Nombres réels et complexes

Transcription

1 [ édité le 8 décembre 06 Eocés Nombres réels et complexes Ratioels et irratioels Exercice [ 009 ] [Correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel. Exercice [ 0093 ] [Correctio] Motrer que est pas u ombre ratioel Exercice 3 [ 0094 ] [Correctio] Calculer ). E déduire l existece d irratioels a, b > 0 tels que a b soit ratioel. Exercice 4 [ 0095 ] [Correctio] Soit f : Q Q telle que x, y Q, f x + y) f x) + f y) a) O suppose f costate égale C quelle est la valeur de C? O reviet au cas gééral. b) Calculer f 0). c) Motrer que x Q, f x) f x). d) Établir que N, x Q, f x) f x) et gééraliser cette propriété à Z. e) O pose a f ). Motrer que x Q, f x) ax. Exercice 5 [ 047 ] [Correctio] Motrer que / est u ratioel. O coseille d effectuer les calculs par ordiateur. /3 Exercice 6 [ 0475 ] [Correctio] Si est u etier, le ratioel H k peut-il être etier? Exercice 7 [ 0647 ] [Correctio] a) Motrer l existece et l uicité des suites d etiers a ) N et b ) N vérifiat + ) a + b b) Calculer a b. c) Motrer que pour tout N, il existe u uique p N tel que + ) p + p Exercice 8 [ 0975 ] [Correctio] [Irratioalité de π] a) Pour a, b N, motrer que la foctio polyomiale P x)! x bx a) et ses dérivées successives preet e x 0 des valeurs etières. b) Établir la même propriété e x a/b c) Pour N, o pose I π 0 P t) si t dt Motrer que I 0. d) E supposat π a/b, motrer que I Z. Coclure. Exercice 9 [ ] [Correctio] [Irratioalité de e r pour r Q ] a) Pour a, b N, motrer que la foctio polyomiale P x)! x bx a) et ses dérivées successives preet e x 0 des valeurs etières. b) Établir la même propriété e x a/b c) O pose r a/b et pour N I r 0 P t) e t dt Motrer que I 0. d) E supposat e r p/q avec p, q N, motrer que qi Z. Coclure. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

2 [ édité le 8 décembre 06 Eocés Les ombres réels Exercice 0 [ 0098 ] [Correctio] Soit a [ ; + [. Simplifier a + a + a a Exercice [ 0099 ] [Correctio] Soit f : R R ue applicatio telle que : a) Calculer f 0), f ) et f ). x, y) R, f x + y) f x) + f y); x, y) R, f xy) f x) f y); x R, f x) 0. b) Détermier f x) pour x Z puis pour x Q. c) Démotrer que x 0, f x) 0. E déduire que f est croissate. d) Coclure que f Id R. Exercice [ ] [Correctio] Soiet N et x,..., x R. O suppose x k Motrer que pour tout k {,..., }, x k. Iégalités Exercice 3 [ ] [Correctio] Vérifier xk x R, x x) /4 Exercice 5 [ ] [Correctio] Soiet x, y [0 ; ]. Motrer x + y xy Exercice 6 [ 0097 ] [Correctio] Motrer a, b, c R, ab + bc + ca a + b + c Exercice 7 [ 034 ] [Correctio] Motrer u, v 0, + uv + u + v Exercice 8 [ ] [Correctio] Soiet N, a... a et b... b des réels. Établir a k b k a k b k Exercice 9 [ 0733 ] [Correctio] Détermier tous les couples α, β) R +) pour lesquels il existe M R tel que x, y > 0, x α y β Mx + y) Exercice 0 [ ] [Correctio] Soiet x,..., x ) et y,..., y ) deux suites réelles mootoes. Comparer x k y k et x k y k Exercice 4 [ 0096 ] [Correctio] Motrer a, b R, ab a + b ) Exercice [ 0407 ] [Correctio] Motrer que x, y [0 ; ], mi {xy, x) y)} 4 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

3 [ édité le 8 décembre 06 Eocés 3 Partie etière Exercice [ 000 ] [Correctio] Motrer que la foctio partie etière est croissate. Exercice 3 [ 00 ] [Correctio] Motrer x, y R, x + y x + y x + y + Exercice 4 [ 00 ] [Correctio] Motrer x, y R, x + x + y + y x + y Exercice 5 [ 003 ] [Correctio] Soiet N et x R. Motrer Exercice 6 [ 004 ] [Correctio] Motrer que x x x R, N, x + k x Exercice 7 [ 005 ] [Correctio] Soit a b R. Établir Card[a ; b] Z) b + a Exercice 8 [ 006 ] [Correctio] Soit N. a) Motrer qu il existe a, b ) N tel que + 3) a + b 3 et 3b a b) Motrer que la partie etière de + 3) est u etier impair. Exercice 9 [ 0346 ] [Correctio] Démotrer N, e otat x la partie etière d u réel x. Les ombres complexes Exercice 30 [ 005 ] [Correctio] Soit z U \ {}. Motrer que z+ z ir. Exercice 3 [ 006 ] [Correctio] Soiet P {z C Im z > 0}, D {z C z < } et f : C \ { i} C défiie par f z) z i z + i a) Motrer que tout élémet de P à so image par f das D. b) Motrer que tout élémet de D possède u uique atécédet par f das P. Exercice 3 [ 008 ] [Correctio] Calculer pour θ ]0 ; π[ et N, C Exercice 33 [ 009 ] [Correctio] Calculer pour θ R et N, C coskθ) et S ) coskθ) et S k sikθ) ) sikθ) k Exercice 34 [ 0307 ] [Correctio] Soit B ue partie borée o vide de C. O suppose que si z B alors z + z B et + z + z B. Détermier B. Exercice 35 [ 0365 ] [Correctio] Soiet a, b, z trois complexes de module deux à deux disticts. Démotrer b a z a ) R + z b Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

4 [ édité le 8 décembre 06 Eocés 4 Le pla complexe Exercice 36 [ ] [Correctio] Soiet z 0 C et r > 0 tels que z 0 r. O ote C le cercle das C de cetre z 0 et de rayo r. a) Pour z C, motrer z C z z 0 z z 0 z + z 0 r b) E déduire que l image de C par l applicatio f : z /z est u cercle dot o précisera cetre et rayo e foctio de z 0 et r. Exercice 37 [ 007 ] [Correctio] a) Détermier le lieu des poits M d affixe z qui sot aligés avec I d affixe i et M d affixe iz. b) Détermier de plus le lieu des poits M correspodat. Exercice 38 [ ] [Correctio] Quelle est l image du cercle uité par l applicatio z z? Exercice 39 [ 0050 ] [Correctio] Détermier l esemble des poits M d affixe z tels que z + z z Exercice 40 [ ] [Correctio] Soiet a, b, c des réels strictemet positifs. À quelle coditio existe-t-il des complexes t, u, v de somme ulle vérifiat Module et argumet Exercice 4 [ 0030 ] [Correctio] Détermier module et argumet de t t a, uū b et v v c z + + i Exercice 4 [ 003 ] [Correctio] Soiet z C et z C. Motrer z + z z + z λ R+, z λ.z Exercice 43 [ 003 ] [Correctio] Établir : z, z C, z + z z + z + z z Iterprétatio géométrique et précisio du cas d égalité? Exercice 44 [ 0356 ] [Correctio] Soiet a, b C. Motrer a + b a + b + a b et préciser les cas d égalité. Exercice 45 [ ] [Correctio] Soit a C tel que a <. Détermier l esemble des complexes z tels que z a āz Exercice 46 [ 0364 ] [Correctio] a) Vérifier z, z C, z + z + z z z + z b) O suppose z, z C tels que z et z. Motrer qu il existe ε ou tel que z + εz Exercice 47 [ 0349 ] [Correctio] Soit f : C C défiie par Détermier les valeurs prises par f. f z) z + z Exercice 48 [ 005 ] [Correctio] Résoudre l équatio z + z + d icoue z C. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

5 [ édité le 8 décembre 06 Eocés 5 Racies de l uité Exercice 49 [ 0036 ] [Correctio] Calculer le produit des -ième racies de l uité Exercice 54 [ 0040 ] [Correctio] Soit N. Résoudre l équatio Combie y a-t-il de solutios? z + ) z ) Exercice 50 [ 0037 ] [Correctio] Soit N. O ote U l esemble des racies -ème de l uité. Calculer z U z Exercice 5 [ ] [Correctio] Soiet 3, ω,..., ω les racies -ième de l uité avec ω. a) Calculer pour p Z, b) Calculer S p T i i ω p i ω i Exercice 5 [ 0038 ] [Correctio] Soit ω ue racie ème de l uité différete de. O pose S k + ) ω k E calculat ω)s, détermier la valeur de S. Exercice 53 [ 0039 ] [Correctio] Simplifier : a) j j + ) b) j j + c) j+ j Exercice 55 [ 004 ] [Correctio] Soit N. Résoudre das C l équatio Exercice 56 [ 004 ] [Correctio] Soit N. Résoudre das C l équatio z + 0 z + i) z i) Observer que celle-ci admet exactemet solutios, chacue réelle. Exercice 57 [ 0043 ] [Correctio] Soit ω e i π 7. Calculer les ombres : Exercice 58 [ 0044 ] [Correctio] Soiet N, et ω expiπ/). a) Établir que pour tout z C, z, A ω + ω + ω 4 et B ω 3 + ω 5 + ω 6 z ω k ) b) Justifier que l égalité reste valable pour z. c) E déduire l égalité si kπ Exercice 59 [ 053 ] [Correctio] Motrer que l0 π ) 5 5 si 5 8 z l Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

6 [ édité le 8 décembre 06 Eocés 6 Équatios algébriques Exercice 60 [ 0045 ] [Correctio] Pour quels a R l équatio x 3 + x + ax a 0 possède x pour solutio? Quelles sot alors les autres solutios de l équatio? Exercice 6 [ 0046 ] [Correctio] Résoudre das C, les équatios : a) z iz + i 0 b) z 4 5 4i)z + 5i) 0. Exercice 6 [ 0047 ] [Correctio] a) Détermier les racies carrées complexes de 5 i. b) Résoudre l équatio z 3 + i)z i)z 0 + i) 0 e commeçat par observer l existece d ue solutio imagiaire pure. c) Quelles particularités a le triagle dot les sommets ot pour affixe les solutios de l équatio précédete? Expoetielles imagiaires Exercice 67 [ 0033 ] [Correctio] Détermier module et argumet de e iθ + et de e iθ pour θ R. Exercice 68 [ 0034 ] [Correctio] Simplifier eiθ pour θ ] π ; π[. e iθ + Exercice 69 [ 0035 ] [Correctio] Détermier module et argumet de e i.θ + e i.θ pour θ, θ R. Exercice 70 [ 0646 ] [Correctio] Si x, y, z) R 3 vérifie motrer e ix + e iy + e iz 0 e ix + e iy + e iz 0 Exercice 63 [ 0049 ] [Correctio] Résoudre das C l équatio z i) Exercice 64 [ 0048 ] [Correctio] Résoudre das C le système { x + y + i xy i Expoetielle complexe Exercice 65 [ 005 ] [Correctio] Soit Z C. Résoudre l équatio e z Z d icoue z C. Exercice 66 [ ] [Correctio] E étudiat module et argumet, établir que pour tout z C + z ) expz) Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

7 [ édité le 8 décembre 06 Correctios 7 Correctios e) O peut écrire x p/q avec p Z et q N. Exercice : [éocé] Soit x u ratioel et y u irratioel. Par l absurde : Si z x + y est ratioel alors y z x est ratioel par différece de deux ombres ratioels. Or y est irratioel. Absurde. or f x) f p q ) p f q ) a f ) f q q ) q f q ) Exercice : [éocé] Par l absurde supposos Q. O peut alors écrire p/q avec p, q N et, quitte à simplifier, p et q o tous les deux pairs. O a alors q p. p est alors écessairemet pair car p est pair. Cela permet d écrire p k avec k N puis q k. Mais alors q est pair. Par suite p et q sot tous les deux pairs. Absurde. Exercice 3 : [éocé] ) Si est ratioel, c est gagé avec a b. Sio, o pred a et b. Exercice 4 : [éocé] a) La relatio f x + y) f x) + f y) avec f costate égale à C doe C C + C d où C 0. b) Pour x y 0, la relatio f x + y) f x) + f y) implique f 0) 0. c) Pour y x, la relatio f x + y) f x) + f y) doe 0 f x) + f x) d où f x) f x). d) Par récurrece : Pour Z, p avec p N et N, x Q, f x) f x) f x) f px) f px) p f x) f x) doc puis f q ) a q f x) ap q ax Exercice 5 : [éocé] O défiit le ombre x étudié x:/3+4/8*sqrt5/3))ˆ/3)+/3-4/8*sqrt5/3))ˆ/3); Attetio à défiir les racies cubiques par des exposats /3 avec parethèses. O peut commecer par estimer la valeur cherchée evalfx); Nous allos chercher à élimier les racies cubiques. Pour cela o calcule x 3 expadxˆ3); Das l expressio obteue, o peut faire apparaître x par factorisatio du terme ) / ) / Simplifios ce terme simplify/3+4/43*sqrt5))ˆ/3)* /3-4/43*sqrt5))ˆ/3), assumepositive); O obtiet ) /3 ) / Développos selo a b)a + b) a b 486ˆ-3ˆ*5)ˆ/3); doe 96. Efi ifactor96); permet de coclure que ) / ) / Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

8 [ édité le 8 décembre 06 Correctios 8 Aisi x est solutio de l équatio x x E séparat les termes d idices pairs de ceux d idices impaires + ) a + b E factorisat le polyôme sous-jacet factorxˆ3-7/9*x-4/3); o obtiet 3x 4)3x + 4x + 3) 0 Puisque 3x + 4x + 3 > 0, o peut coclure x 4/3 avec les etiers a 0 p ) p et b p 0 p+ ) p + O peut aussi raisoer par récurrece e mettat à jour ue expressio de a + et b + e foctio de a et b { a+ a + b p b + a + b Exercice 6 : [éocé] Le calcul des premiers termes de la suite H ) permet de cojecturer que H est le rapport d u etier impair par u etier pair. Ceci assurera H Z. Démotros la propriété cojecturée par récurrece forte. Pour, c est immédiat. Supposos la propriété établie jusqu au rag. Cas impair. O peut écrire k + et puisque par hypothèse de récurrece H s écrit p + )/q, o obtiet H H + / égale au rapport d u etier impair par u etier pair. Cas est pair. O peut écrire k avec k puis H H k k Par hypothèse de récurrece, H k est le rapport d u etier impair par u etier pair, doc H k aussi. De plus, comme etrevu das l étude du cas précédet, l ajout de l iverse d u etier impair coserve la propriété. Aisi H est le rapport d u etier impair par u etier pair. Récurrece établie. Exercice 7 : [éocé] a) Par la formule du biôme de Newto + ) ) k k L uicité proviet de l irratioalité de. E effet si + ) a + b a + b avec a, b, a, b etiers, o obtiet b b) a a Si b b alors o peut exprimer comme égal à u ombre ratioel. C est absurde et il reste b b et doc a a. b) Par la formule du biôme de Newto, o obtiet de même ) a b et alors a b + ) ) ) O peut aussi raisoer par récurrece e exploitat l expressio de a +, b + ) e foctio de a, b ). c) L uicité est évidete compte teu de la stricte croissace de la foctio p p + p. Si est pair alors a + b. Pour p a, + ) a + b p + p Si est impair alors b a +. Pour p b, + ) b + a p + p Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

9 [ édité le 8 décembre 06 Correctios 9 Exercice 8 : [éocé] a) 0 est racie de multiplicité de P doc Le polyôme P est de degré doc P m) Reste à traiter le cas m. E développat par la formule du biôme Puisque P m) b) O remarque doc c) O a P x) m <, P m) 0) 0 m >, P m) 0) 0 0 pour tout m > et aisi ) a) k b k x +k! k 0) est doé par la dérivatio du terme x m, o obtiet P m) 0) ) a) m b m + m)! Z! m I 0! x R, P a/b x) P x) m N, P m) π 0 a/b) ) m P m) 0) Z t bt a) si t dt! π+ b π + a ) 0 + d) Par l absurde, supposos π a/b. Par itégratio par parties successives m π π I ) k sit + kπ/)p k ) t) + ) m Doc + I ) k sit + kπ/)p k ) t) π sit + mπ/)p m) t) dt ) k sikπ/)p k ) π)+p k ) Comme I Z et I 0, la suitei ) est statioaire égale à 0. Or sur [0 ; π] la foctio t P t) sit) est cotiue, de sige costat, sas être ulle et 0 < π doc I > 0. Absurde. 0)) Z Exercice 9 : [éocé] a) 0 est racie de multiplicité de P doc Le polyôme P est de degré doc P m) m <, P m) 0) 0 m >, P m) 0) 0 0 pour tout m > et aisi Reste à traiter le cas m. E développat par la formule du biôme ) P x) a) k b k x +k! k Puisque P m) b) O remarque doc c) O a 0) est doé par la dérivatio du terme x m, o obtiet P m) 0) ) a) m b m + m)! Z! m I 0! d) Par itégratio par parties et e répétat l opératio O e déduit x R, P a/b x) P x) m N, P m) qi r 0 a/b) ) m P m) 0) Z t bt a) e t dt! r+ br + a) 0 + I [ P t) e t] r 0 r I m0 m0 0 ) m P m) P t) e t dt t) e t ) m P m) r)p P m 0)q ) Z Or sur [0 ; r] la foctio t P t) e t est cotiue, positive sas être ulle et 0 < r doc I > 0. Aisi qi 0, qi > 0 et qi Z : c est absurde. Notos qu o e déduit immédiatemet l irratioalité de l r pour r Q + \ {}. r 0 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

10 [ édité le 8 décembre 06 Correctios 0 Exercice 0 : [éocé] Posos O a x a + a + a a x a + a 4a ) a + a ) Si a [ ; ] alors x a + a) 4 doc x. Si a [ ; + [ alors x 4a ) puis x a. Exercice : [éocé] a) f 0) f 0 + 0) f 0) + f 0) doc f 0) 0. x R, f x) f.x) f ) f x) Comme f est o ulle, o a f ). f ) + f ) f 0) 0 doc f ). b) Par récurrece sur N : f ). De plus f ) f ) ) f ) f ) f ) doc Pour x Q, x p q avec p Z, q N, x Z, f x) x d) Pour x R et N : Comme f est croissate : puis x) f x) x) x < x) + ) f x) < f x) + ) f x) < x) + À la limite, quad +, o obtiet x f x) x i.e. f x) x. Fialemet, f Id R. Exercice : [éocé] O a x k ) xk x k + 0 et puisqu ue somme de quatités positives est ulle que si chaque quatité est ulle, o obtiet k, x k Or f p) p et f x) f p q ) f p) f q ) Exercice 3 : [éocé] O peut dresser le tableau de variatio de la foctio f : x x x) et costater qu elle possède u maximum e x / de valeur f /) /4. c) doc f q ) q. Par suite f x) x. Pour x, y R, si x y alors Aisi f est croissate. f ) f q q ) f q) f q ) q f q ) x 0, f x) f x x) f x) ) 0 f y) f x + y x) f x) + f y x) f x) Exercice 4 : [éocé] a b) 0 doe ab a + b Exercice 5 : [éocé] Sachat x x et y y, o a x + y xy x + y xy x ) y) 0 Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

11 [ édité le 8 décembre 06 Correctios Exercice 6 : [éocé] Sachat o obtiet xy x + y ab + bc + ca a + b ) + b + c ) + c + a ) a + b + c Exercice 7 : [éocé] Compte teu de la positivité des membres, le problème reviet à établir soit ecore ce qui découle de la propriété Exercice 8 : [éocé] Par somme de quatités positives, o a a k a l )b k b l ) k,l + uv ) + u) + v) uv u + v u v ) 0 k,l E séparat la somme e quatre, o obtiet et o e déduit a k b k ce qui doe l iégalité demadée. Exercice 9 : [éocé] Soit α, β) solutio. Cosidéros a k l a k b k a k b k a l b k a k b l + a l b l ) 0 b l + a l b l 0 l a k b k f x, y) xα y β x + y sur R +). O a f borée implique α + β. Iversemet, supposos α + β. Si y x alors Si x y alors idem. Exercice 0 : [éocé] Étudios la différece x k y k f x, x) xα+β x 0 f x, y) xα y α x + y x k ce qui doe ecore x k y k Or l x k y k x k y l ) x k l y x + y ) α x y y k x k y k y k x k y k y l ) l<k l l x k y l x k y k x k y l ) x k y k y l ) + car lorsque k l le terme x k y k y l ) est ul. Par chagemet d idice, o peut réécrire la derière somme x k y k y l ) x l y l y k ) et alors l k<l x k y k x k y l ) l<k l<k x k x l ) y k y l ) k<l x k y k y l ) Les termes sommés sot alors tous de même sige, à savoir positif si les suites x i ) i et y i ) i ot même mootoie et égatifs si ces deux suites sot de mootoies cotraires. Au fial, si les deux suites ot même mootoie alors x k y k x k y k Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

12 [ édité le 8 décembre 06 Correctios et si les deux suites sot de mootoies cotraires alors x k y k x k y k Exercice : [éocé] Commeços par résoudre le mi. O a Cas x + y : xy x) y) x + y mi {xy, x) y)} xy x x) 4 Exercice 4 : [éocé] Si x x < x + / et y y < y + / alors x + y x + y, x x et y y puis relatio voulue. Si x + / x < x + et y y < y + / alors x + y x + y +, x x + et y y Cas x + y > : mi {xy, x) y)} x) y) < x)x /4 puis la relatio voulue. Si x x < x + / et y + / y < y + : c est aalogue. Si x + / x < x + et y + / y < y + alors Exercice : [éocé] Soit x y R. x x doc x y or x Z doc x y car y est le plus grad etier iférieur à y. Exercice 3 : [éocé] Puisque x x et y y, o a x + y x + y Par défiitio, x + y est le plus grad etier iférieur à x + y, o a doc déjà D autre part x < x + et y < y + doc puis x + y x + y x + y < x + y + x + y < x + y + Puisque cette iégalité cocere des etiers, o peut trasformer cette iégalité stricte e l iégalité large suivate x + y x + y + x + y x + y +, x x + et y y + puis la relatio voulue. Das tous les cas la relatio proposée est vérifiée. Exercice 5 : [éocé] O a x x puis x x, or x x est croissate doc x x x x doc x x puis x x car x Z. Par suite x x puis x x et fialemet x x Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

13 [ édité le 8 décembre 06 Correctios 3 Exercice 6 : [éocé] Posos m x et réalisos la divisio euclidiee de m par : m q + r avec 0 r. O a q + r x < q + r + doc pour tout k {0,..., } : q + k + r x + k < q + k + r + Si k + r < alors x + k q et si k + r alors x + k q +. Par suite x + k r x + k + k r Exercice 7 : [éocé] Si a Z alors [a ; b] Z { a +, a +,..., b } doc Or car a Z doc Card[a ; b] Z) b a a + a a Card[a ; b] Z) b + a Si a Z alors [a ; b] Z {a, a +,..., b } doc car a Z. Exercice 8 : [éocé] x + k q + r m x Card[a ; b] Z) b a + b + a a) Par récurrece sur N. Pour, a et b covieet. Supposos la propriété établie au rag. + 3) + + 3)a + b 3) a+ + b + 3 avec a + a + 3b et b + a + b de sorte que Récurrece établie. 3b + a + a + 3b b) a b 3 < a doc a + 3) < a doc + 3) a C est u etier impair. Exercice 9 : [éocé] Soit p u etier strictemet supérieur à + +. O a doc < p 4 + ) < p + ) ) Puisque les ombres comparés sot des etiers, o a aussi c est-à-dire et o e déduit 4 + ) + p + ) ) + ) p + ) ) 4 + p Or le carré d u etier e peut qu être cogru à 0 ou modulo 4. O e déduit et doc 4 + < p 4 + < p Aisi, il existe pas d etiers compris etre + + et 4 + doc Exercice 30 : [éocé] Puisque z U, o a z /z doc puis ) z + z + z z /z + /z + z z z + z z + z ir Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

14 [ édité le 8 décembre 06 Correctios 4 Exercice 3 : [éocé] a) Posos x Rez) et y Imz). f z) z i z + i x + y ) x + y + ) Si y > 0 alors x + y ) < x + y + ) doc f z) <. Aisi, b) Soit Z D. avec Aisi, Z z i z + i z P, f z) D z i + Z Z i + Z Z i + Z Z Z Z ImZ) Z + i Z Z Z P Z D,!z P, f z) Z Exercice 3 : [éocé] C et S sot les parties réelles et imagiaires de Aisi C cos θ e ikθ ei+)θ e iθ si +)θ si θ Exercice 33 : [éocé] C et S sot les parties réelles et imagiaires de Aisi +)θ si iθ/ e si θ et S si θ si +)θ si θ ) e ikθ + e iθ ) e i θ cos θ k C cos θ cos θ et S si θ cos θ Exercice 34 : [éocé] O observe que B {i, i} est solutio. Motros qu il y e a pas d autres... Posos f : C C et g: C C défiies par O remarque f z) z + z et gz) + z + z f z) i z + i z + i), f z) + i z i z i) gz) i z i z + + i et gz) + i z + i z + i Soiet a B et z ) 0 la suite d élémets de B défiie par z 0 a et pour tout N f z ) si Rez ) 0 z + gz ) si Rez ) > 0 Posos efi Si Rez ) 0 alors u z + z i z + i u + f z ) i f z ) + i u z + i) z i) Selo le sige de la partie imagiaire de z, l u au mois des deux modules z + i) et z i) est supérieur à alors que l autre est supérieur à. Aisi u + u Si Rez ) > 0, o obtiet le même résultat. O e déduit que si u 0 0 alors la suite u ) est pas borée. Or la partie B est borée doc u 0 0 puis a ±i. Aisi B {i, i}. Sachat B et sachat que l apparteace de i etraîe celle de i et iversemet, o peut coclure B {i, i} Exercice 35 : [éocé] Rappelos que si u est u complexe de module alors /u ū. O a alors z a) z a) z ) z a)ā z) z a a ā ā z z doc b a z a ) z a z b z b R + Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

15 [ édité le 8 décembre 06 Correctios 5 Exercice 36 : [éocé] a) O a et e développat z C z z 0 r z z 0 z z 0 ) z z 0 ) z z z 0 z z 0 z + z 0 z 0 b) Notos que 0 C puisque z 0 r. O peut doc cosidérer l image f C). Soit Z f z) avec z C. Puisque o a doc ce qui se réécrit Posos alors et l o obtiet Z Z Z 0 Z Z 0 Z + Z 0 z z 0 z z 0 z + z 0 r z 0 z z 0 z + z 0 r 0 z z z 0 Z z 0 Z + z 0 r ) Z 0 z 0 z 0 r Z z 0 z 0 r Z Z 0 z 0 z 0 r r z 0 r z 0 + z 0 z0 r ) r z0 r ) Aisi Z appartiet au cercle C r de cetre Z 0 et de rayo z 0 r. Iversemet, e repreat les calculs e ses iverse, o obtiet que tout poit Z de C est l image d u certai z de C. Exercice 37 : [éocé] a) M I est solutio. Pour M I, I, M, M sot aligés si, et seulemet si, il existe λ R tel que IM λ IM i.e. iz i z i R. Posos x Rez) et y Imz). Im ) ) iz i z i 0 xx ) + yy ) 0 x ) + y. Fialemet le lieu des poits M solutios est le cercle de cetre Ω / et de rayo / /. b) Le poit M est l image de M par la rotatio de cetre O et d agle π/. / Le lieu des poits M est doc le cercle de cetre Ω et de rayo / / Exercice 38 : [éocé] Soit z u complexe du cercle uité avec z. Il existe θ ]0 ; π[ tel que z e iθ. O a alors z e i iθ e iθ/ si θ/ + i cot θ Quad θ parcourt ]0 ; π[ ce qui reviet à faire parcourir à z le cercle uité), l expressio cotθ/) pred toutes les valeurs de R. L image du cercle uité est la droite d équatio x /. Exercice 39 : [éocé] Soit Mz) solutio avec z a + ib et a, b R. O a a a + b doc a 0 et b ± 3a. Aisi M se situe sur les demi-droites d origie O dirigée par les vecteurs u 3 et v 3. Iversemet : ok. Exercice 40 : [éocé] E multipliat les trois complexes t, u, v par e iθ, o peut former u ouveau triplet solutio à partir d u premier. Sas perte de gééralité, o peut doc supposer t R + auquel cas t a. E écrivat u x + iy et v x + iy avec x, x, y, y R, la coditio t + u + v 0 doe { x a + x) y y et les deux coditios uū b et v v c équivalet alors au système { x + y b x + a) + y c Ce système possède ue solutio si, et seulemet si, le cercle de cetre O et de rayo b coupe le cercle de cetre Ω a, 0) et de rayo c. Ces deux cercles se coupet si, et seulemet si, b c a b + c Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

16 [ édité le 8 décembre 06 Correctios 6 O peut alors coclure que le triplet t, u, v) existe si, et seulemet si, chacu des paramètres a, b, c est iférieur à la somme des deux autres. Exercice 4 : [éocé] z doc z. Posos θ u argumet de z qu o peut choisir das [0 ; π/] car Rez), Imz) 0. O a cos θ + doc cosθ) cos θ avec θ [0 ; π] doc θ π/4 puis θ π/8. + ) Exercice 4 : [éocé] ) ok ) Si z + z z + z alors, e divisat par z : + x + x avec x z /z C. Écrivos x a + ib avec a, b R. et + x a + ) + b + a + b + a + x ) + a + b ) + a + b + a + b + x + x doe alors a a + b d où b 0 et a 0. Par suite x R + et o coclut. Exercice 44 : [éocé] Si a 0, l iégalité est vraie avec égalité si, et seulemet si, b 0. Si a 0, l iégalité reviet à avec u b/a. E écrivat u x + iy, + u + u + u + u ) + x + y + x + y + x + y ) + u + u + u + u ) avec égalité si, et seulemet si, x + y et u 0 soit u ± ce qui reviet à a ±b. Exercice 45 : [éocé] Pour que la quatité soit défiie il est écessaire que z /ā. Si tel est le cas z a āz z a āz Sachat x + y x + Re xy) + y, o obtiet z a āz a ) z ) 0 L esemble recherché est l esemble des complexes de module iférieur à. Exercice 43 : [éocé] O a z + z z z ) + z + z ) + z z) + z + z) z + z + z z Iterprétatio : Das u parallélogramme la somme des logueurs de deux côtés est iférieure à la somme des logueurs des diagoales. Il y a égalité si, et seulemet si, : z z 0 i.e. z z ) ou z+z z z R + et z+z z z R + ce qui se résume à z z. Exercice 46 : [éocé] a) E développat z + z z + z ) z + z ) z + z z + z z + z et la relatio écrire est alors immédiate. b) O a z + z + z z 4 doc parmi les quatités z + z et z z, l ue au mois est de carré iférieur à. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

17 [ édité le 8 décembre 06 Correctios 7 Exercice 47 : [éocé] Soit z C. Si z R alors f z) 0. Sio, o peut écrire z re iθ avec r > 0 et θ ] π ; π[ et alors Puisque cosθ/) 0 doc f z) r + eiθ r cos θ eiθ/ f z) r cos θ et arg f z) θ f z) {Z C Re Z > 0} Iversemet, soit Z C tel que Re Z > 0. O peut écrire Z Re iα avec R > 0 et α ] π/ ; π/[. Pour les calculs qui précèdet doet z R cos α eiα f z) Re iα Z Fialemet, les valeurs prises par f sot les complexes de parties réelles strictemet positives aisi que le complexe ul. Exercice 48 : [éocé] z + z + Rez) + et z + ) z + z + doc z + z + Rez) z z R +. Exercice 49 : [éocé] Puisque le produit d expoetielles est l expoetielle de la somme e ikπ/ ikπ exp exp iπ k expi )π) ) Exercice 50 : [éocé] Notos ω k e ikπ avec k Z. Par factorisatio d expoetielle équilibrée ω k si kπ Alors Exercice 5 : [éocé] Quitte à réidexer, o peut supposer z si kπ Im z U ) 4 Im cos π e iπ/ si π e i kπ cot π k {,..., }, ω k e ikπ/ ω k avec ω e iπ/ a) Si e divise pas p alors, puisque ω p Si divise p alors b) Pour k, o a Puisque o a S p S p ω kp ω p ωp ω p 0 ω kp e ikπ/ ω k i si kπ cot kπ l k l i cot kπ + cot π lπ ) cot kπ 0 puis ) T O peut aussi lier le calcul au précédet e écrivat p0 l ω p i + ω i ω i ω i cot ) lπ Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

18 [ édité le 8 décembre 06 Correctios 8 O peut aussi retrouver cette relatio e cosidérat que T est la somme des racies d u polyôme bie costruit P X ) X X + ) X + Iversemet, e remotat le calcul : ok Fialemet S { i cot kπ } k {,..., } Puisque la foctio cot est ijective sur ]0 ; π[, il y a exactemet solutios. Exercice 5 : [éocé] O a ω)s k + )ω k doc S kω k ω k ω ω Exercice 55 : [éocé] O a z + 0 z e iπ z 0 e i π est solutio particulière de l équatio et doc { } S {z 0 ω k k {0,..., }} e i k+)π k {0,..., } Exercice 53 : [éocé] a) b) c) j j + ) j + j j j + j j j + j + ) j ) j j ) j ) j + ) j ) j ) j ) j3 + j j j 3 j j + j 3 Exercice 54 : [éocé] Notos ω k e ikπ avec k Z les racies ème de l uité. Si z est solutio alors écessairemet z et z+ z ) doc il existe k {0,,..., } tel que z + z ω k ce qui doe ω k )z ω k + Si k 0 alors ce la doe 0 doc écessairemet k {,..., } et ω k. Par suite z ω kπ k + cos i cot kπ ω k i si kπ Exercice 56 : [éocé] z i est pas solutio. Pour z i, z + i) z i) ) z + i z i k {0,..., }, z + i z i ω k e otat ω k e ikπ/. Pour k 0, ω k et l équatio z+i z i ω k a pas de solutio. Pour k {,..., }, ω k et l équatio z+i z i ω k a pour solutio Aisi S {z,..., z } avec z k i ω k + ω k z k i cos kπ ei kπ i si kπ ei kπ cot kπ R deux à deux disticts car cot est strictemet décroissate sur l itervalle ]0 ; π[ où évoluet les kπ pour k. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

19 [ édité le 8 décembre 06 Correctios 9 Exercice 57 : [éocé] O a doc Exercice 58 : [éocé] + A + B 0, AB et ImA) > 0 A B + i 7 a) Puisque les racies de l équatio z sot, ω,..., ω, o a z z ) z ω k ) Or o a aussi z z ) + z + + z ) d où l égalité proposée pour z. b) Les foctios x x ωk ) et x l0 xl sot défiies et cotiues sur R et coïcidet sur R \ {}, elles coïcidet doc aussi e par passage à la limite. c) Pour z, l égalité du a) doe ωk ). Or par factorisatio de l expoetielle équilibrée, et doc puis la relatio proposée. ω k e ikπ i si kπ e i kπ e i π k i ω k ) si kπ et doc Or cos a si a doc puis cos π si π si π et efi la formule proposée puisque siπ/5) 0. Exercice 60 : [éocé] x est solutio de l équatio si, et seulemet si, a a 3 0 ce qui doe a ou a 3. Lorsque a, les solutios de l équatio sot, 3+ 5, Lorsque a 3, les solutios de l équatio sot, 3+i3 3, 3+i3 3. Exercice 6 : [éocé] a) S {, + i}, b) S { + i, 3 + i, i, 3 i}. Exercice 6 : [éocé] a) ±3 i) b) a i, b + 3i et c + i c) c b c a 3 et b a 6. Le triagle est rectagle isocèle. Exercice 59 : [éocé] Puisque la somme des racies 5-ième de l uité, e cosidérat la partie réelle, o obtiet + cos π 5 + cos 4π 5 0 Sachat cos a cos a, o obtiet que cosπ/5) est solutio positive de l équatio 4r + r 0 Exercice 63 : [éocé] O a 4 + i) 8e i π 4 doc z 0 e i π est solutio particulière de l équatio. L équatio z 3 z 3 0 équivaut alors à l équatio z/z 0) 3 dot l esemble solutio est S { z 0, z 0 j, z 0 j } Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd

20 [ édité le 8 décembre 06 Correctios 0 Exercice 64 : [éocé] Il s agit d u système somme produit, o obtiet ses solutios e résolvat l équatio Exercice 68 : [éocé] E factorisat e iθ/ au umérateur et au déomiateur O obtiet l esemble solutio z + i)z + i) 0 e iθ i si θ/ e iθ + cos θ/ i ta θ Exercice 65 : [éocé] Posos ρ Z et θ arg Z S { + i, i), i, + i)} [π]. Exercice 66 : [éocé] Posos x Re z et y Im z. O a e z Z e Re z e i Im z Z e iθ Pour assez grad, o a + x/ > 0 et doc Quad + et + z ) r e iθ avec r r exp e Re z Z et e i Im z e iθ z l ρ + iθ + ikπ avec k Z. + z + x ) + i y + ) x y ) + et θ arcta y/ + x/ l + x + x + y )) ))) x exp + o expx) θ y y Exercice 69 : [éocé] O peut factoriser e iθ + e iθ e i θ+θ e i θ θ θ θ i + e ) cos θ θ e i θ+θ ce qui permet de préciser module et argumet e discutat selo le sige de cos θ θ. Exercice 70 : [éocé] Puisque e ix + e iy + e iz 0, e multipliat par e ix, o obtiet + e iα + e iβ 0 avec α y x et β z x. E passat aux parties réelle et imagiaire { cos α + cos β si α + si β 0 L équatio si α + si β 0 doe α β mod π ou α π + β mod π Si α π + β mod π alors la relatio cos α + cos β doe 0. Il reste α β mod π et alors cos α doe α ±π/3 mod π. Par suite e iα j ou j. O obtiet alors aisémet + e iα + e iβ 0 puis e ix + e iy + e iz 0. doc + z ) expx) e iy expz) Exercice 67 : [éocé] z e iθ + cos θ eiθ/. Si cos θ > 0 alors z cos θ et argz) θ [π], si cos θ et si cos θ < 0 alors z cos θ et argz) θ + π [π]. z e iθ i si θ eiθ/ et la suite est similaire. 0 alors z 0. Diffusio autorisée à titre etièremet gratuit uiquemet - dd