2 Variables aléatoires indépendantes

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1 -stat_ii.b 7 Variables aléatoires idépedates. Variables idépedates Exemple de deux variables idépedates O lace quatre fois ue pièce de moaie. O ote X = ombre de piles obteus lors des deux premiers lacers, Y = ombre de piles obteus lors des deux deriers lacers. Ituitivemet, les valeurs de Y e sot pas "ifluecées" par les résultats de X. Les variables X et Y sot idépedates. Nous aimerios caractériser la situatio par ue relatio mathématique. Représetos les différetes issues possibles pedat le déroulemet des quatre lacers de la pièce de moaie. A chaque lacer, il y a deux possibilités qu'o peut représeter par u embrachemet. Chaque évéemet situé à l'extrémité d'ue brache (tout e bas) a ue chace sur 6 de se produire. Doc px, Y 6 px, Y 6 px, Y 0 6 px, Y 6

2 -stat_ii.b px, Y 4 6 px, Y 0 6 px 0, Y 6 px 0, Y 6 px 0, Y 0 6 Avec les résultats précédets, dressos u tableau des probabilités X0 Y0 Y Y 6 X X Y px,y X Nous complétos le tableau précédet par les sommes de chaque lige et de chaque coloe

3 -stat_ii.b 9 X0 Y0 Y Y 6 X X p X 0 4 p X p X 4 p Y 0 4 p Y p Y 4 p X 0 = px = 0, - désige la probabilité que X = 0, la variable Y preat toutes les valeurs possibles. p X 0 = px = 0, - est égale à la somme de la première lige du tableau : p X 0 px 0, px 0, Y 0 px 0, Y px 0, Y p Y = p-, Y = désige la probabilité que Y =, la variable X preat toutes les valeurs possibles. p Y = p-, Y = est égale à la somme de la deuxième coloe du tableau : p Y p, Y px 0, Y px, Y px, Y 4 Les ombres p X i sot les probabilités de la distributio margiale X, c'est-à-dire qui se rapportet à la première composate de la variable aléatoire à deux dimesios Z = X = i, -, la variable Y preat toutes les valeurs possibles. Les ombres p Y j sot les probabilités de la distributio margiale Y, c'est-à-dire qui se rapportet à la deuxième composate de la variable aléatoire à deux dimesios Z = -, Y = j, la variable X preat toutes les valeurs possibles. A quoi correspod le produit des probabilités margiales? p X 0p Y px 0, Y 0 p X 0p Y 4 px 0, Y etc. Das le tableau des probabilités, la propriété s'exprime comme suit: pour des variables idépedates, la probabilité d'u évéemet est égale au produit des probabilités margiales: X0 4 X X 4 Y0 Y Y O a la propriété caractéristique suivate: X, Y idépedates pour tous les couples i, j px i, Y j p X ip Y j

4 -stat_ii.b 0 Exemple de deux variables o idépedates O lace trois fois ue pièce de moaie. O ote X = ombre de piles obteus lors des deux premiers lacers, Y = ombre de piles obteus lors des deux deriers lacers. Ituitivemet, les valeurs de Y sot "ifluecées" par les résultats de X. Par exemple, si X = 0, il est impossible que Y = ; ou ecore, si X =, il est impossible que Y = 0. Les variables X et Y e sot pas idépedates. Nous aimerios caractériser la situatio par ue relatio mathématique. Représetos les différetes issues possibles pedat le déroulemet des trois lacers de la pièce de moaie. A chaque lacer, il y a deux possibilités qu'o peut représeter par u embrachemet. pile face X X X X0 X,Y X,Y X,Y X,Y X,Y X,Y X,Y X,Y,,,,0,, 0, 0,0 Chaque évéemet situé à l'extrémité d'ue brache (tout e bas) a ue chace sur de se produire. Doc

5 -stat_ii.b px, Y px, Y px, Y 0 0 px, Y px, Y px, Y 0 px 0, Y 0 px 0, Y px 0, Y 0 Avec les résultats précédets, dressos u tableau des probabilités Y0 Y Y X0 0 X 4 X 0 Complétos le tableau précédet par les sommes de chaque lige et de chaque coloe Y0 Y Y X0 0 p X 0 4 X 4 p X X 0 p X 4 p Y 0 4 p Y p Y 4 p X 0 = px = 0, - désige la probabilité que X = 0, la variable Y preat toutes les valeurs possibles. p X 0 = px = 0, - est égale à la somme de la première lige du tableau : p X 0 px 0, px 0, Y 0 px 0, Y px 0, Y 0 4 p y = p-, Y = désige la probabilité que Y =, la variable X preat toutes les valeurs possibles. p Y = p-, Y = est égale à la somme de la deuxième coloe du tableau : p Y p, Y px 0, Y px, Y px, Y 4 Les ombres p X i sot les probabilités de la distributio margiale X, c'est-à-dire qui se rapportet à la première composate de la variable aléatoire à deux dimesios Z = X = i, -, la variable Y preat toutes les valeurs possibles.

6 -stat_ii.b Les ombres p Y j sot les probabilités de la distributio margiale Y, c'est-à-dire qui se rapportet à la deuxième composate de la variable aléatoire à deux dimesios Z = -, Y = j, la variable X preat toutes les valeurs possibles. Le tableau des probabilités e possède pas la propriété la probabilité d'u évéemet est égale au produit des probabilités margiales p X 0p Y px 0, Y 0 p X 0p Y px 0, Y 6... Le tableau des produits des probabilités margiales diffère du tableau des probabilités: X0 4 X X 4 Y0 Y Y Le fait que les deux variables e soiet pas idépedates se traduit par la propriété caractéristique suivate: px i, Y j p X ip Y j pour au mois u couple i, j Défiitio de deux variables idépedates Das le cas de deux variables discrètes X, Y, o défiit les probabilités margiales comme suit: p X x i px x i, px x i, Y y k p Y y j p, Y y j px x r, Y y j k r Le fait que les deux variables X et Y soiet idépedates se traduit par la propriété caractéristique suivate: la probabilité d'u évéemet est égale au produit des probabilités margiales E d'autres termes, X, Y idépedates pour tous les couples i, j px x i, Y y j p X x i p Y y j px x i, Y y j px x i, Y y k px x r, Y y j k r. EX Y = EX EY Exemple O lace quatre fois ue pièce de moaie. O ote X = ombre de piles obteus lors des deux premiers lacers, Y = ombre de piles obteus lors des deux deriers lacers. Avec les valeurs calculées das le., o a

7 -stat_ii.b 3 O a EY EX 0 p X 0 p X p X E X Y 0 0 px 0, Y 0 0 px 0, Y 0 px, Y 0 px, Y 0 px 0, Y 0 px, Y 0 px, Y px, Y px, Y EX Y EX EY Cas gééral Propositio X, Y idépedates EX Y EX EY E mots : Pour des variables aléatoires idépedates, l' espérace du produit est égale au produit des espéraces Démostratio pour des variables aléatoires discrètes EX Y x i y j px x i, Y y j x i y j p X x i p Y y j i j i j x i p X x i y j p Y y j x i p X x i y j p Y y j i j i j EX EY La propositio est valide pour des variables aléatoires quelcoques, e particulier cotiues..3 VX + Y = VX + VY s X +Y = s X +s Y Exemple O lace quatre fois ue pièce de moaie. O ote X = ombre de piles obteus lors des deux premiers lacers, Y = ombre de piles obteus lors des deux deriers lacers. Avec les valeurs calculées das les paragraphes. et., o a EY EX E X Y EX EY VY VX 0 4 4

8 -stat_ii.b 4 VX Y 0 0 px 0, Y 0 0 px 0, Y 0 px, Y 0 px, Y 0 px 0, Y 0 px, Y 0 px, Y px, Y px, Y Pour deux variables idépedates, o a VX Y VX VY Cas gééral Démostratio : faisos appel aux règles coues VX Y EX Y EX Y EX XYY EX EY EX EX Y EY E X EX EY E Y EX E X EY E Y EX Y EX EY VX VY 0 VX VY O a démotré la propositio X, Y idépedates VX Y VX VY E mots : E d'autres termes, Pour des variables aléatoires idépedates, la variace de la somme est égale à la somme des variaces XY X Y doc, pour l'écart-type de la somme, X, Y idépedates XY X Y Comparaiso des variaces empirique s x + y et s x + s y Partos de variables aléatoires idépedates. Par exemple, pour les variables aléatoires X =lacer d'ue pièce de moaie (covetio 0 = pile, = face); Y =lacer d'u dé; Z = X, Y = lacer ue pièce de moaie et u dé (variable de dimesio ) ; o a obteu, e répétat 0 épreuves idépedates de la variable Z, les échatillos suivats Needs"Statistique`" piece BeroulliDistributio ; de DiscreteUiformDistributio, 6; 0;

9 -stat_ii.b 5 x RadomItegerpiece,,,, 0, 0,,, 0, 0, y RadomItegerde,, 3, 6, 4,, 6, 5,, 6, 5 NVariaceMLEx y 3.4 NVariaceMLEx VariaceMLEy 3.44 Ce que les variables aléatoires réaliset exactemet das u modèle théorique idéal VX Y VX VY les échatillos empiriques de variables idépedates e le réaliset qu'approximativemet s x y s x s y Les échatillos de grade taille ot u comportemet plus proche du modèle théorique ; x RadomItegerpiece, ; y RadomItegerde, ; NVariaceMLEx y 3.66 NVariaceMLEx VariaceMLEy Exercice.3 - a) Soiet X et Y deux variables aléatoires cotiues uiformémet distribuées sur l'itervalle 0, [. Par simulatio, formez deux échatillos de même taille : x pour X, y pour Y. Calculez et comparez mx y, mx my aisi que vx y, vx vy b) Soit (X, Y) ue paire de variables aléatoires défiie comme suit : X est cotiue uiformémet distribuée sur l'itervalle 0, [ et Y = uif. distr. sur 0; 0.5 si X < uif. distr. sur, si X. Par simulatio, formez u échatillo x, y = x, y, x, y,... de taille. Calculez et comparez aisi que mx y, mx my

10 -stat_ii.b 6 vx y, vx vy c) Expliquez pourquoi o obtiet des quatités approximativemet égales das la situatio a) et des quatités différetes das la situatio b). Exercice.3 - Soiet X et X deux variables aléatoires idépedates. La distributio de X est ormale, d'espérace m = 0, d'écart-type s = 3. La distributio de X est ormale, d'espérace m = 0, d'écart-type s = 4. Au moye d'ue simulatio, estimez la moyee m et l'écart-type s de la somme Y = X + X. Comparez les résultats de la simulatio avec les paramètres théoriques m et s. Exercice.3-3 Soiet X, X,..., X des variables de Beroulli idépedates de même probabilité p et S = X + X X la variable biomiale (, p). Calculez l'écart-type théorique s S..4 Espérace et écart-type de la moyee Exemple itroductif O lace ue pièce de moaie et o compte le ombre de "face". Das le modèle théorique, otos X le ombre de "face" e u lacer, à savoir : X = 0 avec prob., avec prob. M 0 le ombre moye de "face" pour 0 lacers; M 000 le ombre moye de "face" pour 000 lacers. Nous allos comparer les valeurs théoriques à celles obteues par des simulatios. Pour géérer ue moyee de lacers, o divise par la variable biomiale,. Ue expériece cosistat à lacer fois ue pièce, gééros u échatillo de k expérieces: Needs"Statistique`" som : BiomialDistributio, ; echat, k : N RadomItegersom, k; Le ombre moye de "face" e 0 lacers est ue variable aléatoire M 0 dot o peut cosidérer u échatillo de taille 50 e0 echat0, , 0.7, 0.6, 0.7, 0.5, 0.4, 0.4, 0.7, 0.4, 0.3, 0.4, 0.4, 0.7, 0.5, 0.5, 0., 0.6, 0.4, 0.4, 0.6, 0.3, 0.4, 0.6, 0., 0.6, 0.5, 0.4, 0.7, 0.9, 0.4, 0.5, 0.3, 0.6, 0.4, 0.5, 0.6, 0.6, 0.6, 0.6, 0.4, 0.5, 0.6, 0.4, 0.6, 0.7, 0.3, 0.7, 0.7, 0.7, 0.7 m0 Meae0 0.54

11 -stat_ii.b 7 s0 StadardDeviatioMLEe Le ombre moye de "face" e 000 lacers est ue variable aléatoire M 000 dot o peut cosidérer u échatillo de taille 50 e000 echat000, , 0.49, 0.56, 0.45, 0.59, 0.497, 0.475, 0.5, 0.506, 0.56, 0.5, 0.49, 0.57, 0.59, 0.496, 0.496, 0.4, 0.5, 0.5, 0.494, 0.494, 0.50, 0.5, 0.4, 0.47, 0.5, 0.4, 0.49, 0.49, 0.454, 0.496, 0.4, 0.479, 0.505, 0.43, 0.5, 0.503, 0.5, 0.4, 0.49, 0.50, 0.533, 0.49, 0.54, 0.495, 0.55, 0.45, 0.5, 0.47, 0.50 O remarquera que les moyees sot mois fluctuates avec 000 lacers qu'avec 0. E d'autres termes, l'écart-type de la moyee est plus petit pour 000 lacers que pour 0 lacers. m000 Meae s000 StadardDeviatioMLEe O pourra observer que * les valeurs moyees de X, M 0 et M 000 sot comparables (eviro ); * l'écart-type avec 000 lacers vaut eviro de l'écart-type avec 0 lacers. 0 Ce paragraphe se propose d'expliquer pourquoi. Nous motreros que, pour ue moyee comptat 00 fois plus de termes, où 000 VM 000 et 0 VM 0 Espérace et écart-type de la moyee Cosidéros la moyee M de variables aléatoires idépedates X, X,..., X de même espérace m=ex =...= EX et de même écart-type s = VX =...= VX M X X... X M est ue variable aléatoire. L'espérace mathématique de M est calculée avec les propriétés coues EM E X X... X EX EX... EX... La variace de M est calculée avec les propriétés précédemmet établies VM V X X... X VX VX... VX... L'écart-type théorique de M est

12 -stat_ii.b M SM VM Reteos les formules suivates qui sot valables, e particulier, pour des épreuves répétées idépedates (m et s désiget l'espérace et l'écart-type d'ue épreuve, le ombre d'épreuves et M la variable aléatoire "moyee des épreuves"): EM VM E d'autres termes, pour l'écart-type de la moyee s M = VM, o a M Retour à l'exemple itroductif Nous pouvos maiteat expliquer pourquoi l'écart-type avec 000 lacers vaut eviro de l'écart-type avec 0 0 lacers où 000 VM 000 et 0 VM 0 Plus gééralemet, pour gager u chiffre caractéristique sur la précisio de la moyee (c'est-à-dire pour réduire l'écart-type d'u facteur ), il faut predre u échatillo de taille o pas 0 fois plus grade mais 00 fois plus 0 grade! Exemple Laços fois ue pièce de moaie. Le jet uméro j est modélisé par la variable aléatoire X j X j = 0 (pile) avec probabilité X j = (face) avec probabilité dot l'espérace mathématique est m=ex k = 0 μ + μ = et dot l'écart-type théorique est s= Ces variables sot idépedates. = La moyee M des variables représete le ombre moye de "face" obteu avec les jets. M est ue variable aléatoire qui vérifie EM M

13 -stat_ii.b 9.5 Estimateurs o biaisés Exemple itroductif O lace trois fois ue pièce de moaie et o compte le ombre moye de "face". A partir d'expérieces, o veut estimer la moyee et l'écart-type d'u lacer. Needs"Statistique`" piece BeroulliDistributio ; Ue observatio doe, par exemple, obs RadomItegerpiece, 3 0, 0, m3 Meaobs 3 v3 VariaceMLEobs 9 Etat doé que les résultats précédets sot très fluctuats, orgaisos ue série d'observatios et faisos leur moyee: 000; obs TableRadomItegerpiece, 3, ; mobs MapMea, obs; m3m NMeamObs vobs MapVariaceMLE, obs; v3m NMeavObs 0.69 Comparos avec les valeurs théoriques. Nous partos de trois variables aléatoires idépedates : X j = 0 avec prob., j =,, 3, dot ous formos la moyee M avec prob. 3 = X 3 + X + X 3. Nous ous demados si les paramètres empiriques de M 3 costituet ue estimatio raisoable des paramètres théoriques de X j. Plus précisémet, ous allos comparer * la moyee empirique de trois observatios m 3 = mm 3 et l'espérace d'u jet m =EX j ; * l'écart-type empirique de trois observatios v 3 = vm 3 et l'écart-type théorique d'u jet s = VX j. EX j VX j voir Statistique I, Exercice 3.

14 -stat_ii.b 0 La comparaiso de m 3 et m doe bie le résultat attedu : m 3 Par cotre, v 3 et s sot très différets. La raiso est qu'il faudrait calculer o pas v s i x i m où m est la moyee empirique, mais plutôt x i i où m est l'espérace mathématique. Vérifios-le sur l'exemple précédet: vcorx, x, x3 : 3 x x x3 ; vobscor MapvCor, obs; v3cor NMeavObsCor 0.5 Nous avos démotré, das Statistique I, exercice 4. -, que la valeur de t pour laquelle la foctio suivate est miimale t # i x i t est la moyee arithmétique t = m. C'est pourquoi si, das l'expressio i x i, o remplace m par m, o obtiet ue valeur trop petite. O dit que s est u estimateur biaisé de s. Das ce paragraphe, ous motreros qu'ue estimatio sas biais de s est 3 s ; umériquemet, 3 v3m Hypothèses O cosidère maiteat u échatillo doé de taille x, x,..., x auquel correspodet, das le modèle théorique, variables aléatoires idépedates idetiquemet distribuées X, X,..., X de même espérace m et de même écart-type s. Remarquez que, das le cas où l'o extrait d'ue populatio fiie u échatillo o exhaustif par u tirage sas remise, otre hypothèse 'est pas vérifiée. Estimateur de l'espérace mathématique A la moyee empirique m mx x x... x

15 -stat_ii.b correspod, das le modèle théorique, la variable aléatoire M X X... X D'ue part, puisque les variables sot idépedates et idetiquemet distribuées, EM E X X... X EX EX... EX D'autre part, m état ue réalisatio de la variable aléatoire M, o a Em EM ce qui motre que m est u estimateur sas biais de l'espérace mathématique de M. Nous otos EM m Calculos EM. D'après les règles de calcul EM EX k pour k,,..., Fialemet, m est u estimateur o biaisé de l'espérace mathématique de chaque épreuve X k : m Estimateur sas biais de l'écart-type théorique A la variace empirique s s x mx mx correspod la variable aléatoire Z X X... X M s est ue réalisatio de la variable aléatoire Z. Puisque Es = EZ, s est u estimateur sas biais de l'espérace mathématique de Z, ce qui se ote EZ s Calculos EZ. D'après les propriétés de Statistique I, 3.4, o a EZ E X X... X M EX EX... EX EM Das l'expressio précédete, détermios EX i et EM VX i EX i EX i EX i VX i EX i VM EM EM EM VM EM puis effectuos la substitutio

16 -stat_ii.b EZ EX EX... EX EM O dit que s est u estimateur biaisé de s parce que à s correspod la variable aléatoire Z dot l'espérace mathématique diffère de s. Pour obteir u estimateur sas biais, o utilise la relatio EZ Fialemet, s est u estimateur o biaisé de la variace théorique de chaque épreuve X i : s Par suite, s est u estimateur o biaisé de l'écart-type théorique de chaque épreuve X i: s C'est aisi que se justifie la formule de l'écart-type corrigé que l'o utilise pour les échatillos de petite taille s x m x m... x m x m x m... x m La correctio cosiste à remplacer par - : x m x m... x m Avec Mathematica, la foctio à utiliser 'est pas StadardDeviatioMLE mais? StadardDeviatio StadardDeviatiolist gives the stadard deviatio of the elemets i list. StadardDeviatiodist gives the stadard deviatio of the symbolic distributio dist. à O remarquera que, pour des échatillos de grade taille, la correctio est égligeable. Aisi, pour = 00, o a >.005 Repreos l'exemple itroductif: vcorobs MapVariace, obs; vcor3m NMeavCorObs

17 -stat_ii.b 3 Exercice.5 - Pour = 5, par ue simulatio, estimez s = écart-type de la distributio biomiale 5,. Comparez avec l'écart-type théorique s = p- p (selo l'exercice.3-3)..6 Cetral limit theorem Exercice -6- (Exercice de révisio; voir Statistique I, exercice ) a) Cosidéros maiteat le ombre moye de six obteus e laçat 00 fois le dé. Cette variable aléatoire, désigée par M 00, est ue distributio biomiale. [Avec Mathematica] Tracez so diagramme à bâtos. Comparez avec la distributio ormale. Remarque : E gééral, o e peut pas superposer u diagramme de fréqueces et u diagramme de desité sauf das le cas particulier où tous les bâtos peuvet être iterprétés comme des barres de largeur. b) Effectuos maiteat ue simulatio de M 00. [Avec Mathematica] O demade de - costruire u échatillo de taille ; - grouper les doées e les traitat comme ue variable cotiue; - superposer l'histogramme et la distributio ormale. Problématique Nous savos déjà que, si les variables que l'o somme sot de Beroulli, idépedates et idetiquemet distribuées, alors leur somme est ue variable biomiale S, dot la moyee est M = S, qui est doc voisie d'ue distributio ormale. Qu'e est-il si la distributio des variables de départ 'est pas de Beroulli? Cosidéros la moyee M de variables aléatoires idetiquemet distribuées, d'espérace mathématique m et d'écarttype s. Nous supposos que les variables obéisset à ue distributio quelcoque et que est ue costate etière pas trop petite. Nous savos déjà que l'espérace mathématique de M est m et que l'écart-type de M est s M = s. Mais que peut-o dire de la distributio de M? Il pourrait d'abord ous sembler que la distributio de M dépede de la distributio des variables participat à la moyee. Fort étoammet, pour de grades valeurs de, la distributio de M est voisie d'ue distributio ormale quelle que soit la distributio des variables dot o fait la moyee. Comme exemple, cosidéros la moyee de variables cotiues idetiquemet distribuées. Distributio cotiue uiforme distr UiformDistributio0, ; La moyee de la distributio uiforme est la valeur cetrale: Meadistr Comme ous l'avos étudié das Statistique I, 4.,

18 -stat_ii.b 4 StadardDeviatiodistr 3 N Moyee de 7 variables idetiquemet distribuées Statistique` M : MeaRadomRealdistr, 7 TableM, , , , , 0.493, , 0.433, , , , , , , 0.543, , , 0.396, 0.60, , La moyee est ue variable aléatoire dot o peut calculer la moyee et l'écart-type (moyee des moyees, écarttype des moyees): 4000; x TableM, ; mm Meax sm StadardDeviatioMLEx 0.05 Comparaiso avec la valeur théorique m N Pour effectuer ue descriptio statistique, choisissos u itervalle proche de m - 3 s, m + 3 s et partageos-le e 9 classes comme suit u Rage 3 0, 3 0, , 4 5, 3, 5, 7 5, 5, 3 5, 3, 5, 4 5 effectifs BiCoutsx, u 47, 94, 476, 73, 94,, 46, 0, 5 freq effectifs , , 9 000, , , , , , 9 000

19 -stat_ii.b 5 g histogrammeu, freq orm NormalDistributio, m; g PlotPDForm, t, t, 0.`, 0.9`, PlotStyle Black, Thick Showg, g, AxesLabel Noe, "Desité" Coclusio: O peut observer que la moyee arithmétique de 7 variables est approximativemet ormale. Pourtat, la distributio des 7 variables de départ est très loi d'être ormale puisqu'elle est uiformémet distribuée sur 0,.

20 -stat_ii.b 6 Cetral limit theorem Le résultat précédet est gééralisable : la distributio ormale est ue distributio particulière vers laquelle tedet toutes les moyees. Le cetral limit theorem ous l'éoce plus précisémet. Hypothèses: A partir de variables aléatoires idépedates idetiquemet distribuées X, X,..., X, d'espérace m=ex =...= EX et d'écart-type s = VX =...= VX, o forme ue ouvelle variable aléatoire M = X + X X. Coclusio: Pour tedat vers l'ifii, la distributio de M ted, e probabilité, vers la distributio ormale de moyee m et d'écart-type s M = s. La démostratio du cetral limit theorem relève du iveau uiversitaire. Applicatio à la simulatio : estimatio de l'erreur Rappel E accord avec les résultats de Statistique I, 4, la distributio ormale de moyee m et d'écart-type s M possède les propriétés suivates l'itervalle m -s M, m+s M cotiet eviro 6.3 % des observatios; l'itervalle m - s M, m+ s M cotiet eviro 95.5 % des observatios; l'itervalle m -3 s M, m+3 s M cotiet eviro 99.7 % des observatios; Coséquece: Pour de grades valeurs de, la moyee empirique de tirages idépedats a ue distributio approximativemet s ormale. E otat m la moyee empirique, s l'écart-type empirique et s M = l'estimatio de s M, ous auros approximativemet la probabilité que l'itervalle m -s M, m +sm cotiee m est de 6.3 % eviro; la probabilité que l'itervalle m - s M, m + sm cotiee m est de 95.5 % eviro; la probabilité que l'itervalle m - 3 s M, m + 3 sm cotiee m est de 99.7 % eviro. - Justificatio: Das la relatio suivate, o peut échager les rôles de m et m. s M est estimé par m M, M M m M M m M M m M M m M m M m M m M, m M M sm s s Pour des valeurs de pas trop petites, l'approximatio s M > s M est légitime. Par suite m M, M approx m M, m M

21 -stat_ii.b 7 Le cetral limit theorem ous fourit aisi ue estimatio de l'erreur dot ous tireros profit das le chapitre Simulatio.