Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP

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1 Corrigé de l'épreuve de maths 2 - e3a - MP Partie I L'applicatio ϕ est liéaire et P R [X], ϕ(p R [X] doc ϕ iduit sur R [X] u edomorphisme 2 ϕ( = et i, ϕ(x i = X i ix i O e déduit la matrice de ϕ sur la base caoique de R [X] : La matrice de ϕ est triagulaire supérieure, elle porte doc les valeurs propres de ϕ sur sa diagoale La seule valeur prope de ϕ est ϕ (P = P P = 0 doc E = Vect ( dim E =, dim R [X] = + et > 0 doc la somme des dimesios des sous-espaces propres 'est pas égale à la dimesio de R [X] et doc ϕ 'est pas diagoalisable 4 De la questio 2, o déduit det(ϕ = 0 ϕ est doc u automorphisme de R [X] 5 ϕ état ue bijectio de R [X] das R [X], il eiste ue uique famille de polyômes s 0, s,, s telle que i J0, K, ϕ (s i = Xi i! X ϕ est u automorphisme de R [X] et (,,, est ue base de R [X] doc X!! (s 0, s,, s est ue base de R [X] 6 E développat, o trouve (Id δ (Id + δ + + δ = Id δ +, or δ + = 0 (dérivée + ème d'u polyôme de degré et doc (Id δ (Id + δ + + δ = Id 7 La relatio précédete peut aussi s'écrire ϕ (Id + δ + + δ = Id et doc ϕ = Id + δ + + δ Pour tout etier i das J0, K, o a doc ( ( X i X i s i = ϕ = (Id + δ + + δ = Xi + Xi i! i! i! (i! + + X i! + = X k s i = i X k Partie II ( 8 S 3(X = + X + X2 2 = + X 2 + X2 2 4 > 0 O e déduit le tableau de variatios de S 3 :

2 S 3( S 3 ( y α e S ( S 3 ( O remarque que la dérivée de S est S O fait ue démostratio par récurrece e posat HR( : le polyôme S 'a pas de racie réelle si est pair et a ue uique racie réelle simple si est impair De faço évidete, HR(0 et HR( sot vraies Supposos HR( vraie pour u etier N doé Si + est impair : S + = S, d'après l'hypothèse de récurrece, S 'a pas de racie réelle et et S (0 =, doc S est costammet > 0 O e déduit so tableau de variatios : α + S +( S + ( + 0 S + possède doc ue uique racie réelle simple Si + est pair : S + = S, d'après l'hypothèse de récurrece, S possède ue uique racie réelle simple α et S + (α = S (α + α! = α ( +! > 0 O e déduit so tableau de variatios : S +( S + ( α 0 + > 0 S + e possède doc aucue racie réelle Fialemet, d'après le pricipe de récurrece, + 2

3 le polyôme S 'a pas de racie réelle si est pair et a ue uique racie réelle simple si est impair 0 (a S 2+ (α 2 = S 2 (α 2 + α α 2 2+ (2! (2 +! = α α 2 2+ (2! (2 +! = α ( α 2 (2! 2 + Or, par hypothèse, toutes les racies complees du polyôme S ot u module < doc α 2 < 2 d'où l'o déduit + α > 0 et S 2+(α 2 > 0 La foctio S 2+ est strictemet croissate, S 2+ (α 2 > 0 et S 2+ (α 2+ = 0 (b o a doc α 2 > α 2+ et doc la suite (α 2+ N est décroissate i La suite (v m est covergete, doc elle est borée et il eiste u réel A > 0 tel que m N, v m A A k La série coverge, doc la suite ( k=m+ A k m N coverge vers 0 Pour tout réel ε > 0, il eiste doc u etier aturel M tel que : m N, m > M A k < ε k=m+ k v Soit m > M, S m (v m e vm m = v m k A k < ε k=m+ k=m+ k=m+ Pour tout réel ε > 0, il eiste doc u etier aturel M tel que : m N, m > M S m (v m e vm < ε et doc lim m S m(v m e vm = 0 ii S m (v m = S m (v m e vm + e vm, or doc la suite (S m (v m m N coverge vers e l lim S m(v m e vm = 0 et lim m m evm (c Si o suppose que la suite (α 2+ coverge vers u réel l, alors, e déissat (v m par v 2 = v 2+ = α 2+ pour tout etier, la suite (v m coverge égalemet vers l et doc la suite (S m (v m m N coverge vers e l = e l Or, pour tout etier m, S 2m+ (v 2m+ = S 2m+ (α 2m+ = 0, par passage à la limite o obtiet e l = 0 ce qui est impossible doc (α 2+ diverge Etat décroissate, h( = e, h ( = ( e la suite (α 2+ N diverge vers Partie III O e déduit le tableau de variatios et le graphe de h : y h ( h(

4 2 D'après l'étude précédete, la foctio h est bijective de ], [ sur ], [, de classe C et h e s'aule pas Soit g la bijectio réciproque g est doc bie de classe C de ], [ das ], [ et ], [, h(g( = Graphe de g : y h est bijective de ], [ sur ], [, il eiste doc u uique ombre réel ρ ], [ tel que h(ρ =, d'autre part si, alors h( > 0 doc h( Il eiste doc u uique ombre réel ρ tel que h(ρ = 4 h( /2 = 2 e3/2, or, o sait que e > 2, o e déduit e 3 > 4, e 3/2 > 2 et 2 e3/2 < Doc h( /2 < h( /4 = 4 e5/4, or, o ous doe l , o e déduit 5 4 < 2 l 2, e5/4 < 4 et 4 e5/4 > Doc h( /4 > D'après les variatios de h, ρ est das l'itervalle ] /2, /4[ 5 Soit z u ombre complee tel que : z et ze z Soit u etier aturel ( (a (ze z e k zk = e z k z k = e z k z k k z k = e z (e z T (z = e z T (z O a bie l'égalité : e z T (z = (ze z e (b e z T (z = (ze z e e Or e k k zk car z et ze z ( k = k e et doc e z T (z e T ( k zk (ze z e k z k k = e (e T ( = e T ( (c Si T (z = 0, alors e T ( et doc e T ( 0, ce qui est impossible car e > 0 et T ( > 0 O a doc T (z 0 6 Soit u etier aturel impair 3 Das les questios précédetes, o a motré que si z est u ombre complee tel que z et ze z, alors T (z 0 ( α D'autre part, T = S (α = 0 O a doc α > ou α e α > 4

5 O a admis que toutes les racies complees du polyôme S ot u module <, doc α < et par coséquet o a α ( e α h α > c'est à dire > α D'après les variatios de la foctio h, o a doc < ρ et comme α <, α est bie das l'itervalle ], ρ[ Partie IV 7 Pour u R et N, o pose f (u = e u S (u! u u u t e t dt t e t dt est dérivable sur R de dérivée u u e u doc f est dérivable et pour tout u R, f (u = e u S (u + e u S (u + (! u e u = e u S (u + S (u + u! = e ( u u k + u k + u = 0! D'autre part, f (0 = S (0 = 0 f est doc la foctio ulle et doc pour tout ombre réel u et tout etier aturel, o a bie e u S (u = +! u t e t dt 8 Soit m u etier aturel et = 2m + S (α = 0, doc d'après la questio précédete, o a : = t e t dt! α O fait le chagemet de variables t = u das l'itégrale, o obtiet : =! γ u e u du O e déduit : = +! O a doc γ h(t dt =!e + u e u du = + e γ! 9 O utilise la formule de Stirlig :! e 2π!e e 2πe 2π 2π = ( La suite h(t 2m+ dt γ 2m+ m N coverge doc vers 0 u e ( u du = + e γ! γ h(u du 20 Das la questio 6, o a motré que pour tout etier 3 impair, α < ρ, et d'après les variatios de h, o a ρ < 0 doc γ 2m+ = α 2m+ 2m+ < ρ < 0 D'autre part, sur R, h est égative O e déduit : h(t 2m+ dt = h(t 2m+ dt + h(t 2m+ dt h(t 2m+ dt 0 γ 2m+ γ 2m+ ρ γ 2m+ ( lim h(t 2m+ dt = 0 et doc la suite h(t 2m+ dt m γ 2m+ γ 2m+ Or m N coverge vers 0 5

6 2 t [γ 2m+, ρ], h(t doc h(t 2m+, et doc h(t 2m+ dt (ρ γ 2m+ < 0, γ 2m+ or lim m O a doc γ 2m+ h(t 2m+ dt = 0 doc α 2m+ (2m + ρ 2mρ lim γ 2m+ = ρ m Partie V 22 Soit p u etier aturel o ul, α,, α p des ombres complees de module et p p θ,, θ p des ombres réels > 0 tels que θ i α i = θ i i= i= p p p p (a θ i = θ i α i θ i α i θ i (b i= i= i= i= Si l'u des α i a u module <, la derière iégalité est stricte et o a ue cotradictio α,, α p sot doc des ombres complees de module eactemet θ + θ 2 e it 2 = (θ + θ 2 2 = θ 2 + θ θ θ 2 cos t = θ 2 + θ θ θ 2 = cos t = car θ θ 2 > 0 = α 2 = (c O procède de la même faço e posat pour tout k, α k = e it k 2 ( 2 θ k e it k = θ k k= k= = θ 2 k + θ k θ l e it k e it l + θ k θ l e it k e it l = θ 2 k + 2 k= = 2 k<l = k<l k<l θ k θ l cos(t k t l = 2 θ k θ l ( cos(t k t l = 0 k<l k<l θ k θ l k= k<l = k, l J, K, cos(t k t l = car θ k θ l > 0 et cos(t k t l 0 = k, l J, K, t k t l 2πZ = α = α 2 = = α p 23 (a P (0 = a 0 > 0 P ( = a k > a 0 > 0 Ni 0, i, e sot doc racies de P (b (X P (X = a X + + (a a X + + (a a 2 X 2 + (a 0 a X a 0 (c Cosidéros ue racie α de P O suppose α α est aussi racie de (X P (X, et comme a 0 = a, o a : a α + + (a a α + + (a a 2 α 2 = a 0 θ k θ l 6

7 D'autre part, a + (a a + + (a a 2 = a = a 0 O a doc : a α + +(a a α + +(a a 2 α 2 = a +(a a + +(a a 2 O peut doc appliquer la questio 22 e posat θ = a, θ k = a k a k+ pour k J, K et α k = a k pour k J, K, α,, α sot des ombres complees de module et θ,, θ des ombres réels > 0 O e déduit α = α 2 = = α c'est à dire α 2 = α 3 = α + ce qui est impossible car α 0 et α Les racies complees de P ot doc u module > 24 Q(X = a X + a X + + a X + a 0 avec 0 < a 0 < a < a 2 < a = a a 0 > 0 doc 0 'est pas racie de Q α est racie de Q si et seulemet si α est racie du polyôme a 0X + a X + + a X + a qui vérie les hypothèses de la questio 23 O e déduit > et doc α < α Les racies complees de Q ot doc u module < k 25 T (X = Xk Posos a k = k pour k J0, K O alors 0 < a 0 < a < a 2 < a = a, d'après la questio précédete, toutes les racies complees de T ot doc u module < et doc toutes les racies complees du polyôme S ot u module < 7