Propriété géométrique d une famille de courbes. ( ) ( ln )

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1 Sujet 1 Propriété géométrique d ue famille de courbes À tout ombre réel positif a, o associe la foctio f a défiie sur ]0, + [ par : a ( ) ( l ) f x = x x a. O ote C a la courbe représetative de f a das le pla rapporté à u repère orthoormé d origie O. 1. À l aide d u logiciel, représeter la courbe C 0. Représeter ue des courbes C a et faire varier le paramètre a Appeler le professeur pour lui motrer ces premières réalisatios. O ote D la droite d équatio y = x. Faire figurer sur le graphique les poits S 0 et S a, poits d itersectio des courbes C 0 et C a respectivemet avec la droite D. Quels rôle semblet jouer les ordoées des poits S 0 et S a pour les foctios f 0 et f a? 3. O ote E 0 et E a les poits d itersectio des courbes C 0 et C a respectivemet avec l axe des abscisses. Par quelle trasformatio géométrique simple le triagle OS a E a semble-t-il être l image du triagle OS 0 E 0? Appeler le professeur pour lui exposer cette cojecture 4. Calculer les coordoées des poits S 0 et S a, puis celles des poits E 0 et E a. Que coclure quat aux cojectures précédetes?

2 Sujet Méthode des rectagles O cosidère la foctio f, défiie sur [0, 1] par : ( ) f x 1 e x = x. 1 O se propose de détermier u ecadremet de l itégrale ( ) I = f x dx. 1. Représeter la courbe C, courbe représetative de f das u repère orthoormé. Commet peuto iterpréter graphiquemet I? Quel semble être le ses de variatio de la foctio f? 0 Appeler le professeur pour lui soumettre cette réalisatio et cet avis. Pour tout etier aturel o ul, o pose : 1 1 k S = f k = 0 et 1 k T = f k = 1 À l aide d u logiciel adapté, faire le calcul de S 100 et T 100. E déduire u ecadremet de I. Quelle est l amplitude de cet ecadremet? Appeler le professeur pour lui soumettre ces calculs 3. Détermier le ses de variatio de f. 4. Commet peut-o obteir u ecadremet de I d amplitude 10 3?

3 Sujet 3 Tagetes commues Le pla est mui d u repère orthoormé ( O; i, j) respectivemet les foctios f et g défiies sur R par :.O cosidère les courbes C et Γ représetat f ( x) = l x et g( x) x =. O se propose d étudier le ombre de tagetes commues à ces deux courbes. 1. Représeter les courbes C et Γ. Placer sur la courbe C u poit A d abscisse a. Estimer graphiquemet le ombre de poits d itersectio de la tagete T e A à la courbe C avec la courbe Γ.. Combie les courbes C et Γ semblet-elles avoir de tagetes commues? Pour quelles valeurs de a cette situatio se réalise-t-elle? Appeler le professeur pour lui soumettre ces estimatios 3. Écrire ue équatio de la tagete T au poit A d abscisse a à la courbe C. Écrire esuite ue coditio écessaire et suffisate pour que cette droite e possède qu u poit d itersectio avec la courbe Γ. Appeler le professeur pour discuter cette coditio 4. Sur le graphique, représeter graphiquemet la foctio h défiie sur R* par : 1 h( x) = 1. 4 x 5. Quels sot les poits d itersectio de la courbe représetative de la foctio h avec la courbe C? Comparer avec l estimatio faite à la questio.

4 Sujet 4 Carré aimé Le pla est mui d u repère orthoormé ( O; uv, ) respectives ( 4,0) et ( 0, 4 ).. O cosidère les poits A et B de coordoées O cosidère u poit P apparteat au segmet [ OA] et le poit R du segmet [ OB] tel que OP + OR=4 et o costruit le carré PQRS de ses direct. 1. Costruire la figure.. Commet semblet évoluer les positios de Q et S lorsque P varie sur le segmet [ OA ]? Appeler le professeur pour lui motrer la costructio, l aimatio, et lui soumettre ces cojectures 3. Costruire ue ouvelle figure sur laquelle apparaisset les poits A, B, P, R et le milieu M de [ AB ]. Comparer les triagles MBR et MOP. Mesurer l agle RMP. Prouver le résultat observé et coclure que Q=M. Appeler le professeur pour discuter cette coclusio. 4. O appelle Ω le cetre du carré PQRS. Quelle est l image du segmet [ OA] par l applicatio qui à tout poit P de [ OA ] associe le poit Ω? E déduire l image du segmet [ OA ] par l applicatio qui à tout poit P de [ OA ] associe le poit S.

5 Sujet 5 (spé) Restes chiois O examie ici u cas particulier d u théorème cou das la littérature mathématique sous le om de Théorème des restes chiois. U efat dispose d u certai ombre de jetos. S il les rage selo trois liges idetiques, il lui reste jetos. S il les rage selo 5 liges idetiques, il lui e reste 3. S il les rage selo 7 liges idetiques, il lui e reste. 1. Détermier les restes das les divisios euclidiees par 3, par 5 et par 7 des etiers aturels iférieurs ou égaux à Appeler le professeur, lui motrer le travail réalisé. Quels etiers iférieurs ou égaux à vérifiet les coditios exposées? Plus gééralemet, émettre ue cojecture sur l esemble des etiers vérifiat : ( mod.3) ( S) 3 ( mod.5) ( mod.7) Appeler le professeur pour discuter cette cojecture et evisager les moyes d aborder la suite du problème. 3. Vérifier que l idée émise e. fourit bie des solutios du système ( S ). 4. Motrer das ue première étape que pour tout etier solutio du système ( S ) il existe des etiers p et q tels que = 1p+. Expliquer esuite au professeur commet o coclut. = 5q+ 3

6 Sujet 6 Calcul approché d ue itégrale par ue méthode de Mote-Carlo 1 O cosidère la foctio f défiie sur l itervalle [ 0,1] par : f ( x) xe x puis calculer l itégrale : 1 ( ) I = f x dx 0 Représeter la portio de pla D dot cette itégrale mesure l aire. =. Représeter la foctio f Appeler le professeur pour vérifier ces poits de départ 1. O se propose de détermier ue valeur approchée de I e estimat l aire de D par ue méthode de tirage aléatoire. Cette méthode cosiste à estimer, parmi couples de ombres réels tirés selo la loi équirépartie sur [ 0,1] [ 0,1] la proportio de ceux qui sot les coordoées de poits de D. Effectuer ce tirage pour = Doer la valeur obteue par cette méthode pour l aire de D. Appeler le professeur pour discuter cette coclusio. 3. Faire 10 fois les tirages précédets. Expliquer les variatios das les résultats obteus.

7 Sujet 7 Voir das l espace j k, Das l espace rapporté au repère orthoormé ( O; i,, ) o cosidère les poits A de coordoées ( 1, 0, ), B de coordoées ( 1,1,1), C de coordoées ( 1,1, 3 ), D de coordoées ( ) coordoées ( 5,, ). Placer ces ciq poits sur ue figure. 3, 0, 4 et E de 1. Pour chacue des affirmatios suivates, effectuer avec le logiciel ue maipulatio permettat d estimer qu elle est VRAIE ou FAUSSE : a. Les poits A, B et C sot aligés ; b. Le triagle BDE est rectagle ; c. Le triagle BDE est isocèle ; d. Le poit D est l isobarycetre de A, B et C ; e. Les poits A, B, C et D e sot pas coplaaires Appeler le professeur. Discuter avec la figure le traitemet des questios. Examier de même cette ouvelle suite d affirmatios : a. Le projeté orthogoal du poit B sur le pla (ADE) est le poit D ; b. La droite (DE) est orthogoale au pla (ABC) ; c. La droite (AD) est orthogoale au pla (BDE) ; 3. O cosidère la sphère (S) de cetre E et de rayo 3. Discuter ces affirmatios : a. La sphère (S) est tagete au pla (ABC) ; b. La sphère (S) passe par le poit A ; c. L itersectio de la sphère (S) et du pla (ABC) est l esemble vide. Appeler le professeur pour examier ces affirmatios. 4. Établir, par le raisoemet et le calcul, les réposes apportées à la questio 1.

8 Sujet 8 Approximatio d ue solutio d ue équatio différetielle O cosidère l équatio différetielle : ( E) y' = xy, dot l icoue est ue foctio défiie sur R +. O s itéresse à la solutio f de cette équatio vérifiat f ( 0) = Approximatio de la pete de la corde par le ombre dérivé à l origie (méthode d Euler) O se doe u pas h et la suite ( x ) de réels défiie par 0 0 ( y ) est défiie par y 0 = 0 et, pour tout, y 1 y x y h Dresser le tableau des couples (, ) correspodats sur u graphique. + =. x = et, pour tout, x+ 1 = x + h. La suite x y das le cas h = 0,1, pour 50. Représeter les poits Appeler le professeur pour lui exposer la méthode et les résultats. Approximatio de la pete de la corde par le ombre dérivé à l extrémité La suite ( x ) est défiie comme e 1., mais la suite ( ) y y = xh les poits correspodats sur le graphique.. Dresser le tableau des couples (, ) y l est maiteat par y 0 = 0 et, pour tout, x y das le cas h = 0,1, pour 50. Représeter 3. Vérifier que la foctio g défiie sur R + par : g( x) = e x est solutio de l équatio ( ) 4. Compléter le graphique précédet avec les couples, ( ) utilisées pour les y + 1. Comparer les méthodes utilisées. ( ) E. x g x. Justifier les défiitios Appeler le professeur pour lui motrer ce bila.

9 Sujet 9 Lieu géométrique das l espace O cosidère u tétraèdre ABCD, le milieu I du segmet [ AB ], le milieu J du segmet [ CD ] et le poit L tel que ICJL soit u parallélogramme. { } Soit m u réel o ul et G m le barycetre du système ( A, 1 ),( B, 1 ),( C, m )(, D, m) 1. Réaliser ue figure. a. Où semble se trouver le poit G? b. Existe-t-il ue valeur de m pour laquelle L = G m? c. Quel semble être le lieu du poit G m lorsque m décrit R*?. Appeler le professeur pour lui motrer la figure et lui soumettre ces cojectures d. Comparer les logueurs JL et JG m. Les vecteurs JG m et JL semblet-ils coliéaires? Existe-t-il ue valeur de m pour laquelle J = G m?. Établir, si possible, par le calcul, ue relatio de coliéarité etre JG m et JL. Quel est fialemet le lieu du poit G m? Appeler le professeur pour lui motrer ce bila.

10 Sujet 10 Courbes tagetes Les courbes représetatives de deux foctios f et g, das le même repère du pla, sot dites tagetes si elles possèdet la même tagete e u poit, autremet dit s il existe u réel x 0 tel que ( ) = ( ) et f '( x ) g' ( x ) f x g x 0 0 =. 0 0 U réel a état doé, o veut savoir si les courbes représetatives des foctios f et g, défiies sur R respectivemet par f ( x) = si x et par ( ) g x = x + a, sot tagetes. 1. Représeter ces deux foctios et faire varier a. Pour quelles valeurs de a les courbes semblet-elles tagetes? Quelles sot les coordoées de leur poit d itersectio? Appeler le professeur pour lui motrer les courbes et le résultat. Estimer graphiquemet le ombre de solutios de l équatio cos x = x et des valeurs approchées de ces solutios. Comparer avec les résultats obteus e Motrer qu ue coditio écessaire pour que les deux courbes soiet tagetes e leur poit d abscisse x est : x 4a 5 ( a ) plus de ce résultat? = + + Laquelle des deux estimatios s approche-t-elle le Appeler le professeur pour lui motrer ce bila.

11 Sujet 11 Avec u rectagle et des triagles équilatéraux Das le pla orieté, o cosidère u rectagle OPMQ de ses direct et les poits R et S tels que les triagles PRM et MSQ soiet équilatéraux de ses direct. 1. Faire la figure. Sur cette figure, faire varier le poit M sur la perpediculaire à (OP) passat par P et observer le triagle ORS et so cetre de gravité G.. Quelles cojectures peut-o émettre sur la ature du triagle ORS et le lieu de G? Quelles premières vérificatios peut-o obteir avec les ressources offertes par le logiciel? Appeler le professeur, lui motrer la figure et lui soumettre ces maipulatios 3. O costruit de même des triagles équilatéraux OQT et POU. Doer ue coditio écessaire et suffisate pour que le quadrilatère RSTU soit u carré. Appeler le professeur pour lui soumettre cette coditio 4. Idiquer les démarches permettat de prouver les assertios précédetes.

12 Sujet 1 spé Ue mouliette à ombres etiers À tout etier aturel P iférieur à o associe le triplet (a, b, c) de ses chiffres (par dérogatio aux covetios ordiaires, a peut être ul, et das le cas où il l est, b peut l être aussi). O cosidère esuite les ombres M et N qui s écrivet avec les mêmes chiffres, utilisés respectivemet das l ordre décroissat et das l ordre croissat. O effectue efi la différece M N, qui fourit l image P 1 du ombre P. Exemples : pour P = 574, o obtiet M = 754, N = 457 et P 1 = 97, pour P = 454, o obtiet M = 544, N = 445 et P 1 = Réaliser u programme ou écrire sur ue feuille de calcul les istructios permettat d obteir l image P 1 de tout etier P iférieur à Appeler le professeur pour vérifier ce programme ou cette feuille de calcul. Observer les images, puis les images successives, de quelques etiers. Quelle remarque peuto faire sur les chiffres des ombres P 1? À quelle issue semblet coduire les itératios successives? Appeler le professeur pour lui exposer cette cojecture 3. Détermier l esemble des valeurs possibles de P 1. Coclure.

13 Sujet 13 Étude d ue suite défiie par ue relatio de récurrece O cosidère la suite ( u ) défiie par : u 0 = 1, 1 4 O souhaite détermier ue expressio de u e foctio de. u = et, pour tout etier aturel, u+ = 4u+ 1 3u. 1. Réaliser le calcul des vigt premiers termes de la suite ( u ). Cette suite est-elle arithmétique? Géométrique? Appeler le professeur pour lui soumettre cette réalisatio et ces avis. O cosidère les suites ( v ) et ( ) S défiies par : pour tout etier aturel, v = u+ 1 uet S k= = v. k = 0 k Réaliser le calcul des premiers termes de ces suites et cojecturer la ature de ( v ) et ue relatio etre u + 1et S. 3. Commet les résultats précédets permettet-ils de trouver ue expressio de u e foctio de? Appeler le professeur pour lui soumettre ces calculs et lui proposer la démarche 4. Exprimer u e foctio de.

14 Sujet 14 Chagemets d état O coserve das ue eceite ue populatio d êtres uicellulaires qui peuvet se trouver das deux états physiologiques désigés par A et B. O désige par a et b les effectifs exprimés e milliers d idividus des deux populatios à l istat. Des observatios meées sur ue assez logue période permettet d estimer que : a = 1 0,95a + + 0, b et b = 1 0,05a + + 0,8b (95% des uicellulaires se trouvat à l istat das l état A ot pas chagé d état à l istat + 1, o plus que 80% de ceux se trouvat à l istat das l état B). L effectif total s élève à idividus. 1. La populatio à l istat 0 satisfait a 0 = 375. Faire le calcul des effectifs a et b pour 50. Peut-o faire ue cojecture sur le comportemet asymptotique des suites ( a ) et ( ) b? Appeler le professeur, lui motrer les calculs et lui soumettre cette cojecture. Effectuer de ouveaux essais e modifiat les valeurs a 0 et b 0. O pourra par exemple predre a0 = 0, puis a0 = 15, 50, 400, et efi 500. Observe-t-o ue dépedace par rapport à la distributio iitiale? 3. Motrer fialemet que la suite de terme gééral a 400 est géométrique et coclure. Appeler le professeur pour lui soumettre cette coclusio 4. Idiquer les démarches permettat de prouver les assertios précédetes.

15 Sujet 15 Suite d équatios À tout etier aturel o ul, o associe la foctio f, défiie sur [0, 1] par : ( ) e x =. f x x 1. Représeter ue foctio f. Faire varier. Combie l équatio f ( x ) = 0 semble-t-elle posséder de solutios? Appeler le professeur pour lui motrer la costructio et l aimatio,. Motrer que l équatio f ( x ) = 0 possède ue seule solutio. O ote u cette uique solutio. Repredre l aimatio précédete et observer le comportemet de la suite ( u ). Quel semble être so ses de variatio? Cette suite a-t-elle ue limite? Que dire de cette limite? Appeler le professeur pour discuter ces cojectures 3. Motrer que la suite ( u ) est croissate. O pourra pour cela motrer que f 1 ( u) E déduire qu elle est covergete. 4. Motrer, pour tout, l égalité : u e u =. E déduire la limite de la suite ( ) + est positif. u.

16 Sujet 16 U lieu pour deux Das le pla orieté, o cosidère u cercle C de cetre O et de rayo 1, et u poit A tel que OA < 1. À tout poit P du cercle C o associe le poit Q, poit du cercle C tel que le triagle PAQ soit rectagle e A et direct. O appelle I le milieu de [PQ] et H le pied de la hauteur issue de A du triagle APQ. 1. Réaliser ue figure dyamique et idetifier u cercle sur lequel I demeure tat que P se déplace sur C. Quel semble être le cetre de ce cercle? Appeler le professeur, lui motrer la figure et les cojoctures émises. Quel semble être le lieu du poit H? 3. O appelle Ω le milieu de [OA]. Vérifier que les distaces IΩ et HΩ semblet costates. Appeler le professeur pour examier ces idées 4. Motrer que Coclure. 5. Motrer qu o a égalemet IA + IO = 1, puis calculer HA + HO = 1. Coclure. IΩ (o pourra utiliser le théorème de la médiae).

17 Sujet 17 Essai d u dé tétraédrique O désire savoir si u dé tétraédrique est bie équilibré. Pour cela, o effectue 00 lacers de ce dé, et o obtiet les résultats suivats : Numéro porté par la face Nombre de sorties de la face Calculer les fréqueces de sortie f k de chaque face. k = 4 1. O pose d = fk. Calculer d. k = Effectuer sur ue feuille de calcul ue simulatio de 00 lacers d u dé tétraédrique bie équilibré. Rassembler les résultats das u tableau aalogue au précédet et calculer le d correspodat. Appeler le professeur pour lui motrer de travail 4. O réalise simulatios de 00 lacers d u dé tétraédrique bie équilibré. O obtiet des résultats dot o peut tirer le tableau suivat cocerat la série des valeurs de d obteues : Miimum Premier décile Premier quartile Médiae Troisième quartile Neuvième décile Maximum 0, , , , , , , Au risque 10%, peut-o estimer que le dé examié est bie équilibré? Appeler le professeur, lui dire commet o pourrait effectuer les simulatios et lui doer la répose à la derière questio

18 Sujet 18 L arbelos et le premier cercle de Pappus O cosidère u demi-cercle C de cetre O et de diamètre [AB], u poit C du segmet [AB] distict de ses extrémités et les demi-cercles C 1 et C de diamètres respectifs [AC] et [BC], situés das le même demi-pla de frotière (AB) que C. Le domaie e gris focé ci-cotre est appelé arbelos. La perpediculaire e C à (AB) coupe C au poit D. Les droites (DA) et (DB) coupet C 1 et C respectivemet e E et F. 1. Faire ue figure. Quelle semble être la ature du quadrilatère CEDF? Appeler le professeur pour lui motrer la figure et lui soumettre cette cojecture. Motrer que CEDF est u rectagle. Comparer l aire du disque circoscrit à ce rectagle à l aire de l arbelos. 3. Pourquoi la droite (EF) est-elle tagete aux deux demi-cercles C 1 et C? 4. Les droites (AB) et (EF) se coupet e I. Soit K le poit de cotact avec C de la tagete à C passat par I. Chercher sur le segmet [OK] le cetre M d u cercle Γ taget à C, C 1 et C. Appeler le professeur pour lui motrer le résultat de cette recherche 5. Vérifier que la distace de M à la droite (AB) est le double du rayo de Γ. E ajoutat cette observatio aux hypothèses de la questio 4, idiquer ue démarche permettat d établir le résultat.

19 Sujet 19 Aligemet complexe Das le pla complexe rapporté au repère orthoormé ( O; uv, ) et le cercle Γ de cetre Ω et de rayo 1, o cosidère le poit Ω d affixe 1 i Soit M u poit du cercle Γ, d affixe z. Au poit M o associe les poits M' et M" d affixes respectives z' = z+ iet z'' = iz. 1. Quelles trasformatios sot représetées par les écritures complexes précédetes?. Faire ue figure. Quels esembles semblet décrire M' et M" lorsque M décrit le cercle Γ? Appeler le professeur pour vérifier ces poits de départ 3. Observer les poits O, M' et M". Commet faire «cofirmer» cette observatio par le logiciel? 4. Motrer que, pour tout poit M de Γ, il existe u réel θ apparteat à l itervalle [ 0, π[ tel que 1 iθ 1 i l affixe z de M s écrive z = e. Faire apparaître θ à l affichage. 5. Coclure quat à l aligemet de O, M' et M" Appeler le professeur pour discuter cette coclusio.

20 Sujet 0 Avec u triagle, des carrés et des parallélogrammes O cosidère u triagle ABC direct. O costruit les carrés directs CBDE, ACFG et BAHI. O complète cette figure avec les parallélogrammes directs FCEK et BIJD. 1. Faire la figure. À l aide d ue aimatio, faire varier le triagle AJK. De quelle ature semblet-il être? Commet varie le milieu M du segmet [JK]? Appeler le professeur, lui motrer la figure et lui soumettre ces maipulatios. O se place das le pla complexe. O attribue à A l affixe a, à B l affixe b et à C l affixe c. Calculer les affixes de J, K et M et tracher aisi la cojecture. Appeler le professeur pour lui soumettre ces calculs

21 Sujet 1 Lieu de poits Soit f la foctio défiie sur l itervalle [ 5,5] par : f( x) = 10x+ 50. O ote respectivemet C la courbe représetative de la foctio f das u repère orthoormal d origie O et o appelle A et B les poits de coordoées respectives ( 5, 0) et (5, 0). Soit M u poit quelcoque de C, d abscisse m et H so projeté orthogoal sur l axe des abscisses. O cosidère le poit M d ordoée égative se projetat aussi e H et tel que AM = HM. Le but de cet exercice est de détermier le lieu du poit M lorsque M parcourt la courbe C. 1. a) À l aide d u logiciel de géométrie, tracer la courbe C et représeter les poits A, B, M, H et M. b) Faire afficher le lieu du poit M lorsque M décrit la courbe C. Appeler le professeur pour ue vérificatio et ue aide évetuelle c) Que peut-o cojecturer sur le lieu du poit M? d) Utiliser le logiciel pour cotrôler cette cojecture et, évetuellemet, la rectifier. Appeler le professeur pour ue vérificatio des cojectures et ue aide évetuelle. Exprimer les coordoées des poits M et H e foctio de m. Exprimer AM ² de deux faços différetes. E déduire ue relatio etre les coordoées du poit M puis coclure.