République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

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1 République Algérienne Démocraique e Populaire Minisère de l Enseignemen Supérieur e de la Recherche Scienifique Universié M hamed BOUGARA - BOUMERDES Faculé des Sciences Déparemen de Mahémaiques MEMOIRE DE MAGISTER SPECIALITE : PROBABILITES - STATISTIQUE OPTION : MODELES STOCHASTIQUES Thème INTERPRETATION PROBABILISTE DES EDP ET PROCESSUS DE DIFFUSION Présené par M me KHALDI née BOUZAGHTI Yamina Souenu publiquemen le : Juin 7 Devan le jury composé de : Présiden K. Boukheala Professeur USTHB - Alger Rapporeur H. Osmanov Professeur UMBB - Boumerdes Examinaeur H. Fellag Professeur UMM Tizi-Ouzou Examinaeur N. Abassov M. C. UMBB - Boumerdes Année universiaire 6-7

2 Remerciemens Ce mémoire doi beaucoup à mes promoeurs Messieurs M. MELLAL e H. OSMANOV. J ai bénéficié beaucoup de leur assisance éclairée, aide permanene e précieux conseils. Je leur exprime ma profonde graiude e mes plus vifs remerciemens. Le Professeur K. BOUKHETALA me fai l honneur d acceper de présider le jury de souenance. Je le remercie pour l inérê qu il pore à ce ravail. Mes vifs remerciemens von aux Professeurs H. FELLAG e N. ABASSOV pour avoir accepé de juger ce ravail e de faire parie du jury. J ai rouvé au déparemen de mahémaiques un clima pariculièremen favorable, an sur le plan humain que scienifique, pour mener à bien ce ravail. Que ous mes collègues rouven ici mes sincères remerciemens. Ma reconnaissance va pariculièremen à Monsieur M. DOUMAZ pour ses encouragemens e son aide.

3 A ma fille SIHEM A mon mari A mes parens A oue ma famille

4 Il n exise pas de chemin, il se race en marchan

5 ملخ ص -یھدفھذاالعملإلىإبرازالعلاقةبینمعادلاتالمشتقاتالجزي یةمنالدرجةالثانیةو العملیاتالاتفاقیةللنشربالا ضافةإلىتقدیمبع ضالنتاي جالمحقةأخیرافیمایخصمعادلات المشتقاتالجزي یةبواسطةطراي قاحتمالیة -یكمناعتبارعددكبیرمنحلولمعادلات المشتقاتمنالدرجةالثانیةكاحتمالدالةعملیة النشر -تشكلالصیغالاحتمالیةوالتيیطلقعلیھاعادتااسم صیغفایمنبلاك وسیلةتسمح بالكشفعنعددمنالنتاي جلمعادلاتالمشتقاتالجزي یةالموافقة بواسطةطراي قاحتمالیة. -كماتعتبرحركةبرونیانكوسیلةري یسی ةبالنسبةلنموذجبلاك وسكولسحیثتسمح بانجازمعظمنماذجالا صولفيالنظامالماليوتخضعالا نظمةالمستعملةفيالتطبیقاتإلى بع ضالا ضراباتالتيیمكناعتبارھاعشواي یة. -نقومفيبادئالا مربا عطاءترجمةاحتمالیةلمعادلةالحرارةبفضلحركةبونیان تتجسد العلا قةالتيتربطحركةبونیانومعادلةالحرارةبینبعضأنظمةمعادلةالمشتقاتالجزي یة والعواقبالفیزیاي یةالناجمةعنھاوالمعادلاتالتفاضلیةالاتفاقیة. ثمنثبتأنالنتاي جالتيتحصلناعلیھابالنسبةل "لابلسیان"یمكنتعمیمھالتشملكلالرموز الحسابیةمنالدرجةالثانیةذاتالمعاملالمتغیر حیثتماستبدالفيھذهالحالةحركة برونیانبعملیةالبث. وتمتدراسةنمذجةمنالناحیةالتطبیقیةمنخلالحساباتالحلولالرقمیةلأولارو میلستان"بواسطةبعضالمساي ل. -یمكنتطبیقبع ضالمعادلاتالتفاضلیةالاتفاقیةبصفةمعتبرةفيالنظامالمالي وھذاما نصبواإلیھفيموضوعالجزءالا خیرمنعملنا حیثركزنابوجھالخصو صعلىالتقیم الخیاراتفينموذجبلاكوسكولس.

6 Absrac The objecive of his work is o show he bond beween he parial derivaive equaions of he second order and he sochasic processes of diffusion like having some resuls obained recenly on he parial derivaive equaions by probabilisic mehods. Many soluions of parial derivaive equaions of he second order can be wrien like he hope of a funcional calculus of a process of diffusion. The probabilisic formulas, ofen known as formulas of Feynman-Kac, consiue a ool which makes i possible o show many resuls on he parial derivaive equaion corresponding by probabilisic mehods. The Brownian movemen is, amongs oher hings, he major ool of he model of Black and Scholes and is used o build he majoriy of he models of credis in finance. The sysems appearing in he applicaions are ofen subjeced o disurbances which one can regard as random. One gives iniially he probabilisic inerpreaion of he equaion of hea hanks o he Brownian movemen. The relaionship beween he Brownian movemen and he equaion of hea is illusraed beween cerain sysems of parial derivaive equaions, he physical problems from which hey resul and he sochasic differenial equaions. One shows hen ha he resuls obained for he Laplacian can be generalized wih he operaors of he second order wih variable coefficiens, he Brownian movemen, being, in his case, replaced by a process of diffusion. The pracical poin of view of modelling is sudied in paricular hrough he algorihms of numerical resoluion of Euler and Milsein by he means of some problems. The sochasic differenial equaions find an applicaion significan in finance. I is he objec of he las par of his work in which one is ineresed paricularly in he evaluaion of opions in he model of Black and Scholes.

7 TABLE DES MATIERES INODUCTION CHAPIE Mouvemen Brownien 4. Inroducion 4. Processus sochasiques en emps coninu 5.3 Processus de Markov 6.4 Mouvemen Brownien 9.5 Consrucion du processus de Wiener.6 Maringales à emps coninu 4.7 Exemples de maringales browniennes 4.8 Veceurs gaussiens 6.9 Propriéés 7. Variaion quadraique CHAPIE Inégrale sochasique e calcul d'iô. Consrucion de l'inégrale sochasique. Calcul d'iô 33.3 Exemples d'uilisaion de la formule d'iô 35.4 Formule d'iô mulidimensionnelle 38 CHAPIE 3 Equaions différenielles sochasiques 4 3. Définiions 4 3. Exemples Equaions non homogènes vecorielles Equaions linéaires Soluions faibles Soluion d'une équaion différenielle sochasique 47 CHAPIE 4 Inerpréaion probabilise des équaions aux dérivées parielles 5 4. Lien enre généraeur e maringales 5 4. Inerpréaion probabilise des équaions aux dérivées parielles Cas mulidimensionnel Cas de condiions aux bords La loi de l arcsinus 7 CHAPIE 5 Simulaion des processus de diffusion Inroducion Cas du mouvemen brownien Applicaions 8 CHAPIE 6 Applicaion en finance Inroducion Descripion du modèle Les sraégies auofinancées Changemen de probabilié. Théorème de représenaion de maringales Opion européenne Formule de Black-Scholes par les maringales Formule de Black-Scholes par les équaions aux dérivées parielles CONCLUSION GENERALE 3 BIBLIOGRAPHIE 5

8 INODUCTION Le bu de ce ravail es de monrer le lien enre les équaions aux dérivées parielles du second ordre e les processus sochasiques de di usion ainsi que de présener quelques résulas obenus récemmen sur les équaions aux dérivées parielles par des méhodes probabilises. Les liens enre processus de di usion e équaions aux dérivées parielles son au cenre des ravaux de Kolmogorov dans les années 93. De nombreuses soluions d équaions aux dérivées parielles du second ordre peuven s écrire comme l espérance d une foncionnelle d un processus de di usion. Sous ceraines hypohèses sur f;la soluion u du problème (; x) u (; x) ; (; x) ]; +[ : u (o; x) = f (x) es donnée par la formule u (; x) = E [f (B x )] où fb x ; g désigne le mouvemen brownien à valeurs dans R paran de x à l insan : Si l équaion es, par exemple, donnée sous la forme 8 (; x) + A f (; x) = f (; x) ; (; x) [; T ] R f (T; x) = g (x) ; avec A f (; x) = b (; x) + (; (; x) la formule devien f (; x) = E ;x he ( T ) g X ;x T x R i Il exise des formules analogues pour d aures ypes de condiion au bord, par exemple pour des condiions de ype de Dirichle, e pour des équaions paraboliques. Soi O un domaine borné de R d de fronière régulière, f C (@O) : Alors la soluion u du problème de Dirichle

9 es donnée par la formule 8 < : Au (x) = f (x) u (x) = g (x) u (x) = E [g (X x ( x ))] Z E 4 x O x 3 f (X x (s)) ds5 où X x () es la soluion unique de : Z X () = x + Z b ((X s )) ds + ((X s )) db (s) e si x = inf f > ; X x () (w) = Og es el que E ( x ) < +; Les formules probabilises du ype ci-dessus, souven dies formules de Feynman-Kac, consiuen un ouil qui perme de démonrer de nombreux résulas sur l équaion aux dérivées parielles correspondane par des méhodes probabilises. Elles son l obje de nombreux ravaux [7] ; [8] ; [] ; [] : Le chapire es consacré à la présenaion du mouvemen brownien. Il es inrodui comme limie de marches aléaoires [4] ; [4] ; [9] ;. Le mouvemen brownien es, enre aure, l ouil majeur du modèle de Black e Scholes e ser à consruire la plupar des modèles d acifs en nance. Dans le chapire, quelques noions de base de calcul sochasique son inroduies [] ; [3]. Les sysèmes apparaissan dans les applicaions son souven soumis à des perurbaions que l on peu considérer comme aléaoires. Une par imporane es consacrée à la consrucion de l inégrale sochasique e à l inroducion du calcul di éreniel qui lui es associé : le calcul d Iô. Le chapire 3 es consacré aux équaions di érenielles sochasiques [3] ; [4] ; [9] ; [6] : On monre que la noion de dérive e celle de la di usion d un mouvemen brownien condui à inroduire les soluions des équaions di érenielles sochasiques comme des processus don le comporemen es celui d un mouvemen brownien don la dérive e la di usion dépenden de la posiion e du emps [] ; [8] :

10 Dans le chapire 4, on donne d abord l inerpréaion probabilise de l équaion de la chaleur grâce au mouvemen brownien. Le rappor enre le mouvemen brownien e l équaion de la chaleur es illusré par cerains sysèmes d équaions aux dérivées parielles, les problèmes physiques don ils son issus e les équaions di érenielles sochasiques [5] ; [6] ; [8] ; [] ; [5] :On monre ensuie que les résulas obenus pour le laplacien peuven êre généralisés aux opéraeurs du second ordre à coe ciens variables, le mouvemen brownien, éan, dans ce cas, remplacé par un processus de di usion. Le chapire 5 es consacré aux algorihmes de résoluion numérique d Euler e de Milsein à ravers quelques problèmes. Ce poin de vue praique de la modélisaion es éudié noammen dans [8] ; [5] ; [] : Les équaions di érenielles sochasiques rouven une applicaion imporane en nance. C es l obje du chapire 6 dans lequel on s inéresse pariculièremen à l évaluaion d opions [6] ; [7] ; [4] ; [5] dans le modèle de Black e Scholes. Le problème raié es l évaluaion e la couverure d une opion européenne (call ou pu) sur une acion ne disribuan pas de dividendes. Le prix d une opion européenne es dans cerains cas soluion d une équaion aux dérivées parielles parabolique - équaion de Kolmogorov-. 3

11 Chaper MOUVEMENT BROWNIEN. Inroducion Le mouvemen brownien es le nom donné aux rajecoires irrégulières du pollen en suspension dans l eau, observé par le boanise Rober Brown en 87. Ce mouvemen "aléaoire", dû aux chocs successifs enre le pollen e les molécules d eau, enraîne la dispersion ou di usion du pollen dans l eau. Le champ d applicaion du mouvemen brownien es beaucoup plus vase que l éude des paricules microscopiques en suspension e inclu la modélisaion du prix des acions, du brui hermique dans les circuis élécriques, du comporemen limie de les d aene e des perurbaions aléaoires dans un grand nombre de sysèmes physiques, biologiques ou économiques. En s inéressan aux ucuaions du prix des acions en économie, Bachelier (9) a obenu les premiers résulas quaniaifs. Einsein (95) a obenu la densié de probabilié de ransiion du mouvemen brownien à parir de la héorie moléculaire de la chaleur. Langevin proposa une équaion pour la dynamique d une grosse molécule plongée dans un gaz de paricules plus peies e désordonnées. A parir de 95, Wiener jea les fondemens mahémaiques du mouvemen brownien puis Levy éudia ses propriéés analyiques. Depuis 95, de nombreux ravaux lui on éé consacrés don l un des plus imporans es le développemen du calcul sochasique par Iô. 4

12 . Processus sochasiques en emps coninu Dans cee parie nous donnons quelques dé niions e noions de base concernan les processus sochasiques. On suppose donné un espace probabilisé (; F; P ) où es un ensemble, F une ribu conenue dans l ensemble des paries de e P es une probabilié sur la ribu F: On rappelle, que si éan donnés deux espaces mesurables (; F) e ; F, une applicaion f :! es die F; F mesurable si f (A) F pour ou A F ; où l on noe : f (A) = f! =f (!) Ag Dé niion.. On appelle processus à valeurs dans (E; ) indexé par T oue famille (X ; T ) de variables aléaoires à valeurs dans (E; ). On supposera, en général, T = R + e (E; ) = R d ; ßR d où ßR d es la ribu borélienne de R d Un processus sochasique X es la donnée de fx ; < +g ; où à xé, X es une variable aléaoire dé nie sur (; F) à valeurs dans R d ; ßR d : Pour ou!, l applicaion! X (!) s appelle la rajecoire associée à!. On écrira aussi bien X (!) que X(;!). Un processus es di coninu si pour presque ou! ; (;!)! X (!) es coninue (c es à dire les rajecoires son coninues). Dé niion. Une lraion ff ; < +g es une famille croissane de sous-ribus de F : pour s < +; F s F : La ribu F représene l informaion disponible du processus jusqu a l insan : Pour! xé, la foncion! X (!) ; es une rajecoire du processus X: X peu représener, par exemple, le nombre de cliens qui aenden à un guiche ou le prix d une acion, à l insan : Dé niion.3 Un processus X es di mesurable si l applicaion (R + ;ß(R + ) F)! R d ; ßR d (;!)! X (!) es mesurable. 5

13 Dé niion.4 Un processus es di adapé à la lraion ff ; < +g si pour ou ; X es F mesurable. Dé niion.5 Un processus es di progressivemen mesurable par rappor à la lraion ff ; < +g ; si pour ou l applicaion ([; ] ;ß([; ]) F )! R d ; ßR d (s;!)! X s (!) es mesurable. Remarque.6 La lraion naurelle associée à un processus X es par dé niion la famille de sous-ribus : F X = fx s ; s g où F X es la plus peie ribu rendan mesurable les applicaions!! X s (!) pour s : Elle represene l informaion conenue dans l observaion de X enre les insans e : Dé niion.7 On di qu une lraion ff ; < +g saisfai aux condiions habiuelles si (i) F conien ous les P négligeables de F (ii) F es coninue à droie; c es à dire pour ou : F = F + F +" "> = T.3 Propriéé de Markov La noion de processus de Markov es cenrale en probabiliés. Nous développons dans cee parie les propriéés markoviennes. On considère un espace de probabilié (; F; P ) : Dé niion.8 Un processus X es appelé processus de Markov si P X A=F X s = P (X A=X s ) ; 8 s < ; A ßR d 6

14 Cee dernière égalié es appelée propriéé de Markov. Elle signi e que la loi de X ( + s) sachan F ne dépend que de X () : la loi du fuur ne dépend du passé que par le présen. Ou encore, le fuur e le passé son indépendans condiionnellemen à l éa présen X () : Ean donné un processus de Markov X; on lui associe sa loi iniiale e sa probabilié de ransiion dé nie par : p (s; x; ; A) = P (X A=X s = x) pour ou s ; x R d ; A ßR d : Proposiion.9 Soi p (s; x; ; A) la probabilié de ransiion d un processus de Markov X. Cee probabilié de ransiion a les propriéés suivanes : (i) à s; ; A xés, l applicaion x! p (s; x; ; A) es mesurable, (ii) à s; ; x xés, l applicaion A! p (s; x; ; A) dé ni une mesure sur l espace probabilisable R d ; ßR d ; (iii) p (; x; ; A) = A (x) (iv) p (s; x; ; A) es soluion de l équaion de Chapman-Kolmogorov Z p (s; x; ; A) = p (s; x; u; dy) p (u; y; ; A) ; 8 s < u < : (.) R d Lemme. Soi X un processus de Markov de probabilié de ransiion p (s; x; ; A) : Pour oue foncion f : R d! R d mesurable, bornée e ou s < : E f (X ) =F X s = Z R d p (s; X s ; ; dx) f (x) (.) d où E f (X ) =F X s = E (f (X ) =X s ) : Démonsraion la classe des variables aléaoires réelles bornées f sur R d ; ßR d qui véri en (:) : Cee conien oues les foncions indicarices de boréliens de R d : 7

15 @ es sable pour les limies bornées de suies monoones croissanes. A parir du héorème des classes monoones, on dédui conien oues les variables aléaoires bornées dé nies sur R d ; ßR d Démonsraion de l équaion de Chapman-Kolmogorov (:) Soi s < u < e A R d ; P (X A=X s = x) = E ( A (X ) =X s ) = E E A (X ) =F X u =Xs car (X s ) F X u : E, puisque X es un processus de Markov, E A (X ) =F X u = P (X A=X u ) : Donc, à l aide du lemme (:) : P (X A=X s ) = E (P (X A=X u ) =X s ) = E (p (u; X u ; ; A) =X s ) = R R d p (s; X s ; u; dy) p (u; y; ; A) : Par dé niion de l espérance condiionnelle par rappor à une variable aléaoire, P (X A=X s = x) = R R d p (s; x; u; dy) p (u; y; ; A) : Lemme. Soien X e Y des veceurs aléaoires à valeurs dans R d ; < une sous-ribu de F: On suppose Y; < mesurable e X indépendan de <: Pour oue foncion ' : R d! R k mesurable e bornée, on a E (' (X; Y ) =<) = E (' (X; Y ) =Y ) Démonsraion Soi A (X) ; B (Y ) ; E ( A\B =<) = P (A) B = E ( A\B =Y ) (.3) : 8

16 Soi } = fa \ B; A (X) ; B (Y )g : On a } conien (X) e (Y ) ;donc } conien e (X; Y ) : Soi = la classe des variables aléaoires réelles bornées Z elles que E (Z=<) = E (Z=Y ) : D après (:3) ; = conien A ; pour ou A }: L uilisaion du héorème de convergence dominée perme d a rmer que = conien oues les variables aléaoires réelles (X; Y ) e bornées. Proposiion. Soi X un processus de Markov : mesurables P A=F X s = P (A=Xs ) ; 8 s ; A (X u ; u ).4 Mouvemen Brownien Dé niion.3 Le mouvemen Brownien sandard ou processus de Wiener es le processus sochasique fb g saisfaisan : B = presque sûremen Pour s ; l accroissemen B B s es indépendan de fb u g us 3 Pour s ; l accroissemen B B s sui une loi normale N (; s) Le deuxième poin signi e l indépendance des accroissemens e le roisième poin la saionarié de ces derniers. On en dédui immédiaemmen que pour ou ; B sui une loi N (; ) e que pour ou couple s; ; E (B s B ) = Cov (B s ; B ) = s ^ N (; ) représene la loi normale cenrée de variance : Les rajecoires de fb g son presque sûremen coninues, c es à dire qu il exise un ensemble négligeable N el que pour ou! = N; la foncion! B (!) es coninue mais presque sûremen les rajecoires ne son dérivables en aucun poin (Paley, Wiener, Zygmund 933). On uilise aussi la noaion fw g 9

17 Dé niion.4 On appelle lraion brownienne la lraion, dé nie par F B = F B [ N : N A el que P (A) = pour ou < +; où B = fb ; < +g es un mouvemen brownien sur (; F; P ) Dé niion.5 Soi ff ; g une lraion e soi une variable aléaoire posiive à valeurs dans R + [ f+g : On di que es un emps d arrê si pour ou : f g F On associe à un emps d arrê la ribu des événemens anérieurs à : Dé niion.6 On appelle ribu des événemens anérieurs à ; la ribu F dé nie par : F = fa ; A \ f g F ; pour ou R + g : Proposiion.7 Un processus à accroissemens indépendans es un processus de Markov. En pariculier un mouvemen brownien es un processus de Markov. Démonsraion Soi s ; il s agi de monrer que P X A=Fs X = P (X A=X s ) : On uilise le lemme (:) avec ' (x; y) = A (x + y) ; X = X X s ; Y = X s e < = Fs X : On obien alors P X A=Fs X = P X X s + X s A=Fs X = P (X X s + X s A=X s ) = P (X A=X s ).5 Consrucion du processus de Wiener Plusieurs consrucions on éé faies Kolmogorov (933 e 956) : il exise une probabilié P sur (R + ; ß(R + )) e un processus sochasique B = fb g sur le même espace, els que sous P; B es mouvemen brownien. Cee consrucion uilise la noion de consisance e un crière de coninuié. Wiener (93), Levy (948), Ciesielski (96): consrucion basée sur la héorie des espaces de Hilber e sur le caracère gaussien du mouvemen brownien

18 3 Donsker (95) : consrucion sur l ensemble C ([; +[) d une mesure, appelée mesure de Wiener, uilisan la noion de convergence faible de variables aléaoires. C es cee roisième méhode que l on va développer Mais auparavan, nous inroduisons la marche aléaoire symérique Soien fx i g i des variables aléaoires indépendanes, ideniquemen disribuées elles que P fx i = g = P fx i = g = (.4) La marche aléaoire unidimensionnelle symérique es le processus sochasique à emps discre fs n g n donné par S = ; S n = nx X i ; n (.5) i= Propriées élemenaires (i) Les variables aléaoires X i éan indépendanes e ideniquemen disribuées, on a S n S m D = Sn m ; 8n > m (.6) où le symbole D = désigne l égalié en disribuion. (ii) Comme E fx i g = e V fx i g = E X i E fx i g = ; on a E fs n g = nx E (X i ) = (.7) i=

19 nx V fs n g = V (X i ) = n; (.8) la relaion (:8) es une conséquence de l indépendance des variables aléaoires X i : (iii) La loi de S n la loi dé nie par : i= 8 < n! ; k f n; n + ; :::; ng P fs n = kg = n ( n+k )!( n k )! : sinon (.9) On considère la suie de processus B (n) = p S n bnc = p bnc X X i ; (.) n e on dé ni formellemen le processus B en prenan la limie au sens des disribuions nies i= de B (n) lorsque n! +: Le processus B es donc dé ni par le fai que pour oue pariion < < ::: < k e ou (x ; x ; :::; x k ) R k ; n o lim P B (n) n! i x i ; i = ; :::; k = P fb i x i ; i = ; :::; kg (.) On noe que n o lim V B (n) n! i = lim pn bnc = (.) n! e

20 B (n) = S bnc p bnc r bnc n (.3) Le héorème de la limie cenrale monre que la loi de S bnc p converge, lorsque n! +; bnc vers une loi G v N (; ) : loi normale N (; ) de densié g (x) = p e x : Il sui que n o lim P B (n) n! x = P p G x où T v N (; ) = p = p x p R xr = P ft xg e y dy e z dz B (n) Pour ou xé, la loi de B (n) end vers la loi normale N (; ) : De plus, si > s > ; B (n) s es indépendan de B (n) u pour ous les u s e on a par (:6) B (n) B (n) s = p n S bnc S bnsc D= Sbnc bnsc (.4) don la loi end vers N (; parir de s) : Toues les disribuions nies de B son ainsi dé nies à P ky B x ; B i B i x i ; i = ; :::; k = P fb x g P B i B i x i (.5) i= 3

21 .6 Maringales à emps coninu Dé niion.8 Un processus fm ; < +g à valeurs réelles, F adapé e inegrable es: Une F maringale si pour ou s < < +; on a E (M =F s ) = M s ; Une F surmaringale si pour ou s < < +; on a E (M =F s ) M s ; Une F sousmaringale si pour ou s < < +; on a E (M =F s ) M s : Les propriéés les plus imporanes des maringales son : son espérance es consane c es à dire si fm ; < +g es une maringale alors E (M ) = E(M ) pour ou < +: le processus es enièremen déerminé connaissan sa valeur erminale, c es à dire M = E (M T =F ) p.s. T Proposiion.9 Le mouvemen Brownien sandard (B ) es une maringale (à rajecoire) coninue. Démonsraion On noe F = F B : Il su de voir que F B <+ E (B +s =F ) = E (B =F ) + E (B +s B =F ) = B + E (B +s B ) = B.7 Exemples de maringales browniennes Proposiion. Soi fb ; g un mouvemen brownien sandard, alors si F = fb s ; s g : () fb ; g es une maringale par rappor à ff ; g ; () B ; es une maringale par rappor à ff ; g ; (3) e B ; es une maringale par rappor à ff ; g : Démonsraion () - On noe que si s ; on a, comme B ribu F s : 4 B s es indépendane de la

22 E (B B s =F s ) = E (B B s ) Mais E (B B s ) = E (B ) E (B s ) = = ; donc E (B B s =F s ) = B s éan F s mesurable, on en dédui que E (B s =F s ) = B s puis que : E (B =F s ) = B s () - On remarque que : E (B B s ) =F s = E B =F s B s E (B =F s ) + B s Comme B s es une maringale, on a E (B =F s ) = B s e donc : E (B B s ) =F s = E (B B s ) : Mais B B s sui la même loi que B s B = B s ; c es à dire une loi gaussienne cenrée de variance s, on a donc : E (B B s ) =F s = s Il vien donc : E B =F s Bs = E (B B s ) = s ou encore : E B =F s = B s s (3) - En uilisan l indépendance des accroissemens, on noe que : E e (B Bs) =F s = E e (B B s) Mais la loi de B B s es celle d une gaussienne cenrée de variance s (don on peu calculer la ransformée de Laplace) donc : 5

23 E e (B Bs) = e ( s) On a donc : E e (B Bs) =F s = e ( s) La variable aléaoire B s éan F s mesurable, on obien donc : E e B =F s = e Bs s :.8 Veceurs gaussiens Dé niion. On di qu un veceur aléaoire X = (X ; :::; X d ) es un veceur gaussien si, pour ou a R d ; la variable aléaoire réelle a T X = a X + ::: + a d X d es une variable aléaoire réelle gaussienne. En pariculier chaque composane X k es une variable aléaoire réelle gaussienne; mais cela ne su pas à assurer que le veceur X es gaussien. Dé niion. Un processus (X ; R + ) à valeurs dans R d es gaussien si, pour ous < ::: < n, (X ; :::; X n ) es un veceur gaussien à valeurs dans R nd. Lemme.3 Un processus à accroissemens indépendans el que X = e à accroissemens gaussiens es un processus gaussien. Démonsraion: Le veceur (X ; :::; X n ) es une foncion linéaire du veceur (X ; X X ; :::; X n X n ) qui, par hypohèse, es gaussien. Dé niion.4 Un processus (X ; R + ) à valeurs R d es un mouvemen brownien issu de si c es un processus à accroissemens indépendans à rajecoires p.s. coninues avec X = e si, pour ous s < ; X X s ~N d (; ( s)i d ). Soi (X ; R + ) un processus gaussien réel. On pose 6

24 m() = E(X ); (s; ) = Cov(X s ; X ) = E[(X s E(X s ))(X E(X ))]: (.6) La foncion (s; ) s appelle la foncion de covariance de X. On a: pour ous s; ; (s; ) = (; s); (.7) pour ous < ::: < n ; pour ous < ::: < n R;.9 Propriéés.9. Convergence nx i j ( i ; j ) (.8) i;j= Proposiion.5 Soi (B ; T ) un mouvemen brownien, soi T enier. On pose : un réel posiif, n un n i = it n ; pour i n; Alors, au sens de la convergence L : lim n!+ nx i= B n i+ B n i = T Démonsraion L uilisaion de l indépendance des accroissemens de (B ; ) donne : Mais: V! nx n X B n i+ B n i = V i= i= B n i+ B n i : V 4 B n B i+ n i = E B n B i+ n i E B n i+ B n i : 7

25 La loi de B n i+ B n i es celle d un gaussienne cenrée de variance n i+ n i = T n ; donc si G es une gaussienne cenrée réduie, on a : De plus : V B n B i+ n i = T E G 4 E G = T E G 4 n n E nx i=! n X B n i+ B n i = i= E B n i+ B n i = n T n = T Finalemen on obien : E " n X i= qui end vers quand n end vers + # B n i+ B n i T = T E G 4 n.9. Régularié des rajecoires Une propriéé du mouvemen brownien es le manque de régularié des rajecoires. Dire qu un processus aléaoire fx ; g es coninu c es, par dé niion, dire que lim X +h X = : h! Nous allons démonrer une coninuié en probabilié pour le mouvemen brownien sandard. Proposiion.6 Soi " > e fx ; g un mouvemen brownien sandard. On a lim P (jx +h X j > ") = h! Démonsraion Soi h >. Par dé niion, l accroissemen X +h X adme pour loi N(; h). On a pour ou " > V ar (X ( + h) X ()) P (jx +h X j > ") = " V arx (h) " = h " e le dernier erme converge vers lorsque h!. 8

26 .9.3 Le mouvemen brownien comme processus gaussien Proposiion.7 Le mouvemen brownien es un processus aléaoire gaussien cenré de foncion de covariance 8s; R + ; Cov (X s ; X ) = min (s; ) Démonsraion. Soien < < ::: < n. Les variables réelles X ; X X n son indépendanes e gaussiennes. Le veceur aléaoire X ; :::; X n Z = T (X ; :::; X n ) se dédui par une ransformaion linéaire : il s agi donc d un veceur gaussien. De plus, pour ou s, on a par indépendance des accroissemens, E[X s X ] = E[X s (X X s )] + E[X s ] = + s = min(s; ): Proposiion.8 La foncion aléaoire X n es dérivable en aucun poin R: Démonsraion En e e, si h >, la variable aléaoire Y = X(+h) moyenne nulle e de variance h : Par conséquen, pour ou N > ; d où, puisque X (h) = p h es de loi N (; ) ; e lim h! P fjy j > Ng = : h X() es normale de P fjy j > Ng = P fjx ( + h) X ()j > Nhg n X(h) = P fjx (h)j > Nhg = P p p o h > N h ; P fjy j > Ng = p R jyj>n p h e y = dy;.9.4 Applicaion du caracère gaussien du mouvemen brownien On se propose de déerminer la loi de TZ X s ds si (X ; ) es un mouvemen brownien Comme (X ; ) es un processus coninu, on a, au sens d une limie presque sûre : 9

27 n T lim n!+ n i= X X n i = TZ X s ds; si n i = it n (approximaion d une inégrale par une somme de Riemman). nx Comme le processus es gaussien, les variables aléaoires T n son des gaussiennes cenrées. De plus la limie presque sûre d une gaussienne cenrée rese une gaussienne cenrée. TZ X s ds es donc une gaussienne cenrée e pour ideni er sa loi, il rese à calculer sa variance : TZ Comme E X s X s = s ^ s ; on obien : TZ X s dsa B = 4 TZ Variaion quadraique TZ = = TZ TZ 3 5 C X s ds A TZ X s dsa = T 3 i= X n i X s X s dsds A E X s X s dsds Dé niion.9 La foncion g : R +! R; es die localemen à variaion bornée si sup : nx jg ( i ) g ( i )j < ; i= où le supremum es pris sur oues les pariions ( ; :::; n ) de [; ] ; avec n arbiraire. Soi (B ; R + ) un mouvemen brownien sandard. Pour > ; on dé ni hbi (n) = n X i= Proposiion-Dé niion.3 Pour > ; i B n

28 lim n! hbi(n) = p:s: e on dé ni la variaion quadraique hbi du mouvemen brownien sandard (B ) comme éan donnée par cee limie (par convenion, on pose égalemen hbi = ) Corollaire.3 lim n! n X i= i B n (i B ) n = p:s: donc le processus (B ; R + ) n es pas à variaion bornée. nx Démonsraion Sachan que lim B n i+ B n i = T e en écrivan que n!+ on en dédui i= i= nx n B X B B ni+ ni max B ni+ B ni B ni+ ; ni i= nx B B ni+ ni i= nx B B ni+ ni i= max B n i+ B n! i n! + Théorème (de Levy).3 Soi (M ) une maringale coninue de carré inégrable par rappor à une lraion (F ) elle que hmi = p:s:; 8 R + : Alors (M ) es un mouvemen brownien sandard par rappor à une (F ) :

29 Chaper INTEGRALE STOCHASTIQUE - CALCUL D ITÔ. Consrucion de l inégrale sochasique Soi (B ) un F mouvemen brownien sandard sur un espace probabilisé lré ; F; (F ) ; P : On cherche à dé nir des variables aléaoires du ype Z!! X (s;!) db s (.) pour une classe de processus X (s;!) adapés à la lraion (F ) : Le problème es de donner un sens à l élémen di ereniel db s puisque la foncion s! B s n es pas dérivable. Le bu es donc de dé nir l inégrale sochasique Z X s db s simulanémen pour ous les [; T ], où X es lui-même un processus sochasique. Plus précisémen, on suppose que X es une foncionnelle non anicipaive, c es à dire X es mesurable par rappor à F; X es mesurable par rappor à F pour ou [; T ]. Ceci revien à exiger que X ne dépende que de l hisoire du processus jusqu au emps :

30 .. L inégrale de Wiener C es une inégrale du ype (:) avec X foncion déérminise, c es à dire ne dépendan pas de!. On noe 8 < L ([; T ] ; R) = f : [; T ]! R= : TZ 9 = jf (s)j ds < ; TZ On remarque que, muni du produi scalaire hf; gi = f (s) g (s) ds; L ([; T ] ; R) es un espace de Hilber, au sens où oue suie de L ([; T ] ; R) qui soi de Cauchy pour la norme TZ kfk ;T = hf; fi f (s) dsa converge vers un élémen unique de L ([; T ] ; R) : Comme ou élémen f de L ([; T ] ; R) s écri de manière unique sous la forme f = X a n f n pour des coe ciens a n, coordonnées de f dans la base ff n ; n g, base orhonormée n dénombrable: Dans le cas précis de L ([; T ] ; R) cee base peu êre consiuée de foncions en escalier: = que n où p n N; les i son réels e f n () = (n) i p n X i= i i i () (.) (n) i ;(n) i o une suie croissane de [; T ] : Lemme. Soi f L ([; T ] ; R) : Il exise une suie de foncions en escalier ff n g elle jjf f n jj ;T! quand n! : Si f n es la foncion donnée par (:) ; son inégrale de Wiener es dé nie par : 3

31 I T (f n ) = f n db s = p n X i= i B i B i Du fai du caracère gaussien du mouvemen brownien e l indépendance des accroissemens, la variable aléaoire I T (f n ) es une variable aléaoire gaussienne d esperance nulle e de variance fnds: De plus, la foncion f! I T (f) es linéaire e E [I T (f) I T (g)] = f (s) g (s) ds: Cee dernière égalié signi e que l applicaion f! I T (f) es une isomérie de L ([; T ] ; R) dans L (; P ) : hi T (f) ; I T (g)i L () = hf; gi L (R) : Pour consruire I T (f) quand f es un élémen quelconque de L ([; T ] ; R) ; on uilise l isomérie e le lemme Lemme. Soi fx n ; n g une suie de variables gaussiennes N ( n ; n ) convergean vers une variable aléaoire X dans L (soi elle que h E jx X n j i! quand n! ). Alors n! e n! quand n! e X N (; ) : On monre alors que l applicaion f! I T (f) es linéaire e isomérique de L ([; T ] ; R) dans L () au sens I T (af + bg) = ai T (f) + bi T (g) e E [I T (f) I T (g)] = f (s) g (s) ds pour ous a; b R e f; g L ([; T ] ; R) : De plus I T (f) es une variable gaussienne mesurable par rappor à fb ; T g véri an pour ou [; T ] E [I T (f) B ] =.. L inégrale sochasique On cherche mainenan à dé nir la variable aléaoire f (s) ds: Z H s db s (.3) 4

32 quand fh s ; s g es un processus sochasique. On commence par consruire l inégrale sochasique sur un ensemble de processus dis élémenaires. Dé niion.3 On appelle processus élémenaire (H ) T un processus de la forme : H (!) = pp i (!) ]i i= ; i ] () où = < < ::: < p e i es F i mesurable e bornée. L inégrale sochasique d un processus élémenaire H es alors, par dé niion, le processus coninu (I (H )) T dé ni par, si ] k ; k+ ] : Démonsraion Pour démonrer cee proposiion, on uilise des processus à emps discres. > s : I (H ) = P ik On noe que I (H ) peu s ecrire: I (H ) = i B i B i + k+ (B B k ) P ip i B i^ B i ^ ce qui prouve la coninuié de la foncion! I (H ) : On noe Proposiion.4 Si (H ) T es un processus élémenaire : (i) H s db s es une F maringale coninue, R (ii) E (iii) E T R! H s db s = E sup T R Hs ds ;!! H s db s 4E Hs ds H s db s pour I (H ) : (i) Pour éablir que R H s db s T es une maringale, il su de prouver que, pour ou R E H u db u =F s = R s H u db u Si l on ajoue s e à la subdivision = < < ::: < p = T; e si on pose M n = n = F n pour n p; il su de véri er que M n es n ceci, on remarque que: 5 R n H s db s maringale. Pour démonrer

33 M n = R n P H s db s = n i (B i B i ) i= avec i qui i mesurable. D aure par, X n = B n es n maringale (en e e, (B ) es un mouvemen brownien). (M n ) n[;p] apparaî donc comme une ransformée de la maringale (X n ) n[;p] ; ceci prouve qu il s agi bien d une maringale (ii) On remarque que : De plus, si i < j; on a : E Mn np! = E i (X i X i ) i= P = n np E i j (X i X i ) (X j X j ) i= j= E i j (X i X i ) (X j X j ) = E E i j (X i X i ) (X j X j ) =@ j = E i j (X i X i ) E (X j X j =@ j ) : Comme X j es une maringale, on a E (X j X j =@ j ) = : On en dédui que si i < j : E i j (X i X i ) (X j X j ) = : Si j < i, on obien le même résula. En n si i = j; on a: E i (X i X i ) = E E i (X i X i ) =@ i = E i E (X i X i ) =@ i e nalemen : E (X i X i ) =@ i = E En regroupan ces résulas, on obien : np! E i (X i X i ) i= La coninuié de! (iii) L inégalié de Doob E H s db s es claire sur sa dé niion. coninue) appliquée à la maringale coninue! 4E Hs ds Remarque.5 On pose par dé niion : B i B i = i i np = E i ( i i ) : i=! sup jm j 4E jm T j (pour une maringale (M ) T T R H s db s T 6 donne E sup T H s db s!

34 H s db s = H s db s R H s db s Si T e si A F ; alors s! A f<sg H s rese un processus élémenaire e il es facile de véri er, sur la dé niion de l inégrale, que : Z T A H s f<sg db s = A Z T H s db s (.4) On vien de dé nir e de donner des propriéés de l inégrale sochasique pour les processus élémenaires; on éend cee inegrale à une classe de processus adapés : (! ) M = (H ) T ; processus adapés à (F ) ; E Hs ds < + Proposiion.6 Soi (B ) un F mouvemen brownien. Alors il exise une unique applicaion linéaire J de M dans l espace des F maringales coninues dé nies sur [; T ], elle que :. Si (H ) T es un processus élémenaire, p:s: pour ou T; J (H) = I (H). Si T; E J (H) = E Hs ds : R Cee applicaion linéaire es unique au sens suivan, si J e J son deux prolongemens linéaires véri an les propriéés précédenes alors : p:s: 8 T; J (H) = J (H) On noe, si H M ; H s db s = J (H) De plus cee inégrale véri e les propriéés suivanes : Proposiion.7 Si (H ) T es un processus de M On a : alors: B T Z H s db s C A Z T Hs dsa (.5) 7

35 Si es un F emps d arrê : p:s: Z H s db s = Z T fsg H s db s (.6) Démonsraion On adme que si (W s ) st es dans M, il exise une suie (H n s ) st de processus élémenaires els que : lim E n!+ jh s H n s j ds! = Une démonsraion de ce résula es donnée dans [4] : Si H M e (H n ) n es une suie de processus élémenaires convergean vers H; au sens précéden, on a : E! sup I H n+p I (H n ) T Z T H n+p s H n s dsa (.7) Il exise donc une sous-suie H (n) elle que : E sup I H (n+) T! I H (n) n La série de foncions de erme général I H (n+) I H (n) es donc, presque sûremen, uniformémen convergene, d où I H (n) converge vers une foncion coninue qui sera par dé niion! J (H). En passan à la limie dans (:7) ; on obien : E sup T! jj (H) I (H n ) j Z T jh s Hs n j dsa (.8) Ceci enraine que (J (H) ) T ne dépend pas de la suie approximane. (J (H) ) T es une maringale, en e e : E (I (H n ) =F s ) = I (H n ) s : 8

36 De plus pour ou ; lim I n!+ (Hn ) L (; P ) de l espérance condiionnelle perme! de conclure. De (:8) e de E I (H n ) = E jhs n j ds! = J (H) en norme L (; P ) e la coninuié dans ; on dédui que E J (H) = E! jhs n j ds ; on dédui (:5) : De même de (:8) e de E supi (H n ) = 4E T L unicié du prolongemen résule de la densié des processus élémenaires dans M :! jh s j ds : Pour la démonsraion de (:6) ; on remarque d abord que (:4) rese valable si H M : Il su pour cela d uiliser la densié des processus élémenaires dans M e (:8). P On monre ensuie le résula pour des emps d arrê de la forme = n i Ai ; où < < ::: < n = T; les A i éan disjoins e F i mesurables. On a dans ce cas : np fs>g H s db s = Ai fs>i g i= H s db s ; mais chaque Ai fs>i gh s es adapé (ce processus es nul si s i e vau Ai H s sinon) e donc dans M : On en dédui que : puis que P fs>g H s db s = n P Ai fs>i gh s db s = n Ai i= i= R fsg H s db s = H s db s : i H s db s = i= H s db s Pour la généralisaion de ce résula, on remarque qu un emps d arrê quelconque peu êre approximé par une suie décroissane de emps d arrê du ype précéden en posan : R n n = n P i= (k+)t n o n kt n < (k+)t n n converge presque sûremen vers en décroissan. On en dédui que presque sûremen R H s db s end vers H s db s par coninuié de! H s db s : D aure par : fsg H s db s fs ngh s db s A = E! f<s nghs ds 9

37 Ce dernier erme end vers par convergence dominée, donc fs ngh s db s end dans L (; P ) vers fsg H s db s : Ceci perme d obenir l égalié (:6) pou ou emps d arrê. On pose : M Loc = ((H ) T ; processus adapés à (F ) ; ) Hs ds < + : La proposiion suivane perme de prolonger l inégrale sochasique de M à MLoc : Proposiion.8 Il exise une applicaion linéaire J e de l espace MLoc dans l espace vecoriel des processus coninus dé nis sur [; T ] ; elle que : Propriéé de prolongemen : Si (H) T es un processus élémenaire alors : p:s:; 8 T; e J (H) = I (H) : Propriéé de coninuié : Si (H n ) n es une suie de processus de MLoc ds end vers en probabbilié alors sup J e (H n ) end vers en probabilié. H n s On noe T elle que H s db s pour e J (H) : Démonsraion Il es facile de déduire de la propriée de prolongemen e de la propriéé de coninuié que, si H M alors p:s:; 8 T; J e (H) = J (H) : Soi H MLoc ; on pose T R s n = inf s ; Hudu n (+ si ce ensemble es vide), e H n s = H s fstng On monre d abord que T n es un emps d arrê. Comme f T n g = su de prouver que H udu es une variable aléaoire F R Hudu n ; il mesurable. Mais ce résula es vrai si H es un processus élémenaire, e donc si H M : En n si H MLoc ; R Hudu qui es la limie presque sûre, lorsque K end vers +; de H u ^ Kdu es aussi F facile de voir que les processus H n s son adapés e bornés donc dans M : De plus : H n s db s = fstnghs n+ db s 3 mesurable. Il es

38 L égalié (:6) prouve alors que : H n s db s = ^T R n Hs n+ db s ( ) Donc sur l ensemble Hudu < n ; pour ou T; J (H n ) = J H n+ : Comme ( ) ( ) S Hudu < n = Hudu < + ; on peu dé nir presque sûremen un processus J e (H) ( ) n en posan sur H udu < n : 8 T e J (H) = J (H n ) Le processus! J (H) es presque sûremen coninu, par dé niion. La propriéé de prolongemen es véri ée par consrucion. Il rese à prouver donc la propriéé de coninuié de ej: Pour cela on remarque! que : P J e (H) " P sup T! Hs ds N +P ( Hu du< N ) sup T J e C (H) " A : R s Si l on noe N = inf s T; Hudu N (+ si ce ensemble es vide), alors sur ( ) Hudu < N ; l égalié (:6) prouve que, pour ou T : H s ds = J e (H) = J e H = R H s fs N gdb s = H s fs N gdb s D où, en uilisan (:5) pour le processus s! H s fs N g :!!! P sup J e (H) " P Hs ds N + 4 E H T s fs N gds < N! P Hs N On en dédui que si probabilié. H n s + 4 N " ds end vers en probabilié, alors sup J e (H n ) end vers en Pour prouver la linéarié de J, e on considère deux processus de MLoc ; H e K e les deux suies H n e K n ; dé nies comme au débu de la démonsraion, elle que (Hs n H s ) ds e 3 T

39 (Ks n K s ) ds enden en probabilié vers : On peu alors passer à la limie dans l égalié J (H n + K n ) = J (H n ) + J (K n ), grâce à la propriéé de coninuié de J: e En n, le fai que si H M alors (H H n ) d end vers en probabilié e la propriéé de coninuié prouven l unicié du prolongemen. Dé niion.9 Une foncion aléaoire X () es une maringale locale s il exise une suie de emps d arrê n ; avec n! p.s. quand n! ; e els que M n () = X ( ^ n ) soi une maringale pour ou n: Il s agi d une exension de la noion de maringale, puisque oue maringale es une maringale locale. Par conre, une maringale locale peu ne pas êre inégrable, e dans ce cas ce n es pas une maringale. On résume les condiions d exisence de l inégrale sochasique par rappor à un mouvemen brownien e les hypohèses permean d a rmer qu il s agi d une maringale. Résumé Soi (B ) un F mouvemen brownien e (H ) T un processus F adapé. R On peu calculer l inégrale sochasique H s db s dès que Hs ds < + p:s: Le T! R processus H s db s es une maringale si E Hs ds < + e H s db s es T! T une maringale locale si Hs ds < +: On remarque, que la condiion E Hs ds < + es équivalene à : E R! sup H s db s < +; T e que, dans ce cas on a l égalié : B Z T H s db s A C A = Z T Hs dsa (.9) 3

40 . Calcul d Iô On précise la dé niion de la classe de processus pour laquelle on peu énoncer la formule d Iô. Dé niion. Soien ; F; (F ) ; P un espace probabilisé muni d une lraion e (B ) un F mouvemen brownien. On appelle processus d Iô, un processus (X ) T à valeurs dans el que : avec : - X F mesurable, Z p:s 8 T X = X + - (K ) T e (H ) T des processus adapés à F ; TZ - - TZ jk s j ds < + jh s j ds < + p:s: p:s: Z K s ds + H s db s Proposiion. Soi (M ) T une maringale coninue elle que : M = Z K s ds; avec p:s: TZ jk s j ds < +; alors : p:s: 8 T; M = Ceci enraîne que : - La décomposiion d un processus d Iô es unique. Ce qui signi e que si : Z X = X + Z K s ds + Z H s db s = X + Z Ksds + H sdb s alors : X = X p:s: H s = H s p:p: K s = K s p:p: 33

41 Z - Si (X ) T es une maringale de la forme X + Théorème. Soi (X ) T un processu d Iô : X = X + K s ds + H s db s ; Z K s ds + e f une foncion deux fois coninûmen di ereniable, on a : où, par dé niion : e : f (X ) = f (X ) + f (X s ) dx s + f (X s ) d hx; Xi s f (X s ) dx s = hx; Xi = H s ds; f (X s ) K s ds + f (X s ) H s db s : H s db s ; alors K = p:p: De même si (; x)! f (; x) es une foncion deux fois di éreniable en x e une fois différeniable en, ces dérivées éan coninue en (; x) (on di que dans ce cas f es de classe C ; ), on a : On uilise la able de muliplicaion Dé niion.3 Un processus d Iô f (; X ) = f (; X ) + f s (s; X s ) ds + f x (s; X s ) dx s + d d db db d Z X = X + Z K s ds + H s db s f xx (X s ) d hx; Xi s : 34

42 es di semi-maringale. Il es décomposé en deux paries : X + Z Z H s db s es die parie maringale du processus. K s ds es die parie à variaion nie du processus. On noe que f (X ) es un processus d Iô si f es une foncion deux fois di éreniable en x e une fois di éreniable en :.3 Exemples d uilisaion de la formule d Iô Si f (x) = x e X = B, on a K s = e H s =, donc : On obien : B = B s db s + ds: B = B s db s R Comme E Bs ds < +; on rerouve le fai que B es une maringale. Soi : Z S = x + Ce ype d équaion s écri sous la forme : S s (ds + db s ) (.) ds = S (d + db ) ; S = x (.) On cherche un processus adapé (S ) el que les inégrales sens, e qui veri e, pour chaque : S s ds e S s db s aien un 35

43 On pose S = f (; B ) où : La formule d Iô donne : S = f (; B ) = f (; B ) + p:s: S = x + S s ds + S s db s f s (s; B s ) ds + Mais comme hb; Bi = : e nalemen : f (; x) = x exp S = x + S s f x (s; B s ) db s + + x : f xx (s; B s ) d hb; Bi s : ds + S s db s + S s ds; S = x + S s ds + S s db s Ce résula aurai pu êre obenu égalemen en appliquan la formule d Iô à S = (Z ) ; avec Z = + B qui es un processus d Iô e (x) = x exp (x) : L exisence d une soluion de (:) vien d êre démonrée. que cee soluion es unique. On va prouver mainenan Pour cela, on va uiliser la propriéé suivane die "formule d inégraion par paries", généralisaion au cas des processus d Iô. Remarque.4 Le processus S que l on vien d explicier ser de modèle pour le prix d un acif nancier. On l appelle modèle de Black e Scholes. Si = ; S es une maringale, ce ype de processus pore le nom de maringale exponenielle. Proposiion.5 Soien X e Y deux processus d Iô, X = X + Y = Y + K sds + HsdB s : Alors : avec la convenion que : X Y = X Y + X s dy s + Y s dx s + hx; Y i hx; Y i = 36 H s H sds: K s ds + H s db s e

44 Démonsraion On a, d après la formule d Iô : (X + Y ) = (X + Y ) + (X s + Y s ) d (X s + Y s ) + (H s + Hs) ds X = X + R X s dx s + Hs ds Y = Y + R Y s dy s + H s ds En faisan la di érence enre la première ligne e les deux suivanes, on obien : X Y = X Y + X s dy s + Y s dx s + H s Hsds On monre mainenan l unicié d une soluion de l equaion (:) : On noe que : S = x exp + B es une soluion de (:) e on suppose que (X ) en soi une aure. On cherche à exprimer la "di érenielle sochasique" de X S : On pose : Z = S S = exp = + e = : Alors Z = exp + B e le calcul fai précédemmen prouve que : + B ; Z = + Z s ( ds + db s ) = + Z s + ds db s On peu alors exprimer la "di érenielle" de X Z grâce à la formule d inégraion par paries pour les processus d Iô : d (X Z ) = X dz + Z dx + d hx; Zi : Ici, on a : On en dédui que : hx; Zi = : R R : X s db s ; Z s db s = X s Z s ds: d (X Z ) = X Z + d db + X Z (d + db ) X Z d = 37

45 X Z es donc égal à X Z ; ce qui enraîne que : 8 ; p:s: X = x Z = S : Les processus X e Z éan coninus, ceci prouve que : p:s: 8 ; X = x Z = S : On vien de démonrer la proposiion suivane :.4 Formule d Iô mulidimensionnelle La formule d Iô se généralise aux cas où la foncion f dépend de plusieurs processus d Iô e lorsque ces processus d Iô s exprimen en foncion de plusieurs mouvemens browniens. Cee généralisaion es uile, par exemple, pour les modèles de aux d inérê sophisiqués. Dé niion.6 On appelle F mouvemen brownien p dimensionnel un processus à valeurs dans R p ; (B ) adapé à F ; avec B = B ; :::; B p ; où les B i son des F mouvemens browniens sandards indépendans. On généralise dans ce cadre la noion de processus d Iô. Dé niion.7 On di que (X ) es un processus d Iô si : où : Z X = X + - K e les H i son adapés à (F ) : TZ - jk s j ds < + p:s: - TZ H i s ds < + p:s: K s ds + px i= Z H i sdb i s La formule d Iô prend alors la forme suivane : Proposiion.8 Soien X ; :::; X n n processus d Iô : Z X i = X i + Ksds i + 38 px j= Z Hs i;j dbs j

46 alors si f es une foncion deux fois di éreniable en x e une seule fois di éreniable en, ces dérivées éan coninues en (; x) : où : + nx i= Z - dx i s = K i s + f ; X ; :::; i px j= - d X i ; X j s = px Z = f ; X ; :::; X n + s; Xs ; :::; Xs n dx j s + H i;j s db j s; m= H i;m s Bs j;m ds: nx i;j= j s; X s ; :::; Xs n ds s; Xs ; :::; Xs n d X i ; X j s Remarque.9 Si (X ) e (Y ) son deux processus d Iô, on peu dé nir formellemen le "croche" de X e Y (noé hx; Y i par les règles suivanes : - hx; Y i es bilinéaire e symérique. - h - h - h Z : Z : Z : K s ds; X : i = si (X ) T es un processus d Iô. Z : H s db; i H s db i ; Z : H sdb j i = si i 6= j: H sdb i i = Z H s H sds Proposiion. Soien X e Y deux processus d Iô, X = X + Y = Y + K sds + HsdB s : Alors : avec la convenion que : X Y = X Y + X s dy s + Y s dx s + hx; Y i hx; Y i = H s H sds: K s ds + H s db s e 39

47 Chaper 3 EQUATIONS DIFFERENTIELLES STOCHASTIQUES 3. Dé niions On se place dans un espace de probabilié (; F; P ) e on se donne un mouvemen brownien B e une variable aléaoire X dé nis sur ce même espace, avec B e X indépendans. On considère deux foncions : R! R + e b : R! R:L équaion ou sous forme inégrale X = X + dx = b(x )d + (X )db ; X = x (3.) b(x s )d + (X s )db s es appelée une équaion différenielle sochasique. Les coe ciens b e son appelés respecivemen dérive e coe cien de di usion. Il s agi d une équaion homogène. La soluion d une équaion di érenielle sochasique es appelée processus de di usion, ou simplemen di usion. De niion 3. On appelle soluion fore de l équaion di érenielle sochasique (3:) oue foncion aléaoire X = (X ; ) dé nie sur (; F; P ) elle que (i) X es adapé à F B ( lraion brownienne). 4

48 (ii) jb (X s )j ds < e (X s ) ds < p.s. pour ou ; e on a p.s. Z X = X + Z b (X s ) ds + (X s ) db s ; [; [ (3.) La condiion d inégrale nie dans (ii) signi e que X es un processus d Iô. Dé niion 3. On di qu il y a unicié rajecorielle des soluions de (3:) si éan donné X e X deux soluions de (3:) avec X = X = x pour le même mouvemen brownien B alors avec probabilié on a X = X pour > : par Exemple 3.3 Pour l équaion dx = bx d + db ; le processus sochasique X dé ni X = e b x + e b( s) db s es une soluion. 3. Exemples Dé niion 3.4 Une foncion f : R! R es die (globalemen ) lipschizienne s il exise K > el que jf (y) f (x)j K jy xj ; 8x; y R: Le héorème suivan monre que c es l unique soluion, dans chaque cas. Théorème 3.5 On suppose X L ; e b; véri an : 8 < : jb (x) b (y)j + j (x) (y)j K jx yj jb (; x)j + j (; x)j K + jxj (3.3) alors l équaion (3:) adme une unique soluion X: La démonsraion peu êre rouvée dans [4] Exemple 3.6 L équaion suivane 4

49 adme une soluion unique. dx = p p + X db + + X + X = d En e e, d après le héorème (3:4) on a exisence e unicié de la soluion. Cee soluion es donnée par X = sin B + + sin x comme on le véri e en appliquan la formule d Iô. Proposiion 3.7 Le processus (X ) soluion de l équaion (3:) es un processus d Iô. Démonsraion On peu décomposer la soluion comme X = M + V où Z M = x + g(x s )db s e V = Comme X es coninu e adapé à (F ) avec E l inégrale Z Z sup X T! f(x s )ds < e que g es lipschizienne, g(x s )db s es bien dé nie e (M ) es une maringale coninue de carré inégrable. D aure par, les foncions! X e f son des foncions coninues, le processus (V ) es donc coninûmen dérivable, donc coninu e à variaion bornée. processus d Iô. Le processus (X ) es donc un Exemple 3.8 Soi a; x R e > xés. On considère l équaion di érenielle sochasique proposée par Langevin (98) pour décrire le mouvemen d une paricule en suspension dans un liquide Les foncions f (x) = 8 < : dx = ax d + db (3.4) X = x ax e g (x) = son lipschiziennes, donc il exise un unique processus (X ) soluion de l équaion ci-dessus. Ce processus es appelé le processus d Orsein- Uhlenbeck. Proposiion 3.9 La soluion de l équaion di érenielle sochasique (3:4) es donnée par Z X = e a x + 4 e a( s) db s :

50 Démonsraion On présene la méhode de résoluion de l équaion, qui es une adapaion de la méhode die de la "variaion de la consane" au cas sochasique. Soi ( ) le processus (déerminise) soluion de l équaion di érenielle ordinaire (e homogène) : 8 < d () = a () d : = Il es connu que = e a : On écri mainenan X = Y : On a alors par la formule d inégraion par paries : dx = dy + (d ) Y + dh; Y i = dy a Y d + car le processus ( ) es à variaion bornée. D un aure côé, on a dx = ax d + db : En ideni an les deux équaions e comme X = Y ;on rouve l équaion di érenielle sochasique suivane pour (Y ) : dy = db c es à dire dy = db (e Y = x ) donc Ceci implique nalemen que Z Y = Y + Z db s = x + s Z X = e a x + On remarque que si x = e a > ; alors e a( s) db s : e as db s : E (X ) = e E X = e a a!! a ; c es à dire le processus d Ornsein-Uhlenbeck (avec a > ) es un processus qui ne grandi pas indé nimen (comme c es le cas du mouvemen brownien), mais se sabilise auour de la valeur avec une variance donnée : a Exemple 3. On considère l EDS 43