Bac Blanc de Mathématiques T STMG

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1 Nom : Préom : Classe : Bac Blac de Mathématiques T STMG Mars 2014 Les 4 exercices ci-dessous sot idépedats. L utilisatio d ue calculatrice persoelle est autorisée. Vous utiliserez cet éocé de 4 pages e guise de pochette après avoir idiqué vos om et préom e etête. La qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets etrerot pour ue part importate das l appréciatio des copies. Exercice 1 sur 5 pts : Le tableau ci-dessous a été publié e octobre 2011 par l INSEE et est préseté sous la forme d u extrait de feuille de tableur. Il représete le ombre de persoes e milliers trasportées etre les aéroports fraçais hors Île-de-Frace etre 2004 et Partie A 1. Quelle formule doit-o etrer das la cellule C4 et recopier sur la plage D4:H4, pour calculer les taux auels d évolutio du ombre de passagers sur cette période? 2. Calculer le taux global d évolutio du ombre de milliers de passagers trasportés etre les aéroports fraçais hors Île-de- Frace etre 2004 et O arrodira à 0,1 %. 3. Détermier le taux auel moye d évolutio du ombre de milliers de passagers trasportés etre les aéroports fraçais hors Île-de-Frace etre 2004 et O arrodira à 0,1 %. Partie B O a représeté page suivate le uage de poits associé à cette série statistique double ( x, y ) das u repère orthogoal. O décide de réaliser u ajustemet affie du uage. 1. Détermier, à l aide de votre calculatrice, ue équatio de la droite (D), droite d ajustemet affie de y e x obteue par la méthode des moidres carrés. Les coefficiets serot arrodis au cetième. 2. Das cette questio, o pred pour équatio de la droite (D) : y212x 4835 a) Tracer la droite (D) das le repère précédet. b) Selo ce modèle, à combie peut-o estimer le ombre de milliers de passagers qui serot trasportés etre les aéroports fraçais hors Île-de-Frace e 2013? i i 1/7

2 Exercice 2 sur 4 pts : Ue épidémie due à ue bactérie s est développée das ue grade ville. Afi de lutter cotre cette épidémie e distribuat de faço raisoée u atibiotique adapté, u orgaisme de saté a mis au poit u test de dépistage. O admet que : 15% de la populatio est cotamiée par cette bactérie Le test est positif das 99,6% des cas pour ue persoe cotamiée par cette bactérie. Le test est égatif das 97,6% des cas pour ue persoe o cotamiée par cette bactérie. Ue persoe est choisie au hasard das cette ville. O admet que chaque persoe a la même probabilité d être choisie. O cosidère les évéemets suivats : B : «La persoe choisie est cotamiée par la bactérie» T : «Pour la persoe choisie, le test est positif» Das chaque questio, les résultats umériques serot doés sous forme décimale exacte. 1. Recopier et compléter l arbre de probabilité ci-dessous : 2. Quelle est la probabilité que le test soit égatif sachat que la persoe choisie est cotamiée par la bactérie? 3. Calculer la probabilité que la persoe choisie soit cotamiée par la bactérie, et que pour elle le test soit positif. 4. Quelle est la probabilité que, pour la persoe choisie, le test soit positif? 5. Das cette questio, toute trace de recherche, même o aboutie, sera prise e compte. Calculer la probabilité que le test doe u résultat faux. 2/7

3 Exercice 3 sur 6 poits : Les dépeses auelles de foctioemet de deux services d ue etreprise, ommés ici A et B, ot été étudiées sur ue assez logue période, ce qui a coduit à la modélisatio suivate. Les dépeses du service A augmetet de 4000 chaque aée, tadis que celles du service B augmetet de 15% chaque aée. Cette aée (qui sera prise das la suite comme aée 1), les deux services ot effectué des dépeses idetiques : O ote a le total des dépeses du service A et b le total des dépeses du service B la -ième aée. O s itéresse aussi au cumul des dépeses sur plusieurs aées. Le tableau ci-dessous, extrait d ue feuille automatisée de calcul, doe les résultats pour les premières aées Partie A : Etude des dépeses du service A : 1. a) Quelle est la ature et quelle est la raiso de la suite ( a des dépeses auelles du service A? b) Exprimer a e foctio de. c) Calculer a Proposer ue formule qui, etrée das la cellule R3, permet par recopie vers le bas de calculer le cumul des dépeses du service A. 3. Calculer la somme a1 a2 a3... a10. Que représete cette somme? Partie B : Etude des dépeses du service B : 1. a) Quelle formule etrée das la cellule S3 permet par recopie vers le bas de calculer les dépeses auelles du service B? b) Quelle est la ature et quelle est la raiso de la suite ( b des dépeses du service B? c) Exprimer b e foctio de. 2. Calculer les dépeses auelles prévisibles pour le service B lors de la dixième aée. O doera le résultat à la cetaie d euros. 3/7

4 Exercice 4 sur 5 pts : Ue etreprise fabrique et ved ue quatité x d objets. La capacité maximale de productio de l etreprise est de 21 objets. 3 2 Le coût total de fabricatio de x objets, exprimé e euros, est doé par : C( x) 2x 54x 470x 80. Chaque objet est vedu Pour 12 objets fabriqués et vedus, calculer le coût de fabricatio, la recette et le bééfice. 2. Rx ( ) et Bx ( ) désiget respectivemet la recette et le bééfice pour x objets vedus. a) Exprimer Rx ( ) e foctio de x. b) Motrer que le bééfice pour x objets vedus est 3 2 B( x) 2x 54x 270x a) Calculer B'( x ) pour tout x [0;21] et vérifier que B'( x) 6( x 3)( x 15). b) A l aide d u tableau de siges, étudier le sige de B'( x ) sur l itervalle [0 ; 21], e déduire le tableau de variatios de la foctio B sur l itervalle [0 ; 21]. c) Pour quel ombre d objets fabriqués et vedus le bééfice est-il maximum? Justifier la répose. Quel est ce bééfice maximum? 4/7

5 Exercice 1 : 5 poits : elever 1 seule fois 0,25 das le cas de pb d arrodi Partie A : 2,5 poits 1) E C4 : = (C3 B3)/B3 * 100 0, ) Taux global : 0,25 0,238 soit ue hausse globale de 23,8%. 0, ) Soit t le taux auel moye : (1 + t) 6 = , ,5 1 + t = ,8 100 Partie B : 2,5 poits 1/6 0,5 t = (1,238) 1/6 1 0,036 soit ue hausse auelle moyee de 3,6%. 0,5 1) D après la calculatrice, l équatio de la droite d ajustemet de y e x obteue par la méthode des moidres carrés est : y = 212,29 x ,71. 0,5 2 2) a) y x 0,5 pour le tracé de la droite b) E 2013 : x = 10 0,5 : y = = 6955 soit milliers de passagers trasportés. 0,5 5/7

6 Exercice 2 : 4 poits 1) T 0,996 B 0,004 0,15 T 0,85 T 0,024 1 poit pour compléter l arbre B 0,976 T 2) P B ( T ) 0,25 = 1 0,996 = 0,004. 0,25 3) P( B T) 0,25= 0,15 0,996 = 0, ,25 4) D après la formule de probabilités totales : P(T) = P(B T) + P( B T) 0,5 = 0, ,85 0,024 = 0, ,5 5) P(B T ) + P( B T) 0,5= 0,15 0, ,85 0,024 = 0,021. 0,5 6/7

7 Exercice 3 Partie A 1) a) Les dépeses du service A augmetet de 4000 par aée doc ( aée, Les dépeses du service A s élèvet à 20000, o e déduit que a b) D où a a1 ( 1) r ( 1) a est ue SA de raiso r 4000 c) a doc les dépeses s élèverot à euros la 10 ième aée. R o doit saisir : R2 Q3 a a a... a , c est la somme des dépeses du service A durat les 10 premières aées. 2) E 3 3) Partie B 1) a) E 3 S, il faut saisir la formule : S2*1.15 b) Chaque aée, les dépeses du service B augmetet de 15%, doc ( b est ue SG de raiso de premier terme b c) O e déduit que b b1 q , ) Lors de la 10 ième aée, o peut prévoir que les dépeses du service B serot égales à 101 b , , euros.. Comme la 1 ère 15 q 1 1,15 et 100 Exercice 4 1) U objet est vedu 200 euros doc 12 objets rapportet 2400 Le coût de fabricatio de 12 objets est 3 2 C(12) euros Le bééfice est doc euros, l etreprise gage de l arget. 2) a) U objet est vedu 200 euros doc x objets sot vedus 200x euros et doc R( x) 200x b) B x R x C x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) 200 ( ) ) a) Pour tout x [0;21], B x x x x x 2 2 '( ) Or 6( x 3)( x 15) 6( x 15x 3x 45) 6x 108x 270 B'( x) b) D où le tableau de variatio de la foctio bééfice : c) Etre 0 et 3 objets vedis, le bééfice est toujours égatif. Etre 3 et 21 objets vedus, le bééfice est maximal lorsque l etreprise ved 15 objets, le bééfice est alors de 1270 euros. 7/7