Circuits en courant sinusoïdal

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1 rcts e corat ssoïdal I 8 A e certae fréqece f =, la teso d'almetato e, la teso π ax bores d codesater de capacté et la teso ax bores de la e = Em cos t B bobe d dctace et de résstace ot totes tros des ampltdes égales ) e pet-o dre alors : a) d rapport des ampltdes complexes? B b) d rapport des mpédaces complexes d codesater et de la bobe? ) Exprmer et e focto de et ) elle est la dfférece des phases d corat et de la teso e? est-l e avace o e retard sr e? II 6 ) Ue se, almetée sos la teso ssoïdale de valer effcace U = volts et USINE de fréqece f = 5 hertz, cosomme e pssace moyee P = kw ; so facter de pssace est cos φ =, 8 alcler l testé effcace I ) se a caractère dctf à case de ses maches epréseter qaltatvemet das le pla complexe les ampltdes complexes de et de e preat comme référece de phase ) O met e parallèle avec l se codesater de capacté de sorte qe le facter de pssace de l esemble sot maxmal ommet est alors l ampltde complexe d corat T par rapport à celle de? 4) ompléter la fgre de la qesto ) e y représetat les ampltdes complexes de et T de faço coforme à la qesto précédete 5) alcler mérqemet la valer I effcace de, ps la valer qe dot avor la capacté 6) ommet l éerge perde par effet Jole das les lges q amèet le corat déped-elle de la valer effcace I T de T? 7) alcler e porcetage l écoome réalsée par le forsser de l éerge électrqe, l dstrel cosommat tojors la même pssace III 5 Détérorato de composats électrqes O réalse crct -- sére avec codcter ohmqe de résstace = 5Ω, codesater de capacté =, µf et e bobe de résstace r = 5Ω et d'dctace =, H e crct, représeté c-cotre, est almeté par GBF délvrat e teso alteratve ssoïdale e = U cost de valer effcace U costate, mas dot la fréqece pet être ajstée à tote valer férere à khz O ote s la teso ax bores d codesater, H la focto de trasfert H = / et H le modle de cette focto de trasfert s e O pose = + r, =,, GdB log H = = - Exprmer le modle H de la focto de trasfert e focto de et de x = e T r, B, e résltat sera doé sos forme d' qotet dot le mérater est égal à - alcler : a) la valer mérqe d facter de qalté b) la valer mérqe x de x por laqelle le modle de la focto de trasfert attet sa valer maxmale H max c) la valer mérqe de H max - alcler le modle de la focto de trasfert por x =,94 et x =,9794 e représetet ces dex valers partclères? 4- Parm les qatre corbes de la fgre c-dessos, laqelle correspod a graphe smplfé de la corbe G = f(log x) ; explqer les rasos de votre chox db s DS : crcts e corat ssoïdal, page

2 5- Sachat qe la bobe et le codcter ohmqe e pevet spporter sas rsqe de destrcto corat d'testé effcace 5 ma et qe le codesater est détrt lorsqe la teso effcace à ses bores attet V, à qelle valer dot-o lmter mpératvemet U por q'ac composat e sot détéroré lorsq'o fat varer la fréqece de à khz? IV ) A e certae fréqece, l ampltde d corat e vare pas qad vare Exprmer e focto de et ) Por qelle valer de le corat est-l alors e phase avec e? e= E cost m V 6 ge à retard Sot e lge costtée de cellles detqes ; A A A o ote = / E corat ssoïdal de plsato, doer la relato de récrrece etre les ampltdes complexes O cherche e solto de cette relato de la forme = a Doer l éqato satsfate par a Motrer qe, s <, a est de la forme a = exp( jϕ( )) et détermer la focto ϕ( ) E dédre qe = A exp( jϕ ) + Bexp( jϕ) Exprmer ( t) Motrer qe s la sorce d sgal est à gache d motage, le prcpe de casalté mpose () t = ( t τ) et calcler τ AN avec = mh et = 5 pf, calcler τ Nota : le procédé de télévso SEAM tlse e lge de retard por balayer e lge sr dex de l écra VI 7 O observe sr osclloscope les tesos et e focto d temps et o costate qe les passages par zéro de ot le à des stats temporellemet éqdstats des passages par zéro de ) E dédre e relato etre,, r et ) epréseter et e focto d temps, e jstfat le ses de ler avace o retard VII 4 ) Défr la valer effcace d corat () t focto d temps t ) elle est la valer effcace d corat = + cos( t) ( t e secodes, e ampères)? VII 5 Sr le tablea de dstrbto d'e stallato trphasée, os trovos qatre bores : la premère appelée etre et otée N ; les tros atres appelées phases otées et l,, (fgre ) Etre le etre et chace des tros phases exstet tros tesos dtes "smples" : 4 v V cos t v V cos t π v V cos π = = = t où V ) alcler v + v + v DS : crcts e corat ssoïdal, page = V A r e = E cos t m

3 ) O appelle "tesos com posées" les tesos etre phases comme : = v v Doer l expresso stataée de sos la forme acos( t + ϕ ) ) O brache tros lampes detqes de pss ace P = watts etre le etre et chaqe phase ; qel est le corat das le fl etre N? (fgre ) 4) O rajote e dexème lampe de watts etre le etre et la phase ; qel est das ce cas le corat stataé das le etre N? (fgre ) 5) Par ste d' accde t, le fl etre est copé (fgre 4) alcler le potetel stataé v O d pot O e s pposat qe la résstace des lampes est dépedate de la teso applqée à lers bores 6) E dédre les pssaces P, P, P et P das chaqe lampe O rappelle qe les tros bores sot tojors ax mêmes potetels v, v et v IX U géérater de force électromotrce e = E m cos t et d'mpédace tere z = r + jx débte das dpôle d'mpédace Z = + jx ) Exprmer la pssace P reçe par le dpôle d' mpédace Z ) ommet fat-l chosr Z por qe cette pssace sot maxmm? ) O désre qe la résstac e de la fgre c-cotre reçove la pssace maxmm Por cela, o terpose etre elle et le géérater de fem e g et de résstace tere g dex mpédaces magares pres ja et jb Démotrer qe la solto d problè me précédet est applcable à ce problème, moyeat e certae hypothèse 4) alcler A et B das cette hypothèse (e pas chercher l optmm s l hypothèse est pas vérfée) e = E m cost e g z = r + jx Z = + jx g jb ja π ± époses B I ) et ) = e ; = ; et = ; ) est e avace de π/6 sr e P II ) I = = 568 A ; ) T est e phase avec ; 5) I = 4A ; U cos ϕ I = = 4, 9 F U ; 6) proportoelle a carré de I T ; 7) 6 % DS : crcts e corat ssoïdal, page T

4 III ) H = ; a) = rad/s = 5 ; b) x x =, 9996 = ; c) ( x ) + Hmax = 5 ; ) / ; les fréqeces de copre ; 4) graphe a (fltre passe-bas avec pc de résoace) ; 5) xm U = 8V effcaces IV ) = ; ) = + + V = ; a + a ; + = cos ϕ = ; ( t) = A cos( t + arg( A) + ϕ ) + B cos( t + arg( B) ϕ ) ; τ = ; τ = =, µ s VI ) r = / ; ) vor c-cotre VII ) la valer effcace est la race carrée de la moyee d carré ; ) I =, 9 A eff VIII ) v + v + v = ; ) = V 6cos ( t + π /6) ; ) N = ; 4) P v V N = cos t =, 5 cos t e ampères ; 5) = cos t ; 6) V 4 4 P = P = 6 W ; P = P = 44 W E IX ) P = m ; ) Z est le complexe cojgé de z ; 4) [( + r) + ( X + x) ] g g A= ( g ) et B = o A= ( g ) et B =+ g g DS : crcts e corat ssoïdal, page 4

5 orrgés I ) et ) omme e = B +, les représetatos complexes de ces tros tesos sot les cotés d tragle omme lers ampltdes sot égales, le tragle est éqlatéral, doc B π ± j B ( + j) = e Or le rapport des tesos est = = + j tads qe j π ± j e = ± j, doc = et = Atre résolto e = + = = B c B c + j + = ( + j ) = j j + = + = + = = D où = et = = + = = = = 4 4 e ) = + j + = + j + = ( j j j ) d argmet π 6 Doc ( π = I cos ) m t + et 6 π ce corat, q est maxmm à t =, alors qe e est maxmm à l stat, est e avace sr e 6 II ) P = U I cos ϕ I P 5 = = U cos ϕ, 8 = 568 A ) = Z où o sppose qe est réel ; l se ayat caractère dctf, Z est de la forme Z = + j, doc a argmet comprs etre et 9 ; alors a argmet comprs etre 9 et, d où le dess c-cotre ) cos ϕ est maxmm qad ϕ =, doc qad est e phase avec T T 4) = j a por argmet 9 et T = + ; d où la fgre c-cotre 5) I = I s ϕ = I cos ϕ = 568, 8 = 4A I 4 = = = 4, 9 F U π 6) omme P = I, l éerge perde das les lges ameat le corat est proportoelle a carré de I lge lge T B e 7) Sas codesater, la pssace perde das les lges est I ; avec codesater, elle est I lgei lge IT écoome est = cos ϕ =,6 I lge III ) D après le théorème de Mllma, e + j s = H = ( ) = = + j + j j x x x j j x + j H = x ( x ) + a) = rad/s = 5 lge lge T T DS : crcts e corat ssoïdal, page 5

6 d H b) ( x ) = > s x dx ( ) > q est postf, sot x > x = =, 9996, doc le ga est maxmm por x c) Hmax = 5 xm ) Por les dex valers proposées, o trove H = 7,685 alors qe = 7,678, doc ces valers sot les fréqeces de copre, c est-à-dre les extrémtés de la bade passate 4) e bo graphe est le graphe a, car le fltre est fltre passe-bas avec pc de résoace a fréqece varat de à khz, c est qad = = rad/s qe les tesos sot les pls élevées das le codesater et das la bobe 5) ad la fréqece vare de à Hz, elle passe par la fréqece de résoace f = /π = 59Hz, fréqece por laqelle les tesos ax bores d codesater et de la bobe sot maxmales e codesater pet être détrt à la résoace s sa teso à la résoace excède V = U sot U = = 8V 5 U 8 e corat das la bobe est maxmm à la résoace et vat alors ma 5 ma = 4 = < Doc la teso fore par le GBF e dot pas excéder U = 8V effcaces E pratqe, les GBF e sot pas, comme le dt l éocé, e sorce de teso, mas e sorce de teso e sére avec e résstace de 5 Ω ; l est rare q ls détrset composat à case d e teso effcace trop grade IV ) O vet qe Z e déped pas de j ( ) + j ( ) + Z = + = + = Z = j j + j j ( + j) + ( + ) j a + b Or e déped pas de s c + d a b c d + b cj + d e déped pas de s a b = c d Doc ( ) = =± = = + j ) Alors Z = est réel et postf, doc dépedat de, sot j = = = Atre solto j j( j) Z = + = + j + j j + Im( Z ) = V + = + + = = = E applqat le théorème de Mllma e A : = a est solto de la relato précédete s a dot le dscrmat est 4 = = j j + = = + j j + + a + = ; c est e éqato d secod degré DS : crcts e corat ssoïdal, page 6

7 < s < ; les races de l éqato e a ot por prodt et sot dex ombres complexes cojgés ; j elles sot doc de la forme e ϕ j et e ϕ jϕ jϕ Alors, = A e + Be où e ( a ) = cos ϕ = ( t) = e( exp( j t) ) = A cos( t + arg( A) + ϕ ) + B cos( t + arg( B) ϕ) / ( ) Posos τ = ϕ e premer terme A cos( t + arg( A) + ϕ ) = A cos( t + τ + arg( A) ) représete sgal q se propage vers la gache e mettat le temps τ d e cellle sr l atre ; le dexème terme B cos( t + arg( B) ϕ ) = B cos( ( t τ ) + arg( B) ) représete sgal q se propage vers la drote e mettat le temps τ d e cellle sr l atre S la sorce d sgal est à gache, ( t) dot être e retard sr ( t), doc A = et ( t) = ( t τ) S, comme cos ϕ ϕ /, ϕ = τ τ = et = B cos( ( t τ ) + arg( B)) = ( t τ ) omme le temps de retard τ est dépedat de la fréqece, cette lge à retard retarde d même temps totes les composates e fréqece d sgal ; elle retarde sgal de forme qelcoqe sas le déformer approxmato est d atat mellere por retard total doé qe τ est pett et le ombre de cellles grad τ = = 5 =, µ s VI ( t ) et ( t) sot e déphasées de π /, doc e ( / ) = Sot le corat, = ( + j) et = r + j, + ( r ) j + j j = =, r + j r + + ( r ) j e r = = = r + j r + t est e avace sr e( t ) et ( t) e retard, d où le graphe c-cotre ( ) VII ) a valer effcace est la race carrée de la moyee d carré ) I = = ( + cos( t) ) = + cos( t) + cos ( t) omme cos t = et comme eff cos t = /, I = + / = 8,5 =,9A eff VIII ) v = V jt e v = V ( /) π e t v = V ( 4 /) π t e jt j π/ j4 π/ v + v + v = V e e e + + = v + v + v = jt j π/ jt jπ/6 ) = v v = V e e = V e e = V 6cos ( t + π/6) v + v + v v ) N = + + = N = v + v + v v P P 4) N = = I = = =,5 A N = cos t =,5 cos t e ampères V V v/ + v/ + v / + v / v + v + v v V 5) Mllma : vo = = = = cos t 4/ ) es lampes brachées sr la phase sbsset la teso v v = v /4 P = P = ( /4) = 6W O v v DS : crcts e corat ssoïdal, page 7

8 es tesos applqées ax lampes et sot complexes cojgées, doc les pssaces de ces lampes sot égales jt j π/ Por la lampe, la teso est v vo = V e e /4 ; v / / v + j π j π O V j π/ j π / + j π/ e + e P = = e = P e e = P cos( π/ ) = P + = P P = P = 44W 6 6 IX ) Im Em Em e( *) e( *) e( ) e = = Z P = = Z = Z = = z + Z Z [( + r) + ( X + x) ] E ) Por détermé, PX ( ) est maxmm s X = x Alors, P ( ) = m ( + r) m ( r) ( r) Em 4 dp E + + r = = est postf s < r ; P( ) est maxmm s = r d ( + r) ( + r) Doc P est maxmm s Z est le complexe cojgé de z ) omme les pssaces sot addtves et comme la pssace reçe par dpôle d mpédace magare pre est lle, la pssace reçe par l esemble {, ja, jb} est égale à la pssace reçe par D après la qesto précédete, la pssace reçe par l esemble {, ja, jb} serat maxmm s l mpédace de cet esemble état le complexe cojgé de g este à savor s l est possble d obter effectvemet cette valer 4) = + ( ja) g jb ja + = E séparat parte réelle et parte magare : + g jb A = A g B = B g A + = AB = g g B O vot qe A et B sot de sges cotrares et q l fat por povor attedre la codto de la qesto ) S <, l y a dex soltos : g < g g g A= ( g ) et B = o A= ( g ) et B =+ g g Nota (o demadé) : s, l est tle d terposer motage etre eg, g et ; s > g, l fat = g { } mettre e sére avec e, et jb e parallèle avec ja { } g g ; DS : crcts e corat ssoïdal, page 8