeur vote pour le parti Y l aée » a la probabilité de X et b la probabilité de Y 6.2. Utilisatio d u arbre podéré de probabilité : Pour représeter la situatio précédete o peut utiliser l arbre de probabilité ci-dessous Lycée Berthelot L.Gulli Page sur 8 T ES Spé chapitre2

12 a+ = 0. 3a b Justifier que : b + = 0. 7a b Utilisatio d u graphe probabiliste : O peut aussi utiliser le graphe probabiliste suivat pour représeter la situatio précédete. a) Justifier que ce graphe est bie u graphe probabiliste. b) détermier la matrice M de trasitio de ce graphe probabiliste. c) Le couple P = ( a ; b ) état probabiliste à l étape Justifier, e utilisat le résultat obteu e 6.2., que P = P M E déduire que P P M = 0 +, d) avec la calculatrice calculer M ; M ; M e) E déduire P 2 ; P5 et P5 pour chacu des trois cas suivats : Cas : P 0 = ( 0. 4; 0. 6) ;Cas 2 : P 0 = ( 0. ; 0. 9) ;Cas 3 : P 0 = ( 0. 7; 0. 3) f) Cojecturer u état limite P( x; y ) vers lequel semble coverger la répartitio de l électorat. Vérifier que P = P M Propriété admise : Pour tout graphe probabiliste d ordre 2, dot la matrice de trasitio e comporte pas de 0, l état P coverge vers u état P idépedat de l état P 0. P est appelé état stable et vérifie P = P M Lycée Berthelot L.Gulli Page 2 sur 8 T ES Spé chapitre2

13 EXERCICES : Exercice : Les Pots de Koeigsberg : Le dessi ci- cotre représete les différets quartiers et les pots de la ville de Koeigsberg (qui s appelle aujourd hui Kaliigrad e Russie) Nous avos représeté cette situatio Par le graphe ci-cotre : Quel est l ordre du graphe? Quel est le degré de chacu des sommets? (faire u tableau) Vérifier la propriété sur le ombre d arêtes et la somme des degrés des sommets. Quelle est la matrice de ce Graphe? Exercice 2 : Ue chaîe de 5 magasis otés ;2 ;3 ;4 ;5 décide d ouvrir ses magasies e octure, avec les cotraites suivates : les deux premiers magasis e peuvet pas être ouverts esemble. Il e est de même pour les deux deriers. Au plus u seul magasi parmi les magasis ;3 et 4, peut être ouvert. Représeter cette situatio par u graphe o orieté tel que Chaque magasi est représeté par u poit Deux magasis qui e peuvet pas être ouverts esemble, sot reliés par u segmet Trouver ue solutio au problème, correspod à trouver parmi les 5 poits ;2 ;3 ;4 ;5 U sous esemble coteat le plus possible de ces poits o reliés par u segmet. Compléter le tableau ci- dessous Poit Sous esemble coteat le poit Et respectat les cotraites E déduire ue solutio au problème posé. Exercice 3 : Orgaisatio d u touroi. U touroi de football orgaisé pedat u week-ed réuit sept équipes. Compte teu des cotraites de temps il est impossible de faire jouer chaque équipe cotre les 6 autres. a) Est-il possible de e faire jouer à chaque équipe que 5 matchs? b) Est-il possible de e faire jouer à chaque équipe que 4 matchs? Exercice 4 : Cocert de solidarité (BAC) U cocert de solidarité est orgaisé das Graphe Γ ue grade salle de spectacle A ce cocert sot ivités 7 artistes de reommée iteratioale ommés ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 Certais des musicies ivités refusat de Lycée Berthelot L.Gulli Page 3 sur 8 T ES Spé chapitre2

14 jouer avec d autres ivités, l orgaisateur du spectacle doit prévoir plusieurs parties pour ce spectacle. O a résumé la situatio par le graphe cicotre. Deux sommets adjacets du graphe sigifiet que les deux musicies représetés par ces sommets refuset de jouer esemble.. Détermier la matrice du graphe associé au graphe Γ 2. Quelle est la ature du sous graphe de Γ costitué des sommets ;5 ;6 ;7? Que peut-o e déduire pour le ombre chromatique χ ( Γ) du graphe Γ. 3 Quel est le plus haut degré des sommets de Γ? E déduire u ecadremet de χ ( Γ) 4. Colorer le graphe à l aide de l algorithme de Welch Powel. 5 Combie de parties l orgaisateur doit-il prévoir pour so spectacle? Proposer ue répartitio des musicies pour chacue de ces parties. Exercice 5 : Algorithme d Euler pour la costructio d ue chaîe Eulériee. G est le graphe représeté ci-cotre Vérifier que G est coexe Justifier que G admet ue chaîe eulériee. la costruire à l aide de l algorithme d Euler. Exercice 6 : Graphe G Graphe G2 Graphe G3 Vérifier que les trois graphes ci-dessus sot coexes. Admettet-ils ue chaîe Eulériee? U cycle Eulérie? Das le cas où le graphe cotiet ue chaîe Eulériee mais pas de cycle Eulérie, la costruire à l aide de l algorithme d Euler. Exercice 7 : pour les pots de Koeigsberg ( voir exercice ) existe-t-il ue chaîe eulériee? Exercice 8 (BAC) Coexios e ville Das ue ville V o s itéresse aux pricipales rues permettat de relier différets lieux ouverts au public, à savoir : La Mairie (M), le Cetre commercial ( C ) La Bibliothèque (B) La Piscie (P) et le lycée (L). Chacu des lieux est désigé par B C L M P B 0 0 C 0 0 L M 0 P Lycée Berthelot L.Gulli Page 4 sur 8 T ES Spé chapitre2

15 so iitiale, le tableau ci-cotre doe les rues existat etre ces lieux. Dessier u graphe représetat cette situatio. 2. Motrer qu il est possible de trouver u trajet emprutat ue fois et ue seule toutes les rues de ce pla. Proposer u tel trajet. Est-il possible d avoir u trajet partat et arrivat du même lieu et passat ue fois et ue seule par toutes les rues? Exercice 9 (BAC) Partie A : Etude d u graphe O ote G le graphe ci-cotre. a) G est-il coexe? b) Détermier le degré de chacu des sommets. O pourra doer le résultat sous forme de tableau. c) Justifier l existece d u chaîe eulériee. 2.a) Doer u ecadremer du ombre chromatique de G. b) Motrer que ce ombre chromatique est 3. Partie B : Visite d u musée : O a représeté ci-dessous le pla d u musée Les visiteurs partet de l accueil, visitet le musée et termiet leur visite à la boutique.. Représeter cette situatio par u graphe e précisat ce que représetet arêtes et sommets. 2.a) Pourquoi est-il possible de trouver u circuit où les visiteurs passet ue fois et ue seule par toutes les portes? b) doer u exemple d u tel circuit. 3. Commet colorier les salles, y compris l accueil et la boutique pour que deux salles qui commuiquet par ue porte aiet des couleurs différetes? Exercice 0 : G est le graphe étiqueté ci- dessous Lycée Berthelot L.Gulli Page 5 sur 8 T ES Spé chapitre2

16 Questios G permet de recoaître le mot deabiif G permet de recoaître le mot ddaaecf G permet de recoaître le mot daeci G recoaît exactemet six mots de ciq lettres Exercice Le graphe o orieté ci-cotre représete 7 villages reliés par des routes.les distaces e km des routes existates sot idiquées sur le graphe. Détermier u trajet reliat A à D de logueur miimum. Vrai Faux Exercice 2 Le graphe o orieté ci-cotre représete 6 places d ue même ville.les Temps de parcours, e miutes, pour se redre d ue place à l autre, sot idiquées sur le graphe. Détermier u trajet reliat B à N qui miimise le temps de parcours. Exercice 3: (Graphe orieté) Lycée Berthelot L.Gulli Page 6 sur 8 T ES Spé chapitre2

17 Détermier la plus courte chaîe reliat P à V pour le graphe ci-cotre. Exercice 2 : (BAC): (Graphe orieté) U livreur d ue société de vete à domicile doit, das so après midi, charger so camio à l etrepôt A, livrer ciq cliets que ous oteros B,C,D,E et F, puis retourer à l etrepôt. Le réseau routier, e teat compte des ses de circulatio, et les temps de parcours (e miutes) sot idiqués sur le graphe G ci-cotre. 6. Doer la matrice M associée au graphe G. 2. A la calculatrice calculer M 3. Combie y-a-t-il de chemis de logueur 6 reliat A à A? doer ces chemis. 4. lequel de ces chemis, passe par tous les sommets du graphe et miimise le temps de parcours? 5 Au départ de sa tourée, le livreur a choisi de suivre l itiéraire le plus rapide. Malheureusemet le cliet C est pas préset au passage du livreur et celui-ci décide de termier sa livraiso par ce cliet. Idiquer quel est le chemi le plus rapide pour reveir à l etrepôt A à partir de C? Exercice 4 : (BAC) Deux joueurs de teis A et B décidet de jouer ue partie toutes les semaies. La probabilité que A Gage la partie de la première semaie est 0.7 Si A gage la partie de la semaie, il garde la même stratégie de jeu la semaie suivat, et la probabilité qu il gage alors la partie de la semaie (+) est seulemet de 0.4 Si A perd la partie de la semaie, il chage de stratégie de jeu pour la semaie suivate, et alors, la probabilité qu il gage la partie de la semaie (+) est de 0.9. Pour tout etier supérieur ou égal à, o désige par A l évéemet «A gage le partie de la ième semaie»et par B l évéemet «B gage la partie de la ième semaie», et o ote a =p(a ) le but de l exercice est de rechercher la limite de la suite (a ). Pour tout etier supérieur ou égal à, o désige par P =(a ;-a ) la matrice lige des probabilités associées à la ième semaie.. Décrire la situatio précédete à l aide d u graphe probabiliste, et doer la matrice de trasitio M associée à ce graphe A l aide de la calculatrice, calculer M et M Quelle est la probabilité pour que A gage la 4 ème partie Lycée Berthelot L.Gulli Page 7 sur 8 T ES Spé chapitre2

18 3. Détermier la matrice P( x; x ) telle que P = P M 4. E déduire la limite de la suite (a ) et iterpréter le résultat obteu. Exercice 5 Poissos migrateurs. Deux aquariums A et B sot reliés par u tube par lequel les poissos peuvet passer. Le propriétaire de l aquarium a remarqué que chaque jour 30% des poissos de l aquarium A passet das l aquarium B et 20% des poissos de l aquarium B passet das l aquarium A.O ote a le ombre de poissos présets das l aquarium A au -ième jour et b le ombre de poissos présets das l aquarium B au -ième jour et P = ( a ; b ) l état de l aquarium au -ième jour. Au départ a 0 + b0 = 20 ) Détermier la matrice M telle que P + = P M 2 ) pour tout N, o pose u = a + b, étudier les variatios de la suite u 3 ) pour tout N, o pose v = 3a 2b Démotrer que v est ue suite géométrique. Quel est sa raiso? Doer l expressio de v e foctio de et de v 0 v0 4 ) à l aide des questios précédetes démotrer que a = Exercice 6 (BAC) Ue associatio sportive propose à ses adhérets de pratiquer au choix soit le karaté soit le judo ; chaque adhéret pratique u sport et u seul. Chaque aée les adhérets reouvellet tous leur adhésio. L associatio accueille pas de ouveaux adhérets. Elle compte 800 adhérets. Pour le reouvellemet des adhésios, les doées des aées précédetes permettet d evisager le modèle suivat. 70% des adhérets qui étaiet iscrits au karaté se réiscrivet au karaté. 20% des adhérets qui étaiet iscrits au judo s iscrivet au karaté. E 2003, 200 adhérets étaiet iscrits à la sectio karaté et le reste au judo. O appelle P (a ;b ) la matrice traduisat la répartitio des adhérets selo le sport pratiqué l aée : a représete la proportio des adhérets iscrits au karaté l aée b représete la proportio des adhérets iscrits au judo l aée a +b =. Représeter cette situatio par u graphe probabiliste 2.Détermier l état iitial P 0 (a 0 ;b 0 ) 3.a) Détermier la matrice de trasitio M associée à ce graphe. b) E admettat que, e 2005, 36,25% des adhérets sot iscrits au judo, détermier la répartitio que le modèle evisagé permet de prévoir pour ( Exprimer le résultat sous forme de pourcetage puis doer le ombre d adhérets correspodats). 4. soit P ( x; y) la matrice correspodat à l état stable, c'est-à-dire telle que P = P M a) détermier x et y b) E déduire la limite de a quad ted vers l ifii et iterpréter ce résultat. 5. Das la même ville, u club de judo accepte de ouveaux adhérets : chaque aée le ombre de ses adhérets augmete de 0%. Le club comptait 405 adhérets e E utilisat ue calculatrice, trouver e quelle aée l effectif de ce club sera pour la première fois supérieur à l effectif de la sectio judo de l associatio étudiée das les questios précédetes. Lycée Berthelot L.Gulli Page 8 sur 8 T ES Spé chapitre2